【高考模拟】2019届江苏省无锡市高三第一次模拟考试数学(word版有答案)

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江苏省无锡市2019届高三上学期期末考试数学试题(解析版)Word版

无锡市2019届高三上学期期末考试数学2019.01一、填空题：1、设集合A =｛x｜x＞0｝，B =｛x｜－2＜x＜1｝，则A∩B＝．答案：｛x｜0＜x＜1｝考点：集合的运算。

解析：取集合A，B的公共部分，得：A∩B＝｛x｜0＜x＜1｝2、设复数z 满足 (1+ i)z = 1－3i（其中 i 是虚数单位），则z 的实部为．答案：－1考点：复数的运算，复数的概念。

解析：z＝131ii-+＝(13)(1)(1)(1)i ii i--+-＝24122ii--=--，所以，实部为－1。

3、有A，B，C 三所学校，学生人数的比例为 3：4：5, 现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出 9 名志愿者，那么n = ．答案：36考点：分层抽样方法。

解析：设A，B，C三所学校学生人数为：3x，4x，5x，则总人数为：12x，所以，9312nx x=，解得：n＝364、史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．答案：1 3考点：古典概型。

解析：设田忌的上中下等马分别为：A、B、C，齐王的上中下等马分别为：1、2、3，双方各先一匹马，所以可能为：A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3，共9种，田忌的马获胜的可能有：A2、A3、B3，共3种，所以，概率为：P＝31 93=。

5、执行如图的伪代码，则输出x 的值为．答案：25考点：算法初步。

解析：第1步：x＝1，x＝1；第2步：x＝2，x＝4；第3步：x＝5，x＝25；退出循环结果为25。

6、已知x，y 满足约束条件1020x yx yx-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z = x+y 的取值范围是．答案：［0,3］考点：线性规划。

解析：不等式组表示的平面区域如下图，当目标函数z = x+y 经过点O（0,0）时，取到最小值为：0经过点A（1,2）时，取到最大值：3，所以，范围为［0,3］7. 在四边形ABCD 中，已知2AB a b=+，4BC a b=--，53CD a b=--，其中，,a b是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是．答案：梯形考点：平面向量的三角形法则，共线向量的概念。

无锡2019-2020第一学期高三期末(一模)数学试卷及答案

无锦市普通高申2019罕默学期高三期申调研考试卷一、旗空题：本大题共14小题，每小题5ft ，共70ft.1.集合A ＝｛中＝2k-1,keZ},B={l,2,3,4} .!l!�A n B ＝一·2.四翻z ＝叫（a,b E R ），由耻＝9+i （牌1为副单位），!l!�a+b ＝·3.禀楼高二（4）班统计全班同学申午在食堂用餐时闯，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15分用时为8分钟，还高4人用时为10分钟，则高二（4) f1在全保同学申午用暴平均用时为一分钟．4.函数f (x )=(a-I)'-3（叫“2)l提飞一一一·5.等差数列｛a.} （公差为0），真申叭，何成等t撒列，则这憎撒列的公比为一一·6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题申随机抽取2道做窑，小李会真申的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为一一一一一·.4 7. 7:H是方保ABCD-A 1B 1Ci D 1申，AB=l ,AD=2,A4=l,E 为BC 的申点，则点d到平面.A,.DE 的距离是一一一一一·、、、、、、、？、l ···”””8.姐图所示的百ml呈图申，输出n的喧为一一一一一·A " I ／：…···：t ：）！门』．．』－：.；..，＿9.因C (x+I)2 +(y-2)2 =4关于勤y=2x-I 的晰、圆的施为·10.正方形ABCD 的边长为2，因O 内切子正方形ABCD,MN 为因0的一条动重径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM -PN 的取僵范围是一一一一一·2 2 11.双曲线C ：二：＿＿二－＝l 的左右El!!嘿为A,B ，以AB 为重自乍因O ,P 为双曲线右4 3年｜G;旦巳户N ／’《－＼＼、〉飞＼丁f 宫支上不同于El!!嘿B 的任一点，连接PA 交因。

江苏省无锡市2019届高三上学期期末调研考试数学试题(word版,含参考答案)

无锡市普通高中2018年秋学期高三期终调研考试卷数学2019．01命题单位：滨湖区教育研究发展中心制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为160分．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．设集合A ＝{}0x x >，B ＝{}21x x -<<，则A B ＝．2．设复数z 满足(1i)13i z +=-（其中i 是虚数单位），则z 的实部为．3．有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3：4：5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n＝．4．史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．5．执行如图的伪代码，则输出x 的值为．6．已知x ，y 满足约束条件10200x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的取值范围是．7．在四边形ABCD 中，已知AB 2a b =+，BC 4a b =--，CD 53a b =--，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是．8．以双曲线22154x y -=的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是． 9．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于．10．设公差不为零的等差数列{}n a 满足37a =，且11a -，21a -，41a -成等比数列，则10a 等于．11．已知θ是第四象限角，且cos θ＝45，那么sin()4cos(26)πθθπ+-的值为． 12．已知直线(2)(0)y a x a =+>与函数cos y x =的图像恰有四个公共点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，其中1234x x x x <<<，则441tan x x +＝．13．已知点P 在圆M ：22()(2)1x a y a -+-+=上，A ，B 为圆C ：22(4)4x y +-=上两动点，且AB ＝PA PB ⋅的最小值是．14．在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则111tan A tan B tan C++的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在△ABC 中，设a ，b ，c 分別是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sinC ﹣sinB)，n ＝(b ＋c ，sinA ＋sinB)，且m //n ．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．16．（本题满分14分）在四棱锥P —ABCD 中，锐角三角形PAD 所在平面垂直于平面PAB ，AB ⊥AD ，AB ⊥BC ．（1）求证：BC//平面PAD ；（2）平面PAD ⊥平面ABCD ．。

无锡市高考数学一模试题(含答案解析) (4)

无锡市高考数学一模试题4一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x∈N|2x≤8}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A. {0，1，2，3}B. {1，2，3}C. {0，1，2}D. {0，1，2，3，4}2.在复平面内，复数z满足z（1+i）=1-2i，则对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则（）A. B. C. D.4.若α为第一象限角，且，则的值为（）A. B. C. D.5.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有周长为的△ABC满足sin A：sin B：sin C=（-1）：：（+1），用“三斜求积术”求得△ABC的面积为（）A. B. C. D.6.已知结论：“在△ABC中，各边和它所对角的正弦比相等，即”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在三棱锥A-BCD中，侧棱AB与平面ACD、平面BCD所成的角为α、β，则有（）”A. B.C. D.7.如图，在△ABC中，=2，=2，AE与CD交于点F，过点F作直线QP，分别交AB，AC于点Q，P，若=λ，=μ，则λ+μ的最小值为（）A. B. C. 2 D.8.已知直线（a-1）x+（a+1）y-a-1=0（a∈R）过定点A，线段BC是圆D：（x-2）2+（y-3）2=1的直径，则=（）A. 5B. 6C. 7D. 89.棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最小值为（）A. B. 1 C. 4 D.10.定义行列式运算=a1a4-a2a3．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.11.若对于函数f（x）=ln（x+1）+x2图象上任意一点处的切线l1，在函数g（x）=a sin x cosx-x的图象上总存在一条切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A. [，1]B. [-1，]C. （-∞，]∪[，+∞）D. （-∞，-1]∪[1，+∞）12.如图，已知椭圆C1：+y2=1，过抛物线C2：x2=4y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB．则在下列命题中，正确命题的个数是（）①若记直线NO，MO的斜率分别为k1，k2，则k1k2的大小是定值为-；②△OAB的面积S△OAB是定值1；③线段OA，OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值5；④设λ=，则λ≥2．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为______．14.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2+-3=，则弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为______．15.已知x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是最小值的-2倍，则k=______．16.已知数列{a n}满足：a1=3，a n=2a n-1-3（-1）n（n≥2）．设{a kt}是等差数列，数列{k t}（t∈N*）是各项均为正整数的递增数列，若k1=1，则k3-k2=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．18.直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，E是AC的中点，F是线段AB上一个动点，且，如图所示，沿BE将△CEB翻折至△DEB，使得平面DEB⊥平面ABE．（1）当时，证明：BD⊥平面DEF；（2）是否存在λ，使得DF与平面ADE所成的角的正弦值是？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19.某公司推出一新款手机，因其功能强大，外观新潮，一上市便受到消费者争相抢购，销量呈上升趋势．散点图是该款手机上市后前6周的销售数据．（Ⅰ）根据散点图，用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测该款手机第8周的销量；（Ⅱ）为了分析市场趋势，该公司市场部从前6周的销售数据中随机抽取2周的数据，记抽取的销量在18万台以上的周数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：回归直线方程y=x，其中=，=-20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1，椭圆C2：=1（a＞b＞0），C2与C1的长轴长之比为：1，离心率相同．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点P为椭圆C2上一点．①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：k1•k2为定值．21.设函数（其中k∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k＞0时，讨论函数f（x）的零点个数．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．M是曲线C1上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转90°得到线段ON，设点N的轨迹为曲线C2．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（除极点外），且有定点T（4，0），求△TAB的面积．23.已知函数f（x）=|x+m|-|2x-2m|（m＞0）．（1）当时，求不等式的解集；（2）对于任意的实数x，存在实数t，使得不等式f（x）+|t-3|＜|t+4|成立，求实数m的取值范围．-------- 相信自己！有付出就有回报！ --------1.答案：A解析：解：∵集合A={x∈N|2x≤8}={0，1，2，3}，B={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1，2，3}．故选：A．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出对应的点的坐标得答案．【解答】解：由z（1+i）=1-2i，得z=，∴，则对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．3.答案：D解析：【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：a=30.4＞1，b=0.43∈（0，1），c=log0.43＜0，则c＜b＜a．故选：D．4.答案：B解析：解：由，得2sinαcosα=cos2α，∵α为第一象限角，∴tanα=，∴==cos2α+sin2α===．故选：B．由已知求得tanα，展开两角差的余弦，再由万能公式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式及万能公式的应用，是中档题．5.答案：A解析：解：由sin A：sin B：sin C=（-1）：：（+1），正弦定理：可得：a：b：c=（-1）：：（+1），∵a+b+c=，∴a=，b=，c=．由==，故选：A．根据题意，a+b+c=结合余弦定理化简即可求解．本题考查正弦定理，以及新定义在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．6.答案：C解析：解：分别过B、A作平面ACD、平面BCD的垂线，垂足分别为E、F，则∠BAE=α，∠ABF=β，，，又，即．故选：C．分别过B、A作平面ACD、平面BCD的垂线，垂足分别为E、F，则∠BAE=α，∠ABF=β，利用三棱锥的体积计算公式、类比正弦定理即可得出．本题考查了三棱锥的体积计算公式、类比推力，属于基础题．7.答案：A解析：解：∵D，F，C三点共线，∴可设=t+（1-t）=+（1-t），又=+，又与共线，∴，解得t=，∴=+，∵Q，F，P三点共线，所以可设=x+（1-x）=xλ+（1-x）μ，根据平面向量基本定理可得：，消去x得+=且λ＞0，μ，＞0，λ+μ=（λ+μ）•（+）=（1+1++）≥（2+2）=，当且仅当λ=μ=时，等号成立．故选：A．选取和为基向量，利用两个三点共线和平面向量基本定理以及基本不等式可得．本题考查了平面向量的基本定理，属中档题．8.答案：C解析：解：直线（a-1）x+（a+1）y-a-1=0（a∈R）过定点A，可得，解得A（0，1），线段BC是圆D：（x-2）2+（y-3）2=1的直径，圆心（2，3），半径为：1，因为题目的选项是特殊值固定值，所以取ABC三点共线情况，可得=||||=（2-1）（2）=8-1=7．故选：C．求出定点坐标，分析题目的特征，利用特殊值法求解即可．本题考查向量在几何中的应用，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，特殊值法的应用．9.答案：A解析：解：根据三视图转换为几何体为：所以：所求的几何体为三棱锥A-BCD，所以：利用转换原理：，所以：x2=1+4-y2，故：x2+y2=5，所以：x2+y2=5≥2xy，所以：，故：．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步利用关系式和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解析：解析：，向左平移后得到y=2sin2x．所以函数y=2sin2x图象的对称中心为，令k=1时，得到．故选：B．利用行列式定义将函数f（x）化成，向左平移后得到y=2sin2x．从而写出函数y=2sin2x图象的对称中心即可．本小题考查三角函数图象与性质及图象变换等基础知识；解答的关键是利用行列式定义将函数f（x）化成一个角的三角函数的形式，以便于利用三角函数的性质．11.答案：D解析：【分析】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及转化思想的运用，区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题．求得f（x）的导数，可得切线l1的斜率k1，求得g（x）的导数，可得切线l2的斜率k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合余弦函数的值域和条件可得，∀x1，∃x2使得等式成立，即（，0）⊆[-1-|a|，-1+|a|]，解得a的范围即可．【解答】解：函数f（x）=ln（x+1）+x2，∴f′（x）=+2x，（其中x＞-1），函数g（x）=a sin x cosx-x=a sin2x-x，∴g′（x）=a cos2x-1；要使过曲线f（x）上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则（）（a cos2x2-1）=-1，a cos2x2-1=，∵，当且仅当，a cos2x2-1取得最小值.∵∀x1，∃x2使得等式成立，∴（，0）⊆[-1-|a|，-1+|a|]，解得|a|≥1，即a的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）．故选：D．解析：解：F（0，1），设直线MN的方程为y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立方程组，消元得：x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=1，∴k1k2===-，故①正确；设直线OA的方程为y=mx（m＞0），则直线OB的方程为y=-x，联立方程组，解得x2=，不妨设A在第三象限，则A（-，-），用-替换m可得B（-，），∴A到OB的距离d==，又|OB|==，∴S△OAB==••=1，故②正确；又|OA|2=+=，|OB|2=，∴|OA|2+|OB|2==5，故③正确；联立方程组，可得x（x-4m）=0，故N（4m，4m2），∴|ON|=4m，-替换m可得M（-，），∴M到直线OA的距离h==，∴S OMN=•|ON|•h=2m（1+）=2m+≥2，当且仅当2m=即m=时取等号．∴λ==S OMN≥2，故④正确．故选：A．设直线MN斜率为k，联立方程组，利用根与系数的关系和斜率公式判断①；设直线OA 方程为y=mx，联立方程组，求出A，B坐标，计算A到OB的距离，代入面积公式化简判断②；根据A，B的坐标和距离公式判断③；联立方程组，求出M，N的坐标，用m 表示出三角形OMN的面积，借助基本不等式即可判断④．本题考查了直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，考查距离公式的应用，考查设而不求法的解题思路，属于中档题．13.答案：解析：解：在第一次抽到偶数时，还剩下1个偶数，3个奇数，∴在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为．故答案为：．根据剩下4个数的奇偶性得出结论．本题考查了条件概率的计算，属于基础题．14.答案：解析：解：∵2+-3=，⇒2-2=-，∴，设A（x1，y1），B（x2，y2），如图设A，B在准线上的投影分别为A1，B1设AF=m，由抛物线的定义知AA1=m，BB1=2m，作AC⊥BB1于C，∴△ABC中，BC=m，AB=3m，∴k AB=直线AB方程为y=x+1与抛物线方程联立消y得2y2-5y+2=0，可得，所以AB中点到准线距离为1=．故答案为：设A，B在准线上的投影分别为A1，B1设AF=m，由抛物线的定义知AA1=m，BB1=2m，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去x，进而跟韦达定理求得y1+y2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．15.答案：1解析：【分析】本题考查画不等式组表示的平面区域、结合图求目标函数的最值、考查数形结合的数学数学方法．属于基础题.画出x，y满足约束条件的可行域，将目标函数变形，画出其相应的直线，当直线平移至固定点时，z最大，求出最大值列出方程求出k的值.【解答】解：画出x，y满足约束条件的平面区域，将目标函数z=x+3y变形为y=-x+z，画出其相应的直线，由得A（1，3），y=-x+z平移至A（1，3）时z最大为10，由解得B（1，-k-1），代入直线z=x+3y可得最小值-3k-2，z=x+3y的最大值是最小值的-2倍，，解得k=1，故答案为1．16.答案：1解析：解：由a n=2a n-1-3（-1）n（n≥2），得a n+（-1）n=2[a n-1+（-1）n-1（n≥2），令b n=a n+（-1）n，则b n=2b n-1，而，∴数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则b n=2n，即b n=a n+（-1）n=2n，．依题意知，，，成等差数列，即，又k1=1，∴，∴，∴，∵数列{k t}（t∈N*）是各项均为正整数的递增数列，且k3≥1+k2，∴．而无论k3，k2取何值，右边总小于等于0，∴k3≤1+k2，故k3=1+k2，∴k3-k2=1．故答案为：1．把已知数列递推式变形，得到等比数列{a n+（-1）n}，利用等比数列通项公式求得{a n}的通项公式，再由，，成等差数列证明k3=1+k2，则答案得证．本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等差数列性质的应用，考查数列函数特性的应用，是中档题．17.答案：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由b2+S2=10，a5-2b2=a3．得，解得∴a n=3+2（n-1）=2n+1，．（Ⅱ）由a1=3，a n=2n+1得S n=n（n+2），则n为奇数，c n==，n为偶数，c n=2n-1．∴T2n=（c1+c3+…+c2n-1）+（c2+c4+…+c2n）===．解析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）由a1=3，a n=2n+1得S n=n（n+2）．则n为奇数，c n==．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：（1）在△ABC中，∠C=90°，即AC⊥BC，则BD⊥DE，取BF的中点N，连接CN交BE于M，当时，F是AN的中点，而E是AC的中点，所以EF是△ANC的中位线，所以EF∥CN，在△BEF中，N是BF的中点，所以M是BE的中点，在Rt△BCE中，EC=BC=2，所以CM⊥BE，则EF⊥BE，又平面DEB⊥平面ABE，平面DBE∩平面ABE=BE，所以EF⊥平面DBE，又BD⊂平面DBE，所以EF⊥BD．而EF∩DE=E，所以BD⊥平面DEF；（2）解：以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，2，0），由（1）知M是BE的中点，DM⊥BE，又平面DEB⊥平面ABE，所以DM⊥平面ABE，则，假设存在满足题意的λ，则由，可得F（4-4λ，2λ，0），则，设平面ADE的一个法向量为，则即，令，可得x=0，z=-1，即，所以DF与平面ADE所成的角的正弦值，解得或3（舍去），综上，存在，使得DF与平面ADE所成的角的正弦值为．解析：（1）取BF的中点N，连接CN交BE于M，证明EF∥CN，证明CM⊥BE，则EF⊥BE，然后证明EF⊥平面DBE，又BD⊂平面DBE，所以EF⊥BD．即可证明BD⊥平面DEF；（2）以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，假设存在满足题意的λ，求出，求出平面ADE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解DF与平面ADE所成的角的正弦值即可．本题考查直线与平面所成角的求法，空间向量的数量积的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力以及空间想象能力．19.答案：解：（Ⅰ）由题意知，=×（1+2+3+4+5+6）=3.5，=×（11+13+16+15+20+21）=16，计算x i y i=1×11+2×13+3×16+4×15+5×20+6×21=371，n=6×16×3.5=336，=12+22+32+42+52+62=91，n=6×3.52=73.5；所以====2，=-=16-2×3.5=9，所以回归直线方程为y=2x+9，当x=8时，y=2×8+9=25，所以预计该款手机第8周的销量为25万台；（Ⅱ）由题意知，前6周中有2周销量在18万台以上，则随机变量X的可能取值为0，1，2；计算P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，所以X的分布列为：X012P数学期望为E（X）=0×+1×+2×=．解析：（Ⅰ）由题意计算、，求出回归系数、，写出回归直线方程，利用方程计算x=8时y的值即可；（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．本题考查了线性回归方程和离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．20.答案：解：（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意知，a=2，，a2=b2+c2，解得b=，因此椭圆C2的标准方程为=1；……………………………3分（2）①1°当直线OP斜率不存在时，PA=-1，PB=+1，则；……………………………4分2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y=kx，代入椭圆C1的方程，消去y，得（4k2+1）x2=4，所以x A2=，同理x P2=；………6分所以x P2=2x A2，由题意，x P与x A同号，所以x P=，从而，所以为定值；……………………………………8分②设P（x0，y0），所以直线l1的方程为y-y0=k1（x-x0），即y=k1x+k1y0-x0，记t=k1y0-x0，则l1的方程为y=k1x+t，代入椭圆C1的方程，消去y，得（4k12+1）x2+8k1tx+4t2-4=0，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以△=（8k1t）2-4（4k12+1）（4t2-4）=0，即4k12-t2+1=0，将t=k1y0-x0代入上式，整理得，（x02-4）k12-2x0y0k1+y02-1=0，……………12分同理可得，（x02-4）k22-2x0y0k2+y02-1=0，所以k1，k2为关于k的方程（x02-4）k2-2x0y0k+y02-1=0的两根，从而k1•k2=；……………………………………………14分又点在P（x0，y0）椭圆C2：=1上，所以y02=2-2，所以k1•k2=为定值．………………………………………16分解析：（1）根据题意求出a和b的值，即可写出椭圆C2的标准方程；（2）①讨论直线OP斜率不存在和直线OP斜率存在时，分别计算是值即可；②设出点P的坐标，写出直线l1和l2的方程，分别与椭圆C1的方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系，结合椭圆方程求出k1•k2的值．本题考查了直线和圆锥曲线方程的定义、标准方程与应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是难题．21.答案：解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=e x+（x-1）e x-kx=xe x-kx=x （e x-k），①当k≤0时，令f'（x）＞0，解得x＞0，所以f（x）的单调递减区间是（-∞，0），单调递增区间是[0，+∞），②当0＜k＜1时，令f'（x）＞0，解得x＜ln k或x＞0，所以f（x）在（-∞，ln k）和（0，+∞）上单调递增，在[ln k，0]上单调递减，③当k=1时，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，∞）上单调递增，④当k＞1时，令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞ln k，所以f（x）在（-∞，0）和（ln k，+∞）上单调递增，在[0，ln k]上单调递减；（2）f（0）=-1，①当0＜k≤1时，由（1）知，当x∈（-∞，0）时，，此时f（x）无零点，当x∈[0，+∞）时，f（2）=e2-2k≥e2-2＞0，又f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f（x）在[0，+∞）上有唯一的零点，故函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有唯一的零点，②当k＞1时，由（1）知，当x∈（-∞，ln k）时，f（x）≤f max（x）=f（0）=-1＜0，此时f（x）无零点；当x∈[ln k，+∞）时，f（ln k）＜f（0）=-1＜0，，令，则g'（t）=e t-t，g''（t）=e t-1，因为t＞2，g''（t）＞0，g'（t）在（2，+∞）上单调递增，g'（t）＞g'（2）=e2-2＞0，所以g（t）在（2，+∞）上单调递增，得g（t）＞g（2）=e2-2＞0，即f（k+1）＞0，所以f（x）在[ln k，+∞）上有唯一的零点，故函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有唯一的零点．综全①②知，当k＞0时函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有且只有一个零点．解析：（1）求出函数的导数，通过k的范围，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可．（2）f（0）=-1，通过①当0＜k≤1时，由（1）知，当x∈（-∞，0）时，函数的最大值大于0推出函数没有零点，当x∈[0，+∞）时，f（2）=e2-2k≥e2-2＞0，函数有唯一的零点，②当k＞1时，由（1）知，当x∈（-∞，ln k）时，f（x）≤f max（x）＜0，此时f（x）无零点；当x∈[ln k，+∞）时，有唯一的零点．推出当k＞0时函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有且只有一个零点．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点与函数的最值的关系，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．22.答案：解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴由题设，得C1的直角坐标方程为x2+（y-5）2=25，即x2+y2-10y=0，故C1的极坐标方程为ρ2-10ρsinθ=0，即ρ=10sinθ，M是曲线C1上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转90°得到线段ON，点N的轨迹为曲线C2，设点N（ρ，θ）（ρ≠0），则由已知得，代入C1的极坐标方程得，∴C2的极坐标方程为ρ=10cosθ（ρ≠0）；（2）∵射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（除极点外），∴将代入C1，C2的极坐标方程得，又∵T（4，0），∴，，∴．解析：本题考查曲线的极坐标的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．（1）由曲线C1的参数方程能求出C1的直角坐标方程，由此能求出C1的极坐标方程；设点N（ρ，θ）（ρ≠0），由已知得，代入C1的极坐标方程，能求出C2的极坐标方程，（2）将代入C1，C2的极坐标方程得，由T（4，0），能求出△TAB的面积．23.答案：解：因为m＞0，所以．……………………1分（1）当时，…………………………………………………………2分所以由，可得或或，…………………………3分解得或，………………………………………………………………………………4分故原不等式的解集为．………………………………………………………………………5分（2）因为f（x）+|t-3|＜|t+4|⇔f（x）≤|t+4|-|t-3|，令g（t）=|t+4|-|t-3|，则由题设可得f（x）max≤g（t）max． (6)分由，得f（x）max=f（m）=2m． (7)分因为||t+4|-|t-3||≤|（t+4）-（t-3）|=7，所以-7≤g（t）≤7． (8)分故g（t）max=7，从而2m＜7，即，………………………………………………………………9分又已知m＞0，故实数m的取值范围是．…………………………………………………………10分解析：（1）代入m的值，求出f（x）的分段函数，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）max≤g（t）max，分别求出f（x）和g（t）的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综合题．。

(精品)无锡市2019~2020高三数学一模试卷含答案

随着 x2 的增大而增大． x1
附加题，共 40 分
21．【选做题】本题包括 A ，B 两小题，每小题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修 4— 2：矩阵与变换
ab
已知 a，b R ，矩阵 A ＝
，若矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为
cd
1
（ 1）求△ PF1Q 的周长；（ 2）求△ PF1M 面积的最大值．
l 交椭圆于 P， Q 两点，点 Q 关于 x 轴的对称点
18．（本题满分 16 分）
一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形 MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内
有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形
ABCD （如图所示），其中 AD ≥AB ．结合现有
江苏省无锡市普通高中 2019— 2020 学年上学期高三期末调研考试
数学试题
2020． 01
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．．）
1．集合 A＝ x x 2k 1，k Z ， B＝ {1 ， 2， 3， 4} ，则 A B＝
．
10．正方形 ABCD 的边长为 2，圆 O 内切于正方形 ABCD ， MN 为圆 O 的一条动直径，点
P 为正方形 ABCD 边界上任一点，则 PM PN 的取值范围是
．
1
x2
11．双曲线 C：
4
y2 1 的左右顶点为 A， B，以 AB 为直径作圆 O， P 为双曲线右支上
3
不同于顶点 B 的任一点，连接 PA 交圆 O 于点 Q，设直线 PB ，QB 的斜率分别为 k1 ，k2 ，

2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)

2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此直接改写每段话。

2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.已知集合A为{x-1<x<1}，集合B为{-1≤x≤2}，则AB 的并集为[ -1.2 )。

2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。

已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码，当输出y的值为2时，则输入的x的值为e。

6.在平面直角坐标系xOy中，圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图，三个相同的正方形相接，则XXX∠XXX的值为1.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD上一点，且PE=2ED。

设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。

若M是FN的中点，则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。

e)。

11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）。

现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为3.12.如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且AM=2，点N为线段AM的中点，若AB×AC=28，则NB×NC的值为21.13.已知正数x，y满足x+y+1/x+1/y=10，则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足：a1=2，an=cos(πn/2)+3sin(πn/2)，其中n∈N，且nπ/2∈(0.π/2)。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(一)含答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上． 1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________. 3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________． 4. 根据如下所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x (x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证： (1) 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； (2) MN ∥平面ABC .已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.(1) 若A ＝5π12，求边c 的大小；(2) 若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．(1) 求开学第二天选择A餐厅的人数；(2) 若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l：x－y＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．(1) 求椭圆C的方程；(2) 设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，m＝(k1－2，1)，n＝(1，k2－2)，若m⊥n，求证：直线AB过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1) 求a n 和T n ；(2) 若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1) 当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2) 若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围； (3) 若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x恒成立．最高考·高考全真模拟卷·数学参考答案2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3.102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z|＝14＋94＝102. 4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e.5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x<4时，f(x)＝f(x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f(log 23－3)＝f(log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f(log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos (α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos [(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315.10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V PACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝xy时等号成立． 12.n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n ＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n.13. 4 解析：y ＝2x x －1－f(x)的零点即为2x x －1＝f(x)的解，∴ y ＝2x x －1与y ＝f(x)有四个交点．∵ y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f(x)(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f(x)≥0及x>0，得a ≤e x e x 的解集恰为[m ，n]，设 g(x)＝e xe x ，则g′(x)＝e （1－x ）e x ，由g′(x)＝0，得x ＝1，当0<x<1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x>1时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，且g(1)＝1，g(0)＝0，当x>0时，g(x)>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝e xex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C.又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1，故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP. ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点， ∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1. 又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形，从而MN ∥BP.又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC.(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B, 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)，第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)，故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)，而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时，有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000，即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M(0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2. 由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4， ∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4，即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k 2－1，故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k 2－1，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12，此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12， ∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n.(2分) b n ＝log 2a 2n 2·log 2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. (5分) (2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n－3恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大， ∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n＋5恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min.(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9，当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9. 综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f(x)＝ln x ＋2e x，得f′(x)＝1－2x －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)，(1分) ∴ 曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e. ∵ f(1)＝2e，∴ 曲线y ＝f(x)切线方程为 y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由x e x f(x)>m ，得k>m x－ln x ，令F (x )＝m x－ln x ，则k >F (x )max ，又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e]．当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e]上单调递减，∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e<m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln(－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e)＝m e－1，综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e<m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫m e －1，＋∞.(8分)(3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1.令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于 1－x －x ln x <e xx ＋1(e －2＋1)．由h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －x ln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0， ∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1， ∴ 1－x －x ln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)，故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江。

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟理科数学(附答案)

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟理科数学（附答案）注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间120分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z 满足(1＋i)z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n ＝________．错误!4. 史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出x 的值为________．6. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y ≤0，x ≥0，则z ＝x ＋y 的取值范围是________．7. 在四边形ABCD 中，已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．8. 以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________． 10. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3＝7，且a 1－1，a 2－1，a 4－1成等比数列，则a 10＝________．11. 已知θ是第四象限角，则cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．12. 已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 13. 已知点P 在圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，A ，B 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝4上两动点，且AB ＝23，则P A →·PB →的最小值是________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m＝(a，sin C－sin B)，n＝(b＋c，sin A＋sin B)，且m∥n.(1) 求角C的大小；(2) 若c＝3，求△ABC周长的取值范围．16. (本小题满分14分)在四棱锥P ABCD中，锐角三角形P AD所在平面垂直于平面P AB，AB⊥AD，AB⊥BC.(1) 求证：BC∥平面P AD；(2) 求证：平面P AD⊥平面ABCD.(第16题)17. (本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x ∈Z ，1≤x ≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为⎝⎛⎭⎫3－14x 万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)(1) 至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，P A交y轴于点C，PB交x轴于点D.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 求△PCD面积的最大值．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x －a2x 2－ax(a>0)．(1) 当a ＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2) 若y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值，求证：x 1＋x 22<ln a.20. (本小题满分16分)设等比数列{a n }的公比为q(q>0，q ≠1)，前n 项和为S n ，且2a 1a 3＝a 4，数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，b 2＝1.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 是否存在常数t ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列？请说明理由；(3) 设c n ＝1b n ＋4，对于任意给定的正整数k (k ≥2)，是否存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列？若存在，求出l ，m (用k 表示)；若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．说明：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. (本小题满分10分)选修4-2：矩阵与变换设旋转变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab 1 2·A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34c d ，求ad －bc 的值．22. (本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程自极点O 作射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM·OP ＝12，若Q 为曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)上一点，求PQ 的最小值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M(x ，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M 到直线x ＝－1的距离等于1.(1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线y ＝k(x ＋2)与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．24. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝23，1a n －1＝2－a n －1a n －1－1(n ≥2)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2 )设数列{a n }的前n 项和为S n ，用数学归纳法证明：S n <n ＋12－ln .江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {x|0<x<1}2. －13. 364. 13 5. 256. [0，3]7. 梯形8. y 2＝12x9. 3π 10. 21 11. 5214 12. －2 13. 19－122 14. 13215. (1) 由m ∥n 及m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0，(2分) 由正弦定理，得a ⎝⎛⎭⎫a 2R ＋b 2R －(b ＋c )⎝⎛⎭⎫c 2R －b2R ＝0，所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以ab ＝－2ab cos C ，(5分) 因为ab >0，所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(7分) (2) 在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9，(9分)所以ab ＝(a ＋b )2－9≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，所以3（a ＋b ）24≤9，即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤23，(12分)又因为a ＋b >c ，所以6<a ＋b ＋c ≤23＋3，即周长l 满足6<l ≤3＋23，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋23]．(14分) 16. (1) 因为AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，且A ，B ，C ，D 共面，所以AD ∥BC.(3分)(第16题)因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.(5分)(2) 如图，过点D 作DH ⊥PA 于点H ，因为△PAD 是锐角三角形，所以H 与A 不重合．(7分)因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ∩平面PAB ＝PA ，DH ⊂平面PAD ，所以DH ⊥平面PAD.(9分)因为AB ⊂平面PAB ，所以DH ⊥AB.(11分)因为AB ⊥AD ，AD ∩DH ＝D ，AD ，DH ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD.因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD.(14分) 17. (1) 由题意得1×⎝⎛⎭⎫1＋x203≥1.6，因为5x<100－5x ，所以x<10且x ∈Z .(2分) 因为y ＝⎝⎛⎭⎫1＋x203在x ∈[1，9]上单调递增，由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，所以x20≥0.2，得x ≥4.(5分)又x ＜10且x ∈Z ，故x ＝4，5，6，7，8，9. 答：至少抽取20户从事包装、销售工作．(7分)(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1100[5x ⎝⎛⎭⎫3－14x ＋⎝⎛⎭⎫1＋x 20(100－5x )]≥1.35有正整数解，(8分)化简整理得3x 2－30x ＋70≤0，(10分) 所以－153≤x －5≤153.(11分) 因为3<15<4，且x ∈Z ，所以－1≤x －5≤1，即4≤x ≤6. (13分)答：至2018年底，该村户均纯收入能达到1万3千5百元，此时从事包装、销售的农户数为20户，25户，30户．(14分)18. (1) 由题意得⎩⎨⎧3a 2＋14b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，b 2＝1，(4分) 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(5分) (2) 由题意设l AP ：y ＝k(x ＋2)，－12<k<0，所以C(0，2k)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2，由x A ＝－2得x P ＝2－8k 21＋4k 2，故y P ＝k(x P ＋2)＝4k 1＋4k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，(8分) 设D(x 0，0)，因为B(0，1)，P ，B ，D 三点共线，所以k BD ＝k PB ，故1－x 0＝4k 1＋4k 2－12－8k 21＋4k 2，解得x D ＝2（1＋2k ）1－2k，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（1＋2k ）1－2k ，0，(10分) 所以S △PCD ＝S △PAD －S △CAD ＝12×AD ×|y P －y C |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（1＋2k ）1－2k ＋2⎪⎪⎪⎪4k 1＋4k2－2k ＝4|k （1＋2k ）|1＋4k 2，(12分) 因为－12<k<0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2×1－2k 1＋4k 2，令t ＝1－2k ，1<t<2，所以2k ＝1－t ，所以g(t)＝－2＋2t 1＋（1－t ）2＝－2＋2t t 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t －2≤－2＋222－2＝2－1，(14分)当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.(16分) 19. (1) 由f(x)＝e x －12x 2－x ，则f′(x)＝e x －x －1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x －1，(3分)当x>0时，g′(x)>0，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(5分)进而f(x)>f(0)＝1>0，即对任意x>0，都有f(x)>0.(6分)(2) f′(x)＝e x －ax －a ，因为x 1，x 2为f(x)的两个极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝0，f′（x 2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧e x 1－ax 1－a ＝0，e x 2－ax 2－a ＝0. 两式相减，得a ＝e x 1－e x 2x 1－x 2，(8分) 则所证不等式等价于x 1＋x 22<ln e x 1－e x 2x 1－x 2，即e x 1＋x 22<e x 1－e x 2x 1－x 2，(10分) 不妨设x 1>x 2，两边同时除以e x 2可得：ex 1－x 22<e x 1－x 2－1x 1－x 2，(12分) 令t ＝x 1－x 2，t>0，所证不等式只需证明：e t 2<e t －1t ⇔t e t 2－e t ＋1<0.(14分) 设φ(t)＝t e t 2－e t ＋1，则φ′(t)＝－e t 2·⎣⎡⎦⎤e t 2－⎝⎛⎭⎫t 2＋1，因为e x ≥x ＋1，令x ＝t 2，可得e t 2－⎝⎛⎭⎫t 2＋1≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递减，φ(t)<φ(0)＝0，所以x 1＋x 22<ln a ．(16分) 20. (1) 因为2a 1a 3＝a 4，所以2a 1·a 1q 2＝a 1q 3，所以a 1＝q 2，所以a n ＝q 2q n －1＝12q n .(2分) 因为2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，①所以2T n ＋1＝(n ＋1)(b n ＋1－1)，n ∈N ，②②－①，得2T n ＋1－2T n ＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，n ∈N *，所以2b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，所以(n －1)b n ＋1＝nb n ＋1，n ∈N *，③(4分)所以nb n ＋2＝(n ＋1)b n ＋1＋1，n ∈N ，④④－③得nb n ＋2－(n －1)b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n ，n ∈N *，所以nb n ＋2＋nb n ＝2nb n ＋1，n ∈N *，所以b n ＋2＋b n ＝2b n ＋1，所以b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ，所以{b n }为等差数列．因为n ＝1时b 1＝－1，又b 2＝1，所以公差为2，所以b n ＝2n －3.(6分)(2) 由(1)得S n ＝q 2（1－q n ）1－q ，所以S n ＋12t ＝q 2（1－q n ）1－q ＋12t ＝q n ＋t 2（q －1）＋q 2（1－q ）＋12t ，要使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列，则通项必须满足指数型函数，即q 2（1－q ）＋12t＝0，解得t ＝q －1q.(9分) 此时S n ＋1＋12t S n ＋12t ＝q n ＋22（q －1）q n ＋12（q －1）＝q ，所以存在t ＝q －1q ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列．(10分) (3) c n ＝1b n ＋4＝12n ＋1，设对于任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列，所以2c l ＝c k ＋c m ，所以22l ＋1＝12k ＋1＋12m ＋1. 所以12m ＋1＝22l ＋1－12k ＋1＝4k －2l ＋1（2l ＋1）（2k ＋1）. 所以m ＝2kl －k ＋2l 4k －2l ＋1＝（－4k ＋2l －1）（k ＋1）＋（2k ＋1）24k －2l ＋1＝－k －1＋（2k ＋1）24k －2l ＋1. 所以m ＋k ＋1＝（2k ＋1）24k －2l ＋1. 因为给定正整数k (k ≥2)，所以4k －2l ＋1能整除(2k ＋1)2且4k －2l ＋1>0，所以4k －2l ＋1＝1或2k ＋1或(2k ＋1)2.(14分)若4k －2l ＋1＝1，则l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，此时m －l ＝4k 2＋k >0，满足(k <l <m )；若4k －2l ＋1＝2k ＋1，则k ＝l ，矛盾(舍去)；若4k －2l ＋1＝(2k ＋1)2，则l ＝2k 2，此时m ＋k ＝0(舍去)．综上，任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，使得c k ，c l ，c m 成等差数列．(16分)江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34c d ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，－a ＝4，2＝c ，－1＝d ，(6分) 即a ＝－4，b ＝3，c ＝2，d ＝－1，(8分)所以ad －bc ＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.(10分)22. 以极点O 为直角坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，因为OM·OP ＝12，所以ρρ′＝12.因为ρ′cos θ＝3，所以12ρcos θ＝3，即ρ＝4cos θ， (3分)化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.(5分)由⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)得普通方程为x －y ＋3＝0，(7分) 所以PQ 的最小值为圆上的点到直线距离的最小值，即PQ min ＝d －r ＝|2－0＋3|2－2＝522－2.(10分) 23. (1) 由题意得（x －2）2＋y 2－|x ＋1|＝1，(2分)即（x －2）2＋y 2＝|x ＋1|＋1.因为x>0，所以x ＋1>0，所以（x －2）2＋y 2＝x ＋2，两边平方，整理得曲线C 的方程为y 2＝8x.(4分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋2，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.(6分)由k FA ＋k FB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝k （x 1＋2）x 1－2＋k （x 2＋2）x 2－2 ＝k （x 1＋2）（x 2－2）＋k （x 1－2）（x 2＋2）（x 1－2）（x 2－2）＝2k （x 1x 2－4）（x 1－2）（x 2－2）.(8分) 将x 1x 2＝4代入，得k FA ＋k FB ＝0，所以直线FA 和直线FB 的倾斜角互补．(10分)24. (1) 因为n ≥2，由1a n －1＝2－a n －1a n －1－1，得1a n －1＝1－a n －1a n －1－1＋1a n －1－1，所以1a n －1－1a n －1－1＝－1，(1分) 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－3，公差为－1的等差数列，且1a n －1＝－n －2，所以a n ＝n ＋1n ＋2.(3分) (2) 下面用数学归纳法证明：S n <n －ln ⎣⎡⎦⎤n ＋32＋12. ①当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1＝23，右边＝32－ln 2，因为e 3>16⇔3ln e >4ln 2⇔ln 2<34， 32－ln 2>32－34＝34>23，所以命题成立；(5分)②假设当n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时成立，即S k <k －ln k ＋32＋12，则当n ＝k ＋1，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1<k －ln k ＋32＋12＋k ＋2k ＋3，要证S k ＋1<(k ＋1)－ln （k ＋1）＋32＋12，只要证k －ln k ＋32＋12＋k ＋2k ＋3<(k ＋1)－ln （k ＋1）＋32＋12，只要证ln k ＋4k ＋3<1k ＋3，即证ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋3<1k ＋3.(8分) 考查函数F (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)，因为x >0，所以F ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x<0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以F (x )<F (0)＝0，即ln(1＋x )<x ，所以ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋3<1k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，S n <n －ln n ＋32＋12.(10分)。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(一)含答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________．4. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x (x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证： (1) 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； (2) MN ∥平面ABC .已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.(1) 若A ＝5π12，求边c 的大小；(2) 若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．(1) 求开学第二天选择A餐厅的人数；(2) 若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l ：x －y ＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，若m ⊥n ，求证：直线AB 过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1) 求a n 和T n ；(2) 若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1) 当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2) 若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围； (3) 若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x恒成立．最高考·高考全真模拟卷·数学参考答案2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3.102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z|＝14＋94＝102. 4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e.5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x<4时，f(x)＝f(x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f(log 23－3)＝f(log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f(log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos (α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos [(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315.10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V PACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝x y 时等号成立．12.n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n ＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n.13. 4 解析：y ＝2x x －1－f(x)的零点即为2x x －1＝f(x)的解，∴ y ＝2x x －1与y ＝f(x)有四个交点．∵ y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f(x)(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f(x)≥0及x>0，得a ≤e x e x 的解集恰为[m ，n]，设 g(x)＝e xe x ，则g′(x)＝e （1－x ）e x ，由g′(x)＝0，得x ＝1，当0<x<1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x>1时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，且g(1)＝1，g(0)＝0，当x>0时，g(x)>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝e xex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C.又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1，故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP. ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点， ∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1. 又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形，从而MN ∥BP.又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC.(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B, 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)，第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)，故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)，而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时，有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000，即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M(0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2. 由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4， ∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4，即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k 2－1，故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k 2－1，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12，此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12， ∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n.(2分) b n ＝log 2a 2n 2·log 2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. (5分)(2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n－3恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大， ∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n＋5恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min.(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9，当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9. 综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f(x)＝ln x ＋2e x，得f′(x)＝1－2x －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)，(1分) ∴ 曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e. ∵ f(1)＝2e，∴ 曲线y ＝f(x)切线方程为 y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由x e x f(x)>m ，得k>m x－ln x ，令F (x )＝m x－ln x ，则k >F (x )max ，又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e]．当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e]上单调递减，∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e<m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln(－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e)＝m e－1，综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e<m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫m e －1，＋∞.(8分) (3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1.令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于1－x －x ln x <e xx ＋1(e －2＋1)．由h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －x ln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0， ∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1， ∴ 1－x －x ln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)，故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江。

2019年江苏省无锡市高考数学一模试卷

2019年江苏省无锡市高考数学一模试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题（共14小题）1.设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩B＝．2.设复数z满足（1+i）z＝1﹣3i（其中i是虚数单位），则z的实部为﹣．3.有A，B，C三所学校，学生人数的比例为3：4：5，现用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出9名志愿者，那么n＝．4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．5.执行如图的伪代码，则输出x的值为．6.已知x，y满足约束条件，则z＝x+y的取值范围是．7.在四边形ABCD中，已知＝+2，＝﹣4﹣，＝﹣5﹣3，其中，，是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是．8.以双曲线﹣＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是．9.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于．10.设公差不为零的等差数列{a n}满足a3＝7，且a1﹣1，a2﹣1，a4﹣1成等比数列，则a10等于11.已知θ是第四象限角，且cosθ＝，那么的值为．12.已知直线y＝a（x+2）（a＞0）与函数y＝|cos x|的图象恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x4+＝﹣．13.已知点P在圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2＝1上，A，B为圆C：x2+（y﹣4）2＝4上两动点，且AB＝2，则•的最小值是﹣．14.在锐角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B＝2sin2C，则++的最小值为．二、解答题（共10小题）15.在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量＝（a，sin C﹣sin B），＝（b+c，sin A+sin B），且∥（1）求角C的大小（2）若c＝3，求△ABC的周长的取值范围．16.在四棱锥P﹣ABCD中，锐角三角形P AD所在平面垂直于平面P AB，AB⊥AD，AB⊥BC．（1）求证：BC∥平面P AD；（2）平面P AD⊥平面ABCD．17.十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作．经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x户（x∈Z，1≤x≤9）从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为（3﹣x）万元（参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728）．（1）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于1万6千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？（2）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，P A交y轴于点C，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△PCD面积的最大值．19.已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax（a＞0）．（1）当a＝1时，求证：对于任意x＞0，都有f（x）＞0成立；（2）若函数y＝f（x）恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证：＜lna．20.设等比数列{a n}的公比为q（q＞0，q̸＝1），前n项和为Sn，且2a1a3＝a4，数列{b n}的前n项和Tn满足2T n＝n（b n﹣1），n∈N*，b2＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）是否存在常数t，使得{S n+}为等比数列？说明理由；（3）设c n＝，对于任意给定的正整数k（k≥2），是否存在正整数l，m（k＜l＜m），使得c k，c1，c m成等差数列？若存在，求出l，m（用k表示），若不存在，说明理由．21.设旋转变换矩阵A＝，若•A＝，求ad﹣bc的值．22.自极点O作射线与直线ρcosθ＝3相交于点M，在OM上取一点P，使OM•OP＝12，若Q为曲线（t为参数）上一点，求PQ的最小值．23.在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点M（x，y）（x＞0）到点F（2，0）的距离减去M到直线x＝﹣1的距离等于1．（1）求曲线C的方程；（2）若直线y＝k（x+2）与曲线C交于A，B两点，求证：直线F A与直线FB的倾斜角互补．24.已知数列{a n}满足a1＝，＝（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，用数学归纳法证明：S n＜n+﹣ln（）．2019年江苏省无锡市高考数学一模试卷参考答案一、填空题（共14小题）1.【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．【知识点】交集及其运算2.【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z＝1﹣3i，得z＝，∴z的实部为﹣1．故答案为：﹣1．【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】学生人数比例为3：4：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了9名志愿者，即可求出【解答】解：∵学生人数比例为3：4：5，A高校恰好抽出了9名志愿者，∴n＝9÷＝36，故答案为：36．【知识点】分层抽样方法4.【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，田忌的马获胜包含的基本事件有：m＝3种，由此能求出田忌的马获胜的概率．【解答】解：现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，基本事件总数n＝3×3＝9，田忌的马获胜包含的基本事件有：m＝3种，∴田忌的马获胜的概率p＝＝＝．故答案为：．【知识点】古典概型及其概率计算公式5.【分析】分析程序的功能，计算x的值，根据循环条件得出程序运行后输出的x值．【解答】解：模拟程序的运行过程，如下；x＝0，执行循环体，x＝1，x＝1不满足条件x＞20，执行循环体，x＝2，x＝4不满足条件x＞20，执行循环体，x＝5，x＝25满足条件x＞20，终止循环，程序运行后输出x＝25．故答案为：25．【知识点】伪代码6.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z与原点（0，0）时，z有最小值0；当直线y＝﹣x+z过A（1，2）时，z有最大值3．∴z＝x+y的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．【知识点】简单线性规划7.【分析】由已知四边形ABCD中，，，，且不共线，我们可以求出向量，结合向量平行的性质，我们易判断向量与的关系，进而判断出四边形ABCD的形状．【解答】解：∵，，，∴＝++＝﹣8＝2故AD与BC平行，且长度不等故四边形ABCD是以AD和BC为底边的梯形故答案为：梯形【知识点】平面向量的基本定理及其意义8.【分析】由双曲线的性质，确定抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线标准方程．【解答】解：双曲线﹣＝1的右焦点为（3，0），∴抛物线的焦点为（3，0），∴抛物线标准方程为y2＝12x，故答案为：y2＝12x．【知识点】圆锥曲线的综合9.【分析】由题意画出图形，设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，由侧面面积求得r，再由圆锥体积公式求解．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，高为．则其侧面积S＝2πr2＝6π，解得r＝．∴圆锥的高为3．其体积V＝×π×3×3＝3π，故答案为：3π．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积10.【分析】由已知条件得出，并列出有关公差的方程，求出公差的值，利用等差数列的性质可求出a10的值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，则a1＝a3﹣2d＝7﹣2d，a2＝a3﹣d＝7﹣d，a4＝a3+d ＝7+d，由于a1﹣1，a2﹣1，a4﹣1成等比数列，则，即（6﹣d）2＝（6﹣2d）（6+d），化简得d2﹣2d＝0，由于d≠0，解得d＝2，因此，a10＝a3+7d＝7+7×2＝21．故答案为：21．【知识点】等比数列的通项公式11.【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinθ的值，再利用诱导公式、两角和的三角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，且cosθ＝，∴sinθ＝﹣＝﹣，∴＝＝（cosθ﹣sinθ）＝＝，故答案为：．【知识点】运用诱导公式化简求值、二倍角的正弦12.【分析】分别作出直线与函数y＝|cos x|的图象，可得当直线y＝a（x+2）与y＝|cos x|的图象相切，它们恰有四个公共点，D为切点，运用导数的几何意义和同角的商数关系，即可得到所求值．【解答】解：分别作出直线y＝a（x+2）（a＞0）与函数y＝|cos x|的图象，可得当直线y＝a（x+2）与y＝|cos x|的图象相切，它们恰有四个公共点，且D为切点，可得y＝﹣cos x的导数为y′＝sin x，即a＝sin x4，a（x4+2）＝﹣cos x4，即sin x4（x4+2）＝﹣cos x4，则x4+2＝﹣＝﹣，则x4+＝﹣2．故答案为：﹣2．【知识点】函数与方程的综合运用13.【分析】由向量数量积可得•＝PE2﹣＝PE2﹣3，只需求得PE的最小值即可得•的最小值．【解答】解：如图，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2＝1的圆心M在直线y＝x﹣2上，圆心C到AB的距离为1，点C到直线y＝x﹣2的距离d＝，∴AB的中点E到圆心M的最短距离为3﹣1，∴PE的最小值为3﹣2．可得•＝＝（PE2﹣＝PE2﹣3∴•的最小值是19﹣12．故答案为：19﹣12．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律14.【分析】由已知条件结合正弦定理和余弦定理即可求出3tan A＝tan C，再利用两角和的正切三角函数公式求出tan B，然后利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：2sin2A+sin2B＝2sin2C，由正弦定理得2a2+b2＝2c2，结合余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得3b＝4c cos A，再由正弦定理得3sin B＝4sin C cos A，则3（sin A cos C+cos A sin C）＝4sin C cos A，即3tan A＝tan C．tan B＝﹣tan（A+C）＝．∴++＝＝．当且仅当时取等号．∴++的最小值为．故答案为：．【知识点】正弦定理二、解答题（共10小题）15.【分析】（1）由向量平行的性质，正弦定理可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，由余弦定理得：cos C＝﹣，即可得解C的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：a+b+c＝2sin（A+）+3，由0＜A＜，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）由向量＝（a，sin C﹣sin B），＝（b+c，sin A+sin B），且∥，得：a（sin A+sin B）＝（b+c）（sin C﹣sin B）由正弦定理，得：a（a+b）＝（b+c）（c﹣b）化为：a2+b2﹣c2＝﹣ab，由余弦定理，得：cos C＝﹣，所以，C＝，（2）因为C＝，所以，B＝﹣A，由B＞0，得：0＜A＜，由正弦定理，得：＝2，△ABC的周长为：a+b+c＝2（sin A+sin B）+3＝2[sin A+sin（﹣A）]+3，＝2sin（A+）+3，由0＜A＜，得：＜A+＜，＜sin（A+）≤1，所以，周长C＝2sin（A+）+3∈（6，2+3]．【知识点】余弦定理16.【分析】（1）证明BC∥AD，然后证明BC∥平面P AD．（2）作DE⊥P A于E，说明DE⊥平面P AB，推出DE⊥AB，结合AD⊥AB，证明AB⊥平面P AD，然后证明平面P AD⊥平面ABCD．【解答】证明：（1）四边形ABCD中，因为AB⊥AD，AB⊥BC，所以，BC∥AD，BC在平面P AD外，所以，BC∥平面P AD，（2）作DE⊥P A于E，因为平面P AD⊥平面P AB，而平面P AD∩平面P AB＝AB，所以，DE⊥平面P AB，所以，DE⊥AB，又AD⊥AB，DE∩AD＝D，所以，AB⊥平面P AD，AB在平面ABCD内，所以，平面P AD⊥平面ABCD．【知识点】平面与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定17.【分析】（1设至2020年底，种植户平均收入＝≥16，解不等式得x，即可求出答案；（2）设至2018年底，每户平均收入为f（x）万元，≥1.35，解不等式得x，即可求出答案【解答】解：（1）设至2020年底，种植户平均收入＝≥16，设其解为x≥x0＝20（﹣1），由题意所给数据知1.15＜1+＜1.2，解得3＜x0＜4，又x∈Z，1≤x≤9，则x≥4，即至少抽取20户，答：至少抽出20户从事包装、销售工作，（2）设至2018年底，每户平均收入为f（x）万元，则f（x）＝，假设能达到1.35万元，则f（x）≥1.35，x∈Z，1≤x≤9，则≥1.35，即3x2﹣30x+70≤0，x∈Z，1≤x≤9，解得x∈{4，5，6}，答：当抽出从事包装、销售的户数不少于20户且不超过30户时，能达到，否则，不能．【知识点】根据实际问题选择函数类型18.【分析】（1）利用椭圆的离心率求得，将（，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值．（2）设P（m，n），m＞0，n＞0，且.可得S＝＝＝﹣＝．设P处的切线为：x﹣2y+t＝0，t＜0．由⇒8y2﹣4ty+t2﹣4＝0，△＝﹣16t2+128＝0⇒t＝﹣2时．S△PCD取得最大值，【解答】解：（1）由已知得，⇒，点（，）代入+＝1可得．代入点（，）解得b2＝1，∴椭圆C的标准方程：．（2）可得A（﹣2，0），B（0，1）．设P（m，n），m＞0，n＞0，且.P A：，PB：，可得C（0，），D（）．由可得x＝．S＝＝＝﹣＝．设P处的切线为：x﹣2y+t＝0，t＜0．⇒8y2﹣4ty+t2﹣4＝0，△＝﹣16t2+128＝0⇒t＝﹣2．此时，方程组的解即点P（，﹣）时，S△PCD取得最大值，最大值为﹣1．【知识点】直线与椭圆的位置关系19.【分析】（1）先求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，（2）根据题意可得x1，x2是方程f′（x）＝0的两个实数根，不妨设x1＜x2，可以判断a＞1，分别根据函数零点存在定理可得f′（x1）＝f′（x2）＝0，可得﹣a＝﹣a＝0，即可得到a＝，则f″（）＝（﹣），设＝t＞0，再根据函数g（t）＝（2t﹣e t）e t+1，求导，借助于（1）的结论即可证明【解答】证明：（1）当a＝1时，f（x）＝e x﹣x2﹣x，则f′（x）＝e x﹣x﹣1，∴f″（x）＝e x﹣1＞0，（x＞0），∴f′（x）＝e x﹣x﹣1单调递增，∴f′（x）＞f′（0）＝0，∴f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）＝1＞0，故对于任意x＞0，都有f（x）＞0成立；（2）∵函数y＝f（x）恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值∴x1，x2是方程f′（x）＝0的两个实数根，不妨设x1＜x2，∵f′（x）＝e x﹣ax﹣a，f″（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）单调递增，至多有一个实数解，不符合题意，当a＞0时，f″（x）＜0的解集为（﹣∞，lna），f″（x）＞0的解集为（lna，+∞），∴f′（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，∴f′（x）min＝f′（lna）＝﹣alna，由题意，应有f′（lna）＝﹣alna＜0，解得a＞1，此时f′（﹣1）＝＞0，∴存在x1∈（﹣1，lna）使得f′（x1）＝0，当f（2a﹣1）＝e2a﹣1﹣2a2，设s＝2a﹣1＞1，∴h（s）＝e s﹣（s+1）2，∴h′（s）e s﹣s﹣1，由（1）可知h（s）＞h（1）＝e﹣2＞0，∴存在x2∈（lna，2a﹣1）使得f′（x2）＝0，∴a＞1满足题意，∵f′（x1）＝f′（x2）＝0，∴﹣a＝﹣a＝0，∴a＝，∴f″（）＝﹣a＝﹣＝（﹣），设＝t＞0，∴﹣＝e t﹣＝，设g（t）＝（2t﹣e t）e t+1，∴g′（t）＝2（t+1﹣e t）e t，由（1）可知，g′（t）＝2（t+1﹣e t）e t＜0恒成立，∴g（t）单调递减，∴g（t）＜g（t）＝0，即f″（）＜0，∴＜lna．【知识点】利用导数研究函数的极值20.【分析】（1）等比数列{a n}的公比为q（q＞0，q̸＝1），根据2a1a3＝a4，利用通项公式可得＝，可得a1．可得通项公式a n．数列{b n}的前n项和Tn满足2T n＝n（b n﹣1），n∈N*，b2＝1．利用n≥2时，2b n＝2（T n﹣T n﹣1），化为：（n﹣2）b n＝（n﹣1）b n﹣1+1，当n≥3时，两边同除以（n﹣2）（n﹣1），可得：﹣＝﹣，利用累加求和即可得出b n．（2）由（1）可知：a n＝，q＞0，q≠1．可得S n＝﹣．分类讨论：t＝时，计算＝q即可得出结论．②若t≠时，则S n+＝﹣+．设＝A，﹣＝B．（其中A，B≠0）．＝＝q+不为常数，即可判断出结论．（3）由（1）可知：b n＝2n﹣3．c n＝＝，假设对于任意给定的正整数k（k≥2），存在正整数l，m（k＜l＜m），使得c k，c1，c m成等差数列．则+＝，整理得：2m+1＝，取l＝2k，即可得出结论．【解答】解：（1）等比数列{a n}的公比为q（q＞0，q̸＝1），∵2a1a3＝a4，∴＝，可得a1＝．∴a n＝×q n﹣1＝．数列{b n}的前n项和Tn满足2T n＝n（b n﹣1），n∈N*，b2＝1．∴n≥2时，2b n＝2（T n﹣T n﹣1）＝n（b n﹣1）﹣（n﹣1）（b n﹣1﹣1），化为：（n﹣2）b n＝（n﹣1）b n﹣1+1，当n≥3时，两边同除以（n﹣2）（n﹣1），可得：﹣＝﹣，利用累加求和可得：＝b2+1﹣，化为：b n＝2n﹣3（n≥3），当n＝1时，2b1＝b1﹣1，解得b1＝﹣1，经过验证n＝1，2时也满足．∴b n＝2n﹣3．（2）由（1）可知：a n＝，q＞0，q≠1．∴S n＝＝﹣．①若t＝时，则S n+＝，∴＝q．即数列{S n+}是公比为q的等比数列．②若t≠时，则S n+＝﹣+．设＝A，﹣＝B．（其中A，B≠0）．则＝＝q+不为常数．综上：存在t＝时，使得数列{S n+}是公比为q的等比数列．（3）由（1）可知：b n＝2n﹣3．c n＝＝，假设对于任意给定的正整数k（k≥2），存在正整数l，m（k＜l＜m），使得c k，c1，c m成等差数列．则+＝，整理得：2m+1＝，取l＝2k，则2m+1＝（4k+1）（2k+1），解得m＝4k2+3k．即存在l＝2k，m＝4k2+3k．符合题意．【知识点】数列递推式21.【分析】本题可先将矩阵A代入，然后计算等于号左边的两个矩阵相乘，然后根据矩阵相等得到a、b、c、d的值，即可得到结果．【解答】解：由题意，可知：•＝．即：＝．∴，∴ad﹣bc＝（﹣4）×（﹣1）﹣3×2＝﹣2．【知识点】几种特殊的矩阵变换22.【分析】先求出点P的轨迹的极坐标方程，并化为普通方程，可知点P在圆上，求出圆心到直线的距离，在该距离的基础上减去圆的半径，可得出PQ的最小值．【解答】解：设点P的极坐标为（ρ，θ），设点M的极坐标为（ρ1，θ），由于OM•OP＝12，所以，ρ1•ρ＝12，则，由于点M在直线ρcosθ＝3上，所以，，化简得ρ＝4cosθ，在该极坐标方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ，化为普通方程得x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4，所以，点P在圆（x﹣2）2+y2＝4上，在曲线（t为参数）的参数方程中消去参数t得x﹣y+3＝0，圆心到该直线的距离为，因此，PQ的最小值为．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点P的轨迹；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与抛物线方程联立化为k2x2+（4k2﹣8）x+4k2＝0，（k≠0）．由于△＞0，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线F A与直线FB的斜率之和0，即可证明【解答】解：（1）线C上的动点M（x，y）（x＞0）到点F（2，0）的距离减去M到直线x＝﹣1的距离等于1，所以动点M到直线x＝﹣2的距离与它到点F（2，0）的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y2＝8x，证明（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为k2x2+（4k2﹣8）x+4k2＝0，（k≠0）．由于△＞0，∴x1+x2＝，x1x2＝4．∴直线F A与直线FB的斜率之和＝＝，分子＝k（2x1x2﹣8）＝0，∴直线F A与直线FB的斜率之和为0，∴直线F A与直线FB的倾斜角互补．【知识点】轨迹方程24.【分析】（1）由＝，（n≥2）．化简可得﹣＝﹣1，利用等差数列的通项公式可得a n与S n．（2）由（1）可得S n，下面利用数学归纳法证明：S n＜n+﹣ln（）．①n＝1时，左边＝S1＝，根据5lne﹣6ln2＝＞0，可得ln2．可得n＝1时不等式成立．②假设n＝k∈N*时成立，即S k＜k+﹣ln．则n＝k+1时，S k+1＝S k+1﹣＜k+1+﹣﹣ln，下面证明：+ln＞ln，即证明：＞，令＝x∈．令f（x）＝x﹣ln（1+x），x∈．利用导数研究函数的单调性即可证明结论．【解答】解：（1）∵＝，（n≥2）．∴＝＝﹣1+，∴﹣＝﹣1，∵a1＝，∴a1﹣1＝﹣，∴数列{}是以﹣3为首项，以﹣1为公差的等差数列，∴＝﹣3﹣（n﹣1）＝﹣2﹣n，可得a n＝1﹣．（2）由（1）可得：S n＝n﹣﹣……﹣．下面利用数学归纳法证明：S n＜n+﹣ln（）．①n＝1时，左边＝S1＝，∵5lne﹣6ln2＝＞0，∵ln2．右边＝1+﹣ln2＝+﹣ln2＝左边．此时不等式成立．②假设n＝k∈N*时成立，即S k＜k+﹣ln．则n＝k+1时，S k+1＝S k+1﹣＜k+1+﹣﹣ln，下面证明：k+1+﹣﹣ln＜k+1+﹣ln，即证明：+ln＞ln，即证明：＞，令＝x∈．令f（x）＝x﹣ln（1+x），x∈．f′（x）＝1﹣＝＞0，∴函数f（x）在x∈内单调递增．∴f（x）＞f（0）＝0．∴x＞ln（1+x），即＞成立，因此n＝k+1时不等式也成立．综上可得：不等式对于∀n∈N*都成立．【知识点】数列递推式、数学归纳法。

无锡市2019届高三一模数学答案

所以f′（x1）＝0，即ex1－ax1－a＝0， f′（x2）＝0， ex2－ax2－a＝0.
两式相减，得 a＝exx11－－exx22，(8 分)
则所证不等式等价于x1＋2 x2<lnexx11－－exx2 2，即
x1
e
＋x2 2
<ex1 x1
－ex2 －x2
，(10
分)
不妨设
x1>x2，两边同时除以
所以－ 315≤x－5≤ 315.(11 分) 因为 3< 15<4，且 x∈Z，所以－1≤x－5≤1，即 4≤x≤6. (13 分) 答：至 2018 年底，该村户均纯收入能达到 1 万 3 千 5 百元，此时从事包装、销售的农户数为 20 户，25 户，30 户．(14 分)
a32＋41b2＝1， 18. (1) 由题意得 c＝ 3，得 a2＝4，b2＝1，(4 分)
ex2
x1
可得：e
－x2 2
<ex1x－1－x2x－2 1，(12
分)
令 t＝x1－x2，t>0，所证不等式只需证明：
即(a＋b)2≤12，所以 a＋b≤2 3，(12 分) 又因为 a＋b>c，所以 6<a＋b＋c≤2 3＋3，即周长 l 满足 6<l≤3＋2 3，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋2 3]．(14 分) 16. (1) 因为 AB⊥AD，AB⊥BC，且 A，B，C，D 共面，所以 AD∥BC.(3 分)
a 2 a2＝b2＋c2，故椭圆 C 的标准方程为x42＋y2＝1.(5 分)
(2) 由题意设 lAP：y＝k(x＋2)，－12<k<0，所以 C(0，2k)，
y＝k（x＋2），

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学 Word版含答案

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间120分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z 满足(1＋i)z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n ＝________．错误!4. 史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出x 的值为________．6. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y ≤0，x ≥0，则z ＝x ＋y 的取值范围是________．7. 在四边形ABCD 中，已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．8. 以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________． 10. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3＝7，且a 1－1，a 2－1，a 4－1成等比数列，则a 10＝________．11. 已知θ是第四象限角，则cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．12. 已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 13. 已知点P 在圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，A ，B 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝4上两动点，且AB ＝23，则P A →·PB →的最小值是________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .(1) 求角C 的大小；(2) 若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．16. (本小题满分14分)在四棱锥P ABCD 中，锐角三角形P AD 所在平面垂直于平面P AB ，AB ⊥AD ，AB ⊥BC .(1) 求证：BC ∥平面P AD ；(2) 求证：平面P AD ⊥平面ABCD .(第16题)17. (本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x ∈Z ，1≤x ≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为⎝⎛⎭⎫3－14x 万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)(1) 至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .(1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 求△PCD 面积的最大值．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x －a2x 2－ax(a>0)．(1) 当a ＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2) 若y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值，求证：x 1＋x 22<ln a.20. (本小题满分16分)设等比数列{a n }的公比为q(q>0，q ≠1)，前n 项和为S n ，且2a 1a 3＝a 4，数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，b 2＝1.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 是否存在常数t ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列？请说明理由；(3) 设c n ＝1b n ＋4，对于任意给定的正整数k (k ≥2)，是否存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列？若存在，求出l ，m (用k 表示)；若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．说明：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. (本小题满分10分)选修4-2：矩阵与变换设旋转变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 1 2·A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 4c d ，求ad －bc 的值．22. (本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程自极点O 作射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM·OP ＝12，若Q 为曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)上一点，求PQ 的最小值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M(x ，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M 到直线x ＝－1的距离等于1. (1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线y ＝k(x ＋2)与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．24. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝23，1a n －1＝2－a n －1a n －1－1(n ≥2)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2 )设数列{a n }的前n 项和为S n ，用数学归纳法证明：S n <n ＋12－ln .江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {x|0<x<1}2. －13. 364. 13 5. 256. [0，3]7. 梯形8. y 2＝12x9. 3π 10. 21 11.5214 12. －2 13. 19－122 14. 13215. (1) 由m ∥n 及m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0，(2分) 由正弦定理，得a ⎝⎛⎭⎫a 2R ＋b 2R －(b ＋c )⎝⎛⎭⎫c 2R －b2R ＝0，所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以ab ＝－2ab cos C ，(5分) 因为ab >0，所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(7分) (2) 在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9，(9分)所以ab ＝(a ＋b )2－9≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，所以3（a ＋b ）24≤9，即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤23，(12分)又因为a ＋b >c ，所以6<a ＋b ＋c ≤23＋3，即周长l 满足6<l ≤3＋23，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋23]．(14分) 16. (1) 因为AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，且A ，B ，C ，D 共面，所以AD ∥BC.(3分)(第16题)因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.(5分)(2) 如图，过点D 作DH ⊥PA 于点H ，因为△PAD 是锐角三角形，所以H 与A 不重合．(7分)因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ∩平面PAB ＝PA ，DH ⊂平面PAD ，所以DH ⊥平面PAD.(9分)因为AB ⊂平面PAB ，所以DH ⊥AB.(11分)因为AB ⊥AD ，AD ∩DH ＝D ，AD ，DH ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD.因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD.(14分) 17. (1) 由题意得1×⎝⎛⎭⎫1＋x203≥1.6，因为5x<100－5x ，所以x<10且x ∈Z .(2分) 因为y ＝⎝⎛⎭⎫1＋x203在x ∈[1，9]上单调递增，由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，所以x20≥0.2，得x ≥4.(5分)又x ＜10且x ∈Z ，故x ＝4，5，6，7，8，9. 答：至少抽取20户从事包装、销售工作．(7分)(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1100[5x ⎝⎛⎭⎫3－14x ＋⎝⎛⎭⎫1＋x 20(100－5x )]≥1.35有正整数解，(8分)化简整理得3x 2－30x ＋70≤0，(10分) 所以－153≤x －5≤153.(11分) 因为3<15<4，且x ∈Z ，所以－1≤x －5≤1，即4≤x ≤6. (13分)答：至2018年底，该村户均纯收入能达到1万3千5百元，此时从事包装、销售的农户数为20户，25户，30户．(14分)18. (1) 由题意得⎩⎨⎧3a 2＋14b2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，b 2＝1，(4分) 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(5分)(2) 由题意设l AP ：y ＝k(x ＋2)，－12<k<0，所以C(0，2k)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2，由x A ＝－2得x P ＝2－8k 21＋4k 2，故y P ＝k(x P ＋2)＝4k1＋4k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，(8分)设D(x 0，0)，因为B(0，1)，P ，B ，D 三点共线，所以k BD ＝k PB ，故1－x 0＝4k1＋4k 2－12－8k 21＋4k 2，解得x D ＝2（1＋2k ）1－2k，得D ⎝⎛⎭⎪⎫2（1＋2k ）1－2k ，0，(10分)所以S △PCD ＝S △PAD －S △CAD ＝12×AD ×|y P －y C |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（1＋2k ）1－2k ＋2⎪⎪⎪⎪4k1＋4k2－2k ＝4|k （1＋2k ）|1＋4k 2，(12分)因为－12<k<0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2×1－2k 1＋4k 2，令t ＝1－2k ，1<t<2，所以2k＝1－t ，所以g(t)＝－2＋2t 1＋（1－t ）2＝－2＋2t t 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t －2≤－2＋222－2＝2－1，(14分)当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.(16分)19. (1) 由f(x)＝e x －12x 2－x ，则f′(x)＝e x －x －1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x －1，(3分)当x>0时，g′(x)>0，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(5分) 进而f(x)>f(0)＝1>0，即对任意x>0，都有f(x)>0.(6分) (2) f′(x)＝e x －ax －a ，因为x 1，x 2为f(x)的两个极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝0，f′（x 2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧e x 1－ax 1－a ＝0，e x 2－ax 2－a ＝0. 两式相减，得a ＝e x 1－e x 2x 1－x 2，(8分)则所证不等式等价于x 1＋x 22<ln e x 1－e x 2x 1－x 2，即e x 1＋x22<e x 1－e x 2x 1－x 2，(10分)不妨设x 1>x 2，两边同时除以e x 2可得：ex 1－x 22<e x 1－x 2－1x 1－x 2，(12分)令t ＝x 1－x 2，t>0，所证不等式只需证明：e t 2<e t －1t ⇔t e t2－e t ＋1<0.(14分)设φ(t)＝t et 2－e t ＋1，则φ′(t)＝－e t2·⎣⎡⎦⎤e t2－⎝⎛⎭⎫t 2＋1，因为e x ≥x ＋1，令x ＝t 2，可得e t 2－⎝⎛⎭⎫t2＋1≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递减，φ(t)<φ(0)＝0，所以x 1＋x 22<ln a ．(16分)20. (1) 因为2a 1a 3＝a 4，所以2a 1·a 1q 2＝a 1q 3，所以a 1＝q 2，所以a n ＝q 2q n －1＝12q n .(2分)因为2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，①所以2T n ＋1＝(n ＋1)(b n ＋1－1)，n ∈N ，②②－①，得2T n ＋1－2T n ＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，n ∈N *，所以2b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，所以(n －1)b n ＋1＝nb n ＋1，n ∈N *，③(4分)所以nb n ＋2＝(n ＋1)b n ＋1＋1，n ∈N ，④④－③得nb n ＋2－(n －1)b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n ，n ∈N *，所以nb n ＋2＋nb n ＝2nb n ＋1，n ∈N *，所以b n ＋2＋b n ＝2b n ＋1，所以b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ，所以{b n }为等差数列．因为n ＝1时b 1＝－1，又b 2＝1，所以公差为2，所以b n ＝2n －3.(6分)(2) 由(1)得S n ＝q 2（1－q n ）1－q ，所以S n ＋12t ＝q 2（1－q n ）1－q ＋12t ＝q n ＋t 2（q －1）＋q 2（1－q ）＋12t ，要使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列，则通项必须满足指数型函数，即q 2（1－q ）＋12t ＝0，解得t＝q －1q.(9分) 此时S n ＋1＋12t S n ＋12t ＝q n ＋22（q －1）q n ＋12（q －1）＝q ，所以存在t ＝q －1q ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列．(10分)(3) c n ＝1b n ＋4＝12n ＋1，设对于任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列，所以2c l ＝c k ＋c m ，所以22l ＋1＝12k ＋1＋12m ＋1. 所以12m ＋1＝22l ＋1－12k ＋1＝4k －2l ＋1（2l ＋1）（2k ＋1）.所以m ＝2kl －k ＋2l4k －2l ＋1＝（－4k ＋2l －1）（k ＋1）＋（2k ＋1）24k －2l ＋1＝－k －1＋（2k ＋1）24k －2l ＋1. 所以m ＋k ＋1＝（2k ＋1）24k －2l ＋1. 因为给定正整数k (k ≥2)，所以4k －2l ＋1能整除(2k ＋1)2且4k －2l ＋1>0，所以4k －2l ＋1＝1或2k ＋1或(2k ＋1)2.(14分)若4k －2l ＋1＝1，则l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，此时m －l ＝4k 2＋k >0，满足(k <l <m )；若4k －2l ＋1＝2k ＋1，则k ＝l ，矛盾(舍去)；若4k －2l ＋1＝(2k ＋1)2，则l ＝2k 2，此时m ＋k ＝0(舍去)．综上，任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，使得c k ，c l ，c m 成等差数列．(16分)江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34c d ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，－a ＝4，2＝c ，－1＝d ，(6分) 即a ＝－4，b ＝3，c ＝2，d ＝－1，(8分)所以ad －bc ＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.(10分)22. 以极点O 为直角坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，因为OM·OP ＝12，所以ρρ′＝12.因为ρ′cos θ＝3，所以12ρcos θ＝3，即ρ＝4cos θ， (3分)化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.(5分)由⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)得普通方程为x －y ＋3＝0，(7分) 所以PQ 的最小值为圆上的点到直线距离的最小值，即PQ min ＝d －r ＝|2－0＋3|2－2＝522－2.(10分) 23. (1) 由题意得（x －2）2＋y 2－|x ＋1|＝1，(2分) 即（x －2）2＋y 2＝|x ＋1|＋1.因为x>0，所以x ＋1>0，所以（x －2）2＋y 2＝x ＋2，两边平方，整理得曲线C 的方程为y 2＝8x.(4分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋2，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.(6分) 由k FA ＋k FB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝k （x 1＋2）x 1－2＋k （x 2＋2）x 2－2 ＝k （x 1＋2）（x 2－2）＋k （x 1－2）（x 2＋2）（x 1－2）（x 2－2）＝2k （x 1x 2－4）（x 1－2）（x 2－2）.(8分) 将x 1x 2＝4代入，得k FA ＋k FB ＝0，所以直线FA 和直线FB 的倾斜角互补．(10分)24. (1) 因为n ≥2，由1a n －1＝2－a n －1a n －1－1，得1a n －1＝1－a n －1a n －1－1＋1a n －1－1，所以1a n －1－1a n －1－1＝－1，(1分) 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－3，公差为－1的等差数列，且1a n －1＝－n －2，所以a n ＝n ＋1n ＋2.(3分)(2) 下面用数学归纳法证明：S n <n －ln ⎣⎡⎦⎤n ＋32＋12.①当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1＝23，右边＝32－ln 2，因为e 3>16⇔3ln e >4ln 2⇔ln 2<34， 32－ln 2>32－34＝34>23，所以命题成立；(5分)②假设当n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时成立，即S k <k －ln k ＋32＋12，则当n ＝k ＋1，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1<k －ln k ＋32＋12＋k ＋2k ＋3，要证S k ＋1<(k ＋1)－ln （k ＋1）＋32＋12，只要证k －ln k ＋32＋12＋k ＋2k ＋3<(k ＋1)－ln （k ＋1）＋32＋12，只要证ln k ＋4k ＋3<1k ＋3，即证ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋3<1k ＋3.(8分) 考查函数F (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)，因为x >0，所以F ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x<0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以F (x )<F (0)＝0，即ln(1＋x )<x ，所以ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋3<1k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，S n <n －ln n ＋32＋12.(10分)。

2019年江苏省无锡一中高考数学模拟试卷(4月份)

2019年江苏省无锡一中高考数学模拟试卷（4月份）一、填空题1. 已知集合A={1, 2}，B={a, a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为________．【答案】1【考点】集合关系中的参数取值问题交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2}，B={a, a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，当a=1时，A={1, 2}，B={1, 4}，成立；a2+3=1无解．综上，a=1．故答案为：1.2. 在复平面内，复数(1+2i)(1−2i)所对应的点的坐标是________．【答案】(5, 0)【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵(1+2i)(1−2i)=1−2i+2i−4i2=5．∴复数(1+2i)(1−2i)所对应的点的坐标是(5, 0)．故答案为：(5,0).3. 如图是一个算法流程图，则输出的n的值是________．【答案】5【解析】此题暂无解析【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n>20的最小的正整数n的值，∵24=16<20，25=32>20，∴输出n=5．故答案为：5.4. 正切曲线y=tanx的对称中心的坐标是________．【答案】(kπ, 0)，k∈Z2【考点】正切函数的奇偶性与对称性【解析】根据正切函数图象的性质写出y＝tanx的对称中心坐标即可．【解答】解：根据正切函数图象的性质知，, 0)，k∈Z．曲线y=tanx的对称中心的坐标是(kπ2, 0)，k∈Z.故答案为：(kπ25. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5, 40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有________根在棉花纤维的长度小于20mm．【答案】30【考点】组距与组数频率分布直方图【解析】由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于20mm段的频率，根据频率与频数的关系可解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为，(0.01+0.01+0.04)×5=0.3，则频数为100×(0.01+0.01+0.04)×5=30．故答案为：30．6. 如果关于x的方程x2+kx+k+1=0有实数根，则实数k的取值范围是________. 【答案】k≤2−2√2或k≥2+2√2【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】利用△≥0即可求出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2+kx+k+1=0有实数根，∴Δ=k2−4(k+1)≥0⇒k2−4k−4≥0，解得k≤2−√2或k≥2+√2.故答案为：k≤2−2√2或k≥2+2√2.7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】56【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：(4, 6)，(6, 4)，(5, 5)，(5, 6)，(6, 5)，(6, 6)，共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1−636=56．故答案为：56.8. 设数列{a n}的前n项和为S n，b n=S nn，n=1，2，3，…，则“数列{a n}是等差数列”充要【考点】充分条件、必要条件、充要条件必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由等差数列的定义及充分必要条件的判定方法判断．【解答】解：若数列{a n}是等差数列，则S n=na1+n(n−1)2d，∴b n=S nn =a1+n−12d，在b n+1−b n=a1+n2d−a1−n2d+d2=d2为常数，则数列b n是等差数列；若数列b n是等差数列，则b n=S nn=kn+b，∴S n=kn2+bn．a1=S1=k+b，当n≥2时，a n=S n−S n−1，=kn2+bn−[k(n−1)2+b(n−1)]=2kn+b−k．n=1时上式成立．∴a n=2kn+b−k，数列{a n}是等差数列．∴ “数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件．故答案为：充要.9. 直线的斜率为2，它被圆x2+y2=80截得的弦长小于10√3，则l在y轴上的截距的取值范围是________．【答案】(−20, −5)∪(5, 20)【考点】直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质【解析】先设直线y＝2x+b，求出圆心(0, 0)到直线2x−y+b＝0的距离d，然后根据弦长为2√r2−d2，结合已知弦长范围可求b的范围．【解答】解：设直线y=2x+b，圆心(0, 0)到直线2x−y+b=0的距离d=√5，∵弦长为2√80−b25<10√3，∴25<b2<400，故答案为：(−20, −5)∪(5, 20).10. 经过长期观测，某一公路段在交通繁忙的时段内，汽车的车流量（千辆/时）与vv−5v+900成正比，其中v（千米/时）是汽车的平均速度．则该公路段在交通繁忙的时段内，汽车的平均速度v为________时，车流量最大．【答案】30【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】将已知函数化简，从而利用基本不等式求车流量y最大值．【解答】解：设y=kvv2−5v+900(k≠0)．∵v>0，∴y=kv+900v −5，∵v+900v≥60，∴y≤k55，当且仅当v=900v，即v=30（千米/时）时，车流量最大．故答案为：30.11. 我们称两条相交直线所成的角中不大于90∘的角为这两条直线的夹角．设直线l1:y=x，与直线l2:y=−2x+4的夹角为θ，则cosθ的值为________．【答案】√1010【考点】两直线的夹角同角三角函数基本关系的运用同角三角函数间的基本关系【解析】由题意可得：tanθ，结合直角三角形，根据三角形函数的定义即可得出cosθ．【解答】解：由题意可得：tanθ=−2−11+(−2)×1=3，∴cosθ=√32+12=√1010．√1012. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)有一公共焦点，还有一公共点M(1, √6)，则双曲线的实轴长为________．【答案】1【考点】抛物线的性质抛物线的标准方程双曲线的标准方程【解析】求出抛物线的方程，得到焦点坐标，利用双曲线的焦点坐标以及点在双曲线上求出a，即可得到结果．【解答】解：抛物线y2=2px与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)有一公共点M(1, √6)，可得6=2p，解得p=3，所以抛物线的焦点坐标(32, 0)，所以a2+b2=94，并且1a2−6b2=1，解得a=12，b=√2，所以双曲线的实轴长为：1．故答案为：1.13. 如果直角三角形ABC的边CB，CA的长都为4，D是CA的中点，P是以CB为直径的圆上的动点，则BD→⋅PC→的最大值是________．【答案】8+4√5【考点】平面向量数量积的性质及其运算律三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由平面向量基本定理及三角函数的辅助角公式可得：BD→=(2, −4)，PC→=由三角函数的有界性可得：因为sin(θ+φ)∈[−1, 1]，所以当sin(θ+φ)＝1时，BD →⋅PC →取最大值4√5+8，得解．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系可得：C(0, 0)，D(2, 0)，B(0, 4)，P(2cosθ, 2+2sinθ)，则BD →=(2, −4)，PC →=(−2cosθ, −2−2sinθ)，则BD →⋅PC →=−4cosθ+8sinθ+8=4√5sin(θ+φ)+8，又sin(θ+φ)∈[−1, 1]，所以当sin(θ+φ)=1时，BD →⋅PC →取最大值4√5+8.故答案为：8+4√5.14. 有2000个实数，2是其中的一个，将它们任意的排序后组成数列a 1，a 2，…，a 2000，若该数列的所有项的和为5100，且a 1+a 2+...+a 1050−6a1051−6a1052−⋯−6a2000是常数A （即A 不随排序改变而改变），则A 的值是________．【答案】 350【考点】数列的求和【解析】由题意可得a 1+a 2+...+a 1050＝5100−(a 1051+a 1052+...+a 2000)，考虑到2是其中的一个，2+62=5，且3+63=5，可得a 1051，a 1052，…，a 2000，都为2或3，计算可得所求和．【解答】解：由题意可得a 1+a 2+...+a 2000=5100，可得a 1+a 2+...+a 1050=5100−(a 1051+a 1052+...+a 2000)，由题意可得5100−(a 1051+a 1052+...+a 2000)−6a 1051−6a1052−⋯−6a2000是常数A ，由2是其中的一个，2+62=5，且3+63=5，则A=5100−(5+5+...+5)=5100−5×950=350．故答案为：350.二、解答题（共10小题，满分0分）已知函数f(x)=2a→⋅b→，x∈R，其中a→=(2cosx, −√3sin2x)，b→=(cosx, 1).(1)求f(x)的最小正周期和单调减区间；(2)在△ABC中，f(A)＝−2，AB→⋅AC→=3，求△ABC中的面积．【答案】解：因为a→=(2cosx, −√3sin2x)，b→=(cosx, 1)，所以f(x)=2a→⋅b→=4cos2x−2√3sin2x=2cos2x−2√3sin2x+2=4cos(2x+π3)+2，由T=2π2=π，由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，解得：kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z.故f(x)的最小正周期为π，单调减区间为：[kπ−π6, kπ+π3]，k∈Z.(2)因为在△ABC中，f(A)=−2，所以cos(2A+π3)=−1，所以2A+π3=π，即A=π3，又AB→⋅AC→=3，所以12|AB||AC|=3，即|AB||AC|=6，所以S ABC=12|AB||AC|sinπ3=3√32，故△ABC中的面积为3√32．【考点】平面向量数量积的性质及其运算律三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为a→=(2cosx, −√3sin2x)，b→=(cosx, 1)，所以f(x)=2a→⋅b→=4cos2x−2√3sin2x=2cos2x−2√3sin2x+2=4cos(2x+π3)+2，由T=2π2=π，由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，解得：kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z.故f(x)的最小正周期为π，单调减区间为：[kπ−π6, kπ+π3]，k∈Z.(2)因为在△ABC中，f(A)=−2，所以cos(2A+π3)=−1，所以2A+π3=π，即A=π3，又AB→⋅AC→=3，所以12|AB||AC|=3，即|AB||AC|=6，所以S ABC=12|AB||AC|sinπ3=3√32，故△ABC中的面积为3√32．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)直线A1F // 平面ADE;(2)平面ADE⊥平面BCC1B1.【答案】解：(1)∵在△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1，又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，∴A1F⊥平面BCC1B1，又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F // AD，∵A1F平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F // 平面ADE．(2)∵三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）根据三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F // AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F // 平面ADE．【解答】解：(1)∵在△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1，又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，∴A1F⊥平面BCC1B1，又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F // AD，∵A1F平面ADE，AD⊂平面ADE，(2)∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴ CC 1⊥平面ABC ，∵ AD ⊂平面ABC ，∴ AD ⊥CC 1，又∵ AD ⊥DE ，DE 、CC 1是平面BCC 1B 1内的相交直线，∴ AD ⊥平面BCC 1B 1，∵ AD ⊂平面ADE∴ 平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0, b)，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C ．(1)若CA =2，CO =√17，且BF 2=3√2，求椭圆的方程；(2)若椭圆的离心率为√55，证明：F 1C ⊥AB ．【答案】(1)解：由题意可知：a =|BF 2|=3√2，则C 点坐标为(4, 1)，将C 代入x 218+y 2b 2=1，解得b 2=8，所以椭圆的方程x 218+y 29=1.(2)证明：由离心率e =c a =√55，则a =√5c ，b 2＝a 2−c 2＝4c ，即b =2c ，则椭圆方程为4x 2+5y 2=20c 2，则B(0, 2c)，F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，则直线BA 的斜率为−2，则直线BA 的方程为y =−2x +2c ，联立{y =−2x +2c,4x 2+5y 2−20c 2=0,解得x A =53c ，则y A =−2×53c +2c =−4c 3，所以C(53c, 4c 3)，所以F 1C →=(8c 3, 4c 3)，BF 2→=(c, −2c)，则F 1C →⋅BF 2→=8c 3×c −4c 3×2c =0，所以F 1C →⊥BF 2→，所以F 1C ⊥AB ．【考点】椭圆的离心率平面向量数量积的性质及其运算律用向量证明垂直向量的数量积判断向量的共线与垂直椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】（1）根据题意求得a ，求得C 点坐标，代入椭圆方程，即可求得b ，求得椭圆方程；（2）根据椭圆的离心率，求得a ，b 与c 的关系，求得直线AB 的方程，代入椭圆方程，求得A 和C 点坐标，利用向量的数量积或者直线的斜率之积为−1，即可求证F 1C ⊥AB ．【解答】(1)解：由题意可知：a =|BF 2|=3√2，则C 点坐标为(4, 1)，将C 代入x 218+y 2b 2=1，解得b 2=8，所以椭圆的方程x 218+y 29=1.(2)证明：由离心率e =c a =√55，则a =√5c ，b 2＝a 2−c 2＝4c ，即b =2c ，则椭圆方程为4x 2+5y 2=20c 2，则B(0, 2c)，F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，则直线BA 的斜率为−2，则直线BA 的方程为y =−2x +2c ，联立{y =−2x +2c,4x 2+5y 2−20c 2=0,解得x A =53c ，则y A =−2×53c +2c =−4c 3，所以C(53c, 4c 3)，所以F 1C →=(8c 3, 4c 3)，BF 2→=(c, −2c)，则F 1C →⋅BF 2→=8c 3×c −4c 3×2c =0，所以F 1C →⊥BF 2→，所以F 1C ⊥AB ．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π3立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r．【答案】解：(1)由体积V=43πr3+πr2l=80π3，解得l=80−4r33r，∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×80−4r33r2+4cπr2=2π⋅80+(2c−4)r3r，又l≥2r，即80−4r33r2≥2r，解得0<r≤2，∴其定义域为(0, 2]．(2)由(1)得，y′=8π(c−2)r−160πr2，=8π(c−2)r2(r3−20c−2)，0<r≤2，由于c>3，所以c−2>0，当r3−20c−2=0时，则r=√20c−23，令√20c−23=m，(m>0)，所以y′=8π(c−2)r(r−m)(r2+rm+m2)，①当0<m<2即c>92时，当r=m时，y′=0,当r∈(0, m)时，y′<0，当r∈(m, 2)时，y′>0，所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3<c≤92时，当r∈(0, 2)时，y′<0，函数单调递减．所以r=2是函数y的最小值点．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性函数解析式的求解及常用方法函数的定义域及其求法【解析】（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用l≥2r，求出自变量r的范围．（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间(0, 2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．【解答】解：(1)由体积V=43πr3+πr2l=80π3，解得l=80−4r33r，∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×80−4r33r2+4cπr2=2π⋅80+(2c−4)r3r，又l≥2r，即80−4r33r2≥2r，解得0<r≤2，∴其定义域为(0, 2]．(2)由(1)得，y′=8π(c−2)r−160πr2，=8π(c−2)r2(r3−20c−2)，0<r≤2，由于c>3，所以c−2>0，当r3−20c−2=0时，则r=√20c−23，令√20c−23=m，(m>0)，所以y′=8π(c−2)r(r−m)(r2+rm+m2)，①当0<m<2即c>92时，当r=m时，y′=0,当r∈(0, m)时，y′<0，当r∈(m, 2)时，y′>0，所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3<c≤92时，当r∈(0, 2)时，y′<0，函数单调递减．所以r=2是函数y的最小值点．已知m 是实数，函数f(x)=|e x −e 2m |，x ∈R .(1)若函数f(x)在区间(−1, 3−m)上的图象上存在两个点，在这两点处的切线互相垂直，求m 的取值范围；(2)当m <14时，求函数ℎ(x)=f(x)+lnx 的单调区间．【答案】解：(1)当x ≥2m 时，f (x )=|e x −e 2m |=e x −e 2m 此时为增函数，当x ≤2m 时，f (x )=|e x −e 2m |=−e x +e 2m 此时为减函数，即当 x =2m 时，函数取得最小值0，设两个切点为 M(x 1,f (x 1))，N((x 2,f(x 2))，由图象知，当两个切线垂直时，必有， x 1<2m <x 2，即−1<2m <3−m ，得−12<m <1，∵ k 1k 2=f ′(x 1)f ′(x 2)=−e x 1⋅(e x 2)=−1,则e x 1+x 2=1，即x 1+x 2=0，∵ −1<x 1<0,∴ 0<x 2<1，且x >2m ，∴ 2m <1，解得m <12，综上m 的取值范围为(−12,12).(2)当m <14时，由(1)知：当x >2m 时，f (x )=|e x −e 2m |=e x −e 2m ，此时为增函数，当x <2m 时，f (x )=|e x −e 2m |=−e x +e 2m 此时为减函数，∵ x >0时，函数y =lnx 在(0,+∞)上单调递增，ℎ(x)=f(x)+lnx ，∴ 当x >12，在x >12上单调递增，【考点】复合函数的单调性函数单调性的判断与证明【解析】求出函数f(x)的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：(1)当x≥2m时，f(x)=|e x−e2m|=e x−e2m此时为增函数，当x≤2m时，f(x)=|e x−e2m|=−e x+e2m此时为减函数，即当x=2m时，函数取得最小值0，设两个切点为M(x1,f(x1))，N((x2,f(x2))，由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1<2m<x2，即−1<2m<3−m，得−12<m<1，∵k1k2=f′(x1)f′(x2)=−e x1⋅(e x2)=−1,则e x1+x2=1，即x1+x2=0，∵−1<x1<0,∴ 0<x2<1，且x>2m，∴2m<1，解得m<12，综上m的取值范围为(−12,1 2 ).(2)当m<14时，由(1)知：当x>2m时，f(x)=|e x−e2m|=e x−e2m，此时为增函数，当x<2m时，f(x)=|e x−e2m|=−e x+e2m此时为减函数，∴x>0时，函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减.有两个各项都是正数的数列{a n}，{b n}，若对于任意自然数n都有a n，b n2，a n+1成等差数列，b n2，a n+1，b n+12成等比数列．(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)如果a1=1，b1=√2，记数列{1a n}的前n项和为S n，求S n．【答案】证明：(1)∵a n，b n2，a n+1成等差数列，∴2bn 2=an+a n+1，①∵b n2，a n+1，b n+12成等比数列，∴a n+12=b n2⋅bn+12，∵a n>0，b n>0，∴由②得a n+1=b n⋅b n+1，∴当n≥2时，a n=b n+1⋅b n，∴由①得2b n2=b n−1⋅b n+b n⋅b n+1，∴2b n=b n−1+b n−1,∴ 数列 {b n } 是等差数列．(2)∵ a 1=1, b 1=√2，∴ a n ,b n 2，a n+1成等差数列， b n 2,a n+1,b n+12 成等比数列， ∴ 2(√2)2=1+a 2,a 22=(√22)⋅b 22, 解得 a 2=3, b 2=3√22, ∴ 2(3√22)2=3+a 3,a 32=(3√22)2⋅b 32 解得 a 3=6, b 3=2√2，∴ 2(2√2)2=6+a 42=(2√2)2⋅b 42，解得a 4=10, b 4=5√22，由此猜想：a 2−a 1=3−1=2，a 3−a 2=6−3=3，a 4−a 3=10−6=4，…a n −a n−1=n,∴ a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+(a 4−a 3)+⋯+(a n −a n−1) =1+2+3+4+⋯+n=n (n +1)2, ∴ 1a n =2n (n+1)=2(1n −1n+1)，∴ S n =2(1−12)+2(12−13)+2(13−14)+2(1n −1n+1)=2n n+1.【考点】数列的求和等差数列【解析】（1）根据题设条件，由等差数列的性质得到2b n 2=a n +a n+1，由等比数列的性质得到a n+12=b n 2⋅b n+12，由此进行化简整理，能够证明数列{b n }是等差数列．（2）由a 1＝1，b 1=√2，a n ，b n 2，a n+1成等差数列，b n 2，a n+1，b n+12成等比数列，利用递推思想分别求出数列{a n }的前四项，再得用合理猜想和累加法求出数列{a n }的通项公式，最后利用裂项求和法能求出数列{1a n }的前n 项和为S n ．【解答】证明：(1)∵ a n ，b n 2，a n+1成等差数列，∴ 2b n 2=a n +a n+1，①∵ b n 2，a n+1，b n+12成等比数列，∴ a n+12=b n 2⋅b n+12， ∵ a n >0，b n >0，∴ 由②得 a n+1=b n ⋅b n+1，∴ 当n ≥2 时，a n =b n+1⋅b n ，∴ 由①得2b n 2=b n−1⋅b n +b n ⋅b n+1，∴ 2b n =b n−1+b n−1,∴ 数列 {b n } 是等差数列．(2)∵ a 1=1, b 1=√2，∴ a n ,b n 2，a n+1成等差数列， b n 2,a n+1,b n+12 成等比数列， ∴ 2(√2)2=1+a 2,a 22=(√22)⋅b 22, 解得 a 2=3, b 2=3√22, ∴ 2(3√22)2=3+a 3,a 32=(3√22)2⋅b 32 解得 a 3=6, b 3=2√2，∴ 2(2√2)2=6+a 42=(2√2)2⋅b 42，解得a 4=10, b 4=5√22，由此猜想：a 2−a 1=3−1=2，a 3−a 2=6−3=3，a 4−a 3=10−6=4，…a n −a n−1=n,∴ a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+(a 4−a 3)+⋯+(a n −a n−1) =1+2+3+4+⋯+n=n (n +1)2, ∴ 1a n =2n (n+1)=2(1n −1n+1)，∴ S n =2(1−12)+2(12−13)+2(13−14)+2(1n −1n+1)=2n n+1.在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆{x =5cosφ,y =3sinφ,（φ为参数）的右焦点且与直线{x =4−2t,y =3−t,（t 为参数）平行的直线的普通方程．【答案】解：椭圆的普通方程为x 225+y 29=1，右焦点为(4, 0)，直线{x =4−2t,y =3−t,（t 为参数）的普通方程为2y −x =2，斜率为：12，所求直线方程为：y =12(x −4)即x −2y −4=0.【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】椭圆的普通方程为x 225+y 29=1，右焦点为(4, 0)，直线普通方程为2y −x ＝2，斜率为：12，利用点斜式求出方程即可．【解答】解：椭圆的普通方程为x 225+y 29=1，右焦点为(4, 0)，直线{x =4−2t,y =3−t,（t 为参数）的普通方程为2y −x =2，斜率为：12，所求直线方程为：y =12(x −4)即x −2y −4=0.已知矩阵A =[120−2]，矩阵B 的逆矩阵B −1=[1−1202]，求矩阵AB 的逆矩阵．【答案】解：设B =[a b cd ]，由BB −1=E ，即[a b c d ][1−1202]=[1001]，可得a =1，−12a +2b =0，c =0，−12c +2d =1，解得a =1，b =14，c =0，d =12，则AB =[120−2][114012]=[1540−1]，设矩阵AB 的逆矩阵为[x y zw ]，可得[1540−1][x y zw ]=[1001]，即有x +54z =1，−z =0，y +54w =0，−w =1，解得x =1，z =0，y =54，w =−1，则矩阵AB 的逆矩阵为[1540−1]．【考点】逆变换与逆矩阵【解析】设B =[a b c d]，由BB −1＝E ，结合矩阵的乘法，解方程可得a ，b ，c ，d ，求得AB ，设矩阵AB 的逆矩阵为[x y zw ]，由逆矩阵的定义和矩阵的乘法可得x ，y ，z ，w 的方程，解方程即可得到所求矩阵．【解答】解：设B =[a b c d]，由BB −1=E ，即[a b c d ][1−1202]=[1001]，可得a =1，−12a +2b =0，c =0，−12c +2d =1，解得a =1，b =14，c =0，d =12，则AB =[120−2][114012]=[1540−1]，设矩阵AB 的逆矩阵为[x y zw ]，可得[1540−1][x y zw ]=[1001]，即有x +54z =1，−z =0，y +54w =0，−w =1，解得x =1，z =0，y =54，w =−1，则矩阵AB 的逆矩阵为[1540−1]．在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC =5，BC =8，侧面BCC 1B 1是正方形，M 是CC 1的中点.(1)求直线A 1M 与平面BCC 1B 1所成的角的正弦；(2)试在直线A 1B 求一点P ，使BM ⊥AP ．【答案】解：(1)取BC 中点D ，连结AD ，以A 为原点，AD 为x 轴，过A 作BC 的平行线为y 轴，平面BCC 1B 1的法向量n →=(1, 0, 0)，设直线A 1M 与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则sinθ=|A 1M →⋅n →||A 1M →|⋅|n →|=√41=3√4141． ∴ 直线A 1M 与平面BCC 1B 1所成的角的正弦值为3√4141．(2)∵ B(3, −4, 0)，设P(a, b, c)， BP →=λBA 1→(0≤λ≤1)，则(a −3, b +4, c)=(−3λ, 4λ, 8λ)，解得P(3−3λ, −4+4λ, 8λ)，BM →=(0, 8, 4)，AP →=(3−3λ, −4+4λ, 8λ)， ∵ BM ⊥AP ，∴ BM →⋅AP →=0+8(−4+4λ)+4×8λ=0，解得λ=12，∴ P(32, −2, 4)，即P 是A 1B 的中点．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角用向量证明垂直数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】（1）取BC 中点D ，连结AD ，以A 为原点，AD 为x 轴，过A 作BC 的平行线为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1M 与平面BCC 1B 1所成的角的正弦值．（2）B(3, −4, 0)，设P(a, b, c)，BP →=λBA 1→(0≤λ≤1)，推导出P(3−3λ, −4+4λ, 8λ)，由此能求出P 是A 1B 的中点，使BM ⊥AP ．．【解答】解：(1)取BC 中点D ，连结AD ，以A 为原点，AD 为x 轴，过A 作BC 的平行线为y 轴，平面BCC 1B 1的法向量n →=(1, 0, 0)，设直线A 1M 与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则sinθ=|A 1M →⋅n →||A 1M →|⋅|n →|=√41=3√4141． ∴ 直线A 1M 与平面BCC 1B 1所成的角的正弦值为3√4141．(2)∵ B(3, −4, 0)，设P(a, b, c)， BP →=λBA 1→(0≤λ≤1)，则(a −3, b +4, c)=(−3λ, 4λ, 8λ)，解得P(3−3λ, −4+4λ, 8λ)，BM →=(0, 8, 4)，AP →=(3−3λ, −4+4λ, 8λ)， ∵ BM ⊥AP ，∴ BM →⋅AP →=0+8(−4+4λ)+4×8λ=0，解得λ=12，∴ P(32, −2, 4)，即P 是A 1B 的中点．记[x]r =x(x +1)…(x +r −1)，x ∈R ，r ∈N +，并规定[x]0=1. (1)分别求[3]2，[−3]2的值；(2)证明：[a +b]r =∑C r k r k=0[a]r−k [b]k ，a ，b ∈R ，r ∈N +．【答案】(1)解：[3]2=3×4=12．[−3]2=−3×(−3+2−1)=6．证明：(2)利用数学归纳法证明：r ∈N +．①r =1时，[a +b]1=∁10[a]1[b]0+∁11[a]0[b]1=a +b 成立．②假设r =n 时成立，则[a +b]r =∑C r k r k=0[a]r−k [b]k 成立，则r =n +1时，[a +b]n+1=[a +b]n [a +b]1=(C n 0[a]n +C n 1[a]n−1[b]1+⋯⋯+C n n[b]n )[a +b]，=(C n 0[a]n+1+C n 1[a]n [b]1+⋯⋯+C n n [a][b]n )+(C n 0[a]n [b]+C n 1[a]n−1[b]2+⋯⋯+C n n [b]n+1．根据C n k +C n k+1=C n+1k ． ∴ [a +b]n+1=(C n 0[a]n+1+C n+11[a]n [b]1+⋯⋯+C n+1n+1[b]n+1=∑[0n+1 Cn+1k a]n+1−k [b]k ．假设成立，即r =n +1时命题成立．综上可得：[a +b]r =∑C r k r k=0[a]r−k [b]k ，a ，b ∈R ，r ∈N +．【考点】数学归纳法函数的求值【解析】（1）根据定义即可得出[3]2，[−3]2．（2）利用数学归纳法，及其∁n k +∁n k+1=∁n+1k 即可证明结论．【解答】(1)解：[3]2=3×4=12．[−3]2=−3×(−3+2−1)=6．证明：(2)利用数学归纳法证明：r ∈N +．①r =1时，[a +b]1=∁10[a]1[b]0+∁11[a]0[b]1=a +b 成立．②假设r =n 时成立，则[a +b]r =∑C r k r k=0[a]r−k [b]k 成立，则r =n +1时，[a +b]n+1=[a +b]n [a +b]1=(C n 0[a]n +C n 1[a]n−1[b]1+⋯⋯+C n n[b]n )[a +b]，=(C n 0[a]n+1+C n 1[a]n [b]1+⋯⋯+C n n [a][b]n )+(C n 0[a]n [b]+C n 1[a]n−1[b]2+⋯⋯+C n n [b]n+1．根据C n k +C n k+1=C n+1k ． ∴ [a +b]n+1=(C n 0[a]n+1+C n+11[a]n [b]1+⋯⋯+C n+1n+1[b]n+1=∑[0n+1 Cn+1k a]n+1−k [b]k ．假设成立，即r =n +1时命题成立．综上可得：[a +b]r =∑C r k r k=0[a]r−k [b]k ，a ，b ∈R ，r ∈N +．。

江苏无锡2019高考第一次模拟考试数学试题

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间120分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z 满足(1＋i)z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n ＝________．错误!4. 史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出x 的值为________．6. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y ≤0，x ≥0，则z ＝x ＋y 的取值范围是________．7. 在四边形ABCD 中，已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．8. 以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________．10. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3＝7，且a 1－1，a 2－1，a 4－1成等比数列，则a 10＝________． 11. 已知θ是第四象限角，则cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．12. 已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 13. 已知点P 在圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，A ，B 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝4上两动点，且AB ＝23，则P A →·PB →的最小值是________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m＝(a，sin C－sin B)，n＝(b＋c，sin A＋sin B)，且m∥n.(1) 求角C的大小；(2) 若c＝3，求△ABC周长的取值范围．16. (本小题满分14分)在四棱锥P ABCD中，锐角三角形P AD所在平面垂直于平面P AB，AB⊥AD，AB⊥BC.(1) 求证：BC∥平面P AD；(2) 求证：平面P AD⊥平面ABCD.(第16题)17. (本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x ∈Z ，1≤x ≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为⎝⎛⎭⎫3－14x 万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728) (1) 至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .(1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 求△PCD 面积的最大值．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x －a2x 2－ax(a>0)．(1) 当a ＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2) 若y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值，求证：x 1＋x 22<ln a.20. (本小题满分16分)设等比数列{a n }的公比为q(q>0，q ≠1)，前n 项和为S n ，且2a 1a 3＝a 4，数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，b 2＝1.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 是否存在常数t ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列？请说明理由；(3) 设c n ＝1b n ＋4，对于任意给定的正整数k (k ≥2)，是否存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列？若存在，求出l ，m (用k 表示)；若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．说明：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. (本小题满分10分)选修4-2：矩阵与变换设旋转变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 1 2·A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 4c d ，求ad －bc 的值．22. (本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程自极点O 作射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM·OP ＝12，若Q 为曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)上一点，求PQ 的最小值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M(x ，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M 到直线x ＝－1的距离等于1.(1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线y ＝k(x ＋2)与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．24. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝23，1a n －1＝2－a n －1a n －1－1(n ≥2)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2 )设数列{a n }的前n 项和为S n ，用数学归纳法证明：S n <n ＋12－ln .江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {x|0<x<1}2. －13. 364. 315. 256. [0，3]7. 梯形8. y 2＝12x9. 3π 10. 21 11. 142 12. －2 13. 19－12 14. 21315. (1) 由m ∥n 及m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0，(2分) 由正弦定理，得a 2R b －(b ＋c )2R b＝0，所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以ab ＝－2ab cos C ，(5分)因为ab >0，所以cos C ＝－21，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝32π.(7分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2－2ab cos 32π＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9，(9分) 所以ab ＝(a ＋b )2－9≤2a ＋b ，所以43（a ＋b ）2≤9，即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤2，(12分)又因为a ＋b >c ，所以6<a ＋b ＋c ≤2＋3，即周长l 满足6<l ≤3＋2，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋2]．(14分)16. (1) 因为AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，且A ，B ，C ，D 共面，所以AD ∥BC.(3分)(第16题)因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.(5分)(2) 如图，过点D 作DH ⊥PA 于点H ，因为△PAD 是锐角三角形，所以H 与A 不重合．(7分)因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ∩平面PAB ＝PA ，DH ⊂平面PAD ，所以DH ⊥平面PAD.(9分)因为AB ⊂平面PAB ，所以DH ⊥AB.(11分)因为AB ⊥AD ，AD ∩DH ＝D ，AD ，DH ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD.因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD.(14分) 17. (1) 由题意得1×20x≥1.6，因为5x<100－5x ，所以x<10且x ∈Z .(2分)因为y ＝20x在x ∈[1，9]上单调递增，由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，所以20x≥0.2，得x ≥4.(5分)又x ＜10且x ∈Z ，故x ＝4，5，6，7，8，9. 答：至少抽取20户从事包装、销售工作．(7分)(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1001[5x x 1＋20x(100－5x )]≥1.35有正整数解，(8分)化简整理得3x 2－30x ＋70≤0，(10分) 所以－315≤x －5≤315.(11分)因为3<<4，且x ∈Z ，所以－1≤x －5≤1，即4≤x ≤6. (13分)答：至2018年底，该村户均纯收入能达到1万3千5百元，此时从事包装、销售的农户数为20户，25户，30户．(14分)18. (1) 由题意得a2＝b2＋c2，2，得a 2＝4，b 2＝1，(4分) 故椭圆C 的标准方程为4x2＋y 2＝1.(5分)(2) 由题意设l AP ：y ＝k(x ＋2)，－21<k<0，所以C(0，2k)，由＋y2＝1，x2消去y 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以x A x P ＝1＋4k216k2－4，由x A ＝－2得x P ＝1＋4k22－8k2，故y P ＝k(x P ＋2)＝1＋4k24k，所以P 1＋4k24k，(8分)设D(x 0，0)，因为B(0，1)，P ，B ，D 三点共线，所以k BD ＝k PB ，故－x01＝1＋4k22－8k2，解得x D ＝1－2k 2（1＋2k ），得D ，02（1＋2k ），(10分)所以S △PCD ＝S △PAD －S △CAD ＝21×AD ×|y P －y C |＝21＋22（1＋2k ）－2k 4k ＝1＋4k24|k （1＋2k ）|，(12分) 因为－21<k<0，所以S △PCD ＝1＋4k2－8k2－4k ＝－2＋2×1＋4k21－2k，令t ＝1－2k ，1<t<2，所以2k ＝1－t ，所以g(t)＝－2＋1＋（1－t ）22t ＝－2＋t2－2t ＋22t ＝－2＋－22≤－2＋－22＝－1，(14分)当且仅当t ＝时取等号，此时k ＝22，所以△PCD 面积的最大值为－1.(16分)19. (1) 由f(x)＝e x －21x 2－x ，则f′(x)＝e x －x －1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x －1，(3分)当x>0时，g′(x)>0，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(5分)进而f(x)>f(0)＝1>0，即对任意x>0，都有f(x)>0.(6分)(2) f′(x)＝e x －ax －a ，因为x 1，x 2为f(x)的两个极值点，所以f ′（x2）＝0，f ′（x1）＝0，即ex2－ax2－a ＝0.ex1－ax1－a ＝0，两式相减，得a ＝x1－x2ex1－ex2，(8分)则所证不等式等价于2x1＋x2<ln x1－x2ex1－ex2，即e 2x1＋x2<x1－x2ex1－ex2，(10分)不妨设x 1>x 2，两边同时除以e x 2可得：e 2x1－x2<x1－x2ex1－x2－1，(12分)令t ＝x 1－x 2，t>0，所证不等式只需证明：e 2t <t et －1⇔t e 2t －e t ＋1<0.(14分)设φ(t)＝t e 2t －e t ＋1，则φ′(t)＝－e 2t ·＋1t ，因为e x ≥x ＋1，令x ＝2t ，可得e 2t －＋1t ≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递减，φ(t)<φ(0)＝0，所以2x1＋x2<ln a ．(16分)20. (1) 因为2a 1a 3＝a 4，所以2a 1·a 1q 2＝a 1q 3，所以a 1＝2q ，所以a n ＝2q q n －1＝21q n .(2分)因为2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，①所以2T n ＋1＝(n ＋1)(b n ＋1－1)，n ∈N ，②②－①，得2T n ＋1－2T n ＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，n ∈N *，所以2b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，所以(n －1)b n ＋1＝nb n ＋1，n ∈N *，③(4分)所以nb n ＋2＝(n ＋1)b n ＋1＋1，n ∈N ，④④－③得nb n ＋2－(n －1)b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n ，n ∈N *，所以nb n ＋2＋nb n ＝2nb n ＋1，n ∈N *，所以b n ＋2＋b n ＝2b n ＋1，所以b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ，所以{b n }为等差数列．因为n ＝1时b 1＝－1，又b 2＝1，所以公差为2，所以b n ＝2n －3.(6分)(2) 由(1)得S n ＝1－q （1－qn ），所以S n ＋2t 1＝1－q （1－qn ）＋2t 1＝2（q －1）qn ＋t ＋2（1－q ）q ＋2t 1，要使得2t 1为等比数列，则通项必须满足指数型函数，即2（1－q ）q ＋2t 1＝0，解得t ＝q q －1.(9分)此时2t 1＝2（q －1）qn ＋1＝q ，所以存在t ＝q q －1，使得2t 1为等比数列．(10分)(3) c n ＝bn ＋41＝2n ＋11，设对于任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列，所以2c l ＝c k ＋c m ，所以2l ＋12＝2k ＋11＋2m ＋11.所以2m ＋11＝2l ＋12－2k ＋11＝（2l ＋1）（2k ＋1）4k －2l ＋1.所以m ＝4k －2l ＋12kl －k ＋2l＝4k －2l ＋1（－4k ＋2l －1）（k ＋1）＋（2k ＋1）2＝－k －1＋4k －2l ＋1（2k ＋1）2.所以m ＋k ＋1＝4k －2l ＋1（2k ＋1）2.因为给定正整数k (k ≥2)，所以4k －2l ＋1能整除(2k ＋1)2且4k －2l ＋1>0，所以4k －2l ＋1＝1或2k ＋1或(2k ＋1)2.(14分)若4k －2l ＋1＝1，则l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，此时m －l ＝4k 2＋k >0，满足(k <l <m )；若4k －2l ＋1＝2k ＋1，则k ＝l ，矛盾(舍去)；若4k －2l ＋1＝(2k ＋1)2，则l ＝2k 2，此时m ＋k ＝0(舍去)．综上，任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，使得c k ，c l ，c m 成等差数列．(16分)江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. 因为A ＝0，所以20＝d ，得－1＝d ，2＝c ，(6分)即a ＝－4，b ＝3，c ＝2，d ＝－1，(8分)所以ad －bc ＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.(10分)22. 以极点O 为直角坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，因为OM·OP ＝12，所以ρρ′＝12.因为ρ′cos θ＝3，所以ρ12cos θ＝3，即ρ＝4cos θ，(3分)化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.(5分)由2(t 为参数)得普通方程为x －y ＋3＝0，(7分)所以PQ 的最小值为圆上的点到直线距离的最小值，即PQ min ＝d －r ＝2|2－0＋3|－2＝22－2.(10分)23. (1) 由题意得－|x ＋1|＝1，(2分)即＝|x ＋1|＋1.因为x>0，所以x ＋1>0，所以＝x ＋2，两边平方，整理得曲线C 的方程为y 2＝8x.(4分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立y ＝kx ＋2，y2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.(6分)由k FA ＋k FB ＝x1－2y1＋x2－2y2＝x1－2k （x1＋2）＋x2－2k （x2＋2）＝（x1－2）（x2－2）k （x1＋2）（x2－2）＋k （x1－2）（x2＋2）＝（x1－2）（x2－2）2k （x1x2－4）.(8分)将x 1x 2＝4代入，得k FA ＋k FB ＝0，所以直线FA 和直线FB 的倾斜角互补．(10分)24. (1) 因为n ≥2，由an －11＝an －1－12－an －1，得an －11＝an －1－11－an －1＋an －1－11，所以an －11－an －1－11＝－1，(1分)所以an －11是首项为－3，公差为－1的等差数列，且an －11＝－n －2，所以a n ＝n ＋2n ＋1.(3分)(2) 下面用数学归纳法证明：S n <n －ln 2n ＋3＋21.①当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1＝32，右边＝23－ln 2，因为e 3>16⇔3ln e >4ln 2⇔ln 2<43， 23－ln 2>23－43＝43>32，所以命题成立；(5分)②假设当n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时成立，即S k <k －ln 2k ＋3＋21，则当n ＝k ＋1，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1<k －ln 2k ＋3＋21＋k ＋3k ＋2，要证S k ＋1<(k ＋1)－ln 2（k ＋1）＋3＋21，只要证k －ln 2k ＋3＋21＋k ＋3k ＋2<(k ＋1)－ln 2（k ＋1）＋3＋21，只要证ln k ＋3k ＋4<k ＋31，即证ln k ＋31<k ＋31.(8分)考查函数F (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)，因为x >0，所以F ′(x )＝1＋x 1－1＝1＋x －x <0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以F (x )<F (0)＝0，即ln(1＋x )<x ，所以ln k ＋31<k ＋31，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，S n <n －ln 2n ＋3＋21.(10分)。

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2019届江苏省无锡市高三第一次模拟考试数学注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间120分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z 满足(1＋i)z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n ＝________．错误!4. 史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出x 的值为________．6. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y ≤0，x ≥0，则z ＝x ＋y 的取值范围是________．7. 在四边形ABCD 中，已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．8. 以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________．10. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3＝7，且a 1－1，a 2－1，a 4－1成等比数列，则a 10＝________．11. 已知θ是第四象限角，则cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．12. 已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________．13. 已知点P 在圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，A ，B 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝4上两动点，且AB ＝23，则P A →·PB →的最小值是________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m＝(a，sinC－sin B)，n＝(b＋c，sin A＋sin B)，且m∥n.(1) 求角C的大小；(2) 若c＝3，求△ABC周长的取值范围．16. (本小题满分14分)在四棱锥P ABCD中，锐角三角形P AD所在平面垂直于平面P AB，AB⊥AD，AB⊥BC.(1) 求证：BC∥平面P AD；(2) 求证：平面P AD⊥平面ABCD.(第16题)17. (本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为⎝⎛⎭⎫3－14x万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)(1) 至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D . (1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 求△PCD 面积的最大值．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x －a2x 2－ax(a>0)．(1) 当a ＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2) 若y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值，求证：x 1＋x 22<ln a.20. (本小题满分16分)设等比数列{a n }的公比为q(q>0，q ≠1)，前n 项和为S n ，且2a 1a 3＝a 4，数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，b 2＝1.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 是否存在常数t ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列？请说明理由；(3) 设c n ＝1b n ＋4，对于任意给定的正整数k (k ≥2)，是否存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列？若存在，求出l ，m (用k 表示)；若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．说明：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. (本小题满分10分)选修4-2：矩阵与变换设旋转变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 1 2·A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34c d ，求ad －bc 的值．22. (本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程自极点O 作射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM·OP ＝12，若Q 为曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)上一点，求PQ 的最小值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M(x ，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M 到直线x ＝－1的距离等于1.(1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线y ＝k(x ＋2)与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．24. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝23，1a n －1＝2－a n －1a n －1－1(n ≥2)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2 )设数列{a n }的前n 项和为S n ，用数学归纳法证明：S n <n ＋12－ln .江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {x|0<x<1}2. －13. 364. 13 5. 256. [0，3]7. 梯形8. y 2＝12x9. 3π 10. 21 11.5214 12. －2 13. 19－122 14. 13215. (1) 由m ∥n 及m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0，(2分) 由正弦定理，得a ⎝⎛⎭⎫a 2R ＋b 2R －(b ＋c )⎝⎛⎭⎫c 2R －b2R ＝0，所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以ab ＝－2ab cos C ，(5分) 因为ab >0，所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(7分) (2) 在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9，(9分)所以ab ＝(a ＋b )2－9≤⎝⎛⎫a ＋b 22，所以3（a ＋b ）24≤9，即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤23，(12分)又因为a ＋b >c ，所以6<a ＋b ＋c ≤23＋3，即周长l 满足6<l ≤3＋23，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋23]．(14分) 16. (1) 因为AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，且A ，B ，C ，D 共面，所以AD ∥BC.(3分)(第16题)因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.(5分)(2) 如图，过点D 作DH ⊥PA 于点H ，因为△PAD 是锐角三角形，所以H 与A 不重合．(7分)因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ∩平面PAB ＝PA ，DH ⊂平面PAD ，所以DH ⊥平面PAD.(9分)因为AB ⊂平面PAB ，所以DH ⊥AB.(11分)因为AB ⊥AD ，AD ∩DH ＝D ，AD ，DH ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD.因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD.(14分) 17. (1) 由题意得1×⎝⎛⎭⎫1＋x203≥1.6，因为5x<100－5x ，所以x<10且x ∈Z .(2分) 因为y ＝⎝⎛⎭⎫1＋x203在x ∈[1，9]上单调递增，由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，所以x20≥0.2，得x ≥4.(5分)又x ＜10且x ∈Z ，故x ＝4，5，6，7，8，9. 答：至少抽取20户从事包装、销售工作．(7分)(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1100[5x ⎝⎛⎭⎫3－14x ＋⎝⎛⎭⎫1＋x 20(100－5x )]≥1.35有正整数解，(8分)化简整理得3x 2－30x ＋70≤0，(10分) 所以－153≤x －5≤153.(11分) 因为3<15<4，且x ∈Z ，所以－1≤x －5≤1，即4≤x ≤6. (13分)答：至2018年底，该村户均纯收入能达到1万3千5百元，此时从事包装、销售的农户数为20户，25户，30户．(14分)18. (1) 由题意得⎩⎨⎧3a 2＋14b2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，b 2＝1，(4分) 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(5分)(2) 由题意设l AP ：y ＝k(x ＋2)，－12<k<0，所以C(0，2k)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2，由x A ＝－2得x P ＝2－8k 21＋4k 2，故y P ＝k(x P ＋2)＝4k 1＋4k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，(8分)设D(x 0，0)，因为B(0，1)，P ，B ，D 三点共线，所以k BD ＝k PB ，故1－x 0＝4k1＋4k 2－12－8k 21＋4k 2，解得x D＝2（1＋2k ）1－2k ，得D ⎝⎛⎭⎪⎫2（1＋2k ）1－2k ，0，(10分)所以S △PCD ＝S △PAD －S △CAD ＝12×AD ×|y P －y C |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（1＋2k ）1－2k ＋2⎪⎪⎪⎪4k 1＋4k2－2k ＝4|k （1＋2k ）|1＋4k 2，(12分)因为－12<k<0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2×1－2k 1＋4k 2，令t ＝1－2k ，1<t<2，所以2k ＝1－t ，所以g(t)＝－2＋2t 1＋（1－t ）2＝－2＋2t t 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t －2≤－2＋222－2＝2－1，(14分) 当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.(16分)19. (1) 由f(x)＝e x －12x 2－x ，则f′(x)＝e x －x －1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x －1，(3分)当x>0时，g′(x)>0，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(5分)进而f(x)>f(0)＝1>0，即对任意x>0，都有f(x)>0.(6分) (2) f′(x)＝e x －ax －a ，因为x 1，x 2为f(x)的两个极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝0，f′（x 2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧e x 1－ax 1－a ＝0，e x 2－ax 2－a ＝0.两式相减，得a ＝e x 1－e x 2x 1－x 2，(8分)则所证不等式等价于x 1＋x 22<ln e x 1－e x 2x 1－x 2，即e x 1＋x22<e x 1－e x 2x 1－x 2，(10分)不妨设x 1>x 2，两边同时除以e x 2可得：ex 1－x 22<e x 1－x 2－1x 1－x 2，(12分)令t ＝x 1－x 2，t>0，所证不等式只需证明：e t 2<e t －1t ⇔t e t2－e t ＋1<0.(14分)设φ(t)＝t e t2－e t＋1，则φ′(t)＝－e t 2·⎣⎡⎦⎤e t2－⎝⎛⎭⎫t 2＋1，因为e x ≥x ＋1，令x ＝t 2，可得e t 2－⎝⎛⎭⎫t 2＋1≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递减，φ(t)<φ(0)＝0，所以x 1＋x 22<ln a ．(16分)20. (1) 因为2a 1a 3＝a 4，所以2a 1·a 1q 2＝a 1q 3，所以a 1＝q 2，所以a n ＝q 2q n －1＝12q n .(2分)因为2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，①所以2T n ＋1＝(n ＋1)(b n ＋1－1)，n ∈N ，②②－①，得2T n ＋1－2T n ＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，n ∈N *，所以2b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，所以(n －1)b n ＋1＝nb n ＋1，n ∈N *，③(4分)所以nb n ＋2＝(n ＋1)b n ＋1＋1，n ∈N ，④④－③得nb n ＋2－(n －1)b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n ，n ∈N *，所以nb n ＋2＋nb n ＝2nb n ＋1，n ∈N *，所以b n ＋2＋b n ＝2b n ＋1，所以b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ，所以{b n }为等差数列．因为n ＝1时b 1＝－1，又b 2＝1，所以公差为2，所以b n ＝2n －3.(6分)(2) 由(1)得S n ＝q 2（1－q n ）1－q ，所以S n ＋12t ＝q 2（1－q n ）1－q ＋12t ＝q n ＋t 2（q －1）＋q 2（1－q ）＋12t ，要使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列，则通项必须满足指数型函数，即q 2（1－q ）＋12t＝0，解得t ＝q －1q .(9分)此时S n ＋1＋12t S n ＋12t ＝q n ＋22（q －1）q n ＋12（q －1）＝q ，所以存在t ＝q －1q ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列．(10分)(3) c n ＝1b n ＋4＝12n ＋1，设对于任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列，所以2c l ＝c k ＋c m ，所以22l ＋1＝12k ＋1＋12m ＋1.所以12m ＋1＝22l ＋1－12k ＋1＝4k －2l ＋1（2l ＋1）（2k ＋1）.所以m ＝2kl －k ＋2l4k －2l ＋1＝（－4k ＋2l －1）（k ＋1）＋（2k ＋1）24k －2l ＋1＝－k －1＋（2k ＋1）24k －2l ＋1.所以m ＋k ＋1＝（2k ＋1）24k －2l ＋1.因为给定正整数k (k ≥2)，所以4k －2l ＋1能整除(2k ＋1)2且4k －2l ＋1>0，所以4k －2l ＋1＝1或2k ＋1或(2k ＋1)2.(14分)若4k －2l ＋1＝1，则l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，此时m －l ＝4k 2＋k >0，满足(k <l <m )；若4k －2l ＋1＝2k ＋1，则k ＝l ，矛盾(舍去)；若4k －2l ＋1＝(2k ＋1)2，则l ＝2k 2，此时m ＋k ＝0(舍去)．综上，任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，使得c k ，c l ，c m 成等差数列．(16分)江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34cd ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，－a ＝4，2＝c ，－1＝d ，(6分)即a ＝－4，b ＝3，c ＝2，d ＝－1，(8分) 所以ad －bc ＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.(10分)22. 以极点O 为直角坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，因为OM·OP ＝12，所以ρρ′＝12. 因为ρ′cos θ＝3，所以12ρcos θ＝3，即ρ＝4cos θ，(3分)化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.(5分)由⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)得普通方程为x －y ＋3＝0，(7分)所以PQ 的最小值为圆上的点到直线距离的最小值，即PQ min ＝d －r ＝|2－0＋3|2－2＝522－2.(10分)23. (1) 由题意得（x －2）2＋y 2－|x ＋1|＝1，(2分) 即（x －2）2＋y 2＝|x ＋1|＋1.因为x>0，所以x ＋1>0，所以（x －2）2＋y 2＝x ＋2，两边平方，整理得曲线C 的方程为y 2＝8x.(4分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋2，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.(6分) 由k FA ＋k FB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝k （x 1＋2）x 1－2＋k （x 2＋2）x 2－2＝k （x 1＋2）（x 2－2）＋k （x 1－2）（x 2＋2）（x 1－2）（x 2－2）＝2k （x 1x 2－4）（x 1－2）（x 2－2）.(8分)将x 1x 2＝4代入，得k FA ＋k FB ＝0，所以直线FA 和直线FB 的倾斜角互补．(10分)24. (1) 因为n ≥2，由1a n －1＝2－a n －1a n －1－1，得1a n －1＝1－a n －1a n －1－1＋1a n －1－1，所以1a n －1－1a n －1－1＝－1，(1分) 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－3，公差为－1的等差数列，且1a n －1＝－n －2，所以a n ＝n ＋1n ＋2.(3分) (2) 下面用数学归纳法证明：S n <n －ln ⎣⎡⎦⎤n ＋32＋12. ①当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1＝23，右边＝32－ln 2，因为e 3>16⇔3ln e >4ln 2⇔ln 2<34， 32－ln 2>32－34＝34>23，所以命题成立；(5分)②假设当n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时成立，即S k <k －ln k ＋32＋12，则当n ＝k ＋1，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1<k －ln k ＋32＋12＋k ＋2k ＋3，要证S k ＋1<(k ＋1)－ln （k ＋1）＋32＋12，只要证k －ln k ＋32＋12＋k ＋2k ＋3<(k ＋1)－ln （k ＋1）＋32＋12，只要证ln k ＋4k ＋3<1k ＋3，即证ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋3<1k ＋3.(8分) 考查函数F (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)，因为x >0，所以F ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x<0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以F (x )<F (0)＝0，即ln(1＋x )<x ，所以ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋3<1k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，S n <n －ln n ＋32＋12.(10分)。

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