第29-30课时 三角函数的最值(1)
三角函数值(附三角函数值表) Microsoft Word 文档
（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0.866025404 二分之根号3cos45=0.707106781 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0.577350269 三分之根号3tan45=1tan60=1.732050808 根号3tan90=无cot0=无cot30=1.732050808 根号3cot45=1cot60=0.577350269 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习29---三角函数的值域和最值
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题29 三角函数的值域和最值一、单项选择题1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－122．如果|x|≤π4，那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是( ) A.2－12 B ．－2＋12 C ．－1 D.1－223．(2021·湖北武汉联考)已知函数f(x)＝sin(π2x ＋π6)－2cos 2π4x －1，则f(x)在[0，2]上的最大值与最小值之和为( ) A ．－72 B ．－52 C ．0 D.124．(2020·贵阳市高三摸底)将函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上的最小值为( )A ．0B ．－12C ．－32 D ．－ 35．已知y ＝sinx ＋1sinx ，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值6．将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在[0，π2]上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．(2017·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.158．当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos2xcosxsinx －sin2x 的最小值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 二、多项选择题 9．(2021·山东青岛二模)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y ＝A sinωt (A>0，ω>0)，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝3|cosx|＋|sinx|，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是周期函数C ．f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增D ．f(x)的最大值为210．设函数f(x)＝sinωx ＋3cosωx ，x ∈R ，其中ω>0，在曲线y ＝f(x)与直线y ＝3的所有交点中，相邻交点距离的最小值为π6，则( )A ．f(x)的最大值为1B ．ω＝2 C ．f(x)的图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋π12，k ∈Z D ．f(x)的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12三、填空题与解答题11．(2017·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin 2x ＋3cosx －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．12．(2019·课标全国Ⅰ，理改编)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的下述四个结论中正确的是________(填正确结论的序号)．①f(x)是偶函数； ②f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.13．(2020·广州市调研)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，α.当α＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则α的取值范围是________．14．(2020·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1)m ＝________．(2)对任意a ∈R ，f(x)在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________． 15．已知函数f(x)＝sin3x ＋3cos3x ，x ∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．16．函数y ＝1sin2x ＋2cos2x 的最小值是________．17．(2020·上海华师大二附中期中)已知函数y ＝sinθcosθ2＋sinθ＋cosθ. (1)设变量t ＝sinθ＋cosθ，试用t 表示y ＝f(t)，并写出t 的取值范围； (2)求函数y ＝f(t)的值域．参考答案1．答案 B解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.2．答案 D解析 f(x)＝－sin 2x ＋sinx ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx －122＋54，当sinx ＝－22时，有最小值，f(x)min ＝24－22＝1－22. 3．答案 A解析 f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6－2cos 2π4x －1 ＝32sin π2x ＋12cos π2x －cos π2x －2＝32sin π2x －12cos π2x －2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6－2.当x ∈[0，2]时，π2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－1.即f(x)在[0，2]上的最大值为－1，最小值为－52，二者之和为－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－72.4．答案 D解析 将函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，得函数y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍，纵坐标不变，得函数g(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π12的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3时，4x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π4，因此当4x －π12＝－π2，即x ＝－5π48时，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上取得最小值－ 3.5．答案 B解析 令t ＝sinx ，t ∈(0，1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0，1]是一个减函数，则y 只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sinx ，得出sinx ＝1y －1，由sinx ∈(0，1]也可求出，故选B.6．答案 A解析 把函数f(x)＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位长度得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，∴π3＋φ＝k π.∵|φ|<π2，∴φ＝－π3.∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∴x ＝0时，f(x)min ＝－32.7．答案 A解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin(x ＋π3)，所以f(x)＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f(x)的最大值为65，故选A. 8．答案 D 解析 f(x)＝1－tan2x ＋tanx＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫tanx －122＋14， ∵0＜x ＜π4，∴0＜tanx ＜1.当tanx ＝12时，f(x)的最小值为4，故选D. 9．答案 ABD解析 本题考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法．函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝3|cos(－x)|＋|sin(－x)|＝3|cosx|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A 正确；因为f(x ＋π)＝3|cos(x ＋π)|＋|sin(x ＋π)|＝3|－cosx|＋|－sinx|＝3|cosx|＋|sinx|＝f(x)，所以π是f(x)的周期，故B 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f(x)可化为f(x)＝3cosx ＋sinx ＝2(32cosx ＋12sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，此时f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递减，故C 错误；由于π是函数f(x)的周期，故不妨取x ∈[0，π]研究其最值．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f(x)可化为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f(x)取得最大值2.当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f(x)＝－3cosx ＋sinx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sinx －32cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，得x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，2π3，所以当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f(x)取得最大值2，故当x ∈[0，π]时，f(x)取得最大值2，故D 正确．故选ABD. 10．答案 BCD解析 由题意可得f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，易知f(x)的最大值为2，A 错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝3，可得sin (ωx ＋π3)＝32，得到ωx ＋π3＝2kπ＋π3或ωx ＋π3＝2k π＋2π3，k ∈Z ，令k ＝0，可得x 1＝0，x 2＝π3ω，由|x 1－x 2|＝π6可得π3ω＝π6，解得ω＝2，所以B 正确；f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝kπ2＋π12，k ∈Z ，C 正确；令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，令k ＝0，得到－5π12≤x ≤π12，D 正确．故选BCD. 11．答案 1解析 本题主要考查三角函数的最值．由题意可得f(x)＝－cos 2x ＋3cosx ＋14＝－(cosx －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cosx ∈[0，1]．∴当cosx ＝32时，f(x)max ＝1.12．答案 ①④解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当π2<x<π时，f(x)＝sinx ＋sinx ＝2sinx ，∴f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x|与y ＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确． 13．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析 若－π6≤x ≤π3，则－π3≤2x ≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，即f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.若－π6≤x ≤α，则－π3≤2x ≤2α，－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.∵当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，∴要使f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，∴π6≤α≤π2，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. 14．答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1， 因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，f(x)max ＝2＋m ＋1＝3，所以m ＝0.(2)由(1)得f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，T ＝2π2＝π，在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.15．答案 (1)T ＝2π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ3－5π18，2kπ3＋π18(k ∈Z )(2)f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最小值－3，此时，x ＝－2π9或π3 f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最大值2，此时x ＝π18解析 因为f(x)＝sin3x ＋3cos3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π3.由2k π－π2≤3x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2kπ3－5π18≤x ≤2kπ3＋π18(k ∈Z )． 故函数f(x)的单调递增区间为[2kπ3－5π18，2kπ3＋π18](k ∈Z )． (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3，得3x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3，显然，当3x ＋π3＝－π3或3x ＋π3＝4π3，即x ＝－2π9或x ＝π3时，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最小值－3；当3x ＋π3＝π2，即x ＝π18时，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最大值2.16．答案 3＋2 2解析 y ＝1sin2x ＋2cos2x ＝sin2x ＋cos2x sin2x ＋2sin2x ＋2cos2x cos2x ＝3＋cos2x sin2x ＋2sin2xcos2x ≥3＋22， ∴y min ＝3＋2 2.17．答案 (1)y ＝t2－14＋2t [－2，2] (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，2＋24 解析 (1)∵t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴t ∈[－2，2]，t 2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ，∴sin θcos θ＝t2－12，∴y ＝f(t)＝sinθcosθ2＋sinθ＋cosθ＝t2－12（2＋t ）＝t2－14＋2t ，t ∈[－2，2]．(2)f(t)＝t2－14＋2t ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋2）2－4（t ＋2）＋3t ＋2 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋2）＋3t ＋2－4. ∵t ∈[－2，2]，∴t ＋2∈[2－2，2＋2]，则t ＋2＞0. ∵(t ＋2)＋3t ＋2≥2（t ＋2）·3t ＋2＝23，当且仅当t ＋2＝3t ＋2，即t ＋2＝3时取等号，∴函数f(t)的最小值为12×(23－4)＝3－2.当t ＝－2时，f(－2)＝2＋24，当t ＝2时，f(2)＝2－24，∴函数f(t)的最大值为2＋24.故函数y ＝f(t)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，2＋24.。
完整的三角函数值表 0～180正余弦值表
完整的三角函数值表 0～180正余弦值表三角函数是数学中初等函数中属于超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合和一组比值的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域是整个实数域。
另一个定义在直角三角形里，但不完整。
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
特殊三角函数值—般指在0、30°、45°、60°、90°、180°角下的正余弦值。
这些角度的三角函数值是经常用到的。
利用两角和与差的三角函数公式，可以求出一些其他角度的三角函数值。
完整的三角函数值如下：sin0=sin0°=0cos0=cos0°=1tan0=tan0°=0sin15=0.650；sin15°=（√6-√2）/4cos15=-0.759；cos15°=（√6+√2）/4tan15=-0.855；tan15°=2-√3sin30=-0.988；sin30°=1/2cos30=0.154；cos30°=√3/2tan30=-6.405；tan30°=√3/3sin45=0.851；sin45°=√2/2cos45=0.525；cos45°=sin45°=√2/2tan45=1.620；tan45°=1sin60=-0.305；sin60°=√3/2cos60=-0.952；cos60°=1/2tan60=0.320；tan60°=√3sin75=-0.388；sin75°=cos15°cos75=0.922；cos75°=sin15°tan75=-0.421；tan75°=sin75°/cos75° =2+√3 sin90=0.894；sin90°=cos0°=1cos90=-0.448；cos90°=sin0°=0tan90=-1.995；tan90°不存在sin105=-0.971；sin105°=cos15°cos105=-0.241；cos105°=-sin15°tan105=4.028；tan105°=-cot15°sin120=0.581；sin120°=cos30°cos120=0.814；cos120°=-sin30°tan120=0.713；tan120°=-tan60°sin135=0.088；sin135°=sin45°cos135=-0.996；cos135°=-cos45°tan135=-0.0887；tan135°=-tan45°sin150=-0.7149；sin150°=sin30°cos150=-0.699；cos150°=-cos30°tan150=-1.022；tan150°=-tan30°sin165=0.998；sin165°=sin15°cos165=-0.066；cos165°=-cos15°tan165=-15.041；tan165°=-tan15°sin180=-0.801；sin180°=sin0°=0cos180=-0.598；cos180°=-cos0°=-1tan180=1.339；tan180°=0sin195=0.219；sin195°=-sin15°cos195=0.976；cos195°=-cos15°tan195=0.225；tan195°=tan15°sin360=0.959；sin360°=sin0°=0cos360=-0.284；cos360°=cos0°=1tan360=-3.380；tan360°=tan0°=0cos72度=[(√5)-1]/4（利用黄金等腰三角形可得出）sin1=0. sin2=0. sin3=0.sin4=0. sin5=0. sin6=0. sin7=0. sin8=0. sin9=0. sin10=0. sin11=0. sin12=0. sin13=0. sin14=0. sin15=0. sin16=0. sin17=0. sin18=0. sin19=0. sin20=0. sin21=0. sin22=0. sin23=0. sin24=0. sin25=0. sin26=0. sin27=0. sin28=0. sin29=0. sin30=0. sin31=0. sin32=0. sin33=0. sin34=0. sin35=0. sin36=0. sin37=0. sin38=0. sin39=0. sin40=0. sin41=0. sin42=0. sin43=0. sin44=0. sin45=0. sin46=0. sin47=0. sin48=0. sin49=0. sin50=0. sin51=0. sin52=0. sin53=0. sin54=0. sin55=0. sin56=0. sin57=0. sin58=0. sin59=0. sin60=0. sin61=0. sin62=0. sin63=0.sin67=0. sin68=0. sin69=0. sin70=0. sin71=0. sin72=0. sin73=0. sin74=0. sin75=0. sin76=0. sin77=0. sin78=0. sin79=0. sin80=0. sin81=0. sin82=0. sin83=0. sin84=0. sin85=0. sin86=0. sin87=0. sin88=0. sin89=0.sin90=1cos1=0. cos2=0. cos3=0. cos4=0. cos5=0. cos6=0. cos7=0. cos8=0. cos9=0. cos10=0. cos11=0. cos12=0. cos13=0. cos14=0. cos15=0. cos16=0. cos17=0. cos18=0. cos19=0. cos20=0. cos21=0. cos22=0. cos23=0. cos24=0. cos25=0. cos26=0. cos27=0. cos28=0. cos29=0. cos30=0.cos34=0. cos35=0. cos36=0. cos37=0. cos38=0. cos39=0. cos40=0. cos41=0. cos42=0. cos43=0. cos44=0. cos45=0. cos46=0. cos47=0. cos48=0. cos49=0. cos50=0. cos51=0. cos52=0. cos53=0. cos54=0. cos55=0.2 cos56=0. cos57=0.2 cos58=0. cos59=0. cos60=0. cos61=0. cos62=0.6 cos63=0. cos64=0.6 cos65=0. cos66=0. cos67=0. cos68=0.2 cos69=0. cos70=0. cos71=0.5 cos72=0.5 cos73=0.7 cos74=0. cos75=0. cos76=0. cos77=0. cos78=0. cos79=0. cos80=0. cos81=0. cos82=0. cos83=0. cos84=0. cos85=0. cos86=0. cos87=0. cos88=0. cos89=0.tan1=0. tan2=0. tan3=0. tan4=0. tan5=0. tan6=0. tan7=0. tan8=0. tan9=0. tan10=0. tan11=0. tan12=0. tan13=0. tan14=0. tan15=0. tan16=0. tan17=0. tan18=0. tan19=0. tan20=0. tan21=0. tan22=0. tan23=0. tan24=0. tan25=0. tan26=0. tan27=0. tan28=0. tan29=0. tan30=0. tan31=0. tan32=0. tan33=0. tan34=0. tan35=0. tan36=0. tan37=0. tan38=0. tan39=0. tan40=0. tan41=0. tan42=0. tan43=0. tan44=0. tan45=0. tan46=1. tan47=1. tan48=1. tan49=1. tan50=1. tan51=1. tan52=1. tan53=1. tan54=1. tan55=1. tan56=1. tan57=1. tan58=1. tan59=1. tan60=1.tan61=1. tan62=1. tan63=1. tan64=2. tan65=2. tan66=2. tan67=2. tan68=2. tan69=2. tan70=2. tan71=2. tan72=3. tan73=3. tan74=3. tan75=3. tan76=4. tan77=4. tan78=4. tan79=5. tan80=5. tan81=6. tan82=7. tan83=8. tan84=9. tan85=11. tan86=14. tan87=19. tan88=28. tan89=57.tan90=无取值范围。
三角函数的最值
三角函数的最值三角函数是数学中最重要的函数之一，是理解图形几何和微积分的基础。
它们具有很多复杂的性质，考虑到它们有关最大值和最小值的性质尤为重要。
下面我们将分析三角函数的最值问题。
在三角函数中，最值是指函数值达到最大值或者最小值的点。
例如，在三角函数y=sinx中，x=0处函数值取到最小值，而在x=π处函数取到最大值，这就是三角函数的最值问题。
求三角函数的最值可以采用两种方法：图像法和微积分法。
采用图像方法求解三角函数的最值非常简单，只需要绘制函数图形，然后观察图形即可确定函数最大值和最小值所在的点。
采用微积分法可以更准确地求解三角函数的最值。
首先，用关于x的导数表示三角函数的变化率，然后求出导数的零点，即可得到最大值和最小值所在的点。
此外，我们还可以利用三角函数的性质，得出多种关于最值的结论：1.一元二次函数的最值在函数的端点处；2.函数y=sinx的最小值在（2n+1）π处，最大值在2nπ处，n ∈Z；3.函数y=cosx的最小值在2nπ处，最大值在（2n+1）π处，n ∈Z；4.函数y=tanx的极值点在（2n+1）π/2处，n∈Z。
通过以上分析，我们可以发现，求解三角函数的最值有很多种方法，并且大部分三角函数的最值都符合特定的规律。
在实际应用中，厘清三角函数的最值性质对于理解图形几何和微积分很有帮助。
例如，在求解曲线积分问题时，我们可以根据曲线上的最值点来确定曲线的积分范围，从而求得曲线积分的结果。
总之，三角函数的最值问题是数学中一个重要的问题，它有着重要的理论价值和实用价值。
我们应当综合运用图像法和微积分法，系统地掌握三角函数的最值性质，运用它们求解问题，拓展我们对数学的理解。
2.10移动闭塞(2)(第29、30课时)
• 执行层由车站控制器STC、车载控制器VOBC 和感应环线3个子系统构成，负责解释和执行 VCC发来的控制命令，并向VCC报告所辖设备 的状态信息。其中STC负责对轨旁设备(道岔、 计轴器、站台发车表示器、站台屏 蔽门等)的 控制和信息采集；VOBC则对列车的运行进行
控制并反馈列车的状态信息；而感应环线则是 列车和VCC间通信的传输介质，同时系统利用 环线电缆、环线电缆交叉以及VOBC中的转速 计实现对列车的定位。
2．移动闭塞系统的特点 • 移动闭塞与传统的固定闭塞相比较具有以下特
点： （1）线路没有固定划分的闭塞分区，列车间隔
是动态的，并随前一列车的移动而移动。 （2）列车间隔是按后续列车在当前速度下所需
的制动距离，加上安全余量计算和控制的，这 样可确保不追尾。 （3）制动的起点和终点是动态的，轨旁设备的 数量与列车运行间隔关系不大。 （4）可实现较小的列车运行间隔。 （5）采用地车双向数据传输，信息量大，易于 实现无人驾驶。
• 后退模式根据移动闭塞系统的故障影响分为全人工后 退模式和局部后退模式。全人工模式下，单个或全部 的STC将不受VCC控制，该STC控制下的所有正线区 域均以自动闭塞运营；局部后退模式则是指STC控制 的个别信号机防护的区段以自动闭塞方式运营，其余 区域仍以移动闭塞方式运营。
（1）后退模式的特点
（1）信息传输路径 • ATC模式下的信息传输路径如图2—32所示。 （2）进路与道岔控制 • ATC模式下，VCC负责列车的安全间隔和运行
（安全运行还包括对道岔的操作）。VCC按照 SMC中执行的时刻表（或运行线）正确排列进 路。 • 当列车按所分配的进路前进时，VCC将在列车 前方预留相应的轨道及道岔，并在允许列车通 过之前命令SRC转换道岔到所需位置。当VCC 确认列车已从相关轨道及道岔出清，顶留取消。 • 一旦中心调度员在中心控制室的VCC终端上设 置了人工进路预留（MRR）或者调度员人工单 独预留道岔命令，系统就不会自动转换道岔。
三角函数的最值
三角函数的最值三角函数是基本的数学函数，在各种实际的应用中神奇地出现。
平面三角函数是微分学中最具有代表性的函数之一，它有着深远的影响和广泛的应用。
本文主要讨论的是三角函数的最值问题，以帮助读者更加深入地了解它。
首先，我们将来讨论三角函数的最值。
首先，圆弧的最高和最低点之间的关系可以作为求最值之间的关系。
通过分析，可以得出一般最值的表达式，即有极值关系的三角函数的最值为：cosθ =1，此时θ为正负90度。
因此，可以得出三角函数的最大值为：sinθ = 1，最小值为：sinθ = -1 。
其次，要进一步理解三角函数的最值，我们可以利用三角函数的切线的特性来求解。
在一个函数的极值点上，函数在该点的切线都是水平的，而有极值的三角函数也是如此，在最大值点和最小值点上，切线都是水平的，它们有公式：sinθ = 0。
得到有极值的三角函数的最值公式：sinθ =1，从而可以求出三角函数的最值。
再次，我们可以采用三角函数的尺规法来求解三角函数的最值。
尺规法是一种在函数图像上求解函数最值的方法，它规定一条水平线从函数曲线的最小值点穿过函数曲线的最大值点，这条水平线上的定点就是函数的最值点，由此可以求出函数的最值。
在此，可以得出三角函数的最值公式：sinθ =1，其中θ为正负90度。
最后，我们通过泰勒公式进一步分析三角函数的最值。
考虑到在函数发展的高阶项上，泰勒展开式能够有效地把三角函数进行展开，从而得到函数的极限值。
通过泰勒展开式，我们可以得出三角函数的极限值：sinθ =1，从而可以求出三角函数的最值。
本文从三个方面论述了三角函数的最值：圆弧的最高点和最低点之间的关系，由切线特性可以求出的最值公式，以及由尺规法和泰勒公式得出的最值公式，期望通过本文能够帮助读者更加深入地理解三角函数的最值问题。
总之，通过本文的讨论，我们可以得出三角函数的最值公式：sin θ =1，其中θ为正负90度，帮助我们更好地理解三角函数的最值问题。
三角函数的最值
三角函数的最值三角函数是一类描述几何图形以及物理场景的数学函数。
它是利用给定角度的正弦、余弦、正切函数来定义和表达平面坐标系中点和直线之间的关系，它们又被称为直角三角形函数。
它们各自的最值概念是广泛使用的，因此本文将研究并解释三角函数的最值的概念。
虽然三角函数可以用来描述几何图形，但它们本质上是数学函数，可以用最值来描述它们的表现形式。
数学家定义的最值的概念是指函数的最大值（及大于等于该值的最小值）或最小值（及小于等于该值的最大值）。
在三角函数的情况下，由于它们是周期函数，可以定义出最大值和最小值。
正弦函数的最值为（1，-1），余弦函数的最值为（1，-1），正切函数的最值为无穷大（+∞）和无穷小（-∞）。
这些最值的定义确立了三角函数的可能值范围，因此任何满足这些范围的数值都可以算作三角函数的值。
三角函数的最值可以表示为“最大值＝（x，y）”或“最小值＝（x，y）”样式，其中x和y分别表示函数的最大值和最小值。
三角函数的最值可以用函数法则来描述。
例如，正弦函数的最大值为（π／2，1），最小值为（3π／2，-1），其余最值也可以精确地定义出来。
这样的函数法则可以用于计算三角函数的最大值和最小值，也可以用于计算函数的任何一个最值。
例如，求出余弦函数的最大值和最小值，可以使用下面这个函数： f(x) = cos(x)。
若输入x=π／2，则f(x)=1（最大值）；若输入x = 3π／2，则f(x) = -1（最小值）。
此外，三角函数的最值还可以用图形的方式表示。
例如，可以画出三角函数的图形，并从中找出最大值和最小值。
对三角函数来说，图形的水平轴上的最高值即为最大值，轴上的最低值为最小值。
三角函数的最值的概念不仅可以用来解释函数作图或函数表示，它也是许多其他数学领域的重要概念，例如微积分和动力学中。
例如，考虑一个简单的物理实验：小球从地面跳起，然后运动到最高点后回落，这个过程中，小球的跳跃高度便是物理场景中的最值。
三角函数的最值PPT优秀课件
=
(2+sinx)2-1 2+sinx
=2+sinx-
1 2+sinx
.
令 2+sinx=t,
则
y=f(t)=t-
1 t
(1≤t≤3).
对于任意的 t1, t2[1, 3], 且 t1<t2 有
f(t1)-f(t2)=(t1-
1 t1
)-(t2-
1 t2
)
=(t1-t2)(
1+t1t2 t1t2
) <0.
求 m 的取
解法 2 题中不等式即为 2(1-sin)m>-1-sin2.
∵[0,
2
],
∴0≤sin≤1.
当 sin=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mR;
当 0≤sin<1 时,
m>-
1+sin2 2(1-sin)
恒成立.
令 t=1-sin, 则 t(0, 1], 且
m>-
一、高考要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象 等, 求三角函数的最大值和最小值.
2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值.
3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决.
二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方 法有:
1 2
[(t+a)2+a2-1].
∵a 为常数, ∴只需求 y=(t+a)2 的最值.
∵t[- 2 , 2 ], 且 a≥0,
三角函数求最值五种题型
三角函数求最值五种题型一、最值问题的一般解法：求解三角函数的最值问题可以分为以下五种题型：基本最大、基本最小、最大最小（上下界）、最大、最小。
1.基本最大：即求函数的最大值，通常通过对函数进行求导并令导数为零来求得。
这种情况下，需求导数在给定区间内的零点，并进行极值判断来确定最值。
2.基本最小：与基本最大相反，求函数的最小值，同样需要对函数进行求导并求导数为零，进行极值判断来确定最值。
3.最大最小（上下界）：在给定区间内求函数的最大最小值，需将区间的端点以及函数的驻点和不可导点的值进行比较，以确定最大最小值。
4.最大：在给定区间内寻找函数的最大值。
可以通过对函数进行求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最大值。
5.最小：在给定区间内寻找函数的最小值。
同样可以通过求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最小值。
二、详细解答五种题型：以下是对上述五种题型的详细解答：1.基本最大：Example 1: 求函数f(x) = sin(x)的最大值。
解：首先求得导数f'(x) = cos(x)，令cos(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
然后对于x = π/2 + kπ，求得对应的函数值f(x) = sin(π/2 +kπ) = (-1)^k，即奇数项取最大值为1，偶数项取最小值为-1所以函数f(x) = sin(x)的最大值为12.基本最小：Example 2: 求函数f(x) = cos(x)的最小值。
解：同样求导得到f'(x) = -sin(x)，令-sin(x) = 0，解得x = kπ，其中k为整数。
然后对于x = kπ，求得对应的函数值f(x) = cos(kπ) = (-1)^k，即奇数项取最小值为-1，偶数项取最大值为1所以函数f(x) = cos(x)的最小值为-13.最大最小（上下界）：Example 3: 在区间[0, 2π]内，求函数f(x) = 2sin(x) + cos(x)的最大最小值。
[方案]三角函数中的最大值与最小值
![[方案]三角函数中的最大值与最小值](https://img.taocdn.com/s3/m/251df01a4b7302768e9951e79b89680202d86b50.png)
三 角 函 数 中 的 最 大 值 与 最 小 值湖南省南县一中 陈敬波(*****************)(413200)三角函数的最值问题是对三角函数的概念、图象与性质以及诱导公式、同角间的基本关系、两角的和与差公式的综合考查,也是函数思想的具体体现．解决三角函数的最值问题可通过适当的三角变换或代数换元,化归为某种三角函数或代数函数,再利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理,通常有以下六种类型．（１） sin y a x b =+（或cos y a x b =+）型的函数此类函数利用sin 1x ≤（或cos 1x ≤）即可求解,max min ||,|a|+b,y a b y =+=-显然这里x R ∈．例1．求sin cos 6y x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最大值与最小值．解：111sin cos sin 2sin sin 2,6266264y x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()max min 1111131,1.244244y y ∴=⨯-==⨯--=-（若不要求记忆和差与积互化公式,则按下列解法）解：21111cos 2cos cos cos cos 22222111111112cos 2sin 2cos 2sin 24442224264x y x x x x x x x x x x x x π⎫+=-=-=-⨯⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--=⨯--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()max min 1111131,1.244244y y ∴=⨯-==⨯--=-（２） sin cos y a x b x =+型的函数()αϕ+其中辅助角ϕ所在的象限由a,b 的符号确定,角ϕ的值由tan ba ϕ=确定．例2．当22x ππ-≤≤时,函数()sin f x x x =的（ ）Ａ． 最大值是１,最小值是－１ Ｂ． 最大值是１,最小值是－12１Ｃ． 最大值是２,最小值是－２ Ｄ． 最大值是２,最小值是－１解析：()sin 2sin .3f x x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭()()max min 5,,22636,,2,3261,,2 1.3622x x x x f x x x f x πππππππππππ-≤≤∴-≤+≤∴+===⎛⎫+=-=-=⨯-=- ⎪⎝⎭故选（Ｄ）（３） 22sin sin cos cos y a x b x x c x =++型的函数此类函数可先降次,再整理转化为()sin y A x B ωϕ=++的形式来解决．例3．求22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++的最小值,并求y 取最小值时的x 的集合．解：()22222sin 2sin cos 3cos sin cos 2sin cos 2cos y x x x x x x x x x=++=+++()1sin 21cos 2sin 2cos 2224x x x x x π⎛⎫=+++=++=++ ⎪⎝⎭,∴当sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即()322,428x k x k k Z πππππ+=-+=-∈时,y 取最小值2,使y 取最小值的x 的集合为3|,.8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭（４） 2sin cos y a x b x c =++型的函数此类函数可转化为形如()211y At Bt C t =++-≤≤的二次函数,从而讨论其最值．例4.求函数2cos 2sin y x a x a =--(a 为定值)的最大值M.解: ()()2222cos 2sin 1sin 2sin sin 1.y x a x a x a x a x a a a =--=---=-++-+令sin x t =,则()()221||1.y t a a a t =-++-+≤如下图(1)若-a<-1,即a>1,则当t=-1时,有最大值M=-(-1+a)2+a 2-a+1=a;(2)若-1≤-a ≤1,即-1≤a ≤1,则当t=-a 时,有最大值M=a 2-a+1;(3)若-a>1,即a<-1,则当t=1时,有最大值M=-3a.注:本例借助函数思想,把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题.（５） sin cos a x cy b x d+=+型的函数此类函数可转化为()()sin x g y ϕ+=去处理,或利用万能公式换元后用判别去处理.例5.求下列函数的最大值与最小值.()()()3cos 2cos 1;2.2sin 2cos x xy y x R x x-+==∈+-解：（1）原函数可变形为sin cos 32,y x x y +=-即()sin x ϕ+=又()|sin |1x ϕ+≤()22213213128022y y y y y ≤⇔-≤+⇔-+≤⇔≤≤故所求最小值与最大值分别为：2（2）原函数可转化为()21cos ,1y x y -=+则()221131030,1y y y y -≤⇒-+≤+解得min max 113,, 3.33y y y ≤≤∴==（６） 巧用换元法转化为代数函数的最值问题① 对于含有s i n c o s ,s i n c o x x x x ±的函数的最值问题，常用的解决方法是令sin cos ,x x t ±=||t ,将sin cos x x 转化为t 的关系式，最终化归为二次函数或其他函数的最值问题.例6.已知0a <≤求函数()()sin cos y x a x a =++的最值解: ()()()2sin cos sin cos sin cos y x a x a x x a x x a=++=+++设sin cos x x t +=,则21||cos ,2t t x x -≤=()222211122t y at a t a a -⎡⎤∴=++=++-⎣⎦.当t a =-时,2min 12a y -=;当t =, 2max 1.2y a =++例7.求函数sin 21sin cos xy x x =+-的最大值与最小值.解: sin 22sin cos 1sin cos 1sin cos x x xy x x x x==+-+-令:sin cos ,x x t -=则||t ≤且1t ≠-原函数变为:211.1t y t t-==+-则[11)(1,1y ∈--min max 11y y ==② 首先利用换元法转化为代数函数by ax x=+,再利用函数的单调性求最值.例8.已知1sin cos ,0,sin cos 2y x x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,求y 的最小值.解析:令11sin cos sin 2,0,,(0,]222u x x x x u π⎛⎫==∈∈ ⎪⎝⎭则11,(0,].2y u u u =+∈由函数的单调性的定义易证1y u u =+在1(0,]2u ∈上是减函数,min 152.22y ∴=+=。
2020年高考数学一轮复习：第29课__三角函数的最值问题
第29课三角函数的最值问题KAQGANG JlL XI1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象，求三角函数的最 值和值域.2.掌握求三角函数最值的常见方法，能运用三角函数最值解决一些实际问题1•阅读：必修 4第24〜33页、第103〜116页、第119〜122页. 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y = A si n( 3汁$ )(A>0,3 >0的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幕扩角公式是什么？必修 4第123页练习第4题怎么解？3. 践习：在教材空白处，完成必修4第131页复习题第9、10、16题. I…T 基础诊断 &Y* ----------------------1. 函数f(x) = sinx , x € g,手丿的值域为'1 1 __.2.函数 f(x) = sinx — cos[x + f 的值域为 [-羽，护].nQ 313\13解析：因为 f (x) =sinx — cos(x+ 6)= sinx — Tcosx+ 2sinx= 2sinx —T cosx所以函数f(x) = sinx — cos(x +》的值域为[—.3, ,3].3. 若函数 f(x) = (1 + . 3tan x) cosx , 0< x<n 贝U f(x)的最大值为 2 .解析：f(x) = (1 + J 3ta nx)cosx = cosx + J 3si nx = 2si n^ + •因为 0 < x<n ，所以詐 x + 才<|^所以 sin x +€ 土，1,所以当sin[j + ^;= 1时，f(x)有最大值2.4. 函数 y = 2sin 2x — 3sin2x 的最大值是，10+ 1.2形如y = asin x + bcosx + c 的三角函数的最值例 1 已知函数 f(x) = 2cos2x + sin 2x — 4cosx. (1) 求f nn 的值；(2) 求f(x)的最大值和最小值.解析：(1) f [^；;= 2cos 2n+ sin^— 4cos n=— 1+ 3— 2 =—：2 2(2) f(x) = 2(2cos x — 1) + (1 — cos x) — 4cosx2=3cos x — 4cosx — 1课本KE SEN XI=.3sin(x — 6),范例导航考向？cf 2-\7 “=3 cosx — 3 — 3, x € R.因为 cosx € [ — 1, 1],所以当cosx =— 1时，f(x)取最大值6;2 7 当cosx =孑时，f(x)取最小值一3. 33已知s 4+汴貉A €6扌)(1) 求cosA 的值；5(2) 求函数 f(x) = cos2x + qs in As inx 的值域. 解析：⑴ 因为n <A<n,且Sin 》+才戶, 所以2<A +4<¥’cos$+护-密所以 cosA = cos [(A +n - n =cos+ U2 x _2 10 2 10 23 5.4(2)由(1)可得 sinA = 5,5 2f . 1 "f 3 所以 f(x) = cos2x + 2sinAsinx = 1 — 2sin x + 2sinx =— 2 sinx — + ?, x € R. 因为 sinx € [ — 1, 1],1 3所以当sinx =2时，f(x)取最大值§; 当sinx =— 1时，f(x)取最小值一3. 所以函数f(x)的值域为 一3, 3 1门考向？形如y = Asin( 3x+ © + k 的三角函数的最值例 2 已知函数 f(x) = 2cosxsin & + 寸一屆in 2x + sinxcosx + 1. (1) 求当函数f(x)取得最大值时，x 的取值集合; (2) 当 x € 0, 1n 时，求 f(x)的值域.解析：(1)因为 f(x) = 2cosxsin x + 3 — - 3sin 2x + sinxcosx + 1A +=2cosx(?sinx + ycosx) — 3sin 2x + sinx •osx + 1 =2si nxcosx + 3cos 2x — 3si n 2x + 1 =si n2x + 3cos2x + 1 1 3=2/n2x + 〒cos2x) + 1n n n由 2x + 3 = 2k n+ ^, k € Z ,可得 x = k n+ 石，k € Z ,所以函数f(x )取得最大值时，x 的集合为{x|x = k n+-, k € Z}.12(2)由 x € o ,，'得2x+n n n ，所以 ~23<sin(2x + n )< 1, 所以•.3+ 1 w f(x)w 3, 故f(x)的值域为[,3 + 1, 3].【注】 对于三角函数最值问题，通常将表达式化为形如 y = Af (3x+ © + B 的形式，确定变量x 取值的集合通常由等式3x+ ©= 2k n+ 0, k € Z 解出x已知函数f(x)= sin 2 wx — 6 + 2cos 2 1( w >0)的最小正周期为 n.(1)求w 的值;2 n所以f(x)的最小正周期T = — = n,解得w= 1.(2)由(1)得 f(x)= sin 2x + 6 . 因为0w x w$,所以6w 2x +6w 莘所以当2x + 6= 2，即x = 6时，f(x)取得最大值为1;=2sin 2x +1.⑵求f(x)在区间気上的最大值和最小值.解析：(1)因为 f(x)= sin 2wx — o + 2cos wx — 1,3 1=~2"si n2 wx+ 2cos2 wx= sin当2x + n= 4n,即x = 1n 时f(x)取得最小值为一 弩.【变式题】 已知函数 f(x)= sin x ++ cosx.(1)求f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时，x 的集合;,f a+ n = ，求 f(2a)的值.所以 f(2 a) = . 3sin 2a+ f1 3=.3?sin2 a+ —cos2 a=,3[2X 2sin acos a+ 手 x (2cos 2 a — 1)]厂1 4 3 V39 =3X [-x 2X x +亠x (2x — 1)] V L2 5 5 2 '25 刀=V 3x 险—也1=竺吐1Y辽5 50 丿 50.考向？ 三角函数最值问题常见的其他函数形式2例3 (1)已知x € (0, n,求函数y = sinx +的最小值;sinx⑵ 已知 灰(0, n ，求函数y =1 豐nA 的最大值; ⑶ 求函数y = (sinx — 2)(cosx — 2)的最大值与最小值.a€ 0,扌：解析: (1) f(x)= sin x ++ cosx=^sinx + 3cosx = ,3 1=%；3si nx + 3 , 所以 f(x)max =【?3.此时，x +n= 2k n+n ，k € Z ,即 x = 2k n+n , k € 乙3 2 61sin x + ~fcosx故当f(x)取得最大值3时，x 的集合为{x|x = 2k n+n k € Z}.6⑵ 由 f a+ n = . 3sin( a+ n = ¥ ,得sinn_ 32 = 5,所以 cos a= 3, sin54 a= 一, a 52解析：⑴设sinx= t（O<t w 1），则原函数可化为y = t + -，在（0, 1］上为减函数,故当t= 1时，y min= 3.⑵ 因为茨(0, n,所以sin茨(0, 1], y = 一卫一w 丿=1当且仅当si n B= 亦e+ 3sin e 21等号成立，故y max=刁(3)原函数可化为y= sinxcosx—2(sinx+ cosx) + 4，令sinx+ cosx = t(|t|w 2), nt t2— 1贝U sinxcosx =—,2t —1 1 2 3所以y=—2t+ 4=2(t—2) +2因为对称轴为直线t = 2?[ —2, 2]，且函数在区间[—2, 2]上是减函数，所以当t= 2,即x = 2k n+ n(k € Z)时, y min = 2 - 2.2；— 3 n 9 —当t=—2，即x= 2k n—~4（k€ Z）时，y max= 2 . 2.【注】（1）直接利用三角函数的有界性，并直接利用基本不等式去求解.a（2）首先是对分数函数的一般的处理方式，然后回到（1）的步骤去解决.y= sinx+亦型三角函数求最值，当sinx>0, a>1时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解.（3）含有"正、余弦三姐妹"，即含有sinx±sosx, sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx= t, |t|< 2,将sinxcosx转化为关于t的函数关系式，从而转化为二次函数的最值问题，在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定.【变式题】(1)求函数y= 2—sinx的最小值;si nx+ 2n 1 1⑵ 若0<x<2,求函数y= (1+ cosx)(1 + 亦)的最小值・4 —2 —sinx 4 1解析：⑴y=—厂=s^zr1飞，1所以最小值为1⑵y=1+cosx1+si.sinx+ cosx+ 1=1 +sin xcosx令t= sinx+ cosx, t€ (1, .2],t2— 1贝U sinxcosx = 2 ,t + 1 t2+ 2t + 1 t+ 1 八2t2— 1 t2—1 t—1 t —T2由1<t W 2,得y》3 + 2 2, 所以函数的最小值为 3 + 2 2.自测反馈1.函数y= 2sin 3—x —cos 6 + x (x € R)的最小值是__—1解析：因为cos ¥+ x = sin n- x，所以y= 2sin n—x —cos 总+ x = 2sin 扌一x —sin n—x =—sin x —3 •因为x€ R,所以y min=—1.2.函数y= sin^在区间［0,b］上恰好取得2个最大值，则实数b的取值范围是_ -2, ^7\解析：因为函数y= singe的周期为年=6，函数y= sin^x在区间［0,3b］上恰好取得2个最大值，则实数b满足5T W b<94-，解得乎三b<27.故实数b的取值范围为3.函数y=也cosx的值域是[—1 , 1].2 + sinx解析：2y+ ysinx = 3cosx, ysinx—3cosx = —2y,得y2+ 3sin(x + —2y—2y<^ = -yz^3，则匕齐^|W 1,解得—1W y W 1.■15 27).2，2 丿()))=—2y, sin(x +4.函数f(x) = sinx+ cosx+ sinx •osx 的值域是—1,x + n 则t € [ —^2^2], t2= 1 + 2sinxcosx,则sinxcosxt? —1 t?—1 12 1 2 —厂，贝U f(x) = sinx + cosx + sinxcosx = t + 厂=?(t + 2t —1) = ^(t + 1) — 1.因为一.2 解析：令t = sinx+ cosx = ■2sin xW t W 2 所以f(x) € [ —1 , 2 + 1.反思搐遺1.求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：①形如y = asin x + bcos x + c的三角函数化为y = Asin（3汁$卅k的形式，再求值域（最值）；②形如y = asin2x + bcos x + c的三角函数，可先设sin x= t，化为关于t的二次函数求值域（最值）;③形如y = asin xcos x + b（sin x ±os x）+ c的三角函数，可先设t = sin x ±os x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.2•你还有哪些体悟，写下来:。
三角函数值表
（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0.4 二分之根号3cos45=0.1 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0.9 三分之根号3tan45=1tan60=1.8 根号3tan90=无cot0=无cot30=1.8 根号3cot45=1cot60=0.9 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
附：三角函数值表sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0sin1=0.0 sin2=0.0 sin3=0.0sin4=0.07441253 sin5=0.0 sin6=0.6sin7=0.12 sin8=0.139173 sin9=0.17sin10=0.173648 sin11=0. sin12=0.31sin13=0.7 sin14=0.3 sin15=0.24sin16=0.6 sin17=0.29237 sin18=0.sin19=0. sin20=0. sin21=0.7sin22=0.3415912 sin23=0.39073 sin24=0.5sin25=0.4 sin26=0.43837 sin27=0.5sin28=0.46947 sin29=0.0 sin30=0.4sin31=0. sin32=0. sin33=0.5015027sin34=0. sin35=0.6351046 sin36=0.sin37=0. sin38=0.61566 sin39=0.sin40=0. sin41=0. sin42=0.sin43=0.6 sin44=0.04589972 sin45=0.sin46=0.03386511 sin47=0. sin48=0.sin49=0.9 sin50=0.3118978 sin51=0.sin52=0. sin53=0.00472928 sin54=0.sin55=0. sin56=0. sin57=0.sin58=0.6156426 sin59=0.2 sin60=0.sin61=0. sin62=0. sin63=0.sin64=0.6299167 sin65=0. sin66=0.sin67=0. sin68=0. sin69=0.sin70=0.07859083 sin71=0. sin72=0.sin73=0. sin74=0.96126 sin75=0.sin76=0. sin77=0. sin78=0.07338057sin79=0.3447664 sin80=0.3012208 sin81=0.05951378 sin82=0. sin83=0.1641322 sin84=0.99452sin85=0.9 sin86=0.02598242 sin87=0.sin88=0. sin89=0.sin90=1cos1=0. cos2=0. cos3=0.cos4=0.02598242 cos5=0.9 cos6=0.99452cos7=0.1641322 cos8=0. cos9=0.05951378cos10=0.3012208 cos11=0.3447664 cos12=0.07338057 cos13=0. cos14=0. cos15=0.cos16=0.96126 cos17=0. cos18=0.cos19=0. cos20=0.07859084 cos21=0.cos22=0. cos23=0. cos24=0.cos25=0. cos26=0.6299167 cos27=0.cos28=0.2858927 cos29=0. cos30=0.cos31=0.3 cos32=0.6156426 cos33=0.7945424cos34=0. cos35=0. cos36=0.cos37=0.00472928 cos38=0. cos39=0.cos40=0.3118978 cos41=0. cos42=0.cos43=0. cos44=0.03386512 cos45=0.cos46=0.04589974 cos47=0.6 cos48=0.cos49=0. cos50=0. cos51=0.cos52=0.61566 cos53=0. cos54=0.cos55=0. cos56=0. cos57=0.cos58=0. cos59=0. cos60=0.1cos61=0.02463371 cos62=0.6 cos63=0.cos64=0.438371 cos65=0.4 cos66=0.cos67=0.39073 cos68=0. cos69=0.5cos70=0. cos71=0.325568 cos72=0.5cos73=0.7 cos74=0.6 cos75=0.24cos76=0.7 cos77=0.4 cos78=0.23cos79=0.1 cos80=0.173648 cos81=0.12cos82=0.139173 cos83=0.12 cos84=0.6cos85=0.0 cos86=0.0 cos87=0.06cos88=0.0 cos89=0.04372836cos90=0tan1=0.05 tan2=0.0 tan3=0.06tan4=0.0 tan5=0.0 tan6=0.6tan7=0.6 tan8=0.5 tan9=0.27tan10=0.97 tan11=0.8 tan12=0.tan13=0.1 tan14=0.8 tan15=0.tan16=0. tan17=0.3 tan18=0.tan19=0.7 tan20=0.4 tan21=0.tan22=0. tan23=0. tan24=0.tan25=0. tan26=0. tan27=0.tan28=0. tan29=0.1452769 tan30=0.tan31=0. tan32=0. tan33=0.tan34=0. tan35=0. tan36=0.tan37=0.2 tan38=0. tan39=0.tan40=0. tan41=0. tan42=0.tan43=0. tan44=0. tan45=0.tan46=1.07905693 tan47=1.00246826 tan48=1.tan49=1. tan50=1.259421 tan51=1.6535051tan52=1.27994 tan53=1. tan54=1.37638tan55=1. tan56=1. tan57=1.tan58=1. tan59=1. tan60=1.tan61=1. tan62=1. tan63=1.tan64=2.0579296 tan65=2.6 tan66=2.3904215tan67=2.5823753 tan68=2. tan69=2.tan70=2. tan71=2.9042 tan72=3.01752526tan73=3. tan74=3. tan75=3.tan76=4.05358455 tan77=4.4284153 tan78=4.9478456 tan79=5.5970307 tan80=5.9617707 tan81=6.4675041 tan82=7.2384207 tan83=8.7974593 tan84=9.4222587 tan85=11.276132 tan86=14.6711942 tan87=19.081 tan88=28.2915515 tan89=57.0759144tan90=无取值。
三角函数的最值
三角函数的最值
三角函数是数学中的一个重要概念，它也被认为是一种有用的函数。
在这里，我们将讨论三角函数的最值。
首先，我们需要了解的是，三角函数的最值是指函数在某一范围内的极大值或极小值。
有三种不同的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数的最值都是取决于函数所给定的范围。
正弦函数是以曲线的形式表示的函数，它沿着x轴定义。
在定义域为[-π，π]的情况下，正弦函数的最值计算如下：当x=0时，正弦函数的最大值为1，最小值为-1；当x=π/2时，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
余弦函数也是以曲线的形式表示的函数，它在x轴上定义。
在定义域为[-π，π]的情况下，余弦函数的最值计算如下：当x=0时，余弦函数的最大值为1，最小值为-1；当x=π时，余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
最后，正切函数被定义为x轴上的曲线，它的形状有点像余弦函数的形状，但它是特殊的。
在定义域为[-π，π]的情况下，正切函数的最值计算如下：当x=0时，正切函数的最大值为正无穷，最小值为负无穷；当x=π/2时，正切函数的最大值为无穷大，最小值为无穷小。
总之，我们可以得出结论，三角函数的最值取决于函数的定义域和特定的x坐标。
需要注意的是，三角函数的最值可以用在几何图形、微积分、数学建模和计算机科学等领域中。
因此，了解三角函数的最
值对于学习和使用数学是非常重要的。
以上就是关于三角函数最值的介绍和讨论，希望我们所探讨的内容可以帮助读者更好地理解和掌握三角函数的最值。
最后，祝愿所有学习数学的人取得更大的进步！。
三角函数的最值
三角函数的最值三角函数是比较重要的数学主题，它可以帮助我们更好地理解几何概念以及图形的变化。
而三角函数的最值，则是三角函数的一个重要概念，有助于我们更好地绘制三角函数图像、分析三角函数的图形特征，以及求解信息等等。
一、解析三角函数的最值三角函数的最值是指三角函数y=f(x)在给定的区间[a,b]内，f(x)的最大值和最小值。
特别的，当取区间[a,b]为全实数集时，最大值和最小值将不再存在。
例如，sin(x)在实数集内，其最大值为1，最小值为-1；而cos(x)在实数集内，其最大值为1，最小值也为1。
二、三角函数最值的求解方法（1）偏导数法若需求解f（x）在给定的区间[a,b]内的最值，可以先对函数求偏导，考察偏导数是否在区间内取得最值，若有则求该点的函数值，并记录其最小值或最大值；若无，则求取函数在该区间的定点的值，作为函数的最值。
（2）判别式法一般的，令f（x）=0，求获函数的根，然后计算函数的二阶导数，若f(x)>0，则根为极小值点，若f(x)<0，则根为极大值点。
（3）几何解法由几何图像解三角函数最值，在找到函数图像上的极大值极小值时，可以从两个方面考虑，一是寻找函数最大最小值点，另一种方法是求解两个函数的比值f(x)/g(x)，在给定区间[a,b]内找到两个函数比值最大最小点。
三、典型例题（1）求函数f(x)=x2－2x＋1[-1,1]上的最大值和最小值解：f(x)=2x-2=0,得x=1当x=-1，f(-1)=0;x=1，f(1)=2所以函数y=f(x)在[-1，1]上的最大值为2，最小值为0（2）求函数f(x)=sin2x[0,π/2]上的最大值和最小值解：f(x)=2cos2x，得cos2x=0，得x=π/4当x=0,f(0)=0;当x=π/4，f(π/4)=1所以函数y=f(x)在[0，π/2]上的最大值为1，最小值为0四、总结本文介绍了三角函数的最值的概念，并介绍了常用的求解最值的方法，以及常见的例题。
29三角形中的三角函数
13.已知锐角 △ABC 中, sin(A+B)= 3 , sin(A-B)= 1 . (1)求证 已知锐角 求证: 求证 5 5 tanA=2tanB; (2)设 AB=3, 求 AB 边上的高 边上的高. 设 (1)证: ∵sin(A+B)= 3 , sin(A-B)= 1 , 证 5 5 sinAcosB+cosAsinB= 3 , sinAcosB= 2 , tanA 5 5 ∴ 1 cosAsinB= 1 , tanB =2. sinAcosB-cosAsinB= 5 , 5 ∴tanA=2tanB. 3 π 3 (2)解: 由已知 2 <A+B<π, sin(A+B)= 5 , ∴tan(A+B)=- 4 . 解 tanA+tanB 3 即 1-tanAtanB =- 4 . 将tanA=2tanB代入上式并整理得 代入上式并整理得: 代入上式并整理得 2B-4tanB-1=0. 解得 tanB=1+ 6 (负值舍去 2tan 解得: 负值舍去). 2 负值舍去 ∴tanA=2tanB=2+ 6 . 设 AB 边上的高为 CD, 则: 3CD CD CD 3=AB=AD+DB= tanA + tanB = CD=2+ 6 . 2+ 6 ∴AB 边上的高为 2+ 6 .
三角形中的有关公式
设 △ABC 中, 角 A,B,C 的对边为 a,b,c, , , , , 1.内角和定理 三角形三内角之和为π, 即 A+B+C=π. 内角和定理: 内角和定理 任意两角和与第三个角总互补; 注 任意两角和与第三个角总互补 任意两半角和与第三个角的半角总互余; 任意两半角和与第三个角的半角总互余 锐角三角形三内角都是锐角 锐角三角形 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方. 任意两边的平方和大于第三边的平方 c a b 2.正弦定理 sinA = sinB = sinC =2R(R 为三角形外接圆的半 正弦定理: 正弦定理 ( 径) . 正弦定理的一些变式: 注 正弦定理的一些变式 (1)a:b:c=sinA:sinB:sinC;
高考数学一轮复习备课手册：第29课三角函数的最值问题
第29课 三角函数的最值问题一、教学目标1．会通过三角恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种三角函数形式（即()sin()f x A x B ωϕ=++），然后借助于三角函数的图像和性质，求三角函数的最值和值域；2．能利用换元、求导、数形结合等方法求三角函数的最值和值域。
二、基础知识回顾与梳理1、函数()sin ,[,]63f x x x ππ=∈的值域为 【教学建议】本题主要是帮助学生回顾三角函数的图像和性质，并进一步让学生知道连续函数的最大值和最小值不一定在端点处取得！2、函数2()3sin(2)3f x x π=-的最大值是 ，此时x 的值为 。
【教学建议】本题选自必修四第44页习题1.3第四题，主要是复习三角函数的最值、周期性，有了第1题的铺垫，不妨令23t x π=-，则转化为()3sin f t t =的最值问题，故问题迎刃而解。
3、函数()sin cos f x a x b x =+（,a b 均为正数）的最大值是 【教学建议】本题选自必修四第99页习题3.1第13题，是求三角函数最值（或值域）问题中的一种基本模型。
处理方法：引入辅助角ϕ，化为())f x x ϕ=+,利用函数|sin()|1x ϕ+≤即可求解。
形如22()sin sin cos cos f x a x b x x m x n =+++型亦可以化为此类。
4、函数()sin cos 2f x x x =+的值域是 。
【教学建议】如何化简原函数？方向是什么？减少角的个数，将2x x →，得到2()2sin sin 1f x x x =-++ 再换元得2()21f t t t =-++，强调[1,1]t ∈-，结合二次函数的图像求解。
三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成，并将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
教师通过课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
教师课上作适当点评，点评要精要，准确把握重、难点，揭示其中所蕴含的数学方法、思想，给学生以启迪、思考和指导。
三角函数的最值
三角函数的最值三角函数是在几何学、微积分、物理学和数学中经常使用的古老函数，它伴随着人们对宇宙规律、地球运行等自然现象的深入研究而发展壮大。
三角函数的最值也被广泛应用于各个领域，为人们理解和掌握复杂问题提供了重要依据。
三角函数的最值是指函数在取值范围内的最小值和最大值。
在数学中，三角函数的最值可以用有理函数的积分、极限和微分等方法求出。
其中，有理函数的极限是三角函数最值的最主要的方法，利用极限，可以根据函数图像找出最值的具体的值，从而得到函数的最值。
求三角函数最值的方法一般有两个步骤。
首先，确定函数在取值范围内的最大值和最小值，然后通过有理函数极限和微分求解得出精确的最值。
有理函数极限求解三角函数最值的方法是：先求出三角函数的有理函数曲线，然后从曲线的图像上观察函数最大值和最小值的点，从而确定函数的最值。
有理函数微分也可以用来求解三角函数最值。
它是利用函数的导数，找出函数变化最快和最慢的点，由此确定函数的最值。
三角函数最值的最重要的一点是，它也有自己的变化规律，按照这一规律，可以根据函数的类型和取值范围来确定函数的最值。
例如，常见的正弦函数f(x)在取值范围内的最值是：f(x)的最大值等于1，最小值等于-1。
而余弦函数的最值仍为1和-1，但是最大值和最小值的取值范围有所不同，因此在求解最值时，要根据函数的变化规律来确定最大值和最小值的边界点，从而求得函数的最值。
同样，双曲函数的最值也是按照变化规律来求解的。
总的来说，通过研究函数变化规律，可以根据函数的类型，找出函数在取值范围内的最大值和最小值，得出函数的最值。
不仅仅是三角函数，其他函数的最值也可以通过有理函数极限和微分求解。
另外，还有一些有趣的结论，如根据函数的特性，研究和分析函数的变化规律，对于求函数的最值也有一定的指导作用。
总而言之，从上面的内容可以看出，三角函数的最值具有重要的意义，它可以为人们分析复杂问题提供借鉴，也可以在各个领域得到广泛应用。
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§29 三角函数的最值问题（1）
【考点及要求】
掌握求三角函数的最值的基本方法．
【基础知识】
【基本训练】
1．(1)设M 和N 分别表示函数1cos 3
1
-=x y 的最大值和最小值,则M +N 等于_______. (2)函数x x y cos sin 4=在区间[0,π3
2]上的最大值为_______,最小值为_______. 2．(1)函数x x y cos sin +=的最大值为_______,最小值为_______.
(2)函数)6
sin()3sin(2x x y ++-=ππ的最大值为_______. 3．函数2
5sin 25sin 2+-=x x y 的最大值为_______,最小值为_______. 4．函数x
x x f sin 1sin )(+=,),0(π∈x ,则)(x f 的最小值是_______. 5．函数1
cos cos +=x x y 的最大值为_______.
【典型例题讲练】
例1 求函数x x y cos 3sin +=在区间[2,2ππ-
]上的最大值与最小值.
练习： 函数)40)(sin (cos sin π<
<-=x x x x y 的最大值是
例2 函数)(2cos 2
1cos )(R x x x x f ∈-
=的最大值等于_______
练习： 已知,4-<k 则函数)1(cos 2cos -+=x k x y +1的最小值是多少?
例3 求函数)cos 34)(sin 34(x x y --=的最小值.
练习： 求函数 ))(cos (sin a x a x y ++= 的最大值与最小值(其中)01<≤-a .
【课堂小结】
1． 求三角函数最值的常用方法有：
（1） 配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；
（2） 化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；
（3） 换元法；
（4） 基本不等式法等.
2．三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意条件中所给出的范围.
3．求三角函数的最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条
件及正余弦函数的有界性.
【课堂检测】 已知31sin sin =
+y x ,求x y 2cos sin -的最大值与最小值. 1．当-≤≤ππ22
x 时，函数f x x x ()sin cos =+3的最大值是 ，最小值是 2． 函数2cos 3cos 2+-=x y 的最小值为
3．函数x
x y cos sin 21++=的最大值是
§30 三角函数的最值问题（2）
【基础练习】
1.若函数)34sin(π
--=x b a y 的最大值和最小值分别为5和1,则
=a ,=b . 2. 函数)6cos()3sin(2x x y +--=π
π的最小值为_______.
3. 函数472cos sin cos 2+
--=x x x y 的最大值_________. 4.函数2
sin sin +=x x y 的最小值为______,,最大值为_______. 【典型例题】
例1 已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3sin(cos 2)(2+-+
=π,求函数)(x f 的最大、最小值.
练习： 已知a R a a x x x x f ,.(1cos sin 32cos 2)(2∈-++=为常数).(1)若,R x ∈求)(x f 的最小正周期；(2)若)(x f 在[0,6
π]上的最大值与最小值之和为5,求a 的值.
例2 设关于x 的函数)12(cos 2cos 22+--=a x a x y 的最小值为)(a f .
（1）写出)(a f 的表达式；
（2）试确定使2
1)(=
a f 的a 值，并对此时的a ，求y 的最大值.
例3 扇形AOB 的半径为1,中心角为 60，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出这个最大值.
【课堂小结】掌握某些带约束(隐含)条件的最值
【课堂检测】 1．若)10(sin 2)(<<=ωωx x f 在区间]3,
0[π上得最大值是2.则ω的值是_______ 2．求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最大值和最小值及相应x 的值.
【课外作业】
1．已知函数1cos sin 2
3cos 212++=
x x x y ，R x ∈ （I ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（II ）该函数的图象可由x y sin =（R x ∈）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
2．已知函数1cos sin 32sin 2)(2++-=b x x a x a x f 的定义域为]2,0[π，值域为]1,5[-，求b a ,之值.。