机器人技术及应用-大作业4

目录
1 问题的描述 (1)
2 问题解答 (2)
2.0前言 (2)
2.1分析自由度 (2)
2.2-2.3位置反解与正解 (3)
2.4奇异位形 (4)
2.5工作空间 (6)
2.6雅克比 (7)
2.7力雅克比 (7)
2.8柔度矩阵 (8)
2.9机械图（3D） (8)
2.10控制系统框图 (8)
1 问题的描述
如图1所示为并联机构简图，根据描述，求解一下各个问题。

图1 并联机构简图
1.1自由度分析
1.2位置反解
1.3位置正解
1.4奇异位形
1.5工作空间
1.6雅可比
1.7力雅可比
1.8柔度矩阵
1.9机械图（3D）
1.10控制系统框图（不写出具体参数，用字母代替就可以）单关节控制
2 问题解答
2.0前言
并联机器人的结构中包含了一个或几个闭环，它是由一个或几个闭环组成的关节点坐标相互并联的机器人。

与传统的串联机器人相比，并联机器人刚度高、各向同性好、精度高，而且运动学反解求解简单，因此得到了广泛应用。

现对此机构进行运动学分析。

已有的二自由度并联机构多数为平面机构，这些机构都是使用移动副与转动副的组合，如将驱动装置固定在定平台，共有6种可能的机构构型，很多学者对其进行了研究与设计，其输出是机构上一点在一个平面上的移动。

在工程应用中，往往需要在平面内定位一个刚体，这就要求机构的输出是一个刚体的二维平动，高峰教授提出了平面二自由度并联机器人机构。

2.1分析自由度
分析此机构的自由度，我们将并联机构图简化成图2所示简图进行分析。

图2 并联机构简图
根据著名的G -K 公式，得如下自由度的计算公式：
()∑=+--=j
i i f j n F 11λ （1） 其中：λ——位形空间的维数；
n——构件个数，含机架；
j——运动副的个数；
f i ——第i 个运动副的自由度数。

现在空间为平面，所以λ=3。

故：
F =3(5−5−1)+5=2
所以上述的并联机构的自由度为2，若该机构需要确定的运动，就需要两个原动构件。

2.2-2.3位置反解与正解
图3所示为二自由度并联平面机构简图，其中1为固定平台，2为转动副，3为连杆，4为运动平台，5为滑块。

运动平台和固定平台通过两个支链连接在一起，两个支链由构件3、构件4以及构件5组成的平行四边形机构，每个连杆通过转动副分别与运动平台和滑块相连接。

建立坐标系，参考坐标系Oxy 与固定平台固接一起，原点O 位于固定上平台的几何中心，坐标方向如图3所示。

图 3 二自由度并联平面机构简图
图3中的点i A （4,1Λ=i ）为每对转动副的中点，为了分析问题方便，用假想的虚线将对应的点相连。

设两个滑块的位移1X 和2X 为机构的输入变量，运动平台的原点O '在x 轴和y 轴方向上的位移x 和y 为输出变量。

连杆3长度为L ，运动平台上两铰链3A 和4A 之间距离为2r 。

点i A （4,1Λ=i ）在固定坐标系下的坐标为：)0,(11X A 、()0,22X A 、()y r x A ,3-、()y r x A ,4+。

机构的约束方程为：
L A A A A =-=-4231 （2）
即：
()()⎪⎭
⎪⎬⎫=+-+=+--22222221L y X r x L y X r x （3） 由式（3）得位置反解为：
()()⎪⎭
⎪⎬⎫-±+=-±-=2
22221y L r x X y L r x X （4）
由式（4）得位置正解为：
()()⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
⎥⎦⎤⎢⎣⎡---±=+=2122212121r X X L y X X x
（5） 2.4奇异位形
式（3）对时间求导，得到速度方程：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21
12x x A y x A &&&&
（6） 其中
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---+=21100x r x x r x A
（7） ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---+=y x r x y x r x A 212
（8） 如果矩阵1A 、2A 不奇异，则机构的输入速度为
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-y x A A x x &&&&21
121
（9） 输出的速度为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-21112x x A A y x &&&&
（10） 若()0det 1≠A ,由式（6）可以得到机构的速度雅克比矩阵
⎥⎥
⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=222
211y L y y L y J
（
11）
机构的奇异位形可以根据 J 的行列式是否等于零来判断，即当()0det 1=A ，()0det 2=A 或()1det A 和()2det A 同时为零时，机构发生奇异。

因此可以将机构的奇异位形分为两类，下面对其进行具体分析。

（1）第一类奇异：矩阵1A 奇异而矩阵2A 非奇异，即()0det 1=A 且()0det 2≠A 。

由矩阵1A 的表达式得到出现这种奇异位形的条件
()()021=-+--x r x x r x （12）
所以，当01=--x r x 或02=-+x r x 时机构处于奇异状态。

由机构的对称性可知，01=--x r x 与02=-+x r x 是等价的，因此，这种奇异位形出现在当滑块之间的距离12x x -等于动平台的等效长度2r 的情况下。

此时机构的动平台、两条复合支链及基座构成一个平行四边形结构，机构将会失去刚度，变得不可控。

机构在正常工作的状态下，其运动平台、两条复合支链以及基座应成等腰梯形结构。

换言之，当机构保持这种等腰梯形结构状态时，不会出现第一类奇异。

第一类奇异仅仅发生在动平台达到最低位置，同时机构的两条复合支链处于竖直状态。

为了避免这类奇异，可以从机构尺寸设计或运动控制两方面，通过控制两滑块之间的运动距离，将机构约束在成等腰梯形的状态下，以保证机构正常工作，如图4所示。

图4 第一类奇异位置图
（2）第二类奇异：矩阵2A 奇异而矩阵1A 非奇异，即()0det 2=A 且()0det 1≠A 。

由矩阵2A 的表达式可以得到出现这种奇异位形的条件
()0212=--r x x y （13）
故当0=y 或0212=--r x x 时机构处于奇异状态。

不难看出，条件
0212=--r x x 属于第一类奇异位形发生的条件。

由条件0=y 可知，当连杆()2,1='i P P i i 处于水平状态时，机构出现奇异，如图5所示。

在这种奇异状态下，机构失去一个自由度，动平台只能沿平行于导轨的方向移动。

在此，把这种奇异位形称为第二类奇异。

为了避免这种奇异位形的发生，机构运动时要尽量保证具有较大拉力角，以避免动平台接近最低位置。

图5 第二类奇异位置图
2.5工作空间
对于该机构，由式（3）可见，当)2,1(=i X i 给定时，其工作空间是两个半径为L 、圆心分别为)0,(1r X +和)0,(2r X -的圆的交集。

如指定i X 的范围，则第一分支的工作空间是一半半径为L ，圆心在x 轴上线段[]max 1min 12,X X X ∈上变化的圆滚动所形成的的包络面；第二分支的工作空间是一半径为L ，圆心在x 轴上线段[]max 2min 22,X X X ∈上变化的圆滚动所形成的包络面，机构的工作空间即为这两个包络面的交集。

如果1X 、2X 已知，圆心分别为)0,(1r X +，)0,(2r X -。

将两个滑块的运动极限位置min max 1L X -=、max min 1L X -=、max max 2L X =和min min 2L X =分别代入式 可得到四个极限圆m ax 1C 、min 1C 、m ax 2C 、min 2C ，这四个极限圆的圆心分别记为()0,min max 1L r C -、()0,max min 1L r C -、()0,max max 2r L C -和()0,min min 2r L C -，如图6所示。

四个极限圆在x 轴的上半平面内确定一个封闭面域，这个面域便是二自由度平移并联机器人的工作空间。

图6 工作空间图
2.6雅克比
在位移分析的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系——雅可比矩阵（简称雅可比）。

对式（3）对时间取导数，整理后可得：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x t t y x J X X &&&&&&1121 （14） 其中22y L y t --=，J 为该机构的雅克比矩阵，其为：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=222211y L y y L y J （15）
2.7力雅克比
机器人在与外界环境相互作用时，在接触到的地方产生力f 和力矩n ，统称为末端广义力矢量。

记为
F =[f n
] （16） 由虚功原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等。

τT δq =F T D （17）
即
τ=J T (q)F （18）
式中，J T (q )称为操作臂的力雅可比矩阵。

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡
---=222211)(y L y
y L y q J T （19）
2.8柔度矩阵
由微分运动方程，可以求得
D =J (q )dq =J (q )k −1J T (q)F （20）
其中柔性矩阵为
C (q )=J (q )k −1J T (q) （21）
即：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=22221
1)(y L k y k y L k y k q C （22）
2.9机械图（3D ）
图7 机械图
2.10控制系统框图
该两自由度并联机器人采用直线电机作为动力源，两根电机间距一定距离并且都安装有导杆，电机与导轨采用凸台轴向定位后与摆杆相连如图所示。

与左侧电机相连的两根导杆在正视图下重合，无论是左侧电机还是右侧电机，与其相连的摆杆在运动过程中始终围成底边在同一水平线上的平行四边形，
这种结构确保
了摆杆末梢铰链处的立方体金属块始终保持水平，使得与金属块相连的电磁铁运动到任意位置均可方便的吸放小球。

并联机器人机械系统的正常运行离不开精确可靠的控制系统，本文所设计的两自由度机器人用于抓放物体的末端执行器的运动状态由两直线电机共同决定，因此直线电机的控制是整个系统的控制关键。

通常伺服控制系统由伺服电机、驱动器、控制器和检测装置组成，其中MCU需要完成运动轨迹计算及与上位机的通信，结合其控制任务及控制精度要求可选用STM32F103单片机。

然而要发出一定带宽且能实时更新的脉冲去驱动直线电机仅采用单片机很难实现，因此本文所述的运动控制系统采用了MCU+CPLD双控制架构作为运动控制器，系统整体框图如图2所示。

运动控制器要求能够根据运动控制指令，在线规划电机运动轨迹，计算出电机运行过程中每一时刻的具体位置、速度等参数；将电机的位置给定包括位移增量以及移动方向以脉冲形式发给伺服驱动器，去驱动并联机器人，所述的并联机器人由伺服电机和机械传动机构组成。

系统运行时，控制器接受检测装置检测到的机器人实时运行状态同时与上位机进行通信，使整个系统能够实时接收。

上位机的管理控制，并能在突发情况下进行紧急处理。

图8 控制系统框图。