抛物线的性质教案22

抛物线的性质
背景分析：
在平面解析几何中，通过建立坐标系在平面点与二元实数组的集合之间（进而，在平面曲线与具有两个变量的方程的集合之间）建立了对应关系，由于平面点集是一个几何结构，实数集则是一个代数结构，因此这里所做的事实就是在整体上实现了由平面几何向代数的化归。

通过建立坐标系把原来的几何问题转化成了代数（计算）问题。

解析方法为我们提供了对曲线进行研究的普遍方法：
第一、根据曲线的几何条件，求得它的方程；
第二、利用代数方法对方程进行研究，从而掌握相应曲线的几何性质。

本节课是在学生学习了抛物线的标准方程的基础上进行的，学生对抛物线的定义、形状、方程都有了一定的认识，接下去的问题是如何从方程着手，用代数的方法进一步全面地去研究、去刻划抛物线的形状和性质。

教学中力求实现以教师为主导，以学生为主体的教学原则，充分结合多媒体技术，以培养学生的思维能力、探究能力、数形结合能力，努力体现新课标的基本理念。

教学目标：
知识与技能目标：掌握抛物线的性质，能由抛物线方程得出抛物线的几何特征及由抛物线的几何特征写出抛物线方程
过程与方法目标：培养学生从抛物线标准方程的解的范围及特点来得到抛物线的几何特征的数形结合的能力
情感与态度目标：通过数形结合提高学生学习数学的兴趣，体现数学的美学价值
教学重点及难点：
重点：抛物线的性质
难点：运用性质、数形结合地解决方程与抛物线的相关问题
教学过程：
一、引入：
提问1，抛物线的标准方程有哪几种形式？焦点坐标、准线方程如何表达？
提问2，抛物线的形状有哪些特点？如何通过抛物线方程的解的情况来说明？
二、抛物线性质：
1、由抛物线的标准方程)0(,22>=p px y 归纳抛物线的性质
（1）对称性：关于x 轴对称
（2）顶点：抛物线与它的对称轴的交点，顶点坐标（0，0）即原点
（3）范围：0≥x x 增大，y 也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 （让学生结合椭圆、双曲线性质的归纳方法类比得到抛物线的性质）
2、由抛物线的其他标准方程归纳得出相应抛物线的性质
（强调通过抛物线方程的解的情况来得到抛物线的性质，多媒体演示）
三、巩固应用：
1、性质应用
例1、 求下列抛物线的焦点坐标、准线方程
（1）x y 122= 焦点F(3,0) 准线 3:-=x l
（2）052=+x y 焦点F(45
-,0) 准线 45
:=x l
（3）042=+y x 焦点F(0,161
-) 准线 161
:=y l
（4）2ax y = 焦点F(0,a 41) 准线 a y l 41
:-=
注意：应将抛物线方程化为准线方程（学生演示，多媒体演示）
例2、 根据条件，写出以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程
（1）焦点F （0，-2） 抛物线的标准方程y x 82-=
（2）焦点F （-1，0） 抛物线的标准方程x y 42-=
（3）准线：3-=x 抛物线的标准方程x y 122=
（4）准线： 1-=y 抛物线的标准方程y x 42=
强调数形结合，牢记抛物线形状的特征：开口方向，焦点、准线位置
2、典型例题
例3、 解：若抛物线的焦点在x )0(22>-=p px y 因为点)1,2(-M 所以21
2),2(21-=---=p p 解得
因此抛物线方程为 x y 2
12-= 若抛物线的焦点在y 轴上，则可设抛物线方程为
)0(22>=p py x 因为点)1,2(-M 在所求抛物线上
所以42,12)2(2=⋅=-p p 解得
因此抛物线方程为 y x 42=
综上所述 所求抛物线方程为 x y 2
12-=和y x 42= 在讲解过程中，启发学生思考，强调数形结合，不要漏解（多媒体演示漏解情况） 例4、 求过点（-1，0）且与抛物线y x 22=只有一个公共点的直线的方程 解：若直线斜率存在，则可设直线方程为)1(+=x k y
联立方程：2
0,084,00222)1(222-===+∴=∆=--⇒⎩⎨⎧=+=k k k k k kx x y x x k y 或解得Θ
所求直线方程为：022,0=++=y x y 或
提问学生：这样解题是否完整？漏解吗？漏解原因是什么？（强调数形结合，抛
物线性质）
若直线斜率不存在，则直线方程为1-=x 而此时直线与抛物线也只有一个交点)2
1,1(- 综上所述 所求直线方程为：022,0=++=y x y 或或1-=x
（多媒体分步骤演示各类图像）
学生练习：
变题1：求过点（0，-1）且与抛物线y x 22=只有一个公共点的直线的方程 解：若直线斜率存在，则可设直线方程为kx y =+1 联立方程：22,084,002221222-===-∴=∆=+-⇒⎩⎨⎧==+k k k kx x y
x kx y 或解得Θ 所求直线方程为：012012=++=--y x y x 或
若直线斜率不存在，则直线方程为0=y
而此时直线与抛物线也只有一个交点)0,0(
综上所述 所求直线方程为：012012=++=--y x y x 或或0=y
变题2：求过点（0，1）且与抛物线x y 22=只有一个公共点的直线的方程
学生可能注意了直线斜率不存在的情况，但在运用判别式时忽略了是否是一元二次方程的问题，看书例2
3、巩固提高：
例5、在抛物线24x y =上求一点M ，使它到点)2,2(P 和焦点F 的距离之和最小 解：抛物线24x y =的准线为l ：1-=x
设是抛物线上任一点，它到准线的距离为11Q M
则从而,111F M Q M =P M Q M P M F M 11111+=+
作MQ MF M Q l PQ =⊥则交抛物线于于,, 因为111111,Q M PM Q M PM PQ ++≤所以解得M 点的坐标为（1，2）
提问：抛物线的这个特点有何实际意义？
学生答：探照灯，太阳灶均运用此原理
（思考）变题：在抛物线24x y =上求一点M 之和最小
如图：因为F M PM PF 11+≤ 所以PF F M PM 的最小值为11+
解得M 点的坐标为（4，4） 四、小结：
1、抛物线的性质及特征
2、由抛物线方程得到性质的过程和方法
3、数形结合解题的思路
4、解方程时注意方程的同解性 五、布置作业：
书上练习题12.8
教学反思：
1、教学任务顺利完成，教学目标基本达到。

课堂上教师与学生有较好的互动，
较好地体现了以教师为主导、以学生为主体的教学原则，通过运用多媒体教学手段，让学生直观地领悟到抛物线方程和性质之间的联系，培养了学生数形结合的能力。

2、在运用多媒体教学手段进行教学时，让学生充分思考的时间不多，基础较差
的学生可能跟不上教学节奏，今后的教学中将加以改进。