第1章 第1节 集合的概念与运算

B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2 或 x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
解析： 依题意得 A＝{x|x<－1 或 x>4}，因为∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的
阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． 答案： D
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[同类练]
1．(2017·天津卷)设集合 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A
∪B)∩C＝( )
A．{2}
B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析： 因为 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以 A∪B＝{1,2,4,6}，又 C＝{x∈R| －1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
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2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再 利用集合元素的特征判断集合关系． (3)数形结合法：利用数轴或 Venn 图．
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考向·分层突破
考向一 集合的基本概念 自主练透型
1．已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个
(2)∵B⊆A，
∴①若 B＝∅，则 2m－1<m＋1，此时 m<2.
②若 B≠∅，则2mm＋－11≥≥－m2＋，1， 2m－1≤5.
注意集合的分类 讨论问题
解得 2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.
答案： (1)D (2)(－∞，3]
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(1)判断两集合的关系的三种常用方法 ①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异 同，从而找出集合之间的关系． ②变形：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结 构上找差异进行判断(如例(1))． ③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从 而确定集合与集合之间的关系．
所以 2≤a≤3. 答案： ［２，３］
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微专题系列
[交汇创新]
追踪集合中的新定义
以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，
此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见
的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考
生理解、解决创新问题的能力．
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(4)常见数集的记法
牢记常见数集 的表示方法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
N
N*(或 N＋)
Z
Q
R
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表示 关系
文字语言
符号语言
子 集合 A 的 元素 都是集合 B 集 的元素
x∈A⇒x∈B
基 本 关
真 子 集
集合 A 是集合 B 的子集，且 集合 B 中 至少 有一个元素 不属于 A
解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A．若5∈A，
则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故
5∉A．同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．
答案： D
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4．(2017·洛阳市第一次统一考试)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－3x－4>0}，
答案： D
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2．已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B⊆A，则m的取值范围
为________．子集问题注意空集与非空的讨论
解析： 当 m≤0 时，B＝∅，显然 B⊆A．
当 m>0 时，∵A＝{x|－1<x<3}．
从集合关系角度分析
当 B⊆A 时，有
∴－m≤m≥3，－1， －m<m.
wenn图 的应用
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[拓展练]
一元二次不等式 的解法
5．(2017·江西南昌模拟)已知集合 M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m<x<5}，若 M∩N
＝{x|3<x<n}，则 m＋n 等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析： 由 x2－4x<0 得 0<x<4，所以 M＝{x|0<x<4}．又因为 N＝{x|m<x<5}，
x＋1}＝
的
{y|y≥1}＝[1，＋∞)，值 所以
A∩(∁UB)＝域(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0,1)．
答案： C
域
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[变式练]
3．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集,且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}， 则A＝( )
A．{1,3}
B．{3,7,9}
C．{3,5,9}
[2，＋∞)
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[跟踪训练]
1．定义集合的商集运算为AB＝xx＝mn ，m∈A，n∈B
B．{1,0} D．{1,5}
(2)(2017·广东七校联考)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x
－1)}，则(∁UA)∩B＝( )
A．{x|x>2 或 x<0}
B．{x|1<x<2}
C．{x|1<x≤2}
D．{x|1≤x≤2}
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解析： (1)∵A∩B＝{1}，∴1∈B， ∴1－4＋m＝0，即 m＝3. ∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选 C. (2)解不等式 x2－2x>0，即 x(x－2)>0，得 x<0 或 x>2，故 A＝{x|x<0 或 x>2}．集 合 B 是函数 y＝lg(x－1)的定义域，由 x－1>0，解得 x>1，所以 B＝{x|x>1}．易知 ∁UA＝{x|0≤x≤2}，所以(∁UA)∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}． 答案：（1）C（2）C
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求解集合基本问题的一般思路 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当 集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么． (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异 性.
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考向二 集合间的基本关系 互动讲练型
(1)已知集合 A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是
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(2)根据两集合的关系求参数的方法 ①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解， 此时注意集合中元素的互异性； ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时 需注意端点值能否取到． [注意] 题目中若有条件 B⊆A，则应分 B＝∅和 B≠∅两种情况进行讨论(如例 (2)).
集合的概念与运算
栏目一 考点·分类整合 栏目二 考向·分层突破
栏目导引
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1．集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
答案： B
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2．(2017·南昌市第一次模拟)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|y＝lg x}，集合 B
＝{y|y＝ x＋1}，那么 A∩(∁UB)＝( 数 )
A．∅
集
函 B．(0,1]
数
C．(0,1)
集
数
的 D．(1，＋∞)
解析：
函
由题知数，A＝{x|y＝lg
x}定 义＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝
解析： 因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，所以 a＋b＝0，则 ba＝－1，所以 a＝－1，b＝0.所以 b－a＝2.
集合相等
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3．设集合 A＝{x|(x－a)2<1}，且 2∈A,3∉A，则实数 a 的取值范围为________． 解析： 由题意得23－ －aa22<≥11， 即1a<≤a2<或3，a≥4， 所以 1<a≤2. 答案： (1,2]
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(1)设 U＝{1,2,3}，M，N 是 U 的子集，若 M∩N＝{1,3}，则称(M，N)
为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，
M)不同)为________．
(2)设 A，B 是非空集合，定义 A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且 x∉(A∩B)．已知集合 A＝
数是( )
A．1
B．3
C．6
D．9点集
解析： 当 x＝0 时，y＝0；当 x＝1 时，y＝0 或 y＝1；当 x＝2 时，y＝0,1,2.
故集合 B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合 B 中有 6 个元素．
答案： C
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2 2．设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则 b－a＝________.
注意集合的分类 讨论问题
∴0<m≤1.
综上所述，m 的范围为 m≤1. 答案： (－∞，1]
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考向三 集合的基本运算 分层深化型
(1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合 A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若 A∩B
＝{1}，则 B＝( )
A．{1，－3}
注意并交补集合的求法
C．{1,3}
A⊆B，且∃x0∈ B，x0∉A