格林公式
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格林公式
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 由(2)知
o
L
B
x
解 引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
应用格林公式 ,
(
P = 0, Q = x 有
y
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
A
D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
o
L
B
x
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
∂P ∂ 2u ⇒ = ∂y ∂x∂y
=
∂ u ∂Q = ∂y∂x ∂x
2
(4) ⇒ (1) :
（1）对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
∂Q ∂P (4) = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
D′
L D
设 L 是 D 内一条闭路径， L 所围有界闭区域 D ′ ⊂ D , 则在 D ′内 ∂ Q = ∂ P , ∂x ∂y
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 由(2)知
o
L
B
x
解 引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
应用格林公式 ,
(
P = 0, Q = x 有
y
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
A
D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
o
L
B
x
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
∂P ∂ 2u ⇒ = ∂y ∂x∂y
=
∂ u ∂Q = ∂y∂x ∂x
2
(4) ⇒ (1) :
（1）对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
∂Q ∂P (4) = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
D′
L D
设 L 是 D 内一条闭路径， L 所围有界闭区域 D ′ ⊂ D , 则在 D ′内 ∂ Q = ∂ P , ∂x ∂y
格林公式
L D
8
64 3
o
A x
例 3计算
2xydx x2dy 其中 L 为抛物线 yx2 L
上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧
解 这里P2xy Qx2
P Q 2x 所 以 积 分 因为 y x
L
2 xydx x 2 dy 与 路 径 无 关
M
计算抛物线 ( x y ) ax ( a 0 )
曲线 AMO 表示为
解：ONA为直线 y=0
y ax x , x [ 0 , a ]
1
N
A ( a ,0 )
A
L xdy 2
1
ydx
2 ONA
xdy ydx
1
2 AMO
xdy ydx
1
2 AMO
L
x 2
解
P y Q x
y x
(x
2
2 xy ) 2 x
4
P y
Q x
，
(x y ) 2x
2
原积分与路径无关
故原式
1 0
x dx
2
1 0
( 1 y ) dy
4
23 15
.
例2. 计算 圆周
其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0)
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. (3) 在 D 内每一点都有
P y Q x .
L Pd x Qd y
例1 计算 ( x 2 xy ) dx ( x y ) dy 其中L为由点
格林公式
L1 : y 1 ( x : 1 2) L L1 L2 , 其中， 取积分路径： L2 : x 2 ( y : 1 3)
y
2 2 3 2
则
(2, 3) ．
(2,1)
4 1 ( x 1)d x 1 (2 y )d y 3
(1,1)
．
o
x
例6
y
L
o
D A(2,0) x l
5d xd y
D
0
2
8 5 x d x . 3 2
2
例4
计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑逆时针向闭曲线. 解 令 则
y
L
D
o
x
记 L 所围成的闭区域为 D .
(1) 当( 0, 0) D 时, 由格林公式知
(2) 当(0,0) D 时, 作位于 D 内圆周 l : x 2 y 2 r 2 ,
D
yx
o
x
1 0 d x x (1 x )d y . 3
1 1
例3
计0,0)到点A(2,0)的上半圆周 x y 2 x .
解
令 P x 2 2 y , Q 3 x ye y , 则
设 l : y 0 ( x : 2 0), 则 利用格林公式 , 得
1 故 . 0d x y d y xy d x y ( x )d y 0 0 (0,0) 2
(1,1) 2
计算
解
令
则
y
(1,1) ．
o
故原曲线积分在全平面内与路径无关．
(1,0)
x
L1 : y 0 ( x : 0 1) 取积分路径：L L1 L2 , 其中， L2 : x 1 ( y : 0 1) 2 2 4 ( x 2 xy )d x ( x y )d y 故 L
微积分 格林公式
A.
证明 : 例2、
2 xydx
D
x dy 0 , D 分段光滑 .
2
求 例3、 e
D
y
2
dxdy , D 是以 O ( 0 , 0 ), A ( 1 ,1 ), B ( 0 ,1 ) 为顶点 .
xdy ydx
的三角形闭区域
设 例4、 D 是包含原点的有界闭区
y
Q ( x , y ) dy
y0
y0
Q ( x 0 , y ) dy
例7、 已知 du
xdy ydx x
2
y
2
( x 0 ), 求 u ( x , y ).
P 全微分方程： ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy 0
(
Q x
P y
)
例8、 解全微分方程 作业
(4)
Q x
P y
在 G 内处处成立 .
关键：
Q x
P y
P ( x , y ) dx
L
Q ( x , y ) dy 与路径无关
.
例5、计算
L
(x
2
2 xy ) dx ( x
2
y ) dy , 其中 L 为
4
由点 O ( 0 , 0 )到点 B ( 1 ,1 )的曲线弧 y sin
( x, y)
( x0 , y)
( x, y)
( x0 , y0 )
(1 )
u 按（1）： ( x , y ) u 按（2）： ( x , y )
( x, y0 ) ( x0 , y0 )
格林公式
L
综上所述，格林公式成立。
(注意格林公式成立的条件)
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例 1：计算 F ( x , y ) dr ，其中 L （1） F ( x, y ) yi xj ， L 是由 x y, x 1, y 0 围
成的三角形闭路，其方向为逆时针方向； yi xj （2） F ( x , y ) 2 ， L ： x 2 y 2 a 2 , ( a 0) ，其 x y2 方向为逆时针方向。
1
2
x
则称曲线积分 L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关，
否则称与路径有关。
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结束
定理 2：设 D 是平面上的一个单连通域，函数 P ( x , y )，
Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数，则以下
四个条件相互等价：
（1）对 D 内的任意一条分段光滑的闭曲线 L ，
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两式相加得
（2） 若区域 D 由分段光滑的闭 曲线围成。如图，将 D 分成三个 既是 X 型又是Y 型的区域 D1 , D2 , D3 。则
L3 D3
D2
L2
D1
L1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy D D ( x y )dxdy D 1 D2 3
时针方向。
解： 记 L所围成的闭区域为 D ，令
y x P 2 Q 2 2, x y x y2
则当 x y 0 时, 有
2 2
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y
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综上所述，格林公式成立。
(注意格林公式成立的条件)
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例 1：计算 F ( x , y ) dr ，其中 L （1） F ( x, y ) yi xj ， L 是由 x y, x 1, y 0 围
成的三角形闭路，其方向为逆时针方向； yi xj （2） F ( x , y ) 2 ， L ： x 2 y 2 a 2 , ( a 0) ，其 x y2 方向为逆时针方向。
1
2
x
则称曲线积分 L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关，
否则称与路径有关。
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定理 2：设 D 是平面上的一个单连通域，函数 P ( x , y )，
Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数，则以下
四个条件相互等价：
（1）对 D 内的任意一条分段光滑的闭曲线 L ，
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两式相加得
（2） 若区域 D 由分段光滑的闭 曲线围成。如图，将 D 分成三个 既是 X 型又是Y 型的区域 D1 , D2 , D3 。则
L3 D3
D2
L2
D1
L1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy D D ( x y )dxdy D 1 D2 3
时针方向。
解： 记 L所围成的闭区域为 D ，令
y x P 2 Q 2 2, x y x y2
则当 x y 0 时, 有
2 2
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y
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格林公式积分方向
格林公式积分方向
格林公式是对一个闭合曲面S（也可以是一个曲线）上的散度和旋度进行积分，公式分别为：
∬S ∇·F dS = ∫L F · dr
其中，∇·F是F的散度（divergence），F是一个向量场，dS 是曲面元素面积，L是曲线路径，F · dr是向量场F在曲线路径上的微分。
在格林公式中，曲面和曲线都有一个方向，这个方向一般是由右手法则确定的。
对于曲面S来说，曲面元素面积dS的方向垂直于曲面且向外指，根据右手法则，曲线L的方向应该是沿着曲面的边界，也就是沿着曲面S的边缘的方向。
所以，在使用格林公式时，需要注意曲面和曲线的方向。
如果方向选取不当，会导致计算结果的正负错误。
一般来说，在确定曲面和曲线的方向时，可以根据实际问题的几何特点和物理规律进行选择，以保证计算结果的正确性。
格林公式几何意义
格林公式几何意义一、格林公式。
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有underset{D}{∬ }((∂ Q)/(∂ x)-(∂ P)/(∂ y))dxdy = ∮_LPdx + Qdy，其中L是D的取正向的边界曲线。
二、格林公式的几何意义。
1. 平面向量场的环量与旋度。
- 从向量场的角度来看，设→F(x,y)=P(x,y)→i+Q(x,y)→j是平面向量场。
- 曲线积分∮_LPdx + Qdy表示向量场→F沿闭曲线L的环量，它反映了向量场绕闭曲线L旋转的趋势。
- 而(∂ Q)/(∂ x)-(∂ P)/(∂ y)可以看作是向量场→F的某种“旋度”（在二维情况下的一种类似概念）。
- 格林公式表明，向量场在闭曲线L上的环量等于向量场的“旋度”在闭曲线L所围成的区域D上的积分。
这就像在流体力学中，如果把向量场看作是流体的速度场，环量表示流体绕闭曲线的旋转程度，而旋度表示流体在区域内每一点的旋转趋势，格林公式建立了这两者之间的联系。
2. 区域的面积计算。
- 当P=-y，Q = x时，根据格林公式underset{D}{∬ }((∂ Q)/(∂ x)-(∂ P)/(∂ y))dxdy=underset{D}{∬ }(1 + 1)dxdy = 2underset{D}{∬ }dxdy，而∮_LPdx+Qdy=∮_L-ydx + xdy。
- 此时underset{D}{∬ }dxdy=(1)/(2)∮_L-ydx + xdy，这就给出了用曲线积分计算平面区域D面积的一种方法。
从几何意义上讲，区域D的面积与沿其边界曲线L的特定曲线积分建立了联系。
通过对边界曲线L的积分（这里是-ydx + xdy的积分），可以得到区域D的面积信息。
§11.2(2)格林公式
Q P ∫∫D( x y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy
4
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P ∫∫D( x y ) dxdy
y
1 D2 D
L
= ∑∫∫
k =1 n
n
Dk
(
Q P ) dxdy x y
Dn
o
x
= ∑∫
k =1
du = xy2 dx + x2 ydy. (0,0)( Nhomakorabea, y) .
= ∫ x 0 dx + ∫
0
x
y 2 x y dy 0
(x,0)
=∫
y 2 x y dy 0
18
xd y y d x 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 例6. 验证 2 2 x +y y 数 , 并求出它. (x, y) y x , Q= 2 证: 令 P = 2 2 x +y x + y2 2 2 o (1,0) ( x,0) x P y x Q 则 = 2 = ( x > 0) 2 2 x (x + y ) y 由定理 2 可知存在原函数 定理
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P
D
x
y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1(x) ≤ y ≤ 2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
y0 x0 x0 y y0 x
第八章_31格林公式
y
D2 D1 Dn
L
k 1 n
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
l
o D1
L
x
L l
2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 r2
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A xd y y d x 2 L x a cos , 0 2 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
A
D
C
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
d d c c
o a
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y
CBE
Q( x, y )d y
EAC
Q( x, y )d y
即 同理可证
①
② ①、②两式相加得:
§2 格林公式及其应用
1 =0，从而 因为 是 基 本 解 ， 所 以 ∆ M0 r rM 0 M M0M 由叠加原理， （见引 ∆R( M 0 ) = 0 。由叠加原理， ∆V ( M 0 ) = F ( M 0 ) 。 见引 （
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
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1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
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1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
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1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
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1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有
格林公式及其应用
-
平面单连通区域的概念：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都
属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通
俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”） 的
区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。
例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1< x2 y2 <4 } 或
2 xy Q d (x ,x y )d y 2 xy Q d (x ,x y )dy
(0 ,
解： 由题意知曲线积分与路径无关，因而有 Q (2xy)
x y
-
即 Q 2x. 于是 Q(x,y)x2(y)其中 ( y)
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
-
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
DQ xP ydxdyPdxQdy (1)
其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。
注意哦
对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。
(3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件
(x,y)
u(x,y)
PdxQd满y 足
x y ( , ) 00
-
duPdxQdy
例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L2xydQ y(x,y)dy
与路径无关，且对任意实数 t ，恒有
(t,1 )
(1 ,t)
{（x,y）| 0< x2 y2 <2}都是复连通区域。
平面单连通区域的概念：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都
属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通
俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”） 的
区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。
例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1< x2 y2 <4 } 或
2 xy Q d (x ,x y )d y 2 xy Q d (x ,x y )dy
(0 ,
解： 由题意知曲线积分与路径无关，因而有 Q (2xy)
x y
-
即 Q 2x. 于是 Q(x,y)x2(y)其中 ( y)
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
-
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
DQ xP ydxdyPdxQdy (1)
其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。
注意哦
对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。
(3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件
(x,y)
u(x,y)
PdxQd满y 足
x y ( , ) 00
-
duPdxQdy
例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L2xydQ y(x,y)dy
与路径无关，且对任意实数 t ，恒有
(t,1 )
(1 ,t)
{（x,y）| 0< x2 y2 <2}都是复连通区域。
第三节 格林公式
(cos 2x)e xdx
1 5
e x (cos 2x 2sin 2x)
12
例5. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时, 由格林公式知
y L
ox
13
当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域xd y ydx l x2 y2
xd y ydx Ll x2 y2
0d xd y 0
D1
lL
o
x
D1
2 0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2
14
2. 简化二重积分
例6. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令 P 0, Q xe y2 , 则 利用格林公式 , 有
y
B(0,1)
A(1,1)
D y x
x e y2 d y D
o
x
x ey2 dy
OA
1yey2 dy
0
1 (1 e1) 2
15
3. 计算平面图形的面积
格林公式:
D
(Q x
P y
)dxdy
解 L的方程为: x y 1 , 故所计算的第二型曲线积分为
I ydx xdy 是时, P y , Q x , 于是 有
L
y
Q P 2 , 又 D为L内的区域.
x y
L
则所求的曲线积分为
格林公式
由格林公式得
C
Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)d
0
定理2的应用
(1)求 Pdx Qdy
L
若积分与路径无关，可选取简单路径计算.
2
(
x
)
L
L3
L4
L1
L2
L3
L4
L1
L2
x
b
a
a P( x,1( x)) dx b P( x,2( x))dx b [P( x,1( x)) P( x,2( x))] dx
a
b
L1 y 1( x)
a P d P( x, y)dx
I
Q
D
(
x
P )d
y
0
P y
y2 x2 ( x2 y2 )2
Q x
(0,0) D 在D内不能用格林公式
在D内取一圆周l x2 y2 r 2 , r 0
记L及l所围成的复连通区域为D1
在D1 应用格林公式得
Ll
xdy x2
L1
（三）应用
Q
D
(
x
P )d
y
L
Pdx
Qdy
1.求 P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
例1.(1)求 y4dx 4xy3dy，L : x2 y2 4, 取正向
解
L
设L所围闭区域D : x2 y2 4
高等数学：格林公式
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy
L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
说明：
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
注意：当f ( x, y)较繁，L较复杂，而Q P 较简单， x y
A
1
2 L
xdy
ydx .
取P 0, Q x, 得 A L xdy 取P y, Q 0, 得 A L ydx
例 3 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与 x轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x) DB
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
[∫(f(x)g(x))dx]^2≤(∫[f(x)]^2dx)*(∫[g(x)]^2dx)
写成和式极限的形式，应用柯西不等式
从向量a往单位向量b做垂直投影，投影长度小于斜边 （就是向量a）的长度。
三、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上具有一阶连
应用格林公式,有 e y2dxdy
高数格林公式
2
通过格林公式，可以将二重积分转化为曲线积分 来计算，这在某些情况下可以大大简化计算过程。
3
此外，格林公式还揭示了平面区域内向量场与标 量场之间的关系，为多元函数微积分中的场论问 题提供了有力工具。
与场论初步知识联系
01
场论是研究向量场和标量场的数学分支，而格林公式正是场论 中的一个基本定理。
02
04
培养抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习高等数学打下坚实 的基础。
02 格林公式基本概念
曲线积分与路径无关条件
曲线积分与路径无关的定义
若在所有以A、B为端点的光滑曲线族上，曲线积分∫L P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的值都是相同的，则称此曲线积分与 路径无关。
曲线积分与路径无关的条件
径为平面区域D的边界曲线。
格林公式的证明需要运用到微积分基本定理和斯托克 斯定理等相关知识。
学习目标与要求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
01
掌握格林公式的基本形式和证明方法，理解其几何意义和物理应用。
02
能够熟练运用格林公式解决平面区域上的二重积分和曲线积分问题。
03
了解格林公式在电磁学、流体力学、热力学等领域的应用实例，提高 解决实际问题的能力。
高数格林公式
目 录
• 引言 • 格林公式基本概念 • 格林公式证明方法 • 格林公式应用举例 • 格林公式与相关知识点联系 • 拓展与延伸
01 引言
背景与意义
格林公式是高等数学中的一个 重要概念，它揭示了平面区域 上二元函数与其偏导数之间的
关系。
在实际应用中，格林公式被 广泛应用于电磁学、流体力 学、热力学等领域，是解决 复杂物理问题的有力工具。
格林公式及其应用
a
2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4),在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
( 1990 考研 )
解: 由图知 F ( y , x) , 故所求功为
注:若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
思考: 如何解方程
积分因子.
内容小结
1. 格林公式 2. 等价条件
Q P d xd y L P d x Q d y D x y
D L O 1 2x
2. 设
提示: d u ( x, y ) ( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y ) d y
4 3 2 2 4
( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y )d y C
x 4 y x d x (6 x 2 y 2 0 0
4
3
(5 x 4 3x y 2 y3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q 6x y 3y , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 法1 取 x0 0, y0 0, 则有
2 2 2 u ( x, y ) 5 x d x 0 (3 x y 3x y y ) d y 4 0 x y
思考与练习
1. 设
2
y
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 π 4 l 4 D 2 2 x y 0时 提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2π
2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4),在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
( 1990 考研 )
解: 由图知 F ( y , x) , 故所求功为
注:若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
思考: 如何解方程
积分因子.
内容小结
1. 格林公式 2. 等价条件
Q P d xd y L P d x Q d y D x y
D L O 1 2x
2. 设
提示: d u ( x, y ) ( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y ) d y
4 3 2 2 4
( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y )d y C
x 4 y x d x (6 x 2 y 2 0 0
4
3
(5 x 4 3x y 2 y3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q 6x y 3y , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 法1 取 x0 0, y0 0, 则有
2 2 2 u ( x, y ) 5 x d x 0 (3 x y 3x y y ) d y 4 0 x y
思考与练习
1. 设
2
y
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 π 4 l 4 D 2 2 x y 0时 提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2π
格林(Green)公式及其应用
格林(green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
第3节格林公式
第3节格林公式
格林公式又叫做牛顿-格林公式，它是著名物理学家威廉·牛顿和美国数学家和天文学家兼历史学家乔治·格林发现的定律，它对太阳系中的行星运动以及影响行星运动的力有关。
牛顿在1687年发表《自然哲学的数学原理》一书中给出了牛顿定律，这是关于行星运动的公式；而格林在1748年发现了牛顿定律中的影响因子，也就是格林定律，是一个换算关系：
$$ \frac{d^2x}{dt^2} = − \frac{GM}{r^2}x $$
其中，x表示行星位置的矢量，r表示行星距离太阳的距离，G表示万有引力常数，M表示太阳的质量。
格林公式为牛顿定律的简化形式，表达的是牛顿三大定律中动力学原理：行星运行轨道的变化（受太阳的引力影响）与行星距离太阳的距离成反比。
也就是说，行星离太阳越远，受到引力的作用就越弱，运行轨道的变化就越小。
格林公式是用来描述星体运动的数学公式，在天文学研究和航天工程中都有广泛的应用。
格林公式可以用来研究各种行星运行轨道的变化，可以为航天器如卫星的轨道分析等提供技术支持。
格林公式也可以用来研究行星的控制台轨道，以及探测其他行星的引力影响，以改善天文学的研究内容等。
格林公式的证明
格林公式的证明
格林公式是数学中最基本的定理，它决定了数学中三角函数的性质。
格林公式是由挪威数学家施耐德·格林第一次推导出来的，他在1736年的《集合论的研究》一书中总结出了以下公式：格林公式：
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y
下面我们来证明格林公式。
我们从最基本的定义出发，即三角函数的定义：
对于任意的x和y，若把这两个角度组合成一个新的角度z，即z＝x＋y，那么有：
sin z = sina cosb + cosa sinb
cos z = cos a cos b - sina sinb
这就是格林公式了。
下面我们将以上公式加以正式的证明：
我们令两个角α和β的正弦值分别为sinα和sinβ，余弦值分别为cosα和cosβ，令z = α + β，那么：
（1）sinz = sin（α+ β）= 2sina cosβ
（2）cosz = cos（α+ β）= cosα cosβ - sina sinβ
（3）将（1）和（2）代入我们前面的公式，可以得出：
sinz = sina cosβ + cosa sinβ
cosz = cosαcosβ - sina sinβ
即证明格林公式成立！。
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1 1 2 A xdy ydx [a cos 3 td (a sin 3 t ) a sin 3 td (a cos 3 t )] 2 C 2 0
3a 2 2
2
0
3a 2 sin t cos tdt 。 8
2 2
14
10.1
格林公式
作
业
习 题 二 （P218）
又设 D { ( x, y) x1 ( y) x x2 ( y), c y d } ，
Q dxdy ，② 类似可证 C Q ( x , y )dy x D
合并①、②得
Q P ( )d x d。 y C P( x, y)dx Q( x, y)dy x y D
解：添加辅助线 OA ，则 C OA 是一条正向封闭 y 曲线，设其围成的区域为 D。
C
10.1
格林公式
D ∵ P( x, y) e x sin y my ， A (a,0) x o Q( x, y ) e x cos y m, P Q Q P x e x cos y m , e cos y , m， y x x y (e x sin y my)dx (e x cos y m )dy ∴
1 （3）（5）（6）； 3（1）； 4 ； 5 。
D
d
R 0
4 4 R R 3d 2 . 4 2
错解： ( x 2 y 2 )dxdy R 2 d R 4 。
D D
在这里，不能将曲线方程 x 2 y 2 R 2代入被积函数。
11
例 2．计算曲线积分 C (e x sin y my )dx (e x cos y m )dy ，其中 C 为由点 A (a,0) 至点 O (0,0) 的上半圆周 x 2 y 2 ax （ a 0 ） 。
4
10.1
格林公式
P ∵ 连续， y P ∴ dxdy y D
b a
y
P a dx y1 ( x ) y dy
b y2 ( x )
y y2 ( x ) N C
A
D
{P[x, y 2 (x )] P[x, y1 (x )]} dx,
o
M y y1 ( x)
Q P —格林（Green）公式 Pdx Qdy ( ) dxdy C x y D
其中 C 是 D 的取正向的边界曲线。
Y 型的区域。 证明： （ 1）若 D 既是 X 型又是
D {( x, y) y1 ( x) y y2 ( x), a x b} ，
10.3.1
格林公式
10.1
格林公式
1．单连通区域与复连通区域
若平面区域 D 内任一封闭曲线围成的部分都属于 D，则 D 称为单连通区域，否则称为复连通区域。
通俗地说，单连通域就是不含有“洞”(包括点“洞”)的区域。
例如：圆形区域 ( x, y ) x y 1 、上半平面 ( x, y) y 0
（2）认清 P,Q，记住 dx 前面的项是 P，dy 前面的项是 Q。
（ 3）用 Green 公式计算二重积分时不能将曲线 C 的方 程代入被积函数。
9
10.1
格林公式
例 1．计算 C xy 2 dy x 2 ydx ，其中 C 为顺时针方向的圆周
x 2 y 2 R2 。
R4
2
C
ydx xdy 2 dxdy,
D
1 ∴ A xdy ydx 。 （其中 A 是区域 D 面积） 2 C 2 2 2 3 3 例．求由星形线 C : x y a 3 所围成的面积 A。
x a sin 3 t , C 的参数方程为 （ 0 t 2 ） 3 y a cos t ,
C OA
md m
D
原式 C OA OA
m 2 ( ) a . 2 2 8 a m 2 m 2 a 0dx 0 a 。 0 8 8
2
a
12
10.1
格林公式
ydx xdy 例 4．计算 ，其中 C 为： 2 2 C x y
例如 D 是由边界曲线 C1 和 C 2 所围成的复连通区域，
C1 的 正向是逆时针方向， C2 的 正向是顺时针方向。
D
C
D
C2
C1
3
10.1
格林公式
3．定理1（Green 定理）
设 D 是以逐段光滑曲线 C 为边界的平面闭区域，函数 P ( x, y ) 、
Q( x, y ) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则有
6
10.1
格林公式
（2）若区域 D 由分段光滑的闭曲线围成，如图。则作辅助线把 D 分成两个既是 X 型又是 Y 型 的区域 D1和D2 ，
Q P ( )dxdy x y D
y
F
D1
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy x y x y D1 D2
B
b
a
x
另有
b
b
C
P ( x , y )dx ⌒
AMB
a b
⌒
BNA
P[x, y1 (x )] dx
a
a
P[x, y2 (x )] dx
{P[x, y1 (x )] P[x, y 2 (x )]} dx
5
10.1
格林公式
P ∴ C P ( x , y )dx dxdy 。① y D
例 2．计算曲线积分 (e x sin y my )dx (e x cos y m )dy ，其中
C
C 为由点 A (a,0) 至点 O (0,0) 的上半圆周 x 2 y 2 ax （ a 0 ） 。
m 2 a 8
10
10.1
格林公式
例 1．计算 C xy 2 dy x 2 ydx ，其中 C 为顺时针方向的圆周
8
10.1
格林公式
应用格林公式时必须注意以下几点：
（1） Green 公式的条件是：封闭、正向、偏导数连续， 三者缺一不可。 （若积分曲线 C 不封闭，则添加辅助线 使之封闭；若 C 是顺时针方向，则改为逆时针方向； 应用 Green 公式前首先要检验 P , Q ,
P Q , 的连续条件。 ） y x
（1）不包围原点 O 的分段光滑闭曲线（正向） ； 0 （2）圆周 x 2 y 2 a 2 （正向） ； （3）包围原点 O 的分段光滑闭曲线（正向） 。
2 2
练习: 计算 I
CLeabharlann xdy ydx ，其中 C 是以点 A(2, 0) 2 2 x 9y
为圆心，半径为 R( R 2) 的圆周，取逆时针方向。
A
D2
B E
ABFA
Pdx Qdy
o
Pdx Qdy
x
AEBA
Pdx Qdy.
C
7
10.1
格林公式
（ 3）若 D 是由两条闭曲线 C1 和 C 2 所围成复连通区域， 则同样可以通过作辅助线证明格林公式仍然成立。
y
B A
C2 C1
o
x
通过格林公式，沿封闭曲线的正向的曲线积分，可以 转化为由此封闭曲线围成的平面区域 D 上的二重积分。
2 2
是单连通区域；
圆环区域 ( x , y ) 1 x y 4 、 ( x , y ) 0 x y 2 是复连通区域。
2 2
2
2
2
10.1
格林公式
2．区域 D 的边界曲线 C 的正向
规定 C 的正向如下： 当观察者沿 C 的此方向行走时， D 靠近它的部分总在它的左侧。
2 答案: R 2 时， I 0 ； R 2 时， I 。 3
13
10.1
格林公式
4、用格林公式求平面图形的面积
Q P )dxdy中， 若在 Green 公式 Pdx Qdy ( C x y D
取 P ( x, y ) y ， Q( x , y ) x ，则得
x 2 y 2 R2 。
y
解：∵ P( x, y ) x y ， Q( x, y ) xy ，
2 2
C
∴ C
Q P x2 y2 ， x y xy2dy x 2 ydx xy2dy x 2 ydx
C
2 0
o
R
x
( x 2 y 2 )dxdy