2020江苏高考数学模拟卷含答案
2020年江苏省徐州市、淮安市、南通市、泰州市、扬州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷 (解析版)

2020年扬州市、徐州市、南通市、泰州市、淮安市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题(共14小题).1.已知集合A={﹣1,0,1},B={0,2},则A∪B=.2.设复数z满足(3﹣i)z=,其中i为虚数单位,则z的模是.3.如图是一个算法流程图,则输出的k的值是.4.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3,为了解学生对防震减灾知识的掌握情况,现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测.若高一年级抽取了20名学生,则n的值是.5.今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液;“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的概率是.6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=4x的准线是双曲线=1(a>0)的左准线,则实数a的值是.7.已知cos(α+β)=,sinβ=,α,β均为锐角,则sinα的值是.8.公园里设置了一些石凳供游客休息,这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的(如图所示).设石凳的体积为V1,正方体的体积为V2,则的值是.9.已知x>1,y>1,xy=10,则的最小值是.10.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若4S2,S4,﹣2S3成等差数列,且a2+a3=2,则a6的值是.11.海伦(Heron,约公元1世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家,以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式,它给出了利用三角形的三边长a,b,c计算其面积的公式S△ABC=,其中p=,若a=5,b=6,c=7,则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是.12.如图,△ABC为等边三角形,分别延长BA,CB,AC到点D,E,F,使得AD=BE =CF.若,且DE=,则的值是.13.已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(﹣x)+f(x)有且仅有四个不同的零点,则实数k的取值范围是.14.在平面直角坐标系xOy中,过点P(2,﹣6)作直线交圆O:x2+y2=16于A,B两点,C(x0,y0)为弦AB的中点,则的取值范围是.二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若.(1)求cos C的值;(2)若A=C,求sin B的值.16.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⏊BC,D,E分别是A1B1,BC的中点.求证:(1)平面ACD⊥平面BCC1B1;(2)B1E∥平面ACD.17.某单位科技活动纪念章的结构如图所示,O是半径分别为1cm,2cm的两个同心圆的圆心,等腰△ABC的顶点A在外圆上,底边BC的两个端点都在内圆上,点O,A在直线BC的同侧.若线段BC与劣弧所围成的弓形面积为S1,△OAB与△OAC的面积之和为S2,设∠BOC=2θ.(1)当θ=时,求S2﹣S1的值;(2)经研究发现当S2﹣S1的值最大时,纪念章最美观,求当纪念章最美观时,cosθ的值.(求导参考公式:(sin2x)'=2cos2x,(cos2x)'=﹣2sin2x)18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于M,N两点.已知椭圆的短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)当直线MN的斜率为时,求F1M+F1N的值;(3)若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t,0),求实数t的取值范围.19.(16分)已知{a n}是各项均为正数的无穷数列,数列{b n}满足b n=a n•a n+k(n∈N*),其中常数k为正整数.(1)设数列{a n}前n项的积,当k=2时,求数列{b n}的通项公式;(2)若{a n}是首项为1,公差d为整数的等差数列,且b2﹣b1=4,求数列的前2020项的和;(3)若{b n}是等比数列,且对任意的n∈N*,a n•a n+2k=a n+k2,其中k≥2,试问:{a n}是等比数列吗?请证明你的结论.20.(16分)已知函数f(x)=,g(x)=,其中e是自然对数的底数.(1)若函数f(x)的极大值为,求实数a的值;(2)当a=e时,若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值;(3)设函数h(x)=g(x)﹣f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.【选做题】本题包括21,22,23三小题,请选定其中两题作答,每小题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.[选修4-2:矩阵与变换]21.已知m∈R,=是矩阵M=的一个特征向量,求M的逆矩阵M﹣1.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2r sinθ(r>0).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).若直线l与圆C恒有公共点,求r的取值范围.[选修4-5:不等式选讲]23.已知x>1,y>1,且x+y=4,求证:≥8.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.24.某“芝麻开门”娱乐活动中,共有5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量获取相应奖励.已知开每扇门相互独立,且规则相同,开每扇门的规则是:从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中,随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回.若门被打开,则转为开下一扇门;若连续4次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门;直至5扇门都进行了试开,活动结束.(1)设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数,求X的分布列及数学期望E(X);(2)求恰好成功打开4扇门的概率.25.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x 轴的交点为E.过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,EA,EB分别与y轴相交于M,N两点,当AB⊥x轴时,EA=2.(1)求抛物线的方程;(2)设△EAB的面积为S1,△EMN面积为S2,求的取值范围.参考答案一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上.)1.已知集合A={﹣1,0,1},B={0,2},则A∪B={﹣1,0,1,2}.【分析】进行并集的运算即可.解:∵A={﹣1,0,1},B={0,2},∴A∪B={﹣1,0,1,2}.故答案为:{﹣1,0,1,2}.2.设复数z满足(3﹣i)z=,其中i为虚数单位,则z的模是1.【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解.解:由(3﹣i)z=,得z=,∴|z|=||=.故答案为:1.3.如图是一个算法流程图,则输出的k的值是5.【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.解:模拟程序的运行,可得k=1不满足条件k2﹣4k>0,执行循环体,k=2不满足条件k2﹣4k>0,执行循环体,k=3不满足条件k2﹣4k>0,执行循环体,k=4不满足条件k2﹣4k>0,执行循环体,k=5此时,满足条件k2﹣4k>0,退出循环,输出k的值为5.故答案为:5.4.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3,为了解学生对防震减灾知识的掌握情况,现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测.若高一年级抽取了20名学生,则n的值是55.【分析】先求出高一年级学生占的比例,再根据比例即可求解结论.解:高一年级学生占的比例为=,故应满足:=⇒n=55人,故答案为:55.5.今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液;“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的概率是.【分析】某医生从“三药三方”中随机选出2种,基本事件总数n==15,恰好选出1药1方包含的基本事件个数m==9.由此能求出恰好选出1药1方的概率.解:“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液,“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,基本事件总数n==15,恰好选出1药1方包含的基本事件个数m==9.∴恰好选出1药1方的概率是p===.故答案为:.6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=4x的准线是双曲线=1(a>0)的左准线,则实数a的值是.【分析】求出抛物线的准线方程,求出双曲线的左准线方程,得到关系式,求解即可.解:抛物线y2=4x的准线是双曲线=1(a>0)的左准线,可得:﹣1=﹣=﹣,解得a=.故答案为:.7.已知cos(α+β)=,sinβ=,α,β均为锐角,则sinα的值是.【分析】由α,β的范围得出α+β的范围,然后利用同角三角函数间的基本关系,由cos (α+β)和sinβ的值,求出sin(α+β)和cosβ的值,然后由α=(α+β)﹣β,把所求的式子利用两角差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值.解:解:由cos(α+β)=,sinβ=,根据α,β∈(0,),得到α+β∈(0,π),所以sin(α+β)==,cosβ==,则sinα=sin[(α+β)﹣β]=sin(α+β)cosβ﹣cos(α+β)sinβ=×﹣×=.故答案为:.8.公园里设置了一些石凳供游客休息,这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的(如图所示).设石凳的体积为V1,正方体的体积为V2,则的值是.【分析】设正方体的棱长为2a,求出正方体的体积,再由正方体的体积减去8个三棱锥的体积得石凳的体积,则答案可求.解:设正方体的棱长为2a,则正方体的体积.由题意可得,石凳的体积为V1=8a3﹣=.∴=.故答案为:.9.已知x>1,y>1,xy=10,则的最小值是9.【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.解:因为x>1,y>1,xy=10,所以lgx+lgy=1,则=()(lgx+lgy)=5+=9,当且仅当时即lgy=2lgx且xy=10即x=,y=时取等号,故答案为:9.10.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若4S2,S4,﹣2S3成等差数列,且a2+a3=2,则a6的值是﹣32.【分析】等比数列{a n}的公比设为q,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,进而得到所求值.解:等比数列{a n}的公比设为q,前n项和为S n,若4S2,S4,﹣2S3成等差数列,则2S4=4S2﹣2S3,可得2(a1+a1q+a1q2+a1q3)=4(a1+a1q)﹣2(a1+a1q+a1q2),化为2+q=0,可得q=﹣2,由a2+a3=2,可得﹣2a1+4a1=2,解得a1=1,则a6=1•(﹣2)5=﹣32,故答案为:﹣32.11.海伦(Heron,约公元1世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家,以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式,它给出了利用三角形的三边长a,b,c计算其面积的公式S△ABC=,其中p=,若a=5,b=6,c=7,则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是.【分析】利用S△ABC==pr,代入即可得出.解:∵a=5,b=6,c=7,∴p===9.则S△ABC==r×(5+6+7),可得:r=.故答案为:.12.如图,△ABC为等边三角形,分别延长BA,CB,AC到点D,E,F,使得AD=BE =CF.若,且DE=,则的值是.【分析】设AD=BE=CF=x,由于,所以BA=2AD=2x=AC=BC,BD=3x.在△BDE中,由余弦定理知,,代入数据可解得x=1,从而有AF=3,CE=3,然后结合平面向量数量积的运算即可得解.解:设AD=BE=CF=x,∵,∴BA=2AD=2x=AC=BC,∴BD=BA+AD=3x,在△BDE中,由余弦定理知,,即,解得x=1.∴AF=3,CE=3,∴=.故答案为:.13.已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(﹣x)+f(x)有且仅有四个不同的零点,则实数k的取值范围是(27,+∞).【分析】表示出函数g(x),分k=0,k<0及k=0讨论,易知当k=0及k<0时均不合题意,而观察解析式可知,问题可化为有且仅有两个不同的零点,故利用导数研究函数g(x)在(0,+∞)上的最小值小于0即可.解:依题意,,当k=0时,原函数有且只有一个零点,不合题意,故k≠0;观察解析式,易知函数g(x)为偶函数,则函数g(x)有且仅有四个不同的零点,可转化为有且仅有两个不同的零点,当k<0时,函数g(x)在(0,+∞)上递增,最多一个零点,不合题意;当k>0时,,令g′(x)>0,解得,令g′(x)<0,解得,故函数g(x)在上递减,在上递增,要使g(x)在(0,+∞)上有且仅有两个不同的零点,则,解得k>27.故答案为:(27,+∞).14.在平面直角坐标系xOy中,过点P(2,﹣6)作直线交圆O:x2+y2=16于A,B两点,C(x0,y0)为弦AB的中点,则的取值范围是[,).【分析】作出图象,根据条件可求得点C的运动轨迹为x2+y2﹣2x+6y=0,的取值范围可转化为求点C与点Q(﹣1,3)的距离范围,数形结合即可解:如图所示,由圆的性质知:PC⊥OC,∴•=0,又∵=(x0﹣2,y0+6),=(x0,y0),则•=x0(x0﹣2)+y0(y0+6)=x02+y02﹣2x0+6y0=0∴点C的轨迹方程为圆:x2+y2﹣2x+6y=0即(x﹣1)2+(y+3)2=10,圆心(1,﹣3),半径r=则的取值范围可转化为求点C与点Q(﹣1,3)的距离范围如图所示,因为点C在圆O内,故只需求出OQ和QM或QN的长度即可,易得OQ==,联立,整理得2x﹣6y﹣16=0即直线MN方程为x﹣3y﹣8=0,再联立,解得,,即M(,),N(,),故QM==QN==,因为C取不到M或N点,故的取值范围是[,).故答案为:[,).二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若.(1)求cos C的值;(2)若A=C,求sin B的值.【分析】(1)利用正弦定理转化条件,利用余弦定理求得cos C的值;(2)利用三角函数的内角和定理与三角恒等变换,即可求出sin B的值.解:(1)△ABC中,,由正弦定理得=,整理得5(a2+b2﹣c2)=8ab,由余弦定理得cos C===;(2)由(1)知cos C=,C是△ABC的内角,所以sin C==;又A=C,所以sin B=sin(π﹣A﹣C)=sin(A+C)=sin2C=2sin C cos C=2××=.16.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⏊BC,D,E分别是A1B1,BC的中点.求证:(1)平面ACD⊥平面BCC1B1;(2)B1E∥平面ACD.【分析】(1)推导出AC⊥CC1,AC⊥平面BCC1B1,由此能证明平面ACD⊥平面BCC1B1.(2)取AC中点F,连结EF,DF,推导出四边形B1DFE为平行四边形,从而B1E∥DF,由此能证明B1E∥平面ACD.【解答】证明:(1)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,又AC⊂底面ABC,∴AC⊥CC1,∵AC⊥BC1,CC1∩BC=C,∴AC⊥平面BCC1B1,∵AC⊂平面ACD,∴平面ACD⊥平面BCC1B1.(2)取AC中点F,连结EF,DF,∵E,F分别为BC,AC中点,∴EF∥AB,EF=,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB A1B1,∵D为A1B1中点,∴B1D∥AB,B1D=,∴EF B1D,∴四边形B1DFE为平行四边形,∴B1E∥DF,∵DF⊂平面ACD,B1E⊄平面ACD,∴B1E∥平面ACD.17.某单位科技活动纪念章的结构如图所示,O是半径分别为1cm,2cm的两个同心圆的圆心,等腰△ABC的顶点A在外圆上,底边BC的两个端点都在内圆上,点O,A在直线BC的同侧.若线段BC与劣弧所围成的弓形面积为S1,△OAB与△OAC的面积之和为S2,设∠BOC=2θ.(1)当θ=时,求S2﹣S1的值;(2)经研究发现当S2﹣S1的值最大时,纪念章最美观,求当纪念章最美观时,cosθ的值.(求导参考公式:(sin2x)'=2cos2x,(cos2x)'=﹣2sin2x)【分析】(1)结合弓形面积公式及三角形的面积公式分别求出S2,S1,然后结合三角函数的性质即可求解;(2)结合(1)的面积表示,结合导数与单调性的关系可求.解:(1)由题意可知,∠BOC=2θ∈(0,π),故,S1==θ﹣sinθcosθ=,S2=﹣sin2θ=﹣sin2θ=2sinθ,当时,S1=,S2=,故S2﹣S1=(cm2),(2)S2﹣S1=2sinθ+sin2θ﹣θ,,令f(θ)=2sinθ+sin2θ﹣θ,,则f′(θ)=2cosθ+cos2θ﹣1=2cos2θ+2cosθ﹣2,令f′(θ)=0可得,cosθ=(舍负),记cosθ0=,,当θ∈(0,θ0)时,f′(θ)>0,函数单调递增,当时,f′(θ)<0,函数单调递减,故当θ=θ0时,即cosθ=时,f(θ)取得最大值,即S2﹣S1取得最大值.18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于M,N两点.已知椭圆的短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)当直线MN的斜率为时,求F1M+F1N的值;(3)若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t,0),求实数t的取值范围.【分析】(1)设焦距为2c,运用离心率公式,可得a,b,c的方程,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;(2)由(1)可得c=2,即F1(﹣2,0),F2(2,0),联立直线方程和椭圆方程,求得M,N,即可得到所求和;(3)方法一、讨论直线MN的斜率不存在,求得|MN|,可得t的值;MN的斜率存在时,设MN:y=k(x﹣2),M(x1,y1),N(x2,y2),联立椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式,弦长公式,结合圆的方程和换元,运用函数的单调性可得所求范围;方法二、运用直径所对的圆周角为直角,结合向量的数量积的性质和坐标表示,化简整理,可得t的不等式组,解得t的范围.解:(1)设焦距为2c,则2b=2,b2=a2﹣c2,e==,解得a=,b=,则椭圆的方程为+=1;(2)由(1)可得c=2,即F1(﹣2,0),F2(2,0),由可得或,即M(,),N(,﹣)或N(,),M(,﹣),因此|F1M|+|F1N|=+=;(3)方法一、①MN的斜率不存在时,MN:x=2,|MN|=,以MN为直径的圆的方程为(x﹣2)2+y2=,其与x轴相交的右交点为P(2+,0),即t=2+;②MN的斜率存在时,设MN:y=k(x﹣2),M(x1,y1),N(x2,y2),由,可得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,△=(12k2)2﹣4(1+3k2)(12k2﹣6)=24(k2+1)>0恒成立,x1+x2=,x1x2=,|x1﹣x2|===,y1+y2=k(x1+x2)﹣4k=k•﹣4k=﹣,则MN的中点为(,﹣),|MN|=•|x1﹣x2|=•=,故以MN为直径的圆的方程为(x﹣)2+(y+)2=,令y=0,可得x=,由题意可得t=,可令1+3k2=m(m≥1),则k2=,t=2﹣+,可令x=,x∈(0,2],可得t=2﹣x+,可令f(x)=2﹣x+,x∈(0,2),由于(x+)2<x2+x+,则f′(x)=<0,故f(x)在(0,2)递减,f(0)=2+,f(2)=,因此f(x)∈[,2+),综上可得t∈[,2+].方法二、x1x2=,则y1y2=k2(x1﹣2)(x2﹣2)=k2[x1x2﹣2(x1+x2)+4]=k2[﹣2•+4]=﹣,P在以MN为直径的圆上,则•=0,(x1﹣t)(x2﹣t)+y1y2=0,x1x2﹣t(x1+x2)+t2+y1y2=0,即﹣+t2﹣=0,化为(3t2﹣12t+10)k2=6﹣t2,由于P为右交点,故t>2,因此,解得t∈[,2+].19.(16分)已知{a n}是各项均为正数的无穷数列,数列{b n}满足b n=a n•a n+k(n∈N*),其中常数k为正整数.(1)设数列{a n}前n项的积,当k=2时,求数列{b n}的通项公式;(2)若{a n}是首项为1,公差d为整数的等差数列,且b2﹣b1=4,求数列的前2020项的和;(3)若{b n}是等比数列,且对任意的n∈N*,a n•a n+2k=a n+k2,其中k≥2,试问:{a n}是等比数列吗?请证明你的结论.【分析】(1)直接利用关系式的变换的应用求出数列通项公式.(2)首先求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果.(3)利用等比数列的的定义的应用求出结果.解:(1)因为,所以(n≥2),两式相除得:=2n﹣1(n≥2),当n=1时,,符号上式,∴(n∈N*),当k=2时,b n=a n•a n+2=2n﹣1•2n+1=4n;(2)由于b n=a n a n+1,且a1=1,所以b1=a1a k+1=a k+1,b2=a2a k+2=(d+1)(a k+1+d).所以=4,由于d和k都为正整数,所以d≥1,所以a k+1≥a2=1+d≥2,所以d2+d(a k+1+1)=4≥d2+3d.解得d≤1,所以d=1,即a n=n.所以d2+d(a k+1+1)=4=a k+1+2,即a k+1=2,解得k=1.所以b n=a n+1a n=n(n+1),所以.则:,所以.(3){b n}是等比数列,公比为,且对任意的n∈N*,所以=q2k.a n•a n+2k=a n+k2,所以,所以,所以=,则,所以.故数列{a n}是等比数列.20.(16分)已知函数f(x)=,g(x)=,其中e是自然对数的底数.(1)若函数f(x)的极大值为,求实数a的值;(2)当a=e时,若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值;(3)设函数h(x)=g(x)﹣f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.【分析】(1)由题意可知a>0,先对f(x)求导,分析单调性,得到极大值,让其等于,即可解得a的值.(2)分别求出f(x),g(x)在x=x0处切线的斜率,让它们乘积等于1,即可解得x0的值.(3)问题可以转化为,对任意x∈(0,1)恒成立,设H(x)=,由(1)可知,H(x)在(0,1)上单调递增,且当x∈(1,+∞)时,H(x)>0,当x∈(0,1)时,H(x)<0,可得ae x>x,也就是ae x>x对任意x∈(0,1)恒成立,即,设G(x)=(x∈(0,1)),只要G(x)max≤a,即可得出答案.解:(1)因为f(x)=,则f′(x)==,因为g(x)=,所以a>0,则当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以当x=e时,f(x)的极大值f(e)==,解得a=1.(2)当a=e时,f(x)=,g(x)=,则f′(x)=,g′(x)=,由题意可知,f′(x0)g′(x0)=•=﹣1,整理得x0e+elnx0=e,设φ(x)=xe x+elnx,则φ′(x)=(x+1)e x+>0,所以φ(x)单调递增,因为φ(1)=e,所以x0=1.(3)由题意可知,>0,对任意x∈(0,1)恒成立,整理得,对任意x∈(0,1)恒成立,设H(x)=,由(1)可知,H(x)在(0,1)上单调递增,且当x∈(1,+∞)时,H(x)>0,当x∈(0,1)时,H(x)<0,若ae x≥1>x,则H(ae x)≥0>H(x),若0<ae x<1,则H(ae x)>H(x),且H(x)在(0,1)上单调递增,所以ae x>x,综上可知,ae x>x对任意x∈(0,1)恒成立,即,设G(x)=(x∈(0,1)),则G′(x)=>0,所以G(x)单调递增,所以G(x)<G(1)=≤a,即a的取值范围为[,+∞).【选做题】本题包括21,22,23三小题,请选定其中两题作答,每小题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.[选修4-2:矩阵与变换]21.已知m∈R,=是矩阵M=的一个特征向量,求M的逆矩阵M﹣1.【分析】由=是属于特征值n的一个特征向量,得M=n,然后求出m,得到矩阵M,再设矩阵的逆矩阵M﹣1=,由MM﹣1=,求出M的逆矩阵M﹣1.解:由=是属于特征值n的一个特征向量,得M=n,∵M==,=n=,∴1+m=3=n,解得m=2,∴矩阵M=,设矩阵的逆矩阵M﹣1=,则MM﹣1===,∴,解得a=﹣,b=,c=,d=﹣,解得M﹣1=.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2r sinθ(r>0).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).若直线l与圆C恒有公共点,求r的取值范围.【分析】求出圆的直角坐标方程,把直线的参数方程化为普通方程,利用点到直线的距离与半径列出不等式求解即可.解:由ρ=2r sinθ得ρ2=2rρsinθ,∴圆C的方程为x2+y2﹣2ry=0,把参数方程为(t为参数),消去参数t,可得:普通方程:x﹣y﹣2=0,直线与圆有公共点,可得:d=≤r,解得r≥2.∴实数r的取值范围为[2,+∞).[选修4-5:不等式选讲]23.已知x>1,y>1,且x+y=4,求证:≥8.【分析】设x﹣1=m,y﹣1=n,则m>0,n>0,且m+n=2,再利用基本不等式即可得证.【解答】证明:设x﹣1=m,y﹣1=n,又x>1,y>1,则m>0,n>0,且m+n=x+y ﹣2=2,∴=,当且仅当m=n=1,即x=y=2时,等号成立,故原命题得证.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.24.某“芝麻开门”娱乐活动中,共有5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量获取相应奖励.已知开每扇门相互独立,且规则相同,开每扇门的规则是:从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中,随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回.若门被打开,则转为开下一扇门;若连续4次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门;直至5扇门都进行了试开,活动结束.(1)设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数,求X的分布列及数学期望E(X);(2)求恰好成功打开4扇门的概率.【分析】(1)根据互斥事件概率公式计算X的可能取值对应的概率,得出分布列和数学期望;(2)根据二项分布的概率公式计算概率.解:(1)X的可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==,∴X的分布列是:X1234PE(X)=1×+2×+3×+4×=3.(2)每扇门被打开的概率为=,设被打开的门的数量为ξ,则ξ~B(5,),∴恰好成功打开4扇门的概率为:P(ξ=4)=•()4•=.25.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x 轴的交点为E.过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,EA,EB分别与y轴相交于M,N两点,当AB⊥x轴时,EA=2.(1)求抛物线的方程;(2)设△EAB的面积为S1,△EMN面积为S2,求的取值范围.【分析】(1)求得抛物线的焦点坐标,以及E的坐标,运用两点间的距离公式,解得p,进而得到抛物线的方程;(2)设AB:x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),联立抛物线的方程,运用韦达定理,以及直线方程,求得M,N的坐标,化简整理,运用三角形的面积公式,化简整理,结合韦达定理,即可得到所求范围..解:(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线与x轴的交点为E(﹣,0),当AB⊥x轴时,A的横坐标为,所以y A2=2px A=P2,所以|EA|===2,解得p=,所以抛物线的方程为y2=2x;(2)设AB:x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),联立抛物线的方程y2=2x,消去x,可得y2﹣2my﹣2=0,则y1+y2=2m,y1y2=﹣2,直线AE的斜率为k AE=,则AE的方程为y=(x+),令x=0,可得y=•,即M(0,•),同理可得N(0,•),===2(x1+)(x2+)=2[x1x2+(x1+x2)+]=2x1x2+(x1+x2)+1=+(+)+1=1+[(y1+y2)2﹣2y1y2]+1=(y1+y2)2+4=4m2+4≥4.(当m=0时,取得等号).即的取值范围为[4,+∞).。
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)

2020年高考江苏(专用)全真模拟试题数 学(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.测试范围:高中全部内容。
一、填空题:本题共14个小题,每题5分,满分70分.1.定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃,且()}x A B ∉⋂},设{}|22M x x =-<<,{}|13N x x =<<,则MN 所表示的集合是________.2.已知复数z 满足(1)13i z i +=+,则z =________.3.已知数列{}n a 为等差数列,若159a a a π++=,则28sin()a a +=________ 4.函数()f x =的定义域为_______. 5.已知sin cos 11cos 2ααα=-,1tan()3αβ-=,则tan β=________.6.如图,在ABC V 中,若AB a =u u u v v ,AC b =u u u v v,线段AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为P ,若AP ma nb =+u u u v v v,则m n +=_____.7.在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8.设样本数据x 1,x 2,…,x 2 017的方差是4,若y i =x i -1(i =1,2,…,2 017),则y 1,y 2,…,y 2 017的方差为______.9.在长方体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,若其外接球的表面积为16π,则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________.10.曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11.定义在R 上的奇函数()f x ,若()1f x +为偶函数,且()12f -=,则()()1213f f +的值等于______.12.根据如图所示算法流程图,则输出S 的值是__.13.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ,圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M (O 为坐标原点),若直线MF 的斜率为ba,则双曲线C 的离心率为______. 14.已知偶函数满足,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围_________.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足cos sin 0b A a B -=. (1)求角A 的大小; (2)已知b =ABC ∆的面积为1,求边a .16.如图,已知PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是矩形,1PA AB ==,AD =,F 是PB 中点,点E在BC 边上.()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时,[]13-,()()()log 2a g x f x x =-+a(1)求三棱锥E PAD -的体积; (2)求证:AF PE ⊥;(3)若//EF 平面PAC ,试确定E 点的位置.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,右焦点为F ,以原点O 为圆心,椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)如图,过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点,连接AF 并延长交C 于M ,求证:PFM PFB ∠=∠.18.已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.(I )讨论函数()f x 的单调性;(II )若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <,求证:()()210f x f x <<. 19.已知数列{}n a 中,11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . (1)求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式;(2)令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小;(3)令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20.如图所示,某镇有一块空地OAB ∆,其中3OA km =,OB =,AOB 90∠=o 。
2020年江苏省高考数学模拟试卷(5)

22.( 10 分) 在直角坐标系
xoy 中, 点
P(
0,﹣
1),曲线
??1:
{
??= ??=
?-1???+???????????(??t?为??参数),
其中 0≤α<π,在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ρ+ρcos2θ=
8sinθ.
(Ⅰ)若
??=
??,求 4
C1 与
??= 6 ∴ a+b=﹣ 2.
故答案为:﹣ 2.
2.( 5 分)已知全集 U = {1 , 2, 3, 4} ,集合 A= {2 , 3} ,集合 B= {1 , 3} ,则 A∩( ? UB) = {2}
【解答】 解:∵全集 U= {1 , 2, 3, 4} ,集合 A= {2 , 3} ,集合 B= {1 , 3} ,
﹣ ANC 与四棱锥 P﹣ ABCD 的体积的比值为
.
9.( 5 分)已知点 P( 2,2 √2)为抛物线 y2= 2px 上一点,那么点 P 到抛物线准线的距离是
.
10.( 5 分)已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径,若该球的表面积为
48π,则圆柱的
侧面积为
.
11.( 5 分)设 [ x]表示不超过 x 的最大整数,如 [ π] = 3,[ ﹣ 3.2] =﹣ 4,则 [ lg1]+[ lg2]+[ lg3]+ …
1 .
4
【解答】 解:设平行四边形 ABCD 的面积为 2S,则三角形 ABC 的面积为 S;设四棱锥 P
﹣ ABCD 的高为 2h,则三棱锥 N﹣ ABC 的高为 h,
∵ N 为线段 PB 的中点,
2020届江苏省普通高中高三下学期高考全真模拟卷(八)数学试题(解析版)

绝密★启用前江苏省普通高中2020届高三下学期高考全真模拟卷(八)(南通密卷)数学试题(解析版)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共2页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合{}1A x x =>-,{}2,1,0,1,2,3B =--,则A B =________.【答案】{}0,1,2,3【解析】【分析】根据交集的定义可求得集合A B . 【详解】{}1A x x =>-,{}2,1,0,1,2,3B =--,因此,{}0,1,2,3A B =.故答案为:{}0,1,2,3.【点睛】本题考查交集的计算,考查计算能力,属于基础题.2. 已知复数2z ai =+的模为5,其中0a >,i 为虚数单位,则实数a 的值是________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的模长公式结合实数a 的取值范围可求得实数a 的值.【详解】2z ai =+,则2225z a =+=,解得1a =±,0a >,因此,1a =. 故答案为:1.【点睛】本题考查利用复数的模长公式求参数,考查计算能力,属于基础题.3. 执行如图所示的伪代码,则输出的n 的值为________.【答案】6 【解析】 【分析】。
2020年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析

2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共计70分,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.1.已知U=R,集合A={x|﹣1<x<1},B={x|x2﹣2x<0},则A∩(∁U B)=.2.已知复数,则z的共轭复数的模为.3.分别从集合A={1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数,则这两数之积为偶数的概率是.4.运行如图所示的伪代码,其结果为.5.在平面直角坐标系xOy中,与双曲线有相同渐近线,且一条准线方程为的双曲线的标准方程为.6.已知存在实数a,使得关于x的不等式恒成立,则a的最大值为.7.若函数是偶函数,则实数a的值为.8.已知正五棱锥底面边长为2,底面正五边形中心到侧面斜高距离为3,斜高长为4,则此正五棱锥体积为.9.已知函数,则不等式f(x2﹣2x)<f(3x﹣4)的解集是.10.在△ABC中,AB=3,AC=4,N是AB的中点,边AC(含端点)上存在点M,使得BM⊥CN,则cosA的取值范围为.11.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.12.已知函数f(x)=x2+2x+alnx在区间(0,1)内无极值点,则a的取值范围是.13.若函数同时满足以下两个条件:①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;②∃x∈(﹣1,1),f(x)g(x)<0.则实数a的取值范围为.14.若b m为数列{2n}中不超过Am3(m∈N*)的项数,2b2=b1+b5且b3=10,则正整数A的值为.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点,且.(1)求的值,(2)求的值.16.在四棱锥P﹣ABCD中,平面四边形ABCD中AD∥BC,∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角.(1)若四边形ABCD是菱形,求证:BD⊥平面PAC;(2)若四边形ABCD是梯形,且平面PAB∩平面PCD=l,问:直线l能否与平面ABCD平行?请说明理由.17.在平面直角坐标系xOy中,已知P点到两定点D(﹣2,0),E(2,0)连线斜率之积为.(1)求证:动点P恒在一个定椭圆C上运动;(2)过的直线交椭圆C于A,B两点,过O的直线交椭圆C于M,N两点,若直线AB与直线MN斜率之和为零,求证:直线AM与直线BN斜率之和为定值.18.将一个半径为3分米,圆心角为α(α∈(0,2π))的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器(忽略损耗).(1)求V关于α的函数关系式;(2)当α为何值时,V取得最大值;(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球?请说明理由.19.设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n,且S n+1﹣3S n=1.(1)求证:数列{a n}为等比数列;(2)数列{a n}是否存在一项a k,使得a k恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*,r≥2)项的和?请说明理由;(3)设,试问是否存在正整数p,q(1<p<q)使b1,b p,b q成等差数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.20.(1)若ax>lnx恒成立,求实数a的取值范围;(2)证明:∀a>0,∃x0∈R,使得当x>x0时,ax>lnx恒成立.三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题](本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A[选修4-1几何证明选讲](本小题满分10分)21.如图,AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交BA的延长线于点C,若DB=DC,求证:CA=AO.B[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)22.已知矩阵A=,B=,求矩阵A﹣1B.C[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分0分)23.在极坐标系中,设直线l过点,且直线l与曲线C:ρ=asinθ(a>0)有且只有一个公共点,求实数a的值.D[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)24.求函数的最大值.四.[必做题](第25题、第26题,每题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)25.在四棱锥P﹣ABCD中,直线AP,AB,AD两两相互垂直,且AD∥BC,AP=AB=AD=2BC.(1)求异面直线PC与BD所成角的余弦值;(2)求钝二面角B﹣PC﹣D的大小.26.设数列{a n}按三角形进行排列,如图,第一层一个数a1,第二层两个数a2和a3,第三层三个数a4,a5和a6,以此类推,且每个数字等于下一层的左右两个数字之和,如a1=a2+a3,a2=a4+a5,a3=a5+a6,….(1)若第四层四个数为0或1,a1为奇数,则第四层四个数共有多少种不同取法?(2)若第十一层十一个数为0或1,a1为5的倍数,则第十一层十一个数共有多少种不同取法?2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共计70分,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.1.已知U=R,集合A={x|﹣1<x<1},B={x|x2﹣2x<0},则A∩(∁U B)=(﹣1,0] .【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集,确定出集合B,由全集R,求出集合B的补集,求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解:由A={x|﹣1<x<1}=(﹣1,1),B={x|x2﹣2x<0}=(0,2),∴C u B=(﹣∞,0]∪[2,+∞),∴A∩∁U B=(﹣1,0],故答案为:(﹣1,0].2.已知复数,则z的共轭复数的模为.【考点】复数求模.【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等,即可求出结果.【解答】解:复数,则z的共轭复数的模为||=|z|====.故答案为:.3.分别从集合A={1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数,则这两数之积为偶数的概率是.【考点】等可能事件的概率.【分析】求出所有基本事件,两数之积为偶数的基本事件,即可求两数之积为偶数的概率.【解答】解:从集合A={1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数,基本事件共有4×4=16个,∵两数之积为偶数,∴两数中至少有一个是偶数,A中取偶数,B中有4种取法;A中取奇数,B中必须取偶数,故基本事件共有2×4+2×2=12个,∴两数之积为偶数的概率是=.故答案为:.4.运行如图所示的伪代码,其结果为.【考点】伪代码.【分析】根据伪代码所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作用是累加并输出S=++…+的值,用裂项法即可求值得解.【解答】解:根据伪代码所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作用是累加并输出S=++…+的值,所以S=S=++…+=×(1﹣+﹣…+﹣)=(1﹣)=.故答案为:.5.在平面直角坐标系xOy中,与双曲线有相同渐近线,且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1.【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得已知双曲线的渐近线方程,设出所求双曲线的方程为﹣=1(a,b>0),求出渐近线方程和准线方程,由题意可得=,=,结合a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程.【解答】解:双曲线的渐近线为y=±x,设所求双曲线的方程为﹣=1(a,b>0),渐近线方程为y=±x,准线方程为y=±,由题意可得=,=,又a2+b2=c2,解得a=2,b=,即有所求双曲线的方程为﹣=1.故答案为:﹣=1.6.已知存在实数a,使得关于x的不等式恒成立,则a的最大值为﹣2.【考点】函数恒成立问题.【分析】由题意可得a≤f(x)的最小值,运用单调性,可得f(0)取得最小值,即可得到a的范围,进而得到a的最大值.【解答】解:由,可得0≤x≤4,由f(x)=﹣,其中y=在[0,4]递增,y=﹣在[0,4]递增,可得f(x)在[0,4]递增,可得f(0)取得最小值﹣2,可得a≤﹣2,即a的最大值为﹣2.故答案为:﹣2.7.若函数是偶函数,则实数a的值为﹣.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【分析】由题意可得,f(﹣)=f(),从而可求得实数a的值.【解答】解:∵f(x)=asin(x+)+sin(x﹣)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴f(﹣)=f(),即﹣=a,∴a=﹣.故答案为:﹣.8.已知正五棱锥底面边长为2,底面正五边形中心到侧面斜高距离为3,斜高长为4,则此正五棱锥体积为20.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】求出底面中心到边的距离,棱锥的高,然后求解棱锥的体积.【解答】解:设正五棱锥高为h,底面正五边形的角为108°,底面正五边形中心到边距离为:tan54°,h=,则此正五棱锥体积为:×=20.故答案为:20.9.已知函数,则不等式f(x2﹣2x)<f(3x﹣4)的解集是(1,3).【考点】分段函数的应用.【分析】判断f(x)在R上递增,由f(x2﹣2x)<f(3x﹣4),可得或,解不等式即可得到所求解集.【解答】解:当x<3时,f(x)=﹣x2+6x=﹣(x﹣3)2+9,即有f(x)递增;故f(x)在R上单调递增.由f(x2﹣2x)<f(3x﹣4),可得或,解得或,即为1<x≤或<x<3,即1<x<3.即有解集为(1,3).故答案为:(1,3).10.在△ABC中,AB=3,AC=4,N是AB的中点,边AC(含端点)上存在点M,使得BM⊥CN,则cosA的取值范围为[,1).【考点】余弦定理.【分析】设=t(0≤t≤1),=﹣=t﹣,=﹣=﹣.由于⊥,可得•=0.化为:﹣16t+12(+1)cos∠BAC﹣=0,整理可得:cos∠BAC==(32﹣)=f(t),(0≤t≤1).利用函数的单调性即可得出.【解答】解:设=t(0≤t≤1),=﹣=t﹣,=﹣=﹣.∴•=(t﹣)•(﹣)=﹣t2+(+1)•﹣2.∵⊥,∴•=﹣t2+(+1)•﹣2=0.化为:﹣16t+12(+1)cos∠BAC﹣=0,整理可得:cos∠BAC==(32﹣)=f(t),(0≤t≤1).由于f(t)是[0,1]是的单调递增函数,∴f(0)≤f(t)≤f(1),即:≤f(t)≤,即:≤cosA≤,∵A∈(0,π),∴cosA<1,∴cosA的取值范围是:[,1).故答案为:[,1).11.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是(0,1)∪[3,+∞).【考点】简单线性规划的应用.【分析】由题意作平面区域,从而结合图象可知y=a x的图象过点(3,1)时为临界值a=3,从而解得.【解答】解:由题意作平面区域如下,,结合图象可知,y=a x的图象过点(3,1)时为临界值a=3,且当0<a<1时,一定成立;故答案为:(0,1)∪[3,+∞).12.已知函数f(x)=x2+2x+alnx在区间(0,1)内无极值点,则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} .【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】函数f(x)=x2+2x+alnx在区间(0,1)内无极值点⇔函数f(x)在(0,1)内单调⇔函数f′(x)≥0或f′(x)≤0a∈R)在(01,)内恒成立.再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出.【解答】解:函数f(x)=x2+2x+alnx在区间(0,1)内无极值⇔函数f(x)=x2+2x+alnx 在区间(0,1)内单调⇔函数f′(x)≥0或f′(x)≤0a∈R)在(0,1)内恒成立.由f′(x)=2x+2≥0在(0,1)内恒成立⇔a≥(﹣2x﹣2x2)max,x∈(0,1).即a≥0,由f′(x)=2x+2≤0在(0,1)内恒成立⇔a≤(﹣2x﹣2x2)min,x∈(0,1).即a≤﹣4,故答案为:a≤﹣4或a≥0.故答案为:{a|a≤﹣4或a≥0}.13.若函数同时满足以下两个条件:①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;②∃x∈(﹣1,1),f(x)g(x)<0.则实数a的取值范围为(2,4).【考点】全称命题;特称命题.【分析】由①可得当x≤﹣1时,g(x)<0,根据②可得g(1)=a(1﹣a+3)>0,由此解得实数a的取值范围.【解答】解:∵已知函数,根据①∀x∈R,f(x)<0,或g(x)<0,即函数f(x)和函数g(x)不能同时取非负值.由f(x)≥0,求得x≤﹣1,即当x≤﹣1时,g(x)<0恒成立,故,解得:a>2;根据②∃x∈(﹣1,1),使f(x)•g(x)<0成立,∴g(1)=a(1﹣a+3)>0,解得:0<a<4,综上可得:a∈(2,4),故答案为:(2,4)14.若b m为数列{2n}中不超过Am3(m∈N*)的项数,2b2=b1+b5且b3=10,则正整数A的值为64或65.【考点】数列递推式.【分析】由题意可得:,f(1)=A,f(2)=8A,f(5)=125A,设b1=t,即数列{a n}中,不超过A的项恰有t项,则2t≤A<2t+1,同理:2t+d≤8A<2t+d+1,2t+2d≤125A<2t+2d+1,可得d<4,d为正整数,得出d=1,2,3,分类讨论后求得满足条件的正整数A的值.【解答】解:依题意:,f(1)=A,f(2)=8A,f(5)=125A,设b1=t,即数列{a n}中,不超过A的项恰有t项,∴2t≤A<2t+1,同理:2t+d≤8A<2t+d+1,2t+2d≤125A<2t+2d+1,可得:2t≤A<2t+1,2t+d﹣3≤A<2t+d﹣2,,故max{}≤A<min{},由以下关系:2t+d﹣3<2t+1,,得d<4,∵d为正整数,∴d=1,2,3.当d=1时,max{}=max{}=2t,min{}=min{}=<2t,不合题意,舍去;当d=2时,max{}=max{}=2t,min{}=min{}=<2t,不合题意,舍去;当d=3时,max{}=max{}=2t,min{}=min{}=>2t,适合题意.此时2t≤A<,b1=t,b2=t+3,b5=t+6,∴t+3≤b3≤t+6.∵b3=10,∴4≤t≤7,∵t为整数,∴t=4,t=5,t=6或t=7.∵f(3)=27A,b3=10,∴210≤27A<211,∴≤A<.当t=4时,24≤A<,∴无解.当t=5时,25≤A<,∴无解.当t=6时,26≤A<,∴64≤A<.当t=7时,27≤A<,∴无解.则26≤A<.∵A∈N*,∴A=64或A=65.综上:A=64或65.故答案为:64或65.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点,且.(1)求的值,(2)求的值.【考点】三角函数的化简求值;任意角的三角函数的定义.【分析】(1)利用已知条件求出sin()与cos(),然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可.(2)求出正切函数的二倍角的值,利用两角和的正切函数化简求解即可.【解答】解:(1)角α终边逆时针旋转与单位圆交于点,可得sin()=,cos()=,sin(2)=2sin()cos()==,cos(2)=2×=.=sin(2﹣)=sin(2)cos﹣sin cos(2)==.(2)∵,∴tan(2α+2β)===.sin(2)=,cos(2)=.tan(2)=.tan(2α+2β)=tan[()+(2)]==,解得=.16.在四棱锥P﹣ABCD中,平面四边形ABCD中AD∥BC,∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角.(1)若四边形ABCD是菱形,求证:BD⊥平面PAC;(2)若四边形ABCD是梯形,且平面PAB∩平面PCD=l,问:直线l能否与平面ABCD平行?请说明理由.【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.【分析】(1)由已知得PA⊥AB,PA⊥AD,从而BD⊥PA,由四边形ABCD是菱形,得AC ⊥BD,由此能证明BD⊥平面PAC.(2)由四边形ABCD是梯形,且平面PAB∩平面PCD=l,得CD与AB有交点P,从而直线l∩平面ABCD=P,由此得到直线l不能与平面ABCD平行.【解答】证明:(1)∵在四棱锥P﹣ABCD中,平面四边形ABCD中AD∥BC,∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角,∴PA⊥AB,PA⊥AD,又AB∩AD=A,∴PA⊥平面ABCD,∵BD⊥PA,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC.解:(2)直线l不能与平面ABCD平行.理由如下:∵四边形ABCD是梯形,且平面PAB∩平面PCD=l,∴CD与AB有交点P,∴P∈l,∴直线l∩平面ABCD=P,∴直线l不能与平面ABCD平行.17.在平面直角坐标系xOy中,已知P点到两定点D(﹣2,0),E(2,0)连线斜率之积为.(1)求证:动点P恒在一个定椭圆C上运动;(2)过的直线交椭圆C于A,B两点,过O的直线交椭圆C于M,N两点,若直线AB与直线MN斜率之和为零,求证:直线AM与直线BN斜率之和为定值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)设P(x,y),由题意可得k PD•k PE=﹣,运用直线的斜率公式,化简即可得到所求轨迹方程;(2)设过F的直线为x=my+,代入椭圆方程x2+2y2=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),运用韦达定理,点满足直线方程,再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M,N两点,求得M,N的坐标,运用直线的斜率公式,化简整理,即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0.【解答】解:(1)设P(x,y),由题意可得k PD•k PE=﹣,即有•=﹣,化为+=1;(2)设过F的直线为x=my+,代入椭圆方程x2+2y2=4,可得(2+m2)y2+2my﹣2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),即有y1+y2=﹣,y1y2=﹣,x1=my1+,x2=my2+,由题意可得,过O的直线x=﹣my交椭圆C于M,N两点,解得M(﹣,),N(,﹣),可得k AM+k BN=+,通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+(y1+y2)+(x1﹣x2)+(y2﹣y1)+=﹣﹣+(y1﹣y2)+(y2﹣y1)+=0.即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0.18.将一个半径为3分米,圆心角为α(α∈(0,2π))的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器(忽略损耗).(1)求V关于α的函数关系式;(2)当α为何值时,V取得最大值;(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球?请说明理由.【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台);基本不等式在最值问题中的应用.【分析】(1)根据面积得出圆锥的底面半径,利用勾股定理求出圆锥的高,代入体积公式即可;(2)利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件;(3)求出圆锥内切球的半径,与0.5比较大小.【解答】解:(1)由题意知圆锥的母线l=3,设圆锥的底面半径为r,则2πr=3α,∴r=,∴圆锥的高h===.∴V==.(2)V==≤=2.当且仅当4π2﹣α2=即α=时,取等号.∴当α=时,体积V取得最大值.(3)当圆锥体积最大时,圆锥的底面半径r=.设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R,如图所示,则OD=R,CD=CE=,AC=3,∴AE=,AD=3﹣.由△AOD∽△ACE得,∴,解得R=3≈0.8.∵0.8>0.5,∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球.19.设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n,且S n+1﹣3S n=1.(1)求证:数列{a n}为等比数列;(2)数列{a n}是否存在一项a k,使得a k恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*,r≥2)项的和?请说明理由;(3)设,试问是否存在正整数p,q(1<p<q)使b1,b p,b q成等差数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.【考点】数列的求和;等比关系的确定.=1作差可知a n+1=3a n(n≥2),进而可知数列{a n}【分析】(1)通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列;(2)通过(1)可知a n=3n﹣1、S n=(3n﹣1),假设存在满足题意的项a k,则3k﹣1=S r+t﹣S t,进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2,进而可得结论;(3)通过(1)可知b n=,假设存在正整数p,q(1<p<q)使b1,b p,b q成等差数列,通过化简可知q=3q﹣p(2p﹣3p﹣1),利用当p≥3时2p﹣3p﹣1<0可知当p≥3时不满足题意,进而验证当p=2时是否满足题意即可.【解答】(1)证明:∵S n+1﹣3S n=1,=1,∴当n≥2时,S n﹣3S n﹣1两式相减得:a n+1=3a n,又∵S n+1﹣3S n=1,a1=1,∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式,∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列;(2)解:结论:不存在满足题意的项a k;理由如下:由(1)可知a n=3n﹣1,S n==(3n﹣1),假设数列{a n}中存在一项a k,使得a k恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*,r≥2)项的和,则3k﹣1=S r+t﹣S t=(3r+t﹣1)﹣(3t﹣1)=(3r+t﹣3t)=•3t(3r﹣1),于是(3r﹣1)=3x(其中x为大于1的自然数),整理得:3r﹣x﹣=2,显然r无解,故假设不成立,于是不存在满足题意的项a k;(3)解:结论:存在唯一的数组(p,q)=(2,3)满足题意;理由如下:由(1)可知b n=,假设存在正整数p,q(1<p<q)使b1,b p,b q成等差数列,则2b p=b1+b q,即2=+,整理得:2p•3q﹣p=3q﹣1+q,∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p(2p﹣3p﹣1),∵当p≥3时2p﹣3p﹣1<0,∴当p≥3时不满足题意,当p=2时,2=+即为:=+,整理得:=,解得:q=3,综上所述,存在唯一的数组(p,q)=(2,3)满足题意.20.(1)若ax>lnx恒成立,求实数a的取值范围;(2)证明:∀a>0,∃x0∈R,使得当x>x0时,ax>lnx恒成立.【考点】函数恒成立问题.【分析】(1)首先求出函数的导数,然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间,(2)先求出当直线和y=lnx相切时a的取值,然后进行讨论求解即可.【解答】解:(1)若ax>lnx恒成立,则a>,在x>0时恒成立,设h(x)=,则h′(x)==,由h′(x)>0得1﹣lnx>0,即lnx<1,得0<x<e,由h′(x)<0得1﹣lnx<0,即lnx>1,得x>e,即当x=e时,函数h(x)取得极大值同时也是最大值h(e)==.即a>.(2)设f(x)=lnx,g(x)=ax,(x>0),则f′(x)=,当g(x)与f(x)相切时,设切点为(m,lnm),则切线斜率k=,则过原点且与f(x)相切的切线方程为y﹣lnm=(x﹣m)=x﹣1,即y=x﹣1+lnm,∵g(x)=ax,∴,得m=e,a=.即当a>时,ax>lnx恒成立.当a=时,当x0≥时,要使ax>lnx恒成立.得当x>x0时,ax>lnx恒成立.当0<a<时,f(x)与g(x)有两个不同的交点,不妨设较大的根为x1,当x0≥x1时,当x>x0时,ax>lnx恒成立.∴∀a>0,∃x0∈R,使得当x>x0时,ax>lnx恒成立.三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题](本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A[选修4-1几何证明选讲](本小题满分10分)21.如图,AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交BA的延长线于点C,若DB=DC,求证:CA=AO.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】连结OD、AD,证出△ADB≌△ODC,得到AB=CO,从而证出结论.【解答】证明:如图示:,连结OD、AD,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,AB=2AO,∵DC是⊙O的切线,∴∠CDO=90°,∵DB=DC,∴∠B=∠C,∴△ADB≌△ODC,∴AB=CO,即2OA=OA+CA,∴CA=AO.B[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)22.已知矩阵A=,B=,求矩阵A﹣1B.【考点】几种特殊的矩阵变换.【分析】设矩阵A﹣1=,通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1,进而可得结论.【解答】解:设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=,故a=﹣1,b=0,c=0,d=,从而A﹣1=,∴A﹣1B==.C[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分0分)23.在极坐标系中,设直线l过点,且直线l与曲线C:ρ=asinθ(a>0)有且只有一个公共点,求实数a的值.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】求出点A,B的直角坐标,利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程,再求出曲线C的普通方程,求出圆心和半径,利用d=r构建出a的方程,解出a的值.【解答】解:由直线l过点,可得A,B的直角坐标为A(,),B(0,3),直线AB的斜率k==,即有直线l的方程为:y﹣3=x,即y=x+3,由曲线C:ρ=asinθ(a>0),可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0,即有圆心C(0,),r==,直线l与曲线C:ρ=asinθ(a>0)有且只有一个公共点即直线和圆相切,可得,解得a=2或﹣6,由a>0,可得a=2.D[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)24.求函数的最大值.【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可.【解答】解:由得,即5≤x≤7,由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2,∵5≤x≤7,∴当x=6时,函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4,当x=5或7时,函数y2=2+2取得最小值为y2=2,即2≤y2≤4,则≤y≤2,即函数的最大值为2.四.[必做题](第25题、第26题,每题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)25.在四棱锥P﹣ABCD中,直线AP,AB,AD两两相互垂直,且AD∥BC,AP=AB=AD=2BC.(1)求异面直线PC与BD所成角的余弦值;(2)求钝二面角B﹣PC﹣D的大小.【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.【分析】(1)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值.(2)求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量,利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小.【解答】解:(1)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,设AP=AB=AD=2BC=2,则P(0,0,2),C(2,1,0),B(2,0,0),D(0,2,0),=(2,1,﹣2),=(﹣2,2,0),设异面直线PC与BD所成角为θ,则cosθ===.∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为.(2)=(2,0,﹣2),=(2,1,﹣2),=(0,2,﹣2),设平面PBC的法向量=(x,y,z),则,取x=1,得=(1,0,1),设平面PCD的法向量=(a,b,c),则,取b=1,得=(1,2,2),设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ,cosθ=﹣|cos<>|=﹣||=﹣,∴θ=135°,∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°.26.设数列{a n}按三角形进行排列,如图,第一层一个数a1,第二层两个数a2和a3,第三层三个数a4,a5和a6,以此类推,且每个数字等于下一层的左右两个数字之和,如a1=a2+a3,a2=a4+a5,a3=a5+a6,….(1)若第四层四个数为0或1,a1为奇数,则第四层四个数共有多少种不同取法?(2)若第十一层十一个数为0或1,a1为5的倍数,则第十一层十一个数共有多少种不同取法?【考点】归纳推理.【分析】(1)若第四层四个数为0或1,则a1=a7+2a8+2a9+a10,由a1为奇数,可得a7,a10中一个为1,一个为0,进而得到答案;(2)若第十一层十一个数为0或1,a1为5的倍数,则a56,a66中一个为1,一个为0,且a57+a58+…+a65=2,或a57+a58+…+a65=7,进而得到答案.【解答】解:(1)若第二层的两个数为0或1,则a1=a2+a3,由a1为奇数,可得第二层的两个数有2种不同的取法;若第三层的三个数为0或1,则a1=a4+2a5+a6,由a1为奇数,可得第三层的三个数有4种不同的取法;若第四层四个数为0或1,则a1=a7+2a8+2a9+a10,由a1为奇数,可得第四层的四个数有8种不同的取法;(2)根据(1)中结论,若第十一层十一个数为0或1,则a1=a56+2(a57+a58+…+a65)+a66,若a1为5的倍数,则a56,a66中一个为1,一个为0,a57+a58+…+a65=2,或a57+a58+…+a65=7,即a57,a58,…,a65中有2个1或2个0,则第十一层十一个数共有=144种不同取法.2020年8月12日。
2020江苏模拟数学试题及答案

2020江苏模拟数学试题及答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3,求f(1)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 72. 已知向量a = (3, -1),向量b = (1, 2),求向量a与向量b的数量积。
A. 4B. 5C. 6D. 73. 已知集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0},求集合A中元素的个数。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 若函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求g'(x)的表达式。
A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. x^3 - 3x^2D. x^3 - 3x^2 + 25. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,其中a > 0,b > 0,求双曲线的渐近线方程。
A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±xD. y = ±√2x6. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2,公差d = 3,求第10项a10的值。
A. 29B. 30C. 31D. 327. 已知函数h(x) = sin(x) + cos(x),求h(π/4)的值。
A. √2B. 1C. 0D. -18. 已知抛物线方程为y = ax^2 + bx + c,且抛物线经过点(1, 2)和(2, 3),求a的值。
A. 1/2B. 1C. 2D. 3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
9. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 4,公比q = 2,求第5项b5的值。
______10. 已知直线l的方程为y = 2x + 1,求直线l与x轴的交点坐标。
______11. 已知函数k(x) = ln(x),求k'(x)的表达式。
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)

直线 AB 的方程为____________.
答案:x+y-3=0
解析:设圆心为 C,由题知 kAB·kCP=-1,又 kCP=2-1=1,∴ kAB=-1,∴ 直线 AB 的方程为 y= 1-0
-(x-1)+2,即 x+y-3=0.
11. 在△ABC 中,BC=2,A=2π,则A→B·A→C的最小值为________. 3
抛物线 y2=-4x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为________.
答案: y=± 3x 解析:由题设知a2=1,又易知双曲线焦点在 x 轴上,且 a=1,所以 b2=c2-a2=3,从而双曲线方程为
c2
x2-y2=1,所以双曲线渐近线方程为 y=± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1)到直线 4x-3y-1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y≥3 表示的平面区域内,则 m=________. 答案:6 解析:由题知|4m-4|=4,得 m=6 或-4,∴ P(6,1)或 P(-4,1).又 2x+y≥3,∴ m=6. 5
11
=
a
[π
- 1 x4+4x3-12x2 25 3
+12×104],(10
分)
11
令 f(x)=- 1 x4+4x3-12x2,则 25 3
f′(x)=-
4
x3+4x2-24x=-4x
1 x2-x+6 25
.
25
由 f′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=10 或 x=15,(12 分)
列表如下:
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4,公比为-1,其前 n 项和为 Sn,若 A≤Sn- 1 ≤B 对 n∈N*恒成立,则 B
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(八)(附答案解析)

2020年江苏高考数学全真模拟试卷(八)数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={x |x >-1},B ={-2,-1,0,1,2,3},则A ∩B = ▲ . 2.已知复数z =2+ai 的模为 5 ,其中a ﹥0,i 为虚数单位,则实数a 的值是 ▲ . 3.执行如图所示的伪代码,则输出的n 的值为▲ .4.如图,这是某班8位学生参加歌唱比赛所得成绩的茎叶图,那么这8位学生成绩的平均分为 ▲ .5.某小组有男生3名,女生2名,任选2名同学值日,则选出的2名同学中至少有1名男生的概 是 ▲ .6.函数y =log 3(x +2) -3的定义域是 ▲ .7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2m -y 2m +4=1(m >0)的离心率为3,则实数m 的值是▲ .(第4题图)7 6 8 98 0 4 6 9 3 6(第3题图)8.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2 =1,S 7=-7,则a 8的值是 ▲. 9. 《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑.如图, 四面体P -ABC 为鱉臑,P A ⊥平面ABC ,∠ABC 为直角,且P A =AB =BC =2, 则P -ABC 的体积为 ▲ .10.已知实数x ,y 满足x +y =1,若不等式4x +4y ≥k (2 x +2 y )恒成立,则实 数k 的取值范围是 ▲ .11.已知3cos(α+β)+2 cos α=0,则tan(α+β)tan β12.如图在△ABC 中,已知∠BAC =π3 ,AB =2,AC =3,BC → =3边AC 上的中线BE 交AD 于点F ,则BF → ・CF →的值是 ▲ .13.在平画直角坐标系xOy 中,直线l :mx -y -2m -2=0(m ∈R)交圆C1:x 2+y 2=8所得弦的中 点为M ,N 为圆C 2:(x -4) 2+(y -3) 2=1上任意一点,则MN 长的取值范围是 ▲ .14.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧k 2x 2+kx +1, x ≥0,x 3-(k 2-k +1)x 2+5x -2,x <0, (k ≠0),在函数f (x )的图象上,对任意一点A (x 1,y 1), 均存在唯一的点B (x 2,y 2) (x 1≠x 2且x 1, x 2均不为0),使得A ,B 两点处的切线斜率相等, 则实数k 的取值构成的集合是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中, 角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c sin2B =b sinC . (1)若b =2 3 ,a =2求c ; (2)若cos A =1313,求tan C 的值.(第12题)(第9题)ACPB如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, AB =AC , D 为BC 的中点. (1)求证:A 1B ∥平面ADC 1; (2)求证:平面ADC 1⊥平面BCC 1B 117.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C : x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左顶点为A (-2,0), 右焦点为F ( 2 ,0), 过原点O 的直线 (与坐标轴不重合) 与椭圆C 交于点M ,N ,直线AM ,AN 分别与y 轴交于点P , Q.(1)若AP =3AM ,求点M 的横坐标;(2)设直线PF ,QF 的斜率分别为k 1,k 2,求k 1・k 2的值.18.(本小题满分16分)如图1,某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2 m 的圆柱形花柱, 四周斑马线的内侧连线构成边长为20 m 的正方形. 因工程需要, 测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量, 其中仪器P 的移动速度为1.5 m/s, 仪器Q 的移动速度为1 m/s. 若仪器P 与仪器Q 的对视光线被花柱阻挡, 则称仪器Q 在仪器P 的“盲区”中.(1)如图2, 斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ,仪器P 在点A 处,仪器Q 在BC 上距离点 C4 m 处,试判断仪器Q 是否在仪器P 的“盲区”中,并说明理由;(2)如图3,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ,仪器P 从点A 出发向点D 移动,同时仪器 Q 从点C 出发向点B 移动,在这个移动过程中,仪器Q 在仪器P 的“盲区”中的时长为 多少?(第16题)CADBC 1A 1B 1(第18题)(图2)・ A D BC QP AD BC Q(图3)(图1)已知函数f (x ) =1+ In xx. (1)求函数f (x )的图象在x =e (e 为自然对数的底数) 处的切线方程.(2)若对任意的x ∈D ,均有m (x )≤m (x ),则称m (x )为n (x )在区间D 上的下界函数,n (x )为m (x )在区间D 上的上界函数.①若g (x )=e xx +1 ,求证:g (x )为f (x )在(0,+∞)上的上界函数;②若g (x )=kx +1, g (x )为f (x )在[1,+∞)上的下界函数,求实数k 的取值范围.20.(本小题满分16分)已知数列{a n }的前项和为S n , 满足4S n =(2n +1)a n +λ (λ≠0). (1)求证数列{a n }等差数列. (2)当λ=1时,记b n =10a n +1 2・3n,是否存在正整数p,q (1<p < q ),使得b 1,b q ,b q 成等比数列?若存在, 求出所有满足条件的数对(p,q );若不存在,请说明理由.(3)若数列a k 1, a k 2, a k 3,…,a k n ,… (k 1=1)是公比为3的等比数列,求最小正整数m ,使得当n ≥m 时,k n > n 32 .数学Ⅱ(附加题)21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题........,并在相应的答题区域内作答............,.若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分) 已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0a 1 ,A 的逆矩阵A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 130-23 b , (1)求a , b 的值;(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3,1),求点P 的坐标.B.[选修4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在极坐标系中,圆C 1的极坐标方程为ρ=4 2 cos(θ+π4).以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+r cos θy =-1+r sin θ (θ是参数).若圆C 1与圆C 2相切,求正数r 的值.C.[选修4-5:不等式选讲] (本小题满分10分)已知正数a ,b ,c ,d 满足a +b =cd =1,求证:(ac +bd )(ad +bc )≥1.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,AP ,AB ,AD 两两垂直,AD =AP =4,AB =BC =2, AD ∥BC ,M 为线段PC 上一点(端点除外).(1)若异面直线BM ,AP 所成角的余弦值为 6 3 ,求PM 的长;(2)求二面角B -PC -D 的平面角的余弦值.23.(本小题满分10分)已知函数f (x )=(1+x )n +2(1+x ) n +1+…+m (1+x ) n +m -1,其中m ,n ∈N ※,m <n , (1)求函数f (x )中含x n 项的系数;(2)求证: C n n +2C n n +1+3 C n n +2+…+m C nn +m -1=mn +m +1n +2C n +1n +m .(第22题)PDM。
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2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分,考试时间120分钟)参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. 已知集合A ={0,1,2,3},B ={x |0<x ≤2},则A ∩B = W.2. 已知复数z =(2-i)2(i 是虚数单位),则z 的模为 W.3. 已知一组样本数据5,4,x ,3,6的平均数为5,则该组数据的方差为 W.4. 运行如图所示的伪代码,则输出的结果S 为 W. I ←1While I <8 I ←I +2 S ←2I +3 End While Print S(第4题)5. 若从2,3,6三个数中任取一个数记为a ,再从剩余的两个数中任取一个数记为b ,则“ab 是整数”的概率为 W.6. 若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点与双曲线x 2-y 23=1的右焦点重合,则实数p 的值为 W. 7. 在等差数列{a n }中,若a 5=12,8a 6+2a 4=a 2,则{a n }的前6项和 S 6的值为 W.8. 已知正四棱锥的底面边长为23,高为1,则该正四棱锥的侧面积为 W.9. 已知a ,b ∈R ,函数f (x )=(x -2)(ax +b )为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则关于x 的不等式f (2-x )>0的解集为 W.10. 已知a >0,b >0,且a +3b =1b -1a,则b 的最大值为 W.11. 将函数f (x )=sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象,则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 W.12. 在△ABC 中,AB =2,AC =3,∠BAC =60°,P 为△ABC 所在平面内一点,满足CP →=32PB →+→→→13. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:x 2+y 2+2mx -(4m +6)y -4=0(m ∈R )与以C 2(-2,3)为圆心的圆相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,且满足x 21-x 22=y 22-y 21,则实数m 的值为 W.14. 已知x >0,y >0,z >0,且x +3y +z =6,则x 3+y 2+3z 的最小值为 W.二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在△ABC 中,sin A =23,A ∈(π2,π).(1) 求sin 2A 的值;(2) 若sin B =13,求cos C 的值.16. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,D ,E ,F 分别是B 1C 1,AB ,AA 1的中点. (1) 求证:EF ∥平面A 1BD ;(2) 若A 1B 1=A 1C 1,求证:平面A 1BD ⊥平面BB 1C 1C .如图,某公园内有两条道路AB ,AP ,现计划在AP 上选择一点C ,新建道路BC ,并把△ABC 所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC =π6,AB =2 km.(1) 若绿化区域△ABC 的面积为1 km 2,求道路BC 的长度; (2) 若绿化区域△ABC 改造成本为10万元/km 2,新建道路BC 成本为10万元/km.设∠ABC =θ(0<θ≤2π3),当θ为何值时,该计划所需总费用最小?18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,且右焦点到右准线l 的距离为1.过x 轴上一点M (m ,0)(m 为常数,且m ∈(0,2))的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,与l 交于点P ,D 是弦AB 的中点,直线OD 与l 交于点Q .(1) 求椭圆C 的标准方程;(2) 试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.19. (本小题满分16分)已知函数f (x )=(x -a )ln x (a ∈R ).(1) 若a =1,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线的方程; (2) 若对于任意的正数x ,f (x )≥0恒成立,求实数a 的值; (3) 若函数f (x )存在两个极值点,求实数a 的取值范围.已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *,都有a n (q n a n -1)+2q n a n a n +1=a n +1(1-q n a n +1),且a n +1+a n ≠0,其中a 1=2,q ≠0.记T n =a 1+qa 2+q 2a 3+…+q n -1a n .(1) 若q =1,求T 2 019的值;(2) 设数列{b n }满足b n =(1+q )T n -q n a n . ①求数列{b n }的通项公式;②若数列{c n }满足c 1=1,且当n ≥2时,c n =2b n -1-1,是否存在正整数k ,t ,使c 1,c k -c 1,c t -c k 成等比数列?若存在,求出所有k ,t 的值;若不存在,请说明理由.2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ,B ,C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修42:矩阵与变换)已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0123,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2018,求A -1B .B. (选修44:坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线C :ρ=2cos θ.以极点为坐标原点,极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy ,设过点A (3,0)的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点,求直线l 的斜率.C. (选修45:不等式选讲)已知函数f(x)=|x-1|.(1) 解不等式f(x-1)+f(x+3)≥6;(2) 若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f(b a).【必做题】 第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图, 在三棱锥DABC 中,DA ⊥平面ABC ,∠CAB =90°,且AC =AD =1,AB =2,E 为BD 的中点.(1) 求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值; (2) 求二面角ACEB 的余弦值.23. 已知数列{a n }满足a 1=13,a n +1=-2a 2n +2a n ,n ∈N *. (1) 用数学归纳法证明:a n ∈(0,12);(2) 令b n =12-a n ,求证:2020届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. {1,2}2. 53. 24. 215. 136. 47. 1528. 839. (0,4) 10. 13 11. 3π2 12.-1 13. -6 14.37415. 解:(1) 由sin A =23,A ∈(π2,π),则cos A =-1-sin 2A =-1-(23)2=-53,(2分)所以sin 2A =2sin A cos A =2×23×(-53)=-459.(6分)(2) 由A ∈(π2,π),则B 为锐角.又sin B =13,所以cos B =1-sin 2B =1-(13)2=223,(8分)所以cos C =-cos (A +B )=-(cos A cos B -sin A sin B )(12分) =-(-53×223-23×13)=210+29.(14分) 16. 证明:(1) 因为E ,F 分别是AB ,AA 1的中点,所以EF ∥A 1B .(3分)因为EF ⊄平面A 1BD ,A 1B ⊂平面A 1BD , 所以EF ∥平面A 1BD .(6分)(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1D ⊂平面A 1B 1C 1,所以BB 1⊥A 1D . (8分) 因为A 1B 1=A 1C 1,且D 是B 1C 1的中点, 所以A 1D ⊥B 1C 1.(10分)因为BB 1∩B 1C 1=B 1,B 1C 1,BB 1⊂平面BB 1C 1C , 所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C .(12分) 因为A 1D ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面BB 1C 1C . (14分)17. 解:(1) 在△ABC 中,已知∠BAC =π6,AB =2 km ,所以△ABC 的面积S =12×AB ×AC ×sin π6=1,解得AC =2.(2分)在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2×AB ×AC ×cos π6=22+22-2×2×2×cosπ6=8-43,(4分) 所以BC =8-43=6-2(km).(5分)(2) 由∠ABC =θ,则∠ACB =π-(θ+π6), 0<θ≤2π3.πAC BC AB所以BC =1sin (θ+π6),AC =2sin θsin (θ+π6).(7分)记该计划所需费用为F (θ),则F (θ)=12×2sin θsin (θ+π6)×2×12×10+1sin (θ+π6)×10=10(sin θ+1)sin (θ+π6)(0<θ≤2π3).(10分)令f (θ)=sin θ+132sin θ+12cos θ,则f ′(θ)=sin (θ-π3)+12(32sin θ+12cos θ)2.(11分)由f ′(θ)=0,得θ=π6.所以当θ∈(0,π6)时,f ′(θ)<0,f (θ)单调递减;当θ∈(π6,2π3)时,f ′(θ)>0,f (θ)单调递增.(12分)所以当θ=π6时,该计划所需费用最小.答:当θ=π6时,该计划所需总费用最小.(14分)18. 解:(1) 设椭圆的右焦点为(c ,0),由题意,得⎩⎨⎧c a =22,a 2c-c =1,解得⎩⎨⎧a =2,c =1,所以a 2=2,b 2=1,所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1.(4分)(2) 由题意,当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意. 设AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为y =k (x -m ). 又准线方程为x =2,所以点P 的坐标为P (2,k (2-m )).(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -m ),x 2+2y 2=2,得x 2+2k 2(x -m )2=2, 即(1+2k 2)x 2-4k 2mx +2k 2m 2-2=0,所以x D =12·4k 2m 2k 2+1=2k 2m 2k 2+1,y D =k (2k 2m 2k 2+1-m )=-km2k 2+1,(8分)所以k OD =-12k ,从而直线OD 的方程为y =-12k x ,所以点Q 的坐标为Q (2,-1k),(10分)所以以PQ 为直径的圆的方程为(x -2)2+[y -k (2-m )](y +1k )=0,即x 2-4x +2+m +y 2-[k (2-m )-1k]y =0.(14分)因为该式对∀k ≠0恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧y =0,x 2-4x +2+m +y 2=0,解得⎩⎨⎧x =2±2-m ,y =0.所以以PQ 为直径的圆经过定点(2±2-m ,0).(16分)19. 解:(1) 因为f (x )=(x -a )ln x (a ∈R ),所以当a =1时,f (x )=(x -1)ln x , 则f ′(x )=ln x +1-1x.(1分)当x =1时,f (1)=0,f ′(1)=0,所以曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线的方程为y =0.(3分) (2) 因为对于任意的正数x ,f (x )≥0恒成立,所以当ln x =0,即x =1时,f (x )=0,a ∈R ;(5分)当ln x >0,即x >1时,x ≥a 恒成立,所以a ≤1; (6分) 当ln x <0,即x <1时,x ≤a 恒成立,所以a ≥1.综上可知,对于任意的正数x ,f (x )≥0恒成立,a =1. (7分) (3) 因为函数f (x )存在两个极值点,所以f ′(x )=ln x -ax +1存在两个不相等的零点.设g (x )=ln x -a x +1,则g ′(x )=1x +a x 2=x +ax2.(8分)当a ≥0时,g ′(x )>0,所以g (x )单调递增,至多一个零点.(9分)当a <0时,x ∈(0,-a )时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, x ∈(-a ,+∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增,所以x =-a 时,g (x )min =g (-a )=ln(-a )+2. (11分)因为g (x )存在两个不相等的零点,所以ln(-a )+2<0,解得-e -2<a <0. 因为-e -2<a <0,所以-1a>e 2>-a .因为g (-1a )=ln(-1a )+a 2+1>0,所以g (x )在(-a ,+∞)上存在一个零点.(13分)因为-e -2<a <0,所以a 2<-a .又g (a 2)=ln a 2-1a +1=2ln(-a )+1-a +1,设t =-a ,则y =2ln t +1t +1(0<t <1e2).因为y ′=2t -1t 2<0,所以y =2ln t +1t +1(0<t <1e 2)单调递减.又函数图象是连续的, 所以y >2ln1e2+e 2+1=e 2-3>0, 221综上可知,-e-2<a<0.(16分)20. 解:(1) 当q=1时,由a n(q n a n-1)+2q n a n a n+1=a n+1(1-q n a n+1),得(a n+1+a n)2=a n+1+a n.又a n+1+a n≠0,所以a n+1+a n=1.(2分)又a1=2,所以T2 019=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 018+a2 019)=1 011.(4分)(2) ①由a n(q n a n-1)+2q n a n a n+1=a n+1(1-q n a n+1),得q n(a n+1+a n)2=a n+1+a n.又a n+1+a n≠0,所以a n+1+a n=1q n.(6分)因为T n=a1+qa2+q2a3+…+q n-1a n,所以qT n=qa1+q2a2+q3a3+…+q n a n,所以(1+q)T n=a1+q(a1+a2)+q2(a2+a3)+q3(a3+a4)+…+q n-1(a n-1+a n)+q n a n,b n=(1+q)T n-q n a n=a1+1+1+…+1+q n a n-q n a n=a1+n-1=n+1,所以b n=n+1.(10分)②由题意,得c n=2b n-1-1=2n-1,n≥2.因为c1,c k-c1,c t-c k成等比数列,所以(c k-c1)2=c1(c t-c k),即(2k-2)2=2t-2k,(12分)所以2t=(2k)2-3·2k+4,即2t-2=(2k-1)2-3·2k-2+1(*).由于c k-c1≠0,所以k≠1,即k≥2.当k=2时,2t=8,得t=3.(14分)当k≥3时,由(*)得(2k-1)2-3·2k-2+1为奇数,所以t-2=0,即t=2,代入(*)得22k-2-3·2k-2=0,即2k=3,此时k无正整数解.综上,k=2,t=3.(16分)2020届高三模拟考试试卷数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解:由题意得A -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-3212 10,(5分)所以A -1B =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-3212 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤2018=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-524 20.(10分) B. 解:曲线C :ρ=2cos θ的直角坐标方程为(x -1)2+y 2=1.(4分)设过点A (3, 0)的直线l 的直角坐标方程为x =my +3, 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点,所以|1-3|1+m 2=1,解得m =± 3.(8分)从而直线l 的斜率为±33.(10分) C. (1) 解:不等式的解集是(-∞,-3]∪[3,+∞).(4分)(2) 证明:要证f (ab )>|a |f (ba),只要证|ab -1|>|b -a |,只需证(ab -1)2>(b -a )2.而(ab -1)2-(b -a )2=a 2b 2-a 2-b 2+1=(a 2-1)(b 2-1)>0, 从而原不等式成立. (10分)22. 解:因为DA ⊥平面ABC ,∠CAB =90°,所以以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .因为AC =AD =1,AB =2,所以A (0,0,0),C (1,0,0),B (0,2,0),D (0,0,1).因为点E 为线段BD 的中点,所以E (0,1,12).(1) AE →=(0,1,12),BC →=(1,-2,0),所以cos 〈AE →,BC →〉=AE →·BC →|AE →||BC →|=-254×5=-45,所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为45.(5分)(2) 设平面ACE 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为AC →=(1,0,0),AE →=(0,1,12),所以n 1·AC →=0,n 1·AE →=0,即x =0且y +12z =0,取y =1,得x =0,z =-2,所以n 1=(0,1,-2)是平面ACE 的一个法向量.设平面BCE 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),因为BC →=(1,-2,0),BE →=(0,-1,12),所以n 2·BC →=0,n 2·BE →=0,即x -2y =0且-y +12z =0,取y =1,得x =2,z =2,所以n 2=(2,1,2)是平面BCE 的一个法向量.所以cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=-35×9=-55. (8分)所以二面角ACEB 的余弦值为-55. (10分) 23. 证明:(1) 当n =1时,a 1=13∈(0,12),结论显然成立;假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时,a k ∈(0,12),则当n =k +1时,a k +1=-2a 2k +2a k =-2(a k -12)2+12∈(0,12). 综上,a n ∈(0,12).(4分)(2) 由(1)知,a n ∈(0,12),所以b n =12-a n ∈(0,12).因为a n +1=-2a 2n +2a n ,所以12-a n +1=12-(-2a 2n +2a n )=2a 2n -2a n +12=2(a n -12)2,即b n +1=2b 2n . 于是log 2b n +1=2log 2b n +1,所以(log 2b n +1+1)=2(log 2b n +1),故{log 2b n +1}构成以2为公比的等比数列,其首项为log 2b 1+1=log 216+1=log 213.于是log 2b n +1=(log 213)·2n -1,从而log 2(2b n )=(log 213)·2n -1=log 2(13)2n -1,所以2b n =(13)2n -1,即b n =(13)2n -12,于是1b n=2·32n -1.(8分)因为当i =1,2时,2i -1=i , 当i ≥3时,2i -1=(1+1)i -1=C 0i -1+C 1i -1+…+C i -1i -1>C 0i -1+C 1i -1=i , 所以对∀i ∈N *,有2i -1≥i ,所以32i -1≥3i ,所以1b i=2·32i -1≥2·3i ,从而=1b 1+1b 2+…+1b n ≥2(31+32+…+3n )=2×3(1-3n )1-3=3n +1-3.(10分)。