高二数学试卷及答案

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2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线l :2x +√3y −1=0的斜率为( ) A .−2√33B .−√32C .2√33D .√322.若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m =0表示一个圆,则m 的取值范围是( ) A .(﹣∞,﹣5)B .(﹣5,+∞)C .(﹣∞,5)D .(5,+∞)3.已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 29+y 25=1的左、右焦点,P 是椭圆E 上一点,若|PF 1|=2,则|PF 2|=( )A .1B .2C .3D .44.如图,在三棱锥P ﹣ABC 中,P A ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,且PD →=3DC →,则BD →在AC →方向上的投影向量为( )A .34AC →B .−23AC →C .−34AC →D .23AC →5.若圆O 1:x 2+y 2=25与圆O 2:(x ﹣7)2+y 2=r 2(r >0)相交,则r 的取值范围为( ) A .[2,10]B .(2,10)C .[2,12]D .(2,12)6.若A (2,2,1),B (0,0,1),C (2,0,0),则点A 到直线BC 的距离为( ) A .2√305B .√305C .2√55D .√557.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线,垂足为A (第一象限),并与双曲线C 交于点B ,若FB →=BA →,则l 的斜率为( ) A .2B .1C .12D .−748.已知实数x ,y 满足2x ﹣y +2=0,则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为( ) A .3√13B .10+√13C .108D .117二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如图,在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,则( )A .BC →−A 1A →=AD 1→B .BC →−A 1A →=2AD 1→C .EF →=12A 1C 1→D .EF →=A 1C 1→10.在同一直角坐标系中,直线l :y =mx +1与曲线C :x 2+my 2=1的位置可能是( )A .B .C .D .11.已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 是椭圆E 上一点,且|PF 1|=43|PF 2|,cos ∠PF 2F 1=35,则下列结论正确的有( ) A .椭圆E 的离心率为57B .椭圆E 的离心率为45C .PF 1⊥PF 2D .若△PF 1F 2内切圆的半径为2,则椭圆E 的焦距为1012.苏州博物馆(图一)是地方历史艺术性博物馆,建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体,其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱,下层底面ABCD 是边长为4的正方形,E ,F ,G ,H 在底面ABCD 的投影分别为AD ,AB ,BC ,CD 的中点,若AF =√5,则下列结论正确的有( )A .该几何体的表面积为32+8√2+4√6B .将该几何体放置在一个球体内,则该球体体积的最小值为36πC .直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D .点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点N 是点M (3,3,4)在坐标平面Oxz 内的射影,则|ON →|= . 14.若双曲线C :x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等,则m = .15.过点M(√3,0)作圆C :x 2+(y ﹣1)2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 .16.如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AM =2MB ,N 为DD 1的中点,记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ,则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知直线l 1:x +ay ﹣a +2=0与l 2:2ax +(a +3)y +a ﹣5=0. (1)当a =1时,求直线l 1与l 2的交点坐标; (2)若l 1∥l 2,求a 的值.18.(12分)如图,在正四棱锥P ﹣ABCD 中,E ,F 分别为P A ,PC 的中点,DG →=2GP →. (1)证明:B ,E ,G ,F 四点共面.(2)记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1,四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2,求V 1V 2的值.19.(12分)已知P 是圆C :x 2+y 2=12上一动点,过P 作x 轴的垂线,垂足为Q ,点M 满足PQ →=2PM →,记点M 的轨迹为E . (1)求E 的方程;(2)若A ,B 是E 上两点,且线段AB 的中点坐标为(−85,25),求|AB |的值.20.(12分)如图,这是某圆弧形山体隧道的示意图,其中底面AB 的长为16米,最大高度CD 的长为4米,以C 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程;(2)若某种汽车的宽约为2.5米,高约为1.6米,车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全,同时车顶不能与隧道有剐蹭,则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车?(将汽车看作长方体)21.(12分)如图,在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,△ABC 是边长为2的等边三角形,M ,Q 分别为AC ,A 1B 1的中点,且MQ ⊥AB . (1)证明:MC 1⊥AB .(2)若BB 1=4,MQ =√15,求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值.22.(12分)如图,已知F 1(−√10,0),F 2(√10,0)分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,P(−2√103,√63)是E 上一点. (1)求E 的方程.(2)过直线l :x =1上任意一点T 作直线l 1,l 1与E 的左、右两支相交于A ,B 两点.直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2(与l 1不重合),l 2与E 的左、右两支相交于C ,D 两点.证明:∠ABD =∠ACD .2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线l :2x +√3y −1=0的斜率为( ) A .−2√33B .−√32C .2√33D .√32解:将l 的方程转化为y =−2√33x +√33,则l 的斜率为−2√33. 故选:A .2.若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m =0表示一个圆,则m 的取值范围是( ) A .(﹣∞,﹣5)B .(﹣5,+∞)C .(﹣∞,5)D .(5,+∞)解:因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m =0表示一个圆,所以42+22+4m >0,解得m >﹣5. 故选:B .3.已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 29+y 25=1的左、右焦点,P 是椭圆E 上一点,若|PF 1|=2,则|PF 2|=( )A .1B .2C .3D .4解:椭圆E :x 29+y 25=1,可知a =3,因为P 是椭圆E 上一点,所以|PF 1|+|PF 2|=2a =6,所以|PF 2|=6﹣|PF 1|=4. 故选:D .4.如图,在三棱锥P ﹣ABC 中,P A ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,且PD →=3DC →,则BD →在AC →方向上的投影向量为( )A .34AC →B .−23AC →C .−34AC →D .23AC →解:因为P A ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,所以P A ⊥AB ,P A ⊥AC ,故以A 为坐标原点,AB ,AC ,P A 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,令AB =a ,AC =b ,P A =c ,则A (0,0,0),B (a ,0,0),C (0,b ,0),D(0,34b ,14c), 则AC →=(0,b ,0),BD →=(−a ,34b ,14c),所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →.故选:A .5.若圆O 1:x 2+y 2=25与圆O 2:(x ﹣7)2+y 2=r 2(r >0)相交,则r 的取值范围为( ) A .[2,10]B .(2,10)C .[2,12]D .(2,12)解:∵O 1与O 2相交, ∴|r ﹣5|<|O 1O 2|<|r +5|, 又|O 1O 2|=7,∴|r ﹣5|<7<|r +5|,解得2<r <12. 故选:D .6.若A (2,2,1),B (0,0,1),C (2,0,0),则点A 到直线BC 的距离为( ) A .2√305B .√305C .2√55D .√55解:由题意得,BA →=(2,2,0),BC →=(2,0,−1),则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5,则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305. 故选:A .7.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线,垂足为A (第一象限),并与双曲线C 交于点B ,若FB →=BA →,则l 的斜率为( )A .2B .1C .12D .−74解:由已知直线l 的方程为y =b ax ,即bx ﹣ay =0,点F (c ,0),则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ,因为FB →=BA →,所以B 为线段AF 的中点,则|BF|=b2, 设双曲线C 的左焦点为F 1,则|BF 1|=2a +b2, 在△BFF 1中,由余弦定理可得:cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac, 又cos ∠BFF 1=bc ,所以a =b ,故l 的斜率为1, 故选:B .8.已知实数x ,y 满足2x ﹣y +2=0,则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为( ) A .3√13B .10+√13C .108D .117解:√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2, 该式表示直线l :2x ﹣y +2=0上一点到P (9,0),Q (2,2)两点距离之和的最小值. 而P ,Q 两点在l 的同一侧,设点P 关于l 对称的点P ′(x 0,y 0),则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0,解得{x 0=−7y 0=8,∴P ′(﹣7,8),故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13. 故选:A .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如图,在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,则( )A .BC →−A 1A →=AD 1→B .BC →−A 1A →=2AD 1→C .EF →=12A 1C 1→D .EF →=A 1C 1→解:BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→,A 正确,B 不正确,又因为EF →=12A 1C 1→,故C 正确,D 不正确. 故选:AC .10.在同一直角坐标系中,直线l :y =mx +1与曲线C :x 2+my 2=1的位置可能是( )A .B .C .D .解:A .取m =1,则直线l :y =x +1与曲线C :x 2+y 2=1满足图中的位置关系,因此A 正确; B .联立{y =mx +1x 2+my 2=1,化为(1+m 3)x 2+2m 2x +m ﹣1=0,若直线l :y =mx +1与曲线C :x 2+my 2=1有交点,则Δ=4m 4﹣4(1+m 3)(m ﹣1)=m 3﹣m +1>0. 由曲线C :x 2+my 2=1结合图形,则0<1m <1,∴m >1,满足Δ>0,因此B 正确;C .由曲线C :x 2+my 2=1结合图形,则0<1m <1,∴m >1,直线l 与椭圆应该有交点,因此C 不正确;D .由图可知:直线l 经过点(1,0),则m =﹣1,联立{y =−x +1x 2−y 2=1,化为x =1,y =0,即直线l 与双曲线的交点为(1,0),因此D 正确. 故选:ABD .11.已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 是椭圆E 上一点,且|PF 1|=43|PF 2|,cos ∠PF 2F 1=35,则下列结论正确的有( ) A .椭圆E 的离心率为57B .椭圆E 的离心率为45C .PF 1⊥PF 2D .若△PF 1F 2内切圆的半径为2,则椭圆E 的焦距为10解:A 、B 选项,由椭圆的定义得,|PF 1|+|PF 2|=2a ,已知|PF 1|=43|PF 2|,解得|PF 1|=87a ,|PF 2|=67a ,由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35, 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2=0,即(a +5c )(5a ﹣7c )=0,则a =﹣5c (舍去)或a =75c ,即c a=57,故椭圆E 的离心率为57,故A 正确,B 不正确;C 选项,由a =75c ,得|F 1F 2|=2c =107a ,则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,故PF 1⊥PF 2,故C 正确; D 选项,由PF 1⊥PF 2,△PF 1F 2内切圆的半径为2,得2c =2a ﹣4,因为a =75c ,所以c =5,即椭圆E 的焦距为10,故D 正确. 故选:ACD .12.苏州博物馆(图一)是地方历史艺术性博物馆,建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体,其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱,下层底面ABCD 是边长为4的正方形,E ,F ,G ,H 在底面ABCD 的投影分别为AD ,AB ,BC ,CD 的中点,若AF =√5,则下列结论正确的有( )A .该几何体的表面积为32+8√2+4√6B .将该几何体放置在一个球体内,则该球体体积的最小值为36πC .直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D .点M 到平面BFG 的距离为√63解:设F ,G 在平面ABCD 的投影分别为AB ,BC 的中点R ,S ,由于AF =√5,AB =4,所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1, 由于上、下两层等高,所以P 到平面ABCD 的距离为2,又FG =RS =12AC =2√2,由于GS =FR =1,BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ,所以△AFB ≌△BGC ,同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ,△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF , 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3,则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2,△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6,故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6,故A 正确; 将该几何体放置在一个球体内,要使该球体体积最小,则球心在该几何体上下底面中心所连直线上, 且A 、B 、C 、D ,N 、P 、Q 、M 均在球面上,设球心到下底面ABCD 的距离为x , 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形,四边形ABCD 为边长为4的正方形, 则其对角线长度分别为4,4√2,则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2,解得x =0,则该球体的半径为2√2,体积为4π3×(2√2)3=64√2π3,故B 错误;以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C (4,4,0),P (2,0,2),B (4,0,0),F (2,0,1),G (4,2,1),M (2,4,2),CP →=(−2,−4,2),BF →=(﹣2,0,1),BG →=(0,2,1),BM →=(﹣2,4,2), 平面ABF 的一个法向量为m →=(0,1,0),则cos <CP →,m →>=−42√6=−√63,设直线CP 与平面ABF 所成角为θ,则sinθ=|cos <CP →,m →>|=√63,故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63,故C 正确; 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1,y 1,z 1),则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0,令x 1=1,得n →=(1,﹣1,2), 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63,故D 正确. 故选:ACD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点N 是点M (3,3,4)在坐标平面Oxz 内的射影,则|ON →|= 5 . 解:由题可知,N (3,0,4),则ON →=(3,0,4),∴|ON →|=√32+42=5. 故答案为:5.14.若双曲线C :x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等,则m = 1 .解:由题可知(m +1)+(m 2﹣m ﹣2)=0,解得m =1或m =﹣1(舍去),∴m =1. 故答案为:1.15.过点M(√3,0)作圆C :x 2+(y ﹣1)2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 √3x −y =0 .解:圆C :x 2+(y ﹣1)2=1①,则圆心C (0,1), 以C (0,1),M (√3,0)为直径的圆的方程为:(x −√32)2+(y −12)2=1②,①﹣②可得,√3x −y =0,故直线AB 的方程为√3x −y =0. 故答案为:√3x −y =0.16.如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AM =2MB ,N 为DD 1的中点,记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ,则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111.解:设I ∩AA 1=P ,连接NP ,MP ,直线NP 即为直线l .易证得MP ∥CN ,由AM =2MB ,N 为DD 1的中点,得AP =13AA 1,以D 为坐标原点,DA .DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB =6,则得:N (0,0,3),P (6,0,2),A (6,0,0),C 1(0,6,6), NP →=(6,0,﹣1),AC 1→=(﹣6,6,6), 所以得:|cos <NP →,AC 1→>|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111,故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111.故答案为:7√111111. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知直线l 1:x +ay ﹣a +2=0与l 2:2ax +(a +3)y +a ﹣5=0. (1)当a =1时,求直线l 1与l 2的交点坐标; (2)若l 1∥l 2,求a 的值. 解:(1)因为a =1,所以l 1:x +y +1=0,l 2:2x +4y ﹣4=0,即x +2y ﹣2=0, 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3,故直线l 1与l 2的交点坐标为(﹣4,3).(2)因为l 1∥l 2,所以2a 2﹣a ﹣3=0,解得a =﹣1或a =32, 当a =﹣1时,l 1与l 2重合,不符合题意. 当a =32时,l 1与l 2不重合,符合题意. 故a =32.18.(12分)如图,在正四棱锥P ﹣ABCD 中,E ,F 分别为P A ,PC 的中点,DG →=2GP →. (1)证明:B ,E ,G ,F 四点共面.(2)记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1,四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2,求V 1V 2的值.解:(1)证明:因为E ,F 分别为P A ,PC 的中点, 所以BE →=12BA →+12BP →,BF →=12BC →+12BP →, 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →, 故B ,E ,G ,F 四点共面;(2)由正四棱锥的对称性知,V 1=2V E ﹣PBG ,V 2=2V A ﹣PBD , 设点E 到平面PBG 的距离为d 1,点A 到平面PBD 的距离为d 2,由E 是P A 的中点得d 2=2d 1, 由DG →=2GP →得S △PBD =3S △PBG ,所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16.19.(12分)已知P 是圆C :x 2+y 2=12上一动点,过P 作x 轴的垂线,垂足为Q ,点M 满足PQ →=2PM →,记点M 的轨迹为E . (1)求E 的方程;(2)若A ,B 是E 上两点,且线段AB 的中点坐标为(−85,25),求|AB |的值. 解:(1)设M (x ,y ),则Q (x ,0), 因为PQ →=2PM →,则P (x ,2y ), 因为P 在圆C 上,所以x 2+(2y )2=12, 故E 的方程为x 212+y 23=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若A ,B 是E 上两点,则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1, 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0,即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2).因为线段AB 的中点坐标为(−85,25),所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1,所以k AB =1,则直线AB 的方程为y =x +2.联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1,整理得5x 2+16x +4=0,其中Δ>0, 则x 1+x 2=−165,x 1x 2=45, |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225. 20.(12分)如图,这是某圆弧形山体隧道的示意图,其中底面AB 的长为16米,最大高度CD 的长为4米,以C 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程;(2)若某种汽车的宽约为2.5米,高约为1.6米,车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全,同时车顶不能与隧道有剐蹭,则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车?(将汽车看作长方体)解:(1)由圆的对称性可知,该圆弧所在圆的圆心在y轴上,由图形可得A(﹣8,0),B(8,0),D(0,4),设该圆的半径为r米,则r2=82+(r﹣4)2,解得r=10,圆心为(0,﹣6),故该圆弧所在圆的方程为x2+(y+6)2=100.(2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米,则(d2)2+(6+1.6)2=102,解得d=2√42.24.若并排通过4辆该种汽车,则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5<2√42.24.隧道能并排通过4辆该种汽车;若并排通过5辆该种汽车,则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5>2√42.24,故该隧道不能并排通过5辆该种汽车.综上所述,该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.21.(12分)如图,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是边长为2的等边三角形,M,Q分别为AC,A1B1的中点,且MQ⊥AB.(1)证明:MC1⊥AB.(2)若BB1=4,MQ=√15,求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值.(1)证明:因为△A1B1C1是等边三角形,Q为A1B1的中点,所以C1Q⊥A1B1,又AB∥A1B1,所以C1Q⊥AB,因为MQ⊥AB,C1Q∩MQ=Q,所以AB⊥平面MC1Q,又MC1⊂平面C1MQ,所以MC1⊥AB;(2)解:取AB靠近点A的四等分点N,连接MN,NQ,易证得MN∥C1Q,则MN⊥AB,且MN=√32,由BB 1=4,得QN =3√72,因为MQ =√15,所以MQ 2+MN 2=QN 2, 即MQ ⊥MN ,又MQ ⊥AB ,从而MQ ⊥平面ABC ,以M 为坐标原点,MN 所在直线为x 轴,MQ 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则M (0,0,0),B 1(0,1,√15),C 1(−√3,0,√15), 则MB 1→=(0,1,√15),MC 1→=(−√3,0,√15), 设平面MB 1C 1的法向量为m →=(x ,y ,z ),则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0,令z =1,得m →=(√5,−√15,1),由图可知,n →=(0,1,0)是平面MC 1Q 的一个法向量,设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ,则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357.22.(12分)如图,已知F 1(−√10,0),F 2(√10,0)分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,P(−2√103,√63)是E 上一点. (1)求E 的方程.(2)过直线l :x =1上任意一点T 作直线l 1,l 1与E 的左、右两支相交于A ,B 两点.直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2(与l 1不重合),l 2与E 的左、右两支相交于C ,D 两点.证明:∠ABD =∠ACD .解:(1)∵F 1(−√10,0),F 2(√10,0)分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,P(−2√103,√63)是E 上一点,∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1,解得a 2=4,b 2=6,∴E 的方程为x 24−y 26=1.(2)证明:设T (1,m ),由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0, 设直线l 的方程为y ﹣m =k (x ﹣1),则直线l 2的方程为y ﹣m =﹣k (x ﹣1), 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4), 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1,整理得(3﹣2k 2)x 2+(4k 2﹣4km )x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12=0,Δ=(4k 2﹣4km )2﹣(12﹣8k 2)(﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12)=﹣72k 2﹣48km +24m 2+144>0, 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3,x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3,|AT |=√1+k 2|x 1−1|,|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|,|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|,|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|, ∴|AT ||BT |=(1+k 2)|(x 1﹣1)(x 2﹣1)|=(1+k 2)|x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1| =(1+k 2)|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|=(1+k 2)|2m 2+92k 2−3|,同理,|CT ||DT |=(1+k 2)|2m 2+92k 2−3,∴|AT||DT|=|CT||BT|,∴△ACT ∽△DBT ,∴∠ABD =∠ACD .。

2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市高二(下)期末考试数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数,则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图,如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计,那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ,若系数b ,c ,d 可以发生改变,则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ,c4.某地根据以往数据,得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29,当地人小王16岁时身高167cm ,他父亲身高170cm ,则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ,在x =−1时有极大值6e −1,则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相,若甲不站最中间的位置,则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元,她每天能够售出的工艺品(单位:件)均值为50,方差为1.44,则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1,A 2,A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16,则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题:本题共3小题,共18分。

2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为( ) A .(﹣1,0),(1,0)B .(0,﹣1),(0,1)C .(−√3,0),(√3,0)D .(0,−√3),(0,√3) 2.抛物线y 2=x 的准线方程是( )A .x =−12B .x =−14C .y =−12D .y =−143.直线3x +√3y +1=0的倾斜角为( )A .150°B .120°C .60°D .30°4.已知点P 与A (0,2),B (﹣1,0)共线,则点P 的坐标可以为( )A .(1,﹣1)B .(1,4)C .(−12,−1)D .(﹣2,1) 5.已知P 为椭圆C :x 24+y 2b 2=1上的动点,A (﹣1,0),B (1,0),且|P A |+|PB |=4,则b 2=( ) A .1 B .2 C .3 D .46.已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ,则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点P (﹣2,3,1)到x 轴的距离为( )A .2B .3C .√5D .√10 8.已知双曲线C :x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1,A 2,右焦点为F ,以A 1F 为直径作圆,与双曲线C 的右支交于两点P ,Q .若线段PF 的垂直平分线过A 2,则b 2的数值为( )A .3B .4C .8D .910.如图,已知菱形ABCD 的边长为2,且∠A =60°,E ,F 分别为棱AB ,DC 中点.将△BCF 和△ADE 分别沿BF ,DE 折叠,若满足AC ∥平面DEBF ,则线段AC 的取值范围为( )A .[√3,2√3)B .[√3,2√3]C .[2,2√3)D .[2,2√3]二、填空题共5小题,每小题4分,共20分。

湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

高二数学试卷(答案在最后)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:人教A 版必修第一,二册占60%,选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =,{}2,4A =,{}1,4,5B =,则()UB A ⋂=ð()A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =,{}2,4A =,所以{}U 1,3,5A =ð,又因为{}1,4,5B =,(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选:D.2.已知复数1i z a =+(0a >),且3z =,则a =()A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+,3z =3=,解得a =±,因为0a >,所以a =故选:D,3.已知1sin 3α=,π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值,再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选:A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=,且当0x ≤时,()22x af x =+,则()1f =()A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数,再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=,所以()f x 是奇函数,且()00f =,故0202a+=,解得2a =-,故当0x ≤时,()222x f x =-+,由奇函数性质得()()11f f =--,而()121222f --=-+=-,故()()112f f =--=,故A 正确.故选:A5.在正方体1111ABCD A B C D -中,二面角1B AC B --的正切值为()A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ,连接1,MB MB ,可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角,求解即可.【详解】取AC 的中点M ,连接1,MB MB ,由正方体1111ABCD A B C D -,可得11,AB B C AB BC ==,所以1,B M AC BM AC ⊥⊥,所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,可得AC =,所以BM =在1Rt B B M 中,11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为:D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4,端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动,则线段AB 的中点P的轨迹方程为()A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标,找到动点P 和动点A 坐标的关系,再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ,11(,)A x y ,由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==,所以1123,24x x y y =-=-,故(23,2)A x y --4,因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动,所以()()222312424x y --+--=,化简得()()22231x y -+-=,故B 正确.故选:B7.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中,π2ABC ∠=,1AB BC AA ==,,,D E F 分别是所在棱的中点,则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中,因为π2ABC ∠=,所以AB BC ⊥,因为侧棱垂直于底面,所以1AA ⊥面ABC ,如图,以B 为原点建立空间直角坐标系,设12AB BC AA ===,因为,,D E F 分别是所在棱的中点,所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ,(1,1,2)DE =-- ,故110BF DE ⋅=-+=,即BF DE ⊥得证,在从左往右第二个图中,我们建立同样的空间直角坐标系,此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ,所以(0,1,1)BF = ,(0,1,2)DE =-,故121BF DE ⋅=-=-,所以,BF DE 不垂直,在从左往右第三个图中,我们建立同样的空间直角坐标系,此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ,故(1,1,2)BF = ,(0,1,0)DE = ,即1BF DE ⋅=,所以,BF DE 不垂直,则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个,故B 正确.故选:B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ,与y 轴正半轴交于点B ,O 为坐标原点,则22OA OB+的最小值为()A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <,分别解出,A B 两点的坐标,表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在.设直线的斜率为(0)k k <,直线l 的方程为1(x 1)y k -=-,则1(1,0),(0,1)A B k k--,所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=,当且仅当22212,k k k k-=-=,即1k =-时,取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选:B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得分分,有选错的得0分.9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ;求得对称轴判断B ;求得对称中心判断C ;求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以的最小正周期为2ππ2T ==,故A 正确;由ππ2π,Z 42x k k +=+∈,可得ππ,Z 28k x k =+∈,所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈,当1k =时,图象的关于π85x =对称,故B 正确;由Z 2ππ,4k x k =∈+,可得ππ,Z 28k x k =-∈,所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈,当0k =时,图象的关于点()π8,0-对称,故C 不正确;由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭,故()f x 的值域为[]1,1-,故D 正确.故选:ABD.10.若数据1x ,2x ,3x 和数据4x ,5x ,6x 的平均数、方差、极差均相等,则()A.数据1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 与数据1x ,2x ,3x 的平均数相等B.数据1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 与数据1x ,2x ,3x 的方差相等C.数据1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 与数据1x ,2x ,3x 的极差相等D.数据1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 与数据1x ,2x ,3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数,方差,极差,中位数的计算方法和公式计算,通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件,来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ,数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等,A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ,数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ,其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等,B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ,数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ,其极差是这六个数中的最大值减去最小值,由于前面两组数据的极差相等,所以组合后数据的极差依然是R ,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等,C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤,中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤,中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后,中位数不一定是2x ,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等,D 选项错误.故选:ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形,1AA ⊥平面ABCD ,13AA =,π3DAB ∠=,点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++,其中λ,μ,[]0,1t ∈,则()A.当P 为底面1111D C B A 的中心时,53t λμ++=B.当1t λμ++=时,AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时,AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时,1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意,利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ,当P 为底面1111D C B A 的中心时,由1AP AB AD t AA λμ=++ ,则11,,122t λμ===故2t λμ++=,故A 错误;对于B ,当1t λμ++=时,()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===,取最小值为2,故B 正确;对于C ,当1t λμ++=时,1AP AB AD t AA λμ=++,则点P 在1A BD 及内部,而AP是以A 为球心,以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分,当=1=0t λμ=,时,=6AP ,当=0=10t λμ=,,时,=6AP ,可得1A P最大值为6,故C 正确;对于D ,221t λμλμ++==,()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ,而11=A P A A AP +,所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ,则16A P = 为定值,故D 正确.故答案选:BCD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量()1,2a =- ,(),4b m =-.若()a ab ⊥+ ,则m =________.【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0,计算即可.【详解】()1,2a b m +=--.因为()a ab ⊥+ ,所以()1220m ---⨯=,解得3m =-.故答案为:3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中,()0,4,0AB = ,()13,1,1CB =- ,()112,0,0A D =-,则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB,根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=,所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-,所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为:1914.已知函数()21xg x=-,若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点,则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=,可得()2g x=或()1g x a=--,函数有三个零点,则需方程()1g x a=--有两个解,则=与1y a=--的图象有两个交点,数形结合可求解.【详解】令()0f x=,可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦,所以()()()[2][1]0g x g x a-++=,所以()2g x=或()1g x a=--,由()2g x=,又()21xg x=-,可得212x-=,解得21x=-或23x=,方程21x=-无解,方程23x=有一解,故()2g x=有一解,要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点,则()1g x a=--有两解,即=与1y a=--的图象有两个交点,作出函数=的图象的示图如下:由图象可得011a<--<,解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为:(2,1)--.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos c b a B +=.(1)若π2A =,求B ;(2)若a =1b =,求ABC V 的面积.【答案】(1)π4(2)12【解析】【分析】(1)利用正弦定理化边为角,再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-,代入π2A =求解可得;(2)由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =,由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =,从而得π4B =,再利用余弦定理求边c ,由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=,所以由正弦定理得,sin sin 2sin cos C B A B +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得,所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ,由π2A =,则B 为锐角,且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝,所以π4B =.【小问2详解】由(1)知,()sin sin B A B =-,因为a =1b =,所以A B >,则0πA B <-<,π02B <<,故B A B =-,或πB A B A +-==(舍去).所以2A B =,又a =1b =,由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====,则cos 2B =,则π4B =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,则2122c =+-,化简得2210c c -+=,解得1c =,所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球,约定:第一局由甲、乙对打,丙轮空;每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打,负者下一局轮空,如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当,每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连续打四局比赛的概率;(2)求在前四局中甲轮空两局的概率;(3)求第四局甲轮空的概率.【答案】(1)18(2)14(3)38【解析】【分析】(1)由题意知甲前三局都要打胜,计算可得甲连续打四局比赛的概率;(2)甲轮空两局的情况为,第一局甲败,第二局轮空,第三局甲败,第四局轮空,计算即可;(3)分析可得甲第四轮空有两种情况:第1种情况,第一局甲败,第二局轮空,第三局甲败,第四局轮空,第2种情况,第一局甲胜,第二局甲胜,第三局甲败,第四局轮空,计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局,根据比赛规则可知甲前三局都要打胜,所以甲连续打四局比赛的概率311(28=;【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为,第一局甲败,第二局轮空,第三局甲败,第四局轮空,故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=;【小问3详解】甲第四轮空有两种情况:第1种情况,第一局甲败,第二局轮空,第三局甲败,第四局轮空,第2种情况,第一局甲胜,第二局甲胜,第三局甲败,第四局轮空,第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=;第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=;由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图,在几何体PABCD 中,PA ⊥平面ABC ,//PA DC ,AB AC ⊥,2PA AC AB DC ===,E ,F 分别为棱PB ,BC 的中点.(1)证明://EF 平面PAC .(2)证明:AB EF ⊥.(3)求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)6【解析】【分析】(1)构造线线平行,证明线面平行.(2)先证AB ⊥平面PACD ,得到AB PC ⊥,结合(1)中的结论,可得AB EF ⊥.(3)问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =,表示CP 的长,利用体积法求C 到平面PBD 的距离,则问题可解.【小问1详解】如图,连接CP .在BCP 中,E ,F 分别为棱PB ,BC 的中点,所以//EF CP ,,又EF ⊄平面PAC ,CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以PA AB ⊥,又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ,且PA AC A = ,所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ,所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ,所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ,所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等,设为θ.不妨设1CD =,则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中,PB =BD PD ==,所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合,且存在3个不同的元素a ,b ,c A Î,使得a b b c -=-,则称A 为“等差集”.(1)若集合{}1,3,5,9A =,B A ⊆,且B 是“等差集”,用列举法表示所有满足条件的B ;(2)若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”,求m 的值;(3)已知正整数3n ≥,证明:{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”.【答案】(1)答案见解析(2)2m =(3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据等差集的定义结合子集的定义求解即可;(2)根据等差集定义应用a b b c -=-,即2a c b +=逐个计算判断即可;(3)应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =,B A ⊆,存在3个不同的元素a ,b ,c B ∈,使得a b b c -=-,则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”,所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =,又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”,则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立,化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾,所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”.【点睛】方法点睛:解题方法是定义的理解,应用反证法设集合是等差集,再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ,2k 的直线1l ,2l ,若()120k k μμ=≠,则称直线1l ,2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线.(1)已知直线a :()0y kx k =≠,直线b :13y x k=-,试问是否存在点A ,使得直线a ,b 是()A K μ定积直线?请说明理由.(2)在OPM 中,O 为坐标原点,点P 与点M 均在第一象限,且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上.若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线,直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线,直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线,求点P 的坐标.(3)已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线,设点()0,0O 到直线m ,n 的距离分别为1d ,2d ,求12d d 的取值范围.【答案】(1)存在,理由见解析(2)()1,2(3)[)0,8【解析】【分析】(1)由定积直线的定义运算可求结论;(2)设直线OM 的斜率为()0λλ≠,则直线OP 的斜率为1λ,利用定积直线的定义可得01x λ=或1-,进而2003x x λ-=,计算即可;(3)设直线():42m y t x -=+,直线()4:42n y x t-=-+,其中0t ≠,计算得12d d =,利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ,使得a ,b 是()A K μ定积直线,理由如下:由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭,由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩,故存在点()0,0A ,使得a ,b 是()A K μ定积直线,且13μ=-.【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠,则直线OP 的斜率为1λ,直线PM 的斜率为2λ-.依题意得()2022x λλ⋅-=-,得2201x λ=,即01x λ=或1-.直线OM 的方程为y x λ=,因为点()200,3M x x -在直线OM 上,所以2003x x λ-=.因为点M 在第一象限,所以20031x x λ-==,解得02x =或2-(舍去),12λ=,()2,1M ,所以直线OP 的方程为12y x x λ==,直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+,由23y x y x =⎧⎨=-+⎩,得12x y =⎧⎨=⎩,即点P 的坐标为()1,2.【小问3详解】设直线():42m y t x -=+,直线()4:42n y xt-=-+,其中0t ≠,则12d d ===2216171725t t ++≥=,当且仅当2216t t =,即24t =时,等号成立,所以08≤<,即1208d d ≤<,故12d d 的取值范围为[)0,8.【点睛】思路点睛:理解新定义题型的含义,利用定积直线的定义进行计算求解,考查了运算求解能力,以及基本不等式的应用.。

黑龙江省哈尔滨师大附中2024-2025学年高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

黑龙江省哈尔滨师大附中2024-2025学年高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二(上)月考数学试卷(10月份)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知椭圆的方程为x23+y24=1,则该椭圆的焦点坐标为( )A. (0,±1)B. (0,±7)C. (±1,0)D. (±7,0)2.已知直线l:x+3my−2=0的倾斜角为π3,则实数m=( )A. −1B. −13C. 13D. 13.已知直线l的方程是(3a−1)x−(a−2)y−1=0,则对任意的实数a,直线l一定经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,若PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则此椭圆的离心率为( )A. 12B. 23C. 13D. 535.若直线y=x+b与曲线y=1−x2有公共点,则b的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−1,2]C. [−1,1]D. (−1,2)6.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当我们垂直地缩小一个圆时,得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,点A是椭圆C上的动点,点B是点A关于原点的对称点,若四边形AF1BF2的周长为12,则四边形AF1BF2面积的最大值为( )A. 45B. 25C. 235D. 357.已知圆C:(x+5)2+(y−12)2=9和两点A(0,m),B(0,−m)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则实数m的取值范围为( )A. [11,15]B. [10,16]C. [9,13]D. [8,12]8.已知A,B是圆x2+y2=4上的两个动点,且|AB|=22,点M(x0,y0)是线段AB的中点,则|x0+y0−4|的最大值为( )A. 12B. 62C. 6D. 32二、多选题:本题共3小题,共18分。

辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题(时间:120分钟,满分:150分)第I 卷(选择题)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在四面体中,已知点是的中点,记,则等于( )A. B.C. D.2.若平面的法向量为,直线的方向向量为,直线与平面的夹角为,则下列关系式成立的是( )A. B.C. D.3.若直线的一个法向量是,则该直线的倾斜角为( )A. B. C. D.4.已知空间向量,则向量在向量上的投影向量是( )A. B. C. D.5.设是的二面角内一点,是垂足,,则的长度为( )A.B.56.对于空间一点和不共线三点,且有,则( )A.四点共面B.四点共面ABCD E CD ,,AB a AC b AD c === BE 1122a b c -++ 1122a b c -+ 1122a b c -+ 1122a b c -++ αμ l vl αθcos v v μθμ⋅= cos v v μθμ⋅=sin v v μθμ⋅= sin v vμθμ⋅= AB )1a =- 30 60 120 150()()1,1,2,1,2,1a b =-=- a b ()1,1,1-555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭555,,636⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭P 120 l αβ--,,,PA PB A B αβ⊥⊥4,3PA PB ==AB O ,,A B C 2OP PA OB OC =-+ ,,,O A B C ,,,P A B CC.四点共面D.五点共面7.将正方形沿对角线折成直二面角,下列结论不正确的是()A.B.,所成角为C.为等边三角形D.与平面所成角为8.正方形的边长为12,其内有两点,点到边的距离分别为3,2,点到边的距离也分别是3和2.如图,现将正方形卷成一个圆柱,使得和重合.则此时两点间的距离为( )二、多项选择题:体题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的按部分得分,有选错的得0分.9.下列说法中,正确的有( )A.直线必过定点B.方程是直线的一般式方程C.直线的斜率为D.点到直线的距离为110.已知空间单位向量两两垂直,则下列结论正确的是( )A.向量与共线B.问量C.可以构成空间的一个基底,,,O P B C ,,,,O P A B C ABCD BD AC BD⊥AB CD 60︒ADC V AB BCD 60︒11ABB A ,P Q P 111,AA A B Q 1,BB AB AB 11A B ,P Q ()32y ax a a =-+∈R ()3,20Ax By C ++=10x ++=()5,3-20y +=,,i j k i j + k j - i j k ++ {},,i j i j k +-D.向量和11.如图,已知正六棱柱的底面边长为2,所有顶点均在球的球面上,则下列说法错误的是( )A.直线与直线异面B.若是侧棱上的动点,则C.直线与平面D.球的表面积为第II 卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知点关于直线对称的点是,则直线在轴上的截距是__________.13.若三条直线相交于同一点,则点到原点的距离的最小值为__________.14.已知正三棱柱的底面边长为是其表面上的动点,该棱柱内切球的一条直径是,则的取值范围是__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线的方程:(1)过定点;(2)斜率为.16.(本小题满分15分)如图,在四面体中,面是的中点,是i j k ++ k ABCDEF A B C D E F ''''-''O DE 'AF 'M CC 'AM MD +'AF 'DFE 'O 18π()1,2A -y kx b =+()1,6B --y kx b =+x 2,3,100y x x y mx ny =+=++=(),m n ABC A B C '-''P MN PM PN ⋅ l l ()3,4A -16ABCD AD ⊥,2,BCD AD M =AD P的中点,点在棱上,且.请建立适当的空间直角坐标系,证明:面.17.(本小题满分15分)如图所示,平行六面体中.(1)用向量表示向量,并求;(2)求18.(本小题满分17分)如图,在五棱锥中,平面是等腰三角形.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的大小.19.(本小题满分17分)如图,在三棱柱中,棱的中点分别为在平面内的射影为是边长为2的等边三角形,且,点在棱上运动(包括端点).请建立适当的空间直角坐标系,解答下列问题:BM Q AC3AQ QC=PQ∥BCD1111ABCD A B C D-111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA∠∠∠======1,,AB AD AA1BD1BD1cos,BD ACP ABCDE-PA⊥,ABCDE AB∥,CD AC∥,ED AE∥,45,24,BC ABC AB BC AE PAB∠====VPCD⊥PACPB PCD111ABC A B C-1,AC CC1,,D E CABC,D ABCV12AA=F11B C(1)若点为棱的中点,求点到平面的距离;(2)求锐二面角的余弦值的取值范围.F 11B C F BDE F BD E --滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题参考答案一、单选题1.A2.D3.B4.C5.D6.B7.D8.【答案】B【详解】解法一:如图建系设圆柱底面半径为,则,所以,则所以.解法二:如图,设过点且平行底面的截面圆心为,过点且平行底面的截面圆心为,设圆柱底面半径为,则,所以,则,.r 2π12r =6πr =33,3,,9ππQ P ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭PQ =P 1O Q 2O r 2π12r =6πr =121122222π,,63πO P O Q PQ PO O O O Q +===++222211221212||22PQ PO O O O Q r O O PO O Q∴=++=++⋅ 222266π36262cos 336,ππ3πPQ ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅=⋅+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.AD 10.BCD.11.【答案】AC【详解】对于A ,如图①,连接,则,所以,所以直线与直线共面,故A 错误;对于B ,将平面沿着翻折到与平面共面的位置,得到矩形,如图②所示.因为底面边长为,所以则的最小值为,故B 正确;对于C ,以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图①所示的空间直角坐标系,则,所以.设平面的法向量为,则,即,令,得,所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为,则,故C 错误;对于D ,如图③,设球的半径为,根据对称性可知,正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点处.,则,所以球的表面积,故D 正确.,AD A D ''AD ∥,A D A D ''''∥E F ''AD ∥E F ''DE 'AF 'ACC A ''CC 'CDD C ''ADD A ''2π2,3ABC ∠=AC =AM MD +'AD =='F ,,FA FD FF 'x y z ()(()()(2,0,0,,0,0,0,0,,A F F D E '-'(()(,0,,AF FD FE =''=-=- DFE '(),,m x y z = 00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩ 00y x =⎧⎪⎨-++=⎪⎩1z =x =DFE ')m = AF 'DFE 'θ1sin 3θO R 12O O 1122,O C O O ==22222211922R OC O C O O ==+=+=O 294π4π18π2S R ==⨯=12.13.【答案】【详解】由解得把代入可得,所以,所以点到原点的距离当时等号成立,此时.所以点到原点的距离的最小值为14.【答案】【详解】由题意知内切球的半径为1,设球心为,则.因为.四、解答题15.【答案】(1)或.(2)或.【详解】(1)由题意知直线的斜率存在,设为则直线的方程为,它在轴,轴上的截距分别是,由已知,得,解得或.故直线的方程为或.(2)设直线在轴上的截距为,则直线的方程是,它在轴上的截距是,8-2,3,y x x y =⎧⎨+=⎩1,2.x y =⎧⎨=⎩()1,240mx ny ++=2100m n ++=102m n =--(),m n d ==4n =-2m =-(),m n []0,4O ()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+ ()2OP PO OM ON OM ON =+⋅++⋅ 2||1PO =- []0,4PM PN ⋅∈ 2360x y +-=83120x y ++=660x y -+=660x y --=l kl ()34y k x =++x y 43,34k k--+()43436k k ⎛⎫+⨯+=± ⎪⎝⎭123k =-283k =-l 2360x y +-=83120x y ++=l y b l 16y x b =+x 6b -由已知,得,所以.所以直线的方程为或.16.解法一:以为坐标原点,所在直线为z 轴,线段的延长线为y 轴,建立如图所示空间直角坐标系,设,由题意得,因为,所以即即所以,所以又因为面BCD 的一个法向量为所以所以又因为面所以面.解法二:66b b -⋅=1b =±l 660x y -+=660x y --=D DA BD 2BD a =()()()10,2,0,0,0,2,0,0,1,0,,2B a A M P a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3AQ QC =34AQ AC = ()()3,,2,,24Q Q Q x y z x y -=-331,,442Q Q Q x x y y z ===331,,442Q x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭33,,044PQ x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄BCDPQ ∥BCD取的中点,连接,因为为BM 的中点,所以,所以平面,过作,交BC 于以为坐标原点,的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.因为为中点,设则设点的坐标为.因为,所以.因为为的中点,故,又为的中点,故,所以又平面BCD 的一个法向量为,故,所以又平面BCD ,所以平面BC D.17.【答案】(1)2【详解】(1),BD O OP P OP ∥MD OP ⊥BCD O OE BD ⊥,E O ,,OE OD OP2,AD M =AD 2BD a=()()0,,2,0,,0A a B a -C ()00,,0x y 3AQ QC = 003131,,4442Q x a y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭M AD ()0,,1M a P BM 10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭00313,,0444PQ x a y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄PQ ∥111,BD AD AA AB BD =+-= 111BD AD AB AD AA AB =-=+-则,所以.(2)由空间向量的运算法则,可得,因为且,因为是正方形,所以,则.18.【答案】(1)见详解(2)【详解】(1)证明:在中,因为,所以,因此故,所以,即又平面,所以.又平面,且,所以平面.又平面,所以平面平面.(或者建系求法向量,证明法向量垂直,略)(2)由(1)知两两相互垂直,分别以的方向为轴、轴、轴正方向,建立()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅ 111412*********=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=1BD = AC AB AD =+ 11,2AB AD AA ===11ππ,23BAD BAA DAA ∠∠∠===ABCD AC = ()()221111BD AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB ⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅ 22ππππ11cos121cos 21cos 111cos 22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=111cos ,BD AC BD AC BD AC ⋅===⋅ π6ABC V 45,4,ABC BC AB ∠=== 2222cos458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= AC =222BC AC AB =+90BAC ∠= AB AC⊥PA ⊥,ABCDE AB ∥CD ,CD PA CD AC ⊥⊥,PA AC ⊂PAC PA AC A ⋂=CD ⊥PAC CDC PCD PCD ⊥PAC ,,AB AC AP ,,AB AC AP x y z如图所示的空间直角坐标系,由于是等腰三角形,所以.又,因此,.因为,所以四边形是直角梯形.因为,所以,因此,故,所以.因此.设是面的一个法向量,则,解得.取,得.又,设表示向量与平面的法向量所成的角,则,又因为,所以,因此直线与平面所成的角为.PAB V PA AB ==AC =()()0,0,0,A B ()(0,,0,0,C P AC ∥,ED CD AC ⊥ACDE 2,45,AE ABC AE ∠== ∥BC 135BAE ∠= 45CAE ∠= sin452CD AE =⋅== ()D (()0,,CP CD =-= (),,m x y z =PCD 0,0m CP m CD ⋅=⋅= 0,x y z ==1y =()0,1,1m =(BP =- θBP PCD m1cos 2m BP m BP θ⋅==⋅ π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=PB PCD π619.【答案】(1(2)解法一:连接,因为在平面内的射影为,所以平面,由于平面,所以,由于三角形是等边三角形,所以,以为原点,分别以的方向为轴、轴、轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系,则,因为所以又因为为中点,所以所以设面的一个法向量为则令,则所以所以点到平面的距离为(2)因为在棱上(包括端点)设12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥ABC BD AC ⊥BD ==1DC ==D 1,,DB DA DC x y z (())11,0,1,0,,0,2C C B E ⎛-- ⎝)11C B CB == 1B F 11B C 12F 12BF ⎛= ⎝ BDE ()111,,m x y z =1(0,,2BD ED ⎛== ⎝ 111000x BD m y ED m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 11z =1y =()m = F BDE BF m m ⋅== F 11B C ()111,01C F C B λλ= ……因为,所以设平面的法向量为,令所以,设锐二面角为,则令,所以,设则二次函数的开口向上,对称轴为,所以当时,该二次函数单调递增,所以当时,该二次函数有最小值,当时,该二次函数有最大值,,即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.解法二:(1)连接,因为在平面内的射影为,所以平面,由于平面,所以,)11C B = )1,,0C F λ=BDF ()222,,n x y z = 11,,0),DF DC C F λλ=+=+= 22220000DF n x y x DB n λ⎧⋅=++=⎪⇒⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2y =2z λ=-()m λ=- F BD E --θ1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥由于三角形是等边三角形,所以,又以为原点,分别以的方向为轴、轴、轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系,则,又,故,则设平面的法向量为,则,故可设,又,所以点到平面的距离为.(2)设,则,设平面的法向量为,则令,所以,所以,设锐二面角为,ABC ,BD AC BD ⊥==1DC ==D 1,,DCDB DCx yz (()()11,1,0,0,,2C C E B ⎛ ⎝()11C B CB ==-(11,2B F ⎛-- ⎝()1,,2DE DB ⎛== ⎝ BDE ()111,,m x y z =1111020m DE x z m DB ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ()m = 1,2BF ⎛=- ⎝ F BDE BF m m ⋅== ()()1111101,C F C B C B λλ=≤≤=- (()(11111DF DC C F DC C B λλλ=+=+=+-=- BDF ()222,,n x y z =22220000DF n x y y DB n λ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2x =2z λ=)n λ=F BD E --θ则令,所以,设则二次函数的开口向上,对称轴为,所以当时,该二次函数单调递增,所以当时,该二次函数有最小值,当时,该二次函数有最大值,,即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣。

南京市南师附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷及答案

南京市南师附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷及答案

南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人:高二数学备课组 审阅人:高二数学备课组一.选择题1.过两点()2,4-和()4,1-的直线在x 轴上的截距为( )A .145B .145-C .73D .73-2.过圆225x y +=上一点()2,1M --作圆的切线l ,则直线l 的方程为( ) A .230x y -+=B .250x y ++=C .250x y --=D .250x y +-=3.若k ∈R ,则“22k -<<”是“方程221362x y k k+=+-表示椭圆”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为( ) A .5B .3C .2D .15.设直线l 的方程为()sin 10x y θθ+-=∈R ,则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A .()0,πB .πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C .π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6.若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点,则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线.已知直线:430l x y m +-=为圆()()22:2716C x y -++=的3距离可相邻直线,则m 的取值范围是( )A .[]48,22-B .[]18,8--C .(][),4822,-∞-+∞D .(][),188,-∞--+∞7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线右支上的一点.若M 在以12F F 为直径的圆上,且12π5π,312MF F ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,则该双曲线离心率的取值范围为( )A .(B .)+∞C .()1D .)18.已知A ,B 分别是椭圆2214x y +=的左、右顶点,P 是椭圆在第一象限内一点.若2PBA PAB ∠=∠,则PA PB的值是( )A .5BC .5D .5二.多选题9.已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 为椭圆C 上一点.则下列说法错误的是( )A .椭圆CB .12PF F △的周长为5C .1290F PF ∠<︒D .113PF ≤≤10.已知()0,2M ,()0,3N ,在下列方程表示的曲线上,存在点P 满足2MP NP =的有( ) A .370x -=B .4320x y +-=C .221x y +=D .2222140x y x y +-+-=11.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现:同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.已知定点()1,0F c -,()2,0F c ,动点P 满足212PF PF a ⋅=(a ,0c >且均为常数).设动点P 的轨迹为曲线E .则下列说法正确的是( ) A .曲线C 既是轴对称图形,又是中心对称图形B .12PF PF +的最小值为2aC .曲线E 与x 轴可能有三个交点D .2ca ≥时,曲线E 上存在Q 点,使得12QF QF ⊥ 三.填空题12.与双曲线2212x y -=有公共渐近线,且过点的双曲线的方程为______.13.若直线l 过抛物线24y x =的焦点.与抛物线交于A ,B 两点.且线段AB 中点的横坐标为2.则弦AB 的长为______.14.已知点()5,4P ,点F 为抛物线2:8C y x =的焦点.若以点P ,F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点,则椭圆的离心率的最大值为______.四.解答题15.已知直线1:220l ax y +-=与直线2:220l x ay +-=.(1)当12l l ⊥时,求a 的值;(2)当12l l ∥时,求1l 与2l 之间的距离.16.已知点()1,2A ,()1,2B --,点P 满足4PA PB ⋅=. (1)求点P 的轨迹Γ的方程;(2)过点()2,0Q -分别作直线MN ,RS ,交曲线Γ于M ,N ,R ,S 四点,且MN RS ⊥,求四边形MRNS 面积的最大值与最小值.17.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的一个焦点坐标为()2,0,离心率为23.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)设动圆22211:C x y t +=与椭圆E 交于A ,B ,C ,D 四点.动圆()222222212:C x y t t t +=≠与椭圆E 交于A ',B ',C ',D '四点.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等,证明:2212t t +为定值.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>和抛物线()2:20E y px p =>.从两条曲线上各取两个点,将其坐标混合记录如下:(1P -,(22,P,)31P -,()49,3P .(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程;(2)设m 为实数,已知点()3,0T -,直线3x my =+与抛物线E 交于A ,B 两点.记直线TA ,TB 的斜率分别为1k ,2k ,判断2121m k k +是否为定值,并说明理由. 19.设a 为实数,点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上. (1)求双曲线C 的方程; (2)过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ,N ,在线段MN 上取异于点M ,N 的点H ,满足PM MHPN HN=. (ⅰ)求斜率k 的取值范围;(ⅱ)证明:点H 恒在一条定直线上.南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人:高二数学备课组 审阅人:高二数学备课组一.选择题1.【答案】A【解析】直线的斜率()415246k --==---,∴直线的方程为()5426y x -=-+,即5763y x =-+, ∴直线在x 轴上的截距为145,故选A . 2.【答案】B【解析】00525xx yy x y +=⇒--=,故选B . 3.【答案】B【解析】方程221362x y k k +=+-表示椭圆3602021362k k k k k+>⎧⎪⇒->⇒-<<-⎨⎪+≠-⎩或12k -<<,故选B . 4.【答案】C【解析】设点2,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭,由MO =()2220054y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭, ∴24y =或220y =-(舍去),即214y x ==, ∴M 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离()112d =--=,根据抛物线定义得选项C .5.【答案】C【解析】当sin 0θ=时,则直线的斜率不存在,即直线的倾斜角为π2, 当sin 0θ≠时,则直线的斜率(][)1,11,sin k θ=-∈-∞-+∞,即直线倾斜角为πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦, 综上所述,直线的倾斜角的范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选C . 6.【答案】A【解析】圆C 的半径为4,直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点, 故圆心()2,7C -到直线l 的距离7d ≤,即()423775m⨯+⨯--≤,解得[]48,22m ∈-,故选A .7.【答案】D【解析】设21MF F θ∠=,则12sin MF c θ=,22cos MF c θ=, 根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a θθ-=-=,1π4c aθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,π5π,312θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故πππ,4126θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1c e a =<,故选D . 8.【答案】C【法一】由题意知()2,0A -,()2,0B ,设()00,P x y , 直线P A ,PB 的斜率分别为1k ,2k ,则1214k k =-, 由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB∠==∠∠, 又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB∠∠=∠=-∠,则122121k k k -=-, 联立解得2119k =,即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB -∠=∠=∠,所以cos PAB ∠=,即5PA PB =, 【法二】设()00,P x y ,则00tan 2y PAB x ∠=+,00tan 2y PBA x ∠=--, 0000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x +∠=∠⇒-=∠=∠=⇒=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭,20144169y =5PAPB==二.多选题9.【答案】AB对于选项A :由题意可知2a =,1c ===,∴离心率12c e a ==,故选项A 错误, 对于选项B :由椭圆的定义1224PF PF a +==,1222F F c ==, ∴12PF F △的周长为426+=,故选项B 错误,对于选项C :当点P 为椭圆短轴端点时,12tan23F PF c b ∠==, 又∵120902F PF ∠︒<<︒,∴12302F PF∠=︒,即1260F PF ∠=︒, ∴1290F PF ∠<︒,故选项C 正确, 对于选项D :由椭圆的几何性质可知1a c PF a c -≤≤+,∴113PF ≤≤,故选项D 正确.10.【答案】BC【解析】()2254,39P x y x y ⎛⎫⇒=+-= ⎪⎝⎭对于A ,7233d R -=>=,所以直线与圆相离,不存在点P ; 对于B ,5232553d R -==<=,所以直线与圆相交,存在点P ; 对于C ,121252133C C R R ==+=+,所以两圆外切,存在点P ;对于D ,()()22121221116433x y C C R R -++=⇒=<-=-,所以两圆内含,不存在点P . 11.【答案】ACD【解析】212a PF PF =⋅==对于A ,用x -代x 得222x y c ++=y 轴对称,用y -代y 得222x y c ++=x 轴对称,用x -代x ,y -代y 得222x y c ++=所以曲线C 既是中心对称图形,又是轴对称图形,所以A 正确;对于B ,当0a >时,122PF PF a +≥=,当0a =时,显然P 与1F 或2F 重合,此时122PF PF c +=,所以B 错误; 对于C ,根据对称性可得,曲线E 与x 轴可能有三个交点,所以C 正确; 对于D ,若存在点P ,使得12PF PF ⊥,则12PF PF ⊥,因为()1,PF c x y =---,()2,PF c x y =--,所以222x y c +=,由222x y c ++=22c =222c a ≥,所以D 正确.三.填空题12.【答案】2212x y -= 【解析】设所求双曲线方程为()2202x y λλ-=≠,将点代入双曲线方程得121λ=-=-,故方程为2212x y -=.13.【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ,2x , 线段AB 中点的横坐标为2,则1222x x +=,故12426AB x x p =++=+=. 14.【答案】57【解析】由抛物线方程得()2,0F ,准线方程为2x =-, 又点()5,4P ,则25c PF ==,在抛物线上取点H ,过H 作HG 垂直直线2x =-,交直线2x =-于点G , 过P 作PM 垂直直线1x =-,交直线1x =-于点M ,由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=--=,故椭圆离心率2527c e a =≤.四.解答题15.【解析】(1)由12l l ⊥,则20a a +=,解得0a =.(2)由12l l ∥得22244a a ⎧=⎨-≠-⎩,解得1a =-,直线2l 的方程为220x y -+-=,即220x y -+=, 直线1l 的方程为220x y --=, 因此,1l 与2l 之间的距离为d ==. 16.【解析】(1)设(),P x y ,则()()41,21,2PA PB x y x y =⋅=--⋅----,故轨迹方程为229x y +=. (2)假设点O 到MN 的距离为m ,到RS 的距离为n,则12S MN RS == 因为MN RS ⊥,所以224m n +=,所以)204S m ==≤≤,所以S ⎡⎤∈⎣⎦,所以四边形MRNS 面积的最大值14,最小值17.【解析】(1) 222249253a b a b e ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪==⎩⎪⎩椭圆22:195x y E += (2)设()33,A x y ',矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 ∴331144x y x y =,即22221133x y x y=∵A ,A '均在椭圆上,∴22223113515199x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22139x x +=,222231135151599x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故()()()()()22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y +=+++=+=+++=为定值. 18.【解析】(1)将四个点带入抛物线方程解得12p =-,12,2,12,故抛物线E 方程为2y x =故(1P -,)31P -为椭圆上的点22222242186141a a b b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩椭圆C 方程22184x y += (2)设()12,A x x ,()22,B x y ,则1222123303x my y y m y my y y y x =++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩()()()121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y ++++=+=++=-为定值. 19.【解析】(1)因为点()2,3在双曲线C 上,所以22222312a a -=+,整理得42780a a +-=, 即()()22180a a -+=,解得21a =,则双曲线C 的方程为2213y x -=; (2)(ⅰ)易知直线l 的方程为112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,即112y kx k =+-, 联立2211213y kx k y x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去y 并整理得()()222132404k x k k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭, 设()11,M x y ,()22,N x y ,因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ,N , 所以关于x 的方程()()222132404kxk k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭有两个不同的正数根1x ,2x ,()()()()()()()()()22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎧⎛⎫-+--+> ⎪⎪⎧-+->⎝⎭⎪⎪⎪⎪--<⇒-->⎨⎨⎪⎪-<⎛⎫⎪⎪⎩---+> ⎪⎪⎝⎭⎩,解得k ∈⎝则斜率k的取值范围为⎝; (ⅱ)设()00,H x y ,由(ⅰ)得()()12222233k k k k x x k k --+=-=--,()222122221144416443343k k k k k k x x k k k ⎛⎫--+-+ ⎪-+⎝⎭===---, 因为1112x a ≥=>,2112x a ≥=>,()()01020x x x x --<, 又P ,M ,N ,H 在同一直线l 上,所以111222112122112122x x PM x PN x x x ---===---,0120MH x x HN x x -=-, 由PM MH PN HN=得0112202121x x x x x x --=--,即()()()()1202012121x x x x x x --=--, 化简得()()()1201212214x x x x x x x +-=-+,所以()()202222241621333k k k k k k x k k k --⎛⎫-+-=- ⎪---⎝⎭, 整理得()()()2202234162k k k x k k k k --+=-+--,解得0832kx k -=-,即003821x k x -=- 又点()00,H x y 在直线112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭上,所以()001136911223264k k y k x k k +⎛⎫=-+=+= ⎪--⎝⎭ 即00000386921386421x x y x x -+⋅-=--⋅-,故点H 恒在定直线3260x y --=上.。

2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.直线3x﹣4y+1=0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线x2=6y的焦点到准线的距离为()A.12B.1C.2D.33.在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A(4,﹣2,8)到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于()A.14B.12C.2D.44.在(2x+1x)3的展开式中,x的系数为()A.3B.6C.9D.12 5.正四面体ABCD中,AB与平面BCD所成角的正弦值为()A.√63B.√36C.√24D.√336.已知直线a,b和平面α,其中a⊄α,b⊂α,则“a∥b”是“a∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设A,B为双曲线E:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,M为双曲线E上一点,且△AMB为等腰三角形,顶角为120°,则双曲线E的一条渐近线方程是()A.y=x B.y=2x C.y=√2x D.y=√3x8.在正方体的8个顶点中任选3个,则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有()A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=3,BC=CC1=4,E为棱B1C1的中点,P为四边形BCC1B1内(含边界)的一个动点.且DP⊥BE,则动点P的轨迹长度为()A.5B.2√5C.4√2D.√1310.在直角坐标系xOy 内,圆C :(x ﹣2)2+(y ﹣2)2=1,若直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点,则实数m 的取值范围是( ) A .[−√2,√2]B .[−4−√2,−4+√2]C .[−2−√2,−2+√2]D .[−2+√2,2+√2]二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.过点A (2,﹣3)且与直线x +y +3=0平行的直线方程为 . 12.在(2x +1)4的展开式中,所有项的系数和等于 .(用数字作答)13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体(示意图如图所示),液体表面圆的半径分别为3,6,则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 .14.若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线,则实数m 的取值范围是 ;若此方程表示的曲线为椭圆,则实数m 的取值范围是 .15.如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB =2,E 为棱BB 1的中点,F 为棱CC 1(含端点)上的一个动点.给出下列四个结论:①存在符合条件的点F ,使得B 1F ∥平面A 1ED ; ②不存在符合条件的点F ,使得BF ⊥DE ; ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55; ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23,2].其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.(10分)从6男4女共10名志愿者中,选出3人参加社会实践活动.(1)共有多少种不同的选择方法?(2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女,且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作,求共有多少种不同的选派方法?17.(15分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BA⊥BC,BC=3,AB=AA1=4.(1)证明:直线AB1⊥平面A1BC;(2)求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值.18.(15分)已知⊙C经过点A(1,3)和B(5,1),且圆心C在直线x﹣y+1=0上.(1)求⊙C的方程;(2)设动直线l与⊙C相切于点M,点N(8,0).若点P在直线l上,且|PM|=|PN|,求动点P的轨迹方程.19.(15分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(√5,0),四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x﹣1)2+y2=25的圆心为M,P为此圆上一点.(1)求椭圆C的离心率;(2)记线段MP与椭圆C的交点为Q,求|PQ|的取值范围.20.(15分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥平面P AB,AB∥DC,E为棱PB的中点,平面DCE与棱P A相交于点F,且P A=AB=AD=2CD=2,再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①:PB=BD;条件②:P A⊥BC.(1)求证:AB∥EF;(2)求点P到平面DCEF的距离;(3)已知点M在棱PC上,直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23,求PMPC的值.21.(15分)设椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与椭圆C相交于A,B两点.已知椭圆C的离心率为12,△ABF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程;(2)判断x轴上是否存在一点M,对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB,使得MF1为△AMB的一条内角平分线?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷(含答案解析)

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷(含答案解析)

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知()()2,1,3,1,1,1a b =-=- ,若()a a b λ⊥-,则实数λ的值为()A .2-B .143-C .73D .22.P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点,则1PA PC ⋅的取值范围是()A .11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B .1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .11,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3.已知向量()4,3,2a =- ,()2,1,1b = ,则a 在向量b上的投影向量为()A .333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B .333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C .333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D .()4,2,24.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA ,1BB 的中点,G 为棱11A B 上的一点,且()102A G λλ=<<,则点G 到平面1D EF 的距离为()AB C .3D 5.已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 为平行四边形,,M N 分别为棱,BC PD 上的点,13CM CB =,PN ND =,设AB a =,AD b =,AP c = ,则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为()A .1132a b c++B .1162a b c-++C .1132a b c -+D .1162a b c--+ 6.在四面体OABC 中,空间的一点M 满足1146OM OA OC λ=++ .若,,MA MB MC共面,则λ=()A .12B .13C .512D .7127.已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=,则b a - 的最小值为()AB C D8.“长太息掩涕兮,哀民生之多艰”,端阳初夏,粽叶飘香,端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念,将粽子整体视为一个三棱锥,肉馅可近似看作它的内切球(与其四个面均相切的球,图中作为球O ).如图:已知粽子三棱锥P ABC -中,PA PB AB AC BC ====,H 、I 、J 分别为所在棱中点,D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点,小玮同学切开后发现,沿平面CDE 或平面HIJ 切开后,截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为().A .π9B .π18C .π27D .π54二、多选题9.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为1BB 的中点,F 为11A D 的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是()A .13DB =B .向量AE 与1AC uuu r 所成角的余弦值为5C .平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D .点D 到平面AEF 10.在正三棱柱111ABC A B C -中,1AB AA =,点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λμλμ=+∈∈,则下列说法正确的是()A .当1λ=时,点P 在棱1BB 上B .当1μ=时,点P 到平面ABC 的距离为定值C .当12λ=时,点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上D .当11,2λμ==时,1A B ⊥平面1AB P 11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案,如图1,把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合,这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则()A .122CG AB AA =+ B .直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为23C .点1C 到直线CQ 的距离是3D .异面直线CQ 与BD 三、填空题12.正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2,底面边长为1,M 是BC 的中点.在直线1CC 上求一点N ,当CN 的长为时,使1⊥MN AB .13.四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,且1PD =,3AB =,G 是ABC V 的重心,则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为.14.坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =,10m BC =,且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5,则该五面体的所有棱长之和为.四、解答题15.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2AD AA AB ===,点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时,求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值;(2)当AE 为何值时,直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小,并求出最小值.16.如图所示,直三棱柱11ABC A B C -中,11,92,0,,CA CB BCA AA M N ︒==∠==分别是111,A B A A 的中点.(1)求BN 的长;(2)求11cos ,BA CB的值.(3)求证:BN ⊥平面1C MN .17.如图,在四棱维P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA PD ⊥,PA PD =,AB AD ⊥,1AB =,2AD =,AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值;(2)在PA 上是否存在点M ,使得//BM 平面PCD ?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由.18.如图1,在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒,点M ,N 分别是边BC ,CD 的中点,1AC BD O ⋂=,AC MN G ⋂=.沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置,连接PA ,PB ,PD ,得到如图2所示的五棱锥P ABMND -.(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ?证明你的结论;(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ,线段PA 上是否存在一点Q ,使得平面QDN 与平面PMN 所成Q 的位置;若不存在,请说明理由.19.如图,四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ,11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点,且()01BE PFBD PC λλ==<≤.(1)求证://EF 平面PAB ;(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值;(3)若直线AE与线段BC交于M点,AH PM于点H,求线段CH长的最小值.参考答案:题号12345678910答案C BADDDCBBCDBCD题号11答案BC1.C【分析】利用两个向量垂直的性质,数量积公式即求得λ的值.【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =-=-若()a a b λ⊥-,则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅-=-⋅=++-++=,73λ∴=.故选:C .2.B【分析】建立空间直角坐标系,写出各点坐标,同时设点P 的坐标为(),,x y z ,用坐标运算计算出1PA PC ⋅,配方后可得其最大值和最小值,即得其取值范围.【详解】如图,以点D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,则1,0,0,()10,1,1C ,设(),,P x y z ,01x ≤≤,01y ≤≤,1z =,()1,,1PA x y ∴=--- ,()1,1,0PC x y =--,()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----=-+-=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当12x y ==时,1PA PC ⋅ 取得最小值12-,当0x =或1,0y =或1时,1PA PC ⋅取得最大值0,所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选:B.3.A【分析】根据投影向量公式计算可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为()()()2242312333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⨯+⨯-⎛⎫⋅⋅=⋅=⋅== ⎪⎝⎭r r rr r r r r r .故选:A.4.D【分析】建立空间直角坐标系,由点到平面的距离公式计算即可.【详解】以D 为坐标原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,1DD 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则()2,,2G λ,()10,0,2D ,()2,0,1E ,()2,2,1F ,所以()12,0,1ED =- ,()0,2,0= EF ,()0,,1EG λ=.设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ,则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩,取1x =,得()1,0,2n =r,所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n ⋅== ,故选:D .5.D【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++-()11113262b ac b a b c =-+-=--+.故选:D 6.D【分析】根据给定条件,利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体OABC 中,,,OA OB OC不共面,而1146OM OA OB OC λ=++ ,则由,,MA MB MC ,得11146λ++=,所以712λ=.故选:D 7.C【分析】计算出b a -=≥ .【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=,所以b a -=当0t =时,等号成立,故ba -.故选:C.8.B【分析】设1PFCF ==,易知PA PB AB AC BC =====,且23FG =,设肉馅球半径为r ,CG x =,根据中点可知P 到CF 的距离4d r =,sin 4dPFC r PF∠==,根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得1x =,结合余弦定理可得1cos 3PFC ∠=,进而可得3PC =,sin 3PFC ∠=,可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥,再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.【详解】如图所示,取AB 中点为F ,PF DE G ⋂=,为方便计算,不妨设1PF CF ==,由PA PB AB AC BC ====,可知3PA PB AB AC BC =====,又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点,则2233FG PF ==,且AB PF ⊥,AB CF ⊥、PF CF F = ,PF ,CF ⊂平面PCF ,即AB ⊥平面PCF ,又AB ⊂平面ABC ,则平面PCF ⊥平面ABC ,设肉馅球半径为r ,CG x =,由于H 、I 、J 分别为所在棱中点,且沿平面HIJ 切开后,截面中均恰好看不见肉馅,则P 到CF 的距离4d r =,sin 4d PFC r PF∠==,12414233GFC r S r =⋅⋅⋅=△,又2132GFC rS x ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭ ,解得:1x =,故22241119cos 223213CF FG CG PFC CF FG +-+-∠===⋅⋅⋅⋅,又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +-+⋅-∠=⋅=⋅⋅,解得PC =,sin 3PFC ∠=,所以:4sin 31rPFC ∠==,解得6r =,343V r =π=球,由以上计算可知:P ABC -为正三棱锥,故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅∠⋅粽11432332627=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,=.故选:B.9.BCD【分析】先写出需要的点的坐标,然后利用空间向量分别计算每个选项即可.【详解】由题可知,2,0,0,()0,0,0D,()2,2,1E,()1,0,2F,()12,2,2B,()10,2,2C,所以1DB==A错误;()0,2,1AE=,()12,2,2AC=-,所以111·cos,AE ACAE ACAE AC=B正确;()0,2,1AE=,()1,0,2AF=-,记()4,1,2n=-,则0,0AE AFn n==,故,AE AFn n⊥⊥,因为AE AF A⋂=,,AE AF⊂平面AEF,所以()4,1,2n=-垂直于平面AEF,故选项C正确;B =2,0,0,所以点D到平面AEF的距离·21DA ndn===,故选项D正确;故选:BCD10.BCD【分析】对于A,由1CP BP BC BBμ==-即可判断;对于B,由[]11,0,1B P BP BB BCλλ=-=∈和11//B C平面ABC即可判断;对于C,分别取BC和11B C的中点D和E,由BP BD=+1BBμ即1DP BBμ=即可判断;对于D,先求证1A E⊥平面11BB C C,接着即可求证1B P⊥平面1A EB,进而即可求证1A B⊥平面1AB P.【详解】对于A,当1λ=时,[]1,0,1CP BP BC BBμμ=-=∈,又11CC BB=,所以1CP CCμ=即1//CP CC,又1CP CC C=,所以1C C P、、三点共线,故点P在1CC上,故A错误;对于B ,当1μ=时,[]11,0,1B P BP BB BC λλ=-=∈,又11B C BC =,所以111B P B C λ= 即111//B P B C ,又1111B B C P B = ,所以11B C P 、、三点共线,故点P 在棱11B C 上,由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ,所以点P 到平面ABC 的距离为定值,故B 正确;对于C ,当12λ=时,取BC 的中点11,D B C 的中点E ,所以1//DE BB 且1DE BB =,BP BD =+[]1,0,1BB μμ∈ ,即1DP BB μ= ,所以DP E D μ= 即//DP DE,又DP DE D ⋂=,所以D E P 、、三点共线,故P 在线段DE 上,故C 正确;对于D ,当11,2λμ==时,点P 为1CC 的中点,连接1,A E BE ,由题111A B C △为正三角形,所以111A E B C ⊥,又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥,因为1111BB B C B = ,111BB B C ⊂、平面11BB C C ,所以1A E ⊥平面11BB C C ,又1B P ⊂平面11BB C C ,所以11A E B P ⊥,因为1111B C BB CC ==,所以11B E C P =,又111π2BB E B C P ∠=∠=,所以111BB E B C P ≌,所以111B EB C PB ∠=∠,所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=,设BE 与1B P 相交于点O ,则1π2B OE ∠=,即1BE B P ⊥,又1A E BE E = ,1A E BE ⊂、平面1A EB ,所以1B P ⊥平面1A EB ,因为1A B ⊂平面1A EB ,所以11B P A B ⊥,由正方形性质可知11A B AB ⊥,又111AB B P B = ,11B P AB ⊂、平面1AB P ,所以1A B ⊥平面1AB P ,故D 正确.故选:BCD.【点睛】思路点睛:对于求证1A B ⊥平面1AB P ,可先由111A E B C ⊥和11A E BB ⊥得1A E ⊥平面11BB C C ,从而得11A E B P ⊥,接着求证1BE B P ⊥得1B P ⊥平面1A EB ,进而11B P A B ⊥,再结合11A B AB ⊥即可得证1A B ⊥平面1AB P .11.BC【分析】A 选项,建立空间直角坐标系,写出点的坐标,得到122AB AA CG +≠ ;B 选项,求出平面的法向量,利用线面角的夹角公式求出答案;C 选项,利用空间向量点到直线距离公式进行求解;D 选项,利用异面直线夹角公式进行求解.【详解】A 选项,以A 为坐标原点,1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C ----,()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D --,()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =-==,则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠,A 错误;B 选项,平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =,()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =---=-,设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ,则2sin cos ,3CQ m CQ m CQ m θ⋅===⋅,B 正确;C 选项,()10,0,1CC =,点1C 到直线CQ 的距离为3d ==,C 正确;D 选项,()()()1,0,00,1,01,1,0BD =--=--,设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α,则cos cos ,6CQ BD CQ BD CQ BDα⋅=====⋅,D 错误.故选:BC 12.18/0.125【分析】根据正三柱性质建立空间直角坐标系,利用向量垂直的坐标表示可得结果.【详解】取11B C 的中点为1M ,连接1,MM AM ,由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥,因此以M 为坐标原点,以1,,AMBM MM 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:易知()11,0,0,0,,2,0,0,022A B M ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设CN 的长为a ,且0a >,可得10,,2N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭;易知1110,,,,,2222MN a AB ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=-⨯+= ,解得18a =,所以当CN 的长为18时,使1⊥MN AB .故答案为:1813.23【分析】建立空间直角坐标系,求出平面PAD 的一个法向量m 及PG,由PG 与平面PAD 所成角θ,根据sin cos ,m PG m PG m PGθ⋅==⋅即可求解.【详解】因为PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,所以,,DA DC DP 两两垂直,以D 为坐标原点,,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系,则()0,0,0D ,()0,0,1P ,()3,0,0A ,()3,3,0B ,()0,3,0C ,则重心()2,2,0G ,因而()2,2,1PG =- ,()3,0,0DA = ,()0,0,1DP =,设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =,则300m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ,令1y =则()0,1,0m = ,则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====⨯⋅,故答案为:23.14.117m【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠,从而依次求EO ,EG ,EB ,EF ,再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图,过E 做EO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,过E 分别做EG BC ⊥,EM AB ⊥,垂足分别为G ,M ,连接OG ,OM ,由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠,所以5tan tan EMO EGO ∠=∠.因为EO ⊥平面ABCD ,⊂BC 平面ABCD ,所以EO BC ⊥,因为EG BC ⊥,EO ,EG ⊂平面EOG ,EO EG E = ,所以⊥BC 平面EOG ,因为OG ⊂平面EOG ,所以BC OG ⊥,同理,OM BM ⊥,又BM BG ⊥,故四边形OMBG 是矩形,所以由10BC =得5OM =,所以EO 5OG =,所以在直角三角形EOG 中,EG =在直角三角形EBG 中,5BG OM ==,8EB ==,又因为55255515EF AB =--=--=,所有棱长之和为2252101548117⨯+⨯++⨯=.故答案为:117m15.(2)当2AE =时,直线1A D 与平面1D EC 【分析】(1)以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,求得平面1D EC 的一个法向量,平面1DCD 的一个法向量,利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值;(2)设AE m =,可求得平面1D EC 的一个法向量,直线的方向向量1DA,利用向量法可得sin θ=.【详解】(1)以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,当点E 在棱AB 的中点时,则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ,则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-=,设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ,令1x =,则1,2y z ==,所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n =,又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA =,所以·cos ,·DA n DA n DA n=== 所以平面1D EC 与平面1DCD(2)设AE m =,则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ,则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=,设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ,令1y =,则2,2x m z =-=,所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =-,设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ,则11||sin ||||n DA n DA θ===令4[2,4]m t -=∈,则sin θ=当2t =时,sin θ取得最小值,最小值为5.16.(2)10(3)证明见解析【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关点坐标,根据空间两点间距离公式,即得答案;(2)根据空间向量的夹角公式,即可求得答案;(3)求出1C M ,1C N,BN 的坐标,根据空间位置关系的向量证明方法,结合线面垂直的判定定理,即可证明结论.【详解】(1)如图,建立以点O 为坐标原点,CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴的空间直角坐标系.依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ,∴BN == (2)依题意得,()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ,∴1(1,1,2)BA =- ,1(0,1,2)CB =,113BA CB =⋅,1BA1CB所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅(3)证明:()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ,11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭.∴111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,()11,0,1C N =- ,()1,1,1BN =-,∴1111(1)10022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯= ,1110(1)(1)10C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=,∴1C M BN ⊥ ,1C N BN ⊥,即11,C M BN C N BN ⊥⊥,又1C M ⊂平面1C MN ,1C N ⊂平面1C MN ,111= C M C N C ,∴BN ⊥平面1C MN .17.(2)存在点M ,使得//BM 平面PCD ,14AM AP =.【分析】(1)取AD 的中点为O ,连接,PO CO ,由面面垂直的性质定理证明⊥PO 平面ABCD ,建立空间直角坐标系求解直线PB 与平面PCD 所成角的正切值即可;(2)假设在PA 上存在点M ,使得()01PM PA λλ=≤≤,由线面平行,转化为平面的法向量与直线的方向向量垂直,求解参数即可.【详解】(1)取AD 的中点为O ,连接,PO CO ,因为PA PD =,所以PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以⊥PO 平面ABCD ,又AC CD =,所以CO AD ⊥,PA PD ⊥,2AD =,所以1PO =,AC CD ==2CO =,所以以O 为坐标原点,分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,0,0,1,()2,0,0C ,()0,1,0A ,()1,1,0B ,()0,1,0D -,所以()2,0,1PC =- ,()0,1,1PD =--,()1,1,1PB =- ,设平面PCD 的一个法向量为 =s s ,则00PC m PD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,200x z y z -=⎧⎨--=⎩,令1,x =则2,2z y ==-,所以()1,2,2m =-,设直线PB 与平面PCD 所成角为θ,sin cos ,m PB m PB m PB θ⋅====,所以cos 3θ==,所以tan θ所以直线PB 与平面PCD所成角的正切值2.(2)在PA 上存在点M ,使得()01PM PA λλ=≤≤,所以()0,1,1PA =- ,所以()0,,PM PA λλλ==-,所以()0,,1M λλ-,所以()1,1,1BM λλ=---,因为//BM 平面PCD ,所以BM m ⊥ ,即()()121210λλ---+-=,解得34λ=,所以存在点M ,使得//BM 平面PCD ,此时14AM AP =.18.(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ,证明详见解析(2)存在,Q 是PA 的靠近P 的三等分点,理由见解析.【分析】(1)通过证明BD ⊥平面PAG 来证得平面PBD ⊥平面PAG .(2)建立空间直角坐标系,利用平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值来列方程,从而求得Q 点的位置.【详解】(1)折叠前,因为四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,由于,M N 分别是边BC ,CD 的中点,所以//MN BD ,所以MN AC ⊥,折叠过程中,,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥⋂=⊂平面PAG ,所以MN ⊥平面PAG ,所以BD ⊥平面PAG ,由于BD ⊂平面PBD ,所以平面PBD ⊥平面PAG .(2)存在,理由如下:当平面PMN ⊥平面MNDB 时,由于平面PMN 平面MNDB MN =,GP ⊂平面PMN ,GP MN ⊥,所以GP ⊥平面MNDB ,由于AG ⊂平面MNDB ,所以GP AG ⊥,由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,依题意可知())(),2,0,,0,1,0,P D B N PB --=- ()A,(PA = ,设()01PQ PA λλ=≤≤ ,则(()(),0,3,0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+-= ,平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ,()(),DQ DN ==,设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ,则()2222222200n DQ x y z n DN y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ,故可设()21n λλ=--+ ,设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ,由于平面QDN 与平面PMN所成角的余弦值为13,所以1212cos n n n n θ⋅==⋅解得13λ=,所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时,平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为13.19.(1)证明见解析(2)8(3)5【分析】(1)根据条件建立合适的空间直角坐标系,利用空间向量证明线面关系即可;(2)利用空间向量研究线面夹角,结合二次函数的性质计算最大值即可;(3)设BM tBC = ,利用空间向量基本定理及三点共线的充要条件得出AH ,利用向量模长公式及导数研究函数的单调性计算最值即可.【详解】(1)由于四边形ABCD 是菱形,且60ABC ∠= ,取CD 中点G ,则AG CD ⊥,又PA ⊥平面ABCD ,可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G -,所以()()()1,,2,0,1PC BD BP =-=-=- ,由()01BE PF BD PCλλ==<≤,可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=-++ ()42,0,1λλ=--,易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量,显然0EF AG ⋅= ,且EF ⊄平面PAB ,即//EF 平面PAB;(2)由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+-=+- ,设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =r,则200n BP x z n PC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩,令1x =,则2,3z y ==,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,设直线DF 与平面PBC 所成角为α,则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅==⋅ ,易知35λ=时,()2min 165655λλ-+=,即此时sin α取得最大值8;(3)设()(](),0,0,12,0BM t BC t t AM AB BM t ==-∈⇒=+=- ,由于,,H M P 共线,不妨设()1AH xAM x AP =+- ,易知AM AP ⊥,则有()()22010AH PM AH AM AP x AM x AP ⋅=⋅-=⇒--= ,所以22114451x t t AM ==-++ ,则()()2CH CA AH t x x =+=--- ,即()()2222454454655445t CH t t x t x t t --=-+-++=+-+ 记()(]()2450,1445t f t t t t --=∈-+,则()()()2228255445t t f t t t --+'=-+,易知22550t t -+>恒成立,所以()0f t '<,即()f t 单调递减,所以()()min 9155f t f CH ≥=-⇒==.。

北京市陈经纶中学2024-2025高二数学10月月考试卷及答案

北京市陈经纶中学2024-2025高二数学10月月考试卷及答案

2024-2025学年度第一学期阶段性诊断训练高二数学试卷2024.10(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题50分和非选择题100分第一部分(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.140y --=的倾斜角是()A .30︒B .60︒C .120︒D .150︒2.在空间直角坐标系中,若(1 1 0)A ,,,(6 0 2)AB =,,,则点B 的坐标为()A .(5 1 2)--,,B .(7 1 2)-,,C .(3 0 1),,D .(7 1 2),,3.已知空间向量a ,b ,1a = ,b = a b - 与a 垂直,则a 与b的夹角为()A .60oB .30oC .135D .454.“1m =”是“直线1l :()410m x my -++=与直线2l :()220mx m y ++-=互相垂直”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.直线()():2311l a y a x -=--不过第二象限,则a 的取值范围为()A .2a <B .23a -≤≤C .2a ≥D .4a ≥6.圆222210x y x y +--+=关于直线1x y +=对称的圆的标准方程为()A .22(1)(1)1x y ++-=B .221x y +=C .22(1)1y x +-=D .22(1)1x y ++=7.如图,在四面体A -BCD 中,点O 为底面△BCD 的重心,P 为AO 的中点,设AB a =,AC b = ,AD c = ,则BP = ()A .511666a c b --B .511666a b c-++ C .211333a b c --D .211333a b c-++ 8.已知直线:20l kx y k ++-=过定点M ,点(),P x y 在直线210x y -+=上,则MP 的最小值是()A .5B .5C .355D .559.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图,在堑堵111ABC A B C -中,AC BC ⊥,且12AA AB ==.其中正确的是()①四棱锥11B A ACC -为“阳马”②四面体11AC CB 为“鳖臑”③四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23④过A 点作1AE A B ⊥于点E ,过E 点作1EF A B ⊥于点F ,则1A B ⊥面AEF A .①②③B .②③④C .①②④D .①③④10.已知圆22:(4)4M x y ++=直线:20+-=l x y ,点P 在直线l 上运动,直线,PA PB 分别与圆M 相切于点,A B .则下列说法正确的是()A .四边形PAMB 的面积最小值为14B .PA 最短时,弦AB 长为473C .PA 最短时,弦AB 直线方程为3380x y +-=D .直线AB 过定点10,23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题11.已知空间向量()1,2,2a =- 、()3,,1b λμ=- ,若//a b ,则λμ+=.12.动直线()()():211740+++--=∈l m x m y m m R 与一点()4,0M .当点M 到直线l 的距离最大时,直线l 的方程为(填一般式).13.已知圆22240x y x ay ++--=的半径为3,则a 的值为.14.已知空间三点()()()1,1,1,0,0,1,1,2,3A B C --.若空间中点N 满足BN ⊥平面ABC ,则符合条件的一个点N 的坐标是.15.过点(2,3)-与圆22(1)1x y ++=相切的直线方程为.16.如图,正三棱柱111ABC A B C -中,AB =2,14AA =,1AE AA λ=D 为BC 的中点.当1AD BCE 平面∥时,λ=,此时,直线AD 与直线1EC 所成的角的余弦值为.17.已知圆C :()()22114x y ++-=,若直线5y kx =+上总存在点P ,使得过点P 的圆C 的两条切线夹角为60o ,则实数k 的取值范围是18.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,2PD AD ==,O 为线段AC ,BD 交点,T 为线段BP 上的动点,则以下结论正确的是____.①当PT BT =时,PD ‖平面ACT ;②当2PT BT =时,PO ⊥平面ACT ;③线段OT 的最小值为3;④直线AP ,CT 所成角取值范围为[,]42ππ.三、解答题19.已知圆C 过点()2,0A 和()0,0B ,且圆心C 在直线:0l x y -=上.(1)求圆C 的标准方程;(2)经过点()2,1-的直线l '与l 垂直,且l '与圆C 相交于,M N 两点,求MN .20.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,AB AC ==122BC BB ==,P ,Q 分别为11B C ,1A B 的中点.(1)证明:1A B CP ⊥.(2)求直线1A B 与平面CPQ 所成角的正弦值.(3)求点1C 到平面CPQ 的距离.21如图,在四棱锥P ABCD -中,AD //BC ,CD AP ⊥,△PCD 为等腰直角三角形,2PD CD ==,平面PBC 交平面PAD 于直线l ,,E F 分别为棱PD ,PB 的中点.(Ⅰ)求证:BC //l ;(Ⅱ)设22PA AD BC ===,则:①求平面AEF 与平面PAD 夹角的正切值;②在棱PC 上是否存在点G ,使得DG ∥平面AEF ?若存在,求PGPC的值,若不存在,说明理由.”:T 将数参考答案:题号12345678910答案BDDACBBBCB1.B【分析】依据斜率计算倾斜角即可.40y --=[)tan 0,παα=∈,知π3α=,即60α=︒故选:B .2.D【分析】设出B 点,利用A B 、两点的坐标即可表示出AB,再由两向量相等的坐标表示列出方程组,即可求出答案.【详解】设( )B x y z ,,,则(1 1 )(6 0 2)AB x y z =--=,,,,,所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,解得:7x =,1y =,2z =.所以点B 的坐标为(7 1 2),,.故选:D 3.D【分析】根据已知可得()0a a b -⋅= ,根据数量积的运算律即可求出cos ,2a b =,进而求出结果.【详解】因为ab - 与a垂直,所以()0a a b -⋅= ,即22cos ,1,0a a b a a b a b a b -⋅=-⋅==r r r r r r r r r r,所以2cos ,2a b =.又0,180a b ≤≤,所以,45a b =o r r .故选:D.4.A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件,再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意,12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=,解得0m =或1m =,所以“1m =”是“直线1l :()410m x my -++=与直线2l :()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件.故选:A 5.C【解析】分20a -=、20a -≠两种情况讨论,结合已知条件可得出关于实数a 的不等式(组),由此可解得实数a 的取值范围.【详解】若20a -=,可得2a =,直线l 的方程为15x =,该直线不过第二象限,合乎题意;若20a -≠,可得0a ≠,直线l 的斜截式方程为31122a y x a a -=---,若直线l 不过第二象限,则3102102a a a -⎧≥⎪⎪-⎨⎪-<⎪-⎩,解得2a >.综上所述,2a ≥.故选:C.【点睛】关键点点睛:解本题的关键在于对直线的斜率是否存在进行分类讨论,在斜率存在的前题下,一般从直线的斜率与纵截距或直线在两坐标轴上的截距来进行分析,结合已知条件列不等式(组)求解.6.B【分析】把圆的一般方程化为标准方程,得圆心坐标和半径,由对称求出对称圆的圆心,可得标准方程.【详解】由圆222210x y x y +--+=,得22(1)(1)1x y -+-=,则圆心坐标为(1,1),半径为1,设(1,1)关于直线1x y +=的对称点为(,)a b ,则11111122b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩,∴圆222210x y x y +--+=关于直线1x y +=对称的圆的标准方程为221x y +=.故选:B .7.B【分析】由平行四边形法则结合重心的性质得出BO,再由()12BP BA BO =+ 求解.【详解】取CD 的中点为E ,连接BE ,由重心的性质可知,23BO BE =,且,,B O E 三点共线.因为()()()1112222BE BC BD AC AB AD AB b a c=++-=--=+所以()23312BO BE b a c==-+ ()()1111115112222226663BP BA BO AB BO a b a c a b c =+=-+=-+⨯-+=-++ .故选:B .8.B【分析】先求定点,再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可.【详解】由20kx y k ++-=得()21y k x +=-,所以直线l 过定点()1,2M -,依题意可知MP 的最小值就是点M 到直线210x y -+=的距离,由点到直线的距离公式可得min MP =.故选:B.9.C【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义,可判断A ,B 的正误;当且仅当AC BC =时,四棱锥11B A ACC -体积有最大值,求值可判断C 的正误;根据题意可证1A B ⊥平面AEF ,进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”,∴在堑堵111ABC A B C -中,AC BC ⊥,侧棱1AA ⊥平面ABC ,A 选项,∴1AA BC ⊥,又AC BC ⊥,且1AA AC A = ,则⊥BC 平面11A ACC ,∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”,故A 正确;B 选项,由AC BC ⊥,即11AC BC ⊥,又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=,∴11A C ⊥平面11BB C C ,∴111A C BC ⊥,则11A BC V 为直角三角形,又由⊥BC 平面11AAC C ,得1A BC 为直角三角形,由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形,1CC B 为直角三角形,∴四面体11AC CB 为“鳖膈”,故B 正确;C 选项,在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅,即2AC BC ⋅≤,当且仅当AC BC ==等号,1111111243333B A ACC A ACC V S BC AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤,最大值为43,故C 错误;D 选项,因为1AE A B ⊥,1EF A B ⊥,AE EF E ⋂=,所以1A B ⊥平面AEF ,故D 正确;故选:C 10.B【分析】A 选项,四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和,又因切线长定理可知,当||AP 最短时,面积最小;B 选项,由圆的弦长公式结合锐角三角函数即可求解;C 选项,两垂直直线的斜率相乘等于1-,两平行直线斜率相等;D 选项,由向量积公式求定点坐标.【详解】对于A ,四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和,即12222MPA MPB MPA PAMB S S S S PA AM PA =+⨯⨯=== 四边形==,||MP ∴最短时,面积最小,故当MP l ⊥时,||MP 最短,即min MP ==,PAMB S ∴==四边形A 错误;由上述可知,MP l ⊥时,||MP 最短,故||PA 最小,且最小值为PA =所以2sin 222AP AB AM AMP AMPM =∠==⨯⨯B 正确;当PA 最短时,则MP l ⊥,又MP AB ⊥,所以//l AB ,1l k =-,1AB k ∴=-,可设AB 的直线方程为0x y m ++=,圆心(4,0)M -到直线AB 的距离23d =,解得83m =或163m =,由于直线AB 在圆心(4,0)M -的右侧,且在直线l 的左侧,所以4224m m -<-<⇒-<<,所以83m =,即直线AB 的方程为803x y ++=,故C 错误;设圆上一点(),A A A x y ,(),B B B x y ,(),P P P x y ,()4,A A MA x y =+ ,()4,B B MB x y =+,(),A P A P PA x x y y =-- ,易知0(4)()()0A A P A A P PA MA x x x y y y ⋅=⇒+-+-= ,由于22(4)4A A x y ++=,所以(4)(4)4P A P A x x y y +++⋅=,同理0(4)(4)4P B P B PB MB x x y y ⋅=⇒+++⋅=,:(4)(4)4P P AB x x y y ∴+++⋅=,2P P y x =-+,()()()4424P P x x y x +++-=,即()442120P x y x x y +-+++=,令4042120x y x y +-=⎧⎨++=⎩,解得10323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以直线AB 过定点为102,33⎛⎫- ⎪⎝⎭,故D 错误.故选:B .【点睛】方法点睛:求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点()00,x y ,常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.11.1【分析】依题意可得b ta =,从而得到方程组,解得即可.【详解】因为()1,2,2a =- 、()3,,1b λμ=- 且//a b ,所以b ta = ,则()()3,,11,2,2t λμ-=-,即3212t t tλμ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩,解得365t λμ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩,所以()651λμ+=+-=.故答案为:112.20x y --=【解析】将直线方程转化为交点直线系方程,联立直线方程即可求得定点坐标;当定点与点M 点构成的直线与l 垂直时,则点M 到直线l 的距离最大时,则问题得解.【详解】因为()()():211740+++--=∈l m x m y m m R ,即()()2740m x y x y +-++-=,故直线l 恒过定点为直线270x y +-=与直线40x y +-=的交点,联立方程解得直线l 恒过定点()3,1;当点M 与定点()3,1P 构成的直线与l 垂直时,点M 到直线l 的距离最大,此时必有1l PM k k ⨯=-,即()11l k ⨯-=-,解得1l k =.则2111m m +-=+,解得23m =-,故直线l 的方程为:20x y --=.故答案为:()3,1;20x y --=.【点睛】本题考查直线恒过定点的求解,以及由直线垂直求直线方程,属综合基础题.13.4±【分析】首先将圆的一般方程,写成标准方程,再利用半径为3,即可求解.【详解】圆的一般方程写成标准方程为()2221524a a x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭,由圆的半径为3可知,2594a +=,得4a =±.故答案为:4±14.()4,4,4(答案不唯一).【分析】设(),,M x y z ,表示出,CM AB ,由12010x y x y z --+=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩,解方程求出,,x y z ,即可求出点M 的坐标;先求出平面ABC 的法向量n ,设点N 的坐标为(,,)a b c ,则//BN n,即可求出点N 的坐标.【详解】设(),,M x y z ,()()()1,1,1,0,0,1,1,2,3A B C --,(1,1,0),(2,1,4),(,,1),(1,2,3)AB AC BM x y z CM x y z =-=-=-=--+,∴由题意,得12010x y x y z --+=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩,11,,122x y z ∴=-==.∴点M 的坐标为11,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭.设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =,则0,240n AB x y n AC x y z ⋅=-=⋅=+-=.令1x =,则31,4y z ==.31,1,4n ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ .设点N 的坐标为(,,)a b c ,则(,,1)BN a b c =-.由题知,//BN n ,即13114a b c -==.∴点N 的坐标满足()4,4,31k k k +,其中0k ≠.令1k =,则()4,4,4N .故答案为:11,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭;()4,4,4(答案不唯一).15.2x =-或4310x y +-=【分析】分类讨论直线的斜率是否存在,结合直线与圆的位置关系分析求解.【详解】由题意可知:圆22(1)1x y ++=的圆心为()1,0-,半径1r =,因为()22213101-++=>,可知点()2,3-在圆外,当直线过点(2,3)-且斜率不存在时,2x =-,显然与圆相切;当直线过点(2,3)-,且斜率存在时,设方程为3(2)y k x -=+,即230kx y k -++=,1=,解得43k =-,故方程为4310x y +-=;综上所述:直线方程为2x =-或4310x y +-=.故答案为:2x =-或4310x y +-=.16.12;【分析】根据题意,以点D 为原点,建立空间直角坐标系,然后结合空间向量的坐标运算以及异面直线夹角公式,代入计算,即可求解.【详解】因为111ABC A B C -为正三棱柱,且D 为BC 中点,以D 为坐标原点,分别以,DC DA所在直线为,x y 轴,过点D 与平面ABC 垂直的直线为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,因为AB =2,14AA =,则()()()()()()110,0,0,,1,0,0,1,0,0,0,,1,0,4D A C B A C -,则()()10,0,40,0,4AE AA λλλ===,所以()4E λ,即()()12,0,4,4BC BE λ== ,设平面1BEC 的法向量为(),,n x y z =,则124040BC n x z BE n x z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ,取24y λ=-,则z x ==-所以平面1BEC的一个法向量为(24,n λ=--,又()0,AD = ,1AD BC E 平面∥时,)240n AD λ⋅=-=,解得12λ=,此时()11,2EC =,设直线AD 与直线1EC 所成的角为θ,则111cos cos ,AD EC AD EC AD EC θ⋅====⋅ 即直线AD 与直线1EC故答案为:12;6417.0k ≥或815k ≤-.【分析】根据切线夹角分析出||4PC =,由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得.【详解】圆()()22:114C x y ++-=,则圆心为()1,1C -,半径2r =,设两切点为,A B ,则PA PB =,因为60APB ∠=o ,在Rt PAC △中1302APC APB ∠=∠=o ,2AC r ==,所以||4PC =,因此只要直线l 上存在点P ,使得4PC =即可满足题意.圆心(1,1)C -,所以圆心到直线的距离4d =≤,解得0k ≥或815k ≤-.故答案为:0k ≥或815k ≤-.18.1、3、419.解(1)由题意设圆心(),C c c ,又圆C 过点()2,0A 和()0,0B ,所以()2222222CA c c c c CB =-+=+=,解得1c =,所以圆心()1,1C ,半径为r CB ==所以圆C 的标准方程为()()22112x y -+-=.............7分(2)由题意经过点()2,1-且与l 垂直的直线l '为()12y x +=--,即1y x =-+,又圆心()1,1C 到直线1y x =-+的距离为2d =,r =所以MN ===..........15分20.解:因为1111A B A C =,P 为11B C 的中点,所以111A P B C ⊥,因为棱柱111ABC A B C -直三棱柱,所以1BB ⊥面111A B C ,1BB ⊂平面11CBB C ,所以平面111A B C ⊥平面11CBB C ,又平面111A B C Ç平面1111CBB C B C =,1A P ⊂面111A B C ,则1AP ⊥平面11CBB C ,又CP ⊂平面11CBB C ,所以1A P CP ⊥,在矩形11BB C C 中,122BC BB ==,P 为11B C 的中点,所以CP BP ==,所以222CP BP BC +=,故BP CP ⊥,又1A P BP P =I ,1A P ⊂面1A BP ,BP ⊂面1A BP ,所以⊥CP 平面1A PB ,又1A B ⊂平面1A PB ,所以1CP A B ⊥...........5分(2)取BC 的中点M ,连接PM ,由(1)及题意易知1A P ,PM ,1PB 两两垂直,则以P 为坐标原点,建立空间直角坐标系P xyz -,如图所示.由11A B 11PB =,则12A P =,(1,1,0)B ,(1,1,0)C -,1(0,0,2)A ,11,,122Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设平面CPQ 的法向量为(,,)n x y z =,又(1,1,0)PC =-uuu r ,11,,122PQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则0,0,n PC n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,110,22x y x y z -=⎧⎪⎨++=⎪⎩令1x =,则(1,1,1)n =- .设直线1A B 与平面CPQ 所成的角为θ,又1(1,1,2)A B =-uuu r,则111sin cos ,3n A B n A B n A Bθ⋅====,故直线1A B 与平面CPQ..........10分(3)由(2)知平面CPQ 的一个法向量为(1,1,1)n =-,1(0,1,0)C -,1(1,0,0)C C =uuu r ,所以点1C 到平面CPQ的距离为12C C n d n ⋅=........15分21.(1)因为AD //BC ,AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ,所以BC //平面PAD ,……1分又因为BC ⊂平面PBC ,平面PBC ⋂平面PAD =直线l ,所以BC ∥l .……3分(2)①取AD 的中点O ,连接,OP OB ,由题意可得:BC //OD ,且BC OD =,则OBCD 为平行四边形,可得OB //CD ,且∵CD ⊥AP ,CD ⊥PD ,,AP PD ⊂平面ABCD ∴CD ⊥平面PAD ,……4分则OB ⊥平面PAD ,由,OP OD ⊂平面PAD ,则OP OB ⊥,OD OB ⊥又因为PA=PD ,O 为AD 的中点,可得OP AD ⊥,,,OA OB OP 两两垂直 (5)分如图,以O 为坐标原点,,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则()()()()(11,0,0,0,2,0,1,2,0,1,0,0,,,0,1,222A B C D P E F ⎛⎫⎛--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,可得31,,1,022AE EF ⎛⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,……6分设平面AEF 的法向量(),,n x y z =,则302102n AE x z n EF x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ ,……7分令2x =,则1,y z =-=(2,1,n =- ,……8分由题意可知:平面PAD 的法向量()0,1,0m = ,可得cos,17n mn mn m⋅<>==-⋅,……9分所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值17,故正切值为4……10分②由①可得:(1,2,PC=-,……11分设PG PCλ=,(),,G a b c,则(,,PG a b c=-,可得2abcλλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩,解得)21abcλλλ⎧=-⎪=⎨⎪=-⎩,即)(),21Gλλλ--,可得)()1,21DGλλλ=--,……12分若DG∥平面AEF,则n DG⊥,可得()()212610n DGλλλ⋅=--+-=,……13分解得4=5λ,所以存在点G,使得DG∥平面AEF,此时45PGPC=.……15分22.解:解:(1)数列不能结束,各数列依次为;;;;;;….从而以下重复出现,不会出现所有项均为的情形.数列能结束,各数列依次为;;;.4分(2)解:经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.若,则经过一次“变换”就得到数列,从而结束.当数列经过有限次“变换”后能够结束时,先证命题“若数列为常数列,则为常数列”.当时,数列.由数列为常数列得,解得,从而数列也为常数列.其它情形同理,得证.在数列经过有限次“变换”后结束时,得到数列(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列也为常数列.所以,数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.9分(3)证明:先证明引理:“数列的最大项一定不大于数列的最大项,其中”.证明:记数列中最大项为,则.令,,其中.因为,所以,故,证毕.现将数列分为两类.第一类是没有为的项,或者为的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,.第二类是含有为的项,且与最大项相邻,此时.下面证明第二类数列经过有限次“变换”,一定可以得到第一类数列.不妨令数列的第一项为,第二项最大().(其它情形同理)①当数列中只有一项为时,若(),则,此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;若,则;此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;若(),则,此数列各项均不为,为第一类数列;若,则;;,此数列各项均不为,为第一类数列.②当数列中有两项为时,若(),则,此数列各项均不为,为第一类数列;若(),则,,此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列.③当数列中有三项为时,只能是,则,,,此数列各项均不为,为第一类数列.总之,第二类数列至多经过次“变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历次“变换”,数列的最大项又开始减少.又因为各数列的最大项是非负整数,故经过有限次“变换”后,数列的最大项一定会为,此时数列的各项均为,从而结束.15分。

黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案

黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案

哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷(答案在最后)(考试时间:120分钟满分150分)第Ⅰ卷(共58分)一、单选题(共8小题,每小题5分,每小题只有一个选项符合题意)1.在空间直角坐标系中,点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是()A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底,那么对任意一个空间向量a,存在唯一的有序实数组(),,x y z ,使得:123a xe ye ze =++ ,我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-,则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为()A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=,则“2a =”是“12l l //”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--,点()1,3,0A -在平面α内,若点()2,1,P z -到α的距离为103,则z =()A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -,()3,2B --,若过点()1,1的直线与线段AB 相交,则该直线斜率的取值范围是()A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ,则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为()A.9B.12C.18D.247.如图,在平行六面体ABCD A B C D -''''中,5,3,7AB AD AA ='==,60BAD ∠=︒,45BAA DAA ''∠=∠=︒,则AC '的长为()A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,所有棱长均为2,点E ,F 分别为棱BB 1,A 1C 1的中点,若过点A ,E ,F 作一截面,则截面的周长为()A. B.C. D.2+二、多选题(共3小题,每小题有多个选项符合题意,全部选对的得6分,部分选对得得部分分,有选错的得0分)9.下列命题中正确的是()A.若向量,a b 满足0a b ⋅<,则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底,且232OD OA OB OC =-+,则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底,若向量m a c =+,则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ,平面α的法向量为(2,0,2)n =-,则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是()A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图,在多面体ABCDES 中,SA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是正方形,且//DE SA ,22SA AB DE ===,,M N 分别是线段,BC SB 的中点,Q 是线段DC 上的一个动点(含端点,D C ),则下列说法正确的是()A.不存在点Q ,使得NQ SB⊥B.存在点Q ,使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时,直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷(共92分)三、填空题(共3个小题,每小题5分)12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ,则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______.13.当点()2,1P --到直线l :()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时,直线l 的一般式方程是______.14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P 为多面体Γ的一个顶点,定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ,其中i Q (1i =,2,……,k ,3k ≥)为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点,且平面12Q PQ ,平面23Q PQ ,…,平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图,四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形,且2AC =,顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=,则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题(共5小题,总计77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=,:230n x y -+=.(1)若坐标原点O 到直线m ,求a 的值;(2)当0a =时,直线l 过m 与n 的交点,且它在两坐标轴上的截距相反,求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.(1)求直线BC 的方程和点C 的坐标;(2)求ABC V 的面积.17.如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA PD ⊥,PA PD =,AB AD ⊥,1AB =,2AD =,AC CD ==(1)求证:PD ⊥平面PAB .(2)在棱PA 上是否存在点M ,使得//BM 平面PCD ?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由.18.已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作OA a = ,OB b =,则AOB ∠叫做向量a ,b 的夹角,记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为:a b ⨯是一个向量,它与向量a ,b 都垂直,它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PD ⊥底面ABCD ,4DP DA ==,E 为AD 上一点,AD BP ⨯=.(1)求AB 的长;(2)若E 为AD 的中点,求二面角P EB A --的余弦值;19.如图①所示,矩形ABCD 中,1AD =,2AB =,点M 是边CD 的中点,将ADM △沿AM 翻折到PAM △,连接PB ,PC ,得到图②的四棱锥P ABCM -,N 为PB 中点,(1)若平面PAM ⊥平面ABCD ,求直线BC 与平面PMB 所成角的大小;(2)设P AM D --的大小为θ,若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷(考试时间:120分钟满分150分)第Ⅰ卷(共58分)一、单选题(共8小题,每小题5分,每小题只有一个选项符合题意)【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题(共3小题,每小题有多个选项符合题意,全部选对的得6分,部分选对得得部分分,有选错的得0分)【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷(共92分)三、填空题(共3个小题,每小题5分)【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题(共5小题,总计77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)【15题答案】【答案】(1)14a =-或73a =-(2)370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】(1)2310x y --=,51(,)77,(2)107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析;(2)存在,AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】(1)2(2)13-【19题答案】【答案】(1)π6;(2)11。

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷(答案在最后)本试卷共4页,19题.满分150分.考试用时120分钟.考试时间:2024年11月12日下午14:00—16:00祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2,选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线320x y --=在y 轴上的截距为()A .2-B .2C .23D .23-2.已知直线1:1l y x =-绕点(0,1)-逆时针旋转512π,得到直线2l ,则2l 不过第__________象限.A .四B .三C .二D .一3.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数,当出现随机数1时,表示一年内需要维修,其概率为0.2,由于有3台设备,所以每3个随机数为一组,代表3台设备一年内需要维修的情况,现产生20组随机数如下:412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为()A .0.4B .0.45C .0.5D .0.554.已知事件A ,B 互斥,它们都不发生的概率为13,且()3()P A P B =,则()P B =()A .16B .13C .23D .565.现有一段底面周长为12π厘米和高为15厘米的圆柱形水管,AB 是圆柱的母线,两只蚂蚁分别在水管内壁爬行,一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行2π厘米后再向下爬行5厘米到达P 点,另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行2π厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点,则此时线段PQ 长(单位:厘米)为()A .B .12C .D .6.概率论起源于博弈游戏17世纪,曾有一个“赌金分配”的问题:博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏,每局比赛都能分出胜负,没有平局.双方约定:各出赌金210枚金币,先赢3局者可获得全部赎金.但比赛中途因故终止了,此时甲赢了2局,乙赢了1局,问这420枚金币的赌金该如何分配?数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识,合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是()A .甲315枚,乙105枚B .甲280枚,乙140枚C .甲210枚,乙210枚D .甲336枚,乙84枚7.在平面直角坐标系中,点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,圆22121:10504C x x y y -+-+=,点(,0)T t 为x 轴上一动点.现由点P 向点T 发射一道粗细不计的光线,光线经x 轴反射后与圆C 有交点,则t 的取值范围为()A .1527,88⎡⎤⎢⎣⎦B .710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.如图所示,四面体ABCD 的体积为V ,点M 为棱BC 的中点,点E ,F 分别为线段DM 的三等分点,点N 为线段AF 的中点,过点N 的平面α与棱AB ,AC ,AD 分别交于O ,P ,Q ,设四面体AOPQ 的体积为V ',则V V'的最小值为()A .14B .18C .116D .127二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分)9.给出下列命题,其中是真命题的是()A .已知{,,}a b c 是空间的一个基底,若23m a c =+ ,则,,}a b m 〈也是空间的一个基底B .平面α经过三点(2,1,0)A ,(1,3,1)B -,(2,2,1)C -,向量(1,,)n u t =是平面α的法向量,则2u t +=C .若0a b ⋅> ,则,a b <>是锐角D .若对空间中任意一点O ,有111362OM OA OB =++,则M ,A ,B ,C 四点不共面10.下列命题正确的是()A .设A ,B 是两个随机事件,且1()2P A =,1()3P B =,若1()6P AB =,则A ,B 是相互独立事件B .若()0P A >,()0P B >,则事件A ,B 相互独立与A ,B 互斥有可能同时成立C .若三个事件A ,B ,C 两两相互独立,则满足()()()()P ABC P A P B P C =D .若事件A ,B 相互独立,()0.4P A =,()0.2P B =,则()0.44P AB AB = 11.平面内到两个定点A ,B 的距离比值为一定值(1)λλ≠的点P 的轨迹是一个圆,此圆被称为阿波罗尼斯圆,俗称“阿氏圆”.已知平面内点(2,0)A ,(6,0)B ,动点P 满足||1||3PA PB =,记点P 的轨迹为τ,则下列命题正确的是()A .点P 的轨迹τ的方程是2230x y x +-=B .过点(1,1)N 的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是1C .直线220x y -+=与点P 的轨迹τ相离D .已知点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,点M 是直线:270l x -+=上的动点,过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线,切点为C ,D ,则四边形ECMD 面积的最小值是3三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.同时扡掷两颗质地均匀的骰子,则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________.13.已知曲线1y =+与直线y x b =+有两个相异的交点,那么实数b 的取值范围是__________.14.在空间直角坐标系中,(0,0,0)O ,(0,,3)A a ,(3,0,)B a ,(,3,0)C a ,33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,P 为ABC △所确定的平面内一点,设||PO PD -的最大值是以a 为自变量的函数,记作()f a .若03a <<,则()f a 的最小值为__________.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本题满分13分)“体育强则中国强,国运兴则体育兴”.为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯,某射击训练队制订了如下考核方案:每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况,分别评定为A ,B ,C ,D 四个等级,各等级依次奖励6分、4分、2分、0分.假设评定为等级A ,B ,C 的概率分别是12,14,18.(1)若某射击选手射击一次,求其得分低于4分的概率;(2)若某射击选手射击两次,且两次射击互不影响,求这两次射击得分之和为8分的概率.16.(本题满分15分)已知ABC △的顶点(4,2)A ,边AB 上的中线CD 所在直线方程为7250x y +-=,边AC 上的高线BE 所在直线方程为40x y +-=.(1)求边BC 所在直线的方程;(2)求BCD △的面积.17.(本题满分15分)如图所示,已知斜三棱柱111ABC A B C -中,AB a = ,AC b = ,1AA c =,在1AC 上和BC 上分别有一点M 和N 且AM k AC = ,BN k BC =,其中01k ≤≤.(1)求证:MN ,a ,c共面;(2)若||||||2a b c ===,13AB =且160BAC BB C ∠=∠=︒,设P 为侧棱1BB 上靠近点1B 的三等分点,求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值.18.(本题满分17分)已知在平面直角坐标系xOy 中,(1,0)A -,(7,0)B -,平面内动点P 满足||2||PB PA =.(1)求点P 的轨迹方程;(2)点P 轨迹记为曲线C ,若曲线C 与x 轴的交点为M ,N 两点,Q 为直线:17l x =上的动点,直线MQ ,NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ,F ,求|EF|的最小值.19.(本题满分17分)对于三维向量()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ,定义“F 变换”:()1F k k a a += ,其中,1k k k x x y +=-,1k k k y y z +=-,1k k k z z x +=-.记k k k k a x y z = ,k k k k a x y z =++.(1)若0(2,3,1)a =,求2a 及2a ;(2)证明:对于任意0a ,必存在*k ∈N ,使得0a 经过k 次F 变换后,有0k a = ;(3)已知1(,2,)()a p q q p =≥ ,12024a = ,将1a再经过m 次F 变换后,m a 最小,求m 的最小值.武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12.53613.1)+14.215.解:(1)设事件A ,B ,C ,D 分别表示“被评定为等级A ,B ,C ,D ”.由题意得,事件A ,B ,C ,D 两两互斥,所以1111()12488P D =---=.所以111()()()884P C D P C P D =+=+= .因此其得分低于4分的概率为14;(2)设事件i A ,i B ,i C ,i D 表示"第i 次被评定为等级A ,B ,C ,D ,i 1,2=.(2)设事件i A ,i B ,i C ,i D 表示“”第i 次被评定为等级A ,B ,C ,D ,i 1,2=.则“两次射击得分之和为8分”为事件()()()121221B B AC A C ,且事件12B B ,12AC,21A C 互斥,()121114416P B B =⨯=,()()12211112816P AC P A C ==⨯=,所以两次射击得分之和为8分的概率()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦ .16.解:(1)因为AC BE ⊥,所以设直线AC 的方程为:0x y m -+=,将(4,2)A 代入得2m =-,所以直线AC 的方程为:20x y --=,联立AC ,CD 所在直线方程:207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得(1,1)C -,设()00,B x y ,因为D 为AB 的中点,所以0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭,因为()00,B x y 在直线BE 上,D 在CD 上,所以0040x y +-=,0042725022x y ++⨯+⨯-=,解得06x =-,010y =,所以(6,10)B -,10(1)11617BC k --==---,所以BC 所在直线的方程为:111(1)7y x +=--,即11740x y +-=.(2)由(1)知点(1,6)D -到直线BC 的距离为:d ==,又||BC ==,所以12722BCD S ==△.17.(1)证明:因为1AM k AC kb kc ==+,()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+,所以(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- .由共面向量定理可知,MN ,a ,c共面.(2)取BC 的中点为O ,在1AOB △中,1AO B O ==13AB =,由余弦定理可得22211cos2AOB ∠=-,所以12π3AOB ∠=,依题意ABC △,1B BC △均为正三角形,所以BC AO ⊥,1BC B O ⊥,又1B O AO O = ,1B O ⊂平面1B AO ,AO ⊂平面1B AO ,所以BC ⊥平面1AOB ,因为BC ⊂平面ABC ,所以平面1AOB ⊥平面ABC ,所以在平面1AOB 内作Oz OA ⊥,则Oz ⊥平面ABC ,以OA ,OC ,Oz 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示:则1332B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(0,1,0)B -,3,0,0)A ,(0,1,0)C ,1332C ⎛⎫⎪⎝⎭,1332A ⎫⎪⎝⎭设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量,(3,1,0)AC =,13332AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,则100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即303332022y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,取1z =得(3,3,1)n =-- ,依题意可知123BP BB =,则11112332333713,,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⨯-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设直线1PC 与平面11ACC A 所成角为θ,则11169sin cos ,13213||133n C PC P n n C Pθ⋅====⋅⨯.故直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值为913.18.解:(1)设动点坐标(,)P x y ,因为动点P 满足||2||PB PA =,且(1,0)A -,(7,0)B -,2222(7)2(1)x y x y ++=++化简可得,222150x y x +--=,即22(1)16x y -+=,所以点P 的轨迹方程为22(1)16x y -+=.(2)曲线22:(1)16C x y -+=中,令0y =,可得2(1)16x -=,解得3x =-或5x =,可知(3,0)M -,(5,0)N ,当直线EF 为斜率为0时,||||EK FK +即为直径,长度为8,当直线EF 为斜率不为0时,设EF 的直线方程为x ny t =+,()11,E x y ,()22,F x y ,联立22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩消去x 可得:22(1)16ny t y +-+=,化简可得;()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=由韦达定理可得1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩,因为()11,E x y ,()22,F x y ,(3,0)M -,(5,0)N ,所以EM ,FN 的斜率为113EM y k x =+,225FN y k x =-,又点()11,E x y 在曲线C 上,所以()2211116x y -+=,可得()()()22111116135y x x x =--=+-,所以111153EM y x k x y -==+,所以EM ,FN 的方程为115(3)x y x y -=+,22(5)5y y x x =--,令17x =可得()1212205125Q x y y y x -==-,化简可得;()()121235550y y x x +--=,又()11,E x y ,()22,F x y 在直线x ny t =+上,可得11x ny t =+,22x ny t =+,所以()()121235550y y ny t ny t ++-+-=,化简可得;()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=,又1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩,代入可得()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++,化简可得()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=,()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=,(5)(816)0t t --=,所以2t =或5t =,当5t =时EF 为5x ny =+,必过(5,0),不合题意,当2t =时EF 为2x ny =+,必过(2,0),又||EF 为圆的弦长,所以当EF ⊥直径MN 时弦长||EF 最小,此时半径4r =,圆心到直线EF 的距离为211-=||8EF =,综上,||EF的最小值.19.解:(1)因为0(2,3,1)a = ,1(1,2,1)a = ,2(1,1,0)a = ,所以21100a =⨯⨯= ,21102a =++=,(2)设{}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == 假设对N k ∀∈,10k a +≠,则1k x +,1k y +,1k z +均不为0;所以12k k M M ++>,即123M M M >>> ,因为*(1,2)k M k ∈=N ,112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ ,所以121M M +≤-,与120M M +>矛盾,所以假设不正确;综上,对于任意0a ,经过若干次F 变换后,必存在K N*∈,使得0K a =.(3)设()0000,,a x y z = ,因为1(,2,)()a p q q p =≥,所以有000x y z ≤≤或000x y z ≥≥,当000x y z ≥≥时,可得0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩,三式相加得2q p -=又因为12024a =,可得1010p =,1012q =;当000x y z ≤≤时,也可得1010p =,1012q =,所以1(1010,2,1012)a =;设k a的三个分量为()*2,,2m m m +∈N 这三个数,当2m >时,1k a +的三个分量为2m -,2,m 这三个数,所以14k k a a +=- ;当2m =时,k a 的三个分量为2,2,4,则1k a + 的三个分量为0,2,2,2k a +的三个分量为2,0,2,所以124k k a a ++=== ;所以,由12024a = ,可得5058a = ,5064a =;因为1(1010,2,1012)a = ,所以任意k a的三个分量始终为偶数,且都有一个分量等于2,所以505a 的三个分量只能是2,2,4三个数,506a的三个分量只能是0,2,2三个数,所以当505m <时,18m a +≥ ;当505m ≥时,14m a +=,所以m 的最小值为505.。

河南省洛阳多校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)

河南省洛阳多校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)

河南省洛阳多校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题1.在空间四边形PABC 中,( )A. B. C. D.2.在空间直角坐标系Oxyz 中,点关于x 轴对称点的坐标为( )A. B. C. D.3.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作,其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图,在“阳马”中,E 为的重心,若,,,则( )A. B. C. D.4.设,分别为两平面的法向量,若两平面所成的角为,则t 等于( )A.1B. C.或1D.25.已知为平面内一点,若平面的法向量为,则点到平面的距离为( )6.已知空间中三点,,,则以,为邻边的平行四边形的面积为( )PB AB AC -+=AP PC ABAC()1,1,2A ()1,1,2-()1,1,2-()1,1,2--()1,1,2-A OBCD -ACD △AB a =AC b = AD c = BE =1122a b c-++1133a b c-++2233a b c++1133a b c-+-()1,1,0a =(),0,1b t =60︒1-1-()1,2,1A -αα()1,1,1n =-()1,1,3P -α()0,0,0A ()1,1,2B -()1,2,1C --AB AC7.已知向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标为( ) A. B. C. D.8.在正三棱柱中,,,M为棱上的动点,N为二、多项选择题9.若是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间的一个基底的是( ) A.,, B.,,C.,,D.,,10.如图,四边形ABCD,ABEF都是边长为2的正方形,平面平面ABEF,P,Q分别是线段AE,BD的中点,则( )A.D.11.在平行六面体中,,,若,其中m,n,,则下列结论正确的为( )(2,3,0)a=-(0,3,4)b=ab1827,,01313⎛⎫- ⎪⎝⎭1827,,01313⎛⎫-⎪⎝⎭27360,,2525⎛⎫⎪⎝⎭27360,,2525⎛⎫--⎪⎝⎭111ABC A B C-2AB=1AA=2BO=11B C={},,a b ca b+a b-c a b+b c+c a+34a b-23b c-36a c-a b+a b c++2cABCD⊥//PQ DFDFQ△1111ABCD A B C D-12AB AD AA===1160DAB A AB A AD∠=∠=∠=︒1AQ mAB nAD p AA=++[0,1]p∈A.若点Q 在平面内,则B.若,则C.当D.当三、填空题12.设向量,,若,则________.13.在空间直角坐标系中,点A,B,C,M 的坐标分别是,,,,若A,B,C,M 四点共面,则________.14.如图,在三棱锥中,点G为底面的重心,点M 是线段OG 上靠近点G 的三等分点,过点M 的平面分别交棱,,于点D ,E ,F ,若,,________.四、解答题15.已知空间向量,,,.(1)求;(2)判断与以及与的位置关系.16.已知正四面体OABC 的棱长为2,点G 是的重心,点M 是线段AG 的中点.1111A B C D 1p =CQ DB ⊥m n =p =-m n +=()1,,3a m = ()4,1,0b =- a b ⊥m =O xyz -()2,0,2()2,1,0()0,4,1-()0,,5m -m =O ABC -ABC △OA OB OC OD kOA = OE mOB =OF nOC= 11m n+=11,2,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 11,,122b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12,3,2c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 311,,24d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()a cb +⋅a b c dOBC △(1)用,,表示(2)求.17.如图,在长方体中,,,,,,分别为棱,,,的中点.(1)证明:,,,四点共面;(2)若点在棱,且平面,求CP 的长度.18.如图,四棱柱的底面ABCD 为矩形,,M 为BC 中点,平面平面ABCD ,.(1)证明:平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.19.在三棱台中,平面ABC ,,D ,E 分别为CA ,CB 的中点.OA OB OC OMOM AB ⋅1111ABCD A B C D -2AB BC ==14AA =2A 2B 2C 2D 1BB 11B C 11C D 1DD 2A 2B 2C 2D P 1CC 1A P ⊥2222A B C D 1111ABCD A B C D -2AD AB =11AA D D ⊥11AA A D AD ==1A D ⊥11ABB A 1B A A M --111ABC A B C -1CC ⊥1122AB BC AC A B ====(1)证明:平面;(2)已知,F 为线段AB 上的动点(包括端点).①求三棱台的体积;②求与平面所成角的正弦值的最大值.1//A B 1C DE 11BC A C ⊥111A B C ABC -1C F 11ABB A参考答案1.答案:B解析:.故选:B.2.答案:C解析:点关于x 轴对称点的坐标为.故选:C.3.答案:B解析:连接AE 并延长交CD 于点F ,因为E 为的重心,则F 为CD 的中点,且.故选:B.4.答案:C解析:因为法向量a ,b 所成的角与两平面所成的角相等或互补,所以.5.答案:B解析:,面的法向量为,则点到平面故选:B.PB AB AC PB BA AC PC -+=++=()1,1,2A ()1,1,2--ACD △23AE AF=()2211133233BE AE AB AF AB AC AD AB AC AD AB ∴=-=-=⨯+-=+- 1133a b c =-++ =1=±()2,1,4PA =- α()1,1,1n =-()1,1,3P -α6.答案:D解析:,夹角的余弦值为,夹角的正弦值为,为邻边的平行四边形的面积为.故选D.7.答案:D解析:因为,,所以,则向量在向量.故选:D.8.答案:D解析:因为正三棱柱中,有,所以O为的中点,取中点Q,连接,如图,以O为原点,,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,因为M是棱上一动点,设,且,因为所以ABACcos,AB ACAB ACAB AC⋅===⋅ABACsin,AB AC=AB ACsin,S AB AC AB AC=⋅⋅==(2,3,0)a=-(0,3,4)b=203304a b⋅=⨯-⨯+⨯=-5=ab99(0,3,4)27360,,22555525b⎛⎫---⨯=-⎪⎭=⎝111ABC A B C-2BC BO=BC11B COQ OC OA OQ(0,0,0)O A1(B-1C11B C(M a[1,1]a∈-(MA a=-=2MOMNMA===于是令,,,,又函数上为增函数,所以当,即线段故选:D.9.答案:AB解析:设,所以,无解,所以,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A 正确;设,则,所以,无解,所以,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B 正确;因为,所以,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故C 错误;因为,所以,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D 错误.故选:AB.10.答案:AC解析:因为四边形ABCD ,ABEF 都是边长为2的正方形,平面平面ABEF ,所以,又平面平面,平面ABCD ,所以平面ABEF ,由题意知AB ,AD ,AF 两两互相垂直,以A 为坐标原点,AD ,AB ,AF 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴t =t ∈233t t t t -==-t ∈y t =-t =min 3t t ⎫-==⎪⎭MN ()=+a b a b c λμ+- =110λλμ⎧⎪=-⎨⎪=⎩a b + a b - c()()a b m b c n c a +=+++ ()a b na mb m n c +=+++ 110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩a b + b c + c a+ ()3634223a c a b b c -=-+-34a b - 23b c - 36a c - ()122a b a b c c +=++-34a b - 23b c - 36a c - ABCD ⊥AD AB ⊥ABCD ABEF AB =AD ⊂AD ⊥建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,又P ,Q 分别是线段AE ,BD 的中点,所以,,所以,,又PQ ,DF 不共线,所以,故A 正确;,,设异面直线AQ ,PF 所成角为,则,所以;由,因为所以的面积故选:AC.11.答案:ABD解析:对于选项A,若点Q 在平面内,易知有,(0,0,0)A ()0,2,0B ()2,0,0D ()0,2,2E ()0,0,2F ()0,1,1P ()1,1,0Q ()1,0,1PQ =- ()2,0,22DF PQ =-=- //PQ DF ()1,1,0AQ = ()0,1,1PF =-θcos AQ PF AQ PF θ⋅==⋅ π0,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦θ=()0,1,1PF =- ()2,0,2DF =- ====//PQ DF DFQ △12S ==⨯=1111A B C D 11111AQ A B A D AB AD λμλμ=+=+所以,又,则,故A 正确;对于选项B,由题意易得,,且,又,即,故,解得,故B 正确;对于选项C,由题易知四面体为正四面体,设在平面ABCD 内的射影为点H ,则H 为的中心,易得当所以,又,由基本不等式可知111AA AQ AB AD AA AQ λμ+==++ 1AQ mAB nAD p AA =++1p =1122cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=1()(1)(1)CQ AQ AC AQ AB AD m AB n AD p AA =-=-+=-+-+ DB AB AD =-CQ DB ⊥0CQ DB ⋅=2(1)2(1)0CQ DB m n ⋅=---=m n =1A ABD 1A ABD △AH =1A H =p =11132Q ABD ABD V S A H -=⋅⋅=△211)(1)AB n AD p AA -+-+ 222222111(1)(1)2(1)(1)2(1)2(1)m AB n AD p AA m n AB AD p m AB AA p n AD AA =-+-++--⋅+-⋅+-⋅ 24444mn p p =-+-2214444434342mn p p p mn mn ⎛⎫-+-=-+-≥- ⎪⎝⎭22m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭n p ===故选:ABD.12.答案:4解析:因为,所以,即,解得.故答案为:413.答案:6解析:由题意,得,,,又A,B,C,M 四点共面,则存在x ,,使得,即,即,解得,所以.故答案为:6./4.5解析:由题意可知,,因为D ,E ,F ,M 四点共面,所以存在实数,,使,所以,所以,所以a b ⊥0a b ⋅=1400m ⨯-+=4m =()0,1,2AB =- ()2,4,3AC =-- ()2,,7AM m =--y ∈R AM xAB y AC =+()()()2,,70,1,22,4,3m x y --=-+--224723y m x yx y -=-⎧⎪=+⎨⎪-=--⎩216x y m =⎧⎪=⎨⎪=⎩6m =22221()()33332OM OG OA AG OA AB AC ⎡⎤==+=+⨯+⎢⎥⎣⎦211222=()()333999OA OB OA OC OA OA OB OC ⎡⎤+-+-=++⎢⎥⎣⎦λμDM DE DF λμ=+()()OM OD OE OD OF OD λμ-=-+- (1)(1)OM OD OE OF kOA mOB mOC λμλμλμλμ=--++=--++(1)2929k m n λμλμ⎧--=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩11999(1)222m n λμλμ+=--++=15.答案:(1)(2);.解析:(1)由题知,,所以.(2)因为,,所以,所以;因为,,所以,所以.16.答案:(1)(2)解析:(1)因为点M 是线段AG 的中点,点G 是的重心,所以,因为,,(2)3-a b ⊥ //c d ()1,5,0a c +=-()()111,5,0,,1322a c b ⎛⎫+⋅=-⋅-=- ⎪⎝⎭11,2,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 11,,122b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1111210222a b ⎛⎫⋅=⨯+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ a b ⊥ 12,3,2c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 311,,24d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 3121,,224c d ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ //c d 111266OM OA OB =++ OM =23-OBC △11112111112222322266OM OA OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫=+=+⨯+=++ ⎪⎝⎭ 22cos 602OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=22222111111436366618OM OM OA OB OC OA OB OA OC OB OC==+++⋅+⋅+⋅ 1111114442222436366618=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=OM =∴111()266OM AB OA OB OC OB OA ⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭.17.答案:(1)证明见解析(2)3解析:(1)证明:连接,,,因为,,,分别为棱,,,的中点,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,又,所以,所以,,,四点共面.(2)以C 为坐标原点,以CD,CB,所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,由,,,,,分别为棱,,,的中点,可得,,,,则,,设,即,则,221111132666OA OB OA OB OB OC OA OC =⋅-++⋅-⋅11111224422326663=⨯-⨯+⨯+⨯-⨯=-22B C 11B D 22A D 2A 2B 2C 2D 1BB 11B C 11C D 1DD 1122//D B D A 2112B A D D =2112A B D D 1122//B D A D 1122//B D B C 2222//B C A D 2A 2B 2C 2D 1CC 2AB BC ==14AA =2A 2B 2C 2D 1BB 11B C 11C D 1DD ()20,2,2A ()20,1,4B ()21,0,4C ()12,2,4A ()220,1,2B A =- ()221,1,0C B =-()04CP t t =≤≤()0,0,P t ()12,2,4A P t =---由平面,故,即,解得,所以.18.答案:(1)证明见解析解析:(1)证明:因为底面ABCD 是矩形,所以,又平面平面ABCD ,平面平面,平面ABCD ,所以平面,又平面,所以,因为,所以,所以,又,,平面,所以平面;(2)取AD 的中点O ,连接,因为,所以,又平面平面ABCD ,平面平面,平面,所以平面ABCD ,连接OM ,又底面ABCD 为矩形,所以,所以OM ,AD ,两两互相垂直,以O 为坐标原点,,,为x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,设,则,,,,所以,,.由(1)知平面,所以是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为,则1A P ⊥2222A B C D 12212200A P B A A P C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()2240t ---=3t =3CP =AB AD ⊥11AA D D ⊥11AA D D ABCD AD =AB ⊂AB ⊥11AA D D 1A D ⊂11AA D D 1AB A D ⊥11AA A D AD ==22211AA A D AD +=11AA A D ⊥1AA AB A = 1AA AB ⊂11ABB A 1A D ⊥11ABB A 1AO 11A A A D =1AO AD ⊥11AA D D ⊥11AA D D ABCD AD =1A O ⊂11AA D D 1A O ⊥OM AD ⊥1OA OM OD 1OA1AB =()0,1,0A -()0,1,0D ()10,0,1A ()1,0,0M ()10,1,1AA = ()10,1,1A D =- ()1,1,0AM =1A D ⊥11ABB A 1A D11ABB A 1A AM (),,n x y z =,令,则.设二面角的平面角为由图可知二面角的平面角为锐角,所以二面角19.答案:(1)证明见解析解析:(1)证明:设交于点G ,连接EG ,如图,在三棱台中,,,又D 为AC 的中点,所以,,四边形是平行四边形,G 为的中点.又E 为BC 的中点,所以,又平面,平面,10n AA y z n AM x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x =()1,1,1n =- 1B A A M --θ11cos A D n A D n θ⋅===⋅1B A A M --1B A A M --1AC 1C D 111ABC A B C -11//A C AC 1112A C AC =11//A C DC 11A C DC =11A C CD 1AC 1//EG AB EG ⊂1C DE 1A B ⊄1C DE所以平面.(2)①连接BD ,因为平面ABC ,且平面,所以平面平面,因为,D 为CA 的中点,所以,又平面平面,平面,所以平面,由平面,所以,又,,,平面,所以平面,由平面,所以,故四边形为菱形,,所以三棱台②如图所示建立平面直角坐标系,则,,,,不妨设,则,,设平面的一个法向量为,则,得,令,可得,设与平面所成角为,则所以与平面1//A B 1C DE 1CC ⊥1CC ⊂11AA C C ABC ⊥11AA C C AB BC =BD AC ⊥ABC 11AA C C AC =BD ⊂ABC BD ⊥11AA C C 1A C ⊂11AA C C 1BD A C ⊥11BC A C ⊥1BC BD B = 1BC BD ⊂1BDC 1A C ⊥1BDC 1DC ⊂1BDC 11A C DC ⊥11A C CD 11CC =111A B C ABC -1⨯=()10,0,1C ()11,0,1A ()B FA BA λ=()2,0F λ-()12,1C F λ=-- 11ABB A (),,n x y z =100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩1y =n = 1C F 11ABB A θ1sin cos ,n C F θ==≤=1C F 1ABB A。

2024-2025学年四川省成都七中高二(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年四川省成都七中高二(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年四川省成都七中高二(上)期中数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.以点C(−1,−5)为圆心,并与x轴相切的圆的方程是( )A. (x+1)2+(y+5)2=9B. (x+1)2+(y+5)2=16C. (x−1)2+(y−5)2=9D. (x+1)2+(y+5)2=252.若a=(−1,2,1),b=(1,3,2),则(a+b)⋅(2a−b)=( )A. 2B. 5C. 21D. 263.“m=−3”是“直线l1:(m+1)x+2y+1=0与直线l2:3x+my+1=0平行”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知椭圆的两个焦点坐标分别为(−2,0),(2,0),且椭圆上的点P到两焦点的距离之和为8,则椭圆的标准方程为( )A. x236+y227=1 B. x210+x26=1 C. x216+y212=1 D. y216+x212=15.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛,则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是( )A. 23B. 12C. 13D. 146.如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”,则下列说法一定错误的是( )A. 数据中可能存在极端大的值B. 这组数据是不对称的C. 数据中众数一定不等于中位数D. 数据的平均数大于中位数7.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在线段CC1上,且CC1=4CE,点F为BD中点,则点D1到直线EF的距离( )A. 1143B. 1142C. 742D. 7438.已知O(0,0),Q(0,1),直线l1:kx−y+2k+4=0,直线l2:x+ky+4k+2=0,若P为l1,l2的交点,则2|PO|+|PQ|的最小值为( )A. 6−32B. 37C. 9−32D. 3+6二、多选题:本题共3小题,共18分。

2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷一、单选题:本题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.直线的倾斜角为()A.B.C.D.2.已知空间中直线l 的一个方向向量,平面的一个法向量,则()A.直线l 与平面平行B.直线l 在平面内C.直线l 与平面垂直D.直线l 与平面不相交3.设F 为抛物线C :的焦点,则F 到其准线的距离为()A.1 B.2 C.3D.44.已知是数列的前n 项和,,则()A.1B.3C.5D.85.双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.6.线上支付已成为当今社会主要的支付方式,为了解某校学生12月份A ,B 两种支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下:支付金额元支付方式大于1000仅使用A 20人8人2人仅使用B10人6人4人从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人,两人支付金额均多于500元的概率是()A.B.C.D.7.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周,因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星,则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为()A.2041年年B.2061年年C.2081年年D.2101年年8.在平面直角坐标系中,M ,N 分别是x ,y 轴正半轴上的动点,若以MN 为直径的圆与直线相切,则该圆半径的最小值为()A. B.1C.D.29.已知,则“,a ,b ,2为等比数列”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.曲线C:,其中m,n均为正数,则下列命题错误..的是()A.当,时,曲线C关于中心对称B.当,时,曲线C是轴对称图形C.当,时,曲线C所围成的面积小于D.当,时,曲线C上的点与距离的最小值等于1二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。

山西省名校2024-2025学年高二上学期10月联合考试数学试卷(含解析)

山西省名校2024-2025学年高二上学期10月联合考试数学试卷(含解析)

2024—2025学年山西名校十月联合考试高二数学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:人教A 版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第一章至第二章2.4.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量,.若,则( )A.4B. C.8D.2,将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则( )A. B. C. D.3,若直线:与直线:垂直,且直线:与直线:垂直,则( )A.1B. C.2D.4.若点在圆:的外部,则的取值范围为( )A. B.C. D.5.在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝,则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为( )A.B.C.D.6.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中,,,,,分别是所在棱的中点,则下列3个直观图中满足的有( )()1,a m = ()2,8b m =-//a b m =4-8-()sin 9f x x =19()g x ()g x =()sin 91x +1sin 981x ⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 99x ⎛⎫+⎪⎝⎭πsin 99x ⎛⎫+⎪⎝⎭1l 320ax y -+=2l 330ax y ++=3l 240a x y -+=4l ()20x a y ++=a =1-2-()2,2P C 2224380x y ax y a +++++=a 24,17⎛⎫-- ⎪⎝⎭()24,4,7⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭()1,+∞()24,14,7⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭353102513111ABC A B C -π2ABC ∠=1AB BC AA ==D E F BF DE ⊥A.0个B.1个C.2个D.3个7.在四面体中,为的外心,底面,,,,则四面体外接球的表面积为( )A.B. C.D.8.已知,直线:,过点作的垂线,垂足为,则点到轴的距离的最小值为( )A. B. C. D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得分分,有选错的得0分.9.已知集合,,,则()A. B. C. D.10.已知一组数据为1,,,3,4,,1,1,3,2,其中,则( )A.这组数据的中位数不可能为3B.当这组数据的众数为1时,C.当时,这组数据的方差为1.25D.当这组数据的平均数为2.2时,的最小值为11.已知四棱柱的底面是边长为6的菱形,平面,,,点满足,其中,则( )A.当为底面的中心时,B.当时,C.当时,长度的最大值为6ABCD E ABC △DE ⊥ABC 1AC =DE =1sin 4ABC ∠=ABCD 49π318π50π320π()1,3A -l ()()21210m x m y m +-++-=A l B B x 444+8-1,2M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 32,2N x x n n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ,2p P x x p ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z N P⊆P M⊆N M⊆M N⊆x y x 05x y <<≤3x ≠340x y -+-=24x y +1671111ABCD A B C D -1AA ⊥ABCD 13AA =π3DAB ∠=P 1AP AB AD t AA λμ=++ [],,0,1t λμ∈P 1111A B C D 53t λμ++=1t λμ++=AP 1t λμ++=APD.当时,为定值三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若复数满足,则的虚部为______,______.13.已知在正四棱台中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为______.14.已知函数.若不等式对任意恒成立,则的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在中,角,,的对边分别为,,,已知.(1)若,求;(2)若,,求的面积.16.(15分)如图,在正六棱柱中,为的中点.设,,.(1)用,,表示向量,;(2)若,求的值.17.(15分)已知圆经过点,,.(1)求圆的标准方程;(2)若一条光线从点射向直线,经该直线反射后经过圆上的点,求该光线从点到点的路线长的最小值.18.(17分)如图,已知,,,四点均在直径为6的球的球面上,,,,221t λμλμ++==1A Pz ()2i 10z +⋅=z z =1111ABCD A B C D -()0,4,0AB = ()13,1,1CB =- ()112,0,0A D =-1DB 11A D ())3311log 4f x x x =-++()()()42320x x f f m f -+⋅+-<x ∈R m ABC △A B C a b c 2cos c b a B +=π2A =B a =1b =ABC △111111ABCDEF A B CDEF -M 1FF AB a = AF b = 1AA c =a b c DM 1BE2a c ==1DM BE ⋅ M ()1,3A ()2,4B ()3,3C M ()0,1D 40x y --=M E D E A O C P B 6AP =0AO OC ⋅= AH HO =,,直线与平面所成的角为,点在线段上运动.(1)证明:平面.(2)设平面与平面的夹角为,求的最大值.19.(17分)过点作斜率分别为,的直线,,若(),则称直线,是定积直线或定积直线.(1)已知直线:(),直线:,试问是否存在点,使得直线,是定积直线?请说明理由.(2)在中,为坐标原点,点与点均在第一象限,且点在二次函数的图象上.若直线与直线是定积直线,直线与直线是定积直线,直线与直线是定积直线,求点的坐标.(3)已知直线与是定积直线,设点到直线,的距离分别为,,求的取值范围.OK KC = PC AC =PO AOC π3D PC CP ⊥AOC BOC KHD θcos θ()00,A x y 1k 2k 1l 2l 12k k μ=0μ≠1l 2l ()A K μ()()00,xy K μa y kx =0k ≠b 13y x k=-A a b ()A K μOPM △O P M ()00,M x y 23y x =-OP OM ()()0,01K OP PM ()2P K -OM PM ()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭P m n ()()2,44K --()0,0O m n 1d 2d 12d d2024—2025学年山西名校十月联合考试高二数学参考答案1. D 根据题意可得,解得.2. A 易得.3. B 由得.4. D 根据题意可得解得或.5. B 将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃分别设为,,,,,根据题意可得该游客从中随机选择3种品尝的所有情况有,,,,,,,,,,共10种,其中该游客选择了油炸糕和莜面品尝的情况有3种,故所求概率为.6. C 设,以,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(图略),则.在图①中,,,,则,,所以,满足;在图②中,,,,则,,所以,满足;在图③中,,,,则,,所以,不满足.7. C 设四面体的外接球为球,其半径为,外接圆的半径为.由正弦定理得,则.由,,得,解得,所以球的表面积为.82m m -=8m =-()()11sin 9sin 9199g x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22330,20,a a a ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩1a =-()24448380,4164380,a a a a +++++>⎧⎨+-+>⎩2417a -<<-4a >A B C D E ()A,B,C ()A,B,D ()A,B,E ()A,C,D ()A,C,E ()A,D,E ()B,C,D ()B,C,E ()B,D,E ()C,D,E 3102AB =BA BC 1BB x y z ()0,0,0B ()1,0,2D ()0,1,0E ()1,1,0F ()1,1,0BF = ()1,1,2DE =--110BF DE ⋅=-+=BF DE ⊥()1,0,2D ()1,1,0E ()0,2,1F ()0,2,1BF = ()0,1,2DE =-220BF DE ⋅=-= BF DE ⊥()1,0,0D ()1,1,0E ()1,1,2F ()1,1,2BF = ()0,1,0DE =10BF DE ⋅=≠BF DE ⊥ABCD O r ABC △R 24sin ACR ABC==∠2CE R ==OC OD =OE CE ⊥)2222r r =+r =O 250π43r π=8. B 由,得.令解得即过定点,所以点在以为直径的圆上,其中圆心.因为圆心到轴的距离为4,所以点到轴的距离的最小值为.9. AC 由题意得,,所以,A ,C 正确,B,D 错误.10. BCD 当时,这组数据的中位数为3,A 错误.当这组数据的众数为1时,若,则这组数据的众数为3,这与这组数据的众数为1矛盾,所以,B 正确.当时,,,,,C 正确.当这组数据的平均数为2.2时,,则,当且仅当,即时,等号成立,D 正确.11. BCD 连接,.设与交于点,则.当为底面的中心时,.()()21210m x m y m +-++-=()2210m x y x y -++--=20,210,x y x y -+=⎧⎨--=⎩3,5,x y =⎧⎨=⎩l ()3,5C B AC M ()1,4M =M x B x 4-21,2m M x x m ⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ()4114341,,222n n k N x x n x x k ⎧⎫-+-⎧+⎫⎪⎪===∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭Z Z 221,2k x x k ⎧⨯+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z N M P ÞÞ3x ≥3x =3x ≠340x y -+-=3x =4y = 2.5x =()222150.55 1.5 1.2510s =⨯⨯+⨯=2 2.210157x y +=⨯-=()(241241281162887777y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭28y x x y =722y x ==11A C 11B D 11A C 11B D E 1111111112222A E AB A D AB AD =+=+P 1111A B C D 1111122AP AA A E AB AD AA =+=++因为,所以,,所以,A 错误.当时,点在平面内,则长度的最大值为6,长度的最小值即到平面的距离.设到平面的距离为,则,解得,B ,C 均正确.因为,所以在底面上,且,则,得,D 正确.12.;依题意得,则的虚部为,.依题意得,设异面直线与所成的角为,因为,所以14. 因为的定义域为,1AP AB AD t AA λμ=++ 12λμ==1t =2t λμ++=1t λμ++=P 1A BD AP AP A 1A BD A 1A BD h 11π1166sin 3632332h ⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯h =221t λμλμ++==P 1111A B C D 1A P AB AD λμ=+()2222222123636A P AB AD AB AD λμλμλμλμ=++⋅=++= 16A P =2-()()()102i 102010i42i 2i 2i 2i 5z --====-++-z 2-z ==()1113,3,1DB DC CB AB CB =+=+= 1DB 11A D θπ0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦111111111cos cos ,DB A D DB A D DB A D θ⋅====(),4-∞()f x R ())3311log 4f x x x-=--+-,所以为奇函数.因为函数在上单调递增,函数在上单调递增,所以在上单调递增.因为为奇函数,所以在上单调递增,因为,所以不等式即为,则.因为,所以,即.因为,当且仅当,即时,等号成立,所以,即的取值范围是.15.解:(1)因为,所以.因为,所以,则或(舍去),所以.因为,所以.(2)由(1)得.因为,解得所以,,,所以.故的面积为.16.解:(1).)()3331311log 1log 44x x x f x =--+=-+-=-()f x 3114y x =-[)0,+∞)3log y x =+[)0,+∞()f x [)0,+∞()f x ()f x R ()()3232f f --=()()()42320xx ff m f -+⋅+-<()()()4232x x f f m f -+⋅<()4232x x f m -+⋅<()34311log 932f =-+=424xxm -+⋅<444222x x xx m +<=+4242x x +≥=422xx =1x =4m <m (),4-∞2cos c b a B +=sin sin 2sin cos C B A B +=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+()sin sin cos cos sin sin B A B A B A B =-=-B A B =-πB A B +-=2A B =π2A =π4B =2A B =sin sin a bA B=1sin B =cos B =π4B =π2A =π4C =1c b ==ABC △111122⨯⨯=()111222DM DE EF FM AB AB AF AA a b c =++=--++=--+ ()111122BE BA AF FE EE AB AF AB AF AA AF AA a c=+++=-++++=+=+(2)由题意易得,,则.17.解:(1)设圆的标准方程为().代入,,的坐标,得解得所以圆的标准方程为.(2)设点关于直线对称的点的坐标为,则解得即.由(1)可得圆的圆心为,半径,则该光线从点到点的路线长的最小值为.18.(1)证明:由题意可知为球的直径,所以,.又因为,所以,,所以平面,平面,所以,,所以平面.(2)解:如图,以为坐标原点,,所在直线分别为轴,轴建立空间直角坐标系.2π1cos 22232a b a b ⎛⎫⋅=⨯=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭0a c ⋅= ()11222DM BE a b c b c⎛⎫⋅=--+⋅+ ⎪⎝⎭22221142242222a b a c b b c b c c a b a c b c=-⋅-⋅--⋅+⋅+=-⋅-⋅-+ ()2214222222=-⨯--⨯+⨯=M ()()222x a y b r -+-=0r >()1,3A ()2,4B ()3,3C ()()()()()()22222222213,24,33,a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩M ()()22231x y -+-=()0,1D 40x y --=D '(),m n 111,0140,22n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨+⎪--=⎪⎩5,4,m n =⎧⎨=-⎩()5,4D '-M ()2,3M 1r =D E 11D M r '-=-=-AP B AC CP ⊥AO OP ⊥0AO OC ⋅=AO OC ⊥OC OP O = AO ⊥POC CP ⊂POC AO CP ⊥AO AC A = CP ⊥AOC O OA OC x y根据题意可得,,,则,所以,,,,,,则,,,设平面的法向量为,则取.设(),则.设平面的法向量为,则取.令,,,6AP =PC AC ==π3POC ∠=OC ==AO ==()A ()C )HK ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(P B OB = ()OC = HK ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭BOC ()111,,m x y z =11110,0,m OB y z m OC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ (m = ()CD CP λ==01λ≤≤KD KC CD ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭KHD ()222,,n x y z =22220,0,n HK y n KD y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ ),,1n =- cos cos ,m n m n m n θ⋅====31t λ=+[]1,4t ∈11,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则,当,即,时,.19.解:(1)由题意可得,由得故存在点,使得,是定积直线,且.(2)设直线的斜率为(),则直线的斜率为,直线的斜率为.依题意得,得,即或.直线的方程为,因为点在直线上,所以.因为点在第一象限,所以,解得或(舍去),,,所以直线的方程为,直线的方程为,由得即点的坐标为.(3)设直线:,直线:,其中,则,,当且仅当,即时,等号成立,所以,即,故的取值范围为.cos θ===123t =32t =16λ=cos θ1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭()0,1,3y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩()0,0A a b ()A K μ13μ=-OM λ0λ≠OP 1λPM 2λ-()2022x λλ⋅-=-2201x λ=01x λ=1-OM y x λ=()200,3M x x -OM 2003x x λ-=M 20031x x λ-==02x =2-12λ=()2,1M OP 12y x x λ==PM ()2213y x x λ=--+=-+2,3,y x y x =⎧⎨=-+⎩1,2,x y =⎧⎨=⎩P ()1,2m ()42y t x -=+n ()442y x t -=-+0t ≠12d d ===2216171725t t ++≥=2216t t=24t =08≤<1208d d ≤<12d d [)0,8。

吉林省2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案

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2024—2025学年上学期高二年级数学学科阶段验收考试试卷(答案在最后)考试时间:90分钟满分:120分命题人:一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=,则下列说法不正确的是()A.事件{}1,2P =是随机事件B.事件{}0,1,2Q =是必然事件C.事件{}1,2M =--是不可能事件D.事件{}1,0-是随机事件【答案】D 【解析】【分析】根据随机事件,必然事件,不可能事件的概念判断即可.【详解】随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=,则事件{}1,2P =是随机事件,故A 正确;事件{}0,1,2Q =是必然事件,故B 正确;事件{}1,2M =--是不可能事件,故C 正确;事件{}1,0-是不可能事件,故D 错误.故选:D2.已知点()1,0A ,(1,B -,则直线AB 的倾斜角为()A.5π6B.2π3C.π3 D.π6【答案】B 【解析】【分析】由两点坐标求出斜率,由倾斜角与斜率的关系即可求【详解】0tan 11AB k α-===--,()0,πα∈,故直线AB 的倾斜角2π3α=.故选:B3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏,在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图,甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者,假设甲、乙、丙每次投壶时,投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次,则这3人中至少有2人投中的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【答案】A 【解析】【分析】由独立事件概率乘法公式可得.【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件123,,A A A ,由题知()()()()()()1231230.6,0.4P A P A P A P A P A P A ======,则3人中至少有2人投中的概率为:()()()()123123123123P P A A A P A A A P A A A P A A A =+++320.630.60.40.648=+⨯⨯=.故选:A.4.设,A B 是一个随机试验中的两个事件,且()()()131,,+252P A P B P A B ===,则()P AB =()A.13B.15C.25D.110【答案】D 【解析】【分析】先利用和事件的概率公式求出()P AB ,然后利用()()()P AB P A P AB =-求解即可.【详解】因为1()2P A =,3()5P B =,所以()251,()2P A P B ==,又()()()()()122512P A B P A P B P AB P AB +=+-=+-=,所以()25P AB =,所以()()()1102512P P P A AB A B ==-=-.故选:D.5.若()2,2,1A ,()0,0,1B ,()2,0,0C ,则点A 到直线BC 的距离为()A.5B.5C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由题意得()2,2,0BA = ,()2,0,1BC =-,再根据点线距离的向量公式即可求解.【详解】()2,2,0BA = ,()2,0,1BC =- ,则BA 在BC上的投影向量的模为BA BC BC⋅= 则点A 到直线BC5=.故选:A.6.某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训,甲、乙两位队员进行对抗赛,每局依次轮流....发球,连续赢2个球者获胜,通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的概率为23,乙发球甲赢的概率为14,不同球的结果互不影响,已知某局甲先发球.则该局打4个球甲赢的概率为()A.13B.16C.112 D.524【答案】C 【解析】【分析】由于连胜两局者赢,则可写出四局的结果,计算即可.【详解】由于连胜两局者赢,甲先发球可分为:该局:第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢,则概率为22133231441⨯⨯⨯=;故选:C.7.据史书记载,古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成,如图所示,据《孙子算经》记载,算筹记数法则是:凡算之法,先识其位,一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当.即在算筹计数法中,表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推.例如⊥‖表示62,=T 表示26,现有6根算筹,据此表示方式任意表示两位数(算筹不剩余且个位不为0),则这个两位数不小于50的概率为()A.13B.12C.23D.35【答案】B 【解析】【分析】根据6根算筹,分为五类情况:51,42,33,24,15+++++,逐一分类求解满足要求的两位数,即可求解概率.【详解】根据题意可知:一共6根算筹,十位和个位上可用的算筹可以分为51,42,33,24,15+++++一共五类情况;第一类:51+,即十位用5根算筹,个位用1根算筹,那十位可能是5或者9,个位为1,则两位数为51或者91;第二类:42+,即十位用4根算筹,个位用2根算筹,那十位可能是4或者8,个位可能为2或者6,故两位数可能42,46,82,86;第三类:33+,即十位用3根算筹,个位用3根算筹,那么十位可能是3或者7,个位可能为3或者7,故两位数可能是33,37,73,77;第四类:24+,即十位用2根算筹,个位用4根算筹,那么十位为2或6,个位可能为4或者8,则该两位数为24或者28或者64或者68,第五类:15+,即十位用1根算筹,个位用5根算筹,那十位是1,个位为5或者9,则两位数为15或者19;综上可知:用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有:15,19,24,28,33,37,42,46,51,64,68,73,77,82,86,91共计16个,则不小于50的有:51,64,68,73,77,82,86,91共计8个,故概率为81=162,故选:B.8.正三棱柱111ABC A B C -中,12,3,AB AA O ==为BC 的中点,M 为棱11B C 上的动点,N 为棱AM上的动点,且MN MOMO MA=,则线段MN 长度的取值范围为()A.4⎡⎫⎢⎣⎭B.,27⎢⎣⎦C.34747⎢⎣⎦D.【答案】B 【解析】【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系,设动点坐标,结合线线关系求线段MN 的表达式,利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱11ABC A B C -中,O 为BC 的中点,取11B C 中点Q ,连接OQ ,如图,以O 为原点,,,OC OA OQ 为,,x y z轴建立空间直角坐标系,则()()((110,0,0,,1,0,,1,0,O A B C -,因为M 是棱11B C上一动点,设(M a ,且[1,1]a ∈-,所以(()0OM OA a ⋅=⋅=,则OA OM ⊥,因为ON AM ⊥,且MN MOMO MA=所以在直角三角形OMA 中可得:~OMN AMO 即222MO MN MA===,于是令tt =∈,2233tt t t-==-,t ∈,又符合函数3=-y t t 为增增符合,所以在t ∈上为增函数,所以当t =min 32t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,即线段MN 长度的最小值为62,当t =时,max 37t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,即线段MN长度的最大值为7,故选:B.【点睛】关键点睛:1.找到~OMN AMO ,再利用函数单调性求出最值.2.建系,设出动点(M a ,利用空间向量法求出ON AM ⊥,再结合线线关系求线段MN 的表达式,利用函数求最值即可.二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列命题中正确的是()A.若表示两个空间向量的有向线段的终点不同,则这两个向量可能相等;B.在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中,BD ⊥平面11ACC A ;C.对于空间三个非零向量,,a b c,一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立;D.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点,M N 分别是棱11A D ,AB 的中点,则异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25.【答案】ABD 【解析】【分析】由相等向量的概念即可判断选项A ,利用线面垂直的判定定理证明即可判断选项B ,由数量积的性质即可判断选项C ,建立空间直角坐标系利用向量的坐标即可计算异面直线MD 与NC 所成角的余弦值判断选项D.【详解】若表示两个空间向量的有向线段的终点不同,而当两向量方向和长度相等时,这两个向量相等;故A 正确;在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中,即直棱柱1111ABCD A B C D -中底面为菱形,因为BD AC ⊥,1AA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1AA BD ⊥,又1AA AC A = ,所以BD ⊥平面11ACC A ;故B 正确;对于空间三个非零向量,,a b c ,有()a b c c λ⋅⋅= ,()a b c a μ⋅⋅=,所以不一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立,故C错误;建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0D ,()1,0,2M ,()2,1,0N ,()0,2,0C ,所以()1,0,2DM = ,()2,1,0NC =-,所以2cos ,5DM NC ==-,所以异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25,故D 正确.故选:ABD.10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数,数字y 表示第二次抛掷骰子的点数,用(),x y 表示一次试验的结果.记事件A =“7x y +=”,事件B =“3x ≤”,事件C =“()21N xy k k *=-∈”,则()A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果,再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子,基本事件总数为6636⨯=个;其中事件A =“7x y +=”包含的样本点有:()1,6,()2,5,()3,4,()4,3,()5,2,()6,1共6个;事件C =“()*21Nxy k k =-∈”,包含的样本点有:()1,1,()3,3,()5,5,()1,3,()1,5,()3,1,()3,5,()5,1,()5,3共9个,事件B =“3x ≤”,包含的样本点有:()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()1,5,()1,6,()2,1,()2,2,()2,3,()2,4,()2,5,()2,6,()3,1,()3,2,()3,3,()3,4,()3,5,()3,6共18个,对于A ,()91364P C ==,故A 正确;对于B ,事件AB 包含的样本点有()1,6,()2,5,()3,4共3个,所以()()()6118131,,3663623612P A P B P AB ======,所以()()()P A P B P AB =,所以A 与B 相互独立,故B 正确;对于C ,A C U 包含的样本点个数满足691536+=<,所以A 与C 不为对立事件,故C 错误;对于D ,事件BC 包含的样本点有:()1,1,()1,3,()1,5,()3,1,()3,3,()3,5,共6个,而()14P C =,()12P B =,()61366P BC ==,从而()()()1816P P P BC B C ≠==,所以B 与C 不相互独立,故D 错误.故选:AB.11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为棱1BB 上一点,且12B P PB =,Q 为正方形11BB C C 内一动点(含边界),则下列说法中正确的是()A.若1D Q ∥平面1A PD ,则动点Q 的轨迹是一条长为3的线段B.存在点Q ,使得1D Q ⊥平面1A PD C.三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D.若12D Q =,且1D Q 与平面1A PD 所成的角为θ,则sin θ【答案】ACD 【解析】【分析】在111,BC CC 取点,E F ,使得1112,2C E B E C F CF ==,证得平面//DEF 平面1A PD ,进而得到1//D Q 平面1A PD ,可判定A 正确;以1D 为原点,建立空间直角坐标系,求得平面1A PD 的一个法向量(3,2,3)m =-,根据1D Q m λ= ,得出矛盾,可判定B 不正确;利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式,求得16A PD S =,在求得点Q 到平面1A PD的最大距离max d =,结合体积公式,可判定C 正确;根据题意,求得点点Q 的轨迹,结合线面角的公式,求得11(,1,)22Q 时,取得最大值,进而可判定D 正确.【详解】对于A 中,如图所示,分别在111,BC CC 取点,E F ,使得1112,2C E B E C F CF ==,可得1//EF B C ,因为11//A D B C ,所以1//EF A D ,因为1A D ⊂平面1A PD ,EF ⊄平面1A PD ,所以//EF 平面1A PD ,又由11//D F A P ,且1A P ⊂平面1A PD ,1D F ⊄平面1A PD ,所以1//D F 平面1A PD ,又因为1EF D F F ⋂=,且1,EF D F ⊂平面DEF ,所以平面//DEF 平面1A PD ,且平面DEF ⋂平面11BCC B EF =,若1//D Q 平面1A PD ,则动点Q 的轨迹为线段EF ,且223EF =,所以A 正确;对于B 中,以1D 为原点,以11111,,D A D C D D 所在的直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,可得12(1,0,0),(0,0,1),(1,1,)3A D P ,则112(1,0,1),(0,1,)3A D A P =-= ,设(,1,)(01,01)Q x z x z ≤≤≤≤,可得1(,1,)D Q x z =,设(,,)m a b c = 是平面1A PD 的一个法向量,则110203m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取3c =,可得3,2z b ==-,所以(3,2,3)m =-,若1D Q ⊥平面1A PD ,则1//D Q m,所以存在R λ∈,使得1D Q m λ= ,则3[0,1]2x z ==-∉,所以不存在点Q ,使得1D Q ⊥平面1A PD ,所以B 错误;对于C 中,由112(1,0,1),(0,1,3A D A P =-=,可得1111132,33A D A P A D A P ==⋅=,则11cos ,A D A P =11sin ,A D A P = ,所以111111sin 2236A PD S A D A P DA P =⋅∠=⨯ ,要使得三棱锥1Q A PD -的体积最大,只需点Q 到平面1A PD 的距离最大,由1(1,1,)AQ x z =- ,可得点Q 到平面1A PD的距离1)5A Q m d x z m ⋅==+-,因为01,01x z ≤≤≤≤,所以当0x z +=时,即点Q 与点1C重合时,可得max d =,所以三棱锥1Q A PD -的最大体积为111533618A PD S =⋅=,所以C 正确;对于D 中,在正方体中,可得11D C ⊥平面11BCC B ,且1C Q ⊂平面11BCC B ,所以111D C C Q ⊥,则12C Q ==,所以点Q 的轨迹是以1C为圆心,以2为半径的圆弧,其圆心角为π2,则1(,0,)C Q x z =,所以12C Q == ,即2212x z +=,又由1(,1,)D Q x z =,设1D Q 与平面1A PD 所成的角θ,所以111sin cos ,m D Q m D Q m D Qθ⋅===,因为2212x z +=,可得222()2()x z x z +≤+,当且仅当x z =时,等号成立,所以1x z +≤,即12x z ==时,1D Q 与平面1A PD 所成的角最大值,sin θ=D 正确.故选:ACD.【点睛】方法点睛:求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略:1、解答方法:一般时根据线面平行,线面垂直的判定定理和性质定理,结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹,有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程;2、对于线面位置关系的存在性问题,首先假设存在,然后再该假设条件下,利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论,则否定假设;3、对于探索性问题用向量法比较容易入手,一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若由解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在,同时,用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导思想是解答此类问题的关键.三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,第14题第一个空2分,第二个空3分,共15分.12.已知()3,2,1a =- ,()2,1,2b =r,当()()2ka b a b +⊥- 时,实数k 的值为____________.【答案】6【解析】【分析】由题意依次算得22,,a b a b ⋅ 的值,然后根据()()2ka b a b +⊥-列方程即可求解.【详解】因为()3,2,1a =-,()2,1,2b = ,所以()2294114,4149,3221126a ba b =++==++=⋅=⋅+⋅+-⋅=,因为()()2ka b a b +⊥-,所以()()()()22221214186122120ka b a b ka b k a b k k k +⋅-=-+-⋅=-+-=-=,解得6k =.故答案为:6.13.柜子里有3双不同的鞋子,分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋,从中有放回地....取出2只,记事件M =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的,但不是一双鞋”,则事件M 的概率是____________.【答案】13【解析】【分析】列举法写出试验的样本空间,根据古典概型的概率公式直接可得解.【详解】设111,,a b c 表示三只左鞋,222,,a b c 表示三只右鞋,则从中有放回取出2只的所有可能为:()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ,共计36种,其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚,但不是一双鞋的有12种,()121363P M ∴==.故答案为:13.14.已知正四面体ABCD 的棱切球1T (正四面体的中心与球心重合,六条棱与球面相切)的半径为1,则该正四面体的内切球2T 的半径为______;若动点,M N 分别在1T 与2T 的球面上运动,且满足MN x AB y AC z AD =++,则2x y z ++的最大值为______.【答案】①.3②.26+【解析】【分析】第一空:将正四面体ABCD 放入正方体中,由等体积法可知,只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球2T 的半径;第二空:由不等式可知,()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤,只需求出max MN 、minAT 即可.【详解】第一空:连接,AD EF ,设交点为M ,则M 是AD 中点,如图所示,将正四面体ABCD 放入正方体中,由对称性可知正方体中心就是正四面体ABCD 的中心,设正方体棱长为2a ,则棱切球球心到正四面体ABCD 的六条棱的距离都等于a ,设正四面体ABCD 的棱切球1T 的半径为1r ,所以11r a ==,正方体棱长为2,AD =,而正四面体ABCD 的体积为1182224222323A BCD V -⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭,正四面体ABCD的表面积为(21422A BCD S -=⨯⨯⨯=设该正四面体的内切球2T 的半径为r,则由等体积法可知,1833⨯=,解得33r =;第二空:取任意一点T ,使得()22x y z AT MN xAB y AC z AD xAO y AC z AD ++==++=++,所以点T 在面OCD 内(其中O 是AB 中点),所以()13213x y z AT MN r r ++=≤+=+,而点A 到平面OCD 的距离为d AO ==所以()1232226x y z AT x y z x y z AT+++++≤++=≤+,等号成立当且仅当2x y z ++是正数且,T O重合且13MN =+ ,综上所述,2x y z ++的最大值为26+.故答案为:33,2626+.【点睛】关键点点睛:第二空的关键是得出()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤,由此即可顺利得解.四、解答题:本大题共4小题,共47分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,,M N 分别是111,A B B C 上的点,且1112,2A M MB B N NC ==.设1,,AB a AC b AA c ===.(1)试用,,a b c 表示向量MN;(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====,求异面直线MN 与AC 的夹角的余弦值.【答案】(1)122333a b c-++(2)11【解析】【分析】(1)由空间向量的基本定理求解即可;(2)先用基向量,,a b c 表示AC 与MN ,然后求解MN 与AC 以及数量积MN AC ⋅,然后计算夹角的余弦值即可.【小问1详解】由图可得:()()1111111112123333MN MB BB B N A B AA B C AB AA AA AC AB=++=++=-++- 1122122333333AB AC AA a b c =-++=-++.【小问2详解】由(1)可知122333MN a b c =-++ ,因为11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====,所以0a b ⋅=,12a c ⋅= ,12b c ⋅= ,2222212214444814424110333999999999999MN a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅=++--+= ⎪⎝⎭ ,所以113MN = ,AC b = ,1AC =,212212221·133333333MN AC a b c b a b b c b ⎛⎫⋅=-++=-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭所以cos ,11MN AC MN AC MN AC⋅==,所以异面直线MN 与AC的夹角的余弦值为11.16.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,122AA AB ==,,E F 分别为1BB ,1CC的中点.(1)证明:1A F ∥平面CDE ;(2)求三棱锥1A CDE -的体积;(3)求直线1A E 与平面CDE 所成的角.【答案】(1)证明过程见解析(2)16(3)π6【解析】【分析】(1)借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系,求出空间向量1A F与平面CDE 的法向量后,借助空间向量计算即可得;(2)求出空间向量1A E与平面CDE 的法向量后,借助空间向量夹角公式计算即可得直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值,进一步求得三棱锥的高以及底面积即可得解.(3)由(2)可知直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值,从而即可得解.【小问1详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,AB ,AD ,1AA 两两垂直,且122AA AB ==,以A 为坐标原点,AB ,AD ,1AA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则()1,1,0C ,()0,1,0D ,()10,0,2A.因为E ,F 分别为11,BB CC 的中点,所以()1,0,1E ,()1,1,1F ,则()1,0,0CD =- ,()0,1,1CE =- ,()11,1,1A F =-,设平面CDE 的法向量为(),,m x y z = ,则00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00x y z -=⎧⎨-+=⎩,令1y =,则有0x =,1z =,即()0,1,1m =,因为()11011110A F m ⋅=⨯+⨯+-⨯= ,所以1A F m ⊥ ,又1⊄A F 平面CDE ,所以1//A F 平面CDE ;【小问2详解】由(1)可知,()11,0,1A E =-,1111cos ,2A E m A E m A E m⋅==-,所以1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12.注意到1A E =所以点1A 到平面CDE122=,而()1,0,0CD =- ,()0,1,1CE =-,从而0CD CE =⋅,1,CD CE == 所以CD CE ⊥,三角形CDE的面积为1122⨯=,所以三棱锥1A CDE -的体积为113226⨯⨯=;【小问3详解】由(2)可知,1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12,所以直线1A E 与平面CDE 所成的角为π6.17.2023年10月31日,东北师大附中以“邂逅数学之美,闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动.该活动由三个游戏组成,每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券,连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表:游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球4个,白球2个(红球编号为“1,2,3,4”,白球编号为“5,6”)取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个红球获胜编号之和不超过m 获胜(1)分别求出游戏一,游戏二的获胜概率;(2)甲同学先玩了游戏一,当m 为何值时,接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大.【答案】(1)13,49(2)m 可能取值为7,8,9,10,11【解析】【分析】(1)利用列举法,结合古典概型的概率公式即可得解;(2)利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率,从而得到游戏三获胜的概率,由此得解.【小问1详解】设事件A 表示“游戏一获胜”,B 表示“游戏二获胜”,C 表示“游戏三获胜”,游戏一中取出一个球的样本空间为{}1Ω1,2,3,4,5,6=,则()1Ω6n =,()2n A =,()2163P A ∴==,所以游戏一获胜的概率为13.游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间(){}21Ω,,Ωx y x y =∈,则()2Ω36n =,而(){}{},,1,2,3,4B x y x y =∈,所以()16n B =,()164369P B ∴==,所以游戏二获胜的概率为49.【小问2详解】设M 表示“先玩游戏二,获得书券”,N 表示“先玩游戏三,获得书券”,则M ABC ABC ABC =⋃⋃,且ABC ,ABC ,ABC 互斥,,,A B C 相互独立,()()()()()P M P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ∴=⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()1424141393939P C P C P C ⎡⎤=⨯-+⨯+⨯⎣⎦()482727P C =+,则N AC B ACB ACB =⋃⋃,且,AC B ACB ACB 互斥,,,A B C 相互独立,()P N =()()()()P ACB ACB ACB P ACB P ACB P ACB ⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P C P B P A P C P B P A P C P B ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()152414393939P C P C P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1727P C =,若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大,则()()P N P M >,即()()1748272727P C P C >+,解得()49P C >,设游戏三中两次取球的编号和为X ,则()26113C 15P X ===,()26114C 15P X ===,()26225C 15P X ===,()26226C 15P X ===,()26337C 15P X ===,()26228C 15P X ===,()26229C 15P X ===,()261110C 15P X ===,()261111C 15P X ===,所以当3m =时,()()143159P C P X ===<,不合题意;当4m =时,()()()2434159P C P X P X ==+==<,不合题意;当5m =时,()()()()44345159P C P X P X P X ==+=+==<,不合题意;当6m =时,()()()()()643456159P C P X P X P X P X ==+=+=+==<,不合题意;当7m =时,()()()()()()9434567159P C P X P X P X P X P X ==+=+=+=+==>,符合题意;所以当7m ≥时,都有()49P C >,所以符合题意的m 的取值有7,8,9,10,11.18.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图,球O 的半径为R ,A 、B 、C 为球面上的三点,设a O 表示以O 为圆心,且过B 、C 的圆,劣弧BC 的长度记为a ,同理,圆b O ,c O 的劣弧AC 、AB 的长度分别记为b ,c ,曲面ABC (阴影部分)叫做球面三角形.如果二面角,,C OA B A OB C B OC A ------的大小分别为,,αβγ,那么球面三角形的面积为()2++πABC S R αβγ=- 球面.(1)若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直,求球面三角形ABC 的面积;(2)若平面三角形ABC 为直角三角形,AC BC ⊥,设1AOC θ∠=,2BOC θ∠=,3AOB θ∠=.①求证:123cos cos cos 1θθθ+-=;②延长AO 与球O 交于点D ,若直线DA ,DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43,,(0,1]BE BD λλ=∈,S 为AC 的中点,T 为BC 的中点.设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ,求cos θ的最大值及此时平面AEC 截球O 的面积.【答案】(1)2π2R (2)①证明见解析;②cos 5θ=,253π78R 【解析】【分析】(1)根据题意结合相应公式分析求解即可;(2)①根据题意结合余弦定理分析证明;②建系,利用空间向量求线面夹角,利用基本不等式分析可知点E ,再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离,结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面,,OAB OAC OBC 两两垂直,有π2αβγ===,所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-= 球面.【小问2详解】①证明:由余弦定理有:2222122222222232cos 2cos 2cos AC R R R BC R R R AB R R R θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩,且222AC BC AB +=,消掉2R ,可得123cos cos cos 1θθθ+-=;②由AD 是球的直径,则,AB BD AC CD ⊥⊥,且AC BC ⊥,CD BC C ⋂=,,CD BC ⊂平面BCD ,所以AC ⊥平面BCD ,且BD ⊂平面BCD ,则AC BD ⊥,且AB AC A ⋂=,,AB AC ⊂平面ABC ,可得BD ⊥平面ABC ,由直线DA ,DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43,所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=,不妨先令R =,则2AD AB BD BC AC =====,由AC BC ⊥,AC BD ⊥,BC BD ⊥,以C 为坐标原点,以CB ,CA 所在直线为x ,y 轴,过点C 作BD 的平行线为z 轴,建立如图空间直角坐标系,设(,BE t t =∈,则())()0,2,0,,0,0,0,A B C D ,可得()20,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,)26,,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =,则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩,取12z =-,则110y x ==,可得()2m =- ,设平面EST 法向量()222,,n x y z =,则222202202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩,取2x =,则22,1y t z ==-,可得),,1n t =- ,因为cos cos ,m n m n m n θ⋅======,令(]1,1,13m m=+∈,则()2218mt t-==,可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+,当且仅当3,m t==取等.则cosθ5=,此时点E,可得CE=,()0,2,0CA=,设平面AEC中的法向量(),,k x yz=,则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩,取1x=,则0,y z==-,可得(1,0,k=-,可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r,则2225326r R d=-=,所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛:1.利用空间向量求线面角的思路:直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得,即sin cosθϕ=.2.利用空间向量求点到平面距离的方法:设A为平面α内的一点,B为平面α外的一点,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。

湖北省荆州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题含答案

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2024年湖北部分名校高二10月联考高二数学试卷(答案在最后)考试时间:2024年10月10日下午15:00-17:00试卷满分:150分注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知()1i 13iz +=+,则复数z 的虚部为()A.1B.1- C.iD.2【答案】B 【解析】【分析】根据除法运算求得2i z =+,即可得复数z 的虚部.【详解】由题意可得:()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-,所以2i z =-的虚部为1-.故选:B.2.一组数据23,11,14,31,16,17,19,27的上四分位数是()A.14B.15C.23D.25【答案】D 【解析】【分析】根据上四分位数的概念求值即可.【详解】把数据按从小到大的顺序排列:11,14,16,17,19,23,27,31.因为3864⨯=,∴上四分位数是2327252+=.故选:D3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”现有一类似问题:不确定大小的圆柱形木材,部分埋在墙壁中,其截面如图所示.用锯去锯这木材,若锯口深4CD =-锯道AB =则图中弧 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为()A.4πB.8C.4π8-D.8π8-【答案】C 【解析】【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积,结合扇形的面积公式即可得解.【详解】由题意4AD BD OD OC CD OA ===-=-+,在Rt AOD 中,222AD OD OA +=,即(2284OA OA +-+=,解得4OA =,故OD =π2AOB ∠=,因此221π1444π8222AOB AOB S S S =-=⨯⨯-⨯=-弓形扇形△.故选:C.4.已知πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.410+ B.310+ C.410- D.310-【答案】A 【解析】【分析】以π4θ+为整体,利用诱导公式结合倍角公式求sin 2,cos 2θθ,结合两角和差公式运算求解.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444,且πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,可得πsin 410⎛⎫+==⎪⎝⎭θ,则2ππππ4sin 2sin 2cos 212cos 42445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθ,πππππ3cos 2cos 2sin 22sin cos 424445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθθ,所以π14sin 2sin 2232210+⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭θθθ,故选:A.5.平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,且1160A AD A AB ∠=∠=︒,13AA =,M 为11A C ,11B D 的交点,则线段BM 的长为()A.3B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得11122BM AA AD AB =+-,进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知:()11111111111112222BM BB B D BB A D A B AA AD =+=+-=+-uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r uuu r uuu r uu u r,则2222211111111122442BM AA AD AB AA AD AB AA AD AA AD AB AD⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r11911323201122=+++⨯⨯-⨯⨯-=,所以BM =uuu r故选:C.6.如图,一个正八面体,八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=,记事件A =“得到的点数为奇数”,记事件B =“得到的点数不大于4”,记事件C =“得到的点数为质数”,则下列说法正确的是()A.事件B 与C 互斥B.()58P A B ⋃=C.()()()()P ABC P A P B P C =D.,,A B C 两两相互独立【答案】C 【解析】【分析】对于A :根据互斥事件的概念分析判断;对于BC :先求A B ,ABC ,结合古典概型分析判断;对于D :根据独立事件改了乘法公式可知事件A 与C 不相互独立.【详解】由题意得,事件A 的样本点为{}1,3,5,7,事件B 的样本点为{}1,2,3,4,事件C 的样本点为{}2,3,5,7,对于选项A :事件B 与C 共有样本点2,3,所以不互斥,故A 错误;对于选项B :A B 事件样本点n S ,所以()6384P A B ⋃==,故B 错误;对于选项D :因为()4182P A ==,()12P C =,且AC 事件样本点{}3,5,7,则()38P AC =,可得()()()P AC P A P C ≠,所以事件A 与C 不相互独立,故D 错误;对于选项C :因为ABC 事件样本点{}3,可得()18P ABC =,所以()()()()P ABC P A P B P C =,故C 正确.故选:C.7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球),且母线与底面所成角的正弦值为2,则此圆台与其内切球的表面积之比为()A.43B.2C.136D.73【答案】C 【解析】【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得213r r =,且14BC r =,以及内切球O的半径r =,再结合圆台和球的面积公式运算求解.【详解】设上底面半径为1r ,下底面半径为2r ,如图,取圆台的轴截面,作CM AB ⊥,垂足为M,设内切球O 与梯形两腰分别切于点,E F ,可知12=+BC r r ,21BM r r =-,由题意可知:母线与底面所成角为π3B ∠=,则211212r r BM BC r r -==+,可得213r r =,即14BC r =,12BM r =,可得1CM =,可知内切球O的半径1r =,可得()222111111π9ππ3426πS r r r r r r =+++⨯=圆台,)22114π12πS r =⨯=球,所以212126π1312π6S r S r ==台球.故选:C.8.在ABC V 中,2BC =,π3BAC ∠=,O 是ABC V 的外心,则OA BC BA CA ⋅+⋅ 的最大值为()A.2B.103C.113D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意结合向量运算可得22OA BC BA CA c ⋅+⋅=-+uu r uu u r uu r uu r,利用正弦定理求边c 的最大值即可.【详解】设角,,A B C 所对的边分别为a ,b ,c ,因为O 是ABC V 的外心,记BC 中点为D ,则有OD BC ⊥,即0OD BC ⋅=,可得()OA BC BA CA OD DB BA BC BA CA⋅+⋅=++⋅+⋅uu r uu u r uu r uu r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu rDB BC BA BC BA CA=⋅+⋅+⋅uu u r uu u r uu r uu u r uu r uu r 222122BC BA c =-+=-+,在ABC V中,由正弦定理可得:sin sin 2c a C BAC ===∠则c C =≤sin 1C =,即π2C =时,等号成立,所以OA BC BA CA ⋅+⋅的最大值为21023-+=.故选:B.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.“1a =-”是“直线210a x y -+=与直20x ay --=互相垂直”的充要条件B.“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件C.直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.若点()1,0A ,()0,2B ,直线l 过点()2,1P 且与线段AB 相交,则l 的斜率k 的取值范围是112k -≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】对于A :根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断;对于B :由题意可得[]tan sin 1,1k θα==-∈-,进而可得倾斜角的范围;对于C :根据直线平行结合充分、必要条件分析判断;对于D :根据图形结合斜率公式分析求解.【详解】对于选项A :当1a =-时,直线10x y -+=与直线20x y +-=斜率分别为1,1-,斜率之积为1-,故两直线相互垂直,即充分性成立;若“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”,则20a a +=,故0a =或1a =-,所以得不到1a =-,即必要性不成立,故A 错误;对于选项B :由直线平行得()212a a a a ⎧+=⎨≠⎩,解得2a =-,所以“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件,故B 正确;对于选项C :直线的倾斜角为θ,则[]tan sin 1,1k θα==-∈-,因为0πθ≤<,所以π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭,故C 正确;对于选项D :如图所示:可得12PB k =-,1PA k =,结合图象知112k -≤≤,故D 正确;故选:BCD.10.已知函数()cos f x x =,()sin g x x =,下列说法正确的是()A.函数()()()m x f x g x =⋅在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.函数()()()m x f x g x =⋅的最小正周期为2πC.函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣D.函数()()()n x f x g x =+的一条对称轴为π4x =【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换、三角函数的单调性、周期性、值域、对称性等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】A 选项,当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()sin g x x =,()1sin cos sin 22m x x x x ==,此时()2π,2πx ∈,而sin y x =在()π,2π上不单调,故A 错误;B 选项,函数()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin m x x x x x m x +=+⋅+==,而()sin cos ,2π2ππsin cos ,2ππ2π2πx x k x k m x x x k x k ≤≤+⎧=⎨-+<<+⎩1sin 2,2π2ππ,Z 21sin 2,2ππ2π2π,Z 2x k x k k x k x k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩,所以()m x 的最小正周期为2π,故B 正确;C 选项,当[]()2π,2ππZ x k k k ∈+∈时,()ππ5π2π+,2πZ 444x k k k ⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎣⎦,πsin 42x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭,所以()πcos sin 1,4⎛⎫⎡=+=+∈- ⎪⎣⎝⎭n x x x x ,当()()2ππ,2π2πZ x k k k ∈++∈时,()π5π9π2π,2πZ 444x k k k ⎛⎫+∈++∈ ⎪⎝⎭,πcos ,142x ⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,所以()(πcos sin 1,4⎛⎫=-=+∈- ⎪⎝⎭n x x x x ,综上,函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣,故C 正确;D 选项,因为1π3ππ2444⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭,πππcos sin 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n ,3π3π3πcos sin 0444n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以π4x =不是()n x 的一条对称轴.故选:BC11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AB 、BC 、11B C 的中点,则下列结论正确的有()A.三棱锥E FGH -的外接球的表面积为πB.过点E ,F ,H 作正方体的截面,则截面面积为334C.若P 为线段11B D 上一动点(包括端点),则直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为,33⎣⎦D.若Q 为线段CD 上一动点(包括端点),过点1A ,G ,Q 的平面分别交1BB ,1DD 于M ,N ,则BM DN +的范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】对于A :由条件确定三棱锥的外接球的球心位置,求出球的半径,由此可得结论;对于B :分析可知截面为EFKHLJ ,其截面正六边形,即可得面积;对于C :根据体积关系求得点P 到平面1A BD 的距离h ,可得1sin hPA =θ,进而分析范围;对于D :根据平面性质作截面,设CQ CD λλ==,结合平面几何性质分析求解即可.【详解】对于选项A :由题意可得:,12EF FG EG GH ====,且GH ⊥平面ABCD ,则222EF FG EG +=,即π2EFG ∠=,可知三角形EFG 外接圆的半径为1122r EG ==,所以三棱锥E FGH -的外接球的球心为EH 的中点,可得三棱锥E FGH -的外接球的半径为2R ==,所以其表面积为24π2πR =,故A 错误;对于选项B :取1111,,BB C D DD 的中点分别为,,K L J ,可知过点E ,F ,H 作正方体的截面为EFKHLJ ,其截面正六边形,边长为2所以其面积为122336sin 602224S =⨯⨯⨯︒=,故B 正确;对于选项C :设点P 到平面1A BD 的距离为h ,由正方体的性质可得://BD 11B D ,11B D 不在平面1A BD 内,BD ⊂平面1A BD ,则11//B D 平面1A BD ,当点P 在线段11B D 上运动时,则点P 到平面1A BD 的距离即为点1D 到平面1A BD 的距离,由11D A BD -的体积可得111111132322h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯,解得h ,设直线1PA 与平面1A BD 所成角θ,则11sin h PA =θ,若P 为11B D 的中点时,111PA B D ⊥,()111min122PA B D ==;当点P 为线段11B D 的端点时,()1max 1PA =;即112PA ≤≤,所以1sin ,33h PA θ=∈⎣⎦,故C 正确;对于选项D :设,QG AB S QG AD T ==I I ,可知平面1A GQ 即为平面1A ST ,则1111,A S BB M AT DD N ==I I,可得1122BG CG BC ===,设CQ CD λλ==,当01λ<<时,由相似三角形知识可得:11BM λλ=+,11211112DN λλλλλλ--==-++,即1BM λλ=+,11DN λλ-=+,且当0λ=或1λ=时,也符合1BM λλ=+,11DN λλ-=+;则11111BM DN λλλλλ-+=+=+++,且01λ≤≤,可得11,112BM DN λ⎡⎤+=∈⎢⎥+⎣⎦,所以BMDN +的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,D 正确.故选:BCD.【点睛】方法点睛:1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解,通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决锥体的体积,特别时三棱锥的体积.2、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义,结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值;3、对于球的组合体问题:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知()2,1A ,()4,3B 两点到直线10x ay -+=的距离相等,则a =__________.【答案】1或2【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式列式求解即可.=353a a -=-,可得353a a -=-或353a a -=-,解得1a =或2a =.故答案为:1或2.13.在空间直角坐标系中已知()1,2,1A ,()1,0,2B ,()1,1,4C -,CD 为三角形ABC 边AB 上的高,则CD =__________.【答案】3【解析】【分析】应用空间向量法求点到直线距离.【详解】()2,1,3AC =-- ,()0,2,1AB =-,则AC =AC AB AD AB⋅=== ,所以3CD ===,故答案为:314.对任意两个非零的平面向量a 和b,定义:22a b a b a b⋅⊕=+,2a b a b b⋅=,若平面向量a ,b满足0a b >> ,且a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中,则a b ⊕= __________,cos ,a b =__________.【答案】①.14##0.25②.8或3【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ,分析可得cos 2a b θ⊕< ,进而可得14a b ⊕= ,且1cos θ2>,分析可得1cos 2a b >>θr r e ,即可得34a b = 或1,结合向量夹角公式运算求解.【详解】设a 与b的夹角为θ,因为a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中,所以其取值可能为113,,,1424⎧⎫⎨⎬⎩⎭,因为0a b >> ,则222a b a b +> ,可得22cos cos 22a b a ba b a b a bθθ⋅⊕=<=+,因为cos 1θ≤,即cos 122θ≤,可得12a b ⊕< ,所以14a b ⊕= ;又因为cos 2a b θ⊕< ,即cos 124θ>,解得1cos θ2>,因为0a b >>,可得22cos cos 1cos 2a b a a b a b b b b θθθ⋅===>>,即34a b = 或1,当14a b ⊕= 且34a b = 时,即2214a b a b ⋅=+r r r r 且234a b b⋅=r rr ,可得23,4a b b a ⋅==r r r r,所以2234cos ,8a b b a b b a ⋅===⋅r r r r r r r r ;当14a b ⊕= 且1a b =时,即2214a b a b ⋅=+r r r r 且21a b b⋅=r rr ,可得2,a b b a ⋅==r r r r r,所以22cos ,3b a b a a b b ⋅===⋅r rr r r r r r ;综上所述:32cos ,8a b =或33.故答案:14;8或3.四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3sin cos 3a C Cb =+.(1)求角B ;(2)若D 是ABC V 边AC 上的一点,且满足BA BD BD BCBA BC⋅⋅=,9425a c +=,求BD 的最大值.【答案】(1)π3B =(2【解析】【分析】(1)根据题意可得3sin cos 3a b C b C =+,利用正弦定理结合三角恒等变换可得tan B =,即可得结果;(2)根据题意结合向量夹角公式可得π6ABD CBD ∠==,利用面积关系可得311BD a c=+,利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为3cos 3a C C b =+,即3sin cos 3a b C b C =+,由正弦定理可得sin sin sin cos 3A B C B C =+,且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,即sin cos cos sin sin sin sin cos 3B C B C B C B C +=+,可得cos sin sin sin 3B C B C =,且()0,πC ∈,则sin 0C ≠,可得tan B =,又因为0πB <<,所以π3B =.【小问2详解】因为BA BD BD BCBA BC ⋅⋅=,即BA BD BD BC BA BD BC BD⋅⋅= ,可得cos cos ABD CBD ∠=∠,即ABD CBD ∠=∠,可知BD 平分ABC ∠,则π6ABD CBD ∠==,因为ABC ABD BCD S S S =+△△△,即131111222222ac BD a BD c ⨯=⨯⨯+⨯⨯,整理可得311BD a c=+,又因为9425a c +=,则()11114919413131252525c a a c BD a c a c ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,当且仅当49c aa c=,即53a =,52c =时取等号,可得BD ≤,所以BD 16.已知ABC V 的顶点()1,1A ,边AC 上的高BH 所在直线的方程为80-+=x y ,边AB 上的中线CM 所在直线的方程为53100x y --=.(1)求直线AC 的方程;(2)求ABC V 的面积.【答案】(1)20x y +-=(2)24【解析】【分析】(1)根据两直线垂直,求直线方程.(2)先确定B 、C 点的坐标,可求线段AC 的长度,利用点到直线的距离求点B 到直线AC 的距离,即三角形的高,就可以求出三角形的面积.【小问1详解】由于边AC 上的高BH 所在直线方程为80-+=x y ,所以设直线AC 的方程为0x y c ++=,由于点()1,1A 在直线AC 上,即110c ++=,解得2c =-,所以直线AC 的方程为20x y +-=.【小问2详解】由于点C 既满足直线53100x y --=的方程,又满足20x y +-=的方程,所以5310020x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得2x y =⎧⎨=⎩,故()2,0C ,所以AC ==设(),B a b ,由于点B 满足直线80-+=x y ,故80a b -+=,设AB 的中点坐标为11,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭,满足53100x y --=,所以115310022a b ++⨯-⨯-=,整理得53180a b --=,所以8053180a b a b -+=⎧⎨--=⎩,解得2129a b =⎧⎨=⎩,所以()21,29B ,则点()21,29B 到直线20x y +-=的距离d ==,故112422ABC S AC d =⨯⨯==△.17.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”,高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩x 作为样本进行统计.将成绩进行整理后,分为五组(5060x ≤<,6070x ≤<,7080x ≤<,8090x ≤<,90100x ≤≤),其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:(1)若根据这次成绩,年级准备淘汰60%的同学,仅留40%的同学进入下一轮竞赛,请问晋级分数线划为多少合理?(2)从样本数据在8090x ≤<,90100x ≤<两个小组内的同学中,用分层抽样的方法抽取6名同学,再从这6名同学中随机选出2人,求选出的两人恰好来自不同小组的概率.(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数:12310,,,,x x x x ,已知这10个分数的平均数90x =,标准差5s =,若剔除其中的96和84两个分数,求剩余8个分数的平均数与方差.【答案】(1)73分合理(2)815(3)22.25【解析】【分析】(1)由题意知可得,20.160.8a =计算可求得a ;根据小长方形的面积和为1求得b ,利用频率分布直方图计算第60百分位数即可;(2)利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人,分别记为a ,b ,c ,d 和A ,B ,列出所有基本事件,根据古典概型计算即可得出结果;(3)根据平均数和方差的计算公式求解即可.【小问1详解】由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知,20.160.8a =,解得0.032a =,又()0.0080.0160.0320.04101b ++++⨯=,解得0.004b =,所以0.032a =,0.004b =,成绩落在[)50,70内的频率为:0.160.320.48+=,落在[)50,80内的频率为:0.160.320.400.88++=,设第60百分位数为m ,则()700.040.60.48m -=-,解得73m =,所以晋级分数线划为73分合理;【小问2详解】由图可知,按分层抽样法,两层应分别抽取4人和2人,分别记为a ,b ,c ,d 和A ,B ,则所有的抽样有:()Ω,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd =,共15个样本点,A =“抽到的两位同学来自不同小组”,则{},,,,,,,A Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd =共8个样本点,所以()815P A =.【小问3详解】因为90x =,所以12101090900x x x +++=⨯= ,所以()2222221210190510s x x x =+++-= ,所以222121081250x x x +++= ,剔除其中的96和84两个分数,设剩余8个数为1x ,2x ,3x ,…,8x ,平均数与标准差分别为0x ,0s ,则剩余8个分数的平均数:1238090096849088x x x x x ++++--=== ,方差:()()22222222012811908125096849022.2588s x x x =+++-=---= 18.在ABC V 中,90C ∠=︒,3BC =,6AC =,D ,E 分别是AC ,AB 上的点,满足DE BC ∥,且DE 经过ABC V 的重心.将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置,使1A C CD ⊥,存在动点M 使()110A M A D λλ=>如图所示.(1)求证:1A C ⊥平面BCDE ;(2)当12λ=时,求二面角C MB E --的正弦值;(3)设直线BM 与平面1A BE 所成线面角为θ,求sin θ的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)20(3)148【解析】【分析】(1)先证DE ⊥平面1A CD ,可得1DE A C ⊥,进而可得1A C ⊥平面BCDE ;(2)建系标点,分别求平面BMC 、平面BME 的法向量,利用空间向量求二面角;(3)根据题意可得()2,3,BM λ=-和平面1A BE 的法向量,利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为90C ∠=︒,则AC BC ⊥,且DE BC ∥,可得AC DE ⊥,将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置,始终有1DE A D ⊥,DECD ⊥,因为1A D CD D = ,1A D ,CD ⊂平面1A CD ,所以DE ⊥平面1ACD ,由1A C ⊂平面1A CD ,可得1DE A C ⊥,且1A C CD ⊥,CD DE D = ,CD ,DE ⊂平面BCDE ,所以1A C ⊥平面BCDE .【小问2详解】由(1)可知,1AC ,CD ,CB 两两垂直,翻折前,因为DE 经过ABC V 的重心,且DE BC ∥,所以2AD CD =,所以2CD =,4=AD ,223DE BC ==,翻折后14A D =,由勾股定理得1AC ===以C 为原点,直线CD ,CB ,1CA 分别为x ,y ,z轴建立空间直角坐标系,则()0,0,0C,(10,0,A ,()2,0,0D,(M ,()0,3,0B ,()2,2,0E ,可得(CM =,(1,3,MB =- ,()2,1,0BE =-,设平面BMC 的法向量 =1,1,1,则11111030m CM x m MB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ,令11z =,则110x y==,可得()m =,设平面BME 的法向量 =2,2,2,则222223020n MB x y n BE x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令21x =,则222,y z ==,可得1,n ⎛= ⎝,可得10cos ,20m nm n m n⋅====⋅,且[],0,πm n ∈,则sin ,20m n ===,所以二面角C MB E --的正弦值为39020.【小问3详解】由(2)可知(10,3,BA =- ,()2,1,0BE =-,(12,0,A D =- 设平面1A BE 的法向量()333,,p x y z =,则133333020p BA y p BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令31x =,则331,y z ==,可得(1,p =,且((()110,3,2,0,2,3,BM BA A D λλλ=+=-+-=-,因为直线BM 与平面1A BE 线面角为θ,则sin cos ,p BM p BM p BM θ⋅==⋅8=当且仅当74λ=时,等号成立,所以sin θ的最大值为148.19.对于一组向量123,,,n a a a a (*n ∈N 且3n ≥),令123n n S a a a a =++++ ,如果存在{}()1,2,3,,m a m n ∈ ,使得m n m a S a ≥- ,那么称m a,是该向量组的“H 向量”.(1)设()()*,n a x n n n =+∈N ,若3a 是向量组1a ,2a ,3a 的“H 向量”,求实数x 的取值范围;(2)若()*ππcos ,sin 22n n n a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ,向量组1a ,2a ,3a , ,11a 是否存在“H 向量”?若存在求出所有的“H 向量”,若不存在说明理由;(3)已知1a ,2a ,3a 均是向量组1a ,2a ,3a 的“H 向量”,其中1x a ⎫=⎪⎭,2x a -⎫=⎪⎭,求证:222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积.【答案】(1)[]2,0-(2)存在“H 向量”,分别为2a ,6a ,10a (3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意分析可得312a a a ≥+ ,结合模长公式列式求解即可;(2)根据题意可得1n a = ,4n n a a +=uuu r u u r ,结合111m s a -= 可得π1cos 22m ≤-,即可分析证明;(3)根据题意分析可得1230a a a ++=,3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,结合模长公式分析证明即可.【小问1详解】由题意可得:33312a S a a a ≥-=+ ,因为(),n a x n n =+ ,则()()()121,2,223,3a a x x x x +=+++=+ ,()33,3a x =+ ,则22312a a a ≥+ ,即()()2239239x x ++≥++,整理得()360x x +≤,解得20x -≤≤,所以实数x 的取值范围为[]2,0-.【小问2详解】存在,理由如下:假设存在“H 向量”m a ,因为ππcos ,sin 122n n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,且444ππcos π,sin πcos ,sin 2222n n n n n n a a +++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则由题意,只需要使得111m S a -= ,又因为()()()()()12340,11,00,11,00,0a a a a +++=+-+-+= ,则()11123111231,0S a a a a a a a =++++=++=- ,可得11ππ1cos ,sin 22m m m S a ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭,由ππ1cos ,sin 122m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1≤,整理得π22cos 12m +≤,解得π1cos 22m ≤-,又因为{}*|11m x m ∈∈≤N ,即2m =,6,10满足上式,所以存在“H 向量”,分别为2a ,6a ,10 a 满足题意;【小问3详解】由题意得:123a a a ≥+ ,22123a a a ≥+ ,即()22123a a a ≥+ ,222123232a a a a a ≥++⋅ ,同理222213132a a a a a ≥++⋅ ,222312122a a a a a ≥++⋅ ,三式相加并化简得:2221231213230222a a a a a a a a a ≥+++⋅+⋅+⋅,即()21230a a a ++≤ ,1230a a a ++≤ ,所以1230a a a ++= ,由1230a a a ++=,可得3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,可得()()222222222123e e e e e e 1e e 2222222x x x x x x x x a a a ----+++=++=++++ ()()()222e e 1e e 1e e 1e e 1x x x x x x x x ----=++=+-=+++-()()2211e 1e 1e e 1e e 1e e x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫=+++-=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.。

重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

重庆市高2026届高二上期期中考试数学试题(答案在最后)2024.11注意事项:1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟.2.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每题5分,共40分.1.直线l 过(,),(,)()P b c b Q a c a a b ++≠两点,则直线l 的斜率为()A.a b a b+- B.a b a b-+ C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】利用直线上两点的坐标求斜率即可.【详解】由题意可知,斜率()()1a b a bk a c b c a b--===+-+-,故选:C.2.若平面α的法向量为()4,4,2n =--,方向向量为(),2,1x 的直线l 与平面α垂直,则实数x =()A.4B.4- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直于平面,则直线的方向向量平行于平面的法向量,即可求解.【详解】由直线l 与平面α垂直,故直线l 方向向量(),2,1x 与平面α的法向量()4,4,2n =--平行,设()()4,4,2,2,1x λ--=,即4422xλλλ=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,解得22x λ=-⎧⎨=-⎩.故选:D.3.圆心为(1,1)-且过原点的圆的一般方程是()A.22220x y x y ++-= B.22220x y x y +-+=C.22220x y x y +--= D.222210x y x y ++-+=【答案】B 【解析】【分析】先求半径,再得圆的标准方程,最后转化为圆的一般方程.【详解】由题意知,()0,0在圆上,圆心为(1,1)-,所以圆的半径r ==,所以圆的标准方程为()()22112x y -++=,则一般方程为:22220x y x y +-+=,故选:B.4.椭圆22221x y a b +=和2222(0,0,,0)x y k a b a b k a b+=>>≠>一定具有()A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长轴长【答案】A 【解析】【分析】先将方程化为标准方程,再根据离心率,焦点。

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11、 已知双曲线 x2- y2 =1 的离心率为 e,抛物线 x= 2py2 的焦点为 4 12
(e,0),则 p 的值为
11 A. 2 B. 1C.4 D.16
解读: 依题意得 e= 2,抛物线方程为
y2=
1 2px,故
1 8p=
2,得
p=
1 16.
答案: D
12、 双曲线
x2 y2 a2- b2= 1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为
MF 1 ·MF 2 = 0 的点 M 总 ()
1 A .(0,1) B . (0, 2]
C .(0,
2 2)
D. [
22, 1)
解读: 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a、b、 c,
∵ MF 1 ·MF 2 = 0, ∴M 点的轨迹是以原点 O 为圆心,半焦距 c 为半径的圆.
又 M 点总在椭圆内部,
三、解答题 17、 先后随机投掷 2 枚正方体骰子,其中 x 表示第 1 枚骰子出现的点
数, y 表示第 2 枚骰子出现的点数. (1)求点 P(x, y)在直线 y= x- 1 上的概率; (2)求点 P(x, y)满足 y2< 4x 的概率.
解: (1)每枚骰子出现的点数都有 6 种情况,
所以基本事件总数为 6× 6= 36 个.
的取值范围为
A. a≤- 2 或 a= 1 C. a≥1
B.a≤- 2 或 1≤ a≤2 D. - 2≤ a≤ 1
解读: 由已知可知 p 和 q 均为真命题,由命题 p 为真得 a≤ 1,由
命题 q 为真得 a≤- 2 或 a≥ 1,所以 a≤- 2 或 a= 1.
答案: A
9、已知 F 1、 F 2 是椭圆的两个焦点,满足 在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是
高二 数学试卷 说明: 1、 试卷满分 120 分,考试时间 100 分钟。 2、 答案必须写在答案卷上,写在试卷卷上的
答案无效。
一 、选择题( 12×4 分 =48 分)
1、 执行右图所示的程序框图后,输出的结果为
A.
3 4
45 B.5C.6
6 D.7
答案: C
2、 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所
二、填空题( 4× 4 分 =16 分)
解读: 由题意知, 2c= 8, c= 4,
13、 右边程序框图中,语句 1 将被执行的次数为
3 / 12

e=
c a=
4 a=
1 2,
∴ a=
8,
从而 b2=a2- c2= 48,
∴ 方程是
y2 x2 64+ 48=1.
y2 x2 答案: 64+ 48= 1
示,
时速在 [50,60)的汽车大约有
A .30 辆
B. 40 辆
C. 60 辆 D.80 辆
3、某单位共有老、中、青职工 430 人 ,其中青
年职工 160 人, 中年职工人数是老年职工人数的
2 倍。为了解职工身体状况,
现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工
32 人,则该样本中的老年职工人数为
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
S阴 S阴 138
23
解读: 据题意知: S矩= 2× 5=300, ∴ S 阴= 5 .
答案: A
6、 “ m>n>0”是“方程 mx2+ ny2= 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”

A. 充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解读:
由已知
b a=
5 5 e,
b 5c ∴ a= 5 × a, ∴ c=
5b,又 a2+ b2= c2,
∴ a2+b2= 5b2,∴ a= 2b.
答案: C
因此,另一学生编号为 6+45- 32= 19. 答案: 19
16、 已知椭圆的中心在原点,焦点在
1 y 轴上,若其离心率为 2,焦距
为 8,则该椭圆的方程是 ____________.
当 x=3 时, y= 1,2,3;当 x=4 时, y= 1,2,3;
即可解得
- 2 2≤ a≤2 2. 答案: [- 2 2, 2 2] 15、某班级共有 52 名学生,现将学生随机编号,用系统抽样方法, 抽取一个容量为 4 的样本,已知 6 号, 32 号, 45 号学生在样本 中,那么在样本中还有一个学生的编号是 ________号. 解读: 用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大成等差数列,
∴该圆内含于椭圆,即 c<b,c2< b2= a2- c2.

e2=
c2 a2<
1 2,

0<
e<
2 2.
答案: C
10、抛物线 y=4x2 的准线方程为 ( )
1 A .y=- 4
1 B. y=8
1
1
C. y= 16D. y=- 16解读:由来自x2=1 4y,

p=
1 8.
2 / 12
1 准线方程为 y=- 16. 答案: D
(A )9 ( B)18 ( C) 27 (D) 36
答案 B. 解读 : 由比例可得该单位老年职工共有
90 人,用分层抽样的比例应抽
取 18 人 . 4、观察右列各图形: 其中两个变量 x、 y 具有相关
关系的图

A .①②
B.①④
C .③④
D .②③
解读: 相关关系有两种情况:所有点看上去都在一条直线附近波
5e y= 5 x(e 为
双曲线离心率 ),则有 ( )
A .b= 2aB. b= 5aC .a= 2bD. a= 5b
________. 14、 命题“ ? x∈ R,2x2- 3ax+ 9<0”为假命题,则实数
范围 为
a 的取值
解读: 题目中的否命题 “ ? x∈ R,2x2- 3ax+ 9≥ 0” 为真命 题,也就是常见的 “ 恒成立 ” 问题,只需 Δ= 9a2-4 ×2 ×9≤ 0,
答案: C
7、 下列四个命题中,其中为真命题的是
A.? x∈R ,x2+ 3<0 B.? x∈ N , x2≥ 1
C.? x∈ Z,使 x5<1
D. ? x∈ Q, x2= 3
答案: C
8、 已知命题 p:“任意 x∈ [1,2], x2-a≥ 0”,命题 q:“存在 x
∈ R, x2+2ax+ 2-a= 0” .若命题“ p 且 q”是真命题,则实数 a
动,是线性相关;若所有点看上去都在某条曲线
( 不是一条直线 )
附近波动,是非线性相关. ①② 是不相关的,而 ③④ 是相关的. 答案: C
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5、如图,一个矩形的长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄
豆,数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我

可以估计出阴影部分的面积大约为 23 21 19 16
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