28.格林公式及其应用

4.存在二元可微函数 u(x, y), 使du Pdx Qdy.
证:
y
M(x, y)
M0 (x0, y0 )
D
下面证明
O
x
20
由偏导数的定义,有
y
xx
P(x, y)dx x
M(x, y)
D M0 (x0, y0 )
M1 ( x x, y)
O
x
由定积分中值定理,得 P(x x, y) x, (0 1).
0
0
3
3
通解：x3 x2 y xy2 y3 C
31
3
3
解： P x2 2xy y2; Q x2 2xy y2
P 2x 2y Q
y
x
(x, y)
令u P(x, y)dx Q(x, y)dy (0,0)
y M (x, y)
o x
x
y
P(x,0)dx 0 Q(x, y)dy
0
0
x x2dx y (x2 2xy y 2 )dy x3 x2 y xy2 y3
x y
L
D
其中 L 是 D的取正向的边界曲线 .
4
证明:
先证：ÑL Pdx
D
P y
dxdy
(1) D是单连通区域,
y L2 : y 2 (x)
L
D既是"X型"又是"Y型"区域.
L1 : y 1(x)
oa
bx
D是"X型"区域 D={(x, y) | 1(x) y 2 (x), a x b}
M (x, y)
u
P(x, y)dx Q(x, y)dy
M0 (x0 , y0 )
若已知v(x, y)是Pdx Qdy的一个原函数,
v(x, y) u(x, y) C, v(x0, y0 ) u(x0, y0 ) C C
则 u(x, y) v(x, y) v(x0, y0 )
ydx y2 ,
其中：L由点A( , )经曲线y cos x到点B( , )
解：
L1
:
x
2 cos t
y 2 sin t
xdy ydx
L x2 y2
y L1
LZ
o
x
xdy ydx xdy ydx
LL1 x2 y2
L1 x2 y2
A
B
0
xdy ydx
5
L1 x2 y2
M (x,y)
M0 (x0,y0 ) Pdx Qdy v(x, y) v(x0, y0 ).
29
3. 若 P Q , y x
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0不是全微分方程.
若存在(x, y)使得 :
(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy 0是全微分方程.
10.3 格林公式及其应用 一、连通区域 二、格林公式 三、曲线积分与路径无关的条件 四、二元函数的全微分求积
1
一、连通区域
1.连通区域 : D内任意两点都可用 D内折线连接起来.
设 平面区域D是由闭曲线L围成的连通区域 , 如果 D内任一闭曲线所围成的 区域都包含于 D , 则称 D 为单连通区域,否则 称为复连通区域 .
2.在D内任一条封闭曲线 C, 均有 Pdx Qdy 0; C
3.在D内,曲线积分 Pdx Qdy 与路径无关; L
4.存在二元可微函数 u(x, y), 使du Pdx Qdy.
18
证明： 1. P Q 2. Pdx Qdy 0;
y x
C
C D
格林公式 Pdx Qdy
LL1 x2 y2
0
0 2
xdy ydx
xdy ydx
L x2 y2
L1 x2 y 2
2 a cos a cos d a sin (a sin )d
0
a2
2
1d 2
0
27
四、二元函数的全微分求积
1. 若有全微分形式
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy
10
例2：计算 (e x sin y my)dx (e x cos y m)dy, L L : x2 y 2 ax顺时针方向的上半圆 . 繁！ y 解：可直接利用第二类曲线积分的计算方法.
补上AO,方向A O,使积分变成封闭的.
o
A(a,0) x P ex sin y my Q ex cos y m
D
P y
dxdy
d
y
L1
:
x
1
(
y)
c
D也是"Y型"区域，
o
D {(x, y) |1( y) x 2 ( y), c y d}
同理可证 :
ÑL Qdy
D
Q x
dxdy
两式相加得:
L
D
L2 : x 2 ( y)
x
6
y
L3
D3
L5
D1
o
区域D不满足上述特点.
将 D 分成三个区域 D1, D2 , D3 .
(ex sin y my)dx (ex cos y m)dy L
(ex sin y my)dx (ex cos y m)dy
L AO
(ex sin y my)dx (ex cos y m)dy
AO
mdxdy
(ex sin 0 m0)dx 0 1 ma2
D
AO
8
称u(x, y)是Pdx Qdy的一个原函数.
全微分方程
称 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 1
或恰当方程
1 的通解为: u(x, y) C
28
2.由前面定理知 :
P Q y x
存在u(x, y), 使du Pdx Qdy.
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0是全微分方程.
20
3a2 8
2 sin 2 2tdt
0
3a 2
8
16
三、平面曲线积分与路径无关条件
设P(x,y),Q(x,y)是定义在平面域D上的有界函数，
如果对于D内的任意两点A,B以及D内 从点A到点B的任意两条曲线 , L1 L2
y
Pdx Qdy L1
BD A
O
x
17
定理 :
1. P Q 在D内恒成立. y x
称(x, y)是方程的积分因子.
例: ydx xdy 0 不是全微分方程.
取(x, y)
1 y2
,
ydx xdy y2
0是全微分方程 .
即: d( x ) 0, x C是方程通解. 1 , 1 , 1
y
y
x2 xy x2 y 2
也是该方程积分因子30
例1: 求微分方程通解 (x2 2xy y2 )dx (x2 2xy y2 )dy 0
0
0
2
24
例2 计算 xdy ydx , L x2 y2 1) : L 为1 x2 y2 4的边界正向.
2) : L 为x2 y2 4的边界正向.
3) : L为任意包含原点的封闭 曲线,逆时针方向.
解1：
y L1
D
L2
O
x
xdy
ydx
格林公式
0
.
L x2 y2
25
例2 计算 xdy ydx , L x2 y2 y L 解2：
D
单连通区域
D
复连通区域
2
2.区域边界的正向 :
沿区域 D的边界 L前进,当D在左侧时 , 前进的方向规定为正方 向.
如图：
D L
D L2
L1
3
二、格林公式
定理:
设闭区域 D由分段光滑的闭曲线 L围成,函数
P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D上具有一阶连续偏导数,
则有 :
( Q P )dxdy P(x, y)dx Q(x, y)dy
1. P Q 在D内恒成立. y x
du Pdx Qdy,
由定理的条件，有 P Q .
y x
23
例1：计算 (e y x)dx (xe y 2 y)dy, L
L : 过o(0,0), A(0,1)及B(1,2)所决定的圆周的一段弧 .
y
解： P e y x; Q xe y 2y
4
dt
4
3
2
14
利用格林公式计算平面图形的面积
A
1 2
L
xdy
ydx
.
15
例5：利用曲线积分计算星形线
y
解： S 1
x y (1
a cos3 t a sin3 t
1)dxdy
所围图形的面积.
P y, Q x
2D
o
x 1 ( y)dx xdy 2L
3a2 2 (sin4 t cos2 t cos4 t sin2 t)dt
D2 L2
L L1 L2 L3
L4
D
L1 x
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
L1 L4 L5
L2 L4
L3 L5
Pdx Qdy L 7
(2) D是复连通区域
L1
D
A B L2
D的边界L L1 L2 D的边界L正向如图.
D
Pdx Qdy
Pdx Qdy
P dxdy
y
D
b
b 2 (x) P
dx dy
a 1(x) y
b
a
P(x,
y) |12((xx))
dx
[P(x,1(x)) P(x,2 (x))]dx a
b
a
Pdx L
P(x,1(x))dx P(x,2 (x))dx
a
b
ÑL Pdx
D
P y
dxdy
5
即证明了：ÑL Pdx
4
2dxdy 2
D
26
例2 计算 xdy ydx , L x2 y2
3) : L为任意包含原点的封闭 曲线,逆时针方向.
y
L D
解3：
L1
同理 : 不能直接用格林公式.
O
x 取：L1 : x2 y2 a2包含在L内,顺时针.
x a cos
L1
:
y
a
sin
,
xdy ydx 格林公式
L
L1 L2
Pdx Qdy
L1 L2 ABBA
(Q P )dxdy x y D 8
Q P
( )dxdy P(x, y)dx Q(x, y)dy
x y
L
D
可记为： x y dxdy ÑL P(x, y)dx Q(x, y)dy
DP Q
格林公式实质：
给出了沿闭曲线的第二类曲线积分与二重积分的关系
11
例3：计算
L
(x
y)dx (x x2 y2
y)dy,
解：
P
x y
,
Q
yx
L : x2 y2 a2逆时针方向.
y
x2 y2
x2 y2
P y
x2 2xy y 2 (x2 y2)2
,
Q x2 2xy y2 , x (x2 y 2 )2
o ax
P 和 Q 在(0,0)点不存在,不能用格林公式.
9
例1：计算 (x y)dx (x y)dy, L : x2 y2 1的正向.
L
a2 b2
y 解： P x y, Q (x y)
L
(x y)dx (x y)dy L
o
(11)dxdy
x
D
2ab
利用格林公式可以把沿 闭曲线的积分化为二重 积分， 为第二类曲线积分提供 了新方法！
y x
x a cos
直接算,老办法！ (x y)dx (x y)dy
L : y a sin ,
L
x2 y2
0 2
2 a(cos sin ) (asin )d a(cos sin ) a cosd
0
2
a2 d
2
0 a2
a2
(其它方法?)
12
例4：计算
L
xdy x2
Q ( D x
P )dxdy y
0
C
2. Pdx Qdy 0 3.在D内, Pdx Qdy 与路径无关;
C
L
L2 B
D A
L1
在D内任取两条连接 A, B的路径L1, L2.
则有 :
Pdx Qdy 0
L1 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
19
3. Pdx Qdy 与路径无关 L
同理可证 u Q( x, y) .
21
y
D(x0, y)
y•
• A( x0 , y0 )
O
y
Q(x, y)dy y0 x
P(x, y)dx. x0
u使得 : du Pdx Qdy成立。
• B(x, y)
• C(x, y0 )
x
22
4.存在二元可微函数 u(x, y), 使du Pdx Qdy.
2) : L 为x2 y2 4的边界正向.
D
O
不能直接用格林公式. 老办法！
x
x 2cos
L
:
y
2 sin
,
0 2
xdy ydx
L x2 y2
2 2 cos 2 cosd 2sin (2sin )d
0
4
2
xdy ydx 1 xdy ydx 1
L x2 y2 4 L
A(0,1)
B(1,2)
P e y Q ,
o C(1,0) x
y
x
积分与路径无关 .
(e y x)dx (xe y 2 y)dy L
(e y x)dx (xe y 2y)dy (e y x)dx (xe y 2y)dy
OC
CB
1
(e
0
x)dx
0
2 0 (e y 2 y)dy e2 7
ydx y2 ,
其中：L由点A( , )经曲线y cos x到点B( , )
解：若不换路径，计算困难！
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
P y2 x2 Q y (x2 y2 )2 x
补充路径：
y L1
LZ
oபைடு நூலகம்
x
A
B
L1 :以原点为圆心，2为半径的圆，逆时针方向 13
例4：计算
L
xdy x2