2014-2015年湖北省武汉二中高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试卷及答案
湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（文）试题考试时间：2015年2月4日 上午9：00—11：00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中正确的是 （ ） A. 若事件A 与事件B 是互斥事件, 则()()1P A P B +=; B. 若事件A 与事件B 满足条件: ()()()1P A B P A P B ⋃=+=, 则事件A 与事件B 是 对立事件; C. 一个人打靶时连续射击两次, 则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对立事件;D. 把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人, 每人分得1张, 则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件.2. 用反证法证明命题: “a , b ∈N , 若ab 不能被5整除, 则 a 与b 都不能被5整除”时, 假设的内 容应为 （ ） A. a , b 都能被5整除 B. a , b 不都能被5整除 C. a , b 至少有一个能被5整除 D. a , b 至多有一个能被5整除3. (是虚数单位)则实数a =（ ）A. B. C. －1 D. －2 4. 下列框图属于流程图的是（ ）A.B.C.D.5. 若双曲线1522=-mx y 的渐近线方程为35±=y , 则双曲线焦点F 到渐近线的距离为（ ） A.2 B.3C.4D. 56. 已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程ˆybx a =+必过点（ ）A. (20,16)B. (16,20)C. (4,5)D. (5,4)7. F , 若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则此直线的斜率的取值范围是（ ）8. 已知(4,2)是直线l 被椭圆362x ＋92y ＝1所截得的线段的中点, 则l 的方程是（ ）A. x ＋2y +8＝0B. x ＋2y －8＝0C. x -2y －8＝0D. x -2y +8＝0 9. 下列说法中不正确的个数是（ ）①命题“∀x ∈R ,123+-x x ≤0”的否定是“∃0x ∈R ,12030+-x x >0”;②若“p ∧q ”为假命题, 则p 、q 均为假命题;③“三个互不相等的数a , b , c 成等比数列”是“b =ac ”的既不充分也不必要条件A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点, 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.B.C. 3D. 2二、填空题（本大题共 7个小题 ，每小题 5分，共35分）11. 已知高一年级有学生450人, 高二年级有学生750人, 高三年级有学生600人.用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为的样本, 且每个学生被抽到的概率为0.02, 则应从高二年级抽取的学生人数为 .12. 在空间直角坐标系O －xyz 中, y 轴上有一点M 到已知点(4,3,2)A 和 点(2,5,4)B 的距离相等, 则点M 的坐标是 . 13. 某学生5天的生活费(单位:元)分别为:,y , 8, 9, 6. 已知这组数据的平均数为8, 方差为2,14. 如图所示的算法中, 3a e =, 3b π=,c e π=, 其中π是圆周率,2.71828e = 是自然对数的底数, 则输出的结果是 .15. 双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3), 则k 的值为___________, 双曲线的渐近线方程 为___________.16. 集合{1,2,3,,}(3)n n ≥中, 每两个相异数作乘积, 将所有这些乘积35++⨯+17. 称为黄金双曲线. 如图是双曲线:;②若ac b=2, 则该双曲线是黄金双曲线;③若21,F F 为左右焦点, 21,A A 为左右顶点,1B (0, b),2B (0,﹣b )且021190=∠A B F , 则该双曲线是黄金双曲线;④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN⊥, 090=∠MON ,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为 .三、解答题（共5大题，共65分） 18. (12分)命题p :“0],2,1[2≥-∈∀a xx ”, 命题q :“022,0200=-++∈∃a ax x R x ”, 若“p 且q ”为假命题,求实数a 的取值范围.19. (13分)已知三点P (5, 2)、F 1(－6, 0)、F 2(6, 0).(1) 求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程;(2) 设点P 、F 1、F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为12',','P FF , 求以12','F F 为焦点且过'P 点的双曲线的标准方程.20. (13分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如下, 据此解答如下问题.(1) 求全班人数及分数在[)90,80之间的频数;(2) 估计该班的平均分数, 并计算频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高;(3) 若要从分数在[80, 100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况, 在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90, 100]之间的概率.21. (13分)如图, 在三棱柱111C B A ABC -中, 侧棱⊥1AA 底面ABC,AB BC⊥, D 为AC的中点,1 2.A A AB ==(1) 求证://1AB 平面D BC 1;(2) 过点B 作AC BE ⊥于点E ,求证: 直线⊥BE 平面C C AA 11;(3) 若四棱锥D C AA B 11-的体积为3, 求BC 的长度.22. (14分)在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A (－1, 1), P 是动点, 且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP＋k OA ＝k P A .(1) 求点P 的轨迹C 的方程;(2) 若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点, 且PQ ＝λOA , 直线OP 与QA 交于点M , 问: 是否存在点P , 使得△PQA 和△P AM 的面积满足S △PQA ＝2S △P AM ? 若存在, 求出点P 的坐标; 若不存在, 说明理由.武汉二中2014——2015学年上学期高二年级期末考试数学（文科）试卷参考答案11. 1512. (0,4,0)M 13. 3 14. 3π15. －1; 16. 32217. ①②③④18. ),1()1,2(+∞-∈ a∴⊿=4a 2-4（2-a ）≥0,即,a ≥1或a ≤-2, p 真q 也真时 ∴a ≤-2,或a =1 若“p 且q ”为假命题 , 即),1()1,2(+∞-∈ a . 考点: 全称命题与特称命题; 简易逻辑.19. （12【解析】试题分析: （1）根据椭圆的定义, 又6c =, 利用222ab c =+, 可求出, 从而得出椭圆的标准方程, 本题要充分利用椭圆的定义.（2）由于F 1、F 2关于直线y x =的对称点在y 轴上, 且关于原点对称, 故所求双曲线方程为标准方程, 又6c =, 要注意的是双曲线中有222ab c +=, 故也能很快求出结论.试题解析: , 其半焦距6c =,2a a ==3b =（2）点P （5, 2）、（－6, 0）、（6, 0）关于直线y ＝x 的对称点分别为:'(2,5)P , 1'(0,6)F -, 2'(0,6)F , 设所2a a ==4b =,考点: （1）椭圆的标准方程; （2）双曲线的标准方程.20. 解：（I ）由茎叶图知，分数在[)60,50之间的频数为2，频率为,08.010008.0=⨯全班人数为.2508.02=所以分数在[)90,80之间的频数为42107225=----（II ）分数在[)60,50之间的总分为56+58=114；分数在[)70,60之间的总分 为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[)80,70之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[)90,80 之间的总分约为85×4=340；分数在]100,90[之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为.7425193340747456114=++++估计平均分时，以下解法也给分：分数在[)60,50之间的频率为2/25=0.08;分数在[)70,60之间的频率为7/25=0.28；分数在 [)80,70之间的频率为10/25=0.40;分数在[)90,80之间的频率为4/25=0.16分数在 ]100,90[之间的频率为2/25=0.08; 所以，该班的平均分约为8.7308.09516.08540.07528.06508.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高为.016.010254=÷（III ）将[)90,80之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6， 在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）；（2，3），（2，4），（2，5）， （2，6）；（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）；（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率是6.0159=21. (1)证明:连接,1C B 设O BC C B =⋂11,连接,OD ………1分11B BCC 是平行四边形, ∴点O 是C B 1的中点,D 是AC 的中点, ∴OD 是C AB 1∆的中位线,∴OD AB //1…………………………………………3分 又D BC D,BC 111平面平面⊂⊄OD AB∴ AB 1//平面BC 1D …………………………………………5分 (2) ABC,BE ABC,1平面平面⊂⊥A A∴BE,A 1⊥A ………………………………………7分, 又A A A AC AC,BE 1=⋂⊥……………………9分∴直线BE ⊥平面C C AA 11………………………………………10分 (2)的解法2:ABC C C AA C,C AA A A ABC,111111平面平面平面平面⊥∴⊂⊥A A ……7分 ABC,BE AC,BE AC,ABC C C AA 11平面平面又平面⊂⊥=⋂ ∴直线BE ⊥平面C C AA 11………………………………………10分 (3)【解析】(1)连接B 1C ,设O BC C B =⋂11,连接,OD 证明OD AB //1即可. (2) 因为BE AC ⊥,再证1A BE A ⊥即可.(3) 再根据311AA C DV=建立关于x 的方程, 解出x 值.由(2)知BE 的长度是四棱锥B —AA 1C 1D 的体高1 2.A A AB ==分……………12分………………13分3BC 3,x =∴=∴ …………………………………………………14分 22. （1）y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1)（2）(1, 1)【解析】(1)设点P (x , y )为所求轨迹上的任意一点, 则由k OP ＋k OA ＝k P A整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1).(2)设P (x 1,21x ), Q (x 2,22x , M (x 0, y 0),由PQ ＝λOA 可知直线PQ ∥OA , 则k PQ ＝k OA ,即x 2＋x 1＝－1, 由O 、M 、P 三点共线可知,OM＝(x 0, y 0)与OP ＝(x 1,21x )共线,∴x 021x －x 1y 0＝0, 由(1)知x 1≠0, 故y 0＝x 0x 1,同理, 由AM ＝(x 0＋1, y 0－1)与AQ ＝(x 2＋1,22x －1)共线可知(x 0＋1)(22x －1)－(x 2＋1)(y 0－1)＝0, 即(x 2＋1)[(x 0＋1)·(x 2－1)－(y 0－1)]＝0,由(1)知x 2≠－1, 故(x 0＋1)(x 2－1)－(y 0－1)＝0,将y 0＝x 0x 1, x 2＝－1－x 1代入上式得(x 0＋1)(－2－x 1)－(x 0x 1－1)＝0,整理得－2x 0(x 1＋1)＝x 1＋1, 由x 1≠－1得x0由S △PQA ＝2S △P AM , 得到QA ＝2AM ,∵PQ ∥OA , ∴OP ＝2OM , ∴PO ＝2OM , ∴x 1＝1, ∴P 的坐标为(1, 1)。
2014年湖北省高考数学理科试题及解析(全部题目)
2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B.34 C.1 D.42【解题提示】 考查二项式定理的通项公式 【解析】选C . 因为1r T += r r r r rrrx a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1. 3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,U A C B C ⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解析】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A = ，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】 考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解析】选B .画出散点图如图所示，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】 考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图 【解析】选D . 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D . 6.若函数f(x)，()g x 满足11()g()d 0f x x x -=⎰，则称f(x)，()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos 22f x x g x x ==；②()1,g()1f x x x x =+=-；③2(),g()f x x x x ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】 考查微积分基本定理的运用【解析】选C . 对①，1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114 (1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f、)(x g不为区间]1,1[-上的正交函数；对③，1341111()|04x dx x--==⎰，则)(x f、)(x g为区间]1,1[-上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤2xyyx确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21yxyx，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）A.81B.41C.43D.87【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDF CEFBDFS SPS⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。
~度湖北省武汉市部分高中二年级第一学期期末理科数学试题
21、(14分)如图，已知圆C 的圆心在直线l ：y=2x －4上，半径为1，点A(0，3)。
（1）若圆心C 也在直线y=x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点M ，使|MA|=2|MO|(O 为坐标原点)，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。
、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。
在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。
管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。
线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。
、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。
对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。
武汉市第二中学高二数学上学期期末考试试题理
自然数 , 则它是“有缘数”的概率是 ( )
A. 1
B. 1
C. 2
D. 3
2
3
3
4
7. 如果 ξ～ B , , 则使 P( ξ ＝ k) 取最大值时的 k 值为 ( )
A． 5 或 6 C． 7 或 8
B． 6 或 7
D．以上均错
8. 已知 实数
x 1,9 , 执行如图所示的程序框图 , 则输出的 x 不
(2 ) 已知点 A, B 为动直线 y k ( x 2)( k 0) 与椭圆 C 的两个交点 , 问：在 x 轴上是否存在点 E , 使 uuur 2 uuur uuur EA EA AB 为定值？若存在 , 试求出点 E 的坐 标和定值 , 若不存在 , 说明理由 .
22. ( 本小题满分 12 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知点 Q(1,2), P 是动点 , 且三角形 POQ 的三边所在直线的斜率
第一组 4.75,4.85 , 第二组 4.85,4.95 , …, 第 6 组 5.25,5.35 , 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 .
又知：该校所在的省中 , 全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省
服从正态分布 N 5.01,0.0064 .
100000 名喜爱足球的高中生的视力
2003 件产品中剔除 3 件 , 剩下的 2000
件再按系统抽样的方法抽取 , 则每件产品被选中的概率 ( )
A. 不都相等
B. 都不相等
C. 都相等 , 且为 50 2003
D. 都相等 , 且为 1 40
5. 在下列命题中：
rr
rr
①若向量 a、b 共线 , 则向量 a、b 所在的直线平行；
湖北省武汉市部分学校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理
湖北省武汉市部分学校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）某校现有2014-2015学年高一学生210人，2014-2015学年高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从2014-2015学年高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．10 B．9C．8D．73．（5分）已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离4．（5分）六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，不同的分法种数是（）A．B．56C．D．5．（5分）如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞46．（5分）为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度，随机选取了8天，统计上午8：00﹣10：00的点击量．茎叶图如图，设甲、乙的中位数分别为x1，x2，方差分别为D1，D2，则（）A．x1＜x2，D1＜D2B．x1＞x2，D1＞D2C．x1＜x2，D1＞D2D．x1＞x2，D1＜D27．（5分）学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度﹣1 3 8 12 17饮料瓶数 3 40 52 72 122根据上表可得回归方程中的为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（）A．141 B．191 C．211 D．2418．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．9．（5分）下列命题中是错误命题的个数有（）①A、B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；②若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件③A、B为两个事件，p（A|B）=P（B|A）④若A、B为相互独立事件，则p（B）=P（）P（B）．A．0B．1C．2D．310．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则若在集合M所表示的区域内撒100颗黄豆，落在集合M∩N所表示的区域的黄豆约有多少（）A．12 B．25 C．50 D．75二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．11．（5分）在运行如图的程序之后输出y=16，输入x的值应该是．12．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．13．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是．14．（5分）数阵满足：（1）第一行的n个数分别是1，3，5，…，2n一1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和；（3）数阵共有n行．则第5行的第7个数是．15．（5分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[80，90）①②[90，100）0.050[100，110）0.200[110，120）36 0.300[120，130）0.275[130，140）12 ③[140，150]0.050合计④（1）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为，，，；（2）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图；（3）根据题中信息估计总体：①120分及以上的学生数；②成绩落在[110，126]中的概率．17．（12分）已知圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于A，B两点．（Ⅰ）求弦AB的长；（Ⅱ）若圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C2的方程．18．（12分）已知，且（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n．（1）求n的值；（2）求a1+a2+a3+…+a n的值；（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．19．（12分）某校要组建篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩一级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，且规定在确认已经入围后则不必再投篮．若投中2次则确定为二级，若投中3次可确定为一级．已知根据以往的技术统计，某班同学王明每次投篮投中的概率是，每次投篮结果互不影响．（1）求王明投篮3次才被确定为二级的概率；（2）现在已知王明已经入围，在此条件下求他实际投篮5次才入围的概率．20．（13分）已知圆C的圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，圆C与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）点为圆C上任意一点，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知过点A（0，1）且方向向量为的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．（1）求实数k的取值范围；（2）若O为坐标原点，且，求k的值．湖北省武汉市部分学校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是（）A．1B．2C．3D．4考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，又得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数，从而得到需要做除法的次数．解答：解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数3故选C．点评：本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．2．（5分）某校现有2014-2015学年高一学生210人，2014-2015学年高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从2014-2015学年高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．10 B．9C．8D．7考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：本题是一个分层抽样问题，根据所给的2014-2015学年高一学生的总数和2014-2015学年高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数．解答：解：∵由题意知2014-2015学年高一学生210人，从2014-2015学年高一学生中抽取的人数为7∴可以做出每=30人抽取一个人，∴从高三学生中抽取的人数应为=10．故选A．点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．3．（5分）已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：用点斜式求得直线m的方程，与直线l的方程对比可得m∥l，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线l的距离大于半径r，从而得到圆和直线l相离．解答：解：由题意可得a2+b2＜r2，OP⊥l1．∵K OP=，∴l1的斜率k1=﹣．故直线l1的方程为y﹣b=﹣（x﹣a），即ax+by﹣（a2+b2）=0．又直线l2的方程为ax+by﹣r2=0，故l1∥l2，圆心到直线l2的距离为＞=r，故圆和直线l2相离．故选A．点评：本题考查点和圆、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离大于半径r，是解题的关键．4．（5分）六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，不同的分法种数是（）A．B．56C．D．考点：排列、组合及简单计数问题．分析：将六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，则其中有1人分两件奖品，故先将奖品分成5份，其中一份有两个奖品，共有种情况，再将5组奖品分别发给5个人，共有种情况，根据分步乘法原理，可得答案．解答：解：六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，可先将6件不同的奖品分成5组再分给5个人故不同的分法种数有种故选D点评：本题考查的知识点是排列组合及简单的计数问题，其中理清解决问题是分类的还是分步的，分步需要分多少步，是解答的关键．5．（5分）如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞4考点：程序框图．专题：图表型．分析：首先将二进制数11111（2）化为十进制数，得到十进制数的数值，然后假设判断框中的条件不满足，执行算法步骤，待累加变量S的值为31时，算法结束，此时判断框中的条件要满足，据此可得正确的选项．解答：解：首先将二进制数11111（2）化为十进制数，11111（2）=1×20+1×21+1×22+1×23+1×24=31，由框图对累加变量S和循环变量i的赋值S=1，i=1，i不满足判断框中的条件，执行S=1+2×S=1+2×1=3，i=1+1=2，i不满足条件，执行S=1+2×3=7，i=2+1=3，i不满足条件，执行S=1+2×7=15，i=3+1=4，i仍不满足条件，执行S=1+2×15=31，此时31是要输出的S值，说明i不满足判断框中的条件，由此可知，判断框中的条件应为i＞4．故选D．点评：本题考查了程序框图，考查了进位制，本题是程序框图中的循环结构，虽先进行了一次判断，实则是直到型性循环，此题是基础题．6．（5分）为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度，随机选取了8天，统计上午8：00﹣10：00的点击量．茎叶图如图，设甲、乙的中位数分别为x1，x2，方差分别为D1，D2，则（）A．x1＜x2，D1＜D2B．x1＞x2，D1＞D2C．x1＜x2，D1＞D2D．x1＞x2，D1＜D2考点：茎叶图．专题：计算题；概率与统计．分析：由茎叶图写出两组数据，分别求出两组数据的中间两数的平均数得两组数据的中位数，然后求出两组数据的平均数，代入方差公式求它们的方差．解答：解：由茎叶图分别得到甲、乙的点击量数据为：甲65，68，70，75，77，78，82，85；乙60，65，70，72，74，81，84，94甲、乙的中位数分别为，，甲的平均数为=75乙的平均数为=75所以甲乙的方差分别为=42．=．所以x1＞x2，D1＜D2．故选D．点评：本题考查了茎叶图，考查了中位数概念及方差公式，一组数据的中位数是把这组数据由小到大排列后的中间位置上的数，若含有偶数个，则是中间两数的平均数，此题是基础题．7．（5分）学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度﹣1 3 8 12 17饮料瓶数 3 40 52 72 122根据上表可得回归方程中的为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（）A．141 B．191 C．211 D．241考点：回归分析的初步应用．专题：计算题；概率与统计．分析：先计算样本中心点，求出回归方程，即可预测气温为30℃时销售饮料瓶数．解答：解：由题意，=7.8，==57.8∵回归方程中的为6，∴57.8=6×7.8+∴=11∴∴x=30°时，故选B．点评：本题考查回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．考点：排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有A1010；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：．故选B．点评：本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．9．（5分）下列命题中是错误命题的个数有（）①A、B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；②若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件③A、B为两个事件，p（A|B）=P（B|A）④若A、B为相互独立事件，则p（B）=P（）P（B）．A．0B．1C．2D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：概率与统计．分析：①互斥事件概率加法公式，使用前提是事件互斥，②对立事件概率之和为1，但概率之和为1不一定对立，③条件概率的计算公式，书写错误，④由A、B为相互独立事件，和B也是独立事件，利用独立事件概率公式计算．解答：解：①只有A、B为两个互斥事件时，才有P（A∪B）=P（A）+P（B），否则，此式不成立，①错误，②因为若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B不一定是对立事件．如单位圆的一条直径把圆的面积分成相等的两部分，即区域M和区域N（不含边界），向这两个区域内投一枚绣花针，若针尖落在区域M内记为事件A，若针尖落在区域N内记为事件B，显然满足P（A）+P（B）=1，但A，B不是对立事件，因为针尖还有可能落在直径上，②错误，③由条件概率的计算公式可得p（A|B）=，③错误，④由A、B为相互独立事件，可得和B也是独立事件，故由独立事件的概率公式可得p （B）=P（）P（B）．④正确，综上，错误命题的个数是3个，故选D．点评：本题考察随机事件及其概率中互斥事件，对立事件及相互独立事件概率的关系，要熟记概念，不可混淆，熟练运用公式，但容易在公式的使用条件上出错．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则若在集合M所表示的区域内撒100颗黄豆，落在集合M∩N所表示的区域的黄豆约有多少（）A．12 B．25 C．50 D．75考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问题．解答：解：∵f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，∴集合M：（x﹣2）2+（y﹣22≤2，是一个以（2，2）为圆心，为半径的圆，面积是2π．集合N：（x﹣2）2≥（y﹣2）2，或者（x+y﹣4）（x﹣y）≥0，两条直线x+y﹣4=0和x﹣y=0把M平均分为4份，其中两份就是M与N的交集，因此M∩N面积=×2=×2=π．∴若在集合M所表示的区域内撒100颗黄豆，落在集合M∩N所表示的区域的黄豆约有=50．故选C．点评：求限制条件（一般用不等式组来表示）所表示平面区域的面积，一般分为如下步骤：①化简不等式②分析不等式表示的平面区域③画出草图分析可行域④结合平面几何知识求出面积．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．11．（5分）在运行如图的程序之后输出y=16，输入x的值应该是±5．考点：伪代码．专题：操作型；算法和程序框图．分析：由已知中伪代码可得程序的功能是计算分段函数：y=（x+1）2，x＜0：y=（x﹣1）2，x≥0，根据y=16，代入分别计算求出x的值即可．解答：解：本程序含义为：输入x如果x＜0，执行：y=（x+1）2否则，执行：y=（x﹣1）2因为输出y=16由y=（x+1）2，x＜0，可得，x=﹣5由y=（x﹣1）2，x≥0，可得，x=5故x=5或﹣5故答案为：±5点评：本题选择选择结构的程序语句，根据两个执行语句分别计算．属于基础题．12．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．解答：解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．13．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．考点：轨迹方程；圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．解答：解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则，∴代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=1点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．14．（5分）数阵满足：（1）第一行的n个数分别是1，3，5，…，2n一1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和；（3）数阵共有n行．则第5行的第7个数是272．考点：归纳推理．专题：规律型；函数的性质及应用．分析：先确定第5行的第一个数，由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：2，22，…，2k，…，由此能求出第5行的第7个数．解答：解：设第k行的第一个数为a k，则a1=1，a2=4=2a1+2，a3=12=2a2+22，a4=32=2a3+23，a5=2a4+24=80由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：2，22，…，2k，…∴第5行组成以80为首项，32为公差的等差数列，∴第5行的第7个数是80+6×32=272故答案为：272点评：本题考查数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15．（5分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．解答：解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1，∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）故答案为：（﹣∞，12]∪[24，+∞）点评：本题考查新定义，考查生分析问题、解决问题，理解题意有些麻烦，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[80，90）①②[90，100）0.050[100，110）0.200[110，120）36 0.300[120，130）0.275[130，140）12 ③[140，150]0.050合计④（1）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为3，0.025，0.1，1；（2）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图；（3）根据题中信息估计总体：①120分及以上的学生数；②成绩落在[110，126]中的概率．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．专题：图表型．分析：（1）根据频率分步表中所给的频率和频数，根据样本容量，频率和频数之间的关系得到表中要求填写的数字．（2）根据所给的频率分布表所给的数据，画出频率分步直方图．（3）把各个部分的频率相加，得到要求的频率，乘以总体容量，即可估计满足条件的学生人数．解答：解：（1）先做出③对应的数字，=0.1，∴②处的数字是1﹣0.05﹣0.2﹣0.3﹣0.275﹣0.1﹣0.05=0.025∴①处的数字是0.025×120=3④处的数字是1，故答案为：3；0.025；0.1；1（2）（3）①120分及以上的学生数为：（0.275+0.100+0.050）×5000=2125；②成绩落在[110，126]中的概率为：点评：本题考查频率分布直方图，考查频率分布直方图的画法及频率分布直方图的应用，其中频率=频数÷样本容量=矩形的高×组矩，是处理利用频率分布直方图问题关键．17．（12分）已知圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于A，B两点．（Ⅰ）求弦AB的长；（Ⅱ）若圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C2的方程．考点：直线和圆的方程的应用；点到直线的距离公式；圆的一般方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求出圆心到直线l的距离，再利用勾股定理即可求出弦AB的长；（II）设圆C2的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，与圆方程相减，可得公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+2）y+F=0，利用圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，可得D=2E+6，再根据圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），可构建方程组，从而可求圆C2的方程．解答：解：（Ⅰ）圆心到直线l的距离，（2分）所以．（4分）（II）设圆C2的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆∴两方程相减，可得公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+4）y+F﹣4=0，∵圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，∴，即D=2E+6．（6分）又因为圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），所以所以圆C2的方程为x2+y2+6x﹣16=0．（8分）点评：本题考查圆中的弦长问题，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是利用圆的特征，确定公共弦的方程．18．（12分）已知，且（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n．（1）求n的值；（2）求a1+a2+a3+…+a n的值；（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）根据题意，将按排列、组合公式展开化简可得（n﹣5）（n﹣6）=90，解可得：n=15或n=﹣4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；（2）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1﹣2x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1，令令x=0得a0=1，两式相减可得答案．（3）根据展开式的通项公式，可得展开式中第r+1项的系数绝对值为2r•．由求得r=10，可得展开式中系数绝对值最大的项是第11项．解答：解：（1）∵已知，∴n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=56•，即（n﹣5）（n﹣6）=90，解之得：n=15或n=﹣4（舍去），∴n=15．（2）（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1﹣2x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，令x=1得：a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1，再令x=0得：a0=1，∴a1+a2+a3+…+a15=﹣2．（3）展开式的通项公式为T r+1=，故展开式中第r+1项的系数绝对值为2r•．由解得≤r≤，∴r=10，故展开式中系数绝对值最大的项是第11项．点评：本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，解题时要注意排列、组合数的定义、性质，其次注意灵活运用赋值法，属于中档题．19．（12分）某校要组建篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩一级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，且规定在确认已经入围后则不必再投篮．若投中2次则确定为二级，若投中3次可确定为一级．已知根据以往的技术统计，某班同学王明每次投篮投中的概率是，每次投篮结果互不影响．（1）求王明投篮3次才被确定为二级的概率；（2）现在已知王明已经入围，在此条件下求他实际投篮5次才入围的概率．考点：相互独立事件；条件概率与独立事件．专题：计算题．分析：（1）设王明投篮3次才被确定为二级为事件A，分析可得其前2次投篮中有一次投中，第3次投中，由独立事的概率乘法公式与n次独立事件中恰有k次发生的概率公式，计算可得答案；（2）设王明入围为事件B，他投篮5次为事件C；由对立事件的概率公式易得P（B），由独立事件的概率乘法公式可得P（BC），然后由条件概率公式计算可得答案．解答：解：（1）设王明投篮3次才被确定为二级为事件A，王明投篮3次才被确定为二级，即其前2次投篮中有一次投中，第3次投中，故P（A）=×××=；（2）设王明入围为事件B，他投篮5次为事件C，则P（B）=1﹣﹣=，P（BC）=×=，故所求事件的概率为P（C|B）==点评：本题考查相互独立事件概率的计算，理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键，属基础题．20．（13分）已知圆C的圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，圆C与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）点为圆C上任意一点，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）依题意设圆心坐标为（a，3a）（a＞0），由圆与x轴相切，得到半径为|3a|，进而表示出圆C的标准方程，由垂径定理及勾股定理表示出圆心到直线y=x的距离d，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=x的距离，两者相等列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出圆C的方程；（2）由（1）求出的圆C方程，设x=1+3cosθ，y=3+3sinθ（θ∈[0，2π]），代入已知的不等式中，分离出m，去括号整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由不等式恒成立得到m大于等于﹣x﹣y的最大值，由正弦函数的值域确定出﹣x﹣y的最大值，即可得到满足题意m的范围．解答：解：（1）依题设圆心坐标（a，3a）（a＞0），∵圆与x轴相切，∴圆的半径R=|3a|，∴圆C的方程可设为（x﹣a）2+（y﹣3a）2=9a2，∵R=|3a|，弦长为2，∴圆心到直线y=x的距离d==，由点到直线的距离公式得：d=，∴=，解得：a=±1，又a＞0，∴a=1，则圆C方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=9；（2）设x=1+3cosθ，y=3+3sinθ（θ∈[0，2π]），则m≥﹣x﹣y=﹣（1+3cosθ）﹣（3+3sinθ）=﹣4﹣3sinθ﹣3cosθ=﹣4﹣3sin（θ+），∵对任意θ∈[0，2π]恒成立，∴m≥（﹣x﹣y）max，∵（﹣x﹣y）max=﹣4+3，∴m≥﹣4+3．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，圆的极坐标方程，不等式恒成立问题，以及正弦函数的定义域与值域，是一道综合性较强的题．21．（14分）已知过点A（0，1）且方向向量为的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．。
武汉二中2014届高三模拟考试数学理科A卷含答案
试卷类型：A武汉二中2014届高三全真模拟考试一数学试题(理科)命题人：许建林 考试时间：2014年5月17日一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知1(1+=-是位),是iz i z z i 虚数单的共轭复数，则复数z 20032014+z 的虚部是( )A. iB. i -C. 1D. -12. 下列说法正确的是( ) A. 命题“0,x R ∃∈使得200230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>”B. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 C. “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件D. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题 3. 变速直线运动的物体的速度为(),0v t t =时所在初始位置为0S ，则1t 秒末它所在的位置为( )A. 10()⎰t v t dtB. 100()+⎰t S v t dtC. 100()⎰-t v t dt SD. 100()-⎰t S v t dt4. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为( )A.B. C. D.5. 若将函数5()(1)f x x =-表示为250125()(1)(1)(1),f x a a x a x a x =+++++++其中0125,,,,a a a a 为实数，则3a =( )A. 10B. 20C. 30D. 40 6. 程序框图如图，如果程序运行的结果为132S =,那么判断框中可填入( )A. 10k ≤B. 10k ≥C. 11k ≤D. 11k ≥7. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
给出下列函数：①()sin cos f x x x =+ ②()cos )f x x x + ③()sin f x x = ④()1).f x x + 其中“互为生成函数” 的是( )A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④8. 设有一个正方形网格，其中每个最小正方形边长都等于6cm ，现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率是( )A.49B.59C.13D.239. 设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220,OP OF F P O +⋅=为坐标原点，且12,PF 则双曲线的离心率为( )A.31+ B.C. D.10. 已知函数()f x 的定义域为(0,),+∞对于给定的正数K ,定义函数(),()().,()k f x f x Kf x K f x K ≤⎧=⎨>⎩若对于函数11(),x n x f x e +=恒有()()k f x f x =，则( )A. K 的最大值为1eB. K 的最小值为1eC. K 的最大值为2D. K 的最小值为2二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分) (一)必考题(1114题)11. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个角,,A B C 的对边，2cos 2,b c a c =-则B = . 12. 设正实数,,x y z 满足21++=x y z ，则19()x y x y y z++++的最小值为 . 13. 对于各数互不相等的整数数组12(,,,)(3,),n i i i n n N +≥∈对于任意的{}1,2,,,p q n ∈、当p q <时，有,p q i i >则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”。
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷(解析版)
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．直线043:=-+y x l 与圆4:22=+y x C 的位置关系是 （ ） A.相交且过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离 【答案】C 【解析】试题分析：∵圆C 的圆心为（0，0），半径2r =，而圆心到直线l 的距离2d r ===所以直线l 与圆C 相切考点：直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 2．已知y x ,之间的几组数据如下表假设根据上表数据所得线性回归方程为11a x b y +=, 某同学根据上表中前两组数据 求得的直线方程为22a x b y +=, 则以下结论正确的是 （ ） A.2121,a a b b >> B.2121,a a b b <> C.2121,a a b b >< D.2121,a a b b << 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知6n =，713,26x y == 12713043121524666267351491625366()2b +++++-⨯⨯==+++++-⨯，122930a =， 而由直线方程的求解可得22b =，把(1,0)代入可得22a =-， ∴1212,b b a a <>考点：线性回归方程的求解3．下图是一个程序框图, 则输出的结果为 （ ）A.20B.14C.10D.7 【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1,5i a ==; 第二次循环2,14i a ==； 第三次循环3,7i a ==； 第四次循环4,20i a ==； 第五次循环5,10i a ==；第六次循环6,5i a ==；……，输出的a 值的周期为5∵跳出循环的i 值为2015，∴第2014次循环的20a =. 考点：循环结构的程序框图4．统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下 甲队平均每场比赛丢失5.1个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1; 乙队全年丢失了79个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为6.0.据此分析 ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定; ③乙队几乎场场失球;④乙队防守技术的发挥比较稳定. 其中正确判断的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】试题分析：因为甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失7912， 所以甲队技术比乙队好，故①正确；因为甲队比赛丢失球的个数的标准差为1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6.所以乙队发挥比甲队稳定，故②正确；乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确， 考点：平均数，方差，标准差5．题文天气预报说, 在今后的三天中, 每三天下雨的情况不完全相间, 每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率 用1, 2, 3, 4表示下雨, 从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据.据此估计, 这三天中恰有两天下雨的概率近似为 （ ）19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A.236 B.216C.41D.非ABC 的结果【答案】C【解析】 试题分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下36组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：192、193、281、245、393、125、302、011、353，共9组随机数，所以所求概率为90.2536= 考点：随机数的含义与应用6．如果圆8)()(22=-+-a y a x 上总存在到原点的距离为2的点, 则实数a 的取值范围是 （ ）A.)3,1()1,3(⋃--B.)3,3(-C.[－1, 1]D.]3,1[]1,3[⋃-- 【答案】D 【解析】试题分析：圆22()()8x a y a -+-=的圆心(,)a a ，半径r =由于圆22()()8x a y a -+-=∴≤≤∴1||a ≤≤解得13a ≤≤或31a -≤≤-∴实数a 的取值范围是[3,1][1,3]-- 考点：点到直线的距离公式，圆的标准方程7．若P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1,则事件A 与B 的关系是 （ ）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对 【答案】D 【解析】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件；但若在不同实验下，虽有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 不一定对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的 考点：互斥事件与对立事件 8．已知直线1+=bkxb y 与圆10022=+y x 有公共点, 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 （ ）A.60条B.66条C.70条D.71条 【答案】A 【解析】 试题分析：22100x y +=，整点为(0,10)±，(6,8)±±，(8,6)±±，(10,0)±，如图，共12个点，直线1x ya b+=（a,b 为非零实数），∴直线与x,y 轴不平行，不经过原点，任意两点连线有212C 条，与x,y 轴平行的有14条，经过原点的有6条，其中有两条既过原点又与x,y 轴平行，所以共有212C +12-14-6+2=60考点：圆与圆锥曲线综合 9．我班制定了数学学习方案 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同 方案共有（ ）A.50种B.51种C.140种D.141种 【答案】D【解析】 试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141C C C C C C C +++=种考点：排列组合问题10．如图, 在四面体ABCD 中, E, F 分别为AB, CD 的中点, 过EF 任作一个平面α分别与直线BC, AD相交于点G, H, 有下列四个结论, 其中正确的个数是（ ）①对于任意的平面α, 都有直线GF, EH, BD 相交于同一点;②存在一个平面0α, 使得点G 在线段BC 上, 点H 在线段AD 的延长线上;③对于任意的平面α, 它把三棱锥的体积分成相等的两部分 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】试题分析：①取AD 的中点H ，BC 的中点G ，则EGFH 在一个平面内，此时直线GF ∥EH ∥BD ，因此不正确；②不存在一个平面0α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③对于任意的平面α，当G ，H 在线段BC ，AD 上时，可以证明几何体AC-EGFH 的体积是四面体ABCD 体积的一般，故③正确. 考点：棱柱、棱台、棱锥的体积二、填空题 11．武汉2中近3年, 每年有在校学生2222人, 每年有22人考取了北大清华, 高分率稳居前“2”, 展望未9年前景美好.把三进制数3)22222222(化为九进制数的结果为 . 【答案】9(8888) 【解析】试题分析：012345673(22222222)23232323232323236560=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∵0123656089898989=⨯+⨯+⨯+⨯，∴把三进制数3(22222222)化为九进制数的结果是9(8888)考点：进位制 12．某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 . 【答案】13【解析】试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为221433⨯= 考点：相互独立事件的概率乘法公式 13．已知)1,0(,∈y x , 则1212222222+-+++-+++x y x y y x y x 22222+--++y x y x 的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：从所给式子的几何意义考虑，即找点(,)x y 到（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）四点的距离之和最小（其中)1,0(,∈y x ），显然当2x =，2y =时距离之和最小为考点：两点间距离公式的应用14．集合}1)1()1(|),{(},1|1||||),{(22≤-+-=≤-+-=y x y x B y a x y x A ,若集合∅=B A , 则实数a 的取值范围是 . 【答案】[1,3] 【解析】试题分析：先分别画出集合{(,)||||1|1}A x y x a y =-+-≤，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤表示的平面图形，集合A 表示一个正方形，集合B 表示一个圆.如图所示，其中(1,1)A a +，(1,1)B a -，欲使A B =∅，只须A 或B 点在圆内即可，∴22(11)(11)1a +-+-≤或22(11)(11)1a --+-≤，解得：11a -≤≤或13a ≤≤，即13a -≤≤ 考点：简单的线性规划问题15．如图, P 为60的二面角βα--l 内一点, P 到二面角两个面的距离分别为2、3, A 、B 是二面角的两个面内的动点,则△PAB 周长的最小值为 .【答案】 【解析】 试题分析：如图，作出P 关于两个平面,αβ的对称点M 、N ，连接MN ，线段MN 与两个平面的交点坐标分别为C ，D ，连接MP ，NP ，CP ，DP ，则△PAB 的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN,当A 与C 重合，B 与D 重合时，由两点只见线段最短可以得出MN 即为△PAB 周长的最小值，根据题意可知：P 到二面角两个面的距离分别为2、3，∴MP=4，NP=6，∵大小为60°的二面角l αβ--，∴∠EOF=60°，∴∠MPN=120° 根据余弦定理有：2222MN MP NP MP NP COS MPN =+-⋅⋅∠22146246()762=+-⨯⨯⨯-=∴MN =∴△PAB 周长的最小值等于考点：三角形周长的最小值求法，二面角的定义和求法.三、解答题 16．（本小题满分12分）下图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图.（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数;（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本, 员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元, 求甲乙同时被抽到的概率.【答案】（1）平均收入为2400，中位数为2400； （2）甲、乙同时被抽到的概率为1001【解析】试题分析：（1）利用组中值，可得该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知甲、乙同时被抽到的概率. 试题解析：（1）可求出第一个小矩形的高度为0.0002 平均收入为=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯375005.0325015.0275025.0225025.017502.012501.02400元 中位数为2400元（面积分为相等的两部分; （3分）（2）月收入在1000至1500元之间的有100人, 月收入在3500元至4000元之间的有50人, 由分层抽样可知, 甲、乙同时被抽到的概率为1001 考点：频率分布直方图 17．（本小题满分12分）标号为0到9的10瓶矿泉水.（1）从中取4瓶, 恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？ （2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式, 作为射击的靶子, 规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下）, 把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A 、B 、C 三名垃圾回收人员, 每个瓶子1角钱.垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？ 【答案】（1）35种；（2）25200；（3）66. 【解析】 试题分析：（1）取4张红卡，其中2张连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有3537=C 种方法，即可得出结论；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论 试题解析：（1）取4张红卡, 其中有2张连在一起, 组成3个组合卡, 6张白卡排成一排, 插入3个组合卡, 有3537=C 种方法, 然后在卡片上从左到右依次编号, 取出红色卡, 一种插法对应一种取数字的方法, 所以共有35种.（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合, 因为每组数的数字大小是固定的, 数字小的挂下面.所以共有252003538210=C C C .（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关, 他们所得钱数只与所得瓶子个数有关.所以66212=C .考点：考查排列、组合的实际应用18．（本小题满分12分）如图, 已知圆M ()2244x y +-=, 直线l 的方程为20x y -=,点P 是直线l 上一动点, 过点P 作圆的切线PA 、PB , 切点为A 、B ．（1）当P 的横坐标为165时, 求∠APB 的大小; （2）求证 经过A 、P 、M 三点的圆N 必过定点, 并求出所有定点的坐标． 【答案】（1）∠APB ＝60°；（2）84(0,4),,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题设可知，圆M 的半径2r =，168(,)55P ，∠MAP=90°，根据MP=2r ，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB 的大小；（2）设P 的坐标，求出经过A 、P 、M 三点的圆的方程即可得到圆过定点. 试题解析：解 （1）由题可知, 圆M 的半径r ＝2, 168(,)55P , 因为PA 是圆M 的一条切线, 所以∠MAP ＝90°又因MP＝4=＝2r, 又∠MPA ＝30°, ∠APB ＝60°; （6分）（2）设P （2b, b ）, 因为∠MAP ＝90°, 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径, 方程为 ()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即()22(24)40x y b x y y +--+-= 由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩, 解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 考点：直线与圆的综合问题，圆过定点，19．（本小题满分12分）边长为2的正方形ABCD 中, BC F AB E ∈∈,（1）如果E 、F 分别为AB 、BC 中点, 分别将△AED 、△DCF 、△BEF 沿ED 、DF 、FE 折起, 使A 、B 、C 重合于点P.证明 在折叠过程中, A 点始终在某个圆上, 并指出圆心和半径.（2）如果F 为BC 的中点, E 是线段AB 上的动点, 沿DE 、DF 将△AED 、△DCF 折起,使A 、 C 重合于点P, 求三棱锥P －DEF 体积的最大值.【答案】（1）证明见解析，A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上.（2 【解析】试题分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论.（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论.试题解析：（1）解：∵E 、F 分别为正方形边AB 、BC 中点, 在平面图中连接AF, BD 交于O 点, AF 交DE 于M, 可知O为三角形DEF 的垂心.三角形AED 在沿DE 折叠过程中, AM 始终垂直于DE, ∴A 在过M 且与DE 垂直的平面上, 又AM ＝52, ∴A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上. （2）∵PD ⊥PF, PD ⊥PE, ∴PD 垂直于平面PEF, 所以当三角形PEF 面积最大时, 三棱锥P －DEF 体积最大.设PE ＝t,α=∠EPF ,αcos 211)2(22t t t -+=+-,tt 22cos -=α 48321)22(12122-+-=--=∆t t t t t S PEF , 当34=t 时932max =V . 考点：空间几何体的折叠问题，三棱锥的体积计算20．（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形, AC∩BD=O,AA 1=23, BD ⊥A 1A, ∠BAD=∠A 1AC=60°, 点M 是棱AA 1的中点.（1）求证 A 1C ∥平面BMD;（2）求证 A 1O ⊥平面ABCD;（3）求直线BM 与平面BC 1D 所成角的正弦值.【答案】（1）（2）证明详见试题分析（3【解析】试题分析：（1）连结MO ，由已知条件推导出MO//A1C,由此能证明（2）由已知条件推导出BD ⊥面A1AC ，12AO AC == （3）通过作辅助线确定直线MB 与平面1BDC 所成的角，然后求出其正弦值试题解析：（1）证明：连结MO ，∵1,AM MA AO OC ==，∴MO ∥1AC ，∵MO ⊂平面BMD ，1AC ⊄平面BMD ∴A 1C ∥平面BMD.（2）证明：∵1BD AA ⊥，BD AC ⊥，∴BD ⊥平面1A AC于是1BD AO ⊥，AC BD O =，∵AB=CD=2,∠BAD=60°，∴AO=12又∵1AA =160o AAC ∠=，∴1AO AC ⊥， 又∵1AO BD ⊥，∴1AO ⊥平面ABCD.（3）解：如图，以O 为原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴建立空间直角坐标系，由题意知1(0,0,3)A ，A ，(C (0,1,0)B ，(0,1,0)D -，∵11(AC AC ==-，∴1(C -∵3()22M，∴3()22MB =--，(0,2,0)DB =，1(1,3)BC =--， 设平面1BC D 的法向量为(,,)nx y z =，则12030n DB y n BC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取x =(3,0,2)n =∴332cos ,MB n --<>==∴直线BM 与平面1BC D =. 考点：立体几何的证明与求解21．（本小题满分13=5+5+3分）已知点),(00y x P 是圆:C 8)2()2(22=-+-y x 内一点（C 为圆心）, 过P 点的动弦AB.（1）如果)1,1(P , 72||=AB , 求弦AB 所在直线方程.（2）如果)1,1(P , 当PAC ∠最大时, 求直线AP 的方程.（3）过A 、B 作圆的两切线相交于点M , 求动点M 的轨迹方程.【答案】（1）1=y （2）1+-=x y （3）8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x【解析】试题分析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y ；（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当xy zNC 最大时, 角CAP 最大；（3）求出圆C 在A 、B 处的切线方程，可得AB 的方程，点P 00(,)x y 在AB 上，即可得出结论.试题解析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当NC 最大时, 角CAP 最大, 又NC ≤PC, 所以当N 、P 重合时, PAC ∠最大, 此时PC PA ⊥, 故PA 的方程为 1+-=x y（3）因为过A 、B 的圆心的两条切线相交, 所以P 点异于圆心C.设),(,),(2211y x B y x A , ),(//y x M , 圆C 在A 、B 处的切线方程分别为 8)2)(2()2)(2(11=--+--y y x x , 8)2)(2()2)(2(22=--+--y y x x , 它们交于点M , 所以8)2)(2()2)(2(/1/1=--+--y y x x ,8)2)(2()2)(2(/2/2=--+--y y x x这两式表明 A 、B 两点在直线8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x 上, 即AB 的直线方程为8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x , P 在AB 上,所以8)2)(2()2)(2(/0/0=--+--y y x x所以M 的轨迹方程为 8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x考点：直线和圆的方程的应用。
湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题考试时间：2015年2月4日 上午 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.1.过椭圆221169x y +=的左焦点1F 的直线交椭圆于,A B 两点, 2F 是右焦点, 则2ABF ∆的周长是（ ）.6A.8B .12C .16D2.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） .(1,0)A.(2,0)B 1.(0,)16C 1.(0,)8D3.设随机变量ξ的分布列为1()(),1,2,33i P i a i ξ===, 则实数a 的值为（ ） .1A9.13B 11.13C 27.13D 4.某服装加工厂某月生产甲、乙、丙三种产品共4000件, 为了保证产品质量, 进行抽样检验, 根据分层抽样的结果, 企业统计员制作了如下统计表格. 由于不小心, 表格甲、丙中产品的有关数据已被污染得看不清楚, 统计员记得甲产品的样本容量比丙产品的样本容量多10, 根据以上信息, 可得丙的产品数量是（ ）5.正四面体ABCD 中, M,N 分别是棱BC 、AD 的中点, 则异面直线,AM CN 所成角的余弦值为（ ）2.3A - 1.4B 2.3C 1.4D -6.若251()(1)x a x+-的展开式中的常数项为1-, 则实数a 的值为（ ）.1A .99B .1-9C -或 .19D 或7.已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N , 且(24)0.6826P x ≤≤=, 则(4)P x >=（ ） .0.1588A.0.1587B .0.1586C .0.1585D8. 设抛物线22y x =的焦点为F , 过点的直线与抛物线相交于,B A 两点, 与抛物线的准线相交于C , ||2BF =, 则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） 4.5A2B.34.7C1.2D 9.若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点, 则实数k 的取值范围是（ ）.(A B C.( D.(1)-10.已知直线12,l l 是经过椭圆34422y x +＝1的中心且相互垂直的两条直线, 分别交椭圆于,C,B,D A , 则四边形BCD A 的面积的最小值是（ ）.2A B.4 二、填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分.11.假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标, 现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验, 利用随机数表抽样时, 先将500袋牛奶按000,001, , 499进行编号. 如果从随机数表第8行第4列的数开始三位数连续向右读取, 请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 12.双曲线2288kx ky -=的一个焦点为（0,3）, 则实数k 的值为 . 13.已知该大学某女大学生身高为165.25cm, 则预报其体重合理值为 kg.14.向等腰直角三角形BC A （其中C =BC A ）内任意投一点M , 则AM 小于AC 的概率为 .15.平行六面体1111ABCD A B C D -中, 1160A AD A AB ∠=∠=, 90DAB ∠=, 13A A =, 2AB =,1AD =, 则其体对角线1AC 的长为 .三、解答题：本大题共6小题, 共75分.16. (12分)已知椭圆的两个焦点分别是(2,0),(2,0)-, 并且经过点53(,)22-, 求它的标准方程.17. (12分) 过双曲线22136x y -=的右焦点2F , 倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点, 1F 为左焦点, 求(1)|AB|; (2)1AF B ∆的周长.18. (12分) 如图所示, 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, //AB CD , 90,DAB PA ∠=⊥底面ABCD , 且1PA AD DC ===, 2AB =, M 是PB 的中点.（1）求证：平面PAD ⊥平面PCD . （2）求AC 与PB 所成角的余弦值. （3）求二面角A MC B --的余弦值.19. （12分）根据气象预报, 某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失60000元, 遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备, 有以下3种方案：方案1：运走设备, 搬运费为3800元.方案2：建保护围墙, 建设费为2000元, 但围墙只能防小洪水. 方案3：不采取措施. 试比较哪一种方案好.20. （13分）已知(13)n x -展开式中, 末三项的二项式系数的和等于121, 求展开式中系数最大的项的项数及二项式系数最大的项的项数.21. （14分）如图所示, 已知椭圆22C :14x y +=左、右端点分别为12,A A , 过定点(1,0)的动直线与椭圆C交于,P Q 两点. 直线1P A 与2A Q 交于点S . （1）当直线斜率为1时, 求直线1A P 与2A Q 的方程.（2）试问：点S 是否恒在一条定直线上. 若是求出这条直线方程, 若不是请说明理由.武汉二中2014—2015学年上学期高二年级期末考试数学参考答案11.163,199,175,128,395 12.-1 13.54.5 14.4π3.解答题16.由椭圆定义知2a ==a ∴=2222,1046c b a c =∴=-=-=。
湖北省武汉市部分学校高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
湖北省武汉市部分学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2＜p3B．p2=p3＜p1C．p1=p3＜p2D．p1=p2=p32．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣23．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）阅读下面的程序，当a=1，b=2时，输出的a的值为（）A．B．1 C．D．25．（5分）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.457．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．248．（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a9．（5分）设m∈R，过定点A的运直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P （x，y），则|PA|•|PB|的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．810．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）在（1﹣x2）10的展开式中，x6的系数为．12．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为．13．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是．14．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是15．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500）[1500，1700）[1700，1900）[1900，+∞）频数48 121 208 223 193 165 42频率（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．17．（12分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程．18．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千克）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程=x+，并判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅱ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．注：线性回归方程=x+中，=，其中，为样本平均值．19．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．20．（13分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．21．（14分）如图，已知圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，半径为1，点A（0，3）．（Ⅰ）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．湖北省武汉市部分学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2＜p3B．p2=p3＜p1C．p1=p3＜p2D．p1=p2=p3考点：等可能事件的概率．分析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．解答：解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3，故选：D点评：本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．2．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣2考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可．解答：解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，则圆心坐标为（﹣1，1），半径r=，∵圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，∴圆心到直线的距离d==，解得a=﹣4，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关键．3．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．解答：解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B．点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）阅读下面的程序，当a=1，b=2时，输出的a的值为（）A．B．1 C．D．2考点：顺序结构．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序，根据赋值语句的功能，按照顺序依次写出a，b的值即可．解答：解：模拟执行程序，可得a=1，b=2a=3，b=1b=1，a=2输出a的值为2．故选：D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础题．5．（5分）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意2人总的下法功36种结果，2人在同一层下共6种，故先求该事件的概率，再由对立事件的概率可得．解答：解：由题意总的基本事件为：两个人各有6种不同的下法，故共有36种结果，而两人在同一层下，共有6种结果，∴两个人在同一层离开电梯的概率是=：所以2个人在不同层离开的概率为1﹣=故选：D点评：本题考查等可能事件的概率，从对立事件的概率入手时解决问题的关键，属基础题．6．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．7．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．8．（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．解答：解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．9．（5分）设m∈R，过定点A的运直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P （x，y），则|PA|•|PB|的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．8考点：两点间距离公式的应用；直线的一般式方程．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”）故选：B点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．解答：解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=．故选A点评：正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）在（1﹣x2）10的展开式中，x6的系数为﹣120．考点：二项式系数的性质．专题：综合题；二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6，从而可求出x6的系数．解答：解：根据所给的二项式（1﹣x2）10，写出展开式的通项，T r+1=（﹣1）r x2r；要求x6的项的系数∴2r=6，∴r=3，∴x6的项的系数是﹣C103=﹣120故答案为：﹣120．点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用系统抽样的性质求解．解答：解：由已知得：分段的间隔为：=25．故答案为：25．点评：本题考查系统抽样的分段间隔的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．13．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（0，﹣1，0）．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：计算题；方程思想．分析：根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标．解答：解：设M（0，y，0）由12+y2+4=1+（y+3）2+1可得y=﹣1故M（0，﹣1，0）故答案为：（0，﹣1，0）．点评：考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．14．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是55考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当z=55时，不满足条件z≤50，退出循环，输出z的值为55．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，z=2满足条件z≤50，x=1，y=2，z=3满足条件z≤50，x=2，y=3，z=5满足条件z≤50，x=3，y=5，z=8满足条件z≤50，x=5，y=8，z=13满足条件z≤50，x=8，y=13，z=21满足条件z≤50，x=13，y=21，z=34满足条件z≤50，x=21，y=34，z=55不满足条件z≤50，退出循环，输出z的值为55．故答案为：55．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的x，y，z的值是解题的关键，属于基础题．15．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意知，七个数的中位数是5，说明5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，根据概率公式计算即可．解答：解：5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，P==．故答案为：．点评：本题主要考查了古典概率和中位数的问题，关键是审清题意，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500）[1500，1700）[1700，1900）[1900，+∞）频数48 121 208 223 193 165 42频率（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．考点：概率的意义；频率分布表．专题：概率与统计．分析：（1）由频率=，可得出各组的频率；（2）要计算灯管使用寿命不足1500小时的频率，即计算前四个小组的频率之和；（3）恰至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时即2支灯管使用寿命不足1500小时，或3支灯管使用寿命超过1500小时，分为两种情形，最后求出它们的和即可．解答：解：（1）解：分组[500，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500）[1500，1700）[1700，1900）[1900，+∞）频数48 121 208 223 193 165 42频率0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042（2）解：由（I）可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．（3）解：由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6，根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得．所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648．点评：本题主要考查频率分布表的计算和频数分布直方图的应用以及概率的求法，属于基础题．17．（12分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题．分析：（I）由已知中AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，我们可以求出直线AD的斜率，结合点T（﹣1，1）在直线AD上，可得到AD边所在直线的点斜式方程，进而再化为一般式方程．（II）根据矩形的性质可得矩形ABCD外接圆圆心即为两条对角线交点M（2，0），根据（I）中直线AB，AD的直线方程求出A点坐标，进而根据AM长即为圆的半径，得到矩形ABCD外接圆的方程．解答：解：（I）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又∵点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），即3x+y+2=0．（II）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．点评：本题考查的知识点是直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）的关键是根据已知中AB边所在直线的方程及AD与AB垂直，求出直线AD的斜率，（2）的关键是求出A点坐标，进而求出圆的半径AM长．18．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千克）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程=x+，并判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅱ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．注：线性回归方程=x+中，=，其中，为样本平均值．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可知n=10，=x i=8，=y i=2，代入可得b值，进而可得a值，可得方程，由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅱ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．解答：解：（Ⅰ）由题意，n=10，=x i=8，=y i=2，∴==0.3，=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴=0.3x﹣0.4，∵0.3＞0，∴变量x与y之间是正相关；（Ⅱ）x=7时，=0.3×7﹣0.4=1.7千元．点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．19．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率为．（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，，，，，所以X的分布列如下：X 0 120 100 220P（x）则数学期望E（X）==140．点评：本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年2015届高考题目的常考的题型．20．（13分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N，从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N，从而P（187.8＜Z＜212.2）=P=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．21．（14分）如图，已知圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，半径为1，点A（0，3）．（Ⅰ）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）求出圆心C的坐标，设出点A作圆C的切线方程，利用点到直线的距离等于半径，然后求切线的方程；（Ⅱ）设出圆C的方程，点M的坐标，利用|MA|=2|MO|，求出M的轨迹，通过两个圆的位置关系，求圆心C的横坐标a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由，得圆心C（3，2），过点A作圆C的切线斜率存在，设A 点的圆C的切线的方程：y=kx+3，即kx﹣y+3=0．由题意，，解得k=0，k=，所求切线方程为：y=3或3x+4y﹣12=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，∴圆C的方程设为：（x﹣a）2+（y﹣（2a﹣4））2=1，设M（x，y），由|MA|=2|MO|，可得：，化简可得x2+（y+1）2=4，点M在以D（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M（x，y）在圆上，∴圆C和圆D有公共点，则|2﹣1|≤|CD|≤2+1，∴1≤3，即1，5a2﹣12a+8≥0，可得a∈R，由5a2﹣12a≤0，可得0，圆心C的横坐标a的取值范围：．点评：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。
湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)【解析版】
湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）．1．（5分）3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A．53B．35C．A53D．C532．（5分）设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10，则P（X＜6）的值为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.23．（5分）F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=（）A．1B．2C．3D．44．（5分）已知（x+1）10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10．若数列a1，a2，a3，…，a k（1≤k≤11，k∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是（）A．6B．7C．8D．55．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则p（X＞4）=（）A．0.32 B．0.16 C．0.5 D．0.186．（5分）M、N分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点，椭圆上异于M、N于点P满足k PM•k PN=﹣，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于M、N两点，若线段MN中点纵坐标为4，则该抛物线准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣28．（5分）某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击7次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）A．C（）7B．A（）7C．C（）7D．A（）79．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=010．（5分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个．A．324 B．216 C．180 D．384二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）设X是一个离散型随机变量，其分布列如表格所示，则E（X）=．X 2 0 4P 0.5 1﹣3q q12．（5分）平面内有两组平行线，一组6条，另一组4条，这两组平行线相交，可以构成的平行四边形个数是（用数字作答）13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为．14．（5分）抛掷两个骰子，至少有一个3点或6点出现时，就说这次试验成功，则在81次试验中，成功次数ξ的方差是．15．（5分）在平面直角坐标系中，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则①动点C（x，y）到坐标原点的“直角距离”等于1，则动点C的轨迹关于x轴、y轴、原点对称．②设A（﹣1，9）、B（1，0），满足到A的“直角距离”等于到B的“直角距离”的动点C的轨迹是一条长度为2的线段；③设F1（﹣1，0），F2（1，0），C（x，y）则{（x，y）|d（C，F1）+d（C，F2）=4}⊆{（x，y）|+≤1}其中真命题有（填序号）三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）安排5名歌手的演出顺序．（1）要求歌手甲乙的演出顺序必须相邻，有多少种不同的排法？（2）要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，有多少种不同的排法？17．（12分）已知（﹣）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含x﹣1的项．18．（12分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B|A）．19．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x﹣1）2+y2=外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（1）求曲线C1的方程；（2）已知直线l过定点P（﹣2，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与曲线C1只有一个公共点点；有两个公共点？20．（13分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为800元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300 500概率0.5 0.5作物市场价格（元/kg） 6 10概率0.2 0.8（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为6．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C 上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；[来源:Z&xx&]（ii）求△OMN面积的最大值．湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）．1．（5分）3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A．53B．35C．A53D．C53考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：每班从5个风景点中选择一处游览，每班都有5种选择，根据乘法原理，即可得到结论解答：解：∵共3个班，每班从5个风景点中选择一处游览，∴每班都有5种选择，∴不同的选法共有53，故选：A．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2．（5分）设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10，则P（X＜6）的值为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.2考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：由已知得P（X＜6）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1，由此能求出结果．解答：解：∵随机变量X等可能地取值1，2，3， (10)∴P（X＜6）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1=0.5．故选：B．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．3．（5分）F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=（）A．1B．2C．3D．4[来源:Z#xx#]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF1|=m，|PF2|=n，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF1|•|PF2|=2b2，结合△PF1F2的面积为16，求得b的值．解答：解：如图，设|PF1|=m，|PF2|=n，∵⊥，∴PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4（a2﹣b2），∵m+n=2a，则有（m+n）2=m2+n2+2mn，即mn=2b2，∴|PF1|•|PF2|=2b2．∴△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|=×2b2=16，解得b=4．故选：D．点评：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．4．（5分）已知（x+1）10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10．若数列a1，a2，a3，…，a k（1≤k≤11，k∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是（）A．6B．7C．8D．5考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：写出各项的系数，可得a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＞a7，结合数列a1，a2，a3，…，a k 是一个单调递增数列，可得结论．解答：解：由二项式定理，得a i=（1≤i≤11，i∈Z），因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＞a7，且数列a1，a2，a3，…，a k是一个单调递增数列，所以k的最大值是6．故选：A．点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．[来源:Z §xx§]5．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则p（X＞4）=（）A．0.32 B．0.16 C．0.5 D．0.18考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2≤X≤4）的概率可求出P（X＞4）．解答：解：P（3≤X≤4）=P（2≤X≤4）=0.34，观察上图得，∴P（X＞4）=0.5﹣P（3≤X≤4）=0.5﹣0.34=0.16．故选B．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．6．（5分）M、N分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点，椭圆上异于M、N于点P满足k PM•k PN=﹣，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过已知条件可得、，计算即得结论．解答：解：∵P（x0，y0）（x0≠a）是椭圆：+=1（a＞b＞0）上一点，∴，∵M、N分别是椭圆的左、右顶点，k PM•k PN=﹣，∴，∴a2=4b2，c2=3b2，∴e==，故选：C．点评：本题考查椭圆离心率的求法，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于M、N两点，若线段MN中点纵坐标为4，则该抛物线准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先假设M，N的坐标，根据M，N满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减，根据直线的斜率和线段MN的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．解答：解：设M（x1，y1）、N（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段MN的中点的纵坐标为4，即y1+y2=8，所以p=4，所以抛物线的准线方程为x=﹣即x=﹣2．故选：D．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要是抛物线的方程的运用，同时考查点差法解决中点弦问题，属于中档题．8．（5分）某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击7次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）A．C（）7B．A（）7C．C（）7D．A（）7考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击3次，再根据相互独立事件的概率乘法公式运算求得结果．解答：解：根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击7次，3次命中的概率为（）7，恰有两次连续击中目标的概率为，故此人射击7次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）7•=A（）故选：B点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，属于中档题．9．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题10．（5分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个．A．324 B．216 C．180 D．384考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+=90种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+=234种，根据分类计数原理得到共有90+234=324个．故选：A点评：本小题考查排列实际问题基础题．数字问题是计数中的一大类问题，条件变换多样，把计数问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）设X是一个离散型随机变量，其分布列如表格所示，则E（X）=2．X 2 0 4P 0.5 1﹣3q q考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：利用离散型随机变量的分布列的性质求解．解答：解：由已知得0.5+1﹣3q+q=1，解得q=0.25，∴E（X）=2×0.5+0×0.25+4×0.25=2．故答案为：2．点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题．12．（5分）平面内有两组平行线，一组6条，另一组4条，这两组平行线相交，可以构成的平行四边形个数是90（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：从每一组种分别选2条，根据分步计数原理即可得到答案解答：解：从每一组种分别选2条，根据分步计数原理，故可以构成的平行四边形个数是=90故答案为：90．点评：本题考查了分步计数原理，属于基础题13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为．考点：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系；双曲线的标准方程．专题：计算题；综合题．[来源:学.科.网]分析：双曲线的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，说明点C到直线bx±ay=0的距离等于半径．根据圆C方程，不难得到圆心C坐标为（3，0），半径r=2，用点到直线的距离建立关于a、b的方程，再结合c==3，联解可得a、b的值，从而得到该双曲线的方程．解答：解：将圆C：x2+y2﹣6x+5=0化为标准方程，得（x﹣3）2+y2=4∴圆心为C（3，0），半径r=2∵双曲线的右焦点为圆C的圆心，∴c=3，可得a2+b2=9…①又∵双曲线的两条渐近线均和圆C相切∴点C（3，0）到直线bx±ay=0的距离等于半径，即…②联解①②，得a=，b=2∴该双曲线的方程为．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与圆C的圆心重合，且渐近线与圆C相切，求双曲线的方程，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的标准方程等知识，属于中档题．14．（5分）抛掷两个骰子，至少有一个3点或6点出现时，就说这次试验成功，则在81次试验中，成功次数ξ的方差是20．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：求出一次实验中，事件A表示“试验成功”，A的对立事件是“两个骰子中都不是3点或6点”，求出对立事件的概率，得出A的概率；再计算81次试验中，成功次数ξ的方差．解答：解：一次实验中，设事件A表示“试验成功”，则P（）=×=，P（A）=1﹣P（）=1﹣=；且ξ～（81，），∴Dξ=81××（1﹣）=20．[来源:学*科*网]故答案为：20．点评：本题考查了n次独立试验中恰有k次发生的概率的应用问题与方差的计算问题，是基础题目．15．（5分）在平面直角坐标系中，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则①动点C（x，y）到坐标原点的“直角距离”等于1，则动点C的轨迹关于x轴、y轴、原点对称．②设A（﹣1，9）、B（1，0），满足到A的“直角距离”等于到B的“直角距离”的动点C的轨迹是一条长度为2的线段；③设F1（﹣1，0），F2（1，0），C（x，y）则{（x，y）|d（C，F1）+d（C，F2）=4}⊆{（x，y）|+≤1}其中真命题有①③（填序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：结合新定义逐一求出三个命题中的轨迹，然后分类求出所有情况加以判断．解答：解：对于①，由动点C（x，y）到坐标原点的“直角距离”等于1，得|x|+|y|=1，则动点C的轨迹为，图象如图，∴动点C的轨迹关于x轴、y轴、原点对称，命题①正确；对于②，A（﹣1，9）、B（1，0），满足到A的“直角距离”等于到B的“直角距离”的动点C 的轨迹为|x+1|+|y﹣9|=|x﹣1|+|y|，当x≤﹣1，y≤0时，化为﹣x﹣1﹣y+9=﹣x+1﹣y，即7=0，矛盾；当x≤﹣1，0＜y＜9时，化为﹣x﹣1﹣y+9=﹣x+1+y，即，；当x≤﹣1，y≥9时，化为﹣x﹣1+y﹣9=﹣x+1+y，即11=0，矛盾；同理分析另外六种情况．由当x≤﹣1，0＜y＜9时，即可判断②错误；对于③，F1（﹣1，0），F2（1，0），C（x，y），则{（x，y）|d（C，F1）+d（C，F2）=4}={（x，y）||x+1|+|y|+|x﹣1|+|y|=4}．当y≥0，x≤﹣1时，轨迹为{（x，y）|﹣x+y=2，y≥0，x≤﹣1}；当y≥0，﹣1＜x＜1时，轨迹为{（x，y）|y=1，y≥0，﹣1＜x＜1}；当y≥0，x≥1时，轨迹为{（x，y）|x+y=2，y≥0，x≥1}；由对称性可知其它三种情况．∴{（x，y）|d（C，F1）+d（C，F2）=4}⊆{（x，y）|+≤1}．命题③正确．故答案为：①③．点评：本题是新概念题，考查了命题的真假判断与应用，考查了数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）安排5名歌手的演出顺序．（1）要求歌手甲乙的演出顺序必须相邻，有多少种不同的排法？（2）要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，有多少种不同的排法？考点：计数原理的应用．专题：排列组合．[来源:学科网]分析：（1）把甲乙捆绑在一起看作一个复合元素，和另外的3人全排列即可（2），先排有约束条件的元素，因为要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，分两类，根据分类计数原理得到结果．解答：解：（1）把甲乙捆绑在一起看作一个复合元素，和另外的3人全排列，故有A22A44=48种排法（2）分两类：第一类甲最后一个出场，有A44种排法第二类，甲不最后一个出场，有A31A31A33种排法根据分类计数原理共有A44+A31A31A33=78种不同的排法点评：本题考查排列与组合问题，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．17．（12分）已知（﹣）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含x﹣1的项．考点：二项式定理．专题：概率与统计．分析：（1）由于展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．利用通项公式可得=，解得n=8．令x=1，可得展开式中各项系数的和=（1﹣2）8；（2）由通项公式可得T r+1==，令=﹣1，解得r即可得出．解答：解：（1）T5==，=．∵展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．∴=，∴=，化为n2﹣5n﹣24=0，解得n=8．[来源:]令x=1，可得展开式中各项系数的和=（1﹣2）8=1；（2）由通项公式可得T r+1==，令=﹣1，解得r=2．∴T3==112x﹣1．点评：本题考查了二项式定理及其展开式的性质、通项公式，考查了计算能力，属于基础题．18．（12分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B|A）．考点：条件概率与独立事件；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由题设知，X的可有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列；（2）利用对立事件的概率公式求解即可；（3）求出男生甲被选中的概率、男生甲、女生乙都被选中的概率，即可得出结论．解答：解：（1）X=0、1、2、3…（1分），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．∴ξ的分布列为：[来源:]X 0 1 2P…（4分）（2）P=1﹣=1﹣=…（8分）（3）P（A）==，P（AB）==，P（B|A）=…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列，查了随机事件的概率和条件概率公式等知识，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x﹣1）2+y2=外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（1）求曲线C1的方程；（2）已知直线l过定点P（﹣2，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与曲线C1只有一个公共点点；有两个公共点？考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），根据M到直线x=﹣的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，可得=|x|，结合已知可知，在直线x=﹣的右侧，从而可得曲线C1的方程；（II）由题意可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2），联立可得，k2x2+（4k2+2k ﹣4）x+（2k+1）2=0，转化为方程有一个根或两个根，求解k的范围即可解答：解：（I）由已知可得，=|x|，曲线C1的点均在C2：（x﹣1）2+y2=外，M在直线x=﹣的右侧，即x＞﹣，化简可得曲线C1的方程为y2=4x；（II）由题意可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2），联立可得，k2x2+（4k2+2k﹣4）x+（2k+1）2=0；（1）当k=0或，解可得，k=0或k=﹣2或k=﹣1或k=；当k=0或k=﹣2或k=﹣1或k=时，直线与曲线C1只有一个公共点；当，整理可得，，解可得，﹣1且k≠0当1且k≠0时，直线l与曲线C1个有两个公共点．点评：本题考查轨迹方程的求解，考查方程思想的运用，解题的关键是直线与抛物线联立，属于中档题．20．（13分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为800元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300 500概率0.5 0.5作物市场价格（元/kg） 6 10概率0.2 0.8（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）X的所有值为：500×10﹣800=4200，500×6﹣800=2200，300×10﹣800=2200，300×6﹣800=100，分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.2，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣800=4200，500×6﹣800=2200，300×10﹣800=2200，300×6﹣800=100，则P（X=4200）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.2）=0.4，P（X=2200）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.2+0.5（1﹣0.2）=0.5，P（X=1000）=P（A）P（B）=0.5×0.2=0.1，则X的分布列为：X 4200 2200 1000P 0.4 0.5 0.1（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4200）+P（X=2200）=0.4+0.5=0.9（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.93=0.729，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（）+P（）+P（）=3×0.92×0.1=0.243，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.729+0.243=0.972．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为6．[来源:]（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C 上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）通过2a=6、=，计算即得结论；（Ⅱ）（i）通过设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），将k1、k2用此两点坐标表示，寻求这两点坐标间的关系即可；（ii）利用S△OMN=|OM|•|ON|及基本不等式计算即得结论．解答：解：（I）由题可知：2a=6，即a=3，又∵e===，∴b=1，∴椭圆C的方程为：；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∵k AB=，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=﹣，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），联立，消去y整理得：（1+9k2）x2+18mkx+9m2﹣9=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，[来源:学科网]∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由题可知：x1≠﹣x2，∴k1==﹣=，∴直线BD的方程为：y+y1=（x+x1），令y=0，得x=8x1，即M（8x1，0），∴k2=﹣，∴k1=﹣k2，即存在常数λ=﹣使得k1=λk2；（ii）直线BD的方程为：y+y1=（x+x1），令x=0可得：y=﹣y1，即M（0，﹣y1），∴S△OMN=•8|x1|•|y1|=|x1|•|y1|，∵|x1|•|y1|≤+=1，当且仅当=|y1|=时等号成立，此时S△OMN取得最大值，∴△OMN面积的最大值为．点评：点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力。
2015年湖北省武汉市部分重点中学联考高二上学期数学期中试卷与解析(理科)
2014-2015学年湖北省武汉市部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．（5分）直线y=2x﹣1在y轴上的截距是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2．（5分）设A（3，2，﹣1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离|CM|=（）A．4 B．2 C．4 D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：据此估计，这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A．0.4 B．0.35 C．0.3 D．0.255．（5分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．1 C．2 D ．6．（5分）已知直线l：ax+by+1=0，圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0，则直线l和圆M 在同一坐标系中的图形可能是（）A ．B ．C．D ．7．（5分）曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的面积为（）A ．+1 B．π+2 C．2π+1 D．均不对8．（5分）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×C （“×”表示通常的乘法运算）等于（）A．78 B．77 C．7A D．7B9．（5分）设x，y满足约束条件，若x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为（）A．B．1 C．D．10．（5分）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有4个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行直线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有1个、2个或3个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相切”．已知直线l1：2x﹣y+a=0，l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a≤﹣或≤a≤7 B．a＞或a＜﹣C．a＞7或a＜﹣3 D．a≥7或a≤﹣3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）如图是某个函数求值的程序框图，则输入实数x=0，则输出的函数值为．12．（5分）在如图程序中，输入：m=30，n=18，则输出的结果为：．13．（5分）A，B，C，D四名学生按任意次序站成一横排，则A在边上，B不在边上的概率是．14．（5分）圆拱桥的水面跨度为24米，拱高为8米，现有一船，船宽为10米，载货后货物宽度与船的宽度相同，如果这条船想从桥下通过，则该船水面以上最高不能超过米．15．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离等于1，则k的取值范围是，；直线l倾斜角的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．16．（12分）某校高二年级准备从甲、乙两名数学优秀的学生中选出1人参加全国数学联赛，为了研究甲、乙谁更优秀，统计了他俩在高中考试的13次数学成绩，用茎叶图统计如图，请用所学统计知识研究，应该选哪一个人参加联赛？并说明理由．17．（12分）已知直线l经过直线l1：3x+2y﹣5=0，l2：2x+3y﹣5=0的交点M，（1）若l⊥l1，求直线l的方程；（2）求点（2，1）到直线l的距离的最大值．18．（12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2（精确到整数分钟）；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率．19．（12分）已知圆心为C的圆经过点M（1，2）和N（，），且圆心C在直线l：x﹣2y+2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）记事件“直线ax﹣by+2b=0与圆C相交”为A，若将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a、b，求事件A发生的概率．20．（13分）已知|M1M2|=2，点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m．（1）试建立适当坐标系，求点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形；（2）求当m=2时，点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的公共点所在的直线方程．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知以C1为圆心的圆的方程为：（x+1）2+y2=1，以C为圆心的圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．2（Ⅰ）若过点C1的直线l沿x轴向左平移3个单位，沿y轴向下平移4个单位后，回到原来的位置，求直线l被圆C2截得的弦长；（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C3：（x+1）2+y2=9上移动的动圆，若圆D 上任意一点P分别作圆C1的两条切线PE，PF，切点为E，F，求•的取值范围．2014-2015学年湖北省武汉市部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．（5分）直线y=2x﹣1在y轴上的截距是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：直线y=2x﹣1在y轴上的截距是﹣1．故选：B．2．（5分）设A（3，2，﹣1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离|CM|=（）A．4 B．2 C．4 D．【解答】解：设AB的中点M（x，y，z），则，化为x=2，y=1，z=2．∴M（2，1，2）．∴|CM|==2．故选：B．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选：D．4．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：据此估计，这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A．0.4 B．0.35 C．0.3 D．0.25【解答】解：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有：191、271、932、812、393，113，134共7组随机数，∴所求概率为0.35．故选：B．5．（5分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【解答】解：执行程序框图，有a=2，i=1不满足条件i≥2014，第1次执行循环体，有a=，i=2不满足条件i≥2014，第2次执行循环体，有a=﹣1，i=3不满足条件i≥2014，第3次执行循环体，有a=2，i=4不满足条件i≥2014，第4次执行循环体，有a=，i=5…i=2013不满足条件i≥2014，第2013次执行循环体，因为2013=671*3，故有以上规律可知此时a=2，i=2014满足条件i≥2014，输出a的值为2．故选：C．6．（5分）已知直线l：ax+by+1=0，圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0，则直线l和圆M 在同一坐标系中的图形可能是（）A．B．C．D．【解答】解：圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+b2，圆心M（a，b），半径r=，圆心M到直线l的距离d=＞r，故直线与圆相离．对于A，圆心M（0，b），此时a=0，直线l应该平行于x轴，故A错误；对于B，由圆与直线有交点，知B错误；对于C，由圆的图形得a＞0，b＞0，此时直线应在第二、三、四象限，成立，故C正确；对于D，由圆的图形得a＜0，b=0，此时直线应平行于y轴，故D错误．故选：C．7．（5分）曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的面积为（）A．+1 B．π+2 C．2π+1 D．均不对【解答】解：当x，y≥0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x﹣）2+（y﹣）2=，曲线表示以为（，）圆心，以为半径的圆，在第一象限的部分；当x≥0，y≤0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x﹣）2+（y+）2=，曲线表示以为（，﹣）圆心，以为半径的圆，在第四象限的部分；当x≤0，y≥0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x+）2+（y﹣）2=，曲线表示以为（﹣，）圆心，以为半径的圆，在第二象限的部分；当x≤0，y≤0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x+）2+（y+）2=，曲线表示以为（﹣，﹣）圆心，以为半径的圆，在第三象限的部分；如图综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域．这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径．所求曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的图形面积为：=2+π．故选：B．8．（5分）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×C （“×”表示通常的乘法运算）等于（）A．78 B．77 C．7A D．7B【解答】解：∵A×C=10×12=120，120÷16=7余8，7÷16=0余7，∴用十六进制表示为78．故选：A．9．（5分）设x，y满足约束条件，若x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，则x2+y2的最小值为（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离，大于．∴满足x2+y2≥a恒成立的实数a的最大值为．故选：C．10．（5分）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有4个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行直线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有1个、2个或3个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相切”．已知直线l1：2x﹣y+a=0，l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a≤﹣或≤a≤7 B．a＞或a＜﹣C．a＞7或a＜﹣3 D．a≥7或a≤﹣3【解答】解：圆：x2+y2+2x﹣4=0转化为标准方程为：（x+1）2+y2=5，圆心坐标为：（﹣1，0），半径为：则：已知直线l1：2x﹣y+a=0，和圆相切：，解得：﹣3≤a≤7①同理：l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则：，解得：②由①②得：或，故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）如图是某个函数求值的程序框图，则输入实数x=0，则输出的函数值为5．【解答】解：执行程序框图，有x=0不满足条件x＜0，有f（x）=5输出f（x）的值为5．故答案为：5．12．（5分）在如图程序中，输入：m=30，n=18，则输出的结果为：6．【解答】解：m MOD n表示m除以n的余数则30÷18=1…12，则有r=12，m=18，n=12执行r=m MOD n得r=6，m=12，n=6执行r=m MOD n得r=0，m=6，n=0退出循环，输出m=6故答案为：6．13．（5分）A，B，C，D四名学生按任意次序站成一横排，则A在边上，B不在边上的概率是．【解答】解：所有的排列顺序共有=24种，其中A在边上，B不在边上的有=8种，故A在边上，B不在边上的概率为=，故答案为．14．（5分）圆拱桥的水面跨度为24米，拱高为8米，现有一船，船宽为10米，载货后货物宽度与船的宽度相同，如果这条船想从桥下通过，则该船水面以上最高不能超过7米．【解答】解：建立平面直角坐标系，设圆拱桥方程为x2+（y+r）2=r2，将B（12，﹣8）代入得r=13，∴圆拱桥方程为x2+（y+13）2=132，当船两侧与抛物线接触时不能通过，设点A（5，y），由52+（y+13）2=132，得y A=﹣1，所以h=8﹣1=7米故答案为：715．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离等于1，则k的取值范围是k≤﹣或k≥，；直线l倾斜角的取值范围是[，）∪（，] ．【解答】解：圆（x﹣4）2+y2=9的圆心坐标为M（4，0），半径为r=3，所求的圆上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离等于1，∴圆心M到直线l的距离d应小于等于2，即d=≤2，∴﹣≤k≤，∵k=t naα，∴直线l的倾斜角的取值范围是[，）∪（，]．故答案为：﹣≤k≤；[，）∪（，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．16．（12分）某校高二年级准备从甲、乙两名数学优秀的学生中选出1人参加全国数学联赛，为了研究甲、乙谁更优秀，统计了他俩在高中考试的13次数学成绩，用茎叶图统计如图，请用所学统计知识研究，应该选哪一个人参加联赛？并说明理由．【解答】解：【法一】∵甲的平均分为=120+=117；乙的平均分为=120+=123；∴＜，∴乙的水平更高，应选乙．【法二】从茎叶图上看，乙的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，的叶集中在茎11，12，13上，中位数是126，甲的得分也大致对称，叶的分布也是“单峰”的，有的叶集中在10，11，12上，中位数是116，由此可以看出，乙的成绩更好；另外，从也在茎上的分布情况看，乙的分数更集中于峰值附近，这说明乙的发挥更稳定，因此应选乙．17．（12分）已知直线l经过直线l1：3x+2y﹣5=0，l2：2x+3y﹣5=0的交点M，（1）若l⊥l1，求直线l的方程；（2）求点（2，1）到直线l的距离的最大值．【解答】解：（1）联立，解得∴两条直线的交点为（1，1），设与l1：3x+2y﹣5=0垂直的直线方程为2x﹣3y+b=0，又过点（1，1），代入得b=1，∴直线方程为2x﹣3y+1=0；（2）∵直线l过定点（1，1），当直线斜率不存在时，点（2，1）到l：x=1距离为d=1，当直线斜率存在时，设其方程为：y﹣1=k（x﹣1）即kx﹣y+1﹣k=0；点（2，1）到直线l的距离∴当l：x=1时，点（2，1）到直线l的距离的最大值为1．18．（12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x 1和中位数x2（精确到整数分钟）；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率．【解答】解：（Ⅰ）众数最高矩形所在区间的中点，则x1=7：00由频率分布直方图可知6：50＜x2＜7：10即410＜x2＜430∴20×0.0033+20×0.0117+（x2﹣410）×0.0233=20×0.0100+20×0.0017+（430﹣x2）×0.0233解得x2=6：59，（Ⅱ）设报纸送达时间为x，则小明父亲上班前能取到报纸等价于，如图所求概率为P=1﹣=19．（12分）已知圆心为C的圆经过点M（1，2）和N（，），且圆心C在直线l：x﹣2y+2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）记事件“直线ax﹣by+2b=0与圆C相交”为A，若将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a、b，求事件A发生的概率．【解答】解：（1）因为M（1，2），，所以线段MN的中点D，直线MN的斜率为，因此直线MN的垂直平分线的方程为：，即2x+y﹣6=0，所以圆心C的坐标是方程组的解，得，圆C的半径长r=|CM|=1所以圆C的方程是（x﹣2）&2+（y﹣2）2=1…（6分）（2）依题意：直线ax﹣by+2b=0与圆C相交，则，得到：3a2＜b2，又可知a，b均大于0，故当a=1时，b=2，3，4，5，6当a=2时，b=4，5，6当a=3时，b=6所以事件A包含的基本事件结果为9，总的基本事件结果有6×6=36种，故事件A发生的概率为=…（12分）20．（13分）已知|M1M2|=2，点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m．（1）试建立适当坐标系，求点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形；（2）求当m=2时，点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的公共点所在的直线方程．【解答】解：（1）以线段M1M2的中点为原点，直线M1M2为x轴建立直角坐标系．设M1（﹣1，0），M2（1，0），M（x，y）由已知得：，（m＞0）化简得：（m2﹣1）x2+（m2﹣1）y2﹣2（m2+1）x+m2﹣1=0…（4分）当m=1时，点M在线段M1M2的垂直平分线上，方程为x=0，即y轴；当m≠1时，配方得：表示圆心在半径为的圆．（2）当m=2时，点M的轨迹方程为3x2+3y2﹣10x+3=0，以M1M2为直径的圆的方程为x2+y2=1，∴点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的公共点所在的直线方程为x=．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知以C1为圆心的圆的方程为：（x+1）2+y2=1，以C为圆心的圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．2（Ⅰ）若过点C1的直线l沿x轴向左平移3个单位，沿y轴向下平移4个单位后，回到原来的位置，求直线l被圆C2截得的弦长；（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C3：（x+1）2+y2=9上移动的动圆，若圆D 上任意一点P分别作圆C1的两条切线PE，PF，切点为E，F，求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x+1），向左平移3个单位，向下平移4个单位后得：y=k（x+3）+k﹣4=kx+k+3k﹣4依题意得3k﹣4=0即；所以l：4x﹣3y+4=0所以圆心C2（3，4）到l：4x﹣3y+4=0的距离为．所以被截得弦长为…．（6分）（Ⅱ）动圆D是圆心在定圆（x+1）2+y2=9上移动，半径为1的圆设∠EC1F=2α，则在Rt△PC1E中，，有，则由圆的几何性质得，|DC1|﹣r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4，则的最大值为，最小值为．故．…..（14分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
湖北省武汉市部分学校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)(Word版含解析)
湖北省武汉市部分学校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）某校现有2014-2015学年高一学生210人，2014-2015学年高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从2014-2015学年高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．10 B．9C．8D．73．（5分）已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离4．（5分）六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，不同的分法种数是（）A．B．56C．D．5．（5分）如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞46．（5分）为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度，随机选取了8天，统计上午8：00﹣10：00的点击量．茎叶图如图，设甲、乙的中位数分别为x1，x2，方差分别为D1，D2，则（）A．x1＜x2，D1＜D2B．x1＞x2，D1＞D2C．x1＜x2，D1＞D2D．x1＞x2，D1＜D27．（5分）学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度﹣1 3 8 12 17饮料瓶数 3 40 52 72 122根据上表可得回归方程中的为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（）A．141 B．191 C．211 D．2418．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．9．（5分）下列命题中是错误命题的个数有（）①A、B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；②若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件③A、B为两个事件，p（A|B）=P（B|A）④若A、B为相互独立事件，则p（B）=P（）P（B）．A．0B．1C．2D．310．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则若在集合M所表示的区域内撒100颗黄豆，落在集合M∩N所表示的区域的黄豆约有多少（）A．12 B．25 C．50 D．75二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．11．（5分）在运行如图的程序之后输出y=16，输入x的值应该是．12．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．13．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是．14．（5分）数阵满足：（1）第一行的n个数分别是1，3，5，…，2n一1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和；（3）数阵共有n行．则第5行的第7个数是．15．（5分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[80，90）①②[90，100）0.050[100，110）0.200[110，120）36 0.300[120，130）0.275[130，140）12 ③[140，150]0.050合计④（1）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为，，，；（2）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图；（3）根据题中信息估计总体：①120分及以上的学生数；②成绩落在[110，126]中的概率．17．（12分）已知圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于A，B两点．（Ⅰ）求弦AB的长；（Ⅱ）若圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C2的方程．18．（12分）已知，且（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n．（1）求n的值；（2）求a1+a2+a3+…+a n的值；（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．19．（12分）某校要组建篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩一级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，且规定在确认已经入围后则不必再投篮．若投中2次则确定为二级，若投中3次可确定为一级．已知根据以往的技术统计，某班同学王明每次投篮投中的概率是，每次投篮结果互不影响．（1）求王明投篮3次才被确定为二级的概率；（2）现在已知王明已经入围，在此条件下求他实际投篮5次才入围的概率．20．（13分）已知圆C的圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，圆C与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）点为圆C上任意一点，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知过点A（0，1）且方向向量为的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．（1）求实数k的取值范围；（2）若O为坐标原点，且，求k的值．湖北省武汉市部分学校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是（）A．1B．2C．3D．4考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，又得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数，从而得到需要做除法的次数．解答：解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数3故选C．点评：本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．2．（5分）某校现有2014-2015学年高一学生210人，2014-2015学年高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从2014-2015学年高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．10 B．9C．8D．7考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：本题是一个分层抽样问题，根据所给的2014-2015学年高一学生的总数和2014-2015学年高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数．解答：解：∵由题意知2014-2015学年高一学生210人，从2014-2015学年高一学生中抽取的人数为7∴可以做出每=30人抽取一个人，∴从高三学生中抽取的人数应为=10．故选A．点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．3．（5分）已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：用点斜式求得直线m的方程，与直线l的方程对比可得m∥l，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线l的距离大于半径r，从而得到圆和直线l相离．解答：解：由题意可得a2+b2＜r2，OP⊥l1．∵K OP=，∴l1的斜率k1=﹣．故直线l1的方程为y﹣b=﹣（x﹣a），即ax+by﹣（a2+b2）=0．又直线l2的方程为ax+by﹣r2=0，故l1∥l2，圆心到直线l2的距离为＞=r，故圆和直线l2相离．故选A．点评：本题考查点和圆、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离大于半径r，是解题的关键．4．（5分）六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，不同的分法种数是（）A．B．56C．D．考点：排列、组合及简单计数问题．分析：将六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，则其中有1人分两件奖品，故先将奖品分成5份，其中一份有两个奖品，共有种情况，再将5组奖品分别发给5个人，共有种情况，根据分步乘法原理，可得答案．解答：解：六件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，可先将6件不同的奖品分成5组再分给5个人故不同的分法种数有种故选D点评：本题考查的知识点是排列组合及简单的计数问题，其中理清解决问题是分类的还是分步的，分步需要分多少步，是解答的关键．5．（5分）如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞4考点：程序框图．专题：图表型．分析：首先将二进制数11111（2）化为十进制数，得到十进制数的数值，然后假设判断框中的条件不满足，执行算法步骤，待累加变量S的值为31时，算法结束，此时判断框中的条件要满足，据此可得正确的选项．解答：解：首先将二进制数11111（2）化为十进制数，11111（2）=1×20+1×21+1×22+1×23+1×24=31，由框图对累加变量S和循环变量i的赋值S=1，i=1，i不满足判断框中的条件，执行S=1+2×S=1+2×1=3，i=1+1=2，i不满足条件，执行S=1+2×3=7，i=2+1=3，i不满足条件，执行S=1+2×7=15，i=3+1=4，i仍不满足条件，执行S=1+2×15=31，此时31是要输出的S值，说明i不满足判断框中的条件，由此可知，判断框中的条件应为i＞4．故选D．点评：本题考查了程序框图，考查了进位制，本题是程序框图中的循环结构，虽先进行了一次判断，实则是直到型性循环，此题是基础题．6．（5分）为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度，随机选取了8天，统计上午8：00﹣10：00的点击量．茎叶图如图，设甲、乙的中位数分别为x1，x2，方差分别为D1，D2，则（）A．x1＜x2，D1＜D2B．x1＞x2，D1＞D2C．x1＜x2，D1＞D2D．x1＞x2，D1＜D2考点：茎叶图．专题：计算题；概率与统计．分析：由茎叶图写出两组数据，分别求出两组数据的中间两数的平均数得两组数据的中位数，然后求出两组数据的平均数，代入方差公式求它们的方差．解答：解：由茎叶图分别得到甲、乙的点击量数据为：甲65，68，70，75，77，78，82，85；乙60，65，70，72，74，81，84，94甲、乙的中位数分别为，，甲的平均数为=75乙的平均数为=75所以甲乙的方差分别为=42．=．所以x1＞x2，D1＜D2．故选D．点评：本题考查了茎叶图，考查了中位数概念及方差公式，一组数据的中位数是把这组数据由小到大排列后的中间位置上的数，若含有偶数个，则是中间两数的平均数，此题是基础题．7．（5分）学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度﹣1 3 8 12 17饮料瓶数 3 40 52 72 122根据上表可得回归方程中的为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（）A．141 B．191 C．211 D．241考点：回归分析的初步应用．专题：计算题；概率与统计．分析：先计算样本中心点，求出回归方程，即可预测气温为30℃时销售饮料瓶数．解答：解：由题意，=7.8，==57.8∵回归方程中的为6，∴57.8=6×7.8+∴=11∴∴x=30°时，故选B．点评：本题考查回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．考点：排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有A1010；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：．故选B．点评：本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．9．（5分）下列命题中是错误命题的个数有（）①A、B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；②若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件③A、B为两个事件，p（A|B）=P（B|A）④若A、B为相互独立事件，则p（B）=P（）P（B）．A．0B．1C．2D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：概率与统计．分析：①互斥事件概率加法公式，使用前提是事件互斥，②对立事件概率之和为1，但概率之和为1不一定对立，③条件概率的计算公式，书写错误，④由A、B为相互独立事件，和B也是独立事件，利用独立事件概率公式计算．解答：解：①只有A、B为两个互斥事件时，才有P（A∪B）=P（A）+P（B），否则，此式不成立，①错误，②因为若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B不一定是对立事件．如单位圆的一条直径把圆的面积分成相等的两部分，即区域M和区域N（不含边界），向这两个区域内投一枚绣花针，若针尖落在区域M内记为事件A，若针尖落在区域N内记为事件B，显然满足P（A）+P（B）=1，但A，B不是对立事件，因为针尖还有可能落在直径上，②错误，③由条件概率的计算公式可得p（A|B）=，③错误，④由A、B为相互独立事件，可得和B也是独立事件，故由独立事件的概率公式可得p （B）=P（）P（B）．④正确，综上，错误命题的个数是3个，故选D．点评：本题考察随机事件及其概率中互斥事件，对立事件及相互独立事件概率的关系，要熟记概念，不可混淆，熟练运用公式，但容易在公式的使用条件上出错．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则若在集合M所表示的区域内撒100颗黄豆，落在集合M∩N所表示的区域的黄豆约有多少（）A．12 B．25 C．50 D．75考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问题．解答：解：∵f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，∴集合M：（x﹣2）2+（y﹣22≤2，是一个以（2，2）为圆心，为半径的圆，面积是2π．集合N：（x﹣2）2≥（y﹣2）2，或者（x+y﹣4）（x﹣y）≥0，两条直线x+y﹣4=0和x﹣y=0把M平均分为4份，其中两份就是M与N的交集，因此M∩N面积=×2=×2=π．∴若在集合M所表示的区域内撒100颗黄豆，落在集合M∩N所表示的区域的黄豆约有=50．故选C．点评：求限制条件（一般用不等式组来表示）所表示平面区域的面积，一般分为如下步骤：①化简不等式②分析不等式表示的平面区域③画出草图分析可行域④结合平面几何知识求出面积．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．11．（5分）在运行如图的程序之后输出y=16，输入x的值应该是±5．考点：伪代码．专题：操作型；算法和程序框图．分析：由已知中伪代码可得程序的功能是计算分段函数：y=（x+1）2，x＜0：y=（x﹣1）2，x≥0，根据y=16，代入分别计算求出x的值即可．解答：解：本程序含义为：输入x如果x＜0，执行：y=（x+1）2否则，执行：y=（x﹣1）2因为输出y=16由y=（x+1）2，x＜0，可得，x=﹣5由y=（x﹣1）2，x≥0，可得，x=5故x=5或﹣5故答案为：±5点评：本题选择选择结构的程序语句，根据两个执行语句分别计算．属于基础题．12．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．解答：解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．13．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．考点：轨迹方程；圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．解答：解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则，∴代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=1点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．14．（5分）数阵满足：（1）第一行的n个数分别是1，3，5，…，2n一1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和；（3）数阵共有n行．则第5行的第7个数是272．考点：归纳推理．专题：规律型；函数的性质及应用．分析：先确定第5行的第一个数，由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：2，22，…，2k，…，由此能求出第5行的第7个数．解答：解：设第k行的第一个数为a k，则a1=1，a2=4=2a1+2，a3=12=2a2+22，a4=32=2a3+23，a5=2a4+24=80由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：2，22，…，2k，…∴第5行组成以80为首项，32为公差的等差数列，∴第5行的第7个数是80+6×32=272故答案为：272点评：本题考查数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15．（5分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．解答：解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1，∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）故答案为：（﹣∞，12]∪[24，+∞）点评：本题考查新定义，考查生分析问题、解决问题，理解题意有些麻烦，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[80，90）①②[90，100）0.050[100，110）0.200[110，120）36 0.300[120，130）0.275[130，140）12 ③[140，150]0.050合计④（1）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为3，0.025，0.1，1；（2）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图；（3）根据题中信息估计总体：①120分及以上的学生数；②成绩落在[110，126]中的概率．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．专题：图表型．分析：（1）根据频率分步表中所给的频率和频数，根据样本容量，频率和频数之间的关系得到表中要求填写的数字．（2）根据所给的频率分布表所给的数据，画出频率分步直方图．（3）把各个部分的频率相加，得到要求的频率，乘以总体容量，即可估计满足条件的学生人数．解答：解：（1）先做出③对应的数字，=0.1，∴②处的数字是1﹣0.05﹣0.2﹣0.3﹣0.275﹣0.1﹣0.05=0.025∴①处的数字是0.025×120=3④处的数字是1，故答案为：3；0.025；0.1；1（2）（3）①120分及以上的学生数为：（0.275+0.100+0.050）×5000=2125；②成绩落在[110，126]中的概率为：点评：本题考查频率分布直方图，考查频率分布直方图的画法及频率分布直方图的应用，其中频率=频数÷样本容量=矩形的高×组矩，是处理利用频率分布直方图问题关键．17．（12分）已知圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于A，B两点．（Ⅰ）求弦AB的长；（Ⅱ）若圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C2的方程．考点：直线和圆的方程的应用；点到直线的距离公式；圆的一般方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求出圆心到直线l的距离，再利用勾股定理即可求出弦AB的长；（II）设圆C2的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，与圆方程相减，可得公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+2）y+F=0，利用圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，可得D=2E+6，再根据圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），可构建方程组，从而可求圆C2的方程．解答：解：（Ⅰ）圆心到直线l的距离，（2分）所以．（4分）（II）设圆C2的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆∴两方程相减，可得公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+4）y+F﹣4=0，∵圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，∴，即D=2E+6．（6分）又因为圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），所以所以圆C2的方程为x2+y2+6x﹣16=0．（8分）点评：本题考查圆中的弦长问题，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是利用圆的特征，确定公共弦的方程．18．（12分）已知，且（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n．（1）求n的值；（2）求a1+a2+a3+…+a n的值；（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）根据题意，将按排列、组合公式展开化简可得（n﹣5）（n﹣6）=90，解可得：n=15或n=﹣4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；（2）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1﹣2x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1，令令x=0得a0=1，两式相减可得答案．（3）根据展开式的通项公式，可得展开式中第r+1项的系数绝对值为2r•．由求得r=10，可得展开式中系数绝对值最大的项是第11项．解答：解：（1）∵已知，∴n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=56•，即（n﹣5）（n﹣6）=90，解之得：n=15或n=﹣4（舍去），∴n=15．（2）（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1﹣2x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，令x=1得：a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1，再令x=0得：a0=1，∴a1+a2+a3+…+a15=﹣2．（3）展开式的通项公式为T r+1=，故展开式中第r+1项的系数绝对值为2r•．由解得≤r≤，∴r=10，故展开式中系数绝对值最大的项是第11项．点评：本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，解题时要注意排列、组合数的定义、性质，其次注意灵活运用赋值法，属于中档题．19．（12分）某校要组建篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩一级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，且规定在确认已经入围后则不必再投篮．若投中2次则确定为二级，若投中3次可确定为一级．已知根据以往的技术统计，某班同学王明每次投篮投中的概率是，每次投篮结果互不影响．（1）求王明投篮3次才被确定为二级的概率；（2）现在已知王明已经入围，在此条件下求他实际投篮5次才入围的概率．考点：相互独立事件；条件概率与独立事件．专题：计算题．分析：（1）设王明投篮3次才被确定为二级为事件A，分析可得其前2次投篮中有一次投中，第3次投中，由独立事的概率乘法公式与n次独立事件中恰有k次发生的概率公式，计算可得答案；（2）设王明入围为事件B，他投篮5次为事件C；由对立事件的概率公式易得P（B），由独立事件的概率乘法公式可得P（BC），然后由条件概率公式计算可得答案．解答：解：（1）设王明投篮3次才被确定为二级为事件A，王明投篮3次才被确定为二级，即其前2次投篮中有一次投中，第3次投中，故P（A）=×××=；（2）设王明入围为事件B，他投篮5次为事件C，则P（B）=1﹣﹣=，P（BC）=×=，故所求事件的概率为P（C|B）==点评：本题考查相互独立事件概率的计算，理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键，属基础题．20．（13分）已知圆C的圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，圆C与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）点为圆C上任意一点，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）依题意设圆心坐标为（a，3a）（a＞0），由圆与x轴相切，得到半径为|3a|，进而表示出圆C的标准方程，由垂径定理及勾股定理表示出圆心到直线y=x的距离d，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=x的距离，两者相等列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出圆C的方程；（2）由（1）求出的圆C方程，设x=1+3cosθ，y=3+3sinθ（θ∈[0，2π]），代入已知的不等式中，分离出m，去括号整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由不等式恒成立得到m大于等于﹣x﹣y的最大值，由正弦函数的值域确定出﹣x﹣y的最大值，即可得到满足题意m的范围．解答：解：（1）依题设圆心坐标（a，3a）（a＞0），∵圆与x轴相切，∴圆的半径R=|3a|，∴圆C的方程可设为（x﹣a）2+（y﹣3a）2=9a2，∵R=|3a|，弦长为2，∴圆心到直线y=x的距离d==，由点到直线的距离公式得：d=，∴=，解得：a=±1，又a＞0，∴a=1，则圆C方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=9；（2）设x=1+3cosθ，y=3+3sinθ（θ∈[0，2π]），则m≥﹣x﹣y=﹣（1+3cosθ）﹣（3+3sinθ）=﹣4﹣3sinθ﹣3cosθ=﹣4﹣3sin（θ+），∵对任意θ∈[0，2π]恒成立，∴m≥（﹣x﹣y）max，∵（﹣x﹣y）max=﹣4+3，∴m≥﹣4+3．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，圆的极坐标方程，不等式恒成立问题，以及正弦函数的定义域与值域，是一道综合性较强的题．21．（14分）已知过点A（0，1）且方向向量为的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．。
【百强校】2015-2016学年湖北武汉二中高二上学期期末理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年湖北武汉二中高二上学期期末理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：146分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：如图，为该双曲线的右准线，设到右准线的距离为，过作，分别交于点；因为，所以，过作，垂足为，交轴于，则：试卷第2页，共20页，解得，根据双曲线的定义，；根据双曲线的第二定义，，整理得，解得或（舍去），即该双曲线的离心率为，故选D ．考点：双曲线的简单的几何性质及应用．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的第二定义及双曲线的准线方程、双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用、双曲线的离心率的概念与求解及相似三角形的比例关系等知识的综合应用，本题的解答中，作出双曲线及其准线的图象，设到右准线的距离为，根据距离为，即可求得，再根据已知条件及双曲线的第二定义转化为双曲线的离心率的方程，求解双曲线的离心率．2、设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和, 且各次射击相互独立, 若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：设表示甲命中目标，表示乙命中目标，则相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：1、第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时概率为；2、第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击命中，而乙在第二次射击是命中，此时概率为，故停止射击时甲射击了两次的概率为，故选D ．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【方法点晴】本题考查了互斥事件、相互对立时间的概率的计算，关键是根据体积将事件的分类（互斥事件），利用分类求解，其中本题在停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中；②第一次射击时甲乙都未命中，而第二次射击命中，分别由相互对立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案．3、若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，依次类推且可以有名次并列情况）均不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是（ ） A ．甲同学：均值为2，中位数为2 B ．乙同学：均值为2，方差小于1 C ．丙同学：中位数为2，众数为2 D ．丁同学：众数为2，方差大于1【答案】D 【解析】试题分析：甲同学：均值为，说明名次之和为，得出三次考试名次均不超过，断定为尖子生；乙同学：均值为，说明名次之和为，得出三次考试名次均不超过，断定为尖子生；丙同学：中位数为，众数为，说明三次考试名次均为，断定为尖子生；丁同学：众数为，说明两次名次为，另一次名次为，经验证，当试卷第4页，共20页时，方差均小于，故，推断不一定是尖子生，故选D ．考点：众数、中位数、平均数、方差等应用． 4、若的展开式的各项系数和为243，则的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．60【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，令，则可的展开式的各项系数和，即，得，在展开式中，根据排列组合的知识可得的系数为，故选C ．考点：二项式的系数与排列、组合的应用． 5、已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于55的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 试题分析：设实数，经过第次循环得到；第次循环得到；第次循环得到，此时输出的值，输出的值为，令，解得，由几何概型得到输出的不小于的概率为，故选B ．考点：程序框图；几何概型．6、如果ξ～B ，则使P （ξ＝k ）取最大值时的k 值为（ ）A ．5或6B ．6或7C ．7或8D ．以上均错【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，因为，所以，概率最大也就是最可能的取值，这和期望的意义接近，因为，所以或都是可能的取值，故选B ．考点：正态分布曲线的特点及曲线表示的意义． 7、一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，当且仅当其中有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，341等）．若，且互不相同，任取一个三位自然数，则它是“有缘数”的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 试题分析：由组成的三位数自然数为，共个；同理由组成的三位自然数共个；由组成的三位自然数共个；由组成的三位自然数共个，所有共有个，由组成的三位自然数，共有个“有缘数”；由组成的三位自然数，共有个“有缘数”；所以三位数为“有缘数”的概率为试卷第6页，共20页，故选A ．考点：古典概型的计算及简单的排列组合的计数应用． 8、在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间不共面的三个向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数，使得；其中正确的命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】试题分析：①若向量共线，则向量所在的直线平行，此命题不正确，同一直线上的两个向量也是共线的，此时两直线可能重合；②若向量所在的直线是异面直线，则向量不共面，此命题不正确，任意两个向量是共面；③若三个向量两两共面，则向量不共面，此命题是不真确的，两两共面的三个向量不一定共面，三个不共面的向量满足任意两个之间是共面的；④已知空间不共面的三个向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数，使得，此命题是正确的，它是空间向量共面定理，综上可知只有④是正确的，故选B ． 考点：命题的真假判断与应用；平面向量的概念与共线定理．9、从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（ ） A ．不都相等 B ．都不相等C ．都相等，且为D ．都相等，且为【答案】C 【解析】试题分析：在系统抽样中，若所给的总数据不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率是相等的，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这个两个过程是相互独立的，每个个体的概率为，故选C ．考点：系统抽样． 10、下列命题正确的是（ ） A ．若，为两个命题，则“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；B ．若为：，则为：；C ．命题为真命题，命题为假命题，则命题，都是真命题；D ．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”．【答案】B 【解析】试题分析：A 中，若且为真，则命题和都是真命题，所以或为真命题，反之，若或为真，则，至少有一个为真命题，若，一真一假时，且为为假命题，所以不正确；C 中，命题为真命题，命题为假命题，则命题为真命题，都是假命题，所以不正确；D 中，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，所以不正确；B 中，若为：，则为：，所以正确．故选B ．考点：全称命题与存在性命题的关系．试卷第8页，共20页11、设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为＝0．85x－85．71，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85 kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58．79 kg【答案】D 【解析】试题分析：对于A 中，，所以与具有正的线性相关关系，所以是正确的；对于B 中，回归直线过样本点的中心，所以是正确的；对于D 中，时，，但这是预测值，不可断定其体重为，所以是不正确的；对于C ，因为回归方程为，所以该大学某女生身高增加，则其体重增加，所以是正确的，故选C ．考点：回归直线方程．12、两个事件对立是两个事件互斥的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所以两个事件对立是两个事件互斥的充分不必要条件，故选A ． 考点：互斥事件与对立事件的概念．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知圆及抛物线，过圆心作直线，此直线与上述两曲线的四个交点自左向右顺次记为，如果线段的长度按此顺序构成一个等差数列，则直线的斜率为____________．【答案】【解析】试题分析：因为圆，即，所以圆心，半径为，因为线段的长度按此顺序构成一个等差数列，所以，所以，所以，设的方程为，由，得，可得弦长为，解得．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了了圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系、直线与圆的位置关系及等差中项的应用和弦长公式的求解，有一定的思维难度和计算难度，属于较难的一类试题，本题的解答中利用了待定系数设出直线的方程，根据直线和曲线的方程联立方程组，用弦长公式表示的长度，可将条件“三条线段成等差”转化为线段的关系，得到斜率的关系式．14、在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为的中点，点为平面内一点，试卷第10页，共20页线段与互相平分，则满足的实数的值有_____个．【答案】2 【解析】试题分析：因为线段与互相平分，且，所以，所以当四边形是平行四边形，才满足题意，此时有为的中点，与重合，或为的中点，与重合，此时或．考点：向量在立体几何中的应用．【方法点晴】本题主要考查了空间向量在立体几何中的引用，着重考查了学生的空间想象能力和运动变化的关键分析和解决问题的能力，属于中档试题，本题的解答中根据题意可知，要满足线段与互相平分，必须当四边形是平行四边形时，才满足题意，从而求得点和的位置，从而求解的值．15、甲、乙两个小组各名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于分”记为事件．则的值是________．【答案】【解析】 试题分析：从这名学生中随机抽取一人，基本事件总是为个，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件，则事件包含的基本事件有个，故；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于分”记为事件，则事件包含基本事件有个，，故事件包含的基本事件有个，故，所以．考点：条件概率的计算．16、有名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．【答案】【解析】试题分析：将名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则将名教师分成三组，一组人，令两组都是人，有种方法，再将组分到三个班级，共有种不同的分配方案．考点：排列、组合及简单的计数问题．三、解答题（题型注释）17、在平面直角坐标系中，已知点是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足（1）求点的轨迹C 的方程；（2）过点D （1，0）任作两条互相垂直的直线，分别交轨迹C 于点和M ，N ，设线段的中点分别为求证：直线EF 恒过一定点．【答案】（1）；（2）．试卷第12页，共20页【解析】试题分析：（1）设出的坐标为，利用斜率公式表示，，，根据求解动点的轨迹方程；（2）把直线与抛物线方程联立，得，由韦达定理得，，确定的坐标为，同理得的坐标为，代入整理得整理得，确定直线过定点．试题解析：（1）设点的坐标为，则，，，由得．整理得点的轨迹的方程为．．（2）设点的坐标为，，则点的坐标为．由题意可设直线的方程为由消去得，因为直线与抛物线交于A ，B 两点，所以，，所以点的坐标为．由题知，直线的斜率为，同理可得的坐标为．当时，有．此时直线的斜率为:所以直线的方程为，整理得．于是直线恒过定点， 当时，直线的方程为，也过点．综上所述，直线恒过定点．考点：轨迹方程的求解；直线过定点问题．【方法点晴】本题主要考查了动点轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线方程的综合应用、直线过定点问题的判断，属于难度较大的试题，本题的解答中，第1问中设出点的坐标为，利用斜率公式表示，，，利用条数条件求解动点的轨迹方程；第2问中，把直线的方程与抛物线的方程联立，确定，，从而得到点的坐标，代入确定直线的方程，，确定直线过定点．18、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴这半径的圆与直线相切．（1）求椭圆标准方程； （2）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）．试卷第14页，共20页【解析】试题分析：（1）根据离心率，求得，再根据直线与圆相切，可得，代入，求解的值，从而得到椭圆的方程；（2）利用直线方程与椭圆方程联立，得得，利用韦达定理得，假设存在点，化简与无关，得，代入可得，从确定定值．试题解析：（1）由得，即 ①又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为且与直线相切，所以代入①得c=2，所以．所以椭圆C 的标准方程为（2）由得设，所以根据题意，假设轴上存在定点E （m ，0）， 使得为定值．则=要使上式为定值，即与k 无关，，得．此时，，所以在轴上存在定点E （，0）使得为定值，且定值为．考点：椭圆的标准方程及简单的几何性质；直线与圆锥的综合问题，【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单的几何性质及其应用及直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档试题，本题的解答中，根据椭圆的离心率，确定的关系，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求解，从而求解椭圆的标准方程，第2问中，利用直线与椭圆方程联立，得到，假设存在点，化简，根据题设条件求解的值，代入确定向量的值，其中转化为利用韦达定理的应用是解答此类问题的关键．19、某市一高中经过层层上报, 被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校.该校成立了特色足球队, 队员来自高中三个年级, 人数为50人.视力对踢足球有一定的影响, 因而对这50人的视力作一调查.测量这50人的视力(非矫正视力)后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间, 将测量结果按如下方式分成6组：第一组, 第二组, …,第6组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.又知：该校所在的省中, 全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布.（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况； （2）求这50名队员视力在5.15以上(含5.15)的人数；（3）在这50名队员视力在5.15以上(含5.15)的人中任意抽取2人, 该2人中视力排名(从试卷第16页，共20页高到低)在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为,求的数学期望. 参考数据：若, 则,,.【答案】（1）；（2）人；（3）．【解析】试题分析：（1）利用组中值频率，即可得到结论；（2）首先理解频率分布直方图横纵坐标表示的意义，恒坐标表示身高，纵轴表示频数，即：每组中包含个体的个数，可以以及频率分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这名队员视力在以上的人数；（3）先根据正态分布的规律求出全市前名视力在以上，这人中以上的有人，确定变量的取值，求出概率，即可得到变量的期望．试题解析：（1）由频率分布直方图知，该校特色足球队人员平均视力为4．80．1+4．90．2+5．00．3+5．10．2+5．20．1+5．30．1=5．03高于全省喜爱足球的高中生的平均值5．01． 4分（2）由频率分布直方图知，后两组队员的视力在5．15以上（含5．15），其频率为0．2，人数为0．250=10，即这50名队员视力在5．15以上（含5．15）的人数为10人． 6分 ⑶，即，，．所以全省喜爱足球的高中生中前130名的视力在5．25以上．这50人中视力在5．25以上的有0．150=5人，这50名队员视力在5．15以上（含5．15）的人分为两部分:5人在5．25以上，5人在5．155．25． 随机变量可取0，1，2，于是，，．．考点：正态分布曲线的特点及曲线表示意义；离散型随机变量的分布列及期望，20、如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且（1）证明：平面平面；（2）求棱与所成的角的大小；（3）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）因为顶点在在底面上的的射影恰好为得到，又，利用线面垂直的判定定理可得平面平面；（2）建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的数量积公式求出棱与所成的角的大小；（3）求出平面的法向量，而平面的法向量，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：，，又，，，，．（2）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，试卷第18页，共20页，故与棱所成的角是．（3）因为为棱的中点，故易求得．设平面的法向量为，则，由，得，令，则，而平面的法向量．则．由图可知二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值是．考点：利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定． 21、设函数，其中是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “且”发生的概率． （1）若随机数；（2）已知随机函数产生的随机数的范围为，是算法语句和的执行结果．（注: 符号“”表示“乘号”）【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由知，事件“且”即随机数列，共等可能产生个数对，事件中包含了其中个数对，从而可求事件发生的概率；（2）由题意所在的区间中的随机数，产生的点均匀地分布在边长为的正方形区域中，事件所对应的区域为梯形，从而可求事件发生的概率．试题解析：由知，事件A “且”，即（1）因为随机数，所以共等可能地产生个数对，列举如下： ，事件A ：包含了其中个数对，即：所以，即事件A 发生的概率为（2）由题意，均是区间中的随机数，产生的点均匀地分布在边长为4的正方形区域中（如图），其面积． 8分事件A ：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：．所以，即事件的发生概率为考点：简单的线性规划；古典概型及其概率的求解；几何概型，试卷第20页，共20页22、已知命题p ：方程表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线的离心率，若p 、q 有且只有一个为真，求的取值范围．【答案】【解析】试题分析：根据题意求出命题为真时的范围，分别为、，再由有且只有一个为真，进而得出的取值范围．试题解析：将方程改写为，只有当即时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，所以命题p 等价于因为双曲线的离心率，所以，且1，解得，所以命题q 等价于；若p 真q 假，则；若p 假q 真，则综上：的取值范围为考点：命题的真假判断与应用；椭圆的标准方程；双曲线的简单几何性质．。
2014年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜05．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．210．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=．12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=．13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为．17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：可先计算出的值，再计算平方的值．解答：解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选A．点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r+1==，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）考点：微积分基本定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．解答：解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=（2πr）2，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．解答：解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（（﹣λ）），则（+λ）•（（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）（2014•湖北）考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到∴==cos45°=，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．（2014•湖北）考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解答：解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．（2014•湖北）考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．解答：解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2014•湖北）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．解答：解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）考点：等差数列的性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．解答：解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（2）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．21．（14分）考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx 在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
2014-2015年湖北省部分重点中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2014-2015学年湖北省部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：对任意x∈R，2x+1＞0的否定是（）A．¬p：对任意x∈R，2x+1≤0B．¬p：不存在x0∈R，C．¬p：存在x0∈R，D．¬p：存在x0∈R，2．（5分）某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）A．=0.7x+0.35B．=0.7x+1C．=0.7x+2.05D．=0.7x+0.453．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，．参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4．（5分）若x＞0，y＞0，则“x2+y2＞1”是“x+y＞1”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．46．（5分）下列结论中，错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题C．用R2=1﹣来刻画回归效果，若R2越大，则说明模型的拟合效果越好D．若随机变量X的概率分布密度函数是f（x）=，x∈（﹣∞，+∞），则E（2X+1），D（2X+1）的值分别是3，87．（5分）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14其中正确结论的是（）A．①③B．①②C．③D．①②③8．（5分）在某市2014年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100）．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）名？（参考数值：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974）A．1 500B．1 700C．4 500D．8 0009．（5分）在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）在右图中，“创建文明城市，筑美好家园”，从上往下读（上行与下行前后相邻，不能跳读），共有（）种不同的读法．A．225B．240C．252D．300二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选三人参加学校组织的课外活动．若“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P（B|A）=．12．（5分）一口袋中装有5个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同．现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P（ξ=12）=．（用式子作答）13．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为．14．（5分）已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n+=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，且a0+a1+a2+…+a n=126，那么（3x﹣）n的展开式中的常数项为（用数字作答）．15．（5分）设p：∀x∈（1，），函数g（x）=log2（tx2+2x﹣2）恒有意义，若¬p为假命题，则t的取值范围为．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题p：“∃x∈R，2x2+（m﹣1）x+≤0”，命题q：“曲线C1：+=1表示焦点在x轴上的椭圆”．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．17．（12分）用数字0，1，2，3，4，5，组成没有重复数字的数，问：（1）能够组成多少个六位奇数？（2）能够组成多少个大于201345的正整数？18．（12分）若（+）n的展开式中前三项系数成等差数列．（1）求展开式中所有的有理项；（2）求展开式中二项式系数最大的项及系数最大的项．19．（12分）某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？20．（13分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．21．（14分）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．2014-2015学年湖北省部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：对任意x∈R，2x+1＞0的否定是（）A．¬p：对任意x∈R，2x+1≤0B．¬p：不存在x0∈R，C．¬p：存在x0∈R，D．¬p：存在x0∈R，【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∴命题p：对任意x∈R，2x+1＞0的否定是：¬p：存在x0∈R，．故选：C．2．（5分）某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）A．=0.7x+0.35B．=0.7x+1C．=0.7x+2.05D．=0.7x+0.45【解答】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5．因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．故选：A．3．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，．参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解答】解：由题意算得，．∵7.8＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C．4．（5分）若x＞0，y＞0，则“x2+y2＞1”是“x+y＞1”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若x2+y2＞1，因为x＞0、y＞0，所以（x+y）2=x2+y2+2xy＞x2+y2＞1，∴x+y＞1成立，故充分性成立，可取x=y=，使x+y＞1成立，而x2+y2＞1不能成立，故必要性不成立综上所述，x2+y2＞1”是“x+y＞1”充分不必要条件故选：B．5．（5分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．4【解答】解：由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，a==，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故选：D．6．（5分）下列结论中，错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题C．用R2=1﹣来刻画回归效果，若R2越大，则说明模型的拟合效果越好D．若随机变量X的概率分布密度函数是f（x）=，x∈（﹣∞，+∞），则E（2X+1），D（2X+1）的值分别是3，8【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；B．“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是“am2≥bm2，则a≥b”是真命题，正确；C．用R2=1﹣来刻画回归效果，若R2越大，则说明模型的拟合效果越好，正确；D．随机变量X的概率分布密度函数是f（x）=，x∈（﹣∞，+∞），则E（2X+1），D（2X+1）的值分别是1，2，因此不正确．故选：D．7．（5分）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14其中正确结论的是（）A．①③B．①②C．③D．①②③【解答】解：∵射击一次击中目标的概率是0.9，∴第3次击中目标的概率是0.9，∴①正确，∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，∴本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是C43×0.93×0.1∴②不正确，∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1﹣0.14．∴③正确，故选：A．8．（5分）在某市2014年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100）．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）名？（参考数值：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974）A．1 500B．1 700C．4 500D．8 000【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（98，100）．∵μ=98，σ=10，∴P（ξ≥108）=1﹣P（ξ＜108）=1﹣Φ（）=1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A．9．（5分）在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c，故，即，又e＜1，故该椭圆离心率的取值范围是．故选：B．10．（5分）在右图中，“创建文明城市，筑美好家园”，从上往下读（上行与下行前后相邻，不能跳读），共有（）种不同的读法．A．225B．240C．252D．300【解答】解：根据题意，从上往下读，上下、左右都不能跳读，则从上一行到下一行必须向左或向右，分析可得，从上到下，从“创”到“园”之间共10个间隙，必须是5次向左，5次向右；即可转化为从10行中，选出5次向左，剩下的5次向右，则有C105=252种，故选：C．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选三人参加学校组织的课外活动．若“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P（B|A）=．【解答】解：由题意P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，故答案为：．12．（5分）一口袋中装有5个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同．现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P（ξ=12）=．．（用式子作答）【解答】解：设事件A表示“每次取球时取到红球”，由已知得P（A）=，P（）=，ξ=12是指取球12次，红球出现的次数为10次，∵红球出现10次时停止，∴最后一次必须是红球，∴P（ξ=12）==．故答案为：．13．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为．【解答】解：联立，得x=，y=，∴直线y=﹣x+1与x﹣2y=0的交点为，∴线段AB的中点为（），设y=﹣x+1与的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，=，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆，得：，两式相减，得，a2=2b2，∴a=，∴．故答案为：．14．（5分）已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n+=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，且a0+a1+a2+…+a n=126，那么（3x﹣）n的展开式中的常数项为﹣540（用数字作答）．【解答】解：因为（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，令x=1得：2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+a n，∵a0+a1+a2+…+a n=126，∴2+22+23+…+2n==126即2n+1=128=27．解得n=6．所以（3x﹣）6的展开式中的通项为：（﹣1）r36﹣r•C6r•x6﹣2r．令6﹣2r=0，得r=3．所以（3x﹣）n的展开式中的常数项为：（﹣1）3•33•C63=﹣540．故答案为：﹣540．15．（5分）设p：∀x∈（1，），函数g（x）=log2（tx2+2x﹣2）恒有意义，若¬p为假命题，则t的取值范围为[0，+∞）．【解答】解：若￢P为假命题，则p为真命题．不等式tx2+2x﹣2＞0有属于（1，）的解，即t＞﹣有属于（1，）的解，又1＜x＜时，＜＜1，所以﹣=2（﹣）2﹣∈[﹣，0）．∀x∈（1，），函数g（x）=log2（tx2+2x﹣2）恒有意义，故t≥0．故答案为：[0，+∞）三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题p：“∃x∈R，2x2+（m﹣1）x+≤0”，命题q：“曲线C1：+=1表示焦点在x轴上的椭圆”．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真，则：，解得：m≤﹣1或m≥3，若q为真，则：，解得：﹣4＜m＜﹣2或m＞4．∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴p，q一真一假．若p真q假，则：，解得：3≤m≤4或﹣2≤m≤﹣1或m≤﹣4．若p假q真，则：解集为ϕ．综上，实数m的取值范围为：3≤m≤4或﹣2≤m≤﹣1或m≤﹣4．17．（12分）用数字0，1，2，3，4，5，组成没有重复数字的数，问：（1）能够组成多少个六位奇数？（2）能够组成多少个大于201345的正整数？【解答】解：（1）根据题意，末位数字可以为1、3、5，有A31种取法，首位数字不能为0，有A41种取法，其他4个数字，排在中间4位，有A44种排法，则六位奇数共有个；（2）因为组成的数大于201345，所以十万位可以是2，3，4，5．当十万位是3，4，5时，分别有120种，共有360种而十万位是2时，万位是0时有23种，万位是1，3，4，5时，共有96种综上所述：共有479种．18．（12分）若（+）n的展开式中前三项系数成等差数列．（1）求展开式中所有的有理项；（2）求展开式中二项式系数最大的项及系数最大的项．==，【解答】（1）解：由于T r+1则展开式中前三项的系数分别为1，，，则有2×=1+，解得n=8（1舍去）．则T r=，+1则有r=0，4，8时，为有理项，且为x4，=x，x﹣2．（2）解：而n=8展开式共有9项，中间一项二项式系数最大，即为T5=x，设第k项的系数最大，则有，解得3≤k≤4，故系数最大的项为第三项T3=7和第四项T4=7．19．（12分）某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？【解答】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，奖金的可能取值是0，30，60，240，∴一等奖的概率P（ξ=240）=，P（ξ=60）=P（ξ=30）=，P（ξ=0）=1﹣∴变量的分布列是ξ∴E ξ==20（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣四次抽奖是相互独立的∴中奖次数η～B（4，）∴Dη=4×20．（13分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分13分）（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC…（1分）又∵BC∥AD，∴AE⊥AD…（2分）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE…（3分）而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．…（5分）（2）解法一：H为PD上任意一点，连接AH，EH，由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，…（6分）在RT△EAH中，，∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．…（7分）此时，∴，又∵AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2…（8分）∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，…（10分）在RT△AOE中，，又F是PC的中点，在RT△ASO中，，又，…（11分）在RT△ESO中，即所求二面角的余弦值为．…（13分）（2）解法二：由（1）可知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AP=a，则A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（，，），H（0，2﹣2λ，aλ）（其中λ∈[0，1]），…（6分）∴，面PAD的法向量为，，∵EH与平面PAD所成最大角的正切值为…（7分）∴的最大值为，即f（a）=（a2+4）λ2﹣8λ+7在λ∈[0，1]的最小值为5，∵函数f（a）对称轴，∴f（a）min=，解得a=2…（9分）∴=（，0，0），=（，，1）设平面AEF的一个法向量为=（x1，y1，z1），则∴，取z1=﹣1，则=（0，2，﹣1）…（11分）为平面AFC的一个法向量．…（12分）∴∴所求二面角的余弦值为…（13分）21．（14分）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而整理，得a2=3c2，故离心率（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③联立①③解得，将x1，x2代入②中，解得．（III）解法一：由（II）可知当时，得，由已知得．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．直线F2B的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由m≠0，解得故当时，同理可得．解法二：由（II）可知当时，得，由已知得由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．由直线F2B的方程为，知点H的坐标为．因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．则，所以．当时同理可得。
湖北省武汉市第二中学高二数学上学期期末考试试题 文
湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（文）试题考试时间：2015年2月4日 上午9：00—11：00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 下列说法中正确的是 （ ） A. 若事件A 与事件B 是互斥事件, 则; B. 若事件A 与事件B 满足条件: , 则事件A 与事件B 是 对立事件; C. 一个人打靶时连续射击两次, 则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对立事件; D. 把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人, 每人分得1张, 则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件.用反证法证明命题: “a, b ∈N, 若ab 不能被5整除, 则 a 与b 都不能被5整除”时, 假设的内 容应为 （ ） A. a, b 都能被5整除 B. a, b 不都能被5整除 C. a, b 至少有一个能被5整除 D. a, b 至多有一个能被5整除 3. 已知为纯虚数(是虚数单位)则实数 （ ） A. B. C. －1 D. －2 4. 下列框图属于流程图的是 （ ） A.B.C.D.5. 若双曲线1522=-m x y 的渐近线方程为35±=y , 则双曲线焦点F 到渐近线的距离为（ ） A .2B.3C.4D. 56. 已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程ˆy bx a =+必过点（ ）A. (20,16)B. (16,20)C. (4,5)D. (5,4)7. 已知双曲线的右焦点为F, 若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则此直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D.()()1P A P B +=)()()1B P A P B ⋃=+=11ai i +-a =221124x y-=]3,3[-8. 已知(4,2)是直线l 被椭圆362x ＋92y ＝1所截得的线段的中点, 则l 的方程是 （ ）A. x ＋2y+8＝0 B . x ＋2y －8＝0 C. x-2y －8＝0 D. x-2y+8＝0 9. 下列说法中不正确的个数是 （ ） ①命题“∀x ∈R,123+-xx ≤0”的否定是“∃0x ∈R, 12030+-x x >0”;②若“p ∧q”为假命题, 则p 、q 均为假命题;③“三个互不相等的数a, b, c 成等比数列”是“b=ac ”的既不充分也不必要条件A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点, 是他们的一个公共点, 且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 （ ）A. B. C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共 7个小题 ，每小题 5分，共35分）11. 已知高一年级有学生450人, 高二年级有学生750人, 高三年级有学生600人.用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为的样本, 且每个学生被抽到的概率为0.02, 则应从高二年级抽取的学生人数为 .12. 在空间直角坐标系O －xyz 中, 轴上有一点到已知点和 点的距离相等, 则点的坐标是 . 13. 某学生5天的生活费(单位:元)分别为:, , 8, 9, 6. 已知这 组数据的平均数为8, 方差为2, 则 . 14. 如图所示的算法中, , , , 其中是圆周率,是自然对数的底数, 则输出的结果是 . 双曲线的一个焦点为, 则的值为___________, 双曲线的渐近线方程为___________. 16. 集合中, 每两个相异数作乘积, 将所有这些乘积 的和记为, 如:;;则. （写出计算结果）17. 我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线. 如图是双曲线的图象, 给出以下几个说法:①双曲线是黄金双曲线;②若, 则该双曲线是黄金双曲线; ③若为左右焦点,为左右顶点,(0,),(0, ﹣)且, 则该双曲线是黄金双曲3)2222123[6(123)]112+=-++=2222211423243[10(1234)]352+⨯+⨯+⨯+⨯=-+++=222222114153545[15(12345)]852+⨯+⨯++⨯+⨯=-++++=L )0,0>>b )22,0,0b a c b +=>>线;④若经过右焦点且,, 则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为 .三、解答题（共5大题，共65分） 18. (12分)命题p:“”, 命题q:“”, 若“p 且q”为假命题,求实数a 的取值范围.19. (13分)已知三点P(5, 2)、F1(－6, 0)、F2(6, 0). (1) 求以F1、F2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程; (2) 设点P 、F1、F2关于直线y ＝x 的对称点分别为, 求以为焦点且过 点的双曲线的标准方程.2F 21F FMN ⊥090=∠MON 0],2,1[2≥-∈∀a x x 022,0200=-++∈∃a ax x R x 12',','P F F 12','F F 'P20. (13分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如下, 据此解答如下问题.(1) 求全班人数及分数在[)90,80之间的频数;(2) 估计该班的平均分数, 并计算频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高;(3) 若要从分数在[80, 100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况, 在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90, 100]之间的概率.21. (13分)如图, 在三棱柱中, 侧棱底面,,为的中点,(1) 求证: 平面;(2) 过点作于点, 求证: 直线平面;(3) 若四棱锥的体积为3, 求的长度.22. (14分)在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A(－1, 1), P 是动点, 且△POA 的三边所在直线的斜率满足kOP ＋kOA ＝kPA.(1) 求点P 的轨迹C 的方程;(2) 若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点, 且＝λ, 直线OP 与QA 交于点M, 问: 是否存在点P , 使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA ＝2S △PAM? 若存在, 求出点P 的坐标; 若不存在, 说明理由.OA u u u r PQ u u u r DC AA B 11-C C AA 11⊥BE E AC BD BC //1AB 1 2.A A AB ==AC D A B BC ABC 1AA 111C B A ABC-武汉二中2014——2015学年上学期高二年级期末考试题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D C A C B D A B B A11. 1512.13. 314.15. －1;16. 32217. ①②③④18.∴⊿=4a2-4（2-a）≥0,即,a≥1或a≤-2, p真q也真时∴a≤-2,或a=1若“p且q”为假命题, 即.考点: 全称命题与特称命题; 简易逻辑.19. （1）; （2）.【解析】试题分析: （1）根据椭圆的定义, , 又, 利用, 可求出, 从而得出椭圆的标准方程, 本题要充分利用椭圆的定义.（2）由于F1、F2关于直线的对称点在轴上, 且关于原点对称, 故所求双曲线方程为标准方程, 同样利用双曲线的定义有, 又,要注意的是双曲线中有, 故也能很快求出结论.试题解析: （1）由题意, 可设所求椭圆的标准方程为, 其半焦距6c=,26535a a==3b=故所求椭圆的标准方程为;（2）点P（5, 2）、（－6, 0）、（6, 0）关于直线y＝x的对称点分别为: , , , 设所求2'(0,6)1'(0,6)F-452221(0)x ya ba b=>>2b+=1225PF PF-=y x=222a b c=+6c=12265a PF PF=+=222016y x-219y+=),1()1,2(+∞-∈Yxy22±=3π(0,4,0)M'(2,5)P双曲线的标准方程为, 由题意知半焦距=6,24525a a =∴= ∴4b ∴=,故所求双曲线的标准方程为.考点: （1）椭圆的标准方程; （2）双曲线的标准方程.解：（I ）由茎叶图知，分数在[)60,50之间的频数为2，频率为,08.010008.0=⨯全班人数为.2508.02=所以分数在[)90,80之间的频数为42107225=----（II ）分数在[)60,50之间的总分为56+58=114；分数在[)70,60之间的总分 为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[)80,70之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[)90,80 之间的总分约为85×4=340；分数在]100,90[之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为.7425193340747456114=++++估计平均分时，以下解法也给分：分数在[)60,50之间的频率为2/25=0.08;分数在[)70,60之间的频率为7/25=0.28；分数在 [)80,70之间的频率为10/25=0.40;分数在[)90,80之间的频率为4/25=0.16分数在 ]100,90[之间的频率为2/25=0.08; 所以，该班的平均分约为8.7308.09516.08540.07528.06508.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高为.016.010254=÷（III ）将[)90,80之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6， 在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）；（2，3），（2，4），（2，5）， （2，6）；（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）；（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率是6.0159=21. (1)证明:连接设,连接………1分是平行四边形,点O 是的中点,C B 1∴11B BCC Θ,ODO BC C B =⋂11,2212016y x -=2221(0,0)a b a b =>>是AC 的中点, 是的中位线,…………………………………………3分又AB1//平面BC1D…………………………………………5分(2)………………………………………7分,又……………………9分 直线BE 平面………………………………………10分(2)的解法2: ……7分直线BE 平面………………………………………10分(3)【解析】(1)连接B1C,设,连接证明即可.(2) 因为,再证即可.(3) 设,再根据建立关于x 的方程, 解出x 值. 由(2)知BE 的长度是四棱锥B —AA1C1D 的体高设……………11分……………12分………………13分 …………………………………………………14分 22. （1）y ＝x2(x≠0且x≠－1)（2）(1, 1)【解析】(1)设点P(x, y)为所求轨迹上的任意一点, 则由kOP ＋kOA ＝kPA 得, 整理得轨迹C 的方程为y ＝x2(x≠0且x≠－1).(2)设P(x1, ), Q(x2,, M(x0, y0),由＝λ可知直线PQ ∥OA, 则kPQ ＝kOA, 故, 即x2＋x1＝－1,由O 、M 、P 三点共线可知,＝(x0, y0)与＝(x1,)共线,OP r OM u u r2221211010x x x x －－＝－－－OA u u u r PQ u u u r 221x 1111y y x x －＋＝－＋3BC 3,x =∴=∴3,AC2x AC 2331BE S 31DC AA 11=⋅⋅=⋅()AC,232AC 2321A A AD C A 21111AA =⋅=⋅+⋅=∴1 2.A A AB ==311AA C D V =AC2x BE BC,AB BE AC ,,0=∴⋅=⋅∆>=中ABC Rt x BC 1A BE A ⊥BE AC ⊥,OD O BC C B =⋂11ABC,BE AC,BE AC,ABC C C AA 11平面平面又平面⊂⊥=⋂ABC C C AA C,C AA A A ABC,11111平面平面平面平面⊥∴⊂ΘC C AA 11⊥A A A AC AC,BE 1=⋂⊥BE,A 1⊥ABC,BE ABC,1平面平面⊂⊥A D BC D,BC 111平面平面⊂⊄OD AB OD AB //1C AB 1∆OD ∴D Θ=∴D C AA 11V∴x0－x1y0＝0, 由(1)知x1≠0, 故y0＝x0x1,同理, 由＝(x0＋1, y0－1)与＝(x2＋1, －1)共线可知(x0＋1)(－1)－(x2＋1)(y0－1)＝0, 即(x2＋1)[(x0＋1)·(x2－1)－(y0－1)]＝0,由(1)知x2≠－1, 故(x0＋1)(x2－1)－(y0－1)＝0,将y0＝x0x1, x2＝－1－x1代入上式得(x0＋1)(－2－x1)－(x0x1－1)＝0,整理得－2x0(x1＋1)＝x1＋1, 由x1≠－1得x0＝－, 由S △PQA ＝2S △PAM, 得到QA ＝2AM, ∵PQ ∥OA, ∴OP ＝2OM, ∴＝2, ∴x1＝1, ∴P 的坐标为(1, 1)AQ u u u r AM u u u u r 1OM PO u 22x 12。
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2014-2015学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）过椭圆+=1的左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，F2是右焦点，则△ABF2的周长是（）A．6B．8C．12D．162．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．C．（0，1）D．3．（5分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ=i）=a（）i，i=1，2，3，则实数a的值为（）A．1B．C．D．4．（5分）某服装加工厂某月生产A、B、C三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是（）A．80B．800C．90D．9005．（5分）正四面体ABCD中，M，N分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AM，CN所成角的余弦值为（）A．﹣B．C．D．﹣6．（5分）若（x+a）2（﹣1）5的展开式中常数项为﹣1，则的值a为（）A．1B．8C．﹣1或﹣9D．1或97．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6826，则P（x＞4）=（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.15858．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．9．（5分）若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A．，B．C．D．10．（5分）已知直线l1，l2过椭圆+=1的中心且相互垂直的两条直线，分别交椭圆于A，B，C，D，四边形ABCD的面积的最小值是（）A．2B．4C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现以500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样本时，先将500袋牛奶按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第4列的数开始按三位数连续向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号：．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 067663 01 64 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 85 12 86 73 58 07 44 39 52 387933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 7954．12．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则实数k的值为．13．（5分）从某大学中随机抽取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示．已知该大学某女大学生身高为165.25cm，则预报其体重合理值为kg．14．（5分）向等腰直角三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为．15．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AD=∠A1AB=60°，DAB=90°，A1A=3，AB=2，AD=1，则其对角线AC1的长为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣），求它的标准方程．17．（12分）过双曲线﹣=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，F1为左焦点，求：（1）|AB|；（2）△AF1B的周长．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角的余弦值；（3）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．19．（12分）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施．试比较哪一种方案好．并简单分析你的选择对气象情况多次发生和对一次具体决策的影响．20．（13分）已知（1﹣3x）n展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项的项数及二项式系数最大的项的项数．21．（14分）如图所示，已知椭圆C：+y2=1左、右端点分别为A1，A2，过定点（1，0）的动直线与椭圆C交于P，Q两点．直线A1P与A2Q交于点S．（1）当直线斜率为1时，求直线A1P与A2Q的方程．（2）试问：点S是否恒在一条定直线上．若是求出这条直线方程，若不是请说明理由．2014-2015学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）过椭圆+=1的左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，F2是右焦点，则△ABF2的周长是（）A．6B．8C．12D．16【解答】解：由椭圆定义可知：AF1+AF2=BF1+BF2=2a=2=8，∴△ABF2的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=16，故选：D．2．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．C．（0，1）D．【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2=y，∴p=，开口向上，故焦点坐标为（0，），故选：B．3．（5分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ=i）=a（）i，i=1，2，3，则实数a的值为（）A．1B．C．D．【解答】解：∵设随机变量ξ的分布列为P（ξ=i）=a•（）i，i=1，2，3，∴=1，解得a=．故选：D．4．（5分）某服装加工厂某月生产A、B、C三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是（）A．80B．800C．90D．900【解答】解：∵分层抽样是按比抽取，由B产品知比为=，共抽取样本容量是4000×=400，A产品容量比C产品的样本容量多10，400﹣230﹣2x﹣10=0∴得C产品的样本容量为80，∴C产品共有80=800，故选：B．5．（5分）正四面体ABCD中，M，N分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AM，CN所成角的余弦值为（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：取MD中点O，连结NO，CO，∵N是AD中点，∴NO∥AM，∴∠CNO是异面直线AM，CN所成角，设正四面体ABCD中棱长为2，则AM=DM=CN=，ON==，CO==，∴cos∠CNO==．故选：C．6．（5分）若（x+a）2（﹣1）5的展开式中常数项为﹣1，则的值a为（）A．1B．8C．﹣1或﹣9D．1或9【解答】解：∵（x+a）2=x2+2ax+a2∵展开式的通项为∴展开式的常数项为﹣C53+2aC54﹣a2∴﹣C53+2aC54﹣a2=﹣1解得a=1或9故选：D．7．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6826，则P（x＞4）=（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585【解答】解：P（3≤X≤4）=P（2≤X≤4）=0.3413，观察上图得，∴P（X＞4）=0.5﹣P（3≤X≤4）=0.5﹣0.3413=0.1587．故选：B．8．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选：A．9．（5分）若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A．，B．C．D．【解答】解：渐近线方程为y=±x，由消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10=0设（k2﹣1）x2+4kx+10=0的两根为x1，x2，∵直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，∴，∴k＜﹣1，∴故选：D．10．（5分）已知直线l1，l2过椭圆+=1的中心且相互垂直的两条直线，分别交椭圆于A，B，C，D，四边形ABCD的面积的最小值是（）A．2B．4C．D．【解答】解：当直线l1的斜率不存在，直线l2斜率为0，即有四边形ABCD的面积为S=•2a•2b=2ab=2×2×=；当直线l1、l2的斜率存在时，设直线l1：y=kx，直线l2：y=﹣x，将直线y=kx代入椭圆方程，可得x2=，y2=，即有|AB|=2，同理可得|CD|=2=2，即有四边形ABCD的面积为S=•2•2=8，令1+k2=t（t＞1），则S=8=8=8，当=，即t=2时，S取得最小值，且为8×=4．由4＜，可得四边形ABCD的最小值为4．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现以500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样本时，先将500袋牛奶按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第4列的数开始按三位数连续向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号：164，199，185，128，395．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 067663 01 64 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 85 12 86 73 58 07 44 39 52 387933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 7954．【解答】解：找到第8行第4列的数开始向右读，第一个符合条件的是164，第二个数785，第三个数916，第四个数955，第五个数567大于499要舍去，第六个数199符合条件，第七个数810，第八个数507要舍去第九个数185，第十个数128符合题意，第十一个数673，第十二个数580，第十三个数744要舍去第十四个数395符合条件故答案为：164，199，185，128，39512．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则实数k的值为﹣1．【解答】解：由题意，把双曲线8kx2﹣ky2=8的方程化为标准方程，∴9=，∴k=﹣1，故答案为：﹣1．13．（5分）从某大学中随机抽取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示．已知该大学某女大学生身高为165.25cm，则预报其体重合理值为54.5kg．【解答】解：由题意，=165.25，=54.5，b=0.849，x=﹣85.712，所以y对x的回归直线方程为y=0.849x﹣85.712，所以y=165.25cm时，x=54.5kg，故答案为：54.514．（5分）向等腰直角三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为．【解答】解：记“AM小于AC”为事件E．则当点M位于图中△ABC的白色区域内时，AM小于AC，设AC=1，图中白色区域的面积为：于是AM小于AC的概率为：P（E）=．故答案为：．15．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AD=∠A1AB=60°，DAB=90°，A1A=3，AB=2，AD=1，则其对角线AC1的长为．【解答】解：如图，可得=，故==22+12+32+2（2×1×0+2×3×+1×3×）=23．∴AC′=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣），求它的标准方程．【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为，由椭圆的定义知：，∴．（6分）又∵c=2，（8分）∴b2=a2﹣c2=6，（10分）∴椭圆的标准方程为．（12分）17．（12分）过双曲线﹣=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，F1为左焦点，求：（1）|AB|；（2）△AF1B的周长．【解答】解：（1）由双曲线的方程得F1（﹣3，0），F2（3，0），直线AB的方程为y=（x﹣3）①（2分）将其代入双曲线方程消去y得，5x2+6x﹣27=0，解之得x1=﹣3，x2=1.8．（4分）将x1，x2代入①，得y1=﹣2，y2=﹣，故A（﹣3，﹣2），B（1.8，﹣），故|AB|=．（8分）（2）周长=|AB|+|AF1|+|BF1|=8．（12分）18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角的余弦值；（3）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，．由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．…（4分）（2）解：∵，∴，∴AC与PB所成角的余弦值为…（8分）（3）解：设平面AMC，∵=（1，1，0），=（0，1，，∴，可得，同理可得平面BMC的一个法向量，∴∴所求二面角的余弦值为…（12分）19．（12分）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施．试比较哪一种方案好．并简单分析你的选择对气象情况多次发生和对一次具体决策的影响．【解答】解：用X i表示方案i（i=1，2，3）的损失，若采用第一中方案，无论是否有洪水，都损失3800元．即X i=3800．采用第二种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元，没有大洪水时，损失2000元，即．同样，采用第三种方案，有．于是E（X1）=3800，E（X2）=62000×P（X2=62000）+2000×P（X2=2000）=62000×0.01+2000×（1﹣0.01）=2600．E（X3）=60000×P（X3=60000）+10000×P（X3=10000）+0×P（X3=0）=60000×0.01+10000×0.25=3100．综上可知：采用方案2的平均损失最小，因此可以选择方案2．20．（13分）已知（1﹣3x）n展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项的项数及二项式系数最大的项的项数．【解答】解：由题意，∵末三项的二项式系数分别为C n n﹣2，C n n﹣1，C n n∴C n n﹣2+C n n﹣1+C n n=121∴C n2+C n1+C n0=121即n2+n﹣240=0∴n=15或n=﹣16（舍）=C15r（3x）r=C15r3r x r（1）∴T r+1展开式中二项式系数最大的项为第8、9项，T8=T9=C15737x7和T9=C15838x8 =C15r（﹣3x）r=C15r（﹣3）r x r（2）T r+1，t r设第r+1项与第r项的系数的绝对值分别为t r+1=C15r3r，t r=C15r﹣13r﹣1令t r+1≥t r则可得3（15﹣r+1）＞r解得r≤12∴t r+1∴当r取小于12的自然数时，都有t r＜t r+1=t r当r=12时，t r+1∵第12项系数为负，第13项系数为正，∴展开式中第13项的系数最大，系数最大的项T13=C1512312x12．21．（14分）如图所示，已知椭圆C：+y2=1左、右端点分别为A1，A2，过定点（1，0）的动直线与椭圆C交于P，Q两点．直线A1P与A2Q交于点S．（1）当直线斜率为1时，求直线A1P与A2Q的方程．（2）试问：点S是否恒在一条定直线上．若是求出这条直线方程，若不是请说明理由．【解答】解：（1）直线PQ：y=x﹣1，代入椭圆方程+y2=1，可得5x2﹣8x=0，解得x1=0，x2=，即有P（，），Q（0，﹣1），即直线A1P的方程为y﹣0=（x+2）即为x﹣6y+2=0；A2Q的方程为y=x﹣1，即为x﹣2y﹣2=0；（2）设动直线x=my+1，代入椭圆方程可得（m2+4）y2+2my﹣3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，且A1P，A2Q分别为y=（x+2），y=（x﹣2），联立两直线方程可得x=2•=2•=2•=2•=4，则点S恒在一条定直线上．且为x=4．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。