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「精品」高一数学4月月考试题(含解析)

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高一数学下学期4月月考试题含解析 试题

高一数学下学期4月月考试题含解析 试题

智才艺州攀枝花市创界学校HY 二零二零—二零二壹高一数学下学期4月月考试题〔含解析〕考生注意：1．本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟． 2．请将各题答案填写上在答题卡上．3．本套试卷主要考试内容：必修4第一章和第三章．第I 卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.512π=〔〕 A.85° B.80°C.75°D.70°【答案】C 【解析】 【分析】 根据180π=代入512π换算，即可得答案；【详解】180π=，∴75512121805π=⨯=.应选：C.【点睛】此题考察弧度制与角度制的换算，考察运算求解才能，属于根底题. 2.cos750︒=〔〕A.12-B.12C. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可得cos750cos30=，利用特殊角三角函数值，即可得答案；【详解】2cos 750cos(72030)cos303=+==. 应选：D.【点睛】此题考察诱导公式的应用，考察运算求解才能，属于根底题.α的终边过点()cos2,tan 2，那么角α为〔〕A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C 【解析】 【分析】根据cos20,tan20<<，即可得答案；【详解】cos20,tan20<<，∴点()cos2,tan 2在第三象限， ∴角α为第三象限角.应选：C.【点睛】此题考察三角函数在各个象限的符号，考察运算求解才能，属于根底题.cos3y x =的图象，只需把函数cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象〔〕A.向左平移6π个单位长度 B.向左平移12π个单位长度C.向右平移6π个单位长度 D .向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】比照两个函数中自变量x 的变化情况，再结合“左加右减〞的平移原那么，即可得答案；【详解】cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移12π单位可得cos 3(cos34)12y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，应选：B.【点睛】此题考察三角函数的平移变换，考察对概念的理解，属于根底题. 5.334απ=-,那么角α的终边与单位圆的交点坐标是()A.⎝⎭B.22⎛- ⎝⎭C.22⎛-- ⎝⎭ D.122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可分析角α的终边与4π-的终边重合,利用三角函数的定义求解即可【详解】由题,33844πππ-=--,所以角α的终边与4π-的终边重合,因为单位圆的半径为1,那么cos 42y π⎛⎫=-=⎪⎝⎭,sin 42x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,应选：A【点睛】此题考察终边一样的角的应用,考察三角函数的定义的应用2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为()A.(),0210k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.(),0210k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C.(),010k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D.(),010k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由图像变换原那么可得新曲线为2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+求解即可【详解】将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+,得()102k x k Z ππ=-+∈ 应选：A【点睛】此题考察三角函数的图像变换,考察正弦型函数的对称中心AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212lr =-，假设扇形AOB 的面积为8，那么该扇形的圆心角的弧度数是〔〕A.14B.12或者2 C.1 D.14或者1 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得.【详解】解：由题意得212,18,2l r lr =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得8,2,r l =⎧⎨=⎩或者4,4,r l =⎧⎨=⎩故14l r α==或者1l r α==.应选：D【点睛】此题考察弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于根底题.8.4sin 77πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，那么5cos 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔〕A.7-C.47-D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式，可求得答案.【详解】55()71421427ππππππαααα++-=⇒-=-+， ∴54cos cos[()]sin 142777ππππααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.应选：C.【点睛】此题考察诱导公式的应用求值，考察运算求解才能，求解时注意符号的正负.α为第二象限角，以下结论错误的选项是〔〕A.sin cos αα>B.sin tan αα>C.cos tan 0αα+<D.sin cos 0αα+>【答案】D 【解析】 【分析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角, 所以sin 0α>,cos 0α<,tan 0α<A,B,C 对,D 不一定正确. 应选:D【点睛】此题考察了三角函数在第二象限的符号,属于根底题.()cos sin xf x x x=-的局部图象大致为〔〕A. B. C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数为奇函数和(1)f 的正负，即可得答案；【详解】()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，且()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，排除B ，D ；cos1(1)01sin1f =>-，排除A ；应选：C.【点睛】此题考察根据函数的解析式选择函数图象，考察数形结合思想，求解时注意函数性质的运用.()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的局部图象如下列图,BC ∥x 轴当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,假设不等式()sin 2f x m x -恒成立,那么m 的取值范围是()A.⎫+∞⎪⎪⎣⎭B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.)+∞D.[1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】 根据,B C两点的对称性求得()f x 的一条对称轴方程，由此结合()f x 的周期性求得ω的值，结合π,03⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，进而求得()f x 的解析式，利用别离常数法化简()sin 2f x m x -，结合三角函数值域的求法，求得m 的取值范围. 【详解】因为//BC x,所以()f x 的图像的一条对称轴方程为2723212x πππ+==,71212344ππππω-==⨯,所以2ω=.由于函数()f x 图像过π,03⎛⎫⎪⎝⎭，由23k πϕππ⨯+=+,k Z ∈,且0ϕπ<<,得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.()sin 2f x m x -，等价于()sin 2f x x m -,令()sin 2sin 23g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()sin 2coscos 2sinsin 2cos 2336g x x x x x πππ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭. 由70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()g x的最大值为2,所以32m. 应选：A【点睛】本小题主要考察根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考察三角函数最值的求法，考察三角恒等变换，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.()()sin f x x ππ=-与()()114g x x =-的图象所有交点的横坐标为12,,,n x x x ，那么12n x x x +++=〔〕A.6B.7C.8D.9【答案】B 【解析】 【分析】作出两个函数的图象，利用函数的对称中心为(1,0)，即可得答案； 【详解】作出两个函数的图象，易得一共有7个交点，即127,,,x x x不妨设127x x x <<<，127S x x x =+++，两个函数均以(1,0)为对称中心，∴71625342,2,2,1x x x x x x x +=+=+==， ∴3217S =⨯+=.应选：B.【点睛】此题考察利用函数的对称中心求函数零点和，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.第II 卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.5sin 13α=，2παπ<<，那么cos 6tan αα-=______.【答案】4126【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得cos ,tan αα,代入即可求解.【详解】由同角三角函数关系式,可知 因为5sin 13α=,2παπ<<,所以12cos 13α==-,5sin 513tan 12cos 1213ααα===--, 所以12541cos 6tan 6131226αα⎛⎫-=--⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为:4126【点睛】此题考察了同角三角函数关系式的应用,属于根底题. 14.()sin10sin3sin80cos1070m ︒︒+︒-=︒，角α的终边经过点()P m，那么cos α=_________.【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的根本关系可得1m =，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为()22sin10sin370sin80cos10sin 10cos 101m ︒=+-=︒︒+︒︒=︒，2r ==，所以cos 2α=-.故答案为： 【点睛】此题考察了诱导公式、同角三角函数的根本关系以及三角函数的定义，属于根底题. 15.tan 3α=，那么2cos sin 2αα+=__________.【答案】710【解析】 【分析】由正弦二倍角角公式化简，作出分母为1的分式，分母1用22sin cos αα+代换化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α求值．【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故答案为：710． 【点睛】此题考察正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系．考察“1〞的代换．解题时注意关于sin ,cos αα的齐次式的化简求值方法．()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为____________．【答案】1009 【解析】 【分析】将函数的零点转化为求方程()0f x =的根，再计算根在区间()0,2020π的个数，即可得到答案.【详解】函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间()0,2020π的零点，等价于方程11cos 232x π⎛⎫+=⎪⎝⎭在区间()0,2020π根的个数；∴12233x k πππ+=+或者12233x k πππ+=-， ∴4x k π=或者44,3x k k Z ππ=-∈，当1k =时，14x π=⨯或者4143x ππ=⨯-；当2k =时，24x π=⨯或者4243x ππ=⨯-；当504k =时，5044x π=⨯或者450443x ππ=⨯-；当505k =时，450543x ππ=⨯-；∴函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为504211009⨯+=.故答案为：1009.【点睛】此题考察三角函数的零点个数问题，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．α为第一象限角，且sin α． 〔1〕求cos tan αα、的值；〔2〕求()()3sin 2cos cos 2παπαπα--+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)1cos tan 52αα==;(2)7 【解析】 【分析】〔1〕利用同角三角函数的平方关系、商数关系，即可得答案；〔2〕利用诱导公式进展化简得到关于sin α，cos α的式子，再转化成关于tan α的式子，即可得答案； 【详解】〔1〕角α为第一象限角，且sin α，∴cos α===∴sin 1tan cos 2ααα==. 〔2〕原式323sin 2cos 3tan 2271sin tan 2ααααα+++====. 【点睛】此题考察同角三角函数根本关系、诱导公式化简求值，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察运算求解才能.18.某同学用“五点法〞画函数()()sin f x A x =+ωϕ在某一个周期内的图象时,列表并填入了局部数据,如下表:(1)请将上表数据补充完好,填写上在相应位置,并求出函数()f x 的解析式;(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,求236g π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】(1)见解析,()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)-1【解析】 【分析】〔1〕由表格中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即可求得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,由sin22A π=可得2A =,那么()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,进而补全表格即可；〔2〕由图像变换原那么可得()2sin gx x =,进而将236x π=代入求解即可【详解】解:(1)根据表中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,又sin22A π=,所以2A =,所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.数据补全如下表:(2)由(1)知()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像, 再把得到的图像向左平移3π个单位长度,得到2sin sin 33y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图像,即()2sin g x x =,所以23232sin 2sin 1666g πππ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考察由三角函数性质求解析式,考察三角函数的图像变换,考察运算才能()()sin 0,0f x A x b A ωω=+>>的局部图象如下列图．〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕设,MOx NOx αβ∠=∠=，求()sin αβ+的值．【答案】〔1〕()4sin18xf x π=-；〔2〕5665. 【解析】 【分析】〔1〕观察图象得到b 的值，再利用函数的周期、振幅求得函数的解析式；〔2〕分别求出sin ,cos ,sin ,cos ααββ的值，再代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】〔1〕易得3(5)12b+-==-，∴3(1)4A =--=，∴()4sin 1f x x ω=-，281628T T ππωω=⇒==⇒=， ∴()4sin 18xf x π=-.〔2〕由图象得：34512sin ,cos ,sin ,cos 551313ααββ====，∴()3124556sin cos cos sin 51351365sin αβαβαβ+=⨯=+=+⨯.【点睛】此题考察三角函函数的图象与性质、两角和正弦公式的应用，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.〔1〕求ω的值；〔2〕求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及相应的x 的值；〔3〕假设()f x =，求25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】〔1〕2；〔2〕最小值-512x π=；最大值3，0x =；〔3〕1916【解析】 【分析】〔1〕由正弦函数的周期2T ωπ=，代入求解即可；〔2〕由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再求函数的值域即可； 〔3〕由有1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，再结合诱导公式化简求值即可.【详解】解：〔1〕因为函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，由2T ππω==，得2ω=.〔2〕()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 262x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭.于是，当26x ππ+=，即512x π=时，()f x 获得最小值-当266x ππ+=，即0x =时，()f x 获得最大值3.〔3〕因为()262f x x π⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1916=. 【点睛】此题考察了三角函数的周期，重点考察了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题.()2sin (sin cos )2f x x x x a =++-的图像经过点π(,1)4.〔1〕求a 的值以及()f x 的单调递减区间； 〔2〕当[,]22x ππ∈-时，求使()1f x <成立的x 的取值集合. 【答案】〔1〕a=1,()f x 的单调递减区间为37[,],88k k k Z ππππ++∈；〔2〕{|}24x x ππ-<< 【解析】 【分析】〔1〕根据函数f 〔x 〕的图象过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭求出a 的值，再化f 〔x 〕为正弦型函数，求出它的单调递减区间；(2)由()1f x <，得sin 242x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭,结合正弦函数图像，解三角不等式即可.【详解】解：〔1〕因为函数()()2sin sin cos 2f x x x x a =++-的图像经过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭，所以1222a =⨯-，解得1a = 又()()22sin sin cos 12sin 2sin cos 1f x x x x x x x =+-=+-1cos2sin2124x x x π⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭,由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递减区间为37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔2〕由()1f x <，得sin 242x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭ 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，532444x πππ-≤-≤故52444x πππ-<-<，解得：24x ππ-<< 故使()1f x <成立的x 的取值集合为{|}24x x ππ-<<.【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质的应用问题，也考察了三角恒等变换问题，是根底题．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．〔1〕求()f x 的图象的对称中心；〔2〕假设5,24x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域为[]1,2-，求m 的取值范围； 〔3〕设函数()()2f x gx n =-，假设存在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()03g x ≤≤，求n 的取值范围．【答案】〔1〕(,0),28k k Z ππ-∈;〔2〕11248m ππ≤≤;〔3〕542n -≤≤ 【解析】【分析】〔1〕直接解方程sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得到对称中心； 〔2〕作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象如下列图，观察图象可得m 的取值范围；〔3〕将问题转化为()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解问题，求出函数的最值，即可得答案； 【详解】〔1〕sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2,4x k k Z ππ+=∈，即,28k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的图象的对称中心(,0),28k k Z ππ-∈. 〔2〕作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象如下列图，当2sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，∴246B x ππ+=-或者7246Cx ππ+=，可得524Bx π=-，2141C x π=，当2sin 224x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，∴8G x π=，∴11248m ππ≤≤. 〔3〕由题意得：()023f x n ≤-≤在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解， ∴()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解，552,22424643x x πππππ⎡⎤∈-⇒-≤+≤⎢⎥⎣⎦，∴()[1,2]f x ∈-，∴()max [2]4f x =，()min 5[23]2f x -=-， ∴542n -≤≤. 【点睛】此题考察三角函的图象与性质、不等式有解问题，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意借助图形的直观性进展分析.。

山东省潍坊市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

山东省潍坊市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

高一下学期4月月考数学试题一、单选题 1．的值是（ ） 17cos 3πA ． BC ．D ．1212-【答案】C 【分析】由，应用诱导公式求值即可. 173233πππ=⨯-【详解】. 171cos cos(32)cos 3332ππππ=⨯-==故选：C2．已知向量，满足，，，则（ ） a b5a = 6b = 6a b ⋅=- cos ,a b = A ．B ．C ．D ．45-451515-【答案】D【分析】直接根据平面向量夹角的计算公式计算即可.【详解】因为，，， 5a = 6b = 6a b ⋅=-所以. 61cos ,565a b a b a b ⋅-===-⨯故选：D.3．与函数的图象不相交的一条直线是( )πy tan 2x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．x ＝ B ．x ＝－π2π2C ．x ＝D ．x ＝π4π8【答案】D 【详解】当时，，而的正切值不存在，所以直线与函数8x π=242x ππ+=2π8x π=24y tan x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象不相交 故选D 4．已知，则的值为（ ）tan 2α=sin 4cos 5sin 2cos αααα-+A ．B ．C ．6D ．1616-6-【答案】B【分析】根据商数关系化弦为切即可得解. 【详解】.sin 4cos tan 42415sin 2cos 5tan 21026αααααα---===-+++故选：B.5．已知向量，则“与共线”是“存在唯一实数使得”的（ ）,a b a b λa b λ=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】充分性根据验证；必要性直接证明即可. 0,0b a =≠【详解】当时，满足与共线，0,0b a =≠ a b但是不存在实数使得，λa b λ=故充分性不成立；存在唯一实数使得则与共线成立，λa b λ= a b 即必要性成立.故“与共线”是“存在唯一实数使得”的必要不充分条件. a b λa b λ=故选：B.6．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m ，内环弧长为1.2m ，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m ，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（ ）A ．2.58m 2B ．2.68m 2C ．2.78m 2D ．2.88m 2【答案】D【分析】利用扇形面积公式来求得扇环的面积.【详解】设扇形的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则， αm r m R 1.2m R r -=由题意可知，所以，1.2m, 3.6m r R αα⋅=⋅=() 4.8m R r α+=所以扇形内需要进行工艺制作的面积的估计值为：. 222111()()()4812288222S R r R r R r ...m αα=-=+-=⨯⨯=故选：D7．如图，在矩形中，，，为的中点，与交于点，则ABCD AB a = AD b = M CD BD AM N MN = （ ）A ．B ．C ．D ．1163a b -- 1163a b -1163a b +1163a b -+【答案】A【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果. 【详解】因为矩形，所以，所以，所以,又因为为ABCD //AB CD MND ANB DN DM NB AB=M CD 的中点，所以，即，因此，从而1122DM DC AB ==12DN DM NBAB ==12DN NB =，又因为，，()111111232363MN MD DN DB DA AB AB AB AB AD +=-+=-++=-=-AB a = AD b = 所以，1163M a b N =-- 故选：A.8．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）()()sin ,0,0,2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭RA ．函数为奇函数 712f x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．函数的图象关于点对称 ()f x ,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数在区间上为单调函数 ()f x 7,244ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．函数在区间上有12个零点 ()f x []0,6π【答案】D【分析】根据图象，利用最值、周期公式、零点，求得函数解析式，根据诱导公式以及余弦定理的奇偶性，可得A 的正误；根据整体思想，代入点，结合正弦函数的对称性，可得B 的正误；根据整体思想，求得括号整体的取值范围，结合正弦函数的单调性，可得C 的正误；根据整体思想，求得括号整体的取值范围，结合正弦函数的图象，可得D 的正误.【详解】根据函数的部分图象，可得()()sin ,0,0,2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭R ，所以，121,4312A πππω=⋅=-2ω=结合五点法作图，可得，得，，所以，22,3k k πϕππ⨯+=+∈Z 2,3k k πϕπ=+∈Z 2πϕ<3πϕ=可得，为偶函数，故A 错误； ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭77sin 2cos21263f x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，图象不关于对称，故B 错误；2sin 2sin 06633f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭在上，，根据正弦函数的性质在该区间上不单调，故C 错误； 7,244ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦52,346x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()f x 在区间内有6个周期长度，每个周期有2个零点，所以该区间内()37[0,6],2,,333x x f x ππππ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦有12个零点，故D 正确. 故选：D.二、多选题9．下列函数中，以为最小正周期的函数有（ ） 2πA ． B ． C ． D ． cos 2y x =sin2xy =sin 2y x =tan2x y =【答案】BD【分析】依次求出每个函数的周期即可. 【详解】，其最小正周期为， cos 2cos 2y x x ==22ππ=的最小正周期为，所以的最小正周期为，sin 2xy =4πsin 2x y =2π的最小正周期为，所以的最小正周期为，sin 2y x =πsin 2y x =2π的最小正周期为tan 2x y =212ππ=故选：BD10．下列能产生的图象的变换是（ ）()sin 22y x =-A ．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ()sin 2y x =-12B ．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ()sin 4y x =-12C ．将函数的图象沿x 轴向左平移3个单位； ()sin 25y x =-D ．将函数的图象沿x 轴向右平移3个单位. ()sin 24y x =+【答案】AD【分析】根据三角函数的平移、伸缩变换，结合选项求出新的函数解析式，即可求解. 【详解】A ：函数图象上所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的， sin(2)y x =-12得函数的图象，故A 正确；sin(22)y x =-B ：函数图象上所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的， sin(4)y x =-12得函数的图象，故B 错误；sin(24)y x =-C ：函数的图象沿x 轴向左平移3个单位， sin(25)y x =-得函数的图象，故C 错误； ()()sin 235sin 21y x x ⎡⎤=+-=+⎣⎦D ：函数的图象沿x 轴向右平移3个单位， sin(24)y x =+得函数的图象，故D 正确. sin[2(3)4]sin(22)y x x =-+=-故选：AD.11．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋R (1,A 转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足t P P (),x y ，则下列结论正确的是（ ）()()sin y f t R t ωϕ==+π0,0,2t ωϕ⎛⎫≥>< ⎪⎝⎭A ． π3ϕ=B ．当时，函数单调递增 []0,3t ∈()y f t =C ．当时，点的纵坐标越来越小511,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦P D ．当时， 5t =2PA =【答案】CD【分析】利用周期求出点所在角的终边对应的角，根据三角函数的定义可得P 33P A t t ππθθω=+=-，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可()2sin 2sin 33P y f t t ππθ⎛⎫===- ⎪⎝⎭【详解】因为，所以， (1,A ,23A OA πθ=-=因为旋转一周用时6秒，所以角速度， 263ππω==所以，33P A t t ππθθω=+=-所以根据三角函数的定义可得，()2sin 2sin 33P y f t t ππθ⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以，所以A 错误，3πϕ=-对于B ，当时，，则函数在此区间上不单调，所以B 错误， []0,3t ∈23333t ππππ-≤-≤对于C ，当时，，所以函数在上单调递减，所以点的纵坐标越511,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦32332t ππππ≤-≤511,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦P 来越小，所以C 正确，对于D ，当时， ，所以，因为，所以，所以5t =45333P πππθ=⨯-=(1,P -(1,A 2PA =D 正确， 故选：CD12．如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）ABC 13BD BC = 12AE AC =AD BE FA ．B ．1233AD AB AC =+12BF BE =C ．D ．:1:3BFD AFE S S =△△20AF BF CF ++= 【答案】BCD【分析】根据向量的三角形法则逐项计算判断即可．【详解】解：为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设三点共线，O 为线外一点，则，,,A B C ()1OB mOC m OA =+-即与前系数和为1， OA OC证：三点共线， ,,A B C ，AB mAC ∴= ，()OB OA m OC OA ∴-=- ．()1OB mOC m OA ∴=+- ，()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 故A 错；三点共线，,,B F E ，()()112AF AB AE AB AC λλλλ-∴=+-=+三点共线，,,A F D ，233AF AD AB AC μμμ∴==+ ，23132μλμλ⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩解得，1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122AF AB AE ∴=+ ∴ F 为BE 的中点，，故B 对；12BF BE ∴=， 111443BFD ABD ABC S S S ==⨯⋅△△△， 111222AFE ABE ABC S S S ==⨯⋅△△△，故C 对； :1:3BFD AFE S S ∴=△△取AB 中点G ，BC 中点H ，如下图， 则三点共线，,,G F H()()()()2AF BF CF AF BF BF CF FB FB F FA C ⎡⎤∴++=-++++=++⎣⎦，故D 对．()()220FG FH EA EC =-+=-+=故选：BCD ．三、填空题13．若，则___________.4sin 65πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】45【分析】由已知函数值，根据诱导公式即可求的值.cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】，又，cos cos sin 3626ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4sin 65πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴ ，4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭故答案为：.4514．已知，，其中，的夹角为，则在上的投影的数量为___________.1a = 2b = a b π3a b 【答案】##0.5 12【分析】根据投影的定义直接计算． 【详解】由题意得，在上的投影的数量为．a b π1cos ,1cos 32a ab =⨯=故答案为：.1215．已知函数，.则的最大值为___________.()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】1【分析】利用整体法，结合余弦函数的单调性即可求出函数的最值. 【详解】因为，所以，π02x ≤≤ππ5π2666x -≤-≤又函数在上单调递增，在上单调递减，cos y x =[]π,0-[]0,π所以，所以的最大值为1． πcos 216x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭()f x 故答案为：1.16．函数在区间上存在最小值.则实数的取值范围是()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦2-ω___________. 【答案】[)5,+∞【分析】由，得，再根据题意可得，从而可的答案.π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππππ,6636x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦ππ3π362ω-≥【详解】因为，所以，π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππππ,6636x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦因为函数在区间上存在最小值，()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦2-所以，解得，ππ3π362ω-≥5ω≥所以实数的取值范围是. ω[)5,+∞故答案为：.[)5,+∞四、解答题 17．求下列各式的值 (1). 25π25π25πsincos tan 634⎛⎫++- ⎪⎝⎭(2)()()()()()tan 150cos 570cos 1140tan 210sin 690-︒⋅-︒⋅-︒-︒⋅-︒【答案】(1) 0【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值即可. 【详解】（1） 25π25π25ππππsin cos tan sin cos tan 634634⎛⎫⎛⎫++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； πππ11sincos tan 1063422=+-=+-=（2）()()()()()tan 150cos 570cos 1140tan 210sin 690-︒⋅-︒⋅-︒-︒⋅-︒()()()()()tan 18030cos 54030cos 336060tan 18030sin 236030-︒+︒⋅-︒-︒⋅-⨯︒-︒=-︒-︒⋅-⨯︒+︒()tan 30cos30cos 60tan 30sin 30︒⋅-︒⋅︒=-︒⋅︒==18．平面内给定三个向量，，．()3,2a = ()1,2b =-r()4,1c = (1)若，求实数；()()//2a kc b a +-k (2)若满足，且的坐标．d ()()//d c a b -+ d - d【答案】(1) 1613k =-(2)或 ()3,1-()5,3【分析】（1）易得，再根据，利用共线向量定()()=34,2,25,2+++-=-a kc k kb a ()()//2a kc b a +- 理求解；（2）设，得到，，再根据，. (),d x y = ()4,1d c x y -=-- ()2,4a b +=()()//d c a b -+ d - 【详解】（1）解：因为，，， ()3,2a = ()1,2b =-r()4,1c = 所以， ()()=34,2,25,2+++-=-a kc k kb a 因为，()()//2a kc b a +- 所以， ()()()234520k k ⨯+--⨯+=解得； 1613k =-（2）设，(),d x y =则，， ()4,1d c x y -=-- ()2,4a b +=因为，()()//d c a b -+d - 所以， ()()()()2244210415x y x y ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩解得或，31x y =⎧⎨=-⎩53x y =⎧⎨=⎩所以或. ()3,1=- d ()5,3=d 19．已知函数.()π3sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的值.5π8f ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)若，求的值.π94125f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()πcos sin π211π9πcos sin 22αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1) (2)43±【分析】（1）根据函数解析式，利用诱导公式化简计算即可求解； （2）根据函数解析式，利用诱导公式化简计算可得，由同角的三角函数关系求得3cos 5α=，再次利用诱导公式化简计算即可求解.4tan 3α=±【详解】（1）因为，()π3sin46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以5π5ππ7ππ3sin 3sin 3sin 82633f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由，得，ππ93sin 3cos 41225f ααα⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos 5α=所以，所以.4sin 5α==±4tan 3α=±故. ()2πcos sin πsin sin sin 42tan 11π9πππsin cos 3cos sin cos sin 2222αααααααααααα⎛⎫--- ⎪⋅⎝⎭==-=-=±⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20．已知角，的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点，αβ12A ⎛ ⎝21,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭分别在，的终边上. αβ(1)求，，的值；sin βcos βtan β(2)设函数，求的最小正周期、对称轴、对称中心. ()()πf x x α=+()f x 【答案】(1)1sin tan 2βββ===-(2)，对称轴为，对称中心为2T =1,Z 6x k k =+∈1,0,Z 3k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可；（2）先根据三角函数的定义求出，再根据正弦函数的周期性和对称性求解即可.α【详解】（1）因为点在的终边上，21,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭β所以； 115sin tan 225βββ======--（2）因为点在的终边上，12A ⎛ ⎝α所以为第一象限角，tanα=α则，π2π,Z 3k k α=+∈则，()()ππππ2ππ33f x x x k x α⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝=+=++⎝=⎭⎭+所以函数的最小正周期， ()f x 2π2πT ==令，得， ππππ32x k +=+1,Z 6x k k =+∈即的对称轴为， ()f x 1,Z 6x k k =+∈令，得，πππ3x k +=1,Z 3x k k =-+∈即的对称中心为.()f x 1,0,Z 3k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭21．已知函数.π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；()f x π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦π23x -x()f x(2)解不等式. ()1f x ≥【答案】(1)答案见解析(2) π7π,π()412k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z【分析】（1）根据正弦函数的五点作图法可完成表格，利用五点作图法可得图象； （2）根据函数图象列式可求出结果. 【详解】（1）完成表格如下：π23x -π2π3π2 2πx6π5π12 2π3 11π127π6()f x 02 02-0在区间上的图象如图所示： ()f x π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）不等式，即.()1f x ≥1sin 232x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭由， ππ5π2π22π,636k x k k +≤-≤+∈Z 解得. π7πππ,412k x k k +≤≤+∈Z 故不等式的解集为. ()1f x ≥π7ππ,π()412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 22．已知函数，周期为.()πsin 6f x x b ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π(1)求函数的单调递增区间；()f x (2)当时，函数有且只有一个零点，求实数b 的取值范围.7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)；πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2). {}112⎛-⋃- ⎝【分析】（1）利用公式求出，结合整体代换法计算即可求解；2πT ω=ω（2）根据正弦函数的单调性可得当或时，函数只有一个零点，π7π0312f f ⎛⎫⎛⎫>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 进而列出关于b 的不等式，解之即可.【详解】（1）因为函数的周期为，所以， ()f x π2π2πω==所以，()πsin 26f x x b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令， πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈得， ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以函数的递增区间为；()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，()πsin 26f x x b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由，得， 7π012x ≤≤ππ4π2663x ≤+≤当即时，函数单调递增， πππ2,662x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 当即时，函数单调递减，且， ππ4π2,623x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π7π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当或时，函数只有一个零点，π7π0312f f ⎛⎫⎛⎫>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 即或， 4π5πsinsin 36b ≤-<10b +=解得. 12b -<≤1b =-故实数b 的取值范围为.1({1}2--。

辽宁省沈阳市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

辽宁省沈阳市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

高中部高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．（ ）()osin 1020=-A ． BC ．D ．1212-【答案】B【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】. ()()o sin 1020sin 603603sin 60-=︒-︒⨯=︒=故选：B.2．已知向量的夹角为，且，则（ ） ,a b 23π||3,||4a b ==2a b += A ．49 B ．7 C D【答案】B【分析】根据向量数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可a b ⋅a + 得；【详解】解：因为向量的夹角为，且，所以,a b 23π||3,||4a b ==，所以21346o 32c s a b a b π⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⋅=⎭a += ；7==故选：B3．函数的图象的对称中心是tan(2)4y x π=+A ． B ． (,0)4k k Z ππ-∈(,0)24k k Z ππ-∈C ． D ． (,0)28k k Z ππ-∈(,0)48k k Z ππ-∈【答案】D【详解】试题分析：令2x+=，k ∈z ，求得x=-，k ∈z ．4π2k π4πk 8π故函数y ＝tan(2x+)的图象的对称中心是（-，0），k ∈z ， 4π4πk 8π故选D ．【解析】正切函数的奇偶性与对称性．4．当时，若，则的值为（ ） ()0,πθ∈2π3cos 35θ⎛⎫-=-⎪⎝⎭πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ． D ．45-4545±35【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， ()0,πθ∈()π,0θ-∈-所以， 2ππ2π,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因为，所以， 2π3cos 035θ⎛⎫-=-<⎪⎝⎭2ππ2π,323θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以， 2π4sin 35θ⎛⎫-== ⎪⎝⎭又因为， π2ππ()33θθ+=--所以. π2π2π4sin sin πsin 3335θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选:B.5．的值为（ ）2π4πsin sin sin 33x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ． B ．C ．D ．01212-2【答案】A【分析】直接利用诱导公式和两角和的正弦展开公式求解即可. 【详解】原式 2π2π4π4πsin sin coscos sin sin cos cos sin 3333x x x x x =++++ππππsin sin cos πcos sin πsin cos πcos sin π3333x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ππππsin sin coscos sin sin cos cos sin 3333x x x x x =-+--11sin sin sin 0.22x x x x x =--=故选:A.6．电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度（ ）． α=注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等； （ⅱ）取等于3进行计算． πA ．30密位 B ．60密位 C ．90密位 D ．180密位【答案】A【分析】求出1密位对应的弧度，进而求出转过的密位. 【详解】有题意得：1密位=，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相2π160001000=等，所以，因为，所以迫击炮转动的角度为30密位. 5431800100α==31301001000÷=故选：A7．已知为所在平面内一点，且满足，则点（ ）O ABC 22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ O A ．在边的高所在的直线上 B ．在平分线所在的直线上 AB C ∠C ．在边的中线所在直线上 D ．是的外心AB ABC 【答案】A【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可得，进而可判断. BA OC ⊥【详解】由得，所以22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ 220BA OA BC AB OB AC ⋅+-⋅-= ,()()()00BA OA BC AC BC AC BA OB BA OA OB BC AC⋅+⋅-+⋅++⋅++⇒==,所以，所以在边的高所在的直线上， 20BA OC ⋅= BA OC ⊥O AB 故选：A8．设，，若函数恰好有三个不同的零点，分别为、()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x a =-1x 、，则的值为（ ）2x ()3123x x x x <<1232x x x ++A ． B ．C ．D ．π34π32π74π【答案】C【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由，得对称轴， ()242x k k Z πππ+=+∈()28k x k ππ=+∈Z ，由，解得，90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦90288k πππ≤+≤124k -≤≤当时，对称轴，时，对称轴. 0k =8x π=1k =58x π=由得，()0f x a -=()f x a =若函数恰好有三个不同的零点，等价于函数与的图象有三个交点，()y f x a =-()y f x =y a =作出函数的图象如图，得，()f x ()0f 1a ≤<由图象可知，点、关于直线对称，则， ()()11,x f x ()()22,x f x 8x π=124x x π+=点、关于直线对称，则， ()()22,x f x ()()33,x f x 58x π=2354x x π+=因此，. 1231223532442x x x x x x x πππ++=+++=+=故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.二、多选题9．若满足，，则可以是（ ） ,αβ1sin 2α=-1cos()2αβ-=βA ．B ．C ．D ．6π2π56ππ【答案】AC【分析】利用特殊角的三角函数值求解. 【详解】因为，， 1sin 2α=-所以或， 112,6k k Z παπ=-+∈2252,6k k Z παπ=-+∈因为， 1cos()2αβ-=所以或，332,3k k Z παβπ-=+∈442,3k k Z παβπ-=-+∈所以()131322,,2k k k k Z πβπ=-+-∈或， ()2323722,,6k k k k Z πβπ=-+-∈或，()141422,,6k k k k Z πβπ=+-∈因为范围不定， ,αβ当时，，当时，=，14k k =6πβ=231k k -=β56π故选：AC10．已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（ ）a b cA ．，B ．可能成立R λ∃∈()a b a b λ+=⋅()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r C ．若，则D ．若，则或a b b c ⋅=⋅r r r ra c = 1ab ⋅=1a = 1b = 【答案】ACD【分析】利用平面向量积的定义可判断A 选项；利用特例法可判断BCD 选项. 【详解】仍是向量，不是向量，A 错； ()+a b λ a b ⋅不妨取，，，则， ()1,1a =r()2,2b = ()3,3c = ()()()43,312,12a b c ⋅⋅== ，此时，B 对；()()1212,12a b c a ⋅⋅==()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 若，，，则，但，C 错；()1,0b = ()3,2a = ()3,3c = 3a b b c ⋅=⋅= a c ≠若，，则，但，，D 错. ()2,1a = ()1,1b =-r 1a b ⋅=1a > 1b > 故选：ACD.11．在平面四边形ABCD 中，，，则（ ）2221AB BC CD DA DC ===⋅=12⋅= BA BC A ． B ．21AC = CA CD CA CD +=-C ．D ．AD =BD CD ⋅= 【答案】ABD【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】由已知可得， 1AB BC CD === 又由，可得，12⋅= BA BC 3B π=所以△ABC 为等边三角形，则 ，故A 正确；21AC = 由 ，得， 2CD DA DC =⋅()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅= 所以，则，故B 正确；AC CD ⊥CA CD CA CD +=-根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系，则，，， 1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭12D ⎫⎪⎪⎭，， 12BD ⎫=⎪⎪⎭ 12CD ⎫=⎪⎪⎭所以D 正确；BD CD ⋅ 故选：ABD.12．设函数的最小正周期为，且过点，则()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>≤ ⎪⎝⎭π下列正确的为（ ） A ．4πϕ=-B ．在单调递减()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．的周期为 (||)f x πD ．把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为()f x2π()g x ()2g x x =【答案】BC【分析】把函数式化为一个角的一个三角函数形式，根据三角函数的性质求出参数值，然后判断各选项．【详解】由已知，())))4f x x x x πωϕωϕωϕ⎤=++=++⎥⎦所以，，2T ππω==2ω=又，，又，所以，A 错误；()4f x πϕ+=242k ππϕπ+=+Z k ∈2πϕ≤4πϕ=，时，，由余弦函数性质得B 正确；())22f x x x π=+=0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,x π∈是偶函数，，周期为，C 正确；()f x (||)()f x f x =π把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数解析式这()f x 2π，D 错．()2())22g x x x x ππ+=+=故选：BC ．三、填空题 13__________.=【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为，()()2220cos 20sin 20cos 20sin 20cos s 0i 2n -=-+，()cos155cos 25cos 4520=-=-- ，20sin 20=-cos 20sin 20=-==()()cos 20sin 2021cos 20sin 202+==+故答案为：2.14．已知函数在区间上的最小值为-1，则__________．sin (0)y x x ωωω=+>[0,6πω=【答案】5【详解】整理函数的解析式有：，2sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,,,63363x x πππωππω⎡⎤⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 函数的最小值为，则：. 1-7,5636ωπππω+=∴=15．已知，又在方向上的投影向量为，则的值为__________.||4,||3,6a b a b ==⋅=a b c ()c a b ⋅+ 【答案】10【分析】由已知先求出在方向上的投影向量的，再计算的值.a b c()c a b ⋅+ 【详解】由已知，可得，||4,||3,||||cos 6a b a b a b θ==⋅=⋅⋅=1cos 2θ=所以在方向上的投影向量， a b 2cos 3b c a b b θ=⋅⋅=所以.()2222263103333c a b c a c b b a b b ⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯= 故答案为：1016．如图，在中，已知，点分别在边上，且ABC ∆4,6,60AB AC BAC ==∠=︒,D E ,AB AC ，点为中点，则的值为_________________.2,3AB AD AC AE == F DE BF DE【答案】4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 【解析】向量数量积四、解答题17．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边与单位圆交于点α，角的终边所在射线经过点. 34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭β(,)(0)Q m m m -<（1）求的值；sin tan αβ⋅（2）求. 223sin sin 22sin()sin 2sin cos ππαβπαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++【答案】（1）；（2）. 4574-【分析】（1）根据三角函数的定义求和的值，即可求解. sin αtan β（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可求解. 【详解】（1）点到原点O 的距离，P 11r =由三角函数定义知4sin 5α=-由角的终边所在射线经过点，由知，β(,)m m -0m<|||OQ m =由三角函数定义知，sinβ==cos β==则 tan 1β=-所以. 4sin tan 5αβ⋅=（2） 22223sin sin cos cos 22sin()sin 2sin cos sin sin 2sin cos ππαβαβπαβββαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+++-+21tan tan 2tan αββ=-++由三角函数定义知，，所以且4sin 5α=-3cos 5α=-4tan 3α=tan 1β=-所以原式. 3174124=-+=--18．已知向量．(1,1),(3,1)a b ==-(1)若有，求值；(2)()a b a b λ-⊥+2()a b λ+ (2)若，向量与的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．(2,)c m = 2a b - c 【答案】(1)136(2)6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，，再由2(5,3)a b -=- (3,1)a b λλλ+=+-代入坐标运算求出，再求即可；(2)()0a b a b λ-⋅+= λ2()a b λ+ （2）由向量与的夹角为钝角，首先满足，再排除与的夹角为平角的2a b - c (2)0a b c -⋅< 2a b -c 情况即可得解.【详解】（1）由题可得：，2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-，(1,1)(3,1)(3,1)a b λλλλ+=+-=+-因为，所以有，(2)()a b a b λ-⊥+(2)()0a b a b λ-⋅+= 所以，解得，515330λλ--+-=9λ=- (1,1)(3,1)=(3,1)(6,10)a b λλλλ+=+-+-=--故的值为136．2()a b λ+ （2） 2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-向量与的夹角为钝角，2a b -c 首先满足，得：，所以．(2)0a b c -⋅<3100m -<103<m 其次当与反向时，，所以． (2)a b -c650m +=65m =-所以且，即m 的取值范围是．103<m 65m ≠-6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 19．如图：四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠ABC =，E 为AO 的中点，（3πCF CD λ=01λ≤≤）．(1)求；BE BD ⋅ (2)求当取最小值时，的值． EF λ【答案】(1)24(2) 38λ=【分析】（1）由平行四边形法则结合数量积公式得出；BE BD ⋅ （2）当时，取到最小值，再由直角三角形的边角关系得出，进而得出的值．EF CD ⊥EF CF λ【详解】（1）， BD BA BC =+ 11312244BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 223144BE BD BA BA BC BC ⋅=+⋅+∴ 1244cos 4243π=+⨯⨯+=（2）当时，取到最小值，此时 EF CD ⊥EF 33cos 602CF ⋅=︒= ∴33248λ==20．已知，，．()cos ,5sin m x x = ()sin ,cosn x x x =- ()f x m n =⋅+ (1)将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求的解析式及最小正周()f x π3()g x ()g x 期； (2)当时，求函数的单调递增区间、最值及取得最值时的值． ,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ()g x x 【答案】(1)，最小正周期为 ()π6sin 23g x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭π(2)函数的单调增区间为；的最大值为，此时；的最小值为，()g x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 6π12x =()g x 6-此时 512x π=-【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数，再进行伸()f x 缩平移可得及其图象性质；()g x （2）利用整体代入法可得单调区间，进而得最值.【详解】（1）由已知得， ()()cos sin5sin cos x x x x x f x =⋅-++2cos sin5sin cos x x x x x =⋅-+⋅+26cos sin x x x =⋅-+1cos 23sin 22x x +=-+3sin 22x x =-． 6sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，()f x 3π()g x 所以． ()6sin 26sin 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-=+⎭⎝⎭所以的最小正周期． ()g x 22T ππ==（2）由（1）得，当时，． ()6sin 23g x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦242,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦令，解得， 2232x πππ-≤+≤51212x ππ-≤≤所以函数的单调增区间为， ()g x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以的最大值为，此时，；()g x 6232x ππ+=12x π=的最小值为，此时，． ()g x 6-232x ππ+=-512x π=-21．已知函数 的部分图像如图所示. ()()cos (0,0,)2f x A x a πωϕωϕ=+>><(1)求的解析式； ()f x(2)设为锐角，的值. ,αβ()cos sin ααβ=+=2f β⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）. ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭713-【详解】试题分析：（1）根据函数图象求出，和的值即可；（2）利用两角和差的余弦公式A ωϕ和正弦公式进行化简求解．试题解析：(1)由图可得, ππ3πω2f cos 0,ω88844A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+⇒==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. ()1A cos ,244A f x x ππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭(2)为钝角， ()cos sin αααβαβ==>+=∴+， ()()125cos sin sin cos 1313αββαβαβ+==+-===，. 7cos sin 2413f βπβββ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析()sin y A x ωφ=+()sin y A x ωφ=+式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小,,A ωφA 值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，ω2T πω=2T 4T φA ω通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.22．已知函数()2sin 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调区间 ()f x （2）将函数的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到()f x 6π函数的图象.若对任意的，不等式成立，求实数()h x 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦的取值范围.p【答案】（1）增区间；（2）. 5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (,6p ∈-∞+【分析】（1）将函数转化为，然后利用正弦函数的性质求解； ()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据平移变换和伸缩变换得到，然后将不等式()sin h x x =()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦恒成立，转化为，成立求解. ()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【详解】（1） ()2sin 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 2sin 2cos sin cos 2332x x x ππ+=+-， 1sin 2222x x x =， 1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭由于的单调增区间为，， sin y θ=2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 令，， 22,2322x k k πππππ⎡⎤-∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 得：，， 5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ∴单调增区间为，. ()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z（2）， ()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位得， 6πsin 2sin 263x x ππ⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：， 1sin 2sin 2x x ⋅=故，()sin h x x =不等式， ()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦即， ()sin 1sin 1sin 22p x x x π⎡⎤⎛⎫⋅-+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，成立， ()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此时，，， ()sin 0,1x ∈()cos 0,1x ∈(]sin 20,1x ∈∴，，()()sin 1cos 10x x -->sin 20x >当时，不等式恒成立，0p ≤当时，， 0p >()()maxsin 1cos 11sin 2x x p x --⎡⎤>⎢⎣⎦令，()()()sin 1cos 1sin 2x x F x x --=sin cos 1cos sin 11cos sin 2sin cos 22sin cos xx x x x x x xx x +----==+设，则， cos sin 4t x x x π⎛⎫=+=+∈⎪⎝⎭22sin cos 1x x t =-则， 211113(0,21212t y t t -=+=-∈-+所以， 132p >06p <<+综上，. (,6p ∈-∞+。

湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷含答案

湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷含答案

武汉2023级高一4月月考数学试卷（答案在最后）出题人：一、单选题1.与垂直的单位向量是（）A.(,55±B.(55±C.,55±D.,55±【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出与垂直的一个向量，再求出其单位向量即可.【详解】设与垂直的向量(,)a x y =，0=，令x =y =，即a =，与a共线的单位向量为5)||,55a a ±===±±，所以与垂直的单位向量是,55±.故选：D2.在ABC 中，D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，设AB a =，AC b =，则AE = （）A.1124a b + B.1124a b -C.1142a b +D.1142a b -【答案】C 【解析】【分析】根据图形特征进行向量运算即可.【详解】因为D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，所以1111122242A C E C B ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，又因为AB a =，AC b =，所以1142AE a b =+ .故选：C3.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.12B.33C.23D.22【答案】B 【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.4.已知0a >，()sin sin3f x x a x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x ＝m 是()f x 的一条对称轴，则m 的最小值为（）A.6π B.3πC.23π D.56π【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的性质可得221322a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可得,Z 3m k k ππ+=∈，即得.【详解】∵()1sin sin sin cos 322f x x a x a x x π⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2213322a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0a >，∴2a =，∴()12sin cos 223f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又x ＝m 是()f x 的一条对称轴，∴,Z 3m k k ππ+=∈，即,Z 3m k k ππ=-∈，∴m 的最小值为3π.故选：B.5.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5a b ==，8c =，I 是ABC 内切圆的圆心，若AI xAB y AC =+，则x y +的值为（）A.203B.103 C.32D.1318【答案】D 【解析】【分析】计算出ABC 的内切圆半径，以AB 直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可求得x 、y 的值，即可得解.【详解】5a b == ，8c =，所以，ABC 内切圆的圆心I 在AB 边高线OC 上（也是AB 边上的中线），4OA OB ∴==，3OC ===，以AB 直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0A -、()4,0B 、()0,3C，设ABC 的内切圆的半径为r ，根据等面积法可得：()1122a OC abc r ⋅=++，解得3848553r ⨯==++，即点40,3I ⎛⎫⎪⎝⎭，则()8,0AB = ，()4,3AC = ，44,3AI ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为AI xAB y AC =+ ，则844433x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得51849x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1318x y +=.故选：D.6.在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若1cos 2cos cos C A B -=，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】B 【解析】【分析】利用三角形内角和定理及三角恒等变换求得三角形角的关系，再判断三角形的形状作答.【详解】在ABC 中，()C A B π=-+，则cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，而1cos 2cos cos C A B -=，则有cos cos sin sin 1A B A B +=，即cos()1A B -=，因0,0A B ππ<<<<，即A B ππ-<-<，因此，0A B -=，即A B =，所以ABC 是等腰三角形.故选：B7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin cos()62A A π++=，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是A.[6,8) B.[6,8]C.[4,6)D.(4,6]【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得32sin A π+=（，结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =-，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．【详解】∵ sin 62A cos A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1222sinA cosA sinA ∴+-=，可得：32sin A π+=（），40333A A ππππ∈+∈ （，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=，∵4b c +=，∴由余弦定理可得222222163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），∵由4b c +=，b c +≥，得04bc ≤＜，∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，）．故选A．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．8.向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量1e ，2e是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点．对于α内任意一点P ，若()12,OP xe ye x y =+∈R，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标．若点A ，B 的广义坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，关于下列命题正确的（）A.点()1,2M 关于点O 的对称点不一定为()1,2M '--B.A ，BC.若向量OA平行于向量OB，则1221x y x y -的值不一定为0D.若线段AB 的中点为C ，则点C 的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可.【详解】对于A ，122OM e e =+，设()1,2M 关于点O 的对称点为(),M x y '，则12122OM OM e e xe ye '=-=--=+，因为1e ，2e 不共线，所以12x y =-⎧⎨=-⎩，A 错误；对于B ，因为()()21221112211212AB OB OA x e y e x e y e x x e y y e =-=+--=-+-，所以AB =，当向量1e ，2e 是相互垂直的单位向量时，A ，BB 错误；对于C ，当OA 与OB 中至少一个是0时，结论成立；当OA 与OB 都不为0 时，设OA OB λ=（0λ≠），有11122122x e y e x e y e λλ+=+ ，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，所以1221x y x y =，C 错误；对于D ，()()12121112212212112222x x y y OC OA OB x e y e x e y e e e ++=+=+++=+，所以线段AB 中点C 的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确故选：D二、多选题9.函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.)3π(2y f x =+是奇函数C.π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D.若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,66t ∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(26f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin(cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin(cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,66t ∈，D 正确.故选：ACD10.设点M 是ABC 所在平面内一点，下列说法正确的是（）A.若AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为等边三角形B.若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点C.过M 任作一条直线，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC 的垂心D.若2AM AB AC =-，则点M 在边BC 的延长线上【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.【详解】对于选线A ，如图作BC 的中点D ，连接AD ，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v，得()()20BC AB CA BC AB AC BC AD ⋅-=⋅+=⋅= ，即BC AD ⊥，结合三角形性质易知，AB AC =，同理AB BC =，BC AC =，故ABC 的形状为等边三角形，故A 正确；对于选项B ，由1122AM AB AC =+ ，得11112222-=-AM AB AC AM ，即BM MC = ，因此点M 是边BC 的中点，故B 正确；对于选项C ，如图当l 过点A 时，0AD =，由0AD BE CF ++= ，得0BE CF +=，则直线AM 经过BC 的中点，同理直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，因此点M 是ABC 的重心，故C 错误；对于选项D ，由2AN AB AC =- ，得AN AB AB AC -=- ，即BN CB =，因此点M 在边CB 的延长线上，故D 错.故选：AB.11.ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且2a =，AB AC ⋅=，下列选项正确的是（）A.3A π=B.若3b =，则ABC 有两解C.若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】由数量积的定义及面积公式求得A 角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC 选项，利用1()2AD AB AC =+，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D ．【详解】因为AB AC ⋅= ，所以1cos sin 2bc A bc A ==，tan 3A =，又(0,)A π∈，所以6A π=，A 错；若3b =，则sin b A a b <<，三角形有两解，B 正确；若ABC 为锐角三角形，则02B π<<，62A B B ππ+=+>，所以32B ππ<<，sin 12B <<，sin sin b aB A =，sin 4sin 4)sin a B b B A==∈，C 正确；若D 为BC 边上的中点，则1()2AD AB AC =+，222222111()(2cos )()444AD AB AC c bc A b b c =+=++=++ ，又222222cos 4a b c bc A b c =+-=+-=，224b c +=+，由基本不等式得2242(2b c bc bc =+-≥-=-，4(2bc ≤=+，当且仅当b c =时等号成立，所以21(4)1742AD bc ⎡⎤=+=+≤+⎣⎦ 所以2AD ≤+ ，当且仅当b c =时等号成立，D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得sin B ，然后根据,a b 的大小关系判断B 角是否有两种情况即可．三、填空题12.如图，ABC 是等边三角形，边长为2,P 是平面上任意一点．则()PA PB PC ⋅+的最小值为__________．【答案】32-【解析】【分析】取BC 的中点D ，AD 的中点O ，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】在边长为2的在ABC 中，取BC 的中点D ，连接AD 并取其中点O ，连接PO ，则1322OD AD ==，于是)22()()(PA PB PC PA PD PO OA PO OD ⋅+=⋅=+⋅+ 222332()()222()22PO OD PO OD PO OD =-⋅+=-≥-⨯=- ，当且仅当点P 与点O 重合时取等号，所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为32-.故答案为：32-13.已知向量31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2b = ，26a b -= ，a b ⋅=__________；b 在a 上的投影向量的坐标为__________．【答案】①.12##0.5；②.31,44⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求a r ，根据向量的模与数量积的关系由条件26a b -= a b ⋅ ，再由投影向量的定义求b 在a上的投影向量的坐标.【详解】因为31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1a =，由26a b -= 226a b -= ，所以()()22446aa b b-⋅+=，即4446a b -⋅+=所以12a b ⋅= ，所以b 在a上的投影向量为131,244a a b a aa ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎭⋅⎝．故b 在a上的投影向量的坐标为31,44⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：12；31,44⎛⎫⎪⎝⎭.14.已知正ABC 的边长为1，中心为O ，过O 的动直线l 与边AB ，AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ=，AN AC μ= ，BD DC =．（1）若2AN NC = ，则AD BN ⋅=________.（2）AMN 与ABC 的面积之比的最小值为__________.【答案】①.14-##0.25-②.49【解析】【分析】根据12()()23AB AC A C A D BN A B ⋅=+⋅-，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得1133AO AM AN λμ=+ ，根据三点共线可得113λμ+=，利用三角形的面积公式可得AMN ABCS S λμ= ，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）112()()()()223AB AC AN AB AB A AC AC AB D BN ⋅=+⋅-=+⋅-2211211121()(1)23323234AB AC AC AB =-⋅+-=⨯-⨯+-=- ；（2）因为2111()3233AO AB AC AB AC =⨯+=+ ，所以1133AO AM AN λμ=+，因为M ，O ，N 三点共线，故11133λμ+=，即113λμ+=，又因为1||||sin 21||||sin 2AMN ABC AM AN AS S AB AC A λμ⋅⋅==⋅⋅ ，而(],0,1λμ∈，113λμ+=，则113λμ+=≥，即49λμ≥，当且仅当23λμ==时取等号，所以AMN 与ABC 的面积之比的最小值为49.故答案为：14-；49.四、解答题15.已知向量()cos ,2sin a x x =，()2cos b x x = ，函数()f x a b =⋅.（1）若()0115f x =，且0ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求0cos2x 的值；（2）将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，解不等式()12g x ≥.【答案】（1）310-（2）ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简()f x ，依题意可得0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出0πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后由00ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式计算可得；（2）根据三角函数的变换规则求出()g x 解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为()cos ,2sin a x x =，()2cos b x x = ，函数()f x a b =⋅，所以()22cos cos cos 212f x x x x x x=+=++12cos 2sin 2122x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()0115f x =，所以0π112sin 2165x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0ππ,63x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以0ππ5π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以0π4cos 265x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以0000ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210-=-⨯+⨯=.【小问2详解】将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位得到πππ2sin 212sin 21666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将π2sin 216y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向下平移1个单位得到π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后将π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的所有点的纵坐标变为原来的12得到πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()πsin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()12g x ≥，即π1sin 262x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，令0k =可得ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1k =-可得5ππ,62x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时不等式()1g 2x ≥的解集为ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若()2253a b bc -=，5sin 8sin C B =，∠BAC 的平分线交BC 于D ．（1）求∠BAC ；（2）若5AC =，求AD ．【答案】（1）π3（2）13【解析】【分析】（1）利用所给等式及正弦定理用b 表示a 、c ，再利用余弦定理求出cos BAC ∠即可得解；（2）求出各边长度进而利用余弦定理求出cos C ，再由πsin sin π6ADC C ⎛⎫∠=--⎪⎝⎭求出sin ADC ∠，在ADC △中利用正弦定理即可求得AD .【小问1详解】∵5sin 8sin C B =，由正弦定理得58c b =，即85c b =，代入已知()2253a bbc -=，整理可得75a b =，∴22222287155cos 82225b b b bc a BAC bc b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，结合0πBAC <∠<，可得π3BAC ∠=．【小问2详解】因为5AC b ==，于是由（1）得7a =，8c =．根据余弦定理得2225781cos 2577C +-==⨯⨯，进而可得sin 7C ==，又∴ππ1113sin sin πsin 66272714ADC C C ⎛⎫⎛⎫∠=--=+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC AD ADC C =∠，即513147=，解得13AD =．17.如图，在平行四边形ABCD中，13AM AD=，令AB a=，AC b=.（1）用,a b表示AM，BM，CM；（2）若2AB AM==，且10AC BM⋅=，求cos,a b.【答案】（1）()13AM b a=-，1433B b aM=-，1233CM a b=--（2）68【解析】【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可.【小问1详解】因为AB a=，AC b=，且ABCD是平行四边形，所以BC AC AB b a=-=-，所以()1133AM BC b a==-，所以()114333BM AM AB b a a b a=-=--=-，所以()14123333CM BM BC b a b a a b=-=---=--.【小问2详解】方法一：由（1）知()114,333A BM b a M b a=-=-，又,10,2AC b AC BM AB AM=⋅===，所以()14110,2,2333b b a b aa⎛⎫⋅-=-==⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b-⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==，所以cos ,68a b a b a b⋅==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD BC ==，因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+⨯=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯+= ，又2,a b ====，所以34cos ,68a b a b a b⋅== .18.如图，扇形ABC 是一块半径2r =（单位：千米），圆心角π3BAC ∠=的风景区，点P 在弧BC 上（不与B ，C 重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直于点Q ，街道PR 与AC 垂直于点R ，线段RQ 表示第三条街道．记PAB θ∠=．（1）若点P 是弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）通过计算说明街道RQ 的长度是否会随θ的变化而变化；（3）由于环境的原因，三条街道PQ PR RQ ,,每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值．【答案】（1）2+（2）RQ =θ的变化而变化.（3）最大值为2W =（万元)【解析】【分析】（1）易知PA 平分BAC ∠，可得30θ= ，即可得求得各街道长；（2）写出PQ ，PR 的表达式，利用余弦定理可得RQ =（3）结合各街道单位效益可得经济总效益为00sin 2044W θθ=++出最大值.【小问1详解】根据题意可得若点P 是弧BC 的中点，可得30PAB θ∠== ，此时sin sin 301PQ r r θ=== ，πsin sin 3013PR r r θ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，而π2ππ33RPQ ∠=-=，由余弦定理可得2222π2cos 3RQ PR PQ PR PQ =+-⋅，即可得RQ =；所以三条街道的总长度为2PQ PR RQ ++=；【小问2详解】在Rt PAQ 中可得2sin PQ θ=，同理π2sin 3PR θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用余弦定理可得2222π2cos3RQ PR PQ PR PQ =+-⋅22ππ2π4sin 4sin 22sin 2sin cos333θθθθ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ1ππ4sin cos cos sin 4sin 22sin 2sin cos cos sin 33233θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-++⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222cos sin cos 4sin cos 2sin 3θθθθθθθθ+-++-=22cos 3sin 33θθ+==；可得RQ =因此街道RQ 的长度为定值θ的变化而变化.【小问3详解】依题意可得这三条街道每年能产生的经济总效益为：π300200400600sin 400sin 4003W PQ PR RQ θθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭ππ600sin 400sin cos cos sin33θθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭200sin 4600sin 00sin 200θθθθθ=+=++-+θθ⎫=+⎪⎪⎭()θϕ=++，其中cosϕϕ==当()sin 1θϕ+=时，W 的取值最大，最大值为2W =(万元).19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）233-（3）2+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z ===，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=--⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。

辽宁省沈阳市高级中学高一下学期4月月考数学试题(解析版)

辽宁省沈阳市高级中学高一下学期4月月考数学试题(解析版)

高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（ ） A ．第一象限角一定是锐角 B ．终边相同角一定相等 C ．小于90°的角一定是锐角 D ．钝角的终边在第二象限【答案】D【分析】根据象限角和终边相同的角，以及锐角和钝角的定义，判断选项中的命题是否正确即可.【详解】对于A ，第一象限角是，第一象限角不一定是锐角，{}|36036090Z k k k αα︒︒︒⋅<<⋅+∈，故A 错误；对于B ，终边相同角不一定相等，它们可能差，故B 错误； 360Z k k ︒⋅∈，对于C ，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C 错误； 对于D ，钝角是大于90°且小于180°的角，故D 正确； 故选：D.2．在半径为5cm 的扇形中，圆心角为2rad ，则扇形面积为（ ） A ．25cm B ．10cm C ． D ．225cm 210cm 【答案】C【分析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】由扇形面积可得，，22211=2525(cm )22S r α=⨯⨯=故选：C.3．若向量，，若与所成角为锐角，则n 的取值范围是（ ）)a =(b n = a bA ．B ．且 1n >3n >-1n ≠C ．D ．且3n >-31n -<<0n ≠【答案】B【分析】解不等式即得解.0a b ⋅=+>30n ≠【详解】由题得.0,3a b n ⋅=+>∴>-因为与.a b30,1n n ≠∴≠综合得且.3n >-1n ≠4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）()sin 2,R f x x x =∈()sin(2),R 3g x x x π=+∈A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 3π3πC ．向左平移个单位D ．向右平移个单位6π6π【答案】D【分析】函数图像左右方向平移遵循“左加右减”原则. 【详解】由于把函数的图象向左平移个单位，sin 2y x =6π可得的图象，sin 2(sin(263y x x ππ=+=+故为了得到函数的图象，()sin 2,R f x x x =∈只需把的图象上所有点向右平移个单位长度即可.()sin(2),R 3g x x x π=+∈6π故选：D.5．函数在区间（，）内的图象是( ) tan sin tan sin y x x x x =+--2π32πA ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|= 2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．6．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=a b (6,8)a =- 5b = b bA ．B ．C ．D ．(3,4)--(4,3)(4,3)-(4,3)--【答案】D【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即b可．【详解】设(,)b x y =①， ,0,680,a b a b x y ⊥∴⋅=∴-=，②，5=与向量(1，0)夹角为钝角，，③，b0x ∴<由①②③解得，，43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)b ∴=-- 故选：D ．7．设函数f (x )=cos (x +)，则下列结论错误的是3πA ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=对称 83πC ．f(x+π)的一个零点为x=D ．f(x)在(,π)单调递减6π2π【答案】D【详解】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确；f ＝cos ＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； 8π3⎛⎫⎪⎝⎭8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭∵f (x ＋π)＝cos ＝－cos ，∴f ＝－cos ＝－cos ＝0，故C 正确；ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π由于f ＝cos ＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在上不单调，故D 错误． 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭2ππ33⎛⎫+⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭故选D.8．在信息传递中多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号（形如，某种“信号净化器”可产生形如的波，只()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()000sin y A x ωϕ=+需要调整参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干()000,,A ωϕ扰.现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波（标准正弦函数图象），应将波形净化器的参数分别调整为（ ）A ．，，B ．，，034A =04ω=06ϕπ=034A =-04ω=06ϕπ=C ．，， D ．，，01A =01ω=00ϕ=01A =-01ω=00ϕ=【答案】B【分析】由题图得，求得，再由函数的最大值求得A ，将代入，2T π=ω3,34π⎛⎫- ⎪⎝⎭()3sin 44y x ϕ=+可解得，由此求出非标准正弦波对应的函数，取A 的相反数即可得答案.6πϕ=【详解】解：设干扰信号对应的函数解析式为.()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭由题图得，（T 为干扰信号的周期），解得，33244T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭2T π=所以. 2242Tππωπ===∵函数的最大值为，∴.将代入，解得，，∵3434A =3,34π⎛⎫- ⎪⎝⎭()3sin 44y x ϕ=+26k πϕπ=+Z k ∈，2πϕ<∴.∴.6πϕ=3sin 446y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以欲消除的波需要选择相反的波，即，3sin 446y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin 446y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以，，，034A =-04ω=06ϕπ=故选：B.二、多选题9．下列例题中正确的是（ ）A ．已知，且，则0c ≠ a c b c ⋅=⋅ a b =B ．若非零向量，满足，则与的夹角是60°a b a b a b ==- a a b +C ．若点为内一点，满足，则点是的垂心H ABC HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅H ABC D ．向量，满足，且，则的最小值为 a b 1a b == ()0ta tb t > a b ⋅ 12【答案】CD【分析】A.举反例判断该选项；B.求得与的夹角是30°，即可判断该选项；C. 证明a ab +,,得点是的垂心，即可判断该选项；D. 先求出，再利用基HB AC ⊥HA BC ⊥H ABC 144t a b t⋅=+ 本不等式求最值判断该选项.【详解】A. 已知，如果，满足，但是，所以该选项错误；0c ≠,a c b c ⊥⊥ 0a c b c ⋅=⋅=a b≠ B. 由得，所以a b a b ==- 222a b a b ==⋅||a b+== ，设与的夹角为，所以|a = a a b + α()cos ||||a a b a a b α⋅+=+ ==，所以，则与的夹角是30°，所以该选项错误；[0,180]α∈ 30α= a a b +C. ，则,同理,所以点是0,()0,0HAHB HB HC HB HA HC HB CA ⋅-⋅=∴⋅-=∴⋅=HB AC ⊥HA BC ⊥H 的垂心，所以该选项正确；ABC D.把平方化简得，当且仅当时取等.tatb 11442t a b t ⋅=+≥= 1t =所以该选项正确. 故选：CD10．函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><（ ）A ．()1π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上增函数()f x 23[]π,π-C ．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数 ()f x π2D ．，若恒成立，则.ππ,3x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦3()3π32f x a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭a 2【答案】ACD【分析】对A ，由函数图像即可算出函数的周期，由,即可求出，再代入一个最高点即T 2T πω=ω可求出函数的解析式；对B 、C ，由图像的平移变换即可求得变换后的图像，然后根据三角函数的单调性以及函数的奇偶性即可判断；对D ，通过分离参数，构造新函数，再利用三角函数知识即可求得的最小值.a 【详解】对A ，由题意知，，，2,A =6πT =2π16π3ω∴==()2π2f = 2π(2π)2sin()23f ϕ∴=+=，即， （），（），又，，2πsin()13ϕ+=2ππ2π32k ϕ∴+=+Z k ∈π2π6k ϕ∴=-Z k ∈πϕ< π6ϕ∴=-，所以A 正确 ；()1π2sin 36f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对B ，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，()y f x =231π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，[]ππx ∈- ，2π1ππ3263x ∴-≤-≤在上不单调递增，故B 错误；1π2sin 26y x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭[]π,π-对C ，把的图像向左平移个单位，则所得函数为，是奇()y f x =π21ππ2sin 2sin 3263x y x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数，故C 正确；对D ，对，恒成立，即，恒成立，令ππ33x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，3π(3)2f x a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭3π(3)2a f f x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ππ33x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，，，则，，3π()(3)2g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π()2sin(6g x x =-ππ33x -≤≤ πππ266x ∴-≤-≤，，，1()2g x ≤≤2a ∴≥+，故D 正确.a ∴2故选：ACD.11．已知，，为坐标原点，如图四边形为平行四边形，下列结论正确的是()2,1A ()3,4B -O OACB （ ）A ．2260OC AB += B ．在上的投影的数量为OC OB 235C ． 112OAB S =△D ．的重心坐标为ABC 210,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据平面向量的坐标运算，表示出，利用坐标运算法则可判断A ；在上投OC ABOC OB 影长度可以利用投影定义和数量积基本公式来计算，进而判断B ；根据向量的运算法则计算出OA，的模长及夹角，结合面积公式计算面积即可判断C ；根据三角形的重心坐标公式可以判断D. OB【详解】设点的坐标为，，， C (,)a b (3,4)BC a b =+-u u u r(2,1)OA =∵四边形为平行四边形，OACB ，OA BC ∴=u u r u u u r，即，，点坐标为， 3241a b +=⎧∴⎨-=⎩1a =-5b =C (1,5)-所以，(5,3)AB =-u u u r，选项A 正确；2212525960OC AB ∴+=+++=u u u r u u u r 设与的夹角为，根据投影定义可知，在上的投影为，选OC OB αOC OB 23||cos 5||OC OB OC OB α⋅==u u u r u u u ru u u r u u u r 项B 正确；在中， ，，OAB ||OA ||5OB =u u u r 642OA OB ⋅=-+=-u u r u u u r设与的夹角为，OC OBβ所以cos ||||OA OB OA OB β⋅===u u r u u u r u u u r u u u r sin AOB ∠=，选项C 正确；1111||||sin 5222OAB S OA OB AOB ∴=∠==V u u r u u u r 根据三角形重心公式可得，的重心坐标为，即，选项D 错误. ABC 231145(,33--++210(,)33-故选：ABC.12．2023年1月出版的《中国高考报告2023》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重数学思维能力和思想方法的考察，考故难度加大.某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，质点和在以坐标原点为圆心，半径为l 的上逆时针匀速圆周运动，同时出发，P Q O O P 的角速度大小为，起点为与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为5rad ／s ，起点为射线2rad/s O与的交点，则当与重合时，的坐标可以为（ ） ()0y x =≥O Q P Q A ．B ．2π2πcos ,sin 99⎛⎫ ⎪⎝⎭5π5πcos ,sin 99⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．D ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为，由t P Q (cos 2,sin 2)t t ，可用含的式子表示，再根据的取值，代入运算，得解． π522π,Z 3t t k k -=+∈k t k 【详解】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为， t P Q (cos 2,sin 2)t t 由题意可得，，解得， π522π,Z 3t t k k -=+∈π2π,Z 93k t k =+∈当时，，，所以点的坐标均为，故选项A 正确；0k =π9t =2π29t =Q 2π2π(cos ,sin )99当时，，，所以点的坐标均为，故选项1k =7π9t =14π29t =Q 14π14π5π5π(cos,sin )(cos ,sin 9999=--B 正确； 当时，，，所以点的坐标均为，故选项2k =13π9t =26π29t =Q 26π26πππ(cos,sin )(cos ,sin )9999=-D 正确，选项C 错误； 故选：ABD.三、填空题13．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且αx (),1A x -，则的值为______． cos 2xα=x【答案】0或【分析】根据三角函数的定义，列方程，即可求解.【详解】因为角终边上有一点，所以 α(),1A x -r =所以，得，cos 2x α==)20x=解得：或. 0x =x =故答案为：或014．已知函数的定义域为______．()f x =()f x 【答案】 ππ{|ππ+,Z}32x k x k k -<≤∈【分析】即得解.πtan 06x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭【详解】，ππtan 0,tan 66x x ⎛⎫⎛⎫-≥∴-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. πππππππ+,Z ππ+,Z 26332k x k k k x k k -<-≤∈∴-<≤∈所以函数的定义域为. ππ{|ππ+,Z}32x k x k k -<≤∈故答案为： ππ{|ππ+,Z}32x k x k k -<≤∈15．已知中，，，是边的中点，为所在平面内一点，若PAB 2AB =PA PB =C AB Q PAB CPQ是边长为2的等边三角形，则的值为______． AP BQ ⋅或1+1【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求解作答. 【详解】在中，，，是边的中点，有， PAB 2AB =PA PB =C AB PC AB ⊥以点为原点，直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，C AB则，因为等边的边长为2，则点或，(1,0),(1,0),(0,2)A B P -CPQ Q (Q，当时，，则，(1,2)AP =Q 1,1)BQ = 121AP BQ ⋅=+=当时，，则. (Q(1,1)BQ =121AP BQ ⋅=+=+或1116．函数的图像与函数的图像在上有交点的横坐标之和为()ππ2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1112x g x --=[]6,8-______． 【答案】5【分析】画出与图象，由与都关于对称，运用图象对称性可得交点的对称()f x ()g x ()f x ()g x 1x =性即可求得结果. 【详解】因为，，解得：，， ππππ442x k +=+Z k ∈14x k =+Z k ∈所以是的一条对称轴， 1x =()f x 又因为，|21|1|1|111(2)()22x x g x g x ------===所以关于对称，()g x 1x =又因为，， 21,1()22,1x x x g x x -⎧≥⎪=⎨⎪<⎩(1)(1)2f g ==则与图象如图所示，()f x ()g x则与在有5个交点，()f x ()g x [6,8]-设这5个交点从左到右的横坐标分别为，，，，， 1x 2x 3x 4x 5x 则，，， 152x x +=242x x +=31x =所以. 123455x x x x x ++++=故答案为：5.四、解答题17．已知 ()()()()()πsin sin tan π2tan 2πsin π+f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-(1)化简． ()f α(2)若为第三象限角，且，求的值． α3π1cos 25⎛⎫-= ⎪⎝⎭α()f α【答案】(1)()fαcos α=(2)()f α=【分析】（1）利用诱导公式即可化简.()f αcosα=（2）利用诱导公式求得利用诱导公式，再利用同角三角函数的基本关系求得的值.()cos f αα==【详解】（1） ()()()()()πsin sin tan π2tan sin πf αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-+． ()()()cos sin tan tan sin ααααα⋅-⋅-=-⋅-cos α=（2）∵为第三象限角，且， α3π1cos sin 25⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭αα∴，．1sin 5α=-()cos f αα===18．已知. 1sin cos 5αα+=-（1）求的值.sin cos αα⋅（2）若，求的值. 2απ<<π11sin cos αα-【答案】（1）；（2）. 1225-3512【解析】（1）把平方即得解； 1sin cos 5αα+=-（2）求出，即得解.cos sin αα-【详解】解：（1）， 21(sin cos )12sin cos 25αααα+==+∴. 12sin cos 25αα=-（2）， 11cos sin sin cos sin cos αααααα--=∵， 21249(cos sin )12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⋅-= ⎪⎝⎭又∵，∴，，， ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α<sin 0α>cos sin 0αα-<∴， 7cos sin 5αα-=-∴原式. 7355121225-==-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断的符号，要结合的范围判断.cos sin αα-α19．已知点A 在平面直角坐标系中的坐标为，平面向量，，且()1,1()1,2a =- ()4,b m = 1,2c n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，． a b⊥ //a c (),AB m n = (1)求实数m ，n 及点B 的坐标；(2)求向量与向量夹角的余弦值．AB a 【答案】(1)，，；(2)． 2m =1n =-()3,0B 45【分析】(1)由，据此可得m 的值，由可得n 的值，结合向量的坐标420a b a b m ⊥⇒⋅=-=//a c 运算确定点B 的坐标即可.根据向量的夹角公式，计算夹角的余弦值即可. ()2cos AB < AB a a AB a⋅>= 【详解】，，()1420a b a b m ⊥⇒⋅=-= 2m ∴=， 1//212a c n ⇒=-⨯=- 所以，因为，()(),2,1AB m n ==- ()1,1A 所以， ()()()1,12,13,0OB OA AB =+=+-= 所以；()3,0B 由可知，． ()2()1cos AB < 45AB a a AB a⋅>===【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量夹角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．已知函数在一个周期的图像上有相邻的最高点()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭和最低点． π,312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭7π,312Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求，，的值；A ωϕ(2)设函数当时，总存在两个零点，求实数的取值范围． ()()2g x f x m =--π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)，，； 3A =2ω=π3ϕ=(2). 2,1⎫-⎪⎪⎭【分析】（1）根据函数的最值求出，根据函数的周期求出，再根据函数的图象经过求A ωπ,312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭出的值得解；ϕ（2）由题得，等价于，，有两解，数形结合分析得解. π3sin 223m x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3sin 2m t =-π4[,π]33t ∈【详解】（1）由函数在一个周期的图象上有相邻的最高点和最低点． ()f x π,312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭7π,312Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭知，，所以，． 3A =7πππ212122T =-=πT =2ω=∴，∵在函数上， ()()3sin 2f x x ϕ=+π,312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ∴，∴. ππ22π122k ϕ⨯+=+π2πZ 3k k ϕ=+∈，∵，∴，∴，，. π2ϕ<π3ϕ=3A =2ω=π3ϕ=（2）由（1）得 ()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴ ()π3sin 223g x x m ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭∴. π3sin 223m x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵，∴ π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦设，所以，. ππ42,[,π]333x t t +=∈3sin 2m t =-π4[,π]33t ∈∵时有两解， ∴，∴ π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin t ⎫∈⎪⎪⎭2,1m ⎫∈-⎪⎪⎭∴实数m 取值范围为. 2,1⎫⎪⎪⎭21．已知，，函数的最小值为()cos sin ,2a x x a =+- ()cos sin ,1cos b x x x =-+ ()f x a b =⋅ ．()()R g a a ∈(1)求；()g a (2)若，求及此时的最大值． ()12g a =a ()f x 【答案】(1)；()21,2,21,22214, 2.a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩(2)，最大值5．1a =- 【分析】（1）化简得，再对分三种情况讨论，利用二次函数的图22()2(cos )2122a a f x x a =----a 象和性质得解；（2）对分三种情况讨论，求出的值，再利用二次函数的图象求解.a a 【详解】（1）由()()()()cos sin cos sin 21cos f x a b x x x x a x =⋅=+--+ ． 22cos sin 22cos x x a a x =---()22cos 2cos 21x a x a =--+222(cos 2122a a x a =----这里．1cos 1x -≤≤①当即时，； 112a -≤≤22a -≤≤()()2min 212a f x g a a ==---②当即，时，； 12a >2a >cos 1x =()()min 14f x g a a ==-③当即，时，． 12a <-2a <-cos 1x =-()()min 1f x g a ==因此，；()21,2,21,214, 2.a a g a a a a <-⎧⎪⎪=---⎨⎪->⎪⎩22a -≤≤（2）， ()12g a =①若，则有，得，矛盾； 2a >1142a -=18a =②若，则有， 22a -≤≤212122a a ---=即，∴或（舍），2430a a ++=1a =-3a =-∴时，． ()12g a =1a =-③若，，所以此时无解. 2a <-()112g a =≠所以． 1a =-此时，，当时，取得最大值5． ()2112cos 22f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭cos 1x =()f x 22．已知函数的振幅为1，函数在区间单()()πsin 0,,N 2f x A x A ωϕϕω+⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭()f x ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭调，且． π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求图像的一条对称轴；()y f x =(2)若． π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ【答案】(1) 7π12x =(2)π3【分析】（1）由振幅为，得，由函数在区间单调，得，且，则11A =()f x ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭2π3T ≥N ω+∈，再由，取其中点值，即可得图像的一条对称轴； 1,2,3ω=π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x（2）结合正弦函数得单调性与周期性，可得，从而知，又3ω≤1,2,3ω=π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭或，，结合函数的一条对称轴方程为，可得ππ2π63k ωϕ+=+π2π2π63k ωϕ+=+Z k ∈()f x 7π12x =，，再分两种情况，即可求解. 7πππ122m ωϕ+=+m ∈Z 【详解】（1）∵振幅为，∴，11A =∵函数在区间单调，则， ()f x ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭πππ2263T ≥-=∴即， 2π3T ≥2π2π3ω≥∴，3ω≤∵，∴N ω+∈1,2,3ω=又∵， π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴的一条对称轴方程为. ()f x 1π2π7π22312x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭（2）由（1）知，， 2π3T ≥1,2,3ω=∵ π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴或，， ππ2π63k ωϕ+=+π2π2π63k ωϕ+=+Z k ∈∵为对称轴，∴，， 7π12x =7πππ122m ωϕ+=+m ∈Z 若 ππ2π637πππ122k m ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩①②得：， ②①-()5ππ2π126m k ω=+-∴，又且，所以没有值使得上式成立； ()212255m k ω=+-2Z m k -∈1,2,3ω=若 π2π2π637πππ122k m ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩③④得：， -④③()5ππ2126m k ωπ=-+-∴，又且， ()212255m k ω=-+-2Z m k -∈1,2,3ω=∴时，，21m k -=2ω=此时，，又， π2π3k ϕ=+π2ϕ<∴，即初相为． π3ϕ=π3。

学2019-2020学年高一数学下学期4月月考试题(含解析)

学2019-2020学年高一数学下学期4月月考试题(含解析)

学2019-2020学年高一数学下学期4月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卷的相应表格中）1.已知α为第四象限的角，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据为第四象限的角，且，求出，即可求出.【详解】为第四象限的角，且，..故选：.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.2.下列函数在内单调递增的函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】对每一个选项的函数逐一分析判断得解.【详解】A. ，二次函数开口向下，对称轴为，所以二次函数在内单调递增，所以该选项符合题意；B. ，在内单调递增，在单调递减，在单调递增，所以该选项不符合题意；C. 在内单调递减，所以该选项不符合题意；D. 在内单调递减，所以该选项不符合题意.故选：【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素个数为（）A. B. C. 4 D.【答案】B【解析】【分析】求出集合的所有元素，即得解.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，.所以集合的共有3个元素.故选：【点睛】本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.下列等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角公式化简每一个选项再判断得解.【详解】A. ,所以该选项错误；B. ，所以该选项错误；C. ，所以该选项正确；D. =0，所以该选项错误.故选：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.某公司10位员工的月工资（单位：元）为，其均值和标准差分别为和s，若从下月起每位员工的月工资增加200元，则这10位员工下月工资的均值和标准差分别为（）A. ，s B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用均值和标准差的公式求解即可.【详解】月工资均值和标准差分别为和s，现在每个员工的月工资增加200元，则这10位员工下月工资的均值和标准差分别.故选：【点睛】本题主要考查均值和标准差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体，再求几何体的体积得解.【详解】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥，底面是边长为的矩形，棱锥的高为，所以几何体的体积.故选：【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.7.如图,执行该程序框图，若输入的，则输出的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】由题意，模拟程序的运行，可得，，不满足条件是奇数，，，不满足条件，执行循环体，满足条件是奇数，，，不满足条件，执行循环体，不满足条件是奇数，，，不满足条件，执行循环体，满足条件是奇数，，，不满足条件，执行循环体，不满足条件是奇数，，，不满足条件，执行循环体，不满足条件是奇数，，，不满足条件，执行循环体，不满足条件是奇数，，，不满足条件，执行循环体，不满足条件是奇数，，，满足条件，退出循环，输出的值为9．故选：．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式化简即得解.【详解】.故选：【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知为直线的倾斜角，若, ,则直线的斜率为（）A. 7B. -7C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再根据即可得解.【详解】由题得.所以.故选：【点睛】本题主要考查直线的斜率的计算，考查同角的三角函数关系的化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.10.已知圆的一条直径通过直线被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圆心的坐标和直线的斜率，即得直线的方程.【详解】由题得圆的圆心坐标为，所求的直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即.故选：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11.方程实数解的个数为（）A. 个B. 个C. 个D. 4 个【答案】C【解析】【分析】如图，在同一坐标系下作出函数的图象，得到两函数图象交点的个数，即得解.【详解】由题得，如图，在同一坐标系下作出函数的图象，得两个函数的图象有3个交点，所以方程实数解的个数为3个.故选：【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和三角函数的图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析问题能力.12.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出直线与曲线的图象，如图所示，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得，所以，作出直线与曲线，如图所示，当直线经过点时，当直线和曲线相切时，.所以的取值范围是.故选：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应横线上）.13.计算：________________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简求值即得解.【详解】由题得=.故答案为：【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.设是周期为 2 的偶函数，当时，，则___________．【答案】【解析】【分析】先转化成求的值，再利用函数的奇偶性求得解.【详解】由函数的周期得，因为函数是偶函数，所以.故答案为：0【点睛】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.已知,,则,.【答案】【解析】【分析】先求出求出，再通过角的范围分析得解.【详解】因为，所以所以.因为，所以同号，因为，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.在直角边长分别为的三角形内任取一点，则使点到三个顶点的距离至少有一个小于2 的概率是_____________.【答案】【解析】【分析】如图所示，点分布在如图所示的阴影部分区域内，再根据几何概型的概率公式求解.【详解】如图所示，点分布在如图所示的阴影部分区域内，它们的面积和刚好等于以2为半径的圆的一半，所以由几何概型的概率公式得使点到三个顶点的距离至少有一个小于2 的概率是.故答案为：【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设全集，已知集合,（1）求；（2）记集合，集合，若，求实数的取值范围．【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先化简集合再求得解；（2）先求出集合,由得B,再对集合分两种情况讨论得解.【详解】（1），,= .（2），由得B若B=,则，即若B,则，即,所以综上所述：的取值范围为【点睛】本题主要考查对数不等式和三角不等式的求解，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知．（1）若，求值；（2）若为第三象限角，且，求的值．【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先化简得，即得解；（2）由题得，再求，即得解.【详解】（1），因为，所以；（2）为第三象限角，所以.【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某校从高一年级期末考试学生中抽出 6名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（1）估计这次考试的中位数（2）假设分数在的学生的成绩都不相同，且都在分以上，现用简单随机抽样方法，从这个数中任取个数，求这个数恰好是两个学生的成绩的概率.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先确定中位数在内，再求出中位数；（2）利用古典概型的概率公式计算得解.【详解】（1）左边第1个矩形面积为，左边第2个矩形的面积为，左边第3个矩形的面积为，左边第4个矩形的面积为，所以中位数在内.所以中位数为.（2）成绩在的人数为，记分别为1，2，3，4，5,所有的组合数：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），不妨设三个人得成绩分别为1，2，3，则符合条件的为：（1,2），（1,3），（2,3），所以P=.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的中位数的求法和古典概型的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.如图，已知四棱锥，，，，二面角的大小为，连接，点，分别在线段，上．（1）证明：；（2）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）先证明，即得证；（2）设点到平面的距离为，因为，且，化简即得点到平面的距离．【详解】（1），二面角的大小为，所以，又，，所以，又，所以，在四边形中，，，，所以，又，所以，即，又，所以，因为，所以．（2）设点到平面的距离为，因为，且，所以，解得，所以点到平面的距离为．【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知圆，直线．（1）求与圆相切，且与直线平行的直线方程；（2）点，在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标．【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）设所求直线方程为，解方程即得解；（2）假设存在这样的点，先求出，再证明点对于圆上任一点，都有为一常数．【详解】（1）设所求直线方程为．因为直线与圆相切，所以，得，所以所求直线方程为．（2）假设存在这样的点，当为圆与y轴的上交点时，；当为圆与轴的下交点时，，依题意，，解得（舍去）或．下面证明点对于圆上任一点，都有一常数．设，则，所以，从而为常数．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查直线和圆中的定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.设函数，函数在区间上的最大值为.（1）若，求的值；（2）若对任意的恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据可知该函数是对勾函数作了左右和上下的平移变换，若，则可得到在区间上是增函数，故的最大值就是，但是，的图像是由的图像作了翻折变换，上不动而下翻折，要比较与两者的大小，所以；（2）第二小题由于不能确定在区间上是递增的还是先减后增，因此要分类讨论，一种情况是是递增的，最大值在中产生，另一种情况是先减后增，最大值在或是中产生，通过三种情况分类，最后总结得到的最小值，也就是的最大值.试题解析：解：（1）当时，在区间上是增函数，所以，所以.（2）①当时，因为，，所以，所以.②当时，有，则，，所以.③当时，有，则，所以，所以.综上可知，对任意的都有.考点：对勾函数的单调性，函数图像的对称变化和平移变化，绝对值不等式求最值的应用.【方法点晴】本题主要考查的是函数的综合性大题，主要涉及的函数是对勾函数的模型，在此基础上作一定的变化，包括平移变化和对称变化，从图形的特征出发，求该函数的最大值，根据该图像的变化规律，分析最大值只可能在端点的地方或者顶点的地方取到，根据，对进行分类讨论，第一种是最大值在两个端点处取大的，第二种是最大值在一个端点和一个顶点出取大的，其中第二种又要分成两种情况，结合图形，可以得到的最小值，也就是题中所要求的的最大值.学2019-2020学年高一数学下学期4月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

高一下学期数学4月份月考试题(含答案)

高一下学期数学4月份月考试题(含答案)

2014—2015学年度下学期4月月考高一数学试卷考试时间:120分钟分数：150分命题人:杨金艳一、选择题(本大题12道小题，每小题5分，共60分)1.sin(－390°)的值等于（）A. B. C. D.答案：D2.某厂共有64名员工，准备选择4人参加技术评估，现将这64名员工编号，准备运用系统抽样的方法抽取，已知8号，24号，56号在样本中，那么样本中还有一个员工的编号是( )．A.35B.40C.45D.50答案：B3.某扇形的半径为r，圆心角α所对的弧长为2r，则α的大小是（）A.30°B.60°C.1弧度D.2弧度答案：D4.如图所示的5组数据中，去掉____组数据后剩下的4组数据的线性相关较好．( )．A.BB.CC.ED.D答案：D5.若sin α＜0且tan α＞0，则α的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：C6.从一副扑克牌中抽取5张红桃，4张梅花，3张黑桃，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这种事情（）A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生答案：D7.下列各对角中，终边相同的是（）A.和2kπ(k∈Z)B.和C.和D.和答案：C8.一个容量为35的样本数据，分组后各组频数如下：[5,10)，5个；[10,15)，12个；[15,20)，7个；[20,25)，5个；[25,30)，4个；[30,35)，2个．则样本在区间[20，+∞)上的频率约为( )．A.20%B.69%C.31%D.27%答案：C9.设cos(π+α)=(π＜α＜),那么sin(2π-α)的值是（）A.-B.C.-D.答案：D10.如果|x|≤，那么函数y=cos2x+sinx的最小值是（）A. B. C. D.-1答案：B11.若以连续两次掷骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标(m，n)，则点P在圆x2+y2＝25外的概率是( )．A. B. C. D.答案：B12.程序框图如图所示，如果程序运行的结果为S＝132，那么判断框中应填入( )．A.k≤10B.k≥10C.k≤11D.k≥11答案：A二、填空题（本大题4道小题，每小题5分，共20分）13.中央电视台“动画城”节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的10 000名小观众中抽出10名幸运小观众．现采用系统抽样的方法抽取，其组容量为______．答案：1 00014.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1 400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市______家．答案：2015.若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所在的扇形面积为__________ cm2.答案：416.将，，按从小到大的顺序排列是__________．答案：三、解答题（本大题共6道小题，共70分。

【2020】高一数学4月月考试题(含解析)

【2020】高一数学4月月考试题(含解析)

的取值为（动点扇形的弧长为（即为弧度，半径为
在区间
区间
实数的取值范围为
不共线，则与都是非零向量
不共线时，则与都应是非零向量，
是第三象限角，则点
是第三象限角，所以
为第二象限角，则
为第二象限角，
个单位个单位
个单位个单位
将函数个单位，可得到函数”的原则，属于基础题
平行的时候取到，
平行的时候取到。

本题中，
上有一点满足可表示为（
．.
的值，代入
取对数得，
.
；（
的夹角的大小
的值
的值
的夹角为
为第二象限角
（
为第二象限角，所以
是一组基底
不共线即可得证问题，再根据待定系数法，设不共线是一组基底
（纵坐标不变），个单位，得到函数
Z.
,
=
,
=
Z。

学2019-2020学年高一数学下学期4月月考试题(含解析)

学2019-2020学年高一数学下学期4月月考试题(含解析)

学2019-2020学年高一数学下学期4月月考试题（含解析）一、单选题（每小题5分，共计12个小题）1.已知中，且则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理即可得到答案.【详解】由正弦定理，可得.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理的简单运用，属于基础题.2.在中，内角的对边分别为.若，则角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理变形得．【详解】将代入中得.由，得，故选：C.【点睛】本题考查余弦定理，掌握用余弦定理求角是解题关键．3.在等差数列中，已知，则该数列前9项和（）A. 18B. 27C. 36D. 45【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质求得，再根据等差数列前项和公式求得.【详解】在等差数列中，，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.4.已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（）A. B. 19 C. 20 D. 23【答案】D【解析】【分析】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对、进行化简，得出公差和公比的数值，然后对进行化简即可得出结果．【详解】设奇数项的公差为，偶数项的公比为，由，，得，，解得，，所以，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．5.已知向量，，且，则的最小值是（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】根据平面向量平行的坐标运算公式，可得，对乘以“1”，可得，再利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，且向量，，所以，所以，当且仅当时，取等号.故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量平行的坐标运算公式和基本不等式的应用，属于基础题.6.在空间中，下列命题正确的是A. 如果一个角两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等B. 两条异面直线所成的有的范围是C. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行D. 如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行【答案】C【分析】根据两个角可能互补判断A；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D.【详解】如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A不正确；两条异面直线所成的角不能是零度,故B不正确；根据两个平面平行的性质定理知C正确；如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D不正确,综上可知只有C的说法是正确的,故选C.【点睛】本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，本题是一个概念辨析问题.7.如图，在正四面体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【解析】【分析】取的中点,连接,,可得就是与所成的角, 设,可得,,利用余弦定理可得的值,可得答案.【详解】解:如图: ,取的中点,连接,,可得就是与所成的角,设,则,,,故选: B.【点睛】本题主要考查异面直线所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的灵活运用,属于基础题.8.如图，在正方体中，分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】分析：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，则AO PM，从而A1P=C1M，由此能求出tan∠APA1的最大值．详解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，∴AO PM，∴A1P=C1M=，∴tan∠APA1===2．∴tan∠APA1的最大值是2．故选D．点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示该几何体是棱长为1正方体中的三棱锥.所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径为正方体体对角线的长.即.所以外接球的表面积为.故选：.【点睛】本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.10.如图，在正三棱柱中，,，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正三棱柱的特征可知为等边三角形且平面，根据可利用勾股定理求得；把底面与侧面在同一平面展开，可知当三点共线时，取得最小值；在中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.【详解】三棱柱为正三棱柱为等边三角形且平面平面把底面与侧面在同一平面展开，如下图所示：当三点共线时，取得最小值又，，周长的最小值为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.11.已知正方体的棱的中点为，与交于点，平面过点且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正方体的垂直关系可得平面，进而，可考虑平面是否为所求的平面，只需证明即可确定平面.【详解】如图所示，正方体中，为棱的中点，，则，，，，；又平面，，且，平面，且，即截该正方体所得截面图形的面积为.故选:.【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.12.在棱长为的正方体中,点分别是线段（不包括端点）上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意在棱长为的正方体中，点分别是线段上的动点，且线段平行于平面，设，即到平面的距离为，所以四棱锥的体积为，当时，体积取得最大值，故选A．点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．二、填空题（每小题5分，共计4个小题）13.已知，，且，则的最大值为_________【答案】【解析】【分析】直接由基本不等式求解．【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．14.已知数列满足，则__________.【答案】【解析】【分析】数列为以为首项，1为公差等差数列．【详解】因为所以又所以数列为以为首项，1为公差的等差数列．所以所以故填【点睛】本题考查等差数列，属于基础题．15.如图，在正方体中，分别为棱的中点，则与平面所成角的余弦值为______.【答案】【解析】【分析】连结，过作于，即为与平面所成的角，在中利用余弦定理求出【详解】解：连结，则平面即为平面，过作于，则平面，即为与平面所成的角，设正方体棱长为2，则，.故答案为：.【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求解，关键是找到线面角的平面角，属于中档题.16.如图，M､N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC､CD 的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论:①异面直线AC与BD所成的角为定值.②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°.④三棱锥M-ACN体积的最大值为.以上所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】设中点，连接，，得到平面，从而可证①正确；假设，从而得到平面，与已知矛盾，从而证明②错误，根据，得到与平面所成的角等于与平面所成的角，即，根据的范围，从而证明③正确；，从而得到体积最大的情况，求出最大值，可得④正确.【详解】设中点，连接，，正方形，，，所以，，平面，，所以平面，而平面，所以，即异面直线与所成的角为定值.故①正确.若，而，平面，所以平面，而平面，所以，而中，，所以不可能为直角，故假设错误，所以②错误.因为､分别是､的中点，所以，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，在平面的射影在上，所以是与平面所成的角，而，所以一定存在某个位置满足，即存在某个位置，使得直线MN与平面所成的角为45°.故③正确；，底面，所以当平面平面时，到平面的距离最大，此时三棱锥的体积最大，，所以此时，故④正确.故答案为：①③④【点睛】本题考查证明异面直线垂直，求线面角，等体积转化求三棱锥的体积，属于中档题.三、解答题17.的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理可得：即：，由得：（2），的周长为由余弦定理可得：的面积：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型.18.已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.【答案】(1)；(2)Tn＝(n－1)·2n＋1.【解析】试题分析：（1）设数列的公差为，的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和.试题解析：(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，依题意得解得d＝1，q＝2.所以an＝1＋(n－1)×1＝n，bn＝1×2n－1＝2n－1.(2)由(1)知cn＝anbn＝n·2n－1，则Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①2Tn＝2·20＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②①－②得：－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以Tn＝(n－1)·2n＋1.19.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点.(1) 求证：EF∥平面A1BD；(2) 若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先证出EF∥A1B，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）证出BB1⊥A1D，A1D⊥B1C1，利用面面垂直的判定定理即可证出.【详解】因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D.因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.因为BB1B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，要证线面平行、需证线线平行，要证面面垂直、需证线线垂直、线面垂直，属于基础题.20.如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点．（1）证明： ;（2）求点到平面的距离．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，由条件可证明，再计算，说明；（2）利用等体积转化，求点到面距离.【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，则，且，∵且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴中，，G为的中点，∴，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．利用等体积法：，即，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查线线垂直的证明，以及点到平面的距离，重点考查推理证明，计算能力，属于中档题型.学2019-2020学年高一数学下学期4月月考试题（含解析）一、单选题（每小题5分，共计12个小题）1.已知中，且则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理即可得到答案.【详解】由正弦定理，可得.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理的简单运用，属于基础题.2.在中，内角的对边分别为.若，则角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理变形得．【详解】将代入中得.由，得，故选：C.【点睛】本题考查余弦定理，掌握用余弦定理求角是解题关键．3.在等差数列中，已知，则该数列前9项和（）A. 18B. 27C. 36D. 45【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质求得，再根据等差数列前项和公式求得.【详解】在等差数列中，，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.4.已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（）A. B. 19 C. 20 D. 23【答案】D【解析】【分析】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对、进行化简，得出公差和公比的数值，然后对进行化简即可得出结果．【详解】设奇数项的公差为，偶数项的公比为，由，，得，，解得，，所以，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．5.已知向量，，且，则的最小值是（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】根据平面向量平行的坐标运算公式，可得，对乘以“1”，可得，再利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，且向量，，所以，所以，当且仅当时，取等号.故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量平行的坐标运算公式和基本不等式的应用，属于基础题.6.在空间中，下列命题正确的是A. 如果一个角两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等B. 两条异面直线所成的有的范围是C. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行D. 如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行【答案】C【解析】【分析】根据两个角可能互补判断A；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D.【详解】如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A不正确；两条异面直线所成的角不能是零度,故B不正确；根据两个平面平行的性质定理知C正确；如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D不正确,综上可知只有C的说法是正确的,故选C.【点睛】本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，本题是一个概念辨析问题.7.如图，在正四面体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中点,连接,,可得就是与所成的角, 设,可得,,利用余弦定理可得的值,可得答案.【详解】解:如图: ,取的中点,连接,,可得就是与所成的角,设,则,,,故选: B.【点睛】本题主要考查异面直线所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的灵活运用,属于基础题.8.如图，在正方体中，分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】分析：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，则AO PM，从而A1P=C1M，由此能求出tan∠APA1的最大值．详解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，∴AO PM，∴A1P=C1M=，∴tan∠APA1===2．∴tan∠APA1的最大值是2．故选D．点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示该几何体是棱长为1正方体中的三棱锥.所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径为正方体体对角线的长.即.所以外接球的表面积为.故选：.【点睛】本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.10.如图，在正三棱柱中，,，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正三棱柱的特征可知为等边三角形且平面，根据可利用勾股定理求得；把底面与侧面在同一平面展开，可知当三点共线时，取得最小值；在中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.【详解】三棱柱为正三棱柱为等边三角形且平面平面把底面与侧面在同一平面展开，如下图所示：当三点共线时，取得最小值又，，周长的最小值为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.11.已知正方体的棱的中点为，与交于点，平面过点且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正方体的垂直关系可得平面，进而，可考虑平面是否为所求的平面，只需证明即可确定平面.【详解】如图所示，正方体中，为棱的中点，，则，，，，；又平面，，且，平面，且，即截该正方体所得截面图形的面积为.故选:.【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.12.在棱长为的正方体中,点分别是线段（不包括端点）上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意在棱长为的正方体中，点分别是线段上的动点，且线段平行于平面，设，即到平面的距离为，所以四棱锥的体积为，当时，体积取得最大值，故选A．点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．二、填空题（每小题5分，共计4个小题）13.已知，，且，则的最大值为_________【答案】【解析】【分析】直接由基本不等式求解．【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．14.已知数列满足，则__________.【答案】【解析】【分析】数列为以为首项，1为公差等差数列．【详解】因为所以又所以数列为以为首项，1为公差的等差数列．所以所以故填【点睛】本题考查等差数列，属于基础题．15.如图，在正方体中，分别为棱的中点，则与平面所成角的余弦值为______.【答案】【解析】【分析】连结，过作于，即为与平面所成的角，在中利用余弦定理求出【详解】解：连结，则平面即为平面，过作于，则平面，即为与平面所成的角，设正方体棱长为2，则，.故答案为：.【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求解，关键是找到线面角的平面角，属于中档题. 16.如图，M､N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC､CD的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，有以下结论:①异面直线AC与BD所成的角为定值.②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°.④三棱锥M-ACN体积的最大值为.以上所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】设中点，连接，，得到平面，从而可证①正确；假设，从而得到平面，与已知矛盾，从而证明②错误，根据，得到与平面所成的角等于与平面所成的角，即，根据的范围，从而证明③正确；，从而得到体积最大的情况，求出最大值，可得④正确.【详解】设中点，连接，，正方形，，，所以，，平面，，所以平面，而平面，所以，即异面直线与所成的角为定值.故①正确.若，而，平面，所以平面，而平面，所以，而中，，所以不可能为直角，故假设错误，所以②错误.因为､分别是､的中点，所以，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，在平面的射影在上，所以是与平面所成的角，而，所以一定存在某个位置满足，即存在某个位置，使得直线MN与平面所成的角为45°.故③正确；，底面，所以当平面平面时，到平面的距离最大，此时三棱锥的体积最大，，所以此时，故④正确.故答案为：①③④【点睛】本题考查证明异面直线垂直，求线面角，等体积转化求三棱锥的体积，属于中档题.三、解答题17.的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理可得：即：，由得：（2），的周长为由余弦定理可得：的面积：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型.18.已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.【答案】(1)；(2)Tn＝(n－1)·2n＋1.【解析】试题分析：（1）设数列的公差为，的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和.试题解析：(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，依题意得解得d＝1，q＝2.所以an＝1＋(n－1)×1＝n，bn＝1×2n－1＝2n－1.(2)由(1)知cn＝anbn＝n·2n－1，则Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①2Tn＝2·20＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②①－②得：－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以Tn＝(n－1)·2n＋1.19.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点.(1) 求证：EF∥平面A1BD；(2) 若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先证出EF∥A1B，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）证出BB1⊥A1D，A1D⊥B1C1，利用面面垂直的判定定理即可证出.【详解】因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D.因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.因为BB1B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，要证线面平行、需证线线平行，要证面面垂直、需证线线垂直、线面垂直，属于基础题.20.如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点．。

【2019-2020】高一数学4月月考试题(含解析)

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教学资料参考范本【2019-2020】高一数学4月月考试题（含解析）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项是正确的）1.1.已知集合，则=( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据交集的定义求出即可.解析：根据交集的定义，.故选：B.点睛：（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．2.2.函数与的定义域分别为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域分别求得集合，然后根据并集的定义，即可求得结果.【详解】由题可知，，；，即.故选D.【点睛】本题考查函数定义域的求解和并集的定义，重点考查学生对基本概念的理解和计算能力，属于基础题.3.3.设函数，则当时，的取值为（）A. -4B. 4C. -10D. 10【答案】C【解析】令，则，选C.4.4.半径为，中心角为动点扇形的弧长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆弧所对的中心角为即为弧度，半径为πcm弧长为故选：A.5.5.已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案.【详解】函数为对称轴开口向上的二次函数，在区间上是单调增函数，区间在对称轴的右面，即，实数的取值范围为.故选B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.6.6.下列说法中错误的是( )A. 有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B. 若向量与不共线，则与都是非零向量C. 长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D. 方向相反的两个非零向量必不相等.【答案】C【解析】选项A中，有向线段是线段，因此位置是固定的，而向量是可自由平移的，但向量可用有向线段表示．故A正确．选项B中，由于零向量与任意向量共线，所以向量与不共线时，则与都应是非零向量，故B正确．选项C中，方向相反的两个向量一定共线，故C错误．选项D中，由于两向量的方向相反，不管长度怎样，则两向量一定不相等．故D正确．选C．点睛：向量与有向线段的关系（1）有向线段是具有方向和大小的线段，它的位置受两端点的限制；而向量也是有大小和方向的量，但向量可自由平移，且平移前后两向量为相等向量，所以有向线段和向量是两个不同的概念．（2）向量可用有向线段来表示，以体现向量具有方向和大小两方面的性质．7.7.若角是第三象限角，则点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】角是第三象限角，所以，所以点在第四象限.故选D.8.8.已知为第二象限角，则的值是（）A. -1B. 1C. -3D. 3【答案】B【解析】∵为第二象限角，∴。

山东省临沂高一下学期4月月考数学试题(解析版)

山东省临沂高一下学期4月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） z (1i) i z -=i z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的除法化简复数z ，再求得其共轭复数，然后利用复数的几何意义求解.【详解】解：因为复数满足， z (1i) i z -=所以， ()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z +===-+--+则，11i 22z =--所以在复平面内对应的点位于第三象限， z 故选：C2．在平行四边形中，为一条对角线.若，，则ABCD AC ()2,4AD =u u u r ()1,3AC =u u u r BD =（ ） A ． B ．C ．D ．()2,4-()3,5--()3,5()3,7--【答案】C【分析】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然ABCD ()2,4AD =u u u r (1,3)AC = AB后利用减法求.BD【详解】在平行四边形中， ，，ABCD ()2,4AD =u u u r (1,3)AC =所以，(1,1)AB AC AD =-=--所以. ()(2,4)(1,1)3,5BD AD AB =-=---= 故选：C3．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形ABC A ．已知点是斜边的中点，且，则△ABC 的面积为（ ）A B C '''O 'B C ''2O A ''=A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据斜二测画法，即直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变x y 为原来的一半，根据题中所给的数据以及图形，可知角形为直角三角形，ABC，，.90ABC ∠=︒4BC =AB =【详解】因为为等腰直角三角形且，所以， A B C '''V 2O A ''=4B C ''=A B ''=由斜二测画法可知，为直角三角形，，4BC =AB =ABC 90ABC ∠=︒所以三角形ABC 的面积为142ABC S =⨯⨯=A 故选：B.4．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1=8.若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的三等分点处，，当底面ABC 水平放置时，13CE CA =液面高为（ ）A ．B ．C ．D ．64989694【答案】A【分析】利用相似比得到四边形和三角形的面积比，再根据等体积的思路ABFE CAB 列等式即可求解.【详解】如图，设靠近点的三等分点为点，CB C F 当底面水平放置时，液面高度为，此时液体体积，因为,ABC h 13CAB V S h =⋅A 液13CE CA =所以，, 1899CEF ABFECAB CAB S S S S =⇒=A A A 1648327ABFE CAB V S S =⋅=A 液所以，解得. 164327CAB CAB V S h S =⋅=A A 液649h =故选：A.5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为60︒，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为kg ）（ ）2g 10m/s ＝A．B ．61 C ．75 D ．60【答案】D【分析】用向量表示两只胳膊的拉力的大小和方向，它们的合力与体重相等，,OA OB求出，再化为千克即可得．OA OB +【详解】如图，， OA OB ==60AOB ∠=︒作平行四边形，则是菱形，，OACB OACB OC OA OB =+，2sin 60600OC OA =︒=所以， 600G OC == 因此该学生体重为（kg ）. 6006006010g ==故选：D ．6．已知中，，，，则（ ） ABC A 2a =b 3B π=A =A ．B ．C ．或D ．或4π3π4π34π3π23π【答案】A【分析】利用正弦定理与大边对大角、小边对小角即可求解.【详解】根据正弦定理，得 sin sin a b A B =2sin A =sin A =因为，所以或， 0A π<<4A π=34π又因为，所以，故.a b <3A B π<=4A π=故选：A.7．在中，，，则线段的长ABC A 60BAC ∠=3BC AB ==，12CD DB =AD 为（ ）A B ． C D ．21【答案】C【分析】在中，利用余弦定理求得AC ，再在中，利用余弦定理求得ABC A ABC A cos B ，然后在中，利用余弦定理求解.ABD △【详解】解：在中，，ABC A 60BAC ∠= 3BC AB ==，由余弦定理得， 2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠即，解得 230AC -=AC =在中，由余弦定理得ABC A 222cos 2AB BC AC B AB BC +-==⋅所以，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅， 642=+-4=+所以， 1AD =故选：C8．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱A BCD -20BAD ∠= 4C 相交于，则△的周长的最小值为（ ）,AB AD 11,B D 11CB DA ．B ．C ．D ．42【答案】B【分析】将正三棱锥沿剪开，要使的周长的最小则有A BCD -AC CBD A ，结合已知条件及正三棱锥的性质知是等边三角形，即1111CD DB BC CC ''++=CAC '△可知周长的最小值.【详解】将正三棱锥沿剪开可得如下图形，A BCD -AC∵，即，又的周长为,20BAD ∠=︒3CAC π'∠=11CB D A 1111CD D B B C '++∴要使的周长的最小，则共线，即，又正三棱11CB D A 11,,,C D B C 1111CD D B B C CC ''++=锥侧棱长为，是等边三角形， A BCD -4CAC '△∴. 1111min ()4CD D B B C '++=故选：B二、多选题9．下列命题中不正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B ．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱C ．正三棱锥就是正四面体D ．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 【答案】AC【分析】A.画图判断；B.由正棱柱的定义判断；C.由正三棱锥和正四面体的定义判断；D.由直棱柱的定义判断. 【详解】解：A.如图：几何体满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱， B.由正棱柱的定义知：底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱，故正确；C.在正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故错误；D.由直棱柱的定义知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确； 故选：AC10．在复平面内，下列说法正确的是（ ） A ．B ．2i 1-=2(i)1-=C ．若，则D ．若复数满足，则是纯虚数a b >i i a b +>+z 20z <z 【答案】AD【分析】利用复数的运算和性质判断ABD ；虚数无法比较大小判断C.【详解】对于A ，，故A 正确；()()2i 111-=-⨯-=对于B ，，故B 不正确； ()222(i)1i 1-=-⨯=-对于C ，两个虚数不能比较大小，故C 不正确；对于D ，设，则，，则()i ,R z a b a b =+∈()2222i 2i z a b a b ab =+=-+20z <Q ，解得，故是虚数，故D 正确； 22020a b ab ⎧-<⎨=⎩0a b =⎧⎨≠⎩i z b =故选：AD11．已知角A ，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） B C ABC A A ． B ．若，则是等腰三角形()cos cos B C A +=-sin 2sin 2A B =ABC AC ．若，则D ．若是锐角三角形，则sin sin A B >A B >ABC Asin cos B A >【答案】ACD【分析】对A ，； ()()cos cos πB C A +=-对B ，得或； sin 2sin 2A B =A B =π2A B +=对C ，由正弦定理得； sin 1sin b B a A=<对D ，由锐角三角形角的范围得，则 π2A B >-πsin cos cos 2B B A ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭【详解】对A ，，A 对；()()cos cos πcos B C A A +=-=-对B ，，则或，即或，故为sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=A B =π2A B +=ABC A 等腰三角形或直角三角形，B 错； 对C ，由正弦定理得，则，则，则，C 对； sin sin a bA B =sin 1sin b B a A=<b a <A B >对D ，是锐角三角形，则，则，ABC A πππ,π,0,,0,222A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+∈∈∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2A B >-，D 对.πsin cos cos 2B B A ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭故选：ACD12．已知非零平面向量满足，，其中.,,a b c2a b a b +=-= ()1c a b λλ=+- 01λ≤≤若，则的值可能为（ ）()1c a b ⋅+=c r A BCD【答案】BC【分析】根据题意求得且，以及，设0a b ⋅= 224a b += ()2211a b λλ+-= ，求得，则，列出不等式组，求得的取值范围，22,a m b n == 4121n λλ-=-4321m λλ-=-λ利用，设，结合二次函数的性质和选项，即可求22441c λλ=-=+ ()2441f λλλ=-+解.【详解】因为，可得，2a b a b +=-= 2222224a a b b a a b b +⋅+=-⋅+= 可得且， 0a b ⋅= 224a b += 由，其中，()1c a b λλ=+-01λ≤≤所以， ()()221][()1()1a b a c a b a b b λλλλ⋅+=⋅+--++== 设，可得，即，22,a m b n == 4m n +=4m n =-代入上式，可得，即， ()11m n λλ+-=()(4)11n n λλ-+-=解得，则， 4121n λλ-=-414342121m λλλλ--=-=--又由且，解得或，4102143021λλλλ-⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩01λ≤≤102λ≤<314λ≤≤因为()()()222222222111c a a b b a b λλλλλλ=+-⋅+-=+- ()32224341812612121121λλλλλλλλλλ---+---=⨯+-=-⨯，22(21)(441)44121λλλλλλ--+==-+-设，()2441f λλλ=-+当时，可得； 12λ≤<()(0,1]f λ∈当时，可得，314λ≤≤()1[,1]4f λ∈结合选项，可得的值可能为. c r 故选：BC.三、填空题13．世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点z OZ =z z Z 到原点的距离.在复平面内，复数（是虚数单位），其对应的点为，为曲线03i z =i 0Z Z 上的动点，则与之间的最小距离为_______.2z =0Z Z 【答案】1【分析】为以O 为圆心，半径为2的圆周上的点，对应的点为，由点到圆Z 0Z ()0,3上点的距离关系即可得最小距离【详解】由题意，为曲线上的动点，即为以O 为圆心，半径为2的圆周上的Z 2z =点对应的点为，如图所示，0Z ()0,3则当时有最小距离为. ()0,2Z =321-=故答案为：114．在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则ABC A D BC AD xAB y AC =+的最小值______. 12x y+【答案】3+3【分析】由向量共线定理可得，结合基本不等式即可求出的最小值.1x y +=12x y+【详解】如图，可知x ，y 均为正，且，1x y +=()121223y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33⎛≥+=+ ⎝当且仅当，即 2y x xy=1,2x y ==则的最小值为. 12x y+3+故答案为：3+15．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而ABC A 言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如P 120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒P ABC A 图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足ABC A 45BAC ∠=︒P ABC A 45PBA ∠=︒，.则的外接圆直径长为______.4PA =ABC A【答案】【分析】由已知利用三角形的内角和定理可得，，可得在15PAB ∠=︒30PAC ∠=︒中，，可得，在中，由正弦定理可得的值，PAC △30∠=︒PCA 4PC PA ==PAB △PB 在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圆的直PBC A BC ABC A 径.【详解】由已知，所以. 1801204515PAB ∠=︒-︒-︒=︒451530PAC ∠=︒-︒=︒在中，，故. PAC △1801203030PCA ∠=︒-︒-︒=︒4PC PA ==在中，由正弦定理得， PAB △sin15sin 45PB PA=︒︒4sin15sin 45PB ︒=︒而()1sin15sin 45302︒=-==︒︒sin 45=°故， 2PB ==在中，利用余弦定理PBC A 2222cos120BC PB PC PB PC =+-⋅︒，即()()22124224242⎛⎫=-+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC =在中，利用正弦定理，故的外接圆直径长为ABC A 2sin 45BC R ===︒ABC A故答案为：16．钝角中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，，，则ABCA 2c =3B π=ABCA 面积的取值范围是______. 【答案】()⎛⋃+∞ ⎝【分析】由正弦定理可得，接着利用三角形的面积公式得到1a =+为钝角三角形求出的范围，进而求得面积32a t n ABC S C =A ABC A C ABCA 的取值范围.【详解】因为，所以B C A +=π-()()sin sin sin sin 3A A B C C ππ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，1sin coscos sinsin 332C C C C ππ=+=又由正弦定理得，， sin sin a cA C=sin 1sin c A a C ===所以 31222ta 11sin 2n ABC S ac B C ⎫==⨯=⎪⎪⎭A 因为为钝角三角形，，， ABC A 3B π=23A B C C ππ=--=-所以当为钝角时，，即 ，故 ， A 223A ππ<<22233C πππ<-<06C π<<所以，故 0tan C <<1tan C>32ABC S >=A 当为钝角时，，所以，C 223C ππ<<tan C <10tan C<<所以，即33022ABC S <⎛<⨯⨯⎝A 0ABC S <<A 综上：.0ABCS <<A ABC S >A ()ABC S ⎛∈⋃+∞ ⎝A 故答案为：. ()⎛⋃+∞ ⎝四、解答题17．已知复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数(3)(3)z m m m i =-+-i z m 的值： (1)为实数； z (2)为纯虚数；z (3)在复平面内对应的点在直线上. z y x =【答案】(1)； 3m =(2)； 0m =(3)或. 1m =3m =【分析】根据复数为实数其虚部为0；复数为纯虚数其实部为0，虚部不为0；点在直线上，其实部与虚部相等； y x =【详解】(1)为实数，，解得：；z 30m -=3m =(2)为纯虚数，；z (3)0,30,m m m m -=⎧⇒=⎨-≠⎩(3)在复平面内对应的点在直线上，z y x =或.∴()331m m m m -=-⇒=3m =18．已知平行四边形中，，，，点是线段的中ABCD 3AB =6BC =o 60DAB ∠=E BC 点.(1)求的值；AB AD ⋅(2)若，且，求的值.AF AE AD λ=+ BD AF ⊥λ【答案】(1)9 (2)12λ=-【分析】（1）以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别求出，再根据数量积的坐标运算即可得解；,AB AD（2）根据平面向量线性运算的坐标表示球的，由，得，从而AF BD AF ⊥0BD AF ⋅= 可得出答案.【详解】(1)解：以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，()(()(90,0,,,3,0,2A C E B D ⎛ ⎝则，(()330AD AB ==，，所以；9AB AD ⋅=(2)解：，，932AF AE AD λλ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭(0BD =因为，BD AF ⊥所以，解得．0BD AF⎫⋅==⎪⎭12λ=-19．已知的周长为，且. ABC A 2sin sin A B C +=(1)求边的长；AB (2)若的面积为，求角的度数.ABC A 23sin C C 【答案】(1)2 (2) 60C =︒【分析】⑴利用正弦定理进行边角互换，再结合三角形周长列方程，解方程即可得到的长；AB ⑵利用三角形的面积公式列等式，再结合⑴中的结论和余弦定理求角. 【详解】(1)因为三角形周长为，所以①，2+2AB BC AC ++=+因为，所以由正弦定理可得②， sin sin A B C +=BC AC +=由①②联立，解得．2AB =(2)由的面积得，由⑴得ABC A 12sin sin 23BC AC C C ⋅⋅=43BC AC ⋅=AC BC +=由余弦定理，得22222884()213cos 82223AC BC AB AC BC AC BC AB C AC BC AC BC --+-+-⋅-====⋅⋅，∵，∴．0180C ︒<<︒60C =︒20．已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E 为棱1111ABCD A B C D -E ABCD -14AA =中点.1CC(1)求四棱锥的表面积；E ABCD -(2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比； E ABCD -(3)若点F 是AB 上的中点，求三棱锥的体积. C DEF -【答案】(1) 24+(2) 1:5(3) 163【分析】（1）四棱锥的表面由正方形ABCD 和四个直角三角形所围成，求出各面积相加即可（2）设剩余部分的体积为，正方体体积，则 2V 1V ()21::E ABCD E ABCD E ABCD V V V V V ----=（3）由等体积法，用算即可.C DEF E CDF V V --=【详解】(1)四棱锥的表面由正方形ABCD 和四个直角三角形所围成，，，，则与全等，BC DC =DE BE ===AB AD =ABE △ADE A 与全等，BCE A DCE A 因为，，2416ABCD S ==1142422BCE S BC CE =⋅=⨯⨯=△， 11422ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△所以1624224E ABCD ABCD BCE DCE ABE ADE S S S S S S -=++++=+⨯+⨯=+A A A A (2)设剩余部分的体积为，因为EC 为四棱柱的高，且2V E ABCD -2EC =所以 1132162333E ABCD ABCD V S EC -=⋅=⨯⨯=又正方体体积， 31464V ==23232::641:533E ABCD V V -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(3)，其中平面ABCD ， 182CDF ABCD S S ==A CE ⊥故111682333C DEF E CDF CDF V V S EC --==⋅=⨯⨯=A 21．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得，，120CD =135ADB ∠=︒，.求A ，B 两点间的距离.15BDC DCA ∠=∠=︒120ACB ∠=︒【答案】【分析】画出示意图，根据题意求得，利用正弦定理求得120AD CD ==BD =再利用余弦定理，求得的长，即可得到答案.AB 【详解】如图所示，因为， 135,15ADB BDC DCA ∠=︒∠=∠=︒所以，且，所以， 150ADC ∠=︒15DAC DCA ∠=∠=︒120AD CD ==又因为，所以，120ACB ∠=︒135,30BCD CBD ∠=︒∠=︒由正弦定理，可得sin sin BD CD BCD CBD =∠∠sin sin CD BCD BD CBD⋅∠===∠在中，由余弦定理得， ABD △2222cos AB ADBD AD BD ADB =+-⋅∠， 221202120(72000=+-⨯⨯=所以A ，B 两点间的距离为.AB =22．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭离为，且函数的图象关于直线对称；2π()f x 3x π=-(1)求出的解析式； ()f x (2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在()f x 12π()y g x =()g x a =上有两根，，求的值及的取值范围. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦αβαβ≠（）αβ+a 【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)， 76παβ+=(2-【分析】（1）根据条件相邻的两个对称中心的距离为得到周期从而求出，再根据2πω对称轴是及求出，从而得到的解析式； 3x π=-||2ϕπ<ϕ()f x （2）根据平移变换得到，再通过整体代换，利用正弦函数的图像()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭和性质得到有最小值及对应的自变量的值，即可求的值及的取值范围. ()g x αβ+a 【详解】(1)解：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为()2sin()f x x ωϕ=+2π， 所以，即周期，所以， 22T π=T π=22T πω==所以，()2sin(2)f x x ϕ=+又因为函数的图象关于直线轴对称，()f x 3x π=-所以，，即，，232k ππϕπ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭Z k ∈76k πϕπ=+Z k ∈因为，所以，||2ϕπ<6π=ϕ所以函数的解析式为；()y f x =()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，()f x 12π()y g x =所以，()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦252,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦22sin 23x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当时，有最小值且关于对称，3232x ππ+=()g x 2-712x π=因为方程在上有两根，，()g x a =2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦αβαβ≠（）所以， 772126ππαβ+=⨯=的取值范围.2a ∴-<≤a (2-。

重庆市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

重庆市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．记复数z 的共轭复数为，满足条件的所有复数在复平面上所占的面积是（ ） ()f z ()4z f z ⋅≤A ． B ． C ． D ．π2π4π8π【答案】C【分析】由，得到求解. ()24z z f z =⋅≤2z =【详解】解：由题意得：， ()24z z f z =⋅≤所以，2z =即复数z 的在复平面上对应的点构成的图形是一个半径为2的圆面， 所以其面积为， 2π4πS R ==故选：C2．记为点到平面的距离，给定四面体，则满足的平面的个i A d i A α1234A A A A -()122,3,4i A A d d i ==α数为（ ） A ． B ．C ．D ．1258【答案】D【分析】分类讨论，当平面与平面平行时，分析可得个，当平面经过的中位α234A A A 2α234A A A △线时分析可得个，从而得解．6【详解】到点和的距离相等的平面有两种类型，与平面平行或者经过的23,A A 4A α234A A A 234AA A △某一条中位线．当平面与平面平行时，如下图，α234A A A 1设的三等分点分别为（靠近）， 121314,,A A A A A A 234,B B B ,1A 对于平面，利用三角形相似可知，平面符合题意． 234B B B 1212222A A d A B d A B ==234B B B在线段的延长线上取使得， 1i A A i C ()12,3,4i i i A A AC i ==对于平面，利用三角形相似可知，平面符合题意， 234C C C 1212222A A d A C d A C ==234C C C 即平面与平面平行时，满足条件的平面有2个； α234A A A 设的中点分别为， 232434,,A A A A A A ,,E F G 当平面经过的中位线时， α234A A A △EF 如下图：对于平面，在线段上且， 22B EF 2B 12A A 12222A B A B =利用三角形相似可知， 1212222A A d A B d A B ==又，平面，平面，可得平面， 34//EF A A EF ⊂2B EF 34A A ⊄2B EF 34A A //2B EF 且、分别为的中点， E F 2324,A A A A 则、、到平面的距离相等， 2A 3A 4A 2B EF 因此平面符合题意．2B EF 如下图：对于平面，在线段上，在线段上，334B B FE 3B 13A A 4B 41A A 且，利用三角形相似可知， 131433442A B A BA B A B ==1313332A A d A B d A B ==又，平面，平面，可得平面， 34//EF A A EF ⊂34B B FE 34A A ⊄34B B FE 34A A ∥34B B FE 且、分别为的中点， E F 2324,A A A A 则、、到平面的距离相等， 2A 3A 4A 34B B FE 因此平面符合题意．34B B FE 对于中位线，也有类似结论,即平面经过的某条中位线时，满足条件的平面有EG GF 、α234A A A △6个，综上所述，符合题意的平面共有个． 8故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题.3．已知集合，则集合的元素个数为（ ） 6sin 3,cos 3x A y y y x ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭Z A A ． B ． C ． D ．4567【答案】A 【分析】由，可得出6sin 3cos 3x y x +=+()33x y ϕ-=-3y等式，即可得出集合中元素的个数. A 【详解】由可得，6sin 3cos 3x y x +=+6sin cos 33x y x y -=-()33x y ϕ-=-其中，tan 6y ϕ=因为，所以，，()[]sin 1,1x ϕ-∈-()33y x ϕ⎡-=-∈⎣所以，3y 2818270y y --≤y ≤≤所以，，即集合中共有个元素. {}0,1,2,3A =A 4故选：A.4．已知函数满足.向量，，()f x ()(]()2168,0,2111,2,22x x f x f x x ∞⎧-∈⎪=⎨⎛⎫-∈+ ⎪⎪⎝⎭⎩()()00,a x f x = ()1,0b = ，记在方向上的向量为，则当最大时，的值为（ ）(]014,30x ∈b ac c r 0x A ． B ．C ． D ．14+【答案】A【分析】先求得的解析式，进而得到的表达式，然后求得当最大时的值.()0f x c r c r0x 【详解】解：由，则， (]014,30x ∈()0011122f x f x ⎛⎫- ⎪=⎝⎭又，则，(]0116,142x -∈00111312242f x f x ⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎫= ⎝⎭⎭⎛又，则，(]0132,642x -∈001311742284f x f x ⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎫= ⎝⎭⎭⎛又，则，(]0170,284x -∈20017171688484f x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则， ()()2200001171168286888464f x x x x ⎡⎤⎛⎫--=--+⎢⎥ ⎝⎢⎥⎦=⎪⎭⎣又，0a bx ⋅=r r a =则a b c a⋅==r r rr 因为在上单调递增，则，0068t x x =+(]14,300068343414,30715t x x ⎛⎤=+∈++ ⎝⎦所以由二次函数的性质知：当，即时，取得最大值， 0068280x x +-=014x =+c r 故选：A.5．在中，若，则的最大值为（ ） ABC A sin 3cos cos AB C =22cos cos B C+A B CD【答案】A【分析】根据积化和差、和差化积公式化简，利用辅助角公式求函数的最值. 【详解】，sin 3cos cos A B C = ， 2sin 2cos cos cos()cos()3A B C B C B C ∴==++-, 2sin cos cos()3A A B C ∴+=-221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)1cos()cos()22B C B C B C B C B C ++++==++=++⋅-2sin cos ))1cos cos(1cos (3A A C A A B =+-⋅-=-11cos 21sin 232A A +=--，（其中），1111(sin 2cos 2)+)2322A A A ϕ=-+=3tan 2ϕ=+)A ϕ≤≤时等号成立. ∴11+)22A ϕ≤=3π22A ϕ+=22cos cos B C ∴+故选：A6．一棱长为3的正方体封闭盒子中放有一半径为1的小球1个，若将盒子任意翻动，则小球不能到达的空间体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 1320π3-16π203-204π-1520π3-【答案】A【分析】根据空间想象得出小球不能达到的空间，利用空间几何体的体积公式计算即可. 【详解】如上图所示，小球在正方体盒子自由滚动当与正方体三面相切时，不能达到的空间即小正方体ABEF-GMOH 体积减去球O 的八分之一体积（这样的角落有八个），此后当小球向右移动时与正方体的两面相切，其不能达到的空间为正方体BCDE-MNPO 的体积减去圆柱OP 的四分之一体积（这样的空间有十二个），故小球达不到的空间体积为：，33321411381π1121π1120π8343V ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A7．已知向量，，满足，，，则的取值范围是（ ）a b c1a = 2a b += ||3a c -= b c ⋅ A ． B ．C ．D ．[]12,6-[]12,4-[]10,6-[]10,4-【答案】A【分析】利用向量三角形不等式，求出的范围，进而求出的范围，再利用数量积的性||,||b c||||b c 质求解作答.【详解】，，而，即，解得， 1a = 2a b += ||||||||||||b a a b b a -≤+≤+ |||1|2||1b b -≤≤+1||3b ≤≤ ，而，即，解得||3a c -=||||||||||||c a a c c a -≤-≤+ |||1|3||1c c -≤≤+ 2||4c ≤≤ 在直角坐标平面内，作，令，则，1,OA a OC a ==- ,OB b OC c == 1||||2C B a b =+= ||||3AC c a =-=，于是点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，3为半径的圆上，如图，B 1C C A观察图形知，，当且仅当点都在直线上，且方向相反， ||||||12b c b c ⋅≤≤ ,B C OA ,b c即点B 与D 重合，点C 与E 重合时取等号，即，解得， ||||12b c b c -⋅≤≤ 12b c ⋅≥-当且仅当点都在直线上，且方向相同，,B C OA ,b c若点B 与A 重合，点C 与E 重合时，，若点B 与D 重合，点C 与F 重合时，，因4b c ⋅= 6b c ⋅=此，6b c ⋅≤所以的取值范围是. b c ⋅126b c -≤⋅≤ 故选：A8．在中，，，，点D 为边边上一动点，将沿着翻ABC A π3BAC ∠=3AB =2AC =BC ABD △AD 折，使得点B 到达，且平面平面，则当最小时，的长度为（ ） B 'AB D '⊥ACD B C 'CDA B C D 【答案】A【分析】设，通过作，，利用条件将用的三角函数π,(0,)3BAD αα∠=∈BE AD ⊥CF AD ⊥B C 'α表示出来，从而求出当时，最小，在中，利用余弦定理，求出的长，再利用π6α=B C 'ABC A BC 条件得出，从而求出结果. 32AB BD AC CD ==【详解】如图，设，作交或的延长线于点，作交π,(0,3BAD αα∠=∈BE AD ⊥AD AD E CF AD ⊥或的延长线于点，连，易知， AD AD F B F 'π6ACF α∠=+所以，，，，则3sin BE α=3cos AE α=π2cos()6CF α=+π2sin()6AF α=+，π2sin()2cos 6EF AF AE ααα=-=+--因为，所以，又平面平面，平面平面，BE AD ⊥B E AD '⊥AB D '⊥ACD AB D ' ACD AD =B E '⊂平面，所以平面， AB D 'B E '⊥ACD 又平面，所以,CF ⊂ACD B E CF '⊥又，，平面，平面， CF AD ⊥B E AD E '= B E '⊂AB D 'AD ⊂AB D '所以平面，又平面，所以， CF ⊥AB D 'B F '⊂AB D 'CF B F '⊥所以，222222222B C B F CF B E EF CF BE EF CF '''=+=++=++即 2222π9sin 2cos )4cos ()6B C αααα'=+-++22223112sin cos 4cos 4(cos cos sin )44αααααααα=-+++221cos213sin cos 7cos 76103cos22αααααααα-=-+=+⨯-=--，π106sin(26α=-+所以当，即时，最小，此时为角的平分线，ππ262α+=π6α=B C 'CD A 在中，由余弦定理知，，所以ABC A 22212cos 9423272BC AC AB AC AB A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=BC =在中，设边上的高的长度为，因为，ABC A BC h 11sin 22ABD S AB AD BAD BD h =⋅∠=⋅A ， 11sin 22ADC S AC AD CAD CD h =⋅∠=⋅A 所以，得到，所以 11sin 2211sin 22ABDADCAB AD BAD BD hS S AC AD CAD CD h ⋅∠⋅==⋅∠⋅A A 32AB BD AC CD ==25CD BC ==故选：A.9．已知函数在区间上单调，且满足.()()2sin f x x ωϕ=+()0,R ωϕ>∈7π51π,1260⎛⎫⎪⎝⎭74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若函数在区间上恰有5个零点，则的值可能为（ ）()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ωA ．B ．C ．3D ．833011114【答案】B【分析】利用，得出的一个对称中心，再利用函数在区间74π12π3f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()f x 7π51π,1260⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，进而求出的一个范围，再利用的图像与性质及条件得到ωsin y x =2π4π13π2π5π363ωω+<≤+，从而求出结果.【详解】因为函数在区间上单调，且，又， ()f x 7π51π,1260⎛⎫⎪⎝⎭74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12ππ37π5,1260∈⎛⎫ ⎪⎝⎭所以的一个对称中心为， ()f x 2π(,0)3又，所以，得到，51π2π11π2π7π5π6036031260-=>-=π11π4260T ω=≥30011ω<≤由的图像与性质知，相邻两个零点之间的距离为sin y x =2T又因为，函数在区间上恰有5个零点，所以， 20π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2π13π2π523632T T +<≤+即， 2π4π13π2π5π363ωω+<≤+解得，又因为，所以，81033ω<≤30011ω<≤830311ω<≤故选：B.二、多选题10．已知满足三个条件：①②③_______.若这样的恰ABC A 1AB =2sin 2sin cos 2A B B =+ABC A 好有2个，则③可以是（ ） A ． B ． C ．是等腰三角形 D ．是直角三角形π5B =25B π=ABC A ABC A 【答案】AD【分析】对，需满足为锐角，且可以是锐角或钝角，据此解出的取值范围；对AB B ∠A ∠B ∠C ，分成不同的三种底角的情况去讨论，判定每种情况是否能成立；对，分成、、各自为直D A B C 角的三种情况去讨论，判定每种情况是否能成立即可.【详解】对给定的，，B ∠21113sin sin cos 2sin sin ,2224A B B B B ⎡⎤=+=+-∈⎢⎥⎣⎦若满足条件的恰好有2个，ABC A则为锐角，且解出的需有两解，分别为一个锐角和一个钝角.B ∠A ∠设的锐角解为，则钝角解为，A ∠π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭πα-要使存在，需满足，ABC A πππB B αα+<⎧⎨+-<⎩解得，所以，πB B α<<-sin sin B α>即，211sin sin sin cos 2sin sin sin 22A B B B B B α==+=+->解得， 0sin B <<π04B <<故正确，错误.A B 对，若是等腰三角形，分三种情况：C ABC A ①若，，， π0,2A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2sin 2sin cos 2B B B =+cos 20B =又， π02B <<，即，满足条件； π4B ∴=ππ,42A C ==②若，，，π0,2A C ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭π2B A =-()sin sin π2sin 2B A A =-=，2sin 2sin cos 2A B B =+，222111313sin sin cos 2sin sin sin sin 2222424A B B B B B A ⎛⎫⎛⎫=+=+-=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得，213sin 2sin 024A A ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭设，()213sin 2sin 24f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭又，2ππ1π3sin sin 063264f ⎛⎫⎛⎫=-+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π2π1π31sin sin 0332344f ⎛⎫⎛⎫=-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则在上有零点，()213sin 2sin 24f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭即存在使成立，满足条件；ππ,63A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭213sin 2sin 024A A ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭③若，，，π0,2B C ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭π2A B =-()sin sin π2sin 2A B B =-=，2sin 2sin 22sin cos 2A B B B ==+，221113sin 2sin cos 2sin sin sin 2224B B B B B B ⎛⎫=+=+-=--+ ⎪⎝⎭整理得，213sin sin 2024B B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭设，()213sin sin 224g x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，()21310sin 0sin 00242g ⎛⎫=-+-=-< ⎪⎝⎭， 2ππ1π33sin sin 0662344g ⎛⎫⎛⎫=-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即存在使成立，满足条件；π0,6B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭213sin sin 2024B B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭又当时，不满足， π6A B C ===2sin 2sin cos 2A B B =+以上三种情况的等腰三角形无重复三角形；∴故满足题意的至少有三个，错误. ABC A C 对，若是直角三角形，分三种情况： D ABC A ①若，， π2A =22sin 22sin cos 22sin 12sin A B B B B ==+=+-整理得，无解；22112sin 2sin 12sin 022B B B ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭②若，， π2B =2sin 2sin cos 2211A B B =+=-=，，满足条件； 1sin 2A =π6A =③若，， π2C =π2A B +=，22π2sin 2sin 2cos 2sin cos 22sin cos sin 2A B B B B B B B ⎛⎫=-==+=+- ⎪⎝⎭整理得，22cos sin 2cos 2sin 0B B B B --+=，()()()()()cos sin cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin 0B B B B B B B B B B ⎡⎤+---=+--=⎣⎦，πcos sin 4B B B ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭无解，只有， ()cos sin 20B B ∴+-=cos sin 0B B -=又， π02B <<，即，满足条件； π4B ∴=ππ,42A C ==故正确. D 故选：.AD 11．设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量O A B ()det ,OA OB OA OB '=⋅ OA '以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量OA O OA OA ' a、、，下列说法正确的是（ ） b cA ．()()det ,det ,a b b a =B ．对任意，R λ∈()()det ,det ,a b b a b λ+=C ．若、为不共线向量，满足，则， a b(),yb c x a y x +=∈R ()()det ,det ,a c x a b = ()()det ,det,by c b a = D ．()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=【答案】BD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项；利用A 选项中的结论结合题中定义可判断B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项；对、是否共线进行分类讨论，结合a b题中定义可判断D 选项.【详解】设向量、在平面直角坐标系中的坐标分别为，， a b()12,a a a = ()12,b b b = 设，则，()cos ,sin a r r θθ= ()()21ππcos ,sin sin ,cos ,22a r r r r a a θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 同理可得，()21,b b b '=-所以，，()()()21122112det ,,,a b a b a a b b a b a b '=⋅=-⋅=-+，则，A 错；()()()21121221det ,,,b a b a b b a a a b a b '=⋅=-⋅=-+ ()()det ,det ,a b b a ≠对任意的，由A 选项可知，， R λ∈0b b '⋅=当、不共线时，，a b()1221det ,0a b a b a b =-≠ ，B 对；()()()()()det ,det ,det ,det ,a b b b a b b a b b a b a a b λλλ''+=-+=-⋅+=-⋅=-=因为，所以，，xa yb c += c b xa b yb b xa b ''''⋅=⋅+⋅=⋅ 所以，，同理可得，C 错； ()()()()det,det ,det,det ,b c c bc b x a b b a a b '⋅==='⋅()()()()det ,det ,det ,det ,c a a cy b a a b==当、不共线时，由C 选项可知，， a b()()()()det ,det ,det ,det ,c b a c c a b a b a b =+ 所以，，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c c b a a c b b c a c a b =+=--所以，. ()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++= 任取两个向量、，对任意的实数，， m np ()()()det ,det ,m pn m pn p m n p m n ''=⋅=⋅= 当、共线时，设存在使得，且，a b k ∈R b ka =()det ,0a b = 所以，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c b c a c a b b c ka c kb b ++=⋅+，()()()()det ,det ,det ,det ,0k b c a k c b a k b c a k b c a =+=-=综上所述，，D 对.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.12．已知三棱锥，过顶点的平面交分别棱，于，（均不与棱端点重合）.A BCD -B αAC AD M N 设，，，其中和分别表示三棱锥和三棱锥1AMr AC =2AN r AD=3A BNM A BCD V r V --=A BNM V -A BCD V -A BNM -的体积.下列不等式一定成立的是（ ）A BCD -A ．B ．C ．D ．312r r r <+3121r r r +>+223122r r r <+2231212r r r +<+【答案】AB【分析】先根据题中关系得到，再用作差法判断选项不等式是否正确即可. 312r r r =【详解】如图1所示：. 3=A BNM B ANM ANMA BCDB ACD ACDV V S r V V S ----==A A 图2为三棱锥面的平面图，作交于，A BCD -ACD ME CD ∥ADE因为，所以，, 1AM r AC=21AME ACD S r S =A A 1AE r AD =又因，所以， 2ANr AD =21r AN AE r =， 21ANM AME r S S r =A A 所以，且由题可知，，. 2211312ACD ANM ACDACDr r S S r r r r S S ⋅===A A A A ()10,1r ∈()20,1r ∈()30,1r ∈A 选项：，因，，故，即()()31212121221r r r r r r r r r r -=--=+--210r -<20r >()12210r r r --<，所以，A 正确；()3120r r r -<+312r r r <+B 选项：，()()()312112121111r r r r r r r r r =-+-+=+---因，，所以即，故B 正确；110r ->210r ->()31201r r r +-+>3121r r r +>+C 选项：，即，()22223121221221202r r r r r r r r r ------==≤223122r r r ≤+当且仅当时，等号成立，故C 错误；12r r =D 选项：， ()1222231211222212121r r r r r r r r r =+=----+--因，，所以，即，()10,1r ∈()20,1r ∈()2211r r -<()21210r r -->所以，故D 错误.2231212r r r +>+故选：AB.三、填空题13．复数，且，则实数_______. ()6i R z a =+∈13z <<=a 【答案】【分析】展开，依据题意计算的值，再根据确定最终解果即可.()()362i i a a ⎡⎤+=+⎣⎦a 13z <<【详解】()()()()()()()3326232222i 12i 1312i 312i 2i a a a a a a a a a +=-+=-+-⋅+-⋅+ ()()()32222231121618i a a a a a a ⎡⎤=---+--⎢⎥⎣⎦由题意得或或()()()2232226180231300a a a a a a a --=⇒--=⇒=23a =213a =若，则，不满足，舍去； 20a =1z =-13z <<若，则，不满足，舍去；23a =64z =-13z <<若，则，满足题意，故213a =()17,1,3273z z =+∈a =故答案为：14．平面向量，，满足，，a b c 1a a b c =-== ()2b a ca c +⋅+⋅+1a b b a bb c b ⋅+=+⋅，则______．()2b c-= 【答案】/22【分析】数形结合，利用题干条件及正余弦定理求出答案.【详解】可变形为()2b a ca c +⋅⋅+ ()2b ac b a c +⋅-⋅+= 1的圆，则()()b a bc -⋅-= ，设，，()()cos b a b c b a b c CBA -⋅-=-⋅-∠= 3π4CBA ∠=-,a b α= ,c b β= ，解得：，所以， 21cos 122cos cos a b b a b b c b ααβ⋅+⎛⎫+=+⇒=+ ⎪⋅⎝⎭22cos cos2αβ=2αβ=在△AOC 中，由余弦定理得：，在三角形BAC 中，()()2112cos 22cos AC αβαβ=+-+=-+，从而，即2223π12cos14AC BC BC BC =+-⋅=+()222cos 1BC αβ-+=+， ()2312cos 12cos2BC ααβ=-+=-因为，所以，所以，OA AB =OBA AOB α∠=∠=3π4OBC α∠=-，在△OBC 中，由正弦定理得：3ππππ424OCB OBC αβαβ∠=-∠-=-+-=+，即， sin sin OB OCOCB OBC =∠∠1π3πsin sin 244OB αα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在三角形OAB 中，由正弦定理得：，即，sin sin OB AB OAB AOB =∠∠()1sin π2sin OB αα=-1sin 2sin OB αα=，从而，化简得：，解得：，所以πsin sin 2243πsin sin 4αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 2sin 2cos sin 122αααα+=+-π3α=，解得：或（舍23π12cos12cos 122BC α=-=-=0BC =>0BC =<去），故.()222b cCB -==故答案为：2【点睛】向量相关的压轴题，往往需要数形结合进行求解，作出图象，结合题干条件及解三角形的相关定理进行求解.15．若四面体外接球半径为1，__________.ABCD AB CD ⋅=【分析】先证明一个引理，再设，根据引理及基本不等式可得,AB x CD y ==.6A BCD V -≤【详解】先证明一个引理：引理：已知空间四边形，若所成的角为且异面直线的公垂线段的长度为MNPQ ,MN PQ θ,MN PQ d ，则四面体的体积为.MNPQ 1sin 6MN PQ d θ⋅⋅证明：如图，在平面中，过作直线平行于，过作直线平行于， NPQ N PQ Q NP 它们交于，则四边形为平行四边形，故.T NPQT NT PQ =因为，故或其补角为所成的角， //TN PQ TNM ∠,MN PQ 故或， TNM θ∠=180TNM θ∠=︒-故, 11sin sin 22MNT S MN NT MN PQ θθ=⋅⋅=⋅⋅A 设为的公垂线段，故，EF ,MN PQ ,EF MN EF PQ ⊥⊥故，而平面，故平面， EF NT ⊥,,NM NT N NM NT =⊂ NMT EF ⊥NMT 因为，平面，平面，故平面， //TN PQ TN ⊂NMT PQ ⊄NMT //PQ NMT 故到平面的距离为的长度， Q NMT EF 故.11sin 36Q NMT MNT V d S MN PQ d θ-=⋅⋅=⋅⋅⋅A 故.11sin 36M NPQ M NTQ Q NMT MNT V V V d S MN PQ d θ---===⋅⋅=⋅⋅⋅A 如图，在四面体中，取的中点分别为，连接， ABCD ,AB CD ,M N ,,,OC ON OA OM 则.,OC ON OA OM ⊥⊥设，所成的角为，则,AB x CD y ==,AB CDαcos xy α=又，OM ON ==设的公垂线段的长度为，则， ,AB CD d d ≤+故，11sin 66A BCDV dxy α-=≤整理得到：，6A BCDV -≤因为2221144x y =-+-+，当且仅当时等号成立， 2222221111444442x y x y x y +≤-+-+-+-=-x y =故6A BCDV -≤≤故 6A BCD V -≤当且仅当.x y =4xy <<设，则，()32434s t t t t t =-++-<<()2383s t t t '=-++时，，当时，， 3t <<()0s t '>34t <<()0s t '<故在上为增函数，在上为减函数， ()s t )()3,4故在上的最大值为，()s t )4()327369126s =-++-=故，当且仅当 6A BCD V -≤A BCD V -≤x y ==cos α=又此时取为两圆的连心线且垂直于两个截面圆，并,AB CD MN MN 过球心，故为的公垂线段，所以①中等号可取， MN ,AB CD故 ()max A BCD V -=【点睛】思路点睛：动态几何体的体积问题，一般先根据几何体的特征寻找体积计算的合理途径，注意在计算的过程中需结合一些线段的长度关系合理放缩，最后根据所得代数式的特征选择合理的最值计算方法（如导数、基本不等式等）.16．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则的外心到其三边ABC A π3a A ==ABC A 距离和的取值范围是______.【答案】1,4)【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出外接圆半径，再结合圆的性质按为锐角、ABC A ABC ∠直角、钝角讨论求解作答.【详解】在中，，由正弦定理得外接圆半径， ABC A π3a A==O 122sin a R A =⋅==则，由对称性不妨令，，则有2π3ABC ACB ∠+∠=ABC ACB ∠≥∠ABC θ∠=， 2ππ2π,333ACB θθ∠=-≤<当为锐角，即时，令的中点分别为，连接，如图， ABC ∠ππ32θ≤<,,AB BCAC ,,D E F ,,OD OE OF则， π2π,,,,,33OD AB OE BC OF AC BOE AOF AOD ACB θθ⊥⊥⊥∠=∠=∠=∠=-于是， 2ππcos(),cos 1,cos 33OD R OE R OF R θθ=-===， 2ππ2cos()12cos cos 12sin(136d OD OE OF θθθθθ=++=-++=++=++显然， ππ2π263θ≤+<πsin()16θ<+≤13d <≤当为直角时，点的中点与重合，， ABC ∠AC FO 2ππ0,1,cos(32OF OE OD R ===-=因此，1d OD OE OF =++=当为钝角，即时，， ABC ∠π2π23θ<<1(2π2)π2AOF ABC θ∠=-∠=-于是， 2πcos(),1,cos(π)3OD R OE OF R θθ=-==-， 2ππ2cos()12cos 3cos 1133d OD OE OF θθθθθ=++=-+-=-+=-+显然，， πππ633θ<-<1πsin()23θ<-<14d <<，14d ≤<所以的外心到其三边距离和的取值范围是.ABC A 1,4)【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长或距离范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.四、解答题17．已知复数满足，其中是数单位，是复数的共轭复数 z i 22z z z ⋅=+i z z (1)求复数；z (2)若复数是纯虚数，求实数的值()()212i 3i 12m m z +-+-m 【答案】(1) 1i z =-+(2)1【分析】（1）根据复数的相等及乘法运算可求解； （2）由纯虚数的概念建立等式求解即可.【详解】（1）设，，则，i z a b =+,a b R ∈i 22z z z ⋅=+就是，即.()()()i i i 22i a b a b a b +-=++()22i 222i a b a b +=++于是，解得，所以.222220a b b a ⎧+=⎨+=⎩11a b =-⎧⎨=⎩1i z =-+（2）()()()()()2212i 3i 1212i 3i 121i m m z m m +-+-=+-+--+.()2232232i m m m m =-++--此为纯虚数，所以，即，因此.223202320m m m m ⎧-+=⎨--≠⎩1,212,2m m m m ==⎧⎪⎨≠≠-⎪⎩1m =18．如图，点M 、N 分别是正四面体棱、上的点，正四面体的边长为3,设，ABCD AB CD BM x =直线与直线所成的角为.MN BCθ(1)若，求三棱锥体积的最大值； 2DN x =N BCM -(2)若，求的取值范围. 2CN ND =cos θ【答案】(2)【分析】（1）计算出M 到面BCD 的距离为，将表示为的函数并用基本不等式求最大h 'N BCM V -x 值.（2）分别过作的平行线,可得直线与所作的平行线所成的角即为,求出各边再用N BC MN θMNE A 余弦定理求出，再根据的单调性求其范围.cos θcos θ【详解】（1）如图：作面BCD 于O ，则O 为底面BCD 的中心，AO ⊥所以，3OB ==AO===设M 到面BCD 的距离为，则，所以，h '3x =h '=由得，2DN x =32CN x =-所以 ， ())1332sin 60322BCN S x x =⨯⋅-=- A故三棱锥体积 N BCM -)113233N BCM M BCN BCN V V h S x --'===-A， ))()2322323222x x x x x x -+⎫=-=-≤=⎪⎭当且仅当时取最大值，故三棱锥. 34x =N BCM -（2）如图：作交BD 于点E ，//NE BC所以直线与直线所成的角即为直线与所成的角,即, MN BC MN NE π,(0,]2MNE θθ∠=∈则,,2CN BE ==1EN =可得ME ==可得BN ===同理所以, AN 222cos 2BA BN AN ABN BA BN +-∠===⋅在中,由余弦定理可得BNM A MN ==则, 222cos 2MN NE ME MN NE θ+-==⋅=[0,3]x ∈令,则， 295()37x g x x x -=-+()()222518837x x g x x x --=-+'则时,，所以，所以函数递减,即减小,[0,3]x ∈251880y x x =--<()0g x '<()g x cos θ当时，，当时， 0x =cos θ==3x =cos θ==所以的范围为. cos θ19．在锐角中，均为已知常数），.的外接圆，内切圆半径ABC A ,,(,,BC a AC b AB c a b c ===ABC A 分别为.,R r (1)求；Rr (2)点分别在线段上，的周长为，请证明：. ,,D E F ,,BC AC AB DEF A 0P ()0r P a b c R ≥++【答案】(1) ()2abc Rr a b c =++(2)证明见解析【分析】（1）设的内心为，利用等面积法及三角形面积公式求得，又ABC A I ()sin a b c r A bc++=利用正弦定理可得，两式结合消去即可得所求； sin 2a A R =sin A （2）利用轴对称，确定的周长的最小值建立不等关系，结合对称性、正弦定理、余弦定DEF A 0P 理、三角形面积公式、二倍角公式验证不等式取等情况，即可证明结论.【详解】（1）解：设锐角的内心为，ABC A I 则，所以()()11sin 222ABC IAB IAC IAB IBC a b c r S S S S S AB BC AC r bc A ++=+++=++==A A A A A ， ()sin a b c r A bc++=由正弦定理得：，则，所以，则； 2sin a R A =sin 2a A R =()2a b c r a R bc ++=()2abc Rr a b c =++（2）证明：如图，设关于对称的点为，关于对称的点为，连接D AB 1D D AC 2D ，过作于1212,,,AD AD AD D D A 3AD BC ⊥3D由对称可得，1212,,FD FD ED ED AD AD AD ====122D AD BAC =∠∠所以的周长为DEF A 01212P FD ED FE FD ED FE D D =++=++≥又在中，，12AD D A ()2222121212122cos 22cos 2D D AD AD AD AD D AD AD BAC =+-⋅⋅∠=-∠又锐角中，三边为已知常数，所以为常数，则当最小时，有最小值，ABC A cos 2BAC ∠AD 12D D即当时，，由于，得， AD BC ⊥min 3AD AD =311sin 22ABC S bc A a AD ==⋅A 3sin 2bc A bc AD a R==所以，即()2222123322cos 24sin D D AD A AD A ≥⋅-=⋅， ()()1232sin 22a b c r bc r D D AD A a b c R bc R++≥⋅=⋅⋅=++故. ()0r P a b c R≥++20．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的六面体中（其中平面EDC ），四边形ABCD 是F ∈正方形，平面ABCD ，，且平面平面 ．ED ⊥BF FE =FEB ⊥EDB(1)设 为棱 的中点，证明：四点共面；M EB A C F M ，，，(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．22ED AB ==FEB EAB 【答案】(1)见解析【分析】（1）根据线面垂直以及面面垂直的性质证明平面，平面，进而证FM ⊥EDB AC ⊥BDE 明，即可求解，//FM AC （2）建立空间直角坐标系，根据平面法向量以及向量的夹角即可求解平面夹角.【详解】（1）连接,由于四边形ABCD 是正方形，所以,AC AC DB ⊥又平面，平面,所以 ,ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥平面，所以平面， ,,DE BD D DE BD ⋂=⊂BDE AC ⊥BDE 由于为棱的中点，，所以 ,M EB BF FE =FM EB ⊥又平面平面，平面平面，平面,FEB ⊥EDB FEB ⋂EDB EB =FM ⊂EFB 所以平面 ,FM ⊥EDB 因此,所以四点共面，//FM AC A C F M ，，，（2）由于两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，,,ED DA DC ,,设， ()()()()1,0,0,1,1,0,0,0,2,0,1,0A B E C 11,,122M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,,F a b 由（1）知,故，解得，故, //FM AC ()11,,1//1,1,022a b ⎛⎫--- ⎪⎝⎭1,1a b ==()0,1,1F ,()()()1,1,2,1,0,1,0,1,0BE BF AB =--=-= 设平面，的法向量分别为则 BEF ABE ()()111,,,,,,m x y z n x y z ==即，取，则 ， 00BE m BF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x y z x z --+=⎧⎨-+=⎩1x =()1,1,1m = 即，取，则 ， 00BE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1111200x y z y --+=⎧⎨=⎩11z =()2,0,1n = 设平面与平面的夹角为，则FEB EAB θcos cos ,m θ== 21．已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.()sin cos f x a x b x =+(),p a b = ()f x ()f x p (1)设，求的特征向量； ()()32sinsin 2g x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()g x (2)设向量的特征函数为，求当且时，的值； )p = ()f x ()65fx =,63x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin x (3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有4012p ⎛=- ⎝ ()f x ()()214h x f x =-()h x [],a b 个零点，求的最小值.b a -【答案】(1)()2,1-(3)583π 【分析】（1）根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解；（2）根据向量的特征函数求出函数解析式，化简可得，再根据()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合两角差的正弦公式即可得解； sin sin 66x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（3）根据三角恒等变换求出函数的解析式，不妨设为其中的一个零点，再根据三角函数的()h x a 性质即可得出答案.【详解】（1）解：因为， ()()32sin sin 2sin cos 2g x x x x x ππ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭所以函数的特征向量；()g x ()2,1p =- （2）解：因为向量的特征函数为，)p = ()f x 所以， ()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由，得， ()65f x =3sin 65x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以， ,63x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0,62x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以， 4cos 65x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以341sin sin 66552x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-=⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（3）解：因为向量的特征函数为，12p ⎛=- ⎝()f x 所以， ()1sin cos 26f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭则， ()()221111cos cos 2464234h x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则， ()0h x =1cos 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则或， 22233x k πππ+=+42,Z 3k k ππ+∈则或，6x k ππ=+,Z 2k k ππ+∈由在区间上至少有40个零点，()h x [],a b不妨设， 6a π=则， 19196262b T T ππππ⎛⎫≥++-=+ ⎪⎝⎭则， 581919333b a T ππππ-≥+=+=所以的最小值为. b a -583π【点睛】本题在以新定义基础之上考查了三角函数的有关知识点，考查了诱导公式及三角恒等变换中的几个公式，考查了给之球池问题，还考查了三角函数中的零点问题.22．已知函数，其中a 为参数. ()()sin cos 3sin 27f x a x x x =+--(1)证明：，； ()()π3ππ22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R (2)设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有2023个根.*N n ∈(),a n ()0f x =()0,πn 【答案】(1)证明见解析；(2).2023)【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式计算推理作答.（2）确定函数的周期，讨论在方程在区间上的根的情况，再结合给定2023()f x π()0f x =(0,π)个根推理计算作答.【详解】（1）依题意，(π)[|sin(π)||cos(π)|]3sin(22π)7f x a x x x +=+++-+-，(|sin ||cos |)3sin 27()a x x x f x =-+---=， πππ()[|sin()||cos()|]3sin(π2)7222f x a x x x -=-+----(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =+--=3π3π3π()[|sin()||cos()|]3sin(3π2)7222f x a x x x -=-+----，(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =-+----所以. π3π()()(π)()22f x f x f x f x =-=+=-（2）由（1）知，函数是周期函数，周期为，()f x π对于每个正整数,都有， k ππ3π(7,()10,()4244k f a f f =-=-=-若1）得在区间内若有根，则各有偶数个根， 7,a a a ≠≠≠()0f x =ππ(0,),(,π)22于是方程在区间内有偶数个根，不符合题意，()0f x =(0,π)n 如果，则，且， 7a =()7(|sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--π(02f =当时,， π(0,2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为， πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =23740y y -+=于是，当时，方程在内有两个根， 1241,3y y ==2y =43()0f x =π(0,)2当时，，π(,π)2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为， πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23y +7100y -=于是，方程在内无解，因此方程在内有三个解， 12101,3y y ==-()0f x =π(,π)2()0f x =(0,π)从而方程在区间内有个解，由，得； ()0f x =(0,π)n 3141n n n +-=-412023n -=506n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，， π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=，于是，即只有一个解， 121y y ==<π4x =当时，，π(,π)2x ∈()f x x =-cos )3sin 27x x --设，结合，知可化为πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=，显然函数在上单调递增，，方程没有属于2()310g y y =+-(1)70g =>()0g y =的根，因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是； ()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，， π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=，此方程无解，当时，，π(,π)2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=，于是，即只有一个解， 121y y ==<3π4x =因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是； ()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =综上所述满足条件的为.(,)a n 2023)【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.。

高一数学4月月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

高一数学4月月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

石室中学高2018届2015-2016学年度下期四月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线6x π=-对称3.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +，R x ∈，0A >，0ω>，2πϕ<的图象（部分）如图，则()f x 的解析式是（ ） A ．()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（R x ∈） B ．()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭（R x ∈）C ．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（R x ∈） D ．()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭（R x ∈）4.已知5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则1cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2413 B ．513 C ．1324 D ．1355.函数5sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）C ．32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 6.平行四边形CD AB 中，a AB =，D b A =，3C AN =N ，M 为C B 的中点，则MN =（ ）A ．1144a b -+B ．1122a b -+C ．12a b + D ．3344a b -+7.设13cos 6sin 622a =-，22tan131tan 13b =-，cos50c =，则有（ ） A ．c b a << B ．a c b << C ．a b c << D ．b c a <<8.已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值X 围是（ ） A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，sin :sin :sin C A B =C 12S ∆AB =，则C C C C AB⋅B +B ⋅A +A⋅AB 的值是（）A ．2 BC ．2-D ． 10.已知A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，关于x 的方程22C cos cos cos02x x -⋅A⋅B -=有一个根为1，则C ∆AB 一定是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形11.已知函数tan4xy π=，()2,6x ∈的图象与x 轴交于A 点，过点A 的直线与函数的图象交于B ，C 两点，则()C OB +O ⋅OA =（ ）A ．32B ．16C ．8D ．4 12.在C ∆AB 中，E ，F 分别是C A ，AB 的中点，且32C AB =A ，若CFt BE<恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34 B ．45 C ．67 D ．78第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.等边C ∆AB 的边长为2，则AB 在C B 方向上的投影为．14.在C ∆AB 中，已知C 8B =，C 5A =，三角形面积为12，则cos2C =． 15.设点O 是C ∆AB 的外心，13AB =，C 12A =，则C B ⋅AO =． 16.给出下列命题：①函数sin y x =在第一象限是增函数； ②在非直角C ∆AB 中，()22sinC cos A++B 的值为常数；③向量()1,2a =与向量()2,b λ=的夹角为锐角，则1λ>-； ④若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． 其中为假命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10分）已知向量()cos ,sin a θθ=，[]0,θπ∈，向量()3,1b =-．（I ）若a b ⊥，求θ的值；（II ）若2a b m -<恒成立，某某数m 的取值X 围．18.（10分）如图，在平面直角坐标系x y O 中，以x O 为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255．（I ）求tan α及tan β的值； （II ）求2αβ+的值．19.（12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3cos 5B =，C 21AB⋅B =-． （I ）求C ∆AB 的面积； （II ）若7a =，求角C ．20.（12分）在锐角三角形C AB 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，C ∠所对应的边，向量()2223u a c b ac =+-，()cos ,sin v =B B ，且//u v ．（I ）求角B ；（II ）求sin sinC A+的取值X 围．21.（12分）如图，在平面四边形CD AB 中，D 4AB =A =，C 6B =，CD 2=，3D 4C CD 0AB⋅A +B⋅=．（I ）求四边形CD AB 的面积； （II ）求三角形C AB 的外接圆半径R ；（III ）若C 60∠AP =，求C PA +P 的取值X 围．22.（12分）（I ）将sin3θ表示成sin θ的多项式； （II ）求值：333sin 10sin 50sin 70+-；(III)已知3sin ,sin 8a x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin3,8sin b x x =且()f x a b =⋅，求函数()y f x =的最大值()g m ，并解不等式()51g m m <--．参考答案1.B【解析】主要考查正弦函数的图象与性质.对函数∵当时,∴函数的图象不关于原点对称,故A错误;当函数函数的图象关于点对称,故B正确;当时,函数∴函数图象不关于轴对称,故C错误;当函数∴函数的图象不关于直线对称,D错误.故选B.2.C【解析】主要考查平面向量的基本定理及其意义.===,与是不能构成基底的一组向量.故选C.3.A【解析】主要考查利用三角函数的性质求函数的解析式.由图象可知A=2,由图知即,,,又,∴函数的解析式是).故选A.4.D【解析】主要考查两角和与差的正、余弦公式,熟练掌握公式是解决本题的关键.==,==故选D.5.B【解析】主要考查三角函数的诱导公式、正弦函数的单调区间的求法.,∴函数的单调增区间,即函数单调减区间.由解得故函数的单调递增区间是).故选B.6.A【解析】主要考查平面向量的线性运算.平行四边形中,=====故选A.7.B【解析】主要考查两角和与差的三角公式,以及倍角公式.,,,又因为,故选B.8.B【解析】主要考查平面向量的数量积.因为关于的方程有实根,所以即,,,故选B.9.C【解析】主要考查三角形面积公式,向量数量积的定义.因为中,为等腰直角三角形,且为直角,==又因为,,,即故选C.10.D【解析】主要考查二倍角公式,两角和与差的三角公式在解三角形中的应用.依题意可知=整理得,∴三角形为等腰三角形.故选D.11.A【解析】主要考查正切函数的图象与性质,同时也考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题,是一道综合性题目.∵函数的图象与x轴交于A点,,解得,又∵过点Α的直线与函数的图象交于Β,C两点,设,且B,C两点关于A对称,即,如图所示,又,,故选A.12.D【解析】主要考查余弦定理在解三角形中的应用,以及不等式恒成立问题,余弦定理建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.根据题意画出图形,如图所示:,,又分别是的中点,,,∴在∆中,由余弦定理得===在∆中,由余弦定理得===,=,∵当取最小值时,比值最大,∴当,时,达到最大值,最大值为,则恒成立,的最小值为故选D.13.【解析】主要考查平面向量的数量积的几何意义,向量的夹角是解题的关键.因为等边Δ的边长为,所以在方向上的投影为故答案为14.【解析】主要考查三角形面积公式及倍角公式的应用.由三角形面积公式得又,,,故答案为15.【解析】主要考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义.过作OS垂足分别为,则分别为的中点,===故答案为16.①③④【解析】主要考查三角函数的性质和解三角形,以及平面向量的夹角和向量共线的知识.①因为都是第一象限角,且但,故①错误;②因为=故②正确;③当时,向量与向量的夹角为,不是锐角,故③错误;④当为零向量时,与共线,与共线,但与不一定共线,故错误;所以假命题为①③④.故答案为①③④.17.(1)若,则即,解得,又.(2),又,,又恒成立,．【解析】主要考查平面向量垂直的条件及数量积运算,考查三角恒等变换等知识. (1) 由得即求得tan,结合所给角的X围可求的值;(2)首先求出将问题等价转化为求的最大值,再利用三角恒等变换转化为求正弦函数的最值.18.(1)由条件得,∵为锐角,∴因此.(2)由(1)知,所以.为锐角,,.【解析】主要考查同角三角函数的关系式及两角和的正切公式与转化思想.(1)由条件得,利用同角三角函数的基本关系求出,进而求出及的值;(2)由(1)可求得再利用两角和的正切公式求出最后根据都是锐角确定的取值.19.(1),又,.(2)由(1)知,且,由余弦定理得,,,又由正弦定理知,又.【解析】主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式以及平面向量的数量积. (1) 根据平面向量的数量积,求出的值,再根据同角三角函数的基本关系求出,代入三角形面积公式即可求出结果;(2)利用余弦定理和正弦定理求出,再根据角的取值X围即可求出角C的值.20.(1)．又．(2)由(1)知,.又且,所以,.【解析】主要考查三角函数的恒等变形,解决本题的关键是利用向量之间的关系写出三角函数之间的关系,其中应注意余弦定理的应用.(1)根据两个向量共线的条件,得到关于三角形中边角的表达式,再结合余弦定理得到角的正弦值,求出角;(2)根据(1)的结果,写出之间的关系式,把要求的两个角的正弦值的和,写成一个角的形式,利用辅助角公式化成能够求函数值的形式,得到结果.21.(1)由得,,,,故,.(2)由(1)知,.(3)由(1)和(2)知点在三角形的外接圆上,故.设,则,,,.【解析】主要考查向量的数量积,余弦定理,以及三角形的面积公式,三角函数的单调性等.(1)由向量式和已知数据可得,而由余弦定理可得==,从而可求出由三角形面积公式即可求出四边形ABCD的面积;(2)由正弦定理可得代入数据即可求出三角形ABC的外接圆半径R的值;(3)利用正弦定理得出根据角的取值X围和三角函数的单调性即可得出结果.22.(1).(2)由(1)知,原式.(3),,,,当时,,当时,恒成立,当时,,综上,不等式解集为.【解析】主要考查两角和与差的正、余弦公式以及平面向量的数量积的运算,同时也考查了含绝对值不等式的解法. (1)利用两角和的正弦公式即可得出结果;(2)根据(1)的结论,将式子化简,再利用两角和的正弦公式即可求出结果;(3)利用平面向量的数量积将函数表示出来,根据三角函数的性质求出,再对进行分类讨论解不等式,即可求出结果.。

高一4月第一次月考数学试题(解析版)

高一4月第一次月考数学试题(解析版)
A.甲地：总体均值为3中位数为4B.乙地：总体均值为1众数为0
C.丙地：中位数为2众数为3D.丁地：总体均值为1中位数为1
【7题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均数中位数众数的定义及计算公式对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：对A：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人如0000444468
23.如图所示某区有一块空地 其中 当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点拟在中间挖一个人工湖 其中 都在边 上且 挖出的泥土堆放在 地带上形成假山剩下的 地带开设儿童游乐场为安全起见需在 的周围安装防护网．
（1）当 时求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地 的面积是堆假山用地 的面积的 倍试确定 的大小．
18.某中学从高一学生中抽取n名学生参加数学竞赛成绩（单位：分）的分组及根据各组数据绘制的频率分布直方图如图所示已知成绩的范围是区间[40100）且成绩在区间[7090）的学生人数是27人.
（1）求xn的值；
（2）估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均分（结果保留一位小数）.
【18题答案】
【答案】（1）
可知众数为163.0中位数为
由
可知样本数据的第2580百分位数为第721项数据分别为155.5164.0.
故ACD正确B不正确.
故选：ACD
11. 中 则下列叙述正确的是
A. 外接圆的直径为4.
B.若 则满足条件的 有且只有1个
C.若满足条件的 有且只有1个则
D.若满足条件的 有两个则
【11题答案】
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据分层抽样的性质直接计算即可.
【详解】由分层抽样可得高二年级学生数占总人数的

最新高一数学4月月考试题(含解析)

最新高一数学4月月考试题(含解析)
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用降幂公式和两角和的余弦公式把化成，再用辅助角公式把后者化为，从而可求的最小正周期等．（Ⅱ）直接计算出，利用正弦函数的性质得到的最大值．
解析：（Ⅰ）因为 ，所以的最小正周期．
（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值为．
21.21.已知
(1)求证:和是一组基底,并用它们表示向量;
13.13.的值是__________．
【答案】
【解析】
由．故答案为．
14.14.已知则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式，，即可求出值.
【详解】，;
.
故答案为.
【点睛】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式的解题关键.
15.15.设均为实数，且，则____________.
（2） 因为 ，即 ， 解得.
19.19.已知，且为第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：（1）先利用同角三角函数基本关系式和角所在象限求出余弦值，再利用二倍角公式进行求解；（2）利用同角三角函数基本关系式求出正切值，再利用两角和的正切公式进行求解.
详解：（1）因为，且为第二象限角，所以，故
选项C中，方向相反的两个向量一定共线，故C错误．
选项D中，由于两向量的方向相反，不管长度怎样，则两向量一定不相等．故D正确 ．
选C．
点睛：向量与有向线段的关系
（1）有向线段是具有方向和大小的线段，它的位置受两端点的限制；而向量也是有大小和方向的量，但向量可自由平移，且平移前后两向量为相等向量，所以有向线段和向量是两个不同的概念．
11.11.已知的边上有一点满足，则可表示为（ ）

辽宁省鞍山市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

辽宁省鞍山市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

高中协作校高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．π2π2π32π【答案】B【分析】根据最小正周期公式直接求解. 【详解】可知. 221T ππ==故选：B.【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，属于简单题. 2．已知点在第三象限，则角的终边位置在（ ） ()tan ,cos P αααA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】由所在的象限有，即可判断所在的象限. P tan 0,cos 0αα<<α【详解】因为点在第三象限， ()tan ,cos P αα所以，tan 0,cos 0αα<<由，可得角的终边在第二、四象限，t an 0α<α由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上， cos 0α<αx 所以角终边位置在第二象限， α故选：B.3．把角终边逆时针方向旋转后经过点，则（ ）α2π(P -cos α=A ．BC ．D ．1212-【答案】B【分析】根据任意角的三角函数的定义可得，在根据诱导公式即可求出结果.sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】由题意可知. sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭s s 2c in o a πα⎛⎫+=⎪⎝⎭=故选：B.【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数和诱导公式的应用，属于基础题.4．若，则x 的值为（ ） ()cos πx -(]π,πx ∈-A ．或 B ． C ．D ． 5π67π6π6±5π6±2π3±【答案】C【分析】根据诱导公式化简即可结合余弦函数的性质求解.【详解】由得 ()cos πx -=cos cos x x -=⇒=-所以 ,由于，故，5π2π,6x k =±+Z k ∈(]π,πx ∈-5π6x ±=故选：C5．已知，则的值为（ ）1sin 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭5cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ．CD ．1313-【答案】B 【分析】首先将，再利用诱导公式计算的值即可.5(12212παππα+-=-5cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】因为5(122)12παππα+-=-所以.51cos cos sin(12212123ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 6．函数（或）的图象大致是（ ） ()sin x y x-=[),0x π∈-(]0,x π∈A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求时的函数值，再排除一个，得正确选项．x π=【详解】分析知，函数（或）为偶函数，所以图象关于轴对称，()sin x y x-=[),0x π∈-(]0,x π∈y 排除B ，C ， 当时，，排除D ， x π=sin 0xx=故选：A ．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．7．直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若在y a =()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭2π()f x 上是增函数，则的取值范围是（ ）()(),0m m m ->m A ．B ．C ．D ． (0,]4π(0,2π3(0,]4π3(0,]2π【答案】B【解析】先由已知求得函数的周期，得到，再整体代入正切函数的单调区间，求得函数的ω()f x 单调区间，可得选项.【详解】因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以，y a =()f x 12Tπω==，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得，所以在上是增函12242k x k πππππ-<+<+322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ()f x 3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭数，由，得. 3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆-⎪⎝⎭02m π<≤故选：B.【点睛】本题考查正切函数的周期性，单调性，属于基础题.8．函数，对任意x 有，且，那么等()()sin 0f x A x ωω=>1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭94f ⎛⎫⎪⎝⎭于（ ） A ．a B ．2a C ．3a D ．4a【答案】A【分析】由题函数周期，，所以，即可求出. 1,2πT ω==1πsin 42f A a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A a =94f ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】由题对任意有，即， x 1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1f x f x +=所以函数周期，则， 1T =2πω=，所以， 1πsin 42f A a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A a =所以.999πsin 2πsin 442f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.二、多选题9．（多选）下列命题中，真命题的是A ．的图象与的图象关于轴对称 sin y x =sin y x =yB ．的图象与的图象相同 ()cos y x =-cos y x =C ．的图象与的图象关于轴对称 sin y x =()sin y x =-xD ．的图象与的图象相同 cos y x =()cos y x =-【答案】BD【分析】利用正弦曲线和余弦曲线以及正余弦函数的奇偶性，借助图象变换，逐个判断，即可得出结论.【详解】对于A ，是偶函数，而为奇函数，故与的图象不关于sin y x =sin y x =sin y x =sin y x =轴对称，故A 错误；y 对于B ，，即其图象相同，故B 正确； ()cos cos ,cos cos y x x y x x =-===对于C ，当时，，即两图象相同，故C 错误； 0x <()sin sin x y x =-=对于D ，，故这两个函数图象相同，故D 正确， ()cos cos y x x =-=故选BD.【点睛】本题主要考查三角函数的图象，考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．已知，，则下列结论正确的是（ ） ()0,πθ∈1sin cos 5θθ+=A ．B ．C ．D ． π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=【答案】ABD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-θ得，的正负，即可判断A 的正误；求得的值，即可判断D 的正误，联立可求sin θcos θsin cos θθ-得，的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答sin θcos θ案.【详解】因为， 1sin cos 5θθ+=所以，则， ()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-因为，所以，，()0,πθ∈sin 0θ>cos 0θ<所以，故A 正确；π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=所以，故D 正确； 7sin cos 5θθ-=联立，可得，，故B 正确；1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-所以，故C 错误. sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD.11．设函数的最小正周期为，且把的图像向左平移个单位后()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭π()f x π6得到的图像关于原点对称，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数的图像关于直线对称B ．函数的图像关于点对称()f x 5π12x =()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数在区间上单调递增D ．若，则()f x ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦325f α⎛⎫= ⎪⎝⎭π3225f α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】根据周期和平移可得，代入可判断AB ，根据()πsin 23f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，可判断C ，根据诱导公式可判断D.πππ4ππππ,,2,2π,2π,Z 21233222x x k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈---∈---++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Ø【详解】由的最小正周期为，可得，()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭π2π2πω==把的图像向左平移个单位后得到的，()f x π6ππsin 263f x x ϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于的图象关于原点对称，()ππsin 263g x f x x ϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，()()ππsin 2sin 2033g x g x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+++因此,ππππsin 2sin 22π,Z 3333x x k k ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=-⇒=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+-所以，由于，故取，，ππ,Z 3k k ϕ=-∈+π2ϕ<0k =π3ϕ=-故，()πsin 23f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭-对于A ， ,故A 正确，5π5ππsin 2112123f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，，故B 错误，πππ1sin 20121232f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，，故C 错误，πππ4ππππ,,2,2π,2π,Z 21233222x x k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈---∈---++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Ø对于D ，，则，故D 正确，π3sin 235f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ3sin πsin 22335f ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+--故选：AD.12．已知函数f (x )＝|A cos(x ＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则（ ）0,||2A πϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭A ．φ＝B ．φ＝6π3πC ．A ＝2D ．A ＝3【答案】BC【分析】根据含绝对值符号的图象的作图原理，得出A ，再代入特殊点的函数值，可求得，得选ϕ项.【详解】由题图知：A ＝＝2.又f (0)＝|2cos φ＋1|＝2，所以cos φ＝或cos φ＝－ (舍)， 3(1)2--1232因为|φ|<，即－<φ<，由图象知φ>0，所以φ＝，2π2π2π3π故选：BC ．【点睛】本题考查由三角函数的图象求三角函数的解析式，关键在于熟练地掌握每一个的含义的求解方法，属于中档题.三、填空题13．函数的定义域为______.πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】 3ππ,82k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】根据正切函数的定义域结合整体思想即可得解. 【详解】由，得， ππ2π42x k -≠+3ππ,82k x k ≠+∈Z 所以函数的定义域为. 3ππ,82k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 故答案为：. 3ππ,82k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 14．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数是______. 【答案】1或4【分析】根据周长和面积公式列方程，即可求解，进而可求解圆心角. ,r l 【详解】设扇形的半径和弧长分别为，,r l 则由题意可知： ，解得或，212182r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩82l r =⎧⎨=⎩44l r =⎧⎨=⎩所以圆心角的弧度数为或1， 4lrα==故答案为：1或415．已知函数，且，则_________. 3()sin 1f x ax b x =++(1)5f =(1)f -=【答案】3-【解析】由题，即，根据正弦函数的奇偶性代值求解. (1)5f =sin14a b +=【详解】由题知，所以， (1)sin115f a b =++=sin14a b +=从而. (1)sin11(sin1)1413f a b a b -=--+=-++=-+=-故答案为：3-【点睛】此题考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性对代数式进行整体代入求值. 16．函数关于直线对称，设，则()()3f x sin x ωϕ=+3x π=()()3cos 1g x x ωϕ=++3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 【答案】1【分析】根据正弦及余弦函数的对称性的性质可得的对称轴为函数g （x ）＝3cos （ωx +φ）+1()f x的对称中心，即可求值.【详解】∵函数f （x ）的图象关于x 对称3π=∵f （x ）＝3sin （ωx +φ）的对称轴为函数g （x ）＝3cos （ωx +φ）+1的对称中心 故有则 13g π⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为1【点睛】本题考查了正弦及余弦函数的性质属于基础题．四、解答题 17．已知， 40,sin 25παα<<=(1)求的值；tan α(2)求的值．()()()sin 2cos 2sin cos παπααπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++【答案】(1)； 43(2)4.【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出，即可求得的值； 3cos 5α=tan α(2)利用诱导公式化简原式为，再化为正切即可得解.sin sin cos ααα-【详解】（1）∵，， π02α<<4sin 5α=∴cos α=35==∴ sin 4tan cos 3ααα==（2）， 4tan 3α=. ()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∴--++sin 2sin sin cos αααα-+=-4sin tan 343sin cos tan 411ααααα==--==-18．已知函数．()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）求函数图像的对称中心以及函数的单调递减区间；()f x（2）若，，求角的大小．()0,βπ∈122f β⎛⎫=- ⎪⎝⎭β【答案】（1）对称中心为（，0），；单调递减区间为，；122k ππ+k ∈Z ,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2）.3πβ=【分析】（1）令可求出对称中心，令可求出单调递减区间；232x k πππ+=+2223k x k ππππ≤+≤+（2）由可直接求出角的大小.122f β⎛⎫=- ⎪⎝⎭β【详解】（1）由，，得，， 232x k πππ+=+k ∈Z 122k x ππ=+k ∈Z ∴函数图像的对称中心为（，0），，()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭122k ππ+k ∈Z 由，，得函数的单调递减区间为，；2223k x k ππππ≤+≤+k ∈Z ()f x ,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），1cos 22232f ββπ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵，4,333πππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴，233ππβ+=∴.3πβ=【点睛】本题考查余弦型函数的对称中心和单调区间的求法，考查已知函数值求角，属于基础题.19．已知函数的图像上的一个最低点为，周()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭2π,23M ⎛⎫- ⎪⎝⎭期为.π(1)求的解析式；()f x (2)将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后再将所得的图象()y f x =沿x 轴向右平移个单位，得到函数的图象，按要求写出函数的变化过程并写出函数π6()y g x =的解析式.()y g x =【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)答案见解析【分析】（1）根据周期求出，根据最值求出，再利用待定系数法求出，即可得的解析ωA ϕ()f x 式；（2）根据周期变换和平移变换的原则逐步进行变换即可得解.【详解】（1）由题可知，所以，2ππT ω==2ω=又，所以，()min 2f x =-2A =由的最低点为M ，得， ()f x 4sin 13πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭因为，所以，π02ϕ<<4π4π11π336ϕ<+<所以，所以， 4π3π32ϕ+=π6ϕ=所以；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），()π2sin 26y x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=⎭=得，1ππ2sin 22sin 266y x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再将所得的图像沿x 轴向右平移个单位，得，π6ππ2sin 2sin 66y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.()2sin g x x =20．已知函数f （x ）＝（3ωx ），其中ω＞0．3π+（1）若f （x +θ）是最小周期为2π的偶函数，求ω和θ的值； （2）若f （x ）在（0，]上是增函数，求ω的最大值．3π【答案】（1）ω，θ＝kπ，k ∈Z ．（2）最大值为．13=6π+16【解析】（1）先求得的表达式，根据的最小正周期和奇偶性，求得的值，()f x θ+()f x θ+,ωϕ（2）先有，求得，由求得的最大值.0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,333x πππωωπ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦32ππωπ+≤ω【详解】（1）由f （x ）＝（3ωx ），其中ω＞0，3π+∴f（x +θ）＝（3ωx +3ωθ），3π+∵f （x +θ）是最小周期为2π的偶函数， ∴2π，∴ω，23πω=13=∵3ωθkπ，k ∈Z ，即 θ＝kπ，k ∈Z ．33ππθ+=+=2π+6π+综上可得，ω，θ＝kπ，k ∈Z ． 13=6π+（2）（x ）＝（3ωx ）在（0，]上是增函数，3π+3π在（0，]上，3ωx ∈（，ωπ]， 3π3π+3π3π+∴ωπ，∴ω，即ω的最大值为． 32ππ+≤16≤16【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期性和奇偶性求参数值，考查根据三角函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.21．已知函数，. ()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（1）求的最大值和最小值；()f x （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. ()2f x m -<42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，m 【答案】（1）；；（2）.()max 3f x =()min 2f x =()1,+∞【解析】（1）由，可得，结合三角函数的性质，即可求解； 42ππx ≤≤22633x πππ≤-≤由不等式在上恒成立，转化为对恒成立，结合()2()2f x m -<42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2f x m <+42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数， ()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为，可得， 42ππx ≤≤22633x πππ≤-≤所以当，即时，函数取得最大值，最大值为； 232x ππ-=512x π=()max 3f x =当，即时，函数取得最小值，最小值为.236x ππ-=4x π=()min 2f x =由题意，不等式在上恒成立， ()2()2f x m -<42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即不等式对恒成立， ()2f x m <+42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又当时，，所以，解得， 42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()max 3f x =23m +>1m >故的取值范围是.m ()1,+∞【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及不等式恒成立的求解方法，合理应用分类参数求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．已知函数. ()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭（1）利用“五点法”，完成以下表格，并画出函数在区间上的图象； ()f x 9,88ππ⎡⎤⎢⎣⎦（2）求出函数的单调减区间；()f x （3）当时，有解，求实数a 的取值范围. ,28x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x a -=【答案】（1）表格和作图见解析；（2），，；（3）. 3[8k ππ+7]8k ππ+Z k ∈[1]【分析】（1）利用“五点法”即可作出函数在一个周期上的图象（先列表，再画图）； ()f x （2）令，，解得的范围即可得解函数的单调递减区间； 3222242k x k πππππ+-+……Z k ∈x （3）求出的值域，即可得到的范围．()f x a 【详解】解：（1）列表、画图如下：（2）由，，得：，， 3222242k x k πππππ+-+……Z k ∈3788k x k ππππ++……Z k ∈的单调减区间为：，，， ()f x ∴3[8k ππ+7]8k ππ+Z k ∈（3）， [,]28x ππ∈- ，， 52[44x ππ∴-∈-0]． sin(2)[14x π∴-∈-，． ())[4f x x π∴-∈1]有解，即有解，()0f x a -= ()a f x =故．∴[a ∈1]【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图，难度不大，属于基础题．。

黑龙江省大庆市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

黑龙江省大庆市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

黑龙江省大庆市大庆实验中学高一下学期4月月考数学试题一、单选题 1．（ ） 2023πsin =6A ．BC ．D ． 1212-【答案】C【分析】根据诱导公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】， 2023ππππ1sin sin 336ππsin πsin 66662⎛⎫⎛⎫=++=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C2．已知集合，则（ ） {}{}1,0,1,|1A B x N x =-=∈<A B ⋃=A ． B ．C ．0，D ．{}0{}1,0-{1,-1}(),1∞-【答案】C【分析】先求集合B ，再求. A B ⋃【详解】∵， {}{}|10B x N x =∈<=∴. {}1,0,1A B =- 故选：C3．命题：“，”的否定是（ ） 0x ∃>0x x +≥A ．， B ．， 0x ∀<0x x +<0x ∀>0x x +<C ．， D ．，0x ∀>0x x +≤0x ∀<0x x +≤【答案】B【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.【详解】命题：“，”为存在量词命题，该命题的否定为“，”. 0x ∃>0x x +≥0x ∀>0x x +<故选：B.4．若二次函数的图像都在轴下方，则实数的取值范围为（ ）()222f x ax ax =+-x a A ． B ． C ． D ．()2,0-(),0∞-(),2-∞-()(),20,-∞-⋃+∞【答案】A【分析】二次函数必须满足二次项系数，其次恒成立可利用二次不等式在上恒成立0a ≠()0f x <R 的处理方法来做即可.【详解】由于是二次函数，则二次项系数，依题意，对于恒成立，则二次()f x 0a ≠()0f x <x ∈R 函数开口必然向下，且和轴没有交点，即，解得. x 2Δ480a a a <⎧⎨=+<⎩20a -<<故选：A5．设为的重心，则（ ）G ABC 23GA GB GC ++=A ．0B ．C ．D ．AC BCAB【答案】B【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解. 【详解】因为为重心，G ABC 所以，0GA GB GC ++=所以， 23222GA GB GC GA GB GC AG GC AC ++=++++= 故选：B.6．某工厂过去的年产量为，技术革新后，第一年的年产量增长率为，第二年的年产量增长率a p 为，这两年的年产量平均增长率为，则（ ） q x A ．B ．C ．D ．x ≥2p qx +≤x ≤2p qx +≥【答案】B【分析】运用基本不等式进行求解即可.【详解】由题意可知：，即， 2(1)(1)(1)a p q a x ++=+2(1)(1)(1)p q x ++=+ 因为，当且仅当时取等号， 211(1)(1)()2p q p q +++++≤p q =所以，即， 21122p q p qx ++++≤=+2p q x +≤故选：B.7．若，，，则，，的大小关系为（ ） 0.13a =131log 2b =21log 3c =a b c A ． B ．C ．D ．a cb <<c a b <<b<c<a c b a <<【答案】D【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，结合对数的运算性质进行判断即可. 【详解】由，00.13131a >=⇒>，， 1331log log 22b ==333log 1log 2log 301b <<⇒<<，所以， 221log log 103c <⇒<c b a <<故选：D8．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()1f x +()2f x +[]1,2x ∈，若，则（ ）()2f x ax b =+()()0312f f +=92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．54522【答案】A【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数的周期性、代入法进行求解即可. 【详解】因为为奇函数，所以有， ()1f x +()()11f x f x +=--+因为为偶函数，所以有，()2f x +()()22f x f x +=-+ ()()()()()()()11222f x f x f x f x f x f x f x +=--+⇒+=--=-+⇒-=+，()()()()244f x f x f x f x ⇒-+=+⇒=+所以函数的周期为，()f x 4由， ()()()()1102f x f x f f +=--+⇒=-由，()()()()2231f x f x f f +=-+⇒=由， ()()()()()0312********f f f f a b a b a +=⇒-+=⇒-+++=⇒=-，()()()()()11111004f x f x f f f a b b +=--+⇒=-⇒=⇒+=⇒=，91394452224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=--⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】关键点睛：根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用赋值法是解题的关键.二、多选题9．设角终边上的点的坐标为，则（ ） α()1,2-A ．B ．C ．D ．1tan 2α=-cos α=tan 2α=-sin α【答案】BC【分析】根据三角函数的定义可得答案.【详解】因为角终边上的点的坐标为，所以，故A 错误C 正确；α()1,2-2tan 21α-==-B 正确；D 错误.cos α==sin α=故选：BC.10．函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（ ）A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．的图像关于直线对称()f x π3x =-C ．在上单调递增()f x 3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭D ．若将的图像向右平移个单位长度，则所得图像关于轴对称()f x π6y 【答案】AD【分析】根据函数的零点、正弦型函数的对称性、单调性，结合正弦型函数图像变换性质逐一判断即可.【详解】由函数的图象可知， 2A =因为，0ω>所以， ()()2π7ππ222sin 21212f x x ωϕω⎛⎫=⨯-⇒=⇒=+ ⎪⎝⎭显然有，()()ππππ2sin 202πZ 2πZ 121266f k k k k ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⇒+=∈⇒=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，π2ϕ<所以令，得，即，因此选项A 正确；0k =π6ϕ=-()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，πππ2sin 212336f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数的图像不关于直线对称，因此选项B 不正确；()f x π3x =-当时，不是的子集， 3π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4π11π2,636x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以函数在上不单调递增，因此选项C 不正确；()f x 3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭将的图像向右平移个单位长度， ()f x π6得到函数的解析式为，()πππ2sin 222cos 2666g x f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，()()2cos 2g x x g x -=-=所以函数是偶函数，图像关于轴对称，因此选项D 正确， ()g x y 故选：AD11．在中，已知，且，，则（ ）ABC 6BC =BD DE EC == 8AD AE ⋅=A ．B ．1122AD AB AE =+ 2133AE AB AC =+ C ． D ．2236+= AB AC AB AC ⊥ 【答案】ACD【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、余弦定理逐一判断即可.【详解】因为，所以是线段的三等分点，且两点相邻， BD DE EC ==D E 、BC B D 、由平面向量的加法的几何意义可知：，故选项A 正确；1122AD AB AE =+，化简得：111111111()222222442AE AD AC AB AE AC AB AE AC =+=++=++，故选项B 不正确；1233AE AB AC =+因此， 11111221()22223333AD AB AE AB AB AC AB AC =+=++=+ 而，所以，化简得：8AD AE ⋅= 1221()()83333AB AC AB AC ++=，因为，所以由余弦定理可知：225362AB AC AB AC +⋅+= 6BC =，2222362cos 2AB AC AC AB A AB AC AC AB =+-⋅=+-⋅ 即， 22225202AB AC AB AC AB AC AC AB AC AB +⋅+=+-⋅⇒⋅= 所以，进而，因此选项CD 都正确， AB AC ⊥ 2236+= AB AC 故选：ACD12．已知函数在区间上单调，且满足，()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 7π5π,126⎛⎫⎪⎝⎭7π3π124f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则下列结论正确的是（ ）A ．2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若，则函数的最小正周期为()5π6f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x πC ．若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为 ()f x 2π13π,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭5ω8,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解 x ()1f x =[)0,2π4【答案】ABC【分析】由的单调性和可判断A ；由可得函数的对()f x 74π12π3f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()56πf x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 称轴方程及最小正周期可判断B ；由已知可得及的范围，函数在区间上恰2π3T ≥ω()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭有个零点可得的范围，从而得到的取值范围可判断C ；由得在区间上最多5T ω2π3T ≥()f x [)0,2π有3个完整的周期，再利用方程在1个完整周期内只有1个解可判断D. ()1f x =【详解】对于A ，因为，所以在上单调，又因为7π3π7π5π,,124126⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 7π3π,124⎛⎫⎪⎝⎭，，所以，故A 正确； 74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7π3π2π12423+=20π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于B ， 若，则函数的对称轴方程为，则，()56πf x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 5π5π6212x ==2π5ππ31244T -==故函数的最小正周期为，故B 正确；π对于C ，函数在区间上单调，且，所以()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭20π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得，由知，是函数在区间上的第一5π2π2π4633T ⎛⎫≥-=⎪⎝⎭03ω<≤20π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2π3()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭个零点，而函数在区间上恰有个零点，，结合得()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭513π2π52632T T <-≤2πT ω=，又，则的取值范围为，故C 正确；81033ω<≤03ω<≤ω8,33⎛⎤⎥⎝⎦对于D ， 由，所以在区间上最多有3个完整的周期，而方程在1个完2π3T ≥()f x [)0,2π()1f x =整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故D x ()1f x =[)0,2π错误. 故选：ABC.三、填空题13．已知，是平面内两个不共线向量，，，且，，三点共线，则a b =2AB a mb +=3BC a b - A B C 实数的值为______． m 【答案】23-【分析】由向量共线定理得出实数的值.m 【详解】因为，，且，，三点共线，2AB a mb =+ =3BC a b -A B C 所以唯一的实数，使得，即.λAB BC λ= 23a mb a b λλ+=-解得：.22,33m λ=-=故答案为：23-14．已知函数，若，则实数的取值范围())2ln 121xf x x =+++()()1124f m f m -+->m 为______． 【答案】()0,∞+【分析】根据所给的不等式构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， ()f x构造新函数， ()()))222ln12ln 12121x x g x f x x x =-=++-=-+-++()()))22ln 1ln 12121xxg x g x x x -+-=-+-+++-++，)222ln 202112xxxx x ⋅⎡⎤=-+++-=⎢⎥⎣⎦++所以是奇函数，()g x又， ()2ln 121x g x =+-+因为函数是实数集上的增函数，且， 21x y =+210x y =+<所以函数是实数集上的减函数， 221x y =+因为是实数集上的增函数，且， y x =0y x =>所以函数y 而函数是正实数集上的增函数，ln y x =根据对数型复合函数单调性的性质可知函数是实数集上的减函数，ln y =因此由函数单调性的性质可知函数是实数集上的减函数，()g x ()()()()()()112412122112f m f m f m f m g m g m -+->⇒-->---⇒->--⎡⎤⎣⎦，()()1211210g m g m m m m ⇒->-⇒-<-⇒>故答案为：()0,∞+15．已知，则的值是______． cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 2α【答案】4149【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可.【详解】cos 244cos sin π77sin 4αααα=⇒=⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=故答案为：414916．已知实数、满足，，则______． x y log 3y =37x x +=2x y +=【答案】6【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合函数单调性和零点存在原理进行求解即可. 【详解】，3623log 33321y y y y --=⇒=⇒=+令，则有，62y t -=37370t t t t =-⇒+-=，37370x x x x +=⇒+-=设函数，显然该函数增函数，()37af a a =+-，所以函数在上有唯一的零点，()()1234120f f ⋅=-⨯=-<()37a f a a =+-()1,2因此， 6226t x y x x y =⇒-=⇒+=故答案为：6【点睛】关键点睛：根据对数式与指数式的互化公式，利用函数单调性和零点存在原理是解题的关键.四、解答题17．已知函数.()()2251f x x ax a =-+>(1)若的定义域和值域均是，求实数的值；()f x []1,a a (2)若对任意的，总有，求实数的取值范围. []12,1,1x x a ∈+()()124f x f x -≤a 【答案】(1) 2a =(2) 13a <£【分析】（1）先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数在上的单调性，然后根据定义()f x []1,a 域和值域均为建立方程组，解之即可；[]1,a （2）将与进行比较，将条件“若对任意的，总有”转化成对任a 2[]12,1,1x x a ∈+()()124f x f x -≤意的，总有恒成立即可． []12,1,1x x a ∈+()()max min 4f x f x -≤【详解】（1）∵， ()()()2251f x x a a a =-+->∴在上是减函数，又定义域和值域均为， ()f x []1,a []1,a ∴，即，解得. ()()11f a f a ⎧=⎪⎨=⎪⎩22125251a a a a -+=⎧⎨-+=⎩2a =（2）若，又，且，2a ≥[]1,1x a a =∈+()11a a a +-≤-∴，，()()max 162f x f a ==-()()2min 5f x f a a ==-∵对任意的，总有，[]12,1,1x x a ∈+()()124f x f x -≤∴，即，解得，()()max min 4f x f x -≤()()26254a a ---≤13a -≤≤又，∴，2a ≥23a ≤≤若，，，12a <<()()2max 16f x f a a =+=-()()2min 5f x f a a ==-显然成立，()()max min 4f x f x -≤综上，.13a <£18．已知定义在上的奇函数，当时，． []4,4-()f x []4,0x ∈-()143x xa f x =+(1)求函数的解析式；()f x (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． []2,1x ∃∈--()1123x x m f x -≤-m 【答案】(1) ()[](]11,4,04334,0,4x x x x x f x x ⎧-∈-⎪=⎨⎪-∈⎩(2) [)5,+∞【分析】（1）由奇函数的性质，，即可求出函数的解析式； ()00f =()()f x f x =--()f x （2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数的取值范围. m 【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，且时，， ()f x []4,4-[]4,0x ∈-()143x xaf x =+∴，解得， ()0010043=+=af 1a =-∴时，，[]4,0x ∈-()1143=-x x f x 当时，，则， []0,4x ∈[]4,0-∈-x ()()113443x xx xf x f x --⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭即在上的解析式为．()f x []0,4()34x xf x =-∴函数的解析式为 ()f x ()[](]11,4,04334,0,4x x x x x f x x ⎧-∈-⎪=⎨⎪-∈⎩（2）∵时，，[]2,1x ∈--()1143=-x x f x ∴在有解， 11114323x x x x m --≤-[]2,1--整理得，1121222323xxx x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，显然与在上单调递减，()12223xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭[]2,1--∴在上单调递减，则，()g x []2,1--()()11min 1212523g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴5m ≥∴实数的取值范围是．m [)5,+∞19．已知函数()22sin cos f x x x x =+(1)求函数在区间上的最值；()f x 2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若，，求．π6f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()sin βα-=,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦αβ+【答案】(1)最小值，最大值 2-2(2) 7π4【分析】（1）利用三角恒等变换将函数进行化简，然后根据正弦函数性质求解； （2）根据题设条件求出的范围及其余弦值即可.αβ+【详解】（1）由，()2π2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭由，则，注意到，2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π3ππ5π,,2233⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴当，即时，有最小值．π3π232x +=7π12x =()f x 2-当，即时，有最大值．ππ232x +=π12x =()f x 2（2）∵，，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦2,22απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦π2sin 26f αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭∴，，∴sin 2α=2,2απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos 2α=∵，，∴，3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦5,24βαππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()cos βα-=∴()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦， ⎛== ⎝由，则．5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦74αβπ+=20．已知函数是偶函数()()14log 441x f x kx +=++-(1)求实数的值．k (2)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范()44log 23x g x a ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()f x ()g x a 围．【答案】(1)12k =-(2){}()31,-⋃+∞【分析】（1）根据是偶函数，由成立求解；()f x ()()f x f x -=（2）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个根，()f x ()g x 142223xx x a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭令，转化为方程有且只有一个正根求解.2x t =()241103a t at ---=【详解】（1）解：函数，()()()144log 441log 41x xf x kx kx +=++-=++因为是偶函数， ()f x 所以，()()f x f x -=即，()()44log 41log 41-+-=++x xkx kx 即对一切恒成立，441log 241x x x kx -⎛⎫+==- ⎪+⎝⎭x R ∈所以；12k =-（2）因为函数与的图象有且只有一个公共点，()f x ()g x 所以方程有且只有一个根， ()4414log 41log 223xx x a ⎡⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即方程有且只有一个根， 142223xx x a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭令，则方程有且只有一个正根，2x t =()241103a t at ---=当时，解得，不合题意；1a =34t =-当时，开口向上，且过定点，符合题意，1a >()24113y a t at =---()0,1-当时，，解得， 1a <()()24Δ410343021a a a a ⎧⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-⎪->⎪-⎪⎩3a =-综上：实数的取值范围是.a {}()31,-⋃+∞21．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中100mL 酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设人在喝一定2079mg 80mg 量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量会以每小时p 的比率减少．现有驾驶员甲乙三人喝了一定量的酒后，测试他们血液中的酒精含量均上升到了．（运算过程保留4位小数，参考1mg/mL数据：，．） lg 20.3010≈lg30.4771≈lg 70.8451≈0.7647≈0.7946≈(1)若驾驶员甲停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为，则驾驶员甲至少要经过多130%p =少个小时才能合法驾驶？（最后结果取整数）(2)驾驶员乙在停止喝酒5小时后驾车，却被认定为酒后驾车，请你结合（1）的计算，从数学角度给驾驶员乙简单分析其中的原因，并为乙能够合法驾驶提出合理建议；(3)驾驶员乙听了你的分析后，在不改变饮酒量的条件下，在停止饮酒后6小时和7小时各测试一次并记录结果，经过一段时间观察，乙发现自己至少要经过7个小时才能合法驾驶．请你帮乙估算一下：他停止饮酒后，血液中酒精含量每小时减少比率的取值范围．（最后结果保留两位小数） 【答案】(1)驾驶员甲至少要经过个小时才能合法驾驶 5(2)答案见解析 (3) (]0.21,0.24【分析】（1）根据题意得到，利用对数运算法则与换底公式运算即可得解； ()110.30.2t⨯-<（2）根据（1）中计算结果，给予驾驶员乙合理的建议即可；（3）设驾驶员乙停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为，根据题意得到关于的不等2p 2p 式组，解之即可.【详解】（1）根据题意，驾驶员甲停止喝酒后，经过t 小时后，体内的酒精含量为，()110.3mg/mL t⨯-只需，即，所以，()110.30.2t⨯-<0.70.2t <0.70.7log 0.7log 0.2t>可得， 0.7lg 0.2lg 2lg100.30101log 0.2 4.5126lg 0.7lg 7lg100.84511t -->==≈≈--取整数为时，满足题意.5t =所以驾驶员甲至少要经过个小时才能合法驾驶.5（2）因为驾驶员乙在停止喝酒5小时后驾车，却被认定为酒后驾车， 说明驾驶员乙血液中的酒精含量每小时下降比率比驾驶员甲小，所以驾驶员乙在停止喝酒5小时后其血液中的酒精含量大于国家有关规定的含量，故此，建议驾驶员乙在停止饮酒后的若干个小时进行测试其血液中的酒精含量，从而确定自己停止饮酒后需要经过多少小时，才能合法驾驶.（3）设驾驶员乙停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为，2p则经过小时后，驾驶员乙体内的酒精含量为，t ()211mg/mL tp ⨯-根据题意可知，驾驶员乙在停止喝酒6小时后其血液中的酒精含量仍不达标，在7小时后其血液中的酒精含量达标，所以， ()()6272110.2110.2p p ⎧⨯-≥⎪⎨⨯-<⎪⎩对于，即，则； ()62110.2p ⨯-≥()62115p -≥21p -≥2110.76470.23530.24p ≤≈-=≈对于，即，则； ()72110.2p ⨯-<()72115p -<21p -<2110.79460.20540.21p >≈-=≈综上：，20.210.24p <≤所以驾驶员乙停止饮酒后，血液中酒精含量每小时减少比率的取值范围为.(]0.21,0.2422．已知函数．()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)若函数在内是减函数，求的取值范围；()π012y f x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫⎪⎝⎭ω(2)若函数，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不()π2g x f x =-⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x 12变），再向右平移个单位，得到函数的图像，若关于的方程π12()y h x =x 在上有解，求实数的取值范围． ()()1sin cos 02h x k x x -+=π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦k 【答案】(1)15,24⎡⎤⎢⎣⎦(2) ⎡⎢⎣【分析】（1）先写出在时角的范围，然后结合正弦函数的单调递减()π012y f x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫⎪⎝⎭区间求解；（2）先根据图像的变换写出表达式，利用的关系，换元后进行求解.()h x sin cos ,sin cos x x x x +【详解】（1）由题意得，，令，则ππ2sin 124f x x ωω⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ3π2π2π242k x k ω+≤+≤+，，π5π2π2π44k k x ωω++≤≤k ∈Z 若函数在上是减函数，则，，解得π12y f x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭π5π2π2ππ44,π,2k k ωω⎡⎤++⎢⎥⎛⎫⊆⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦k ∈Z，由且，解得，故，则的取值范围为0524142k k ωωω⎧⎪>⎪⎪≤+⎨⎪⎪≥+⎪⎩154224k k +≤+5204k +>5388k -<≤0k =ω15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由题意，，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的ππ()2sin 26g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x 12倍（纵坐标不变），得，π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再向右平移个单位得. π12ππ()2sin 22sin 2126h x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为关于的方程在区间上有解，整理得x ()()1sin cos 02h x k x x -+=π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()sin 2sincos 0x k x x -+=即在区间上有解.()()2sin cos sin cos 0*x x k x x -+=π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦令，，根据正弦函数的性质可知，πsin cos4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ππ2π,463x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦.π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭式可转化为：在内有解，所以，，()*210t kt --=t ∈1k t t =-t ∈又因为和在为增函数，所以在为增函数， y t =1y t =-t ∈1y t t=-所以当时，取得最小值；当时，，t=1k t t =-t =1k t t =-所以.k ⎡∈⎢⎣。

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宾川四中2017-2018学年度下学期4月月考高一数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项是正确的）
1.1.已知集合，则=( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据交集的定义求出即可.
解析：根据交集的定义，.
故选：B.
点睛：（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
2.2.函数与的定义域分别为，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的定义域分别求得集合，然后根据并集的定义，即可求得结果.
【详解】由题可知，，；
，即.
故选D.
【点睛】本题考查函数定义域的求解和并集的定义，重点考查学生对基本概念的理解和计算能力，属于基础题.
3.3.设函数，则当时，的取值为（）
A. -4
B. 4
C. -10
D. 10
【答案】C
【解析】
令，则，选C.
4.4.半径为，中心角为动点扇形的弧长为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
圆弧所对的中心角为即为弧度，半径为πcm
弧长为
故选：A.
5.5.已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案.
【详解】函数为对称轴开口向上的二次函数，
在区间上是单调增函数，
区间在对称轴的右面，即，
实数的取值范围为.
故选B.
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.
6.6.下列说法中错误的是 ( )
A. 有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B. 若向量与不共线，则与都是非零向量
C. 长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D. 方向相反的两个非零向量必不相等.
【答案】C
【解析】
选项A中，有向线段是线段，因此位置是固定的，而向量是可自由平移的，但向量可用有向线段表示．故A正确．
选项B中，由于零向量与任意向量共线，所以向量与不共线时，则与都应是非零向量，故B正确．
选项C中，方向相反的两个向量一定共线，故C错误．
选项D中，由于两向量的方向相反，不管长度怎样，则两向量一定不相等．故D正确．
选C．
点睛：向量与有向线段的关系
（1）有向线段是具有方向和大小的线段，它的位置受两端点的限制；而向量也是有大小和方向的量，但向量可自由平移，且平移前后两向量为相等向量，所以有向线段和向量是两个不同的概念．
（2）向量可用有向线段来表示，以体现向量具有方向和大小两方面的性质．
7.7.若角是第三象限角，则点所在象限为( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
角是第三象限角，所以，
所以点在第四象限.
故选D.
8.8.已知为第二象限角，则的值是（）
A. -1
B. 1
C. -3
D. 3
【答案】B
【解析】
∵为第二象限角，
∴。

∴。

选B。

9.9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A. 向左平移个单位
B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
由，根据函数平移的规则“左加右减”，即可得到答案.
【详解】由于
将函数的图象向左平移个单位，可得到函数的图象.
故选B.
【点睛】本题考查函数的平移规律，三角函数平移时一定要遵循由“左加右减”的原则，属于基础题.
10.10.已知有向线段不平行，则（）。

A. B. ≥
C. ≥
D. <
【答案】D
【解析】
由向量的三角不等式，，等号当且仅当平行的时候取到，
所以本题中，<，故选D。

点睛：本题考查向量加法的几何关系。

向量的三角不等式，，等号当且仅当平行
的时候取到。

本题中，不平行，得<。

向量的三角不等式是较为重要的考点应用。

11.11.已知的边上有一点满足，则可表示为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
如图所示，.
12.12.函数的一部分图像如图所示，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
根据图象知,又函数图象经过最高点，代入函数
得：，因为，所以，所以，故选D.
二、填空题（本大题共有4各小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填写在相应的横线上）
13.13.的值是__________．
【答案】
【解析】
由．故答案为．
14.14.已知则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式，，即可求出值.
【详解】，;
.
故答案为.
【点睛】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式的解题关键.
15.15.设均为实数，且，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
等式两边同时取对数，求出的值，代入，利用对数的性质即可求出值.
【详解】，
取对数得，，；
.
故答案为.
【点睛】本题考查了有理数指数幂的化简求值，对数的性质和运算法则，属于基础知识的考查.
16.16.已知点在直线：上，则__________．
【答案】
【解析】
由条件得,两边平方得，所以.
三、解答题（本大题共6格小题，共70分，要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.17.化简求值：
（1）
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正切的两角和公式，得代入，即可得到结果.
（2）利用对数运算的性质和运算法则，由，和，即可得出结果. 【详解】解：（1），
，
∴
（2）原式
.
【点睛】本题考查两角和正切公式的变形应用，考查运用对数运算性质化简求值，注意
和的应用，属于基础题.
18.18.已知
（1）求与的夹角的大小;
（2）若，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）利用数量积公式，求得夹角；（2）利用平行公式，求出的值.
试题解析：
（1）设与的夹角为，因为，所以，.
（2）因为，即，解得.
19.19.已知，且为第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：（1）先利用同角三角函数基本关系式和角所在象限求出余弦值，再利用二倍角公式进行求解；（2）利用同角三角函数基本关系式求出正切值，再利用两角和的正切公式进行求解.
详解：（1）因为，且为第二象限角，所以，故
．
（2）由（1）知，故．
点睛：本题考查同角三角函数基本关系式、二倍角公式等知识，意在考查学生的基本运算能力，解决此题的关键是利用同角三角函数基本关系式求出，但不要忽视角的范围或所在象限，否则无法判断符号.
20.20.已知函数．
(I)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最大值．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 最大值为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用降幂公式和两角和的余弦公式把化成，再用辅助角公式把后者化为，从而可求的最小正周期等．（Ⅱ）直接计算出，利用正弦函数的性质得到的最大值．
解析：（Ⅰ）因为
，所以的最小正周期．
（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值为．
21.21.已知
(1)求证:和是一组基底,并用它们表示向量;
(2)若与共线,求k的值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
（1）根据平面向量基本定理，证明向量和不共线即可得证问题，再根据待定系数法，设，求出即可.
（2）利用共线向量的坐标表示，建立关于k的方程，解方程即可求出答案.
【详解】解：(1),
与不共线. 和是一组基底,
设,则.
又
解得
（2）与共线,
且，，
，解得.
【点睛】点睛：本题考查平面向量的基本定理及应用，考查平面共线向量的坐标表示.
（1）平面向量的坐标运算
①若，，，则；
②若，则．
（2）平面向量垂直的条件
若，，则.
（3）平面向量共线的条件
若，，则.
22.22.已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）设函数，将函数的图像上所有的点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再把所得的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的单调增区间.
【答案】（1）；（2）k Z.
【解析】
试题分析：
（1）先考察向量平行，得到==,然后利用其次弦化切，得到答案。

（2）由数量级公式和辅助角公式可知f(x)= p=+=2，根据移动法则得到g (x)= 2，g (－x)= 2，从而得到单调增区间。

试题解析：
（1）∵,∴==,
∴－cos2x===
（2）f(x)= p=+=2,由题意可得
g (x)= 2, g (－x)= 2，由2x+, －x,
∴单调递增区间为k Z.。

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