2015-2016年贵州省遵义市航天高中高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2015-2016学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）如果命题“￢（p∨q）”是假命题，则下列说法正确的是（）A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题C．p、q均为假命题D．p、q中至少有一个为假命题2．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为45°，则y的值为（）A．﹣1B．﹣3C．0D．23．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42B．36π+18C．D．4．（5分）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值为（）A．4B．C．D．﹣45．（5分）已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．若α⊥β，α∩β=b，a⊥b，则a⊥βD．若α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则a∥β6．（5分）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）A．x+y﹣1=0B．x+y+3=0C．x﹣y+1=0D．x﹣y+3=0 7．（5分）四棱锥P﹣ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）抛物线y2=4x上的点M（x0，y0）到焦点F的距离为5，则x0的值为（）A．1B．3C．4D．59．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为4的正方形，高为2，则它的外接球的表面积为（）A．36πB．9πC．20πD．16π10．（5分）“a=1”是“两直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+2=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）A．B．C．D．12．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．14．（5分）命题：“∀x∈R，e x≤x”的否定是（写出否定命题）15．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，若△PF1F2的面积为．16．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）三、解答题．（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．（10分）已知两条直线l1：ax﹣by+4=0和l2：（a﹣1）x+y+b=0，若l1⊥l2且l1过点（﹣3，﹣1），求a，b的值．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，点E、F分别为PC、PA的中点．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求三棱锥F﹣ABE的体积．19．（12分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C在直线x+y﹣1=0上，且点C 在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）斜率为2的直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l方程．20．（12分）设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，求证：是一个定值（其中O为坐标原点）．21．（12分）如图，已知圆柱的高为4，AA1，BB1，CC1是圆柱的三条母线，AB 是底面圆O的直径，AC=3，AB=5．（1）求证：AC1∥平面COB1；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的正切值．22．（12分）设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D 两点，若•+•=8，求k的值．2015-2016学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）如果命题“￢（p∨q）”是假命题，则下列说法正确的是（）A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题C．p、q均为假命题D．p、q中至少有一个为假命题【解答】解：因为命题￢（p∨q）为假，所以（p∨q）为真，所以p或q中至少一个为真．故选：B．2．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为45°，则y的值为（）A．﹣1B．﹣3C．0D．2【解答】解：经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的斜率为k=．又直线的倾斜角为45°，∴y+2=tan45°=1，即y=﹣1．故选：A．3．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42B．36π+18C．D．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2=18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选：D．4．（5分）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值为（）A．4B．C．D．﹣4【解答】解：∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴，解得m=﹣4．故选：D．5．（5分）已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．若α⊥β，α∩β=b，a⊥b，则a⊥βD．若α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则a∥β【解答】解：对于A，根据线面平行的判定，a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α，故A 不正确；对于B，根据面面平行的判定，a，b相交时，α∥β，故B不正确；对于C，根据面面垂直的性质，当a⊂α，α⊥β，α∩β=b，a⊥b，则a⊥β，故C 不正确；对于D，过a作平面γ，与α、β分别交于b，c，则∵α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，∴a∥b∥c，∵a⊄β，c⊂β，∴a∥β，故D正确；故选：D．6．（5分）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）A．x+y﹣1=0B．x+y+3=0C．x﹣y+1=0D．x﹣y+3=0【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，可得出圆心坐标为（1，2），将x=1，y=2代入A选项得：x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入C选项得：x﹣y+1=1﹣2+1=0，故圆心在此直线上；将x=1，y=2代入D选项得：x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，则直线x﹣y+1=0将圆平分．故选：C．7．（5分）四棱锥P﹣ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正方形ABCD中，CD∥AB∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角△PAB中，PA=PB=，AB=2∴cos∠PAB===即CD与PA所成角的余弦值为故选：A．8．（5分）抛物线y2=4x上的点M（x0，y0）到焦点F的距离为5，则x0的值为（）A．1B．3C．4D．5【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），抛物线y2=4x上的点M（x0，y0）到焦点F的距离为5，∴点M到抛物线的准线方程x=﹣1的距离为5，∴x0﹣（﹣1）=5，解得x0=4．故选：C．9．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为4的正方形，高为2，则它的外接球的表面积为（）A．36πB．9πC．20πD．16π【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为4的正方形，高为2，∴长方体的对角线AC 1==5，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，∴球的一条直径为AC1=6，可得半径R=3，因此，该球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π，故选：A．10．（5分）“a=1”是“两直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+2=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=1时，直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+2=0为y=x﹣2和3x﹣3y+2=0，它们互相平行，充分性成立；当直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+2=0互相平行时，a（a+2）﹣3=0，解得a=1或a=﹣3（直线重合，舍去），必要性成立；所以“a=1”是“两直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+2=0互相平行”的充要条件．故选：C．11．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意=++=+﹣+=﹣++﹣=﹣++又=，=，=∴=﹣++故选：B．12．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．14．（5分）命题：“∀x∈R，e x≤x”的否定是（写出否定命题）【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“∀x∈R，e x≤x”的否定是：．故答案为：．15．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，若△PF1F2的面积为9．【解答】解：由椭圆可得：a2=25，b2=9．∴a=5，b=3，c==4．设|PF1|=m，|PF2|=n．∵，∴∠F1PF2=90°．∴m2+n2=（2c）2=64．又m+n=2a=10，联立，解得mn=18．∴△PF1F2的面积S=mn=9．故答案为：9．16．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足DM⊥PC（或BM⊥PC等）时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）【解答】解：由定理可知，BD⊥PC．∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．故选DM⊥PC（或BM⊥PC等）三、解答题．（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．（10分）已知两条直线l1：ax﹣by+4=0和l2：（a﹣1）x+y+b=0，若l1⊥l2且l1过点（﹣3，﹣1），求a，b的值．【解答】解：由l1⊥l2，得：a（a﹣1）﹣b=0①；由l1过点（﹣3，﹣1），得﹣3a﹣b+4=0②；由①②解方程组得：a=﹣1+，b=7﹣3；或a=﹣1﹣，b=7+3．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，点E、F分别为PC、PA的中点．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求三棱锥F﹣ABE的体积．【解答】（几何法）（1）证明：∵PB⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴PB⊥AC，又∠BCA=90°，即AC⊥BC，而PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，又BE⊂平面PBC，∴，∴（2）解：V F=V E﹣ABF==﹣ABEV E﹣ABP=====．（向量法）如图，以点C为原点建立空间直角坐标系C﹣XYZ（其中Z轴∥PB），由已知，得：C（0，0，0），A（0，4，0），B（4，0，0），P（4，0，4），E（2，0，2），F（2，2，2）（1）证明：，，∴BE⊥CA且BE⊥CP，故BE⊥平面PAC，=V E﹣ABF，（2）由题意可知V F﹣ABE又由可求得平面ABF的一个法向量而，∴E到平面ABF的距离∴．19．（12分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C在直线x+y﹣1=0上，且点C 在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）斜率为2的直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l方程．【解答】解：（1）由题意，可设点C（a，1﹣a）（a＜0），∴即故圆C方程为：x2+y2﹣2ax+（2a﹣2）y+3=0，∴又，∴2a2﹣2a﹣2=2解得a=﹣1或a=2（舍），∴圆C方程为：x2+y2+2x﹣4y+3=0；（2）由（1）得圆C方程为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆心C（﹣1，2）设所求直线l：y=2x+m，即2x﹣y+m=0圆心C到直线l的距离为d，由|AB|=2而，可得d=1，∴，解得，∴直线l方程为20．（12分）设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，求证：是一个定值（其中O为坐标原点）．【解答】证明：由C：y2=4x，可得F（1，0）若l⊥x轴，则l：x=1，∴A（1，2），B（1，﹣2），∴=1×1+2×（﹣2）=﹣3若l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）联立消x得：ky2﹣4y﹣4k=0∴从而，∴综上可知：（定值）21．（12分）如图，已知圆柱的高为4，AA1，BB1，CC1是圆柱的三条母线，AB 是底面圆O的直径，AC=3，AB=5．（1）求证：AC1∥平面COB1；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的正切值．【解答】解：由AB是⊙o直径，可知AC⊥BC，故由AC=3，AB=5可得：BC=4，以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C﹣XYZ（如图）则（1）由，可得平面COB 1的一个法向量又，∴，∴又AC1⊄平面COB1∴AC1∥平面COB1（2）由，可得平面ABC1的一个法向量，由，可得平面BCC1的一个法向量设二面角A﹣BC1﹣C为θ，则，．即二面角A﹣BC1﹣C的正切值为：．22．（12分）设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D 两点，若•+•=8，求k的值．【解答】解：（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为．∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A （﹣，0），B （，0），∴•+•=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1）=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=±，验证满足题意．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。