中职数学9.4.2圆的一般方程
《6.4.2 圆的一般方程》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版2021基础模块下
《圆的一般方程》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握圆的一般方程的表达式及其含义。
2. 能够运用圆的一般方程解决简单的数学问题。
3. 培养数学建模的思想和方法。
二、教学重难点1. 教学重点：圆的一般方程的推导和应用。
2. 教学难点：将圆的几何性质转化为一般方程表示。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、粉笔、圆规、三角板等。
2. 准备教学材料：教材、习题集等。
3. 设计教学流程：引入课题、讲解知识、组织练习等。
4. 制定考核方法：检查学生运用圆的一般方程解决数学问题的能力。
四、教学过程：（一）导入1. 回顾初中所学圆的方程，提问学生圆的标准方程，强调圆的一般方程的概念。
2. 介绍圆的参数方程，通过图形直观引入圆的普通方程，引出圆的方程的概念。
（二）新课1. 圆的一般方程的推导（1）通过观察圆的标准方程，分析圆的一般形式，引导学生得出圆的方程的一般式。
（2）介绍平方差公式，并利用此公式化简圆的方程的一般式。
（3）通过举例子，让学生自己验证化简后的结果。
2. 圆的方程的解读（1）重点讲解坐标法，说明点与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系。
（2）举例说明圆的方程在生活中的应用，以及圆的方程在实际中的应用。
（三）实践探究设计几个问题，让学生利用课余时间进行探究，如：（1）椭圆的标准方程是什么？与圆的方程有哪些联系和区别？（2）对于不同的圆，如何写出它们的方程？能否通过一个例子来解释圆的方程在实际中的应用？（四）课堂小结通过回顾本节课的教学内容，引导学生总结本节课的重点和难点，让学生对圆的方程有一个整体的认识。
同时，也鼓励学生提出自己的问题和困惑，教师给予解答和指导。
（五）作业布置给学生布置一些与圆的方程相关的作业，如：写几个不同形式的圆的方程，分析它们的特点和应用场景；结合实际例子，说明圆的方程在实际中的应用等。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 掌握圆的一般方程的表达式及其意义。
2. 能够运用圆的一般方程解决实际问题。
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
9.4.2圆的一般方程
课堂基础巩固
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2化为一般方程是( A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＋3＝0 C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 D．x2＋y2＋2x－4y＋3＝0
[答案] D
)
2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( A. 2π B．2π
)
C．2 2π D．4π
[答案] C
a 2 3 (3)对方程x ＋y ＋ax－ 3 ay＝0配方，得(x＋ ) ＋(y－ 2 2
2 2
a)2＝a2. 当a＝0时，该方程表示的图形为一个点(0,0)． a 3 当a≠0时，该方程表示的图形为圆，圆心为(－2， 2 a)， 半径长为|a|.
[点评]
对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，
2 2
5 5 示以(4，0)为圆心，4为半径的圆．
规律总结：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的步 骤是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与 y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－ 4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的 常数即可． (2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特 征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次 方程，代数特征明显．
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0
解法2：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线 方程为x＋y＝0
x＝1 由 x＋y＝0
得圆心坐标为M(1，－1)，
半径r＝|MA|＝ 5， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
总结评述：1.第(1)题中，容易发现，利用圆的性质的解 法3比用待定系数法的解法1和解法2计算量小，充分利用圆的 性质可简化解题过程． 2．用待定系数法求圆的方程时，①如果由已知条件容易 求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问 题，一般采用圆的标准方程，求出a、b、r即可．②如果给出 圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接关系，一 般采用一般方程，求出D、E、F即可．
圆的标准方程1中职数学
9.4.2圆的一般方程.ppt
1 2 2 D + E - 4F （1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
练习一、判断下列方程能否表示圆的方程, 若能写出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 是
圆心（1，-2）半径3
(2) 2x2+2y2-12x+4y=0
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
探 究
是不是任何一个形如 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示的曲线是圆呢？
将
2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y
左边配方，得
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x+ ) + (y+ ) = 4 2 2
2.2 圆的一般方程
学习目标：
• 1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点 • 2.能将圆的一般方程化成圆的标准方程， 进而求出圆心和半径 • 3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方 程
复习
2+(y-b)2=r2 ( x a ) 圆的标准方程:
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
方程Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0
2 2
A = C 0, B = 0, D + E - 4 AF 0.
①x2与y2系数相同并且不等于0； ②没有xy这样的二次项
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
中职数学圆的一般方程说课稿
圆的一般方程说课稿【一】教材分析1．教材所处的地位和作用《圆的一般方程》安排在职业中学数学基础模块下册第八章第三节二小节第一课时。
圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。
圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。
2．学情分析圆的一般方程是学生在掌握了求直线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的, 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅,且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。
另外我们职业中学的学生运算能力普遍较弱，学生在探究问题的能力，合作交流的意识以及数学学习的自信心都有待加强。
根据上述教材所处的地位和作用分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3．教学目标知识与技能：(1）掌握圆的一般方程及一般方程的特点（2）能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径（3) 能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：（1）在师生合作以及小组合作中进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;(2）探索圆的一般方程的过程中加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用；情感态度与价值观：（1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；（2）培养学生勇于思考，探究问题的精神。
（3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣,增强数学学习的自信心。
根据以上对教材、学情及教学目标的分析,我确定如下的教学重点和难点：4．教学重点与难点重点：（1）圆的一般方程。
(2) 待定系数法求圆的方程。
难点：（1）圆的一般方程的应用（2）二元二次方程与圆的一般方程的关系。
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设问题情境，利用多媒体教学的直观节省时间提高教学效率。
完整版中职数学直线和圆的方程课件
归纳小结
(1)圆的一般方程的表达式为
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E2 4F 0
(2)与圆的标准方程的联系
配方
一般方程 展开 标准方程(圆心,半径)
THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS
x2
y2
Dx
Ey
F
0表示以点(
D 2
,
E) 2
为圆心，1 D2 E2 4F为半径的圆。 2
以下方程是圆的方程吗？ x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E2 4F 0
（1）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程是 ．
（2）圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心坐标是
，
半径是
．
把圆的标准方程展开：
(xa)2 ( y b)2 r2
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
令 2a D,2b E,a2 b2 r2 F得
x2 y2 Dx ED 2E F 20 0
解得：D＝－8，E＝6，F＝0． 于是所求圆的方程为
x2＋y2－8 x＋6 y＝0．
将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25．
因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
练习1下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0 _原__点_(_0,_0_) _ (2)x2 y2 2x 4y 6 0____
圆的方程一般式
圆的方程一般式圆的方程一般式：x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D+E-4F>0)；或可以表示为(X+D/2)²+(Y+E/2)²=(D+E-4F)²/4。
定义：在平面上到一定点(中心)有同一距离(半径)之点的轨迹叫做圆周，简称圆。
标准方程：圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程；结论如下：（x-a）²+（y-b）²=r²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R²推导过程：（x-a）²+（y-b）²=r²由圆的标准方程的左边展开，整理得:x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0,在这个方程中，如果令-2a=D,-2b=E,a²+b²-r²=F.则这个方程可以表示成x²+y²+Dx+Ey+F=0。
推论:可以证明，x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0形如一般表示一个圆。
为此，将一般方程配方，得：(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D+E-4F)²/4为此与标准方程比较，可断定：(1)当D²+E²-4F＞0时，一般方程表示一个以(-D/2,-E/2)为圆心，1/2√D²+E²-4F为半径的圆。
(2)当D²+E²-4F=0时，一般方程仅表示一个点(-D/2,-E/2)，叫做点圆(半径为零的圆)。
中职数学圆的一般方程教学设计
圆的一般方程教学设计
【教学目标】
1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程．
2．能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系数法求圆的方程．
3．进一步培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力．
【教学重点】
圆的一般方程．
【教学难点】
二元二次方程与圆的一般方程的关系．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．
【教学过程】。
圆方程(职高数学)
小结:
• 求圆的方程时,应根据所给条件选择使用标准 方程或是一般方程 • 如果问题中给出了圆心与坐标之间的关系或圆 心的特殊位置关系时,一般用标准方程; • 如果给出了圆上的三个点的坐标用一般方程.
作业:
• 试卷99~100
2 2
练习2
2 2
m=-30 x +y +2y+6x-30=0 2 2 (x+3) +(y+1) =40
2
2
1、圆x +y +2y+6x+m=0经过点（3,1），则 圆的半径等于（ D） A、4√2 B、32 C、40 D、2√10 2、圆x +y -6x+12y-4=0的圆心坐标是(3,-6) _____ 半径是 _________ 7
2 2 2 2
D E , •圆心坐标（ 2 2
），半径 r=
D 2 E 2 4F 2
3、圆的一般方程
• x +y +Dx+Ey+F=0 2 2 • (1)D +E -4F>0 表示一个圆
• (2) D +E -4F=0 • (3) D +E -4F<0
2 2 2 2
2
2
表示一个点 不表示图形
解： 设圆心坐标为(a,b),则
2a-7b+8=0
(a 5) 2 (b 1) 2 (a 0) 2 (b 4) 2
B(0,4) 2x-7y+8=0
解得a=3,b=2 又半径R=
(3 0) 2 (2 4) 2 13
0
A(5,-1)
所以，所求的圆的方程为 2 2 (x-3) +(x-2) =13
圆的一般方程 课件
由题意得25DD＋ ＋23EE＋ ＋FF＋ ＋83＝ 4＝0， 0， 3D－E＋F＋10＝0，
解得DE＝＝－－28，， F＝12，
即三角形 ABC 的外接圆方程为 x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
求动点的轨迹方程
探究 1 已知动点 M 到点(8,0)的距离等于点 M 到点(2,0)的距离的 2 倍，你 能求出点 M 的轨迹方程吗？
圆的一般方程
圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当__D_2_＋__E_2_－__4_F_＞__0__时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一 般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为 __－__D2_，__－__E2__ _，半径长为_12___D_2_＋__E_2_－__4_F_.
求圆的一般方程
圆 C 过点 A(1,2)，B(3,4)，且在 x 轴上截得的弦长为 6，求圆 C 的方 程.
【精彩点拨】 由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般 方程，用待定系数法求解．
【自主解答】 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圆过 A(1,2)，B(3,4)，∴D＋2E＋F＝－5，① 3D＋4E＋F＝－25.② 令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.设圆 C 与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1，x2，则 x1＋x2＝－D，x1x2＝F. ∵|x1－x2|＝6，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36， 即 D2－4F＝36.③ 由 ①②③得 D＝12，E＝－22，F＝27，或 D＝－8，E＝－2，F＝7. 故所求圆的方程为 x2＋y2＋12x－22y＋27＝0，或 x2＋y2－8x－2y＋7＝0.
2.4.2圆的一般方程课件(人教版)
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
2.4.2圆的一般方程课件(人教版)
2
根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组;
3
解出a，b，r或D，E，F得到标准方程或一般方程.
例题精讲 ——例2
已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆 + 1
求线段AB的中点M的轨迹方程.
点M的轨迹方程是指
点M的坐标( ，y)满足的关
系式．轨迹是指点在运动
变化过程中形成的图形、
解析： (1)表示点(0,0).
(2)表示以( 1, −2)为圆心， 11为半径的圆.
(3) 2 + 2 + 2 − 2 = 0 ⇒ + 2 + 2 = 2 + 2 ，当a=b=0
时,表示点(0，0)；当a，b 不同时为0时，表示以(− a，0)为圆心，
2 + 2 为半径的圆.
探究 方程 2 + 2 + + + = 0（2）中的D，E，F满足什么条
件时这个方程表示圆？
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =
0表示一个圆．
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
标和半径.
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它
们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
9.4.2圆的一般方程教学课件
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2． 指出了圆的圆心坐标与半径大小,几何特征明显. 圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 圆的方程是一种特殊的二元二次方程,代数特 征明显.
例：求过点O(0，0)，M1(1，1)，M２(4，2)的 圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标． 解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0． ① 因为点O，M1，M２都在圆上，所以三点的 坐标都满足方程①．代入得: D＝-8 F＝0 解得： E＝6 D+E+F+2＝0 F＝ 0 4D+2E+F+20＝0 即圆的方程为x2+y2-8x+6y=0． 所以圆心坐标为(4，-3)，半径长为5．
2+E2-4F D E D 2 2 > (x＋—) ＋(y＋—) ＝———— 2 2 4 ① D2+E2-4F＞0时，方程(1)表示圆心在 2+E2-4F D Ｄ Ｅ (－—,－—),半径为 ———— 的圆. ２ ２ 2 ② D2+E2-4F＝0时， 方程(1)表示点 (－Ｄ —,－Ｅ —). ２ ２ ③ D2+E2-4F＜0时， 方程(1)不表示任何图形.
方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?
配方可得: (x-1)2+(y+2)2=4 方程表示一个以(1，-2)为圆心，半径长为2的圆． 方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形? 配方可得: (x-1)2+(y-2)2=-1 方程不表示任何图形．
高教版(2021)中职数学基础模块下册《圆的标准方程》课件
在一个平面内，一动点以一定点为中 心，以一定长度为距离旋转一周所形 成的封闭曲线叫做圆。
在平面直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？ 定点、倾斜角
动手操作：用一根固定长度的细绳画圆 思考：确定圆的基本要素是什么？
圆心、半径
1、圆的概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
定点
圆心
定长
半径
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了。
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆 y
的定义，点M到圆心C的 距离等于r， 所以圆C就是集合
r C
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，
O
M x
点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
解 （1）因为圆心C(1,2)，半径为2，所以圆的标准方程为 (x-1)2+(y-2)2=4；
（2）因为圆心为坐标原点，半径为5，所以圆的标准方程为 x2+y2=25．
练习
写出下列圆的标准方程; （1）圆心C(0,0)，半径r=1； （2）圆心C(0,1)，半径r=3； （3）圆心C(3,0)，半径r=2； （4）圆心C(2,-1)，且圆过点(5,5)．
把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 ( y b)2 r2 O
圆的标准方程
C x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
例1 写出下列各圆的标准方程． （1）圆心C(1,2)，半径为2； （2）圆心为坐标原点，半径为5．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）x2 ＋ y2－4 x－6 y＋12＝0.
例1 求过点 O(0，0)，M(1，1)，N(4，2) 的圆的方程， 并求出这个圆的半径和圆心坐标． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中 D，E，F 待定． 由题意得
F 0 D E F 2 0 4 D 2 E F 20 0
A 3
x
求与两定点A(－1，2)，B(3，2)的距离比为 2 的点的轨迹方程．
1．圆的一般方程： x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 （其中 D2＋E2－4 F＞0） 2．用待定系数法求圆的一般方程．
P 103 练习 第 1，2 题；
P 103 练习 第 4题（选做）．
表示点 (－ ,－ ，－ )． 不表示任何图形． 表示以 (－ )为圆心，以
DD 22
E E 2 2
1 D 2 E 2 4 F 为半径 2
的圆．
圆的一般方程
当 D2＋E2－4 F＞0时，方程 x2 ＋y2 ＋D x＋E y＋F＝0 叫做圆的一般方程． 练习一 求出下列圆的圆心及半径： （1）x2 ＋ y2－6 x＝0；
解得：D＝－8，E＝6，F＝0． 于是所求圆的方程为 x2＋y2－8 x＋6 y＝0． 将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25． 因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
求经过三点(0，0)，(3，2)，(－4，0)的圆的方程．
例2
已知一曲线是与两个定点 O(0，0)，A(3，0)
1 距离比为 的点轨迹． 2
求这个曲线的方程，并画出曲线． 解：在给定的坐标系中，设 M(x，y)是曲线上的任意
一点，点 M 在曲线上的充要条件是
| OM | 1 ， | AM | 2
由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为
x2 y2 ( x 3) 2 y 2 1 ． 2
两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0 ． 将方程配方，得 (x＋1)2＋y2＝4 ． 所以所求曲线是以 C（－1，0） 为圆心，半径为 2 的圆， 如图所示． M C y
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x＋ ) +(y＋ ) ＝ ． 4 2 2
2＋ 2－4F＝0时，方程 2+ 2－ 2 2-4 当 E 当 DD ＋ 4F时，方程 <0时，方程 当 D EE F>0 2＋ x y2 ＋ Dx Ey F=0 x y Dx ＋ Ey ＋ F x22＋ ＋ y22＋ ＋ Dx ＋＋ Ey ＋＋ F=0 ＝ 0
（1）请举出几个形式为 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 的方程． （2）以下方程是圆的方程吗？ x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0；
x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．
（1）满足怎样的条件，方程 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 表示圆？ 将方程配方，得：
圆
直线Biblioteka 直线 圆9.4.2 圆的一般方程
1．圆心为 C(a，b)，半径为 r (r＞0) 的圆的标准方程
是什么？ (x－a)2＋(y－b)2＝r2． 2．回答下列问题 （1）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程是 （2）圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心坐标是 半径是 ． ． ，
（1）请将圆心在(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程展开． （2）展开后得到的方程有几个末知数？最高次是几 次？这个方程是几元几次方程？ （3）如果令－2a＝D，－2 b＝E，a2＋b2－r2＝F， 这个方程是什么形式？ （4）任意一个圆的方程都可表示为 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 的形式吗？