动中求定以定制动_谈一道中考数学压轴题的解法_杨明雄
中考数学压轴题的分析及教学策略 (1)
工具篇（几何证明）
二、如何证明线段相等 思考：
关于线段相等的基本定理有哪些呢？
工具篇（几何证明）
1.等量公理： ①如果AB=CD，CD=BF，则AB=EF. ②如果AB=A1B1，CD=C1D1，则∠A土∠B =∠A1±∠B1. ③如果AB＝CD，则mAB＝mCD.
2.等腰三角形的等角对等边. 3.线段的垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等. 4.角的平分线上的点到两边的距离相等. 5.等腰三角形底边上的高、顶角的平分线也是底边上的中线. 6.平行四边形的对边相等；矩形的对边相等；正方形的四条边相等；
于点B3，得到第三个等边 B2A3B3；以此类推，……，则点B6的坐标为_(_2___6_,0__)_．
工具篇（反比例）
预 备 知 识
若S ABC＝S ABD，则AB∥CD.
工具篇（反比例）
共边情况的极限推广：
工具篇（反比例）
1.（等比性质） 如图，矩形ABCO交反比例函数
于D，E
两点，则
AE AB
1 4
x2
x
5 4
（2）求点B关于直线y=－2x的对称点B′的坐标.
工具篇（增量巧设）
工具篇（增量巧设）
工具篇（增量巧设）
从平移视角表示 出D点坐标
增量巧设代入交点式 的解析式可简化运算.
会纵横比的视角来做的
话基本上可以口算答案.
1 (xD+4)+ 3 2
2
2
“模式识别”
“本质”
2.（平行性质） 如图，点A，B在反比例函数图象 上，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D，则AB∥CD.
简证：SDBC SDBO SACD SACO
中考数学压轴题解题方法大全和技巧
中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀(一）数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。
（一)函数型综合题:是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式（即在求解前已知函数的类型)，然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法（解析法)。
此类题基本在第24题,满分12分，基本分２-３小题来呈现。
（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点(或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么）和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=ｆ（ｘ）的形式。
一般有直接法（直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和ｙ和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y=f(x）的形式),当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出ｘ的值。
初中数学压轴题解题思路
初中数学压轴题解题思路初中数学压轴题，概括而言，是中考数学试卷中难度最高、热度最高的一道题目。
解题思路、解题技巧、解题方法无疑是备考中考数学不可或缺的环节。
本篇文档，将为初中数学压轴题的解题思路提供一些指导和建议。
一、理清题意初中数学压轴题往往设计复杂，需要我们像抽丝剥茧一样，去理清其内在的逻辑关系。
在开始解题前，我们需要先仔细阅读题目，弄清楚数据的含义、问题要求等一系列问题。
理清题意有助于确定解题方向和思路，避免在接下来的解题过程中陷入死胡同。
二、划重点在理清题意之后，我们需要进行取舍和划分。
初中数学压轴题往往有多个要点和问题，但并不是所有问题都同等重要。
在解题过程中，重点和难点要抓住，适当舍弃次要的问题。
此时可以标记式子、关键词等内容，以帮助全盘把握。
三、找到解题方案如果我们在理清题意和划重点后可以在短时间内找到解题方案，那么问题解决基本上就已经成功了一半。
解题方案可能是套用公式、构造等等。
我们需要按照解题方案就行思考，避免胡乱猜测，导致解题方向偏离。
四、重点问题攻略初中数学压轴题通常包含多项求解，其中一些问题需要特别注意。
1.多步骤的分析过程：解题过程中可能需要采取多步骤的分析，需要仔细考虑每一步之间的关系和逻辑。
2.特殊运算符：特别需要注意特殊运算符的特殊意义和用法，避免在运算中出现差错。
3.模型构建：初中数学压轴题中模型构建往往有一定的难度，对于这类题目，我们需要首先解构模型，清晰模型的逻辑关系，然后再对模型进行构造。
总之，初中数学压轴题不管题目的难度如何，只要我们理清思路、找到解题方案、慢慢攻略，并且平时多研究一些题目的解法，就一定会获得不错的成果。
这让我们更能够在中考数学考试中一展自己的才华。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
点 的坐标
为 ．……
一次函数的解读式
为 ．
(3) 两点在直线 上， 的坐标分别是 ．
， ．
过点 作 ，垂足为点 ．
，
又 ， 点坐标为 ．
3．(1)解方程 ，得 ．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由 得 故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形 中， = ， 与 相交于点 ， 分别是 的中点，联结 ，分别交 、 于点 ，试判断 的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形 中，若 ， 分别是 的中点，联结FE并延长，分别与 的延长线交于点 ，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
探究一道中考试题的解法
２ （ 舍去 ） ， ： ＝ １ ２ ， 即Ａ Ｄ＝ １ ２
ｌ ＝一 ２ （ 舍去 ） ， ２ ＝１ ２
即Ａ Ｄ 。 构造等 腰直 角三 角形和 相似三 角形解 之 由／ ＿ ＿ Ｂ Ａ Ｃ＝ ４ ５ 。 得／ ＿ ． Ｂ Ｄ ＋ Ａ Ｃ Ａ Ｄ＝ ４ ５ 。 ， 我 们 不妨 在 Ａ Ｄ上 取
之
则高 Ａ Ｄ 的长是—
一
如图， ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， ＬＢ Ａ Ｃ＝ ４ ５ 。 ， Ａ Ｄ． Ｌ Ｂ Ｃ于 Ｄ 、 Ｂ Ｄ＝ ６ ， Ｃ Ｄ＝ ４ — 。
、
考虑 ４ ５ 。 角的正 切值 等于 １ 。 联想 两角和 的正切公 式解 之
作 ＡＡ Ｄ Ｃ的角 平分线 Ｄ Ｅ ， 则／ Ｅ Ｄ Ｃ：ＬＢ Ａ Ｃ＝ ４ ５ 。
Ｅ和 Ｆ ， 使Ｄ Ｅ＝ Ｂ Ｄ： ６ ， Ｄ Ｅ＝ Ｄ Ｃ＝ ４ ， 曰 Ｅ＝ ６ ， Ｃ Ｆ＝ ４
六、 回归几何 本质 ， 直 接度量 长度后验 证解 之
由 已知 得 ： ＡＡ Ｂ Ｃ唯 一 确定 。再 由 Ｃ Ｄ＝ ４可 知 一个 单 位 的 长， 从 而可 以直接 度量 Ａ Ｄ 的长度 。
保山
６ ７ ９ １ ０ ０ ）
关键词 ： 探 究； 中考 试题 ； 解 法 中 图分 类号 ： Ｇ ６ ３ ３
文 章编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ０ ５— ０ １ ０ ０一 Ｏ ｌ 四、 巧作 ４ ５ 。 的辅助 角 。 构造 相似三 角形 和 角平分 线 比例 式解
从 而ＡＡ Ｅ Ｆ ￣ △Ｂ Ｅ Ｃ （ Ａ Ａ Ｓ ） ， 所以Ａ Ｆ＝ Ｂ Ｃ＝ １ ０ 由△Ｂ Ｄ Ｆ △Ａ Ｄ ｃ得 ＝ 设Ａ Ｄ＝ ， 贝 ０ （ 一 １ ０ ） ＝ ２ ４
一道中考压轴题的解法分析与教学反思
一道中考压轴题的解法分析与教学反思中考数学题目解析与教学反思一、题目分析在中考数学试卷中，有一道压轴题目被称为压轴题，通常是难度较大，较具挑战性的题目。
本文将对一道中考压轴题进行解法分析与教学反思，以帮助学生更好地应对这类题目。
二、题目描述假设有一个等差数列，其中第1项为a，公差为d。
1. 当n为正整数时，数列的前n项和Sn的公式为Sn = (2a + (n-1)d)n/2。
2. 已知数列的前4项和是60，求数列的前6项和。
三、解法分析根据题目描述，我们已知数列的前4项和是60，即S4 = 60。
我们需要求解数列的前6项和S6。
步骤一：列出已知条件和待求解已知条件：Sn = S4 = 60待求解：S6 = ?步骤二：利用已知条件求解待求解根据等差数列前n项和公式Sn = (2a + (n-1)d)n/2，代入已知条件Sn = 60和n = 4，得到等式60 = (2a + 3d)4/2。
步骤三：化简等式将等式60 = (2a + 3d)4/2进行化简，得到120 = 2(2a + 3d)。
步骤四：求解待求解根据前6项和公式Sn = (2a + (n-1)d)n/2，代入已知条件n = 6，得到等式S6 = (2a + 5d)6/2。
将步骤三中的等式120 = 2(2a + 3d)代入步骤四的等式中，得到S6 = (120/2) = 60。
因此，数列的前6项和S6为60。
四、教学反思本题考察了学生对等差数列和数学公式的理解与运用能力。
在解答这类题目时，学生需要熟悉等差数列的概念和相关公式，并能够灵活运用这些知识。
教师在教学中可以采用以下方法帮助学生更好地理解与掌握解题方法：1. 引导学生从已知条件入手，列出清晰的解题步骤，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
2. 鼓励学生多思考，将所学知识与实际问题进行联系，提高解决实际问题的能力。
3. 指导学生用图形、图表等形式辅助解题，帮助学生更直观地理解问题。
初三数学压轴题解题技巧和方法
初三数学压轴题解题技巧和方法
1. 压轴题解题技巧
认真审题，弄清题意。
压轴题通常会给出含多个未知数的一元二次方程或
二元一次方程组，并伴随一些其他条件或限制。
首先，要明确题目要求解什么，以及给出的条件和限制是什么。
尝试化简方程或方程组。
如果方程或方程组较为复杂，尝试将其化简，以
便更容易找到解题思路。
寻找等量关系。
压轴题中通常会有一些等量关系，如面积、体积、角度等。
找到这些等量关系，可以帮助我们找到解题的突破口。
尝试使用代数方法。
对于一些压轴题，代数方法可能比较适用。
例如，通
过对方程进行变形、替换或解方程等，可以找到未知数的值。
画图分析。
对于一些几何压轴题，可以通过画图来帮助分析。
在画图的过
程中，可以更好地理解题目的条件和要求，从而找到解题思路。
2. 压轴题方法总结
代数法：通过对方程进行变形、替换或解方程等，找到未知数的值。
几何法：通过画图来帮助分析，更好地理解题目的条件和要求，从而找到
解题思路。
等量关系法：通过寻找等量关系，如面积、体积、角度等，找到解题的突
破口。
化简法：将复杂的方程或方程组化简，以便更容易找到解题思路。
2021年中考数学压轴题解题技巧
中考数学压轴题解题技巧欧阳光明（2021.03.07）数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。
综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以数学综合题的形式出现，常见题型有两类：函数型压轴题和几何形压轴题。
压轴题考查知识点多，条件也相当隐晦，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。
下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。
先以2009年河南中考数学压轴题为例：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.这是一道函数型压轴题。
函数型压轴题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合型。
这些压轴题主要以函数为主线，涉及函数的图象、方程、点的坐标及线段长度、图形面积等问题。
先从知识角度来分析：（1）通过观察图象可以发现，直线AD和x轴平行，直线AB和y轴平行，因此，A点与D点的纵坐标相同，A点与B 的横坐标相同，因此A的坐标为（4,8）.知道了点A的坐标，加上已知条件点C的坐标，利用待定系数法很容易可以求出抛物线的解析式。
此问在本题中占3分，解决此问的关键在于：①多角度、全方位观察图形；②熟练掌握待定系数法求抛物线解析式。
（2）这是个动态的问题，解决动态问题的一个根本方法就是化动为静，动静结合。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
答案：
1、解：1）PD=PE。以图②为例，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在 中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
动态几何问题的解题技巧
解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（AAS）
∴PD=PE
2）能，①当EP=EB时，CE= BC=1
②当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=
中考《数学》压轴题的解题思路
中考《数学》压轴题的解题思路中考解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。
现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。
1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。
因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。
例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。
3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
4、综合多个知识点，运用等价转换思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。
中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。
因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。
5、分题得分中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第(1)小题较易，第(2)小题中等，第(3)小题偏难，在解答时要把第(1)小题的分数一定拿到，第(2)小题的分数要力争拿到，第(3)小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。
中考数学压轴题方法及解题技巧与压轴题解法2021
中考数学压轴题方法及解题技巧与压轴题解法2021“有所不为才能有所为，大胆取舍，才能确保中考数学相对高分。
”针对中考数学如何备考，著名数学特级老师说，这几个月的备考一定要有选择。
下面是小偏整理的中考数学压轴题方法及解题技巧与压轴题解法2021，感谢您的每一次阅读。
中考数学压轴题方法及解题技巧与压轴题解法2021大胆取舍——确保中考数学相对高分“首先，要进行一次全面的基础内容复习，不能有所遗漏;其次，一定要立足于基础和难易度适中，太难的可以放弃。
在全面复习的基础上，再次把掌握得似懂非懂，知道但又不是很清楚的地方搞清楚。
在做题练习上要学会选择，决不能不加取舍地做题，即便是老师布置的作业，也建议同学们选择性地做，已经掌握得很好的不要多做，把好像会做但又不能肯定的题认真做一做，把根本没有感觉的难题放弃不做。
千万不要到处去找各个学校的考试题来做，因为这没有针对性，浪费时间和精力。
”做到基本知识不丢一分某外国语学校资深中考数学老师建议考生在中考数学的备考中强化知识网络的梳理，并熟练掌握中考考纲要求的知识点。
“首先要梳理知识网络，思路清晰知己知彼。
思考中学数学学了什么，教材在排版上有什么规律，琢磨这两个问题其实就是要梳理好知识网络，对知识做到心中有谱。
”他说，“其次要掌握数学考纲，对考试心中有谱。
掌握今年中考数学的考纲，用考纲来统领知识大纲，掌握好必要的基础知识和过好基本的计算关，做到基本知识不丢一分，那就离做好中考数学的答卷又近了一步。
根据考纲和自己的实际情况来侧重复习，也能提高有限时间的利用效率。
”做好中考数学的最后冲刺广州中考研究中心老师表示，距离中考越来越近，一方面需按照学校的复习进度正常学习，另一方面由于每个人学习情况不一样，自己还需进行知识点和丢分题型的双重查漏补缺，找准短板，准确修复。
压轴题坚持每天一道，并及时总结方法，错题本就发挥作用了。
最后每周练习一套中考模拟卷，及时总结考试问题。
我们做题的原则是先搞懂搞透错题，再做新题。
动中求定四招搞定
㊀㊀㊀动中求定㊀四招搞定◉江苏省淮安市钦工中学㊀葛美云１引言解析几何中的定值㊁定点㊁定圆和定直线 四定 问题,是新课标高考的命题热点,也是考生高考复习的难点．由于这类问题涉及面广㊁综合性强,方法又灵活多变,令 无数考生竞折腰 ．常言道:兵来将挡,水来土掩．那么,破解这类问题有无良策呢?２利用定义二次曲线的定义中就隐藏着 定元素 ,如椭圆上的点到两个定点的距离之和是定值,抛物线中动点到定点的距离等于定直线的距离,这些 定元素 ,如果能够为我所用,则会大大优化证明过程．例１㊀已知椭圆C :x２２＋y ２＝１的左㊁右焦点分别为F １,F ２,下顶点为A ,点P 是椭圆上任意一点,圆M 是以P F ２为直径的圆,求证:圆M 总与某个定圆相切．分析:点P 是椭圆上的点,故由椭圆定义知P F １＋P F ２＝２a ＝２２,这是破解本题的突破口．图１证明:如图１,连接P F ２,考虑以O 为圆心,２为半径的圆O 即为定圆．下证圆O 与圆M 内切．因为M 为P F ２的中点,O为F １,F ２的中点,所以O M ＝１２P F ２＝１２(２２－P F １)＝２－１２P F ２,即两圆的圆心距为两圆半径之差．所以圆O 与圆M 内切．点评:当点P 在椭圆上运动时,动圆M 的直径P F ２为焦点三角形P F １F ２的一条边,由椭圆的定义得到P F １＋P F ２＝２２,变形后得到１２ˑP F １＝２－１２P F ２,也就是|O M |＝２－１２P F ２．构造O 为圆心,２为半径的圆O 即为所求的定圆．３设参消参为了方便解决问题,我们往往采用设而不求的思想方法,先设出含有多个参数的直线方程或点的坐标,然后用这些参数表示目标代数式,再利用参数满足的关系式,即可得到目标代数式为定值．例２㊀已知点P 位于双曲线y ２－３x ２＝３的上支上,过点P 作双曲线的切线与双曲线的两条渐近线分别交于点A 与B ．求证:O A ң O B ң是定值．分析:显然直线A B 的斜率存在,设其方程为y ＝k x ＋b ,与双曲线方程联立,因为它们相切,所以判别式Δ＝０,于是得到k 与b 之间的关系式;再联立直线A B 与渐近线的方程,计算x １x ２与y １y ２的值．解:设直线A B 的方程为y ＝k x ＋b ,b ＞０．由y ＝k x ＋b ,y ２－３x ２＝３,{得(k ２－３)x ２＋２k b x ＋b ２－３＝０．由于直线A B 与双曲线相切,所以k ２－３ʂ０,Δ＝(２k b )２－４(k ２－３)(b ２－３)＝０,即k ２＋b ２＝３．设A (x １,y １),B (x ２,y ２),y １＞０,y ２＞０．由y ＝k x ＋b ,y ＝３x ,{得x １＝b ３－k ,y １＝３b ３－k ;ìîíïïïïï由y ＝k x ＋b ,y ＝－３x ,{得x ２＝－b ３＋k ,y ２＝３b ３＋k ．ìîíïïïïï所以,x １x ２＝b ２k ２－３＝－１,y ２１＝３x ２１,y ２２＝３x ２２且y １＞０,y ２＞０,所以y １y ２＝３x １x ２＝３．因此O A ң O B ң＝x １x ２＋y １y ２＝２．点评:根据向量数量积的坐标表示,联想韦达定理,将圆锥曲线方程与直线方程联立,从而得到O Aң O B ң＝x １x ２＋y １y ２＝２为常数．这种解法自然流畅,是解析几何定值问题最常用的解法．４特值探路有了目标,解题才有方向．为了寻找定值,解题时５６２０２２年７月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀可以采用特值法．通过直线的特殊位置或点的特殊位置,先找出题目中要证明的 定元素 ,然后利用题目图２条件加以证明．例３㊀已知F １与F ２是椭圆的两个焦点,点M 在椭圆上,且非椭圆长轴之端点,设点I 为әM F １F ２的内心,延长M I ,与线段F １F ２交于点N ,如图２所示,求证:M I N I为定值．分析:先把点M 取在y 轴上,计算M IN I的值;然后取M 是椭圆上任意一点,验证上述比值就是定值．证明:先取点M 在y 轴上,由角平分线性质得M I N I ＝M I I O ＝F １M F １O ＝ac．设M 为椭圆上任一点,F １Q 交M F ２于点Q ．设M F ２＝m ,则M F １＝２a －m ．因为F １N N F ２＝M F １M F ２＝２a －mm,所以F １N N F ２＋F １N ＝M F １M F ２＋M F １,即|F １N |２c ＝２a －m ２a ,所以F １N ＝ca (２a －m ),在әM F １N 中,M I N I ＝M F １N F １＝２a －m c a(２a －m )＝a c ．综上,得M I N I ＝ac为定值．点评:特值法探路,是这类问题最基本的解题策略．利用特殊点或特殊位置进行计算,从而找到证明目标．而在推证过程中,将特殊化为一般,按照特值法的运算步骤重新加以演算,在演算中或采用设而不求的方法,或采用整体代换的方法,依据有关条件,参数自然消去,从而得到定值．若在计算中无法消去参数,则往往运算有误,可以认真检查,及时纠正错误．５方程思想通过设而不求,将所涉及的方程罗列出来,然后将这些方程左㊁右两边同时相加减或乘除,有时会收到意想不到的效果,比如与中点弦有关的点差法,整图３体代换能让复杂的解题过程峰回路转,柳暗花明 ．例４㊀如图３,A ,B 分别是椭圆x ２９＋x２５＝１的左右顶点,F为右焦点,设过T (t ,m )的直线T A ,T B 分别交椭圆于M (x １,y １),N (x ２,y ２),其中m ＞０,y １＞０,y ２＜０．(１)若点P 满足关系式P F ２－P B２＝４,试问点P 的轨迹是什么?(２)如果x １＝２,x ２＝１３,那么点T 的坐标是什么(３)设t ＝９,试证:直线MN 一定经过x 轴上某个定点．分析:本题第(１)(２)问是常规题,难度不大,解答过程略,答案为:(１)点P 的轨迹为直线x ＝９２;(２)点T 的坐标为７,１０３æèçöø÷．而第(３)问却让考生颇费思量,其实若能想到 设而不求,整体代换 ,则可直达 成功的彼岸!证明:设MN 与x 轴的交点为D ．由A ,M ,T 三点共线,得y １x １＋３＝m１２．同理,y ２x ２－３＝m６,所以y １(x ２－３)y ２(x １＋３)＝１２．整理得２x ２y １－６y １＝x １y ２＋３y ２．①又x ２１９＋y ２１５＝１,y １x １＋３＝３－x １y １ˑ５９,所以３－x １y １＝m １２ˑ９５＝３m ２０．同理可得３＋x ２y ２＝－m ６ˑ９５＝－３m１０,所以y ２(３－x １)y １(３＋x ２)＝－１２．整理得２x １y ２－６y ２＝x ２y １＋３y １．②由①＋②,得x ２y １－x １y ２＝y １－y ２．若x １＝x ２,则y １ʂy ２,所以x １＝x ２＝１,直线MN过点D (１,０);若x １ʂx ２,则k MN ＝y １－y ２x １－x ２．直线MN :y －y １＝y １－y ２x １－x ２(x －x １)．令y ＝０,得x D ＝x ２y １－x １y ２y １－y ２＝１．综上,直线MN 过定点D (１,０)．点评:解析几何中两曲线的交点问题,通常采用设而不求的方法处理,从而规避烦琐的解方程组过程．我们往往先将有关点的坐标设出,然后找到这些点与某些方程之间的关系,进而利用韦达定理或点差法整体代换,不但代数运算简便了,还可以减少计算中的失误．６结论从以上解析几何中的 四定 问题来看,要减少计算量,首先必须明确目标,其次要选择恰当的方法,再次就是以顽强的毅力将计算进行到底,而最关键的就是方法的合理选择．F６６复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年７月上半月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
浅谈巧用基本方法解中考数学压轴题
2019年第22期教育教学4SCIENCE FANS （下转第179页）当前中考数学压轴题型是多种多样的，就压轴题的题型而言，很难确定的说他们总共有哪几个形式。
因为就压轴题的形式上来讲，它们偏向于综合性的特色题型，既考查了学生对知识的综合掌握能力，又突出考验了学生对某一个知识点的深层次理解[1]。
在长期教学实践和总结中，发现中考题在选择题、填空题和大题上的压轴题主要有图形题、线段、角的计算与证明问题、几何问题、方程与函数问题、阅读理解类型的题，以及这些题型的综合灵活运用的问题等。
解决这些问题的方式是多种多样的，但是为探索适合绝大多数学生的解题方法，经过学习和实践，发现了用基本方法解决中考压轴题的策略，那就是首先确立对基础知识的有效把握并灵活运用，其次不能局限于传统题型，应加强训练，多一些对新题型的适应能力，以活跃脑筋，锻炼思维，同时，应当辅助于基本的学习和做题方法的分享和总结。
1 目前中考数学压轴题解题现状及其相关影响1.1 目前中考数学压轴题的解题现状目前对中考压轴题的现状就是学生态度上不重视，缺乏信心，拿不出主意，只能靠一些学习成绩较好的学生自压轴题上得分，这样体现不出优势，也不利于其他学生的学习成绩的提高。
1.2 用基本方法解决中考数学压轴题的影响用基本方法解决考试压轴题的影响是广泛的、有利的、深远的，主要就是“基本”两个字，它体现了对最广大学生的帮助和扶持，也可以为最广大学生的分数的提高及其相应学习习惯和方法的养成[2]。
2 用基本方法解决中考数学压轴题的策略2.1 心态上要有自信心态问题是最重要的问题，许多学生甚至是老师，都有这样的想法，见到难题，许多学生也对压轴题存在畏难情绪，这使得学生无法接触压轴题，不愿意接触压轴题。
虽说这样的想法和做法不失为一种做题的策略，也不能说教师不负责任，他们也是为学生得分效益最大化着想，但是这种态度不利于学生在中考中提高得分，长远上也不利于树立学生敢于挑战、敢于在数学领域勇攀高峰的精神。
如何应对中考数学压轴题
如何应对中考数学压轴题作者：玉孔总来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第7期广西南宁市邕宁区城关初级中学（530200）玉孔总近几年的中考试题，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角.以图形运动中的函数关系问题为例，这部分压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中，探求两个变量之间的函数关系.现谈谈笔者十年来指导中考复习的一些感悟.一、解数学压轴题的策略解数学压轴题可分为五个步骤：1.认真默读题目，全面审视题目的所有条件和答题要求，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，理解好题意；2.利用重要数学思想探究解题思路；3.选择好解题的方法正确解答；4.做好检验工作，完善解题过程；5.当思维受阻、思路难觅时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃.【例1】（2012·宁波）如图1，二次函数y=+bx+c的图像交x轴于A（-1，0），B（2，0），交y轴于C（0，-2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图像上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为，求点M的坐标．分析：（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出两点法解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、相似三角形的性质，两函数图像交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．二、解动态几何压轴题的策略近几年的数学中考试卷中都是以函数和几何图形的综合作为压轴题，用到圆、三角形和四边形等有关知识，方程与图形的综合也是常见的压轴题.动态几何问题是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起.动态几何题解决的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律.通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质.【例2】（2012·青岛）如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ⊥AB？(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE∶S五边形PQBCD＝1∶29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．简析：本题是一个双动点问题，是中考动态问题中出现频率最高的题型，这类题的解题策略是化动为静，注意运用分类思想.三、巧用数学思想方法解分类讨论型压轴题数学思想和方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁 .近几年的各省市中考数学试题，越来越注重数学思想和数学方法的考查，这已成为大家的共识，为帮助读者更好地理解和掌握常用的基本数学思想和数学方法，特用一例说明.【例3】（2012·襄阳）如图3，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．简析：这是动点型需分类讨论的压轴题.（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值．（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：①EC作平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；②EC作平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标．为了更好地应对中考数学压轴题，教师可把近五年本区的中考题做一遍，找出解题规律，按照函数综合题、开放题、动态几何题、探索题型分类复习，教师为学生精选二十道压轴题，每天让学生做一道数学压轴题，教师再讲评，归纳出解题方法、解题技巧.但是我们不能用大量的时间去应付只占整卷10%的压轴题，盲目追“新”求“难”，忽视基础，结果必然是得不偿失.在最后总复习阶段，应当把工夫花在夯实基础、总结归纳上，培养学生的自信心，让学生相信自我，挑战自我，不断超越.(责任编辑黄春香）。
如何解答中考数学压轴题呢
如何解答中考数学压轴题呢我们为大伙儿收集整理了关于如何解答中考数学压轴题，以方便大伙儿参考。
中考数学解答题在中考中占有相当大的比重，要紧由综合性问题构成，就题型而言，包括运算题、证明题和应用题等.它的题型特点和考查功能决定了审题摸索的复杂性和解题设计的多样性.一样地，解题设计要因题定法，不管是整体考虑依旧局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则;简单化原则、和谐化原则等.(一)解答综合、压轴题，要把握好以下各个环节：1.审题：这是解题的开始，也是解题的基础.一定要全面凝视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面明白得题意，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.审题摸索中，要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性.解题实践说明：条件暗示可知并启发解题手段，结论预告并诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息.这一步，不要怕慢，事实上“慢”中有“快”，解题方向明确，解题手段合理得当，这是“快”的前提和保证.否则,欲速则不达.2.寻求合理的解题思路和方法：破除模式化、力求创新是近几年中考数学试题的显着特点，解答题表达得尤为突出，因此，切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法，而应从各个不同的侧面、不同的角度，识别题目的条件和结论，认识条件和结论之间的关系、图形的几何特点与数、式的数量、结构特点的关系，慎重地确定解题的思路和方法.当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新凝视题意，注意挖掘隐藏的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易舍弃.(二)题型解析类型1直线型几何综合题这类题常见考查形式为推理与运算.关于推理，差不多思路为分析与综合，即从需要证明的结论动身逆推，查找使其成立的条件，同时从已知条件动身来推导一些结论，再设法将它们联系起来.关于运算，差不多思路是利用几何元素(比如边、角)之间的数量关系结合方程思想来处理.类型2.圆的综合题常见形式为推理与运算综合，解答的差不多思路仍旧是分析—综合，需要注意的是，因为综合性比较强，解答后面问题时往往需要充分利用前面的结论，如此才会简便.唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。
“动”中求“定”，以“定”带“动”
“动”中求“定”，以“定”带“动”
吴成强
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2014(000)005
【摘要】例1求原点O（0，0）到直线l：kx-y＋1=k距离的最大值．
【总页数】2页(P8-9)
【作者】吴成强
【作者单位】安徽省池州一中,247000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.化静为动，动中求定--几何画板在中考动态问题教学中的运用
2.动中求\"定\",三
招搞定\"定值\"问题3.“一动一定,一定一动”在导数中的应用4.“动”中寓“定” 以“定”谋“动”——广州近11年中考“变中不变”类试题解题与命题策略分析5.引参制动,动中求定--例谈有关椭圆的定点与定值问题
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初中数学教学论文 中考压轴题解题方法
中考数学压轴题解题方法解答题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等．它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性．一般地，解题设计要因题定法，无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等.(一)解答综合、压轴题，要把握好以下各个环节：1.审题：这是解题的开始，也是解题的基础.一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计. 审题思考中，要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性．解题实践表明：条件暗示可知并启发解题手段，结论预告并诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息．这一步，不要怕慢，其实“慢”中有“快”，解题方向明确，解题手段合理得当，这是“快”的前提和保证．否则,欲速则不达.2.寻求合理的解题思路和方法：破除模式化、力求创新是近几年中考数学试题的显著特点，解答题体现得尤为突出，因此，切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法，而应从各个不同的侧面、不同的角度，识别题目的条件和结论，认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，谨慎地确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃． （二）题型解析类型1 直线型几何综合题这类题常见考查形式为推理与计算.对于推理，基本思路为分析与综合，即从需要证明的结论出发逆推，寻找使其成立的条件，同时从已知条件出发来推导一些结论，再设法将它们联系起来.对于计算，基本思路是利用几何元素（比如边、角）之间的数量关系结合方程思想来处理. 例1（2007·四川内江）如图1，在ABC △中，5AB =，3BC =，4AC =，动点E （与点A 、C 不重合）在AC 边上，EF AB ∥交BC 于点F ．（1）当E C F △的面积与四边形EABF 的面积相等时，求CE 的长； （2）当E C F △的周长与四边形EABF 的周长相等时，求CE 的长；（3）试问在AB 上是否存在点P ，使得EFP △为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF 的长．分析：（1）中面积相等可以转化为“ECF △与△ACB 的 面积比为1：2”，因为△ECF ∽△ACB ，从而要求CE 长，只要借助于相似比与面积比的关系即可得解.因为相似三角形对应边成比例，从而第(2)题可利用比例线段来找线段间关系，再根据周长相等来建立方程.第（3）题中假设存在符合条件的三角形，根据相似三角形中对应边成比例可建立方程.解：（1）因为△ECF 的面积与四边形EABF 的面积相等,所以S △ECF :S △ACB ＝1:2，又因为EF ∥AB ，所以△ECF ∽△ACB.所以21)(2==∆∆CA CE S S ACB ECF . 因为CA ＝4，所以CE ＝22. （2）设CE 的长为x ，因为△ECF ∽△ACB ， 所以CB CF CA CE =. 所以CF=x 43. 根据周长相等可得：图1C EF ABEF x x x EF x +-++-=++)433(5)4(43.解得724=x . （3）△EFP 为等腰直角三角形，有两种情况：①如图2，假设∠PEF ＝90°，EP ＝EF.由AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，得∠C ＝90°， 所以Rt △ACB 斜边AB 上高CD ＝512.设EP ＝EF ＝x ，由△ECF ∽△ACB ，得 CD EP CD AB EF -=，即5125125xx -=.解得3760=x ，即EF ＝3760.当∠EFP ＝90°，EF ＝FP 时，同理可得EF ＝3760.②如图3，假设∠EPF ＝90°，PE ＝PF 时，点P 到EF 的距离为EF 21.设EF ＝x ，由△ECF ∽△ACB ，得CDEFCD AB EF 21-=，即51225125x x -=.解得49120=x ，即EF ＝49120. 综上所述，在AB 上存在点P ，使△EFP 为等腰直角三角形，此时EF ＝3760或EF ＝49120. 特别提示：因为等腰直角三角形中哪条边为斜边没有指明，所以需要就可能的情形进行讨论. 跟踪练习1 （2007·山东烟台）如图4，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是线段AD 上的一个动点(E 与A 、D 不重合)，G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 的中点．(1)试探索四边形EGFH 的形状，并说明理由．(2)当点E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是菱形?并加以证明．(3)若(2)中的菱形EGFH 是正方形，请探索线段EF 与线段BC 的关系，并证明你的结论．参考答案：1、（1）四边形EGFH 是平行四边形.只要说明GF//EH ， GF = EH 即可.（2）点E 是AD 的中点时，四边形EGFH 是菱形.利用全等可得BE=CE ，从而得EG = EH.根据EGFH 是正方形，可得EG =EH ，∠BEC = 90°.因为G 、H 分别是BE 、CE 的中点，所以EB = EC. 因为F 是BC 的中点，类型2 .圆的综合题常见形式为推理与计算综合，解答的基本思路仍然是分析—综合，需要注意的是，因为综合性比较强，解答后面问题时往往需要充分利用前面的结论，这样才会简便.图1图2图3图4_?2_ A例2（2007·广东茂名）如图5，点A 、B 、C 、D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1．（1）求证：DEC △∽ADC △.（2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ．求证：CH 是⊙O 的切线．分析：（1）只要证DAC CDB ∠=∠即可，（2）要判断是梯形，只要说明DC ∥AB 即可，注意到已知条件中数量关系较多，考虑从边相等的角度来说明：先求DC ，再说明OBCD 是菱形（3）要证明“CH 是⊙O 的切线”，只要证明∠OCH=090即可.解：（1）因为C 是劣弧BD 的中点，所以DAC CDB ∠=∠．因为∠DCE=∠ACD ，所以DEC △∽ADC △． （2）四边形ABCD 是梯形.证明：连接OD ，由⑴得DC ECAC DC=.因为 1.213CE AC AE EC ==+=+=，所以DC = ．由已知BC DC ==.因为AB 是⊙O 的直径， 所以90ACB ∠=︒ ，所以2222312A B A C C B=+==．所以AB =所以OD OB BC DC ====. 所以四边形OBCD 是菱形．所以DC AB DC AB <∥，， 所以四边形ABCD 是梯形． 过C 作CF 垂直AB 于点F ，连接OC ，则OB BC OC ===，所以60OBC ∠=︒． 所以 CF=BC ×sin600=1.5.所以()(113222ABCD S CF AB DC ⨯梯形＝＋＝ （3）证明：连接OC 交BD 于点G ，由（2）得四边形OBCD 是菱形，所以OC BD ⊥且OG GC =．又已知OB ＝BH ，所以BH 平行且等于CD.所以四边形BHCD 是平行四边形.所以BG CH ∥． 所以90OCH OGB ∠=∠=︒. 所以CH 是⊙O 的切线．特别提示：在推理时，有时可能需要借助于计算来帮助证明，比如本题中证明DC ∥AB. 跟踪练习2.（2007四川绵阳）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC = 60︒，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，过点C 的切线CD 交PQ 于D ，连结OC ． （1）求证：△CDQ 是等腰三角形； （2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．参考答案：2（1）由已知得∠ACB = 90︒，∠ABC = 30︒，∴ ∠Q = 30︒，∠BCO = ∠ABC = 30︒． ∵ CD 是⊙O 的切线，CO 是半径，∴ CD ⊥CO ，∴ ∠DCQ =30︒，∴ ∠DCQ =∠Q ， 故△CDQ 是等腰三角形．（2）设⊙O 的半径为1，则AB = 2，OC = 1，AC = AB ∕2 = 1，BC =3．∵△CDQ ≌△C OB ，∴ CQ = BC =3．于是 AQ = AC + CQ = 1 +3， 进而 AP = AQ ∕2 =（1 +3）∕2，∴ BP = AB －AP =（3－3）∕2，PO = AP －AO =（3－1）∕2，∴ BP :PO =3．类型3. 含统计（或概率）的代数（或几何）综合题 这类题通常为知识串联型试题，因此只要逐个击破即可. 例3．（2007·江西）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB DC = ②ABE DCE ∠=∠ ③AE DE = ④A D ∠=∠小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定BEC △ 是等腰三角形吗？说说你的理由；（2）请你用树形图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片 上的等式为条件，使BEC △不能．．构成等腰三角形的概率． 分析：（1）只要说明BE=CE 即可，从而考虑证明ABE DCE △≌△.（2）如果ABE DCE △≌△不一定成立，那么BEC △未必是等腰三角形.再根据概率定义即可得解. 解：（1）能．理由：由AB DC =，ABE DCE =∠∠，AEB DEC =∠∠，得ABE DCE △≌△．BE CE ∴=.BEC ∴△是等腰三角形． （2）树形图：先抽取的纸片序号所有可能出现的结果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）（③④）（④①）（④②）（④③）. 抽取的两张纸片上的等式有12种等可能性结果，其中不能构成等腰三角形的有4种（（①③），（③①），（②④），（④②）），所以使BEC △不能构成等腰三角形的概率为13． 特别提示：不能得到“ABE DCE △≌△”有两种情形，一是“边边角”不能得全等，二是只能得到相似.跟踪练习3.（2007 辽宁沈阳）．如图所给的A 、B 、C 三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A 、B 、C 三个几何体的主视图分别是A 1、B 1、C 1；左视图分别是A 2、B 2、C 2；俯视图分别是A 3、B 3、C 3．（1）请你分别写出A 1、A 2、A 3、B 1、B 2、B 3、C 1、C 2、C 3图形的名称；（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A 1、A 2、A 3的三张卡片放在甲口袋中，画有B 1、B 2、B 3的三张卡片放在乙口袋中，画有C 1、C 2、C 3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．① 通过补全下面的树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；② 小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相① ② ③ ④ ② ① ③ ④ ③ ① ② ④ ④ ① ② ③ 开始 123456------O 后抽取的纸片序号同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？解：（1） Ａ Ｂ Ｃ （2）①树状图：参考答案：3（1）由已知可得A 1、A 2是矩形，A 3是圆；B 1、B 2、B 3都是矩形；C 1是三角形，C 2、C 3是矩形．（2）①补全树状图如下：由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是1227＝49②游戏对双方不公平．由①可知， P （小刚获胜）＝49。
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方法 3： 作点 A 关于 l 的对称点 A' （ 8 － m，14 m2 － 2m）
直线 OA'的解析式为：
y=
－
1 4
x
由于直线 OA'与 l 的交点坐标是（ 4，－ m） 即与 N 点重合
所以∠1 = ∠2
方法 4： 证明直线 AB 与 l 的交点与 N 重合
方法 5： 证明直线 AN 经过 B 点
对称轴 l 于点 M，点 M、N 关于点 P 对称，连接
AN、ON，（ 1） 求该二次函数的关系式； （ 2） 若点
A 的坐标是（ 6，－ 3） ，求三角形 AON 的面积；
（ 3） 若点 A 在对称轴 l 右侧的二次函数图象
上运动时，证明： ∠ANM = ∠ONM。
图1
分析： （ 1） y =
1 4
x1
－
x2 ） （ x1 25
+
x2 ）
+ （ y1 － y2 ） （ y1 + y2 ） 16
=0
所以，直线
l
的斜率
k
=
y1 x1
－ －
y2 x2
=
－ 16（ x1 + x2 ） 25（ y1 + y2 ）
=
－
24 25
直线 l 的方程为 y － 2
=
－
24 25
（
x － 3）
（ 2） 设与直线 l 平行的弦中点 M 的坐标为（ x，y） ，弦的两端点
教学，必须引导学生树立“动中求定 ，以定制动”的意识。
关键词： 动中求定; 以定制动; 中考数学
中图分类号： G633
文献标识码： A
文章编号： 1005 － 6351（ 2013） － 07 － 0075 － 01
1、如图 1，顶点为 P（ 4，－ 4） 的二次函数图
象经过原点（ 0，0） ，点 A 在该图象上，OA 交其
No． 07． 2013
语数外学习
Yu Shu Wai Xue Xi
2013 年第 7 期
动中求定 以定制动
———谈一道中考数学压轴题的解法
杨明雄 ( 腾冲县第五中学，云南 保山 679100)
摘 要： 针对一道中考数学压轴题，本文笔者进行了详细的剖析，提出了“动中求定，以定制动”的教学观点，认为对于动点问题的
+
1 2
。
方法五： 点差法。即把点代入圆锥曲线的方程再作差的方
法，此方法巧妙地把直线的斜率与直线与圆相交而形成的弦的中
点结合在一起，易 于 研 究 它 们 之 间 的 关 系，当 然 也 表 明 点 差 法 只
适用于直线与圆锥曲线相交的问题。
例：
已知点
P（
3，2）
是
椭
圆
x 25
2
+
y2 16
=1
内 的 一 点，直 线
+
y2
= 4，且直线
l
的斜率
k
=
y1 x1
－ －
y2 x2
，
把点
A
(
x1
，y1
)，B
(
x2
，y2
)代入椭圆
x2 25
+
y2 16
=1
中得：
x21 25
+
y21 16
= 1………( 1)
x22 25
+
y22 16
= 1………( 2)
（ 1）
－
（
2）
得x21
－ 25
x22
+
y21 － y22 16
=0
（ 即
以定制动”的意识。
( 上接第 74 页)
线段
AB
的中点纵坐标
y
=
y1
+ y2 2
kx1 + =
1 2
+ kx2 + 2
1 2
=
k（ x1 + x2 ） 2
+1
=
2
k2 + 2
1
，消去参数
k
得：
y
=
x2
+
1 2
，
因为( * )方程的根判别式 Δ = 4k2 + 4 ＞ 0 恒成立，
所以： 要求的动点的轨迹方程为 y = x2
方法 6： 证明直线 AB 与直线 OA'的交点与 N 重合
方法 7： 证明点 A'在直线 ON 上
当 m（ m ＞ 4） 的取值变化时，∠1 = ∠2 与 m 的取值无关，所以
A 点在对称轴右侧抛物线上运动时，∠ANM = ∠ONM 始终成立。
总之，对于动点问题的教学，必须引导学生树立“动中求定 ，
x2 － 2x； （ 2） SΔAON = 12； （ 3） A 点是对称轴右侧
抛物线上的动点，其具体位置不确定。所以，不妨设 A （ m，14 m2
－ 2m） m ＞ 4，则 M（ 4，m － 8） ，N（ 4，－ m） 。这样就能化难为易，在
一定的环境下解决问题。
图2
方法 1： 过 A 点作 AH⊥l 于 H，AH = m － 4，OQ = 4，QN = m
tan∠1 =
4 m
，tan∠2
=
1 4
m －4 m2 － 2m － （
－ m）
=
4 m
即 tan∠1 = tan∠2 ∴ ∠1 = ∠2
方法
2：
∵
AH OQ
=
m
－ 4
4，NNHQ
=
1 4
m2 － 2m － （ m
－ m）
=
m
－ 4
4
∴
AH OQ
=
NNHQ，而∠Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN
=
∠OQN
= 90°
∴ ΔANH 与 ΔOQN 相似∠1 = ∠2
=
－
24 25
所以，所求轨迹方程为 y =
2 3
x（ 在已知椭圆内部的部分）
点差法的弊端是不能从过程中得出方程中变量 x 的范围，只能
用文字表达轨迹的范围。虽然点差法可以适用的问题有严格的限
制条件，但对于解决直线与圆锥曲线相交形成的弦中点与斜率关系
问题优势特别明显，其计算量小，过程简便易懂的特点很难得。
l
是
以点 P 为中点的弦所在的直线，（ 1） 求直线 l 的方程； （ 2） 求与直
线 l 平行的弦中点 M 的轨迹方程。
解： （ 1） 由题意直线 l 的斜率必定存在，
设直线 l 与椭圆的交点 A ( x1 ，y1 )，B ( x2 ，y2 )，线段 AB 的中点
为
P（
3，2）
，则
x1
+
x2
= 6，y1
75
A( x1 ，y1 )，B ( x2 ，y2 )，则 x1 + x2 = 2x，y1 + y2 = 2y
由（
1）
（ 解法得
x1
－
x2 ） （ x1 25
+
x2 ）
+ （ y1 － y2 ） （ y1 + y2 ） 16
=0
2x 25
=
－
2y 16
·yx11
－ y2 － x2
而yx11
－ y2 － x2