格林公式及其应用60295共38页文档
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L
任意闭C 曲 的线 曲线积 : 分 PdxQdy0
L
因 PdxQdy PdxQdy
L1
L2
而 PdxQdy PdxQdy
L2
L2
故 PdxQdy PdxQdy0，
L1
L2
即 PdxQdy0
L1(L2)
此时 L1(L2)为有向闭曲线成 ，立 ,故结论 反之也.成立
3、定理2 设区域 G是一个单连通域， P(x函, y)数 、Q(x, y)
包括沿区域D的全部边界，且边界的方向对D来说都 是正向.
4、格林公式 的一个简单应用
取 P y, Q x
得 2dxdy xdy ydx
D
L
即A12Lxdyydx
即：闭区域D的面积可用封闭曲线的曲线积分来表示.
例1
求椭圆
xacos ybsin
所围成图形的 A. 面积
解: 由 A12Lxdyydx可求 ,
Baidu Nhomakorabea
导数 ,如果对于 G内任意指定的
两个点 A、B及G内从 A到B的任
意两条曲线 L1与 L2 , 都有 :
P dxQ dyP dxQ dy
L 1
L 2
恒成立. 则,曲 称线积 Pdx分 Qdy在 G内与路 , 径
L
否则便说.与路径有关
2、曲线积分与路径无关的结论
曲线积P分 dxQdy在G内与路径无关G 相 内当
L xxd2 y y yd 2xlxxd2 y y yd 2x xrcos, y rsin, 由0到2π 上式右端02πr2cos2r2r2sin2d
2π
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
1、 什么叫平面上曲线积分与路径无关
设 G是一个区域 , P ( x, y)、
Q(x, y)在G内具有一阶连续偏
若L是平面区域D的边界曲线，现规定L的正向如 下：
我们沿L的方向行走时，D内在我们近处的那一部 分总在我们的左边. 例如 D 为 复连通区域, 其边 界曲线为 L 与 l , 作为 D 的正向边界 , L 的正向 是逆时针方向 , l的正向 是顺时针方向 .
定理1 (格林公式) 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数
OA
0 1xex2dx1 2(1e1)
例 4计算 L xdxy2 yyd2x,其中 L为一条， 无分 重段 点光滑
经过原点的连 ,L的 续方 闭向 曲为 线逆. 时针方
解: 由已知可知此题有二种情况： (a)原点在D外 (b)原点在D内
( 1 )原D 外 点P 时 在 x 2 y y 2 ： ,Q x 2 xy 2 当x2y20时
在G内具有一阶连续偏 ，导 则数 曲线积P分dxQdy
L
在G内与路径无(或关沿G内任意闭曲线的曲 分线 为积 零)的充要条件: 是
P Q y x 在G内恒成立.
证:先证充分性 因G为单连通区域，故闭曲线C所围成的区域D全 部在G内. P Q y x 由格林公式有：
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域. 通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域：{(x, y) x2 y2 1} 上半平面：{(x, y) y 0} 都是单连通区域.
又例如 圆环形区域：{x(,y)1x2y24}、 {x(,y)0x2y22}都是复连通区域.
2xd y xx2 d y 0 d xd y0
L
D
例 3 e y2dxdy，其 D 是 中 O 以 (0,0)A ,(1,1)B ,(0,1)为顶
D
的三角.形闭区域
解: Q P ey2 , x y
令P 0, Q xey2
ey2dxdy
D
0xey2dyxey2dy00
O AAB BO
(1)先D 既 证X 型 是又 Y型是 的 : 情形
设 D(x,y)1(x)y2(x)， axb
因 P连续，故第一式左边 y
D
P y
dxdy
ab12((xx))
P(x, y
y)
dydx
abPx,2(x) Px,1(x)dx
第一式右 Pd边 x Pdx Pdx
L
L1
L2
abPx,1(x)dxbaPx,2(x)dx
abPx,1(x)Px,2(x)dx
DP ydxdyL Pdx
同理， D设 (x,y)1(y)x2(y),cyd
可证DQ xdxdyL Qdy
两式同时成立 即， 得 格林合 公式并 . 后
(2)若 D 为一,既 般 X 型 非 情又 Y 型 形非 区域
可在D内引进一条或几条曲 辅线 助,将D分 成有限个部分闭区在 域上 ，图中所示的闭区域 D，它的边界曲L线 : MNPM，引进一条辅助线 ABC，将D分为D1、D2、D3三部分，得：
Q y2x2 P x (x2y2)2 y
则 L x x d 2 y y yd 2 x0
(2) 原点在D内时
选取适当小的 r 0， 作位于 D内的圆周 l
x2 y2 r2 记L与l所围的闭区域为 D1; 即D1为复连通区, 域 l的方向取逆时,针 有方向
Lxxd2yyyd2xl xxd2yyyd2x 0
P ( x ,y ) 与 Q ( x ,y ) 在 D 上 一阶具 连续偏导数有 ,则有
D Q x P y dxdyL P dxQ dy
其中L是D的取正向的边界曲线，上式为格林公式. 注意:
格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界 曲线上的曲线积分之间的关系.
证: 将格林公式分为两式
D P yd x d y L P d x ， D Q x d x d y L Q d y
此时xacos, dxasind
ybsin, dybcosd 由0到2π
A12Lxdyydxb 1202π(abcos2 absin2)d
12ab02πd πab
例2 L为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：
2xdyxx2dy0
L
证: P 2xy, Q x2
Q P 2x 2x 0 x y
D1
Q x
P y
d x d y
Pdx
MCBAM
Qdy
Q
D2
x
P dxdy y
Pdx
ABPA
Qdy
D3
Q x
P y
d x d y
Pdx
BCNB
Qdy
将三个等式相加 意时 到， 沿注 辅助曲曲线线 积分的
相互抵消，便有
D Q x P y dxdyL P dxQ dy
注意： 对复连通区域D应用格林公式，公式右端的L应
任意闭C 曲 的线 曲线积 : 分 PdxQdy0
L
因 PdxQdy PdxQdy
L1
L2
而 PdxQdy PdxQdy
L2
L2
故 PdxQdy PdxQdy0，
L1
L2
即 PdxQdy0
L1(L2)
此时 L1(L2)为有向闭曲线成 ，立 ,故结论 反之也.成立
3、定理2 设区域 G是一个单连通域， P(x函, y)数 、Q(x, y)
包括沿区域D的全部边界，且边界的方向对D来说都 是正向.
4、格林公式 的一个简单应用
取 P y, Q x
得 2dxdy xdy ydx
D
L
即A12Lxdyydx
即：闭区域D的面积可用封闭曲线的曲线积分来表示.
例1
求椭圆
xacos ybsin
所围成图形的 A. 面积
解: 由 A12Lxdyydx可求 ,
Baidu Nhomakorabea
导数 ,如果对于 G内任意指定的
两个点 A、B及G内从 A到B的任
意两条曲线 L1与 L2 , 都有 :
P dxQ dyP dxQ dy
L 1
L 2
恒成立. 则,曲 称线积 Pdx分 Qdy在 G内与路 , 径
L
否则便说.与路径有关
2、曲线积分与路径无关的结论
曲线积P分 dxQdy在G内与路径无关G 相 内当
L xxd2 y y yd 2xlxxd2 y y yd 2x xrcos, y rsin, 由0到2π 上式右端02πr2cos2r2r2sin2d
2π
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
1、 什么叫平面上曲线积分与路径无关
设 G是一个区域 , P ( x, y)、
Q(x, y)在G内具有一阶连续偏
若L是平面区域D的边界曲线，现规定L的正向如 下：
我们沿L的方向行走时，D内在我们近处的那一部 分总在我们的左边. 例如 D 为 复连通区域, 其边 界曲线为 L 与 l , 作为 D 的正向边界 , L 的正向 是逆时针方向 , l的正向 是顺时针方向 .
定理1 (格林公式) 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数
OA
0 1xex2dx1 2(1e1)
例 4计算 L xdxy2 yyd2x,其中 L为一条， 无分 重段 点光滑
经过原点的连 ,L的 续方 闭向 曲为 线逆. 时针方
解: 由已知可知此题有二种情况： (a)原点在D外 (b)原点在D内
( 1 )原D 外 点P 时 在 x 2 y y 2 ： ,Q x 2 xy 2 当x2y20时
在G内具有一阶连续偏 ，导 则数 曲线积P分dxQdy
L
在G内与路径无(或关沿G内任意闭曲线的曲 分线 为积 零)的充要条件: 是
P Q y x 在G内恒成立.
证:先证充分性 因G为单连通区域，故闭曲线C所围成的区域D全 部在G内. P Q y x 由格林公式有：
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域. 通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域：{(x, y) x2 y2 1} 上半平面：{(x, y) y 0} 都是单连通区域.
又例如 圆环形区域：{x(,y)1x2y24}、 {x(,y)0x2y22}都是复连通区域.
2xd y xx2 d y 0 d xd y0
L
D
例 3 e y2dxdy，其 D 是 中 O 以 (0,0)A ,(1,1)B ,(0,1)为顶
D
的三角.形闭区域
解: Q P ey2 , x y
令P 0, Q xey2
ey2dxdy
D
0xey2dyxey2dy00
O AAB BO
(1)先D 既 证X 型 是又 Y型是 的 : 情形
设 D(x,y)1(x)y2(x)， axb
因 P连续，故第一式左边 y
D
P y
dxdy
ab12((xx))
P(x, y
y)
dydx
abPx,2(x) Px,1(x)dx
第一式右 Pd边 x Pdx Pdx
L
L1
L2
abPx,1(x)dxbaPx,2(x)dx
abPx,1(x)Px,2(x)dx
DP ydxdyL Pdx
同理， D设 (x,y)1(y)x2(y),cyd
可证DQ xdxdyL Qdy
两式同时成立 即， 得 格林合 公式并 . 后
(2)若 D 为一,既 般 X 型 非 情又 Y 型 形非 区域
可在D内引进一条或几条曲 辅线 助,将D分 成有限个部分闭区在 域上 ，图中所示的闭区域 D，它的边界曲L线 : MNPM，引进一条辅助线 ABC，将D分为D1、D2、D3三部分，得：
Q y2x2 P x (x2y2)2 y
则 L x x d 2 y y yd 2 x0
(2) 原点在D内时
选取适当小的 r 0， 作位于 D内的圆周 l
x2 y2 r2 记L与l所围的闭区域为 D1; 即D1为复连通区, 域 l的方向取逆时,针 有方向
Lxxd2yyyd2xl xxd2yyyd2x 0
P ( x ,y ) 与 Q ( x ,y ) 在 D 上 一阶具 连续偏导数有 ,则有
D Q x P y dxdyL P dxQ dy
其中L是D的取正向的边界曲线，上式为格林公式. 注意:
格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界 曲线上的曲线积分之间的关系.
证: 将格林公式分为两式
D P yd x d y L P d x ， D Q x d x d y L Q d y
此时xacos, dxasind
ybsin, dybcosd 由0到2π
A12Lxdyydxb 1202π(abcos2 absin2)d
12ab02πd πab
例2 L为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：
2xdyxx2dy0
L
证: P 2xy, Q x2
Q P 2x 2x 0 x y
D1
Q x
P y
d x d y
Pdx
MCBAM
Qdy
Q
D2
x
P dxdy y
Pdx
ABPA
Qdy
D3
Q x
P y
d x d y
Pdx
BCNB
Qdy
将三个等式相加 意时 到， 沿注 辅助曲曲线线 积分的
相互抵消，便有
D Q x P y dxdyL P dxQ dy
注意： 对复连通区域D应用格林公式，公式右端的L应