5.1正弦交流电路的基本概念

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5.1 正弦交流电的基本概念
正弦交流电路是指电流和电压的极性作周期性地 改变；数值大小随时在变化；变化的规律可用正 弦函数来描述的电路。习惯上把它简称为交流电。 波形图如下图。
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正弦交流电的基本概念
其数学模型为
i = I m sin (ωt + ψ i ) u = U m sin (ωt + ψ u )
由上式可知，一个正弦量中包含有三个方面的特 征量，概括为正弦量的三要素。其一是反映极性 正弦量的三要素。 正弦量的三要素 交变快慢的量ω，称为电的角频率；其二是反映变 化规模大小的量Im、Um ，称为正弦量的幅值；第 三个是关系到正弦量初始值的ψ，称为初相位。与 三个要素相关联的共有九个物理量。
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5.1.2 瞬时值、幅值、有效值
正弦量的瞬时值用英文小写字母i、u、e表示。幅 值用大写字母加注脚Im、Um、Em 表示。有效值是 有效值是 从正弦量做功与直流量做功等效的观点定义的。 从正弦量做功与直流量做功等效的观点定义的 。 时变电流i 通过电阻在一个周期内的平均功率为
ϕ = (ω t + ψ 1 ) − (ω t + ψ 2 ) = ψ 1 −ψ 2
可见相位差在数值上 相位差在数值上 等于其初相位之差。 等于其初相位之差。
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正弦量的相位、初相位、 正弦量的相位、初相位、相位差
需注意的是角频率是以Rad（弧度）为单位。为了 概念直观起见，在公式中相位与相位差却可直接 用度表示。例如两电流
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5.1.1周期、频率、角频率 周期、频率、 周期 连续正弦量每经历2π弧度对应的时间称为周期，用T表示， 单位为S（秒）。那么每秒钟内必须完成1/T个周期数的振 荡，这就是所谓正弦量的频率，用f表示，单位为Hz（赫 兹）。周期和频率互为倒数
1 f = T
正弦交流电是随时间变化的，它是借用正弦函数描述其变 化规律的，则需把时间转变为角度。正弦交流电在周期内 变化了2π弧度，所以在每秒内变化的弧度数称为正弦量的 角频率，单位为Rad/S（弧度/秒）。 2π ω= = 2π f T
第五章 正弦交流电路的稳态分析
在19世纪末正弦交流电得到应用。到20世纪初，正弦交流 电理论得以确立并得到迅速发展。 因为正弦交流电便于输送，交流发电机和电动机在制造、 性能方面有许多优点，还因为利用整流器可以很方便地把 交流电转换为直流电，所以正弦交流电已成为电力生产、 输送、应用的主要形式。 再从分析计算的角度讲，正弦函数有着极其重要的性质， 它的导数和积分仍然是正弦函数。此特性应该使读者敏感 地认识到线性电路在正弦激励下产生的响应仍然是正弦量， 这将无疑使电路的分析计算大为简化。伟大的数学家傅立 叶于1822年发表的傅里叶级数理论，使一切非正弦周期函 数的分析基于正弦函数进行。这也是正弦交流电得以应用 的重大理由。
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5.1.3 正弦量的相位、初相位、相位差 正弦量的相位、初相位、
相位、初相位、相位差等几个量在理解交流电的 相位、初相位、相位差等几个量在理解交流电的 基本概念和运算中至关重要。 基本概念和运算中至关重要。在表达式中任一瞬 间的电角度( 时的相位 间的电角度(ωt+ψ)称为正弦量在时间t时的相位 或相位角； 0时的相位角叫做初相位。 时的相位角叫做初相位 或相位角；t = 0时的相位角叫做初相位。初相位 时正弦量的数值大小。 决定了t = 0时正弦量的数值大小。两个同频率正 弦量的相位之差简称相位差 如图所示， 相位差。 弦量的相位之差简称相位差。如图所示，两电压 相位差为
PAC =
又设流过同一电阻的另一直流电流I的功率为 PDC = RI 2 令PAC=PDC，则称此电流I为该周期性时变电流i的 有效值，则
1 I= T
1 T
∫
T
0
Ri 2 dt
∫
T
0
i 2 dt
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瞬时值、幅值、有效值
设流过正弦电流i = Imsin ωt,将它代入上式，可得 Im I= 2 Um U= 同理可得 2 可见， 可见 ， 有效值是正弦量做功与直流电做功相比较 的当量值。 的当量值。它等于幅值的 1 2 。工程上电流电压 都用有效值度量。如电压220V，它指的就是有效 都用有效值度量 。如电压 ， 其幅值应为311V。 值，其幅值应为 。
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正弦量的相位、初相位、 正弦量的相位、初相位、相位差
图示波形显示：u1超前于u2 (或u2滞后于u1)，其超 前的电角度φ = ψ1 − ψ2就是相位差。不难想到， 几个同频率的正弦量， 随着时间的延续他们 的相位差不变。当计 时起点不同时，正弦 量的初相位亦不同， 但它们之间的相位差与计 时起点的选择无关。
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核心提示
本章是重点和难点较为集中的一章。 本章是重点和难点较为集中的一章。后续的章节 及电类课程将以正弦交流电路理论为基础。 及电类课程将以正弦交流电路理论为基础。难度 的增加是因为电路的工作进入动态， 的增加是因为电路的工作进入动态，激励源和响 应都是时变量，电感和电容的影响也将表现出来， 应都是时变量，电感和电容的影响也将表现出来， 所以导致正弦交流电路的运算相当烦琐。 所以导致正弦交流电路的运算相当烦琐。这就迫 使我们不得不通过数学变换方法寻求适合工程计 算的简便方法。 算的简便方法。虽然本章讨论的内容进入了一个 新的范畴，但是其基本的思想方法并没有改变， 新的范畴，但是其基本的思想方法并没有改变， 必须首先讨论元器件在特殊条件下的端口特性， 即必须首先讨论元器件在特殊条件下的端口特性， 以及由这些元器件构成的整体电路中激励与响应 的关系。本章内容存在理论性和工程性的两重性， 的关系。本章内容存在理论性和工程性的两重性， 学习时要特别注意树立工程观点。 学习时要特别注意树立工程观点。
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第5章核心内容
5.1 正弦交流电路的基本概念 5.2 正弦量的相量表示法 5.3 不同性质元件上的正弦稳态响应 5.4 RLC串并联时的端口特性 5.5 复阻抗运算 5.6 单口网路中的功率 5.7 复功率的概念 5.8 复杂交流网路的代数方程求解 6.9 相量图在正弦稳态分析中的应用 5.10 位相图与相量图的关系 5.11 正弦交流电路中的共轭匹配
i1 = I1m sin ω t + 60 o
(
)
i2 = I 2 m sin ω t + 25 o
(
)
则它们的相位差为
ϕ = ψ 1 − ψ 2 = 60 o − 25 o = 35 o
在正弦电源的激励下，电路的不同路段会有各自 的电流和电压。尽管它们的频率相同，但一般情 况下不同相位。相位差这一概念就是用来描述它 们之间的超前、滞后等关系的。从波动性相比较， 在时间上赶前的正弦量中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
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正弦量的相位、初相位、 正弦量的相位、初相位、相位差
在下图（a）中，两电压同步变化则 ψ1=ψ2，此称 两电压同步变化则 为二正弦量同相位。 为二正弦量同相位。图（b）中，ψ1–ψ2=180º，称 称 为二正弦量反相位。 还需注意： 为二正弦量反相位 。 还需注意 ： 不同频率的正弦 量是没有相位差之概念的。 量是没有相位差之概念的。