高中数学--数列专项训练
高中数学--《数列》测试题(含答案)
高中数学--《数列》测试题（含答案）1.已知数列，它的第5项的值为（）A. B. C. D.【答案解析】D2.若成等比数列，则下列三个数：①②③，必成等比数列的个数为（）A、3B、2C、1D、0【答案解析】C3.在数列{}中，，则等于（）。
A B 10 C 13 D 19【答案解析】解析：C。
由2得，∴{}是等差数列∵4.是成等比数列的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】解析：不一定等比如若成等比数列则选D5.x=是a、x、b成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案解析】D6.已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（A）－2 （B）－（C）（D）2【答案解析】B解析：a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－7.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4，则公差d等于A．1 B C.- 2 D 3【试题来源】【答案解析】C解析∵且.故选C8.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，A. B. C. D.【答案解析】C解析:由得，，则，，选C.9.(2009年广东卷)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=A. B. C. D.2【答案解析】B解析：设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B10.已知数列…，则是该数列的A.第项B.第项C.第项D.第项【答案解析】C11.等差数列中，，那么的值是A． 12 B． 24 C ．16 D． 48【答案解析】B12.等差数列，，，则数列前9项的和等于A．66 B．99 C. 144 D. 297【答案解析】B13.等差数列中，，则A．8 B．12 C．24 D．25【答案解析】B14.等比数列{an}中，a4=4，则等于A．4 B．8 C．16 D．32【答案解析】C15.设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=A． B． C． D．【答案解析】C17若数列的前项和，则A.7B.8C.9D.17【答案解析】A18.等差数列的前项和为，若，则A.1004B.2008C.2009D.2010【答案解析】C19.若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a4=（） A．12 B．7C．9 D．15【答案解析】B20.（）A． B． C． D．【答案解析】D。
高中数学数列多选题专项训练100附答案
一、数列多选题1．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0答案：ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 2．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+答案：BD 【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 3．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（ ）A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n =B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列 答案：ABC 【分析】数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出． 【详解】数列的前项和为，且满足，， ∴，化为：，∴数列是等差数列，公差为4， ∴，可得解析：ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1nS ，n S ，2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，进而求出n a ． 【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为4，∴()14414n n n S =+-=，可得14n S n=， ∴2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---， ∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >D ．若67S S >则56S S >.答案：BC 【分析】根据等差数列的前项和性质判断． 【详解】A 错：；B 对：对称轴为7；C 对：，又，；D 错：，但不能得出是否为负，因此不一定有． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列解析：BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 5．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值答案：ABD 【分析】由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.6．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅答案：ABC 【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项． 【详解】 由题知，只需， ，A 正确； ，B 正确；，C 正确； ，所以，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性解析：ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项． 【详解】 由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩，()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d+=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．7．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数， 是等方差数解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 8．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.9．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列答案：ABC 【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】 当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．解析：ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =答案：AD 【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误. 【详解】解：，，故正确A.由，当时，，有最小值，故B 错误. ，所以，故C 错误. ，，故D 正确.解析：AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-，故D 正确.故选：AD【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。
高中数学数列练习题目集
高中数学数列练习题目集第一题：等差数列求和已知等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
试回答以下问题：1. 求等差数列的第n项an的公式。
2. 若已知等差数列的首项为a1=3，公差为d=2，求第10项的值an。
3. 若已知等差数列的首项为a1=1，公差为d=3，求前5项的和Sn。
4. 若已知等差数列的首项为a1=2，第10项的值an=29，求公差d。
5. 若等差数列的公差为d=4，前n项和为300，求首项a1和第n项an。
第二题：等比数列求和已知等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn。
试回答以下问题：1. 求等比数列的第n项an的公式。
2. 若已知等比数列的首项为a1=2，公比为r=0.5，求第10项的值an。
3. 若已知等比数列的首项为a1=3，公比为r=2，求前5项的和Sn。
4. 若已知等比数列的首项为a1=1，第10项的值an=512，求公比r。
5. 若等比数列的公比为r=3，前n项和为120，求首项a1和第n项an。
第三题：特殊数列求和已知特殊数列的首项为a1，且满足以下规律：a2=a1+2，a3=a1+4，a4=a1+8，...，即后一项与前一项之间的差是2的幂。
试回答以下问题：1. 若已知特殊数列的首项为a1=1，求第10项的值an。
2. 若已知特殊数列的首项为a1=2，求前5项的和Sn。
3. 若已知特殊数列的第n项an=65，求首项a1。
4. 若已知特殊数列的首项为a1=10，第4项的值an=26，求公差。
5. 若特殊数列的首项a1=5，前n项和为200，求第n项an。
第四题：数列运算已知数列的递归公式为an = an-1 + 2an-2，其中a1=1，a2=4。
试回答以下问题：1. 求数列的第n项an的公式。
2. 求数列的第10项的值an。
3. 求数列的前5项的和Sn。
4. 若数列的第n项an=665，求n的值。
5. 若数列的前n项和为2915，求n的值。
第五题：数列图形已知数列的递归公式为an = an-1 + 3，其中a1=1。
高中数学试卷 代数——数列练习题
高中数学试卷代数——数列练习题一、单选题1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2(a n+1)，则a2的值为（）A．-4B．-2C．-6D．-82．已知等差数列{a n}中首项a1=2，公差d=1，则a5=（）A．5B．6C．7D．83．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a5+a8=15，则S9等于（）A．60B．45C．36D．184．在等差数列{a n}中，如果a1+a2=25，a3+a4=45，则a1=（）A．5B．7C．9D．105．在等差数列{a n}中，a1=3，a3=4则a5=（）A．3B．4C．5D．－16．各项均为正数的等比数列{a n}中，a2a4=4，则a1a5+a3的值为（）A．5B．3C．6D．87．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第6天走了（）A．48里B．24里C．12里D．6里8．若等差数列a n满足a3+a5+a7+a9+a11=80，则a8﹣12a9=（）A．8B．9C．10D．119．已知数列{a n}的前n项和公式为S n=n2﹣6n+3，则a7+a8+a9+a10等于（）A．7B．13C．33D．4010．等差数列{a n} 中，a5＞0，a4+a7＜0，则{a n} 的前n项和S n中最大的项为（）A．S4B．S5C．S6D．S711．已知甲乙两车间的月产值在2011年元月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2011年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲乙两个车间2011年4月月产值的大小，则有（）A．甲大于乙B．甲等于乙C．甲小于乙D．不确定12．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=18，a2a3=32，若{a n}的前n项和S n满足S k+10−S k=216−26，则正整数k等于（）A．5B．6C．7D．813．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．12(9n−1)C．9n﹣1D．14(3n−1)14．埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（）A．12+14+18+116+132+164=6364B．122−1+142−1+162−1+⋯+1502−1=5051C．12+14+16=1112D．11+2+11+2+3+⋯+11+2+3+⋯+50=495115．等差数列a1,a2,⋅⋅⋅,a n(n≥3,n∈N∗)，满足|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋅⋅⋅+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋅⋅⋅+|a n−2|=2019，则（）A．n的最大值为50B．n的最小值为50C．n的最大值为51D．n的最小值为5116．设正项等比数列{a n}的前n项乘积为T n，已知a5=1，T3=2T7，则T n的（）A．最大值为32B．最大值为1024C．最小值为132D．最小值为1102417．数列{a n}的首项a1=−23，前n项和为S n.已知S n+1S n+2=a n(n≥2)，则使S n≥m恒成立的最大实数m=（）A．−1B．−89C．−98D．−79二、填空题18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n，n∈N∗，则S n=. 19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a7+a9=15，则S13=. 20．如果数列{a n}的前n项和S n=2a n−1，则此数列的通项公式a n=．21．设数列{a n}满足a1=1，a2=3且a n+2−2a n+1+a n=2，则a4−a3=，数列{a n}的通项a n=．22．已知等差数列{a n}的前三项为a−1,a+1,2a+3，则此数列的通项公式为23．记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3+a4=24，则S6=.24．实数2和8的等比中项是．25．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+⋅⋅⋅+log3a10=；26．已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，a2=2，S8=0，则S99=．27．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．28．若f(x)+f(1−x)=2,a n=f(0)+f(1n)+f(2n)+...+f(n−1n)+f(1)( n∈N∗)，则数列{a n}的通项公式是.29．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q等于.30．在数列的每相邻两项之间插入此两项的平均数，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1、2进行“扩展”，第一次得到数列1、32、2；第二次得到数列1、54、32、74、2；第n次得到数列1、x1、x2、⋯、2，则第n次得到的数列项数为；记第n次得到的数列的所有项和为a n=1+x1+x2+⋅⋅⋅+2，则数列{a n}的前n项和S n=．31．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为．32．已知等差数列{a n}，对任意n∈N+都有a1C n0+a2C n1+a3C n2+⋯+a n+1C n n=n⋅2n+1成立，则数列{1a n+1a n+2}的前n项和T n=．33．设[x] 为不超过x的最大整数，a n为[x[x]](x∈[0,n))可能取到所有值的个数，S n是数列{1a n+2n}前n项的和，则下列结论正确的是.（1）a3=4（2）190是数列{a n}中的项（3）S10=56（4）当n=7时，a n+21n取最小值34．设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和，若 S 5S 10=13 ，则 S 5S 20+S 10=.三、解答题35．已知等差数列 {a n } 的前n 项的和为 S n ，且 a 3=3 ， S 10=55 .（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）设 b n =a n2n ，求数列 {b n } 的前n 项和 T n .36．已知等差数列 {a n } 中， S n 是数列 {a n } 的前 n 项和，且 a 2=5，S 5=35.（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）设数列 {1S n −n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n .37．已知等差数列 {a n } 中， a 3=6 ， a 5+a 8=26 ．（∈）求数列 {a n } 的通项公式；（∈）设 b n =2a n +n ，求数列 (x 0,1) 的前 n 项和 S n ．38．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 6=6，a 4=2.（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求S n 的最大值及相应的n 的值.39．已知数列 {a n } 为等差数列，且公差不为0， a 3=5 ， a 2 是 a 1 与 a 5 的等比中项．（1）求数列 {a n } 的通项公式，（2）记 b n =1a 2n ⋅a2n+2，求数列 {b n } 的前 n 项之和 T n ． 40．已知等差数列 {a n } 中， a 2=3 ， a 4=7 ，等比数列 {b n } 满足 b 1=a 1 ， b 4=a 14 .（1）求数列 {a n } 通项公式 a n ； （2）求数列 {b n } 的前n 项和 S n .41．各项均为正数的数列 {a n } 满足 S n =a n 2+2a n +14(n ∈N ∗) ，其中 S n 为 {a n } 的前 n 项和.（1）求 a 1,a 2 的值； （2）求数列 {a n } 的通项公式.42．已知数列{a n }满足：a 1=12，对∀n ∈N +，都有a n+1=a n 2+n2+1．（1）设b n =a n −n ，n ∈N +，求证：数列{b n }是等比数列； （2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n ．43．已知数列 {a n } 的前n 项和为 S n ，且 a 1=1 ， S n =2a n+1 ．（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）当b n=log32(3a n+1)时，求数列{1b n b n+1}的前n项和T n.44．在等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3（∈）求数列{a n}的通项公式．（∈）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．45．已知数列{a n}中，a1=2，其前n项和S n满足：S n=2a n+n−3．（∈）求数列{a n}的通项公式；（∈）令b n=1a n(a n−1)，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N∗，都有T n<56．46．记S n为数列{a n}的前n项和，T n为数列{S n}的前n项和，已知S n+T n=2．（1）求证：数列{S n}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和A n．47．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（∈）求{a n}的通项公式；（∈）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．48．数列{a n}中，a3=1,S n=a n+1(n=1,2,3…).（1）求a1,a2；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设b n=log2S n，存在数列{c n}使得c n⋅b n+3⋅b n+4=1，试求数列{c n}的前n项和.49．已知数列{a n}满足(1−1a1)(1−1a2)⋯(1−1a n)=1a n(n∈N∗)，Sn是数列{a n}的前n项和.（∈）求数列{a n}的通项公式；（∈）若a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，求正整数p，q的值；（∈）是否存在k∈N∗，使得√a k a k+1+16为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.50．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n=2S n−1+2(n≥2)．（1）求{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，在数列{d n}中是否存在3项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由，答案解析部分1．【答案】A【知识点】数列递推式【解析】【解答】依题意，数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，当 n =1 时， a 1=S 1=2(a 1+1) ，解得 a 1=−2 ， 当 n =2 时， S 2=2(a 2+2)=a 1+a 2 ，解得 a 2=−4 ， 故答案为：A.【分析】根据递推关系即可依次求得 a 1 和 a 2 的值.2．【答案】B【知识点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：∵等差数列{a n }中首项a 1=2，公差d=1，∴a 5=2+4×1=6． 故选：B ．【分析】利用等差数列的通项公式能求出该数列的第5项．3．【答案】B【知识点】等差数列的前n 项和；等差数列的性质 【解析】【解答】解： a 2+a 8=2a 5又 a 2+a 5+a 8=15 ， 3a 5=15 ， a 5=5S 9=9×(a 1+a 9)2=9×2×a 52=9×a 5=45故答案为：B【分析】由 a 2+a 5+a 8=15 求 a 5=5 ，再用 S 9=9a 5 即可4．【答案】D【知识点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：设数列的首项为 a 1 ，公差为 d ，由题意结合等差数列的通项公式可得：{a 1+(a 1+d)=25(a 1+2d)+(a 1+3d)=45 ， 解得： {a 1=10d =5 . 故答案为：D .【分析】先设等差数列首项为a 1，公差为d ，通过等差数列的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，即可得出答案。
高中数学数列多选题专项训练100含解析
一、数列多选题1．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 答案：ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，所以当时，，即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 2．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =答案：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确；∵，，故有，故B 正确； 该数【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果. 4．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.答案：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 5．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 答案：AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误.令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >D ．若67S S >则56S S >.答案：BC 【分析】根据等差数列的前项和性质判断． 【详解】A 错：；B 对：对称轴为7；C 对：，又，；D 错：，但不能得出是否为负，因此不一定有． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列解析：BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 7．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <答案：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】 因为，所以 ， 因为，所以， 所以等差数列公差， 所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+答案：AC 【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式 【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差， 所以，. 故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项答案：ABCD 【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d ＝12，可得＜d ＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn ＜0解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13． 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =答案：AD 【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误. 【详解】解：，，故正确A.由，当时，，有最小值，故B 错误. ，所以，故C 错误. ，，故D 正确.解析：AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-，131131213+11778392d S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD【点睛】 考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。
)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。
高中数学数列题目训练卷
高中数学数列题目训练卷在高中数学的学习中，数列一直是一个重点和难点内容。
为了帮助同学们更好地掌握数列相关知识，提高解题能力，特编制此数列题目训练卷。
一、选择题1、已知数列\（＼｛a_n\｝＼）的通项公式为\（a_n ＝ 2n 1\），则\（a_5\）的值为（）A 9B 11C 7D 52、等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 3\），＼（d ＝ 2\），则\（a_{10}＼）等于（）A 19B 21C 23D 253、等比数列\（＼｛b_n\｝＼）中，＼（b_2 ＝ 6\），＼（b_4 ＝24\），则公比\（q\）的值为（）A 2B 3C 4D ＼（＼sqrt{2}＼）4、数列\（1, 3, 6, 10, 15, ＼cdots\）的通项公式为（）A ＼（a_n ＝＼frac{n(n ＋ 1)｝｛2}＼）B ＼（a_n ＝ n^2 n ＋ 1\）C ＼（a_n ＝ 2^n 1\）D ＼（a_n ＝ n ＋ 1\）5、已知等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的前\（n\）项和为\（S_n\），若\（S_9 ＝ 72\），则\（a_5\）等于（）A 8B 9C 10D 12二、填空题1、等比数列\（＼｛c_n\｝＼）中，＼（c_1 ＝ 1\），＼（c_4 ＝8\），则\（c_7 ＝＼）＿____。
2、等差数列\（＼｛d_n\｝＼）中，＼（d_3 ＋ d_7 ＝ 10\），则\（d_5 ＝＼）＿____。
3、数列\（＼｛e_n\｝＼）的通项公式为\（e_n ＝ 3n 2\），则其前\（n\）项和\（T_n ＝＼）＿____。
4、等比数列\（＼｛f_n\｝＼）的公比为\（2\），前\（5\）项和为\（62\），则首项\（f_1 ＝＼）＿____。
5、已知数列\（＼｛g_n\｝＼）满足\（g_{n ＋ 1} ＝ 2g_n ＋ 1\），＼（g_1 ＝ 1\），则\（g_5 ＝＼）＿____。
三、解答题1、已知等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 5\），＼（a_3 ＝ 11\），求数列的通项公式及前\（n\）项和\（S_n\）。
高中数学数列大题带答案
数列综合大题1、在数列中，已知（.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求数列的前项和.2、己知数列的前n项和为，，当n≥2时，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数.3、已知等比数列中，求的通项公式；令求数列{}的前项和4、数列中，，（是不为零的常数，），且成等比数列．(1)求的值；(2)求的通项公式； (3)若数列的前n项之和为，求证∈。
5、四川省广元市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)到2013年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%吗？为什么(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)6、设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a 9 =－2，S 8 =2.（1）求首项a1和公差d的值；（2）当n为何值时，S n最大？并求出S n的最大值.7、设数列的前项和为，，.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ）设是数列的前项和，求．8、设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n满足且（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式：（Ⅱ）设T n为数列{S n}的前n项和，求T n．9、已知数列的前项和（为正整数）。
（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，，求使得成立的最小正整数，并证明你的结论.10、已知等差数列满足：（1）求数列的前20项的和；（2）若数列满足：，求数列的前项和.11、数列{}的前n项和为，，．（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，．求不超过的最大整数的值。
高中数学数列100题整理(数列题库)
77．设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an＜bn，则s＜t.
37．若1和a的等差中项是2，则a的值为（）A．4 B．3 C．1 D．﹣4
38．在等比数列{an}中，若an＞0，且a3，a7是x2﹣32x+64=0的两根，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=（）A．27 B．36 C．18 D．9
39．已∈N*，则数列{an}的通项公式为（）A．an=（ ）n﹣1B．an=（ ）nC．an= D．an=
21．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对∀n∈N*恒成立，则整数λ的最大值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
22．已知数列{an}满足a1=10，且2an+1=2an﹣3，若ak•ak+1＜0，则正整数k=（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
已知数列 是等比数列，首项 ，公比 ，其前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列.
73．求数列 的通项公式；
74．若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，且 对任意 恒成立，求实数 的最大值.
75．（2018•北京）设 是等差数列，且 ， +a3=5 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 + +…+ .
已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
23．已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q="2," a1·a2·a3·…·a30=245,则a1·a4·a7·…·a28= ( ) A．25B．210C．215D．220
高中数学--数列大题专项训练(含详解)
高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
高中数学数列经典题型专题训练试题(含答案)
高中数学数列经典题型专题训练试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间120分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（共15小题，每题2分，共30分）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-12．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-39．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．9910．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．52212．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．17．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．18．数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．第Ⅱ卷（非选择题）三．简答题（共5小题,50分）26．（10分）已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．27．（8分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．28．（7分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．29．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．30．（12分）在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．参考答案一．单选题（共__小题）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-1答案：C解析：解：∵a1+a2+a3+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1…②，①-②得a n=2n-1，∴a n2=22n-2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==，故选C．2．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-答案：C解析：解：∵{a n}为等比数列a5•a11=3，∴a3•a13=3①∵a3+a13=4②由①②得a3=3，a13=1或a3=1，a13=3∴q10=或3，∴=或3，故选C．3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．答案：A解析：解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．答案：D解析：解：∵数列{a n}是等差数列，a1=1，a3=4，∴a3=a1+2d，即4=1+2d，解得d=．故选：D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）A．12B．13C．14D．15答案：A解析：解：令a n=＜0，解得n≤6，当n＞7时，a n＞0，且a6+a7=a5+a8=a4+a9=a3+a10=a2+a11=a1+a12=0，所以S12=0，S13＞0，即使S n≥0的最小正整数n=12．故选A．6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列答案：A解析：解：∵S n=2n2-2n，则S n-S n-1=a n=2n2-2n-[2（n-1）2-2（n-1）]=4n-4故数列{a n}是公差为4的等差数列故选A．7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．答案：C解析：解：当n=1时，a1=S1=21-1=1，当n≥2时，a n=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2•2n-1-2n-1=2n-1，对n=1也适合∴a n=2n-1，∴数列{a n}是等比数列，此数列奇数项也构成等比数列，且首项为1，公比为4．∴此数列奇数项的前n项和为==故选C8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-3答案：C解析：解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．9．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．99答案：A解析：解：当n为奇数时，a n+2-a n=1+（-1）n=0，可得a1=a3=…=a59=2．当n为偶数时，a n+2-a n=1+（-1）n=2，∴数列{a2n}为等差数列，首项为2，公差为2，∴a2+a4+…+a60=30×2+=930．∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a60）=30×2+930=990．故选：A．10．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列答案：A解析：解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列∴a n=a1+2（n-1）∴∴数列是公比为4的等比数列故选A11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．522答案：B解析：解：由a n=4a n-1+3可得a n+1=4a n-1+4=4（a n-1+1），故可得=4，由题意可得a1+1=1即数列{a n+1}为首项为1，公比为4的等比数列，故可得a5+1=44=256，故a5=255故选B12．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．答案：B解析：解：∵a n•b n=1∴b n==∴s10==（-）+=-=故选项为B．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）A．20B．18C．10D．8答案：B解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=8，a3-a1=16，∴，解得，∴=2×32=18．故选：B．14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．答案：C解析：解：∵a4=2S3+3，a5=2S4+3，即2S4=a5-3，2S3=a4-3∴2S4-2S3=a5-3-（a4-3）=a5-a4=2a4，即3a4=a5∴3a4=a4q解得q=3，故选C15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项答案：D解析：解：由题意得=，∵n是正整数，∴=当且仅当时取等号，此时，∵当n=9时，=19；当n=9时，=19，则当n=9或10时，取到最小值是19，而取到最大值．故选D．二．填空题（共__小题）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．答案：-40解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，∵a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=a1+a2+a3+9d，∴-4=8+9d，解得d=-，∴a13+a14+a15=a1+a2+a3+36d=8-×36=-40，故答案为：-4017．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．答案：8解析：解：由等差数列的性质可得a3+a5+a7+a9+a11=（a3+a11）+a7+（a5+a9）=2a7+a7+2a7=5a7=20∴a7=4∴a1+a13=2a7=8故答案为：818．（2015秋•岳阳校级月考）数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．答案：2n+n2-1解析：解：数列a n的前n项和S n=（2+22+23+…+2n）+[1+3+5+…+（2n-1）]=+=2n-1+n2．故答案为：2n-1+n2．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．答案：2n-1解析：解：由题可得，a n+1+1=2（a n+1），则=2，又a1=1，则a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，所以a n+1=2•2n-1=2n，则a n=2n-1．故答案为：2n-1．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．答案：3解析：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a6=a8，得a1+d+a1+5d=a1+7d，即a1=d，所以==．故答案为3．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．答案：1023解析：解：由题意，两边同加1得：a n+1+1=2（a n+1），∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n-1=2n∴a n=2n-1∴a10=1024-1=1023．故答案为：1023．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．答案：解析：解：由题意知得∴6q2-q-1=0∴q=或q=-（与正项等比数列矛盾，舍去）．故答案为：23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．答案：2n+1-1解析：解：由题意知a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n-1=2n+1，∴a n=2n+1-1．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．答案：=5解析：解：等差数列{a n}中，∵a3+2a8+a9=20，∴（a1+2d）+2（a1+7d）+（a1+8d）=4a1+24d=4（a1+6d）=4a7=20，∴a7=5．故答案为：5．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．答案：解析：解：由题设条件知a1+a1q=a1q2，∵a1＞0，∴q2-q-1=0解得，∵数列{a n}为正项等比数列，∴．故答案：．三．简答题（共__小题）26．已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．答案：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+1解析：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+127．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．解析：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．28．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．解析：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．29．已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．答案：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）解析：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）30．在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．答案：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．解析：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．。
高中数学《数列》测试卷与答案
高中数学《数列》测试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，若a n ＝2 017，则序号n 等于( D ) A ．667 B ．668 C ．669D ．673[解析] 由题意可得，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴2 017＝3n －2，∴n ＝673.2．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( B )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2 [解析] 由已知得：a 1q 2＝1，a 1q ＋a 1q 3＝52，∴q ＋q 3q 2＝52，q 2－52q ＋1＝0，∴q ＝12或q ＝2(舍)，∴a 1＝4.3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24[解析] 由等比数列的前三项为x,3x ＋3,6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.4．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( B ) A ．－4 B ．－6 C ．－8D ．－10[解析] 由题意，得a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )， ∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝－8.∴a 2＝a 1＋d ＝－8＋2＝－6.5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( C )A ．1514B ．1213C ．1316D ．1516[解析] 由题意，得a 23＝a 1a 9， ∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， ∴a 1＝d . ∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝13a 116a 1＝1316.6．等比数列{a n }满足a 2＋8a 5＝0，设S n 是数列{1a n}的前n 项和，则S 5S 2＝( A ) A ．－11 B ．－8 C ．5D ．11[解析] 由a 2＋8a 5＝0得a 1q ＋8a 1q 4＝0，解得q ＝－12.易知{1a n}是等比数列，公比为－2，首项为1a 1，所以S 2＝1a 1[1－－22]1－－2＝－1a 1，S 5＝1a 1[1－－25]1－－2＝11a 1，所以S 5S 2＝－11，故选A ．7．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( C )A ．3(3n－2n) B ．3n ＋2nC ．3nD ．3·2n －1[解析] 由S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)可得S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2，n ∈N *)，两式相减可得a n＝32a n －32a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝3a n －1(n ≥2，n ∈N *)．又a 1＝S 1＝32(a 1－1)，解得a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，则a n ＝3n.8．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由表格知，第三列为首项为4，公比为12的等比数列，∴x ＝1.根据每行成等差数得第四列前两个数字分别为5，52，故第四列所成的等比数列的公比为12，∴y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝6×(12)4＝38，∴x ＋y ＋z ＝2.9．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的天数为( D )A ．815 B ．1615 C ．2031D ．4031[解析] 设该女第n 天织布为a n 尺，且数列为公比q ＝2的等比数列，由题意，得a 11－251－2＝5，解得a 1＝531.故该女第4天所织布的尺数为a 4＝a 1q 3＝4031，故选D ．10.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则该数列的公比q 为( D )A ．2B ．1C ．14D ．12[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q 2＝10①a 41＋q 2＝54②，②①得q 3＝18，∴q ＝12. 11．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 8b 10＝( B )A ．1B ．8C ．4D ．2[解析] 设{a n }的公差为d ，则由条件式可得，(a 7－3d )－2a 27＋3(a 7＋d )＝0， 解得a 7＝2或a 7＝0(舍去)． ∴b 3b 8b 10＝b 37＝a 37＝8.12．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 1 007＋a 1 008>0，a 1 007·a 1 008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( C )A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 015[解析] ∵a 1 007＋a 1 008>0， ∴a 1＋a 2 014>0，∴S 2 014＝2 014a 1＋a 2 0142>0，∵a 1 007·a 1 008<0，a 1>0， ∴a 1 007>0，a 1 008<0， ∴2a 1 008＝a 1＋a 2 015<0， ∴S 2 015＝2 015a 1＋a 2 0152<0，故选C ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于__218__.[解析] ∵{a n }为等比数列，∴a 8＝a 5q 3，∴q 3＝16－2＝－8，∴q ＝－2.又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝－216＝－18，∴S 6＝a 11－q61－q＝－18[1－－26]1＋2＝218. 14．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__n 2＋n ＋22__.[解析] ∵a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3， a 4－a 3＝4，…a n －a n －1＝n (n ≥2)．将上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ＝2＋nn －12，∴a n ＝2＋2＋nn －12＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．又a 1＝2满足上式，∴a n ＝n 2＋n ＋22.15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝__676__.[解析] 利用分组求和法求解．当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676. 16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是__n 2＋n __.第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … ……………[解析] 设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n .三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .[解析] 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d a 1＋6d ＝－16a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16a 1＝－4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．18．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， ∴S n ＝2S n －1＋2n －1 ① ∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2， ∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.19．(本题满分12分)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .[解析] (1){a n }为等差数列， ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22， 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4， ∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4.∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －12·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c， ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)．20．(本题满分12分)已知数列{b n }是首项为1的等差数列，数列{a n }满足a n ＋1－3a n －1＝0，且b 3＋1＝a 2，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵a n ＋1－3a n －1＝0，∴a n ＋1＝3a n ＋1， ∴a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)，又a 1＋12＝32.∴数列{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．∴a n ＋12＝32·3n －1＝3n2，∴a n ＝3n－12.(2)由(1)知，b 3＝a 2－1＝3， 设等差数列{b n }的公差为d ，∴d ＝1， ∴b n ＝1＋n －1＝n ，∴c n ＝a n ·b n ＝n ·3n－12＝n ·3n2－n2.∴T n ＝12(1×3＋2×32＋…＋n ×3n )－12(1＋2＋3＋…＋n )＝12(1×3＋2×32＋…＋n ×3n)－n n ＋14.令S n ＝1×3＋2×32＋…＋n ×3n① ∴3S n ＝1×32＋…＋(n －1)×3n ＋n ×3n ＋1②①－②得－2S n ＝3＋32＋…＋3n －n ×3n ＋1＝31－3n1－3－n ×3n ＋1＝32(3n －1)－n ×3n ＋1 ＝3n ＋12－32－n ×3n ＋1＝3n ＋1(12－n )－32，∴S n ＝3n ＋1(n 2－14)＋34＝2n －13n ＋1＋34， ∴T n ＝2n －13n ＋1＋38－n n ＋14.21．(本题满分12分)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2， 所以q 2＋q －6＝0. 又因为q >0， 解得q ＝2， 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3. 由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝3n －2， 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n.(2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n .由a 2n ＝6n －2，得T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1.上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1＝12×1－2n1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16，所以T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以，数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.22．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n)(n ∈N ＋)均在函数y ＝3x －2的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N ＋都成立的最小正整数m .[解析] (1)依题意得：S nn＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5＝1，满足上式． 所以a n ＝6n －5(n ∈N ＋)． (2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝36n －5[6n ＋1－5]＝12(16n －5－16n ＋1)， 故T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1)．因此，使得12(1－16n ＋1)<m 20(n ∈N ＋)成立的m 必须且仅需满足12≤m 20，即m ≥10，故满足要求的最小正整数m 为10.。
高中数学多选题专项训练(讲义及答案)含答案
高中数学多选题专项训练(讲义及答案)含答案一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+答案：BD 【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T答案：AD 【分析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈.3．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ）A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >答案：ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值答案：AC 【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；5．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.6．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值答案：ABD 【分析】由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.7．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =答案：BCD 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意，，所以，故A 错误； 所以，所以，故B 正确； 因为， 所以当解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确；要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.8．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <答案：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】 因为，所以 ， 因为，所以， 所以等差数列公差， 所以是递减数列， 故最大，选项A解析：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-答案：AC 【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与． 【详解】等差数列的前项和为．，， ， 解得，， ．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.答案：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列答案：ABC 【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】 当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．解析：ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 答案：ABCD 【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d ＝12，可得＜d ＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn ＜0解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nn S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nn S a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、等差数列多选题13．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键. 14．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.15．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 16．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2 B ．5C ．3D ．4解析：BD 【分析】 利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1nn a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；18．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.19．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S += B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.20．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤ D ．当且仅当0nS <时，26n ≥解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.21．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．170S <解析：ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>， 由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.22．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <解析：AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 23．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列解析：ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.24．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+解析：ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.三、等比数列多选题25．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．数列{}2na 为等比数列C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 解析：ABC 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为()112n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+ 选项A.112n S n a d n -=+，则+1111+1222n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（常数） 所以数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122na n da +-=,则112222n n n na a a d a ++-==（常数），所以数列{}2n a为等比数列，故B正确.选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m na a m d n a a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ ，解得11,1a m n d =+-=-所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=将以上两式相减可得：()()()2212dm n a m m n n n m ⎡⎤-+---=-⎣⎦()()()112dm n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠所以()1112d a m n ++-=-，即()1112d m n a +-=-- ()()()()()()()111112m n m n m n dS m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+，所以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m na a m d n a a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，从中解出1,a d ，从而判断选项C ，由前n 项和公式得到()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=，然后得出()1112dm n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题.26．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥解析：ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b < 又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.27．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列 D ．3a ，6a ，9a 成等比数列解析：AD 【分析】根据等比数列的定义判断． 【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a a q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a aq a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列．28．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >解析：AD 【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为0q <，所以29109990a a a a q a q =⋅=<，故A 正确； 对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >⎧⎨<⎩或9100a a <⎧⎨>⎩，即910a a >或910a a <，故B 错误； 对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数， 又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题.29．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023 B ．341 C ．1024 D ．342解析：AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.30．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析：BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 31．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121n n n q nq nq q q ++---D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,故1n a =或n a n =,所以n b q =或nn b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,①当n b q =时,n S nq =；②当nn b n q =⋅时,23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）, 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,（1）-（2）得：()()2311111n nn n n q q q S q q q q n qn q q++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,故选：BD 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 32．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--解析：ABD 【分析】 由()*123nn na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】。
(完整)高中数学数列经典题型
高中文科数学训练之数列制作人：肖良一，数列综合大题1.已知等比数列{}n a 中，113a ，公比13q ．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nna S （II ）设31323log log log n nb a a a L ，求数列{}n b 的通项公式．2.设等差数列n a 满足35a ，109a 。
（Ⅰ）求n a 的通项公式；（Ⅱ）求n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。
3.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列12n na 的前n 项和．4.已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和n S . 5.已知数列n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a ，*n N证明：1n a 是等比数列；6. 已知数列n a n N 是等比数列,且130,2,8.na a a (1)求数列n a 的通项公式;(3)设1log 22n n a b ,求数列n b 的前100项和.7. 在等差数列n a 中，公差d0，且56a ，（1）求46a a 的值．（2）当33a 时，在数列n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．8. 已知数列n n 2,n a =2n 1,n 为奇数；－为偶数；，求2n S .9.等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知50,302010a a . （1）求通项n a ；（2）若242nS ，求n ；（3）若20n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值.10.等差数列}{n a 中，n S 为前n 项和，已知75,7157S S . （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n S b n n ，求数列}{n b 的前n 项和n T .11.等差数列}{n a 中，2,841a a .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设||||||21n n a a a S ，求n S .12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，11b ，点1(,)n n P b b 在直线2y x 上.（1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式（2）求数列{}n b 的前n 项和为n B .13. 已知数列n a 的前n 项和为n S ，且585nn S n a ，*n N (1)证明：1n a 是等比数列；(2)求数列n S 的通项公式，并求出使得1n n S S 成立的最小正整数n . 14.设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为n S ，满足56S S +15=0。
高中数学同步单元必刷卷-数列(培优卷)(含解析)
第四章《数列》同步单元必刷卷（培优卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且126,,a a a 成等比数列，则公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知等比数列{}n a 中，11a =，且58258a a a a +=+，那么5S 的值是（ ）. A ．15B ．31C ．63D ．643．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34567150a a a a a ++++=，则9S 等于（ ） A ．225 B ．250 C ．270D ．3004．在数列{}n a 中，13a = ，12n n a a -=+ ，则（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 单调递增 C ．数列{}n a 先递减后递增D ．数列{}n a 先递增后递减5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1*132n n n a S n -⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭N ，则下列结论正确的是（ ）A ．23a a <B ．68742a a a +=C ．数列{}2nn a 是等比数列D ．13n S <…6．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）尺. A ．1B ．1.25C ．1.5D ．27．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a > ，201920201a a > ，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（ ）A ．20192020S S <B ．2019202010S S -<C ．2020T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值8．已知数列{}n a 满足11a =，()*121n n a a n =+∈N ＋，记数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n ∈N ，不等式n k T >恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
高中数学数列解答题 专项突破 裂项求和基础题16道
数列解答题专题——裂项求和基础题16道1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3616a a +=，21441S =.（1）求数列{}n a 体的通项公式：（2）若121n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）n T 69nn +=.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，∵3616a a +=，21441S =，∴12716a d +=，121210441a d +=，解得11a =，2d =.∴21n a n =-.（2）由（1）得，()()11112+12322+123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1111111235572+123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭69n n +=.2．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*111,1,66n S n Na S∈==.（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若12n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）n a n =，(1)2n n n S +=；（2）1n nT n =+. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由1161166S a ==，得66a =，则51161a a d -==-， 所以1(1)n a a n d n =+-=，(1)2n n n S +=； （2）由（1）得11112(1)1n n b S n n n n ===-++， 所以111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++.3．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且122,a a =是14,a a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当0d >时，求数列()11n a n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）当0d =时，2n a =；当2d=时，2n a n =；（2）22nn +. 【解析】（1）2a 是14,a a 的等比中项，()()21113∴+=+a d a a d ，即()()22223d d +=+，整理得220d d -=，解得0d =或2d=，当0d =时，2n a =，当2d =时，()2212n a n n =+-=；（2）由（1）知，当0d >时，2n a n = ()()1111112121n a n n n n n ⎛⎫∴==- ⎪+++⎝⎭，） 1111111112223341n T n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭11121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=22n n +.4．（2020·宁夏银川市·银川一中高三月考）已知数列{}n a 为递增的等差数列，其中35a =，且125,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()1111n n n b a a +=++记数列{}n b的前n 项和为n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）4(1)n nT n =+.【解析】（1）在等差数列中，设公差为d ≠0，由题意215235a a a a ⎧=⎨=⎩，得()()21111425a a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩. ∴a n ＝a 1+(n ﹣1)d ＝1+2(n ﹣1)＝2n ﹣1；（2）由（1）知，a n ＝2n ﹣1.则()()1111111122(1)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴111111142231nT n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111414(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.5．（2020·全国高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且237n S n n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）610n a n =-，*n ∈N ；（2）()223n nT n =-.【解析】（1）当1n =时，114a S ==-；当2n ≥时，()()221373171610n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，若1n =时，16104a =-=- 故610n a n =-，*n ∈N ．（2）依题意，()()()()4111161064353233532n n n n n n ⎛⎫==- ⎪------⎝⎭故()111111111111321144735323232223n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭．6．（2020·江苏南通市·高三期中）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为1(,)d a Z d Z ∈∈，前n 项的和为n S ，且7549,2426S S =<<.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项的和为T n ，求T n .【答案】（1）21,n a n n N *=-∈；（2）21nn +. 【解析】（1）由题意,等差数列{}n a 中，因为7549,2426S S =<<，可得1176749254245262a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪<+<⎪⎩，因为1,a Z d Z ∈∈，可得1a 1,d2，所以数列的通项公式为1(1)21,n a a n d n n N *=+-=-∈.（2）由（1）可得111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，所以1111111112335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭21nn =+.7．已知数列{a n }满足．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和为T n ．解：（1），①∴当n ≥2时，，②①﹣②得，2n ﹣1a n =1，∴，③ 又∵n=1时，a 1=1也适合③式，∴．（2）由已知，8．已知等差数列{a n }中，公差d ≠0，S 6=27，且a 3，a 5，a 8成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列的前n 项和为T n ，则．解：（Ⅰ）由题意得，整理得∴∴a n =2+（n ﹣1）d=n +1 （Ⅱ）∵∴==9．（2020·静宁县第一中学高三月考）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且31n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2211log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()41n n +. 【解析】（1）当1n =时，111331S a a ==-，∴114a =，当2n ≥时，因为31n n S a =-①所以1131n n S a --=-②①－②得13n n n a a a -=-，∴()1124n n a n a -=≥. 所以数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列.∴1111444n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由（1）得()()1221122111log log 44n nn b n n +==--+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎣⎦⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11114141n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴()11111111111142233414141n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 10、S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.两式相减，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3(2n ＋3).11、（2020·四川成都市·华阳中学）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足()241n n S a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）∵()241n n S a =+，∴()21141a a =+，解得11a =，当2n ≥时，由()241n n S a =+①可得，()21141n n S a --=+②，①－②：()()1120n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴10n n a a -+≠，∴120n n a a ---=，即∴12n n a a --=，∴{}n a 是以11a =为首项，以2d =为公差的等差数列，∴1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=- 综上所述，结论是：21n a n =-.（2）由（1）可得11n n n b a a +=1(21)(21)n n =-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭∴2n a n T b b b =+++111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，综上所述，21nn T n =+.12、在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n－1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1.(2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =（a n ﹣1），n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）令b n =log 2a n ，记数列{}的前n 项和为T n ．证明：≤T n ．解：（I ）当n=1时，有，解得a 1=4，当n ≥2时，有S n ﹣1=（a n ﹣1﹣1），则，整理得a n =4a n ﹣1，则数列{a n }是以q=4为公比，以4为首项的等比数列，∴；（II ）证明：由（ I ）有，则， 可得前n 项和为T n =（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），易知数列{T n }为递增数列，∴，即≤T n．14、正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n<564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)．n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明 由a n ＝2n (n ∈N *)，得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2，则T n ＝116⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564(n ∈N *)．即对于任意的n ∈N *，都有T n <564.15．（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和()1*3n n S n N -=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()()1222nn n n S b S S +=++，求数列{}n b的前n 项和n T .【答案】（1）()()211232n n n a n -⎧=⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）()31332n n -+. 【解析】（1）由0113a S ==得：11a =， 因为12213323(2)n n n n n n a S S n ----=-=-=⨯≥，当1n =时，22233n n a -=⨯=，而11a =，所以数列{}n a 的通项公式()()211232n n n a n -⎧=⎪=⎨⨯≥⎪⎩. （2）因为()()11233232n n n n b --⨯=++，所以1113232nn n b -=-++， 所以1111111113551111293232n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11332n =-+()31332nn-=+.16．（2020·江苏镇江市·高三期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2512a a +=，424S S =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）211(1)n T n -=+.【解析】（1）设等差数列首项为1a ，公差为d ，2512a a +=，424S S =，得：()1112512434422a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩， 解得：112a d =⎧⎨=⎩，1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-，21(1)(1)2122n n n d n n S na n n --⨯=+=⨯+=； （2）1222212111(1)(1)n n n n a n b S S n n n n +++===-⋅++，1232222222211111111122334(1)n n T b b b b n n ∴=++++=-+-+-++-+211(1)n =-+.。
高中数学--《数列》测试题(含答案)
高中数学--《数列》测试题（含答案）1.已知等比数列{an}中，a5=4，a7=6，则a9等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案解析】C【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意可得q2，由等比数列的通项公式可得a9=a7q2，代入求解可得．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则q2===，∴a9=a7q2=6×=9故选C【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．2.等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A． B． C．2 D．﹣【答案解析】A【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知求得a6，然后结合a10=6代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．又a10=6，则．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．3.+2与﹣2两数的等比中项是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【答案解析】C【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比中项的定义及其性质即可得出．【解答】解： +2与﹣2两数的等比中项==±1．故选：C．【点评】本题考查了等比中项的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知数列{an}中，an=3n+4，若an=13，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案解析】A【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式．【分析】由an=3n+4=13，求得n的值即可．【解答】解：由an=3n+4=13，解得 n=3，故选A．【点评】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．5.在各项均为正数的等比数列，若，数列的前项积为，若，则的值为A．4 B．5 C．6 D．7【答案解析】B6.已知等比数列的首项为，公比为，给出下列四个有关数列的命题：：如果且，那么数列是递增的等比数列；：如果且，那么数列是递减的等比数列；：如果且，那么数列是递增的等比数列；：如果且，那么数列是递减的等比数列．其中为真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案解析】C7.等差数列的前项和为，若，则的值A．21 B．24 C．28 D．7【答案解析】C8.等差数列中，若，则的值为A．250 B．260 C．350 D．360D9.等差数列中，若，则等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案解析】C10.在等比数列中,则( )A． B． C． D．【答案解析】A.11.已知数列满足：>0，，则数列{ }是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 不确定【答案解析】B由等比数列的定义可知根据条件>0，可确定数列{ }是等比数列，并且是递减数列.12.在等差数列中，，则此数列前13项的和为（）A．36 B．13 C．26 D．52【答案解析】C13.数列前n项的和为（）A．B．C．D．B14.已知是等比数列，，则公比=（）A B C 2 D【答案解析】D15.数列的一个通项公式是（）A．B．C． D．【答案解析】B16.设是等差数列，若,则数列{an}前8项的和为（）A.128B.80C.64D.56【答案解析】C17.等比数列{an}中，若a5＝5，则a3a7＝．A. 5B. 10C. 25D.【答案解析】C18.已知，则数列是( ）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【答案解析】A19.在等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝________ 【答案解析】20.已知，则数列是( ）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【答案解析】A。
高中数学多选题专项训练100附答案
高中数学多选题专项训练100附答案一、数列多选题1．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >答案：BC 【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.2．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =答案：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意，，A 正确，，C 正确； ，∴数列是周期数列，周期为3． ，B 错； ，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】 本解析：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．3．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2答案：ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n ≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.4．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．5．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =答案：AD 【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和， 进而可得，由此可知，故不正确； 对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案； 对于，由求出及解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键. 6．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =答案：BCD 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意，，所以，故A 错误； 所以，所以，故B 正确； 因为， 所以当解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.7．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数， 是等方差数解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n aa ---=---=是常数， {(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn kn a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD.本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 8．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 9．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列答案：AD根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】， ，所以是递增数列，故①正确， ，当时，数列不是递增数列，故②不正确， ，当时，不是递增数列，故③不正确， ，因解析：AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21答案：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由Sn>0解不等式可判断D ． 【详解】由公差，可得，即，① 由a7是a解析：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <答案：AD 【分析】先根据题意得，，再结合等差数列的性质得，，，中最大，，即：.进而得答案. 【详解】解：根据等差数列前项和公式得：， 所以，， 由于，， 所以，， 所以，中最大， 由于， 所以，即：解析：AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=<所以1110a a +>，1120a a +<，由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题. 12．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值答案：AC 【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列中， 由，得， 又，联立解得，， 则，． ．故正确，错误；可得数列的解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =，则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．二、等差数列多选题13．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列 解析：ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1nS ，n S ，2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，进而求出n a ． 【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为4，∴()14414n n n S =+-=，可得14n S n=，∴2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---， ∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题 14．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =-B ．201912a =C ．332S = D ． 2 01920192S =解析：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．15．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >解析：ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022 解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.17．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.18．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.19．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．170S <解析：ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>， 由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ）A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T >D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 解析：AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112xf x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 21．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列解析：AC 【分析】由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析：ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n nN ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0nS <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 23．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S < 解析：BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为()()116168916802a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型. 24．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．三、等比数列多选题25．题目文件丢失！26．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥解析：ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b <又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k 时，21)2k k ->21)k k ->，则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.27．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 解析：ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .28．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2 B ．4C ．85D ．83解析：ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题．29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13n S n=C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列解析：ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3n n n S =+-=，13n S n=．B 正确；2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．30．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.31．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析：BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题.32．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是（ ）A ．S 2019<S 2020B ．2019202010a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值解析：AB 【分析】由已知确定0q <和1q ≥均不符合题意，只有01q <<，数列{}n a 递减，从而确定20191a >,202001a <<，从可判断各选项．【详解】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a >>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且20191a >,202001a <<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；因为20191a >,202001a <<，所以2019T 是数列{}n T 中的最大值，C ，D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定20191a >,202001a <<．33．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--解析：AB 【分析】由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴123n n a +=-，∴313a =，∴()2412323412n n nS n n +-=-=---.。
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【详解】
（1）令 ，
解得 或 （舍去）.所以
（2） ，
由于 ，所以最大项为
【点睛】
本题考查已知项求项数，注意项数要为整数，另外将数列的最值转化为函数的最值，解题会更加简单。
18．（1）an=2n–9；（2）最小值为-16
【解析】
【分析】
（1）设{an}的公差为d，根据条件列出a1和d的方程组，解之即可得到答案；（2）利用等差数列的求和公式求出 ，通过配方法可求得结果.
【详解】
（1）设{an}的公差为d，由题意得 得a1=–7，d=2，
所以{an}的通项公式为an=2n–9；
（2）由（1）得 ，
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n项和，熟记并掌握公式和概念是解题的关键，属基础题.
【分析】
函数 ，当 ， 最小，即可求出 ，将 代入 ，即可求出
【详解】
当 时， ，即 ；
将 代入 得， ，
故答案为： ，
【点睛】
本题考查数列的函数特性，是基础题。
14．
【解析】
【分析】
数列 是递增数列，则 是单调递增的一次函数型的数列，建立不等式关系进行求解即可。【解】，，解得 。
故答案为： 。
【点睛】
（2）根据前 项和公式，即可求出结果.
【详解】
（1）依题意，设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以公差 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ， ，
所以
【点睛】
本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与前 项和公式即可，属于基础题型.
17．（1）是， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）设 ，解方程，看 是否为正整数即可。
13．函数 的最小值记为 ，设 ，则数列 ， 的通项公式分别是 ________， ________.
14．已知 .若数列 是递增数列，则实数a的取值范围是________.
15．在以下数列的通项公式 中，满足对一切 恒有 （递增数列）的数列题号是________.（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）
5．在等比数列 中，若 ， ，则 （）
A． 或 B． C． 或 D．
6．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ， 成等差数列，则 （）
A． B． C． D． 或
7．若 是2与8的等比中项，则 等于( )
A． B． C． D．32
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）
高中数学--数列专项训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下面数列中，是等差数列的有()
①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④ ， ， ， ，…
A．1个B．2个C．3个D．4个
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义判断即可.
【详解】
①是以4为首项，以1为公差的等差数列；②后一项减前一项不是常数，所以不是等差数列；③是常数列，所以是等差数列；④是以 为首项，以 为公差的等差数列.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查等差数列的判断，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
先由已知得到公比q=-1,再求 的值得解.
【点睛】
本题考查数列的递推式，是基础题。
4．D
【解析】
【分析】
设 ，解方程即可。
【详解】
设 ，解得 或6.
故选：D。
【点睛】
本题考查已知数列的项求项数，是基础题。
5．B
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式求解，注意此题解的唯一性.
【详解】
是 和 的等比中项，则 ，
解得 ，由等比数列的符号特征知 ．选B.
所以数列的通项为 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查项和公式求数列的通项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
12．5.
【解析】
【分析】
令通项公式等于 ，构造出方程求得结果.
【详解】
由 可知：
令 ，解得：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查根据数列的通项公式确定项数的问题，属于基础题.
13．
【解析】
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，属于基础题.
6．B
【解析】
【分析】
根据等差中项的定义和等比数列的通项公式求解
【详解】
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
又因为 为等比数列，所以 ，即 ，解得 ．
因为数列的各项均为正数，所以 ．
故选B.
【点睛】
本题考查等差中项和等比数列的通项公式，属于基础题.
7．B
本题主要考查数列单调的性质的应用，根据数列单调性建立不等式关系是解决本题的关键。
15．（1）、（3）（5）
【解析】
【分析】
（1） 形如一次函数，（2） 中， ，
（3） ，（4） 为摆动数列，
（5） 观察，很明显递增，（6） 为摆动数列
【详解】
（1） 形如一次函数 ，为递增数列；
（2） 中， ，与 不符；
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则 （ ）
A．1B．﹣1C．2019D．﹣2019
3．数列 的通项公式 不满足下列递推公式的是（）.
A．
B．
C．
D．
4．已知数列的通项公式为 ，则3（）.
A．不是数列 中的项
B．只是数列 的第2项
C．只是数列 的第6项
D．是数列 的第2项或第6项
【详解】
由题得 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
将 代入四个选项进行验证可得答案。
【详解】
将 代入四个选项得：
A. 成立；
B. 成立；
C. 成立；
D. 不恒成立。
故选：D。
∴3a3＝3，
∴a3＝1，
∴S5 5a3＝5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．D
【解析】
【分析】
根据条件解得首项，再求
【详解】
因为 ，所以 ，选D.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式中基本量，考查基本分析求解能力，属基础题
10．D
【解析】
【分析】
把要求的代数式的分母提取 ，约分后可得答案．
【详解】
解：∵等比数列{an}的公比 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
11．
【解析】
【分析】
利用项和公式求解即可.
【详解】
由题得 ，
两式相减得 ，即 ，
n=1时， ，
所以数列{an}从第2项起是等比数列，所以 ，
【解析】
【分析】
利用等比中项性质列出等式，解出即可。
【详解】
由题意知， ，∴ ．
故选B
【点睛】
本题考查等比中项，属于基础题。
8．A
【解析】
【分析】
由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5＝3，可得3a3＝3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
【详解】
由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5＝3，
A．5B．7C．9D．11
9．公比为2的等比数列 的各项都是正数，且 ，则 （）
A．8B．2C．4D．1
10．已知等比数列 的公比 ，则 （）
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、填空题
11．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），则an＝____________.
12．若数列 的通项满足 ,那么 是这个数列的第__________项.
（3） ，当 变大时， 变小， 变大，为递增数列；
（4） 为摆动数列，不符合；
（5） ，观察，当 变大时， 变大， ，为递增数列；
（6） 为摆动数列，不符合。
【点睛】
本题考查数列的单调性，观察以及结合已经学过的基本初等函数可判断，是基础题。
16．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）先设等差数列的公差为 ，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式；
评卷人
得分
三、解答题
16．已知等差数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
17．在数列 中， .
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
18．已知等差数列 的前n项和为 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求当 取何值时 有最小值.