2.4.2 抛物线的简单几何性质 教案(人教A版选修2-1)
【说课教案】人教版高二数学选修1-1：2.4.2抛物线的简单几何性质说课稿
【说课教案】人教版高二数学选修1-1：2.4.2抛物线的简单几何性质说课稿抛物线的简单几何性质一、教材分析1.教材的地位和作用：《抛物线的简单几何性质》是人教A版选修2-1第二章第四节的内容。
本节课是在是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。
抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
2.学情分析：学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质，有亲历体验、发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。
在教师的指导下能够主动与同学探究、发现、归纳数学知识。
3.教学目标：知识目标：掌握抛物线简单几何性质，理解其产生过程；根据几何性质确定抛物线的标准方程；引导学生归纳总结出焦点弦长公式。
能力目标：学会用类比思想分析解决问题，培养学生掌握知识的类比、归纳、概括和推理能力。
情感目标：通过自主探究、合作交流激发学习兴趣和探索问题的勇气，培养良好的思维品质。
4.教学重点难点重点：从知识上来讲，要掌握抛物线几何性质的初步运用及焦点弦长公式；从学生的体验来说，需要关注学生在探究抛物线性质的过程中思维层次的展现和思维能力的提高。
难点：抛物线几何性质的灵活应用二、教学方法与手段1.教法：本节课采用五环教学法，引导学生自己观察、归纳、分析，培养学生采用自主探究的方法进行学习，并采用小组积分制，充分调动学生学习的积极性，使学生从中体会学习的乐趣。
2.学法：（1）类比学习：通过椭圆、双曲线的几何性质类比学习抛物线的几何性质.（2）小组合作学习：将学生分成几个小组，通过小组内讨论交流，归纳得出抛物线的简单几何性质。
3.教学手段：多媒体辅助教学三、教学过程：（一）问题情境回顾上节课所学抛物线的定义及其标准方程。
（学生填表并完成自我检测）定义图形标准方程焦点准线设计意图：用表格的形式进行复习直观形象，有助于对所学知识的系统掌握。
自我检测：1.抛物线24y x =的准线方程是_____ 2.抛物线212y x =上与焦点距离等于9的点的横坐标_____设计意图：通过具体题目的练习，加深对抛物线定义和标准方程的理解。
高中数学 专题2.4.2 抛物线的简单几何性质教案 新人教A版选修2-1(2021年整理)
高中数学专题2.4.2 抛物线的简单几何性质教案新人教A版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题2.4.2 抛物线的简单几何性质教案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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抛物线的简单几何性质【教学目标】1．知识与技能目标:（1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（2）能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；（3）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。
2．过程与方法目标：（1）通过抛物线图像的探究,培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
（2）在抛物线性质的发现过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3．情感态度与价值观目标：(1）通过抛物线性质的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过结论的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”。
（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.【重点难点】1。
教学重点：抛物线的性质及应用．2。
教学难点：抛物线的性质的应用．【教学过程】☆情境引入☆某公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0。
81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。
抛物线的简单几何性质(参赛教案)
2.4.2 抛物线的简单几何性质一、本节课内容分析与学情分析1、教材的内容和地位本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版《数学》选修2—1第二章第四节的内容。
它是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，是高中数学的重要内容。
本节内容的学习，是对前面所学知识的深化、拓展和总结，可使学生对圆锥曲线形成一个系统的认识，同时也是一个培养学生数学思维和让学生体会数学思想的良好时机。
2、学生情况分析在此内容之前，学生已经比较熟练的掌握了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质，以及研究问题的基本方法。
本节课，学生有能力通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程去探索抛物线的几何性质。
可培养学生的自主学习能力和创新能力。
二、教学目标1、知识与技能：〔1〕理解并掌握抛物线的几何性质。
〔2〕能够运用抛物线的方程探索抛物线的几何性质。
2、过程和方法：注重对研究方法的思想渗透，掌握研究曲线性质的一般方法；培养运用数形结合思想解决问题的能力。
3、情感态度价值观：通过对几何性质的探索活动，亲历知识的构建过程，使学生领悟其中所蕴含的数学思想，数学方法，体会新知识探索过程中带来的快乐和成就感。
让学生养成自主学习，合作探究的习惯。
三、重难点分析教学重点：探索和掌握抛物线的简单几何性质。
教学难点：抛物线的几何性质在各种条件下的灵活运用。
四、教法、学法分析教法：本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法等教学方法。
“以学生的活动为主线，将问题抛给学生，用问题启发学生思考和探索，让学生在参与问题的提出、讨论和解决过程中，到达掌握知识、提高能力的目的。
学法：结合我校学生的特点，本节课主要采用“类比——探索——应用——思考——再探索”的探究式学习方法，使学生在掌握知识，形成技能的同时，培养学生的理性思维能力，增强学生学习的自信心。
五、教学过程*情景引入前面我们已经学习了椭圆与双曲线，根据他们的标准方程，得到了它们的简单几何性质。
人教A版数学选修2-1《2.4.2 抛物线的几何性质》教学设计
抛物线的几何性质的教学设计课程分析：本节课是学生在学习抛物线的定义之后的内容。
抛物线的几何性质与椭圆、双曲线比较起来，差别较大。
学生刚刚学习了椭圆、双曲线的性质及抛物线的方程，这些知识将作为本节课的认知基础，本节课也将是在此基础上展开的。
掌握22= (p>0)的性质将是本y px节课的重点及难点，而解决此重点的思路主要是让学生的手、眼、脑、嘴、都动起来，让学生自主学习，合作交流，自己领会，感悟。
学情分析：本班学生是文科班，思维不太活跃，但研究的气氛浓厚，亦能踊跃的回答问题，但须进行适当的引导，一方面鼓励他们学习的、提问的热情，一方面利用他们不同的见解，不同的看法，使之回归到正确的学习方向，从而使学生成为课堂的主人。
设计思路：本节课采用“诱思探究教学”，让学生在教师导向性信息的指引下，动用所有的感官，亲身体验，独立思考、自主探究、合作学习，使本节课的教学任务得以完成。
在本节课的教学过程中充分体现“以诱达思，启智悟道”的教学精髓。
本节课掌握22=y px= (p>0)的性质并能应用是重点，得到22y px(p>0)的性质是本节课的难点，所以在本节课设计了“回忆旧知、做好准备”“小组合作、获取新知”“拓展应用、掌握提高”“勤于总结、新旧联系”“学以致用、提高能力”“当堂反馈、及时巩固”“几个部分。
“回忆旧知、做好准备”是为学生探究发现抛物线的几何性质做好基础知识方面的准备，利于学生将探究得到后的知识与前面的知识联系起来，形成系统，构建抛物线的知识体系。
“小组合作、获取新知”的过程则是本节课的重中之重，在这个过程中利用导向性信息引导学生阅读课本、分组讨论、代表发言、百家争鸣等，使学生完成此次的教学任务。
在这个过程中充分调动学生的手、眼、耳、嘴、脑等感官使学生亲自体验、探索新知识，突破本节难点。
“拓展应用、掌握提高”及“勤于总结、新旧联系”部分让学生通过翻阅课本，及时回忆、探讨研究使新旧知识联系起来，互相融合，从而将抛物线的几何性质添加到原圆锥曲线的系统中，并能得到提高。
高中数学选修2-1教学设计-抛物线的简单几何性质
§2.4.2抛物线的简单几何性质（1）【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。
【学习目标】1．根据抛物线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图【重点】根据抛物线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；【难点】根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图一、自主学习看课本第68页－69页，解决下列问题：1．抛物线位于直线_______________________的一侧。
2．抛物线的对称性：（1）对称轴（2）对称中心3．参数p的名称分别是_____________，其几何意义是。
4．抛物线离心率e是___________。
5.填表二、典型例题例1已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(-M ，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．例2斜率为1的直线l 经过抛物线28=y x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24=y x 于A ，B 两点，求AB ．三、拓展探究1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点(5M ，4)-； ⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ；⑶焦点是(0,8)F -，准线是8y =．2．教材74页8题四、变式训练课本第72页2题五、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：六、课后巩固1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．A ．212=x y B ．2=x y C ．22=x y D ．24=x y 2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（ ） ． A ．220y x = B ．220x y = C ．2120y x = D ．2120x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．44．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．5．教材73页4题6．教材73页5题。
2.4.2《抛物线的几何性质》教案(人教A版选修2-1)
《抛物线的几何性质》教案【教学目标】1.抛物线的性质及其灵活运用；.【导入新课】复习导入1.抛物线的定义；2.抛物线的方程的推导.新授课阶段1.抛物线的几何性质(1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．具体归纳如下表：特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1.例1. 已知抛物线关于x 轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, 22-), 求它的标准方程.例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长. 解：抛物线的焦点 F(1 , 0), 1l y x =-直线的方程为： 2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ 1212322322 222222x x y y ⎧⎧=+=-⎪⎪⇒⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩或221212AB =(x -x )+(y -y )=8课堂小结（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义.（二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.作业见同步练习部分拓展提升1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．1716B ．1516C ．78D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ）A ．y 2=8xB ．y 2=－8xC ．y 2=4xD ．y 2=－4x3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分P A → 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．y=6x 2―31B ．x=6y 2－31C ．y=3x 2+31 D ．y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=23 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 .5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⋅)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 . 6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程.7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标.8．在直角坐标系中，已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切.⑴ 点A 的轨迹C 的方程；⑵ PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系.21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上.参考答案1．B 【解析】用抛物线的定义.2．B 【解析】坐标代入.3．B 【解析】用坐标转移法.4．12【解析】有两个顶点关于x 轴对称，进而得到直线的倾斜角是6π和56π. 5．)1(+-n n 【解析】求出数列的通项公式.6．y 2=12x 或y 2=－4x 【解析】设抛物线方程后，用韦达定理及弦长公式. 7．M（542）或（5,42-）【解析】数形结合得到当且仅当AB 过焦点时M 到y 轴距离最小．设出此时的直线方程，用弦长公式解得直线AB 的斜率，并得到AB 的坐标.8． 解：(1)设A （x,y ），则22p x 2y )2p x (22+=+-,化简得：y 2=2px （2）由对称性知，PB 和QB 与曲线C 的位置关系是一致的，由题设，不妨P （p ,2p） 而1)2p (2p 0p k PB =---= ∴直线PB 的方程为y=x+2p ,代入y 2=2px ，消去y 得到关于x 的一元二次方程 x 2+px+4p 2=0,∆=0 ∴直线PB 和QB 均与抛物线相切.（3）由题意设)t ,p 2t (M 21，)t ,p 2t (M 22-，则直线FM 1：)2p x (2p p 2t t y 2--=； 直线BM 2：)2p x (2p p 2t ty 2++-= 联立方程组解得M 点坐标为23t 2p (，)t p 2-，经检验，)2(2)(2322tp p t p =- ， ∴点M 在曲线C 上.。
高中数学 242 抛物线的几何性质1教案 新人教A版选修2-1 教案
抛物线的几何性质课题： 2.4.2 抛物线的几何性质（1）第课时总序第个教案课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日教学目标：知识与技能目标使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．过程与方法目标从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
批注教学重点：从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质。
教学难点：从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质。
教学用具：多媒体，三角板教学方法：探究，分析，归纳教学过程：一、课前准备（预习教材P68~ P70）复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．复习2：双曲线221169x y-=有哪些几何性质？二、新课导学※学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？新知：抛物线的几何性质图形标准方程焦点(0,)2p-准线2py=-顶点(0,0)(0,0)对称轴x轴离心率试试：画出抛物线28y x=的图形，顶点坐标（）、焦点坐标（）、准线方程、对称轴、离心率．※典型例题例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M-，求它的标准方程．60，求。
高中数学选修2-1新教学案：2.4.2抛物线的简单几何性质（1）
高中数学选修2-1新教学案：2.4.2抛物线的简单几何性质（1）选修2—1 2.4.2抛物线的简单几何性质（学案）（第一课时）【知识要点】抛物线的有关几何性质及其应用.【学习要求】1.通过理解抛物线的定义及其方程,掌握抛物线的简单几何性质;2.通过对抛物线的简单的几何性质的学习,进一步体会数形结合思想在解题中的应用并能应用几何性质解决有关问题.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第68页～第70页）1. 通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,请你以22(0)y px p=>为例谈一下抛物线的几何性质.2. 模仿22(0)=>几何性质,把下列表格填完整.y px p通过表格的填写，我们知道，四种形式抛物线顶点相同，均为，离心率均为，它们都是对称图形，但是对称轴不同.3. 和椭圆、双曲线的几何性质相比：它们都是对称图形；椭圆、双曲线又是对称图形，抛物线不是;顶点个数不同:椭圆有 ,双曲线有 ,抛物线由一个顶点;焦点个数不同:椭圆和双曲线各有焦点,抛物线只有一个焦点;离心率取值范围不同:椭圆的离心率范围是,双曲线的离心率范围是,抛物线的离心率是 . 【基础练习】1．已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,M -,求它的标准方程.2. 已知一抛物线的焦点(0,8),8F y -=准线是,求抛物线的标准方程.3. 过点(2,0)1AB M l 2作斜率为的直线，交抛物线y =4x 于A,B 两点求 . 【典型例题】例1 某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的方程.变式1：P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于,A B 两点,求线段A B 的长.变式2：已知抛物线的焦点在x 轴上,且截直线210x y -+=求此抛物线的方程.变式3：已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上两点, O 为坐标原点,若O A O B =, 且A O B ?的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线A B 的方程.1. 圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）（A ）x 2+ y 2-x -2 y -41=0（B ）x 2+ y 2+x -2 y +1=0 （C ）x 2+ y 2-x -2 y +1=0（D ）x 2+ y 2-x -2 y +41=02. 平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）（A ） y 2=－2x（B ） y 2=－4x（C ）y 2=－8x（D ）y 2=－16x3. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （）（A ）8（B ）10（C ）6(D) 44. 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点（-2，3），它的方程是 ( ).(A) 229423x y y x =-=或（B ） 229423y x x y =-=或(C) 292y x =-(D) 243x y =5. 有一个正三角形的两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是 ( ).(A) (B)(C) (D)6. 已知抛物线的方程是22(0)y px p =>，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y 轴的位置关系 ( ).(A) 相交 (B) 相离 3 (C) 相切 (D) 不确定7. 抛物线24x y =-过焦点垂直对称轴的直线交抛物线于,A B 两点，O 为抛物线的顶点，则（）.(A) 8,4AOB AB s ?== (B) 4,2AOB AB s ?== (C) 4,4AOB AB s ?== (D) 8,2AOB AB s ?==8. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段P F 与FQ 的长分别是,p q ，则qp11+等于（）(A) 2a (B)12a(C) 4a (D) 4a9.已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点,F A 点的坐标为（8，8），则线段A B 的中点到准线的距离为（）(A)254(B)252(C)256(D) 2510. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 任作一条直线l 与抛物线交于12,P P 两点，求证：以12P P 为直径的圆和这条抛物线的准线相切.选修2—1 2.4.2抛物线的简单几何性质（教案）（第一课时）【教学目标】: 要求学生熟练掌握抛物线的简单几何性质，能够运用几何性质处理有关的数学问题，并且进一步体会数形结合思想在解题中的应用. 【重点】：对抛物线几何性质的掌握与应用. 【难点】：抛物线几何性质的应用.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第68 页～第70页）1. 通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,请你以22(0)y px p =>为例谈一下抛物线的几何性质.范围：0,x y ≥∈R ；顶点坐标：（0，0）；对称轴为x 轴；焦点坐标：(,0)2p F ；准线方程：2p x =-；离心率为1；通径长为2p .2. 模仿22(0)y px p =>几何性质,把下列表格填完整.图通过表格的填写，我们知道，四种形式抛物线顶点相同，均为(0,0)，离心率均为1 , 它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.3. 和椭圆、双曲线的几何性质相比：它们都是轴对称图形；椭圆、双曲线又是中心对称图形，抛物线不是;顶点个数不同:椭圆有4个,双曲线有2个,抛物线由一个顶点;焦点个数不同:椭圆和双曲线各有2个焦点,抛物线只有一个焦点;离心率取值范围不同:椭圆的离心率范围是<e1,抛物线的离心率是e=1. 【基础练习】</e1．已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,M -,求它的标准方程.解: 由题意可设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>. 因为点M 在抛物线上,所以(222, 2.p p -== 即因此,所求抛物线的方程为24.y x =2. 已知一抛物线的焦点(0,8),8F y -=准线是,求抛物线的标准方程. 解: 由题意可知8,162p p =∴=.所以抛物线方程为232.x y =-3. 过点(2,0)1AB M l 2作斜率为的直线，交抛物线y =4x 于A,B 两点求 .解: M 201过点（，）且斜率为的直线l 的方程为2y x =-,与抛物线的方程24y x =联立得1142x y ?=+??=+??2242x y ?=-??=-??设1122(,),(,)A x y B x y ,则AB ==【典型例题】例1 某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的方程.【审题要津】因为椭圆的中心在坐标原点,左顶点为(-3,0),所以可直接设抛物线的标准方程,代入p 后可得方程.解：由22169144x y +=得221169yx+= ,所以椭圆的左顶点为(-3,0).由题意设所求抛物线方程为22(0)y px p =->,由362p p ==得,所以所求方程为212y x =- .【方法总结】顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程可设为标准形式.变式1：P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是．(1,0)例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于,A B 两点,求线段A B 的长.【审题要津】求出抛物线的焦点后,写出直线方程的点斜式,和抛物线联立解交点,然后运用两点间的距离公式求A B 的长.解：抛物线24y x =的焦点为(1,0),直线l 的方程为1y x =-,联立21,4.y x y x =-??=得1132x y ?=+??=+??2232x y ?=-??=-?? 设1122(,),(,)A x yB x y ,则AB =【方法总结】直线和圆锥曲线的弦长问题,可先联立方程组求交点坐标,然后运用两点间的距离公式求解.变式2：已知抛物线的焦点在x 轴上,且截直线210x y-+=求此抛物线的方程.解: 所求抛物线方程为22124y x y x ==-或.变式3：已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上两点, O 为坐标原点,若O A O B =, 且A O B ?的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线A B 的方程.解: 由题意可知, 抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(,0)2p F ,因为O A O B =,由抛物线的对称性可知, ,A B 两点关于x 轴对称,设直线A B 的方程为200000,A,B A ,),2.x x x y y px ==设两点的坐标为（则因为A O B ?的垂心恰是抛物线的焦点F ,所以0000,(,),(,)2p A F O B A F x y O B x y ⊥=--=- .05A F O B =0x 2p= 由得 .所以直线A B 的方程为5.2p x =1. 圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ D ）（A ）x 2+ y 2-x -2 y -41=0 （B ）x 2+ y 2+x -2 y +1=0 （C ）x 2+ y 2-x -2 y +1=0（D ）x 2+ y 2-x -2 y +41=02. 平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ C ）（A ） y 2=－2x（B ） y 2=－4x （C ）y 2=－8x （D ）y 2=－16x3. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ A ）（A ）8（B ）10（C ）6(D) 44. 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点（-2，3），它的方程是 ( B ). (A) 229423x y y x =-=或（B ） 229423y x x y =-=或(C) 292y x =-(D) 243x y =5. 有一个正三角形的两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是 ( B ).(A) (B)(C) (D)6. 已知抛物线的方程是22(0)y px p =>，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y 轴的位置关系 ( C ).(A) 相交 (B) 相离 3 (C) 相切 (D) 不确定7. 抛物线24x y =-过焦点垂直对称轴的直线交抛物线于,A B 两点，O 为抛物线的顶点，则（ B ）.(A) 8,4AOB AB s ?== (B) 4,2AOB AB s ?== (C) 4,4AOB AB s ?== (D) 8,2AOB AB s ?==8. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段P F 与FQ 的长分别是,p q ，则qp11+等于（ C ）(A) 2a (B)12a(C) 4a (D) 4a9.已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点,F A 点的坐标为（8，8），则线段A B 的中点到准线的距离为（ A ）(A)254(B)252(C)256(D) 2510. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 任作一条直线l 与抛物线交于12,P P 两点，求证：以12P P 为直径的圆和这条抛物线的准线相切.证明：如图，11122212(,),(,),x y P x y P P 设P 中000(,).x y 点P 12P F P F =+12P P=21222p p x x x p +++=++1x ，122x x +=0x ，12121222x x p d P P +∴=+=0p 到准线的距离.所以以12P P 为直径的圆和这条抛物线的准线相切.。
人教A版高中数学 选修2-1 2.4.2抛物线的简单几何性质 学案
2.4.2抛物线的简单几何性质（一）教学目标1.知识与技能：(1) 通过对抛物线图形的研究，让学生熟悉抛物线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对抛物线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
(2) 熟练掌握抛物线的几何性质，会用抛物线的几何性质解决相应的问题。
2.过程与方法：通过讲解抛物线的相关性质，理解并会用抛物线的相关性质解决问题。
3.情感、态度与价值观：(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； (2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点重点：抛物线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质 难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质。
（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题 （5分钟） 问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？1、 抛物线的定义？2、 四种不同抛物线方程的对比？问题2：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线22(0)y px p =>有那些的几何性质？通过它的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？抛物线上哪些点比较特殊？活动二：师生交流、进入新知，（20分钟） 一、抛物线的简单几何性质 1．范围：0x ≥，y R ∈ 2．对称性：抛物线关于x 轴对称. 3．顶点：坐标原点（0，0） 4．离心率：=1e问题3：说出当e 满足下列条件时，曲线是什么图形？（1）当0＜e ＜1时，（2）当e ＞1时，（3）当e=1时。
5.焦半径：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．6.由焦半径公式不难得出焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有|AB|=x1+x2+p ．特别地：当AB ⊥x 轴时，抛物线的通径|AB|=2p 练习：完成下列表格例3：已知：抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点2M（，-，求它的标准方程，并用描点法画出图形．问题4：思考顶点在坐标原点，并且经过点2M（，-的抛物线有几条？求出它的标准方程。
数学选修2-1抛物线的简单几何性质 集体备课教案(两课时)
2015-2016第一学期高二年级课堂教学教案学科：数学备课组教师：通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征 的草图.2p 越大，抛物线张口越大. 4.数学运用例1已知抛物线的标准方程y 2=6x 求它的焦点坐标和准线方程 分析：1.确定p (p >0);2.由方程确定开口方向,再写出焦点坐标、准线方程 解： 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径． 设抛物线的标准方程是px y 22= (p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302⨯=p ， 即：445=p 所求的抛物线标准方程为x y 2452=． 焦点坐标是(845,0) 5、课堂练习（学生活动二）1）根据下列条件，求抛物线的方程。
（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8． （2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．3p 26p 32x抛物线的准线方程是3(,0)2抛物线的焦点坐标是xyoAB2）过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4四、课堂训练1．已知两定点)05(),05(21，，F F -，动点P 满足a PF PF 221=-，则当a ＝3和5时，P 点的轨迹为( )A ．双曲线和一直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线2.若方程()()112222=++-+y k x k k 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则______∈k3.若双曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-52321，P 和⎪⎭⎫ ⎝⎛47342，P 两点，求双曲线的标准方程. 集体备课补充部分年月日2015-2016第一学期高二年级课堂教学教案学科：数学备课组教师：集体讨论时间：2016年10月 日 教案执行时间： 2016年10月 日课题 2.4.2 抛物线的简单几何性质 （第二课时） 课型新授课主备教师教学课时数1教学目标 1.通过抛物线的方程和几何图形，了解抛物线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质.2了解抛物线的几何性质，并能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题 教学重点 抛物线的简单性质（范围、对称性、离心率、渐近线）的理解及简单应用 教学难点 对抛物线的理解和应用及求弦问题. 教法与学法 讲练结合教学用具是否用多媒体是 教学过程补充（一）复习：1．抛物线的定义及几何性质． 2．练习：①抛物线20(0)mx ny m n +=⋅≠的顶点坐标是(0,0)，焦点坐标是(,0)4mn-，准线方程是4m x n =，离心率是1，通径长||m n． ②抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是 2 ．③若点(3,2)A ，点F 为抛物线22y x =的焦点，则使||||MA MF +取最小值的抛物线上点的坐标是(2,2)．（二）新课讲解：例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长．解：设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上， 且设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112y px =，2222y px =，又||||OA OB =，所以22221122x y x y +=+，即221212()2()0x x p x x -+-=，1212()(2)0x x x x p -++=．A∵10x >，20x >，20p >，∴12x x =． 由此可得12||||y y =，即线段AB 关于x 轴对称． 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=，所以113tan 303y x ==． ∵2112yx p=，∴123y p =，∴1||243AB y p ==．例2．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物 线的准线相切．证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2pF ， 准线2px =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心 M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=， 又111||||2||AA BB MM +=， ∴11||||2MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立．（法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2pF ， 准线2px =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ， 22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y则1212||22p pAB x x x x p =+++=++， ∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211||()22r AB x x p ==++． 点M 到准线2p x =-的距离120121()2222p x x p d x x x p +=+=+=++，∴圆M 与准线相切．例3．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离．M1M解：抛物线焦点1(,0)4F ，准线l ：14x =-， 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，设点00(,)M x y ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥， 又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥， 又101|4MM x =+，||3AB =，∴01342x +≥，所以054x ≥，即0x 的最小值是54．∴点M 到y 轴的最小距离是54，当且仅当AB 过点F 是取得最小距离．小结综合处理抛物线的有关问题，特别是抛物线的弦的问题. 布置作业六．作业：补充：1．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B ．求证：1190A FB ∠=。
高中数学选修2-1人教A版：2.4.2抛物线的简单几何性质课件(1)
P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！
三、典例精析
例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在
直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 16
.
例 2.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛解物法线1相交F1于(1 ,A0,)B, 两点,求线段 AB 的长.
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴.
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点. （0,0）
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距 离和它到准线的距离 之比，叫 做抛物线的离心率，由抛物线 的定义，可知e=1。
y
P(x0 , y0 )
A
OF
x
B
（5）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线
段叫做抛物线的焦半径。PF
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F (0, p ) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p ) 2
x0
p 2
（6）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与
抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物
线的通径。通径长为2p A( p , p)、B( p , p)
高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（一）学习目标：1、记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量p ；2、会简单应用抛物线的几何性质。
一、知识回顾：1、抛物线20(0)mx ny m n +=⋅≠的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径长 。
2、抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是 。
3、抛物线28y x =的焦点为F ，()4,2A -为定点，在抛物线上找一点M ，当MA MF +为最小时，则M 点的坐标 ，当MA MF -为最大时，则M 点的坐标 。
二、典例分析：〖例1〗：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
〖例2〗：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长。
〖例3〗：定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y轴的最小距离。
〖例4〗：抛物线24y x =上有两个定点A 、B （位于x 轴的上下两侧），F 是抛物线的焦点，并且||2FA =，||5FB =。
在抛物线AOB 这段曲线上，求一点P ，使得APB ∆的面积最大，并求最大面积。
三、课后作业：1、已知点1,04F ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线l ：41=x ，点B 是直线l 上的动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 所在曲线是（ ） A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线 2、若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =（ ） A 、2- B 、2 C 、4- D 、43、过抛物线()220y px p =>的焦点的直线交抛物线于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A 、2p B 、p C 、2p D 、无法确定 4、设抛物线22y x =的焦点为F ，以9,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，PF 长为半径作一圆，与抛物线在x 轴上方交于,M N ，则MF NF +的值为（ ）A 、8B 、18C 、22D 、45、抛物线28y x =上一点P 到顶点的距离等于它到准线的距离，这点坐标是（ ）A 、()2,4B 、()2,4±C 、(D 、(1,± 6、已知点P 是抛物线x y 42=上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为1d ，到圆()()22331x y ++-=上一动点Q 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A 、3B 、4C 、5D 、1+7、过定点()0,2P ，作直线l 与曲线x y 42=有且仅有１个公共点，则这样的直线l 共有 条。
数学 2.4.2抛物线的简单几何性质教学设计 新人教A版选修2 1 教案
《抛物线的简单几何性质》教学设计一. 教学理念“数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。
”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。
数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。
二、教学目标1、知识目标：（1）抛物线的几何性质、X围、对称性、定点、离心率。
.（2）抛物线的通径及画法。
（3）抛物线的焦半径公式。
2、能力目标：.（1）使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。
（2）掌握抛物线的画法。
3、情感目标：（1）培养学生数形结合及方程的思想。
（2）训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。
三、教学重点、难点教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。
难点是抛物线各个知识点的灵活应用。
四、教学方法及手段采用引导式、合作探究、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。
五、教学程序教 学 过 程教学内容教师导拨与学生活动设计意图一、知识回顾1、 抛物线的标准方程。
课件展示给出下表，请学生对比、研究和填写．图形标准方程焦点坐标准线方程标准方程由学生提前复习，在导学案上填出答案，老师展示结论提出这一问题的研究方法——对比、数形结合)0(22>=p px y )0,2(p 2px -=)0(22>-=p px y )0,2(p -2p x =)0(22>=p py x )2,0(p2p y -=)0(22>-=p py x )2,0(p -2p y =二、引入课题由三幅图片的共同特征引出抛物线在生活中的重要作用，阐述研究抛物线的几何性质的重要性。
人教课标版高中数学选修2-1：《抛物线的简单几何性质(第2课时)》教案-新版
2.4.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）一、教学目标 （一）学习目标1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化. （二）学习重点抛物线的几何性质及其运用. （三）学习难点 抛物线几何性质的运用. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务 写一写：直线与抛物线的位置关系：以22y px =为例，解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立，消去y （或者消去x ），得出关于x 的一个方程，20Ax Bx C ++=. 当A =0时，直线与抛物线有 1个 交点；当A ≠0时，若0∆>，则直线与抛物线有 2个 公共点； 若0∆=，则直线与抛物线有 1个 公共点，即 切点 ； 若0∆<，则直线与抛物线有 0个 公共点，即 相离 . 2.预习自测下列正确的命题个数是（ ）（1）若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.（2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. （3）直线210x y -+=与抛物线2y x =的位置关系是相交.（4）过焦点(,0)2pF 的直线与抛物线22y px =交于,A B 两点，则||AB 的最小值为2p . A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】当直线与抛物线对称轴平行时直线与抛物线相交，而且只有一点，故（1）错误；联立210x y -+=与2y x =知0∆=，故（3）错误. 点拨：注意直线与抛物线只有一个交点，两者关系可能为相交与相切. （二）课堂设计 1.知识回顾：（1）抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 2.新知讲解我们在学习了直线与圆、直线与椭圆的位置关系，今天来学习直线与抛物线的位置关系.通过这节课的学习，我们比较一下直线与抛物线的位置关系与直线与圆、直线与椭圆的位置关系有哪些异同点. 探究一：直线与抛物线 ●活动①师生互动，探究关系先请学生回顾直线与圆、直线与椭圆的位置关系有哪些？（形状）那么，直线与抛物线的位置关系有哪些呢？注意：有一个公共点不一定相切.问题：针对每一种位置关系，我们如何用“数”加以证明呢？【设计意图】通过直线与椭圆位置关系的回顾，培养学生类比学习能力.在图象认识的基础上，逐渐由“形”上升到“数”. 例1.已知直线l 过(0,1)A ，抛物线方程为24y x =.（1）若直线与抛物线没有交点，求直线l 的斜率k 的取值范围； （2）若直线与抛物线有两个交点，求直线l 的斜率k 的取值范围. 【知识点】直线与抛物线.【解题过程】由题意知直线l 的方程为：1y kx =+.联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得：22(24)10k x k x +-+=. ①（1）直线与抛物线没有交点，即方程①无解，故22(24)40k k k ≠⎧⎨∆=--<⎩，解得：1k >.（2）直线与抛物线有两个交点，即方程①有两个不同的实数解，故22(24)40k k k ≠⎧⎨∆=-->⎩，解得：1k <且0k ≠. 【思路点拨】用方程组的解的个数来讨论两曲线公共点的个数时，要注意到二次项系数为零的情况.【答案】（1）1k >；（2）1k <且0k ≠. ●活动② 归纳总结，提炼结论直线与抛物线的位置关系：设直线方程为y kx b =+，抛物线22y px =，联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax .当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则：若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点（相离）同类训练 已知直线l 过下面任意一个定点，抛物线方程为24y x =，若直线与抛物线仅有一个交点，则这样的直线有几条？(0,1),(1,2),(1,1)A B C答案：分别有3,2,1条.解析：【知识点】直线与抛物线位置关系.【解题过程】根据,,A B C 与抛物线的位置关系，可知分别过,,A B C 且与抛物线仅有一个交点的直线条数分别为：3，2,1.点拨：动直线过定点问题与抛物线恰有一个交点问题，首先要验证定点与抛物线的位置关系，从而确定满足条件的直线有几条. 探究二：抛物线的焦点弦. ●活动①例题出发，发现关系例2.已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． （1）若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；（2）若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】（1）因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F 3(,0)2. 所以直线l 的方程为y ＝33()2x -.联立263)2y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3. 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.【思路点拨】过焦点的弦长问题注意利用好抛物线的定义可简化运算. 【答案】（1）|AB |＝8；（2）92.同类训练 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点. 求证：（1）12x x 为定值；（2）11||||FA FB +为定值. 答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】（1）设直线:()(0)2pAB y k x k =-≠由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：22222(2)04k p k x p k x -++=，故2124p x x =为定值.（2）由抛物线的定义知：12||,||22p p AF x BF x =+=+ 故121221212121211112||||()()22224x x p x x p p p p p p FA FB p x x x x p x x x x +++++=+===+++++++. 点拨：应用抛物线的定义及直线与抛物线的知识转化处理. ●活动②师生合作，探究弦长我们把过焦点的直线割抛物线所成的相交弦称为抛物线的焦点弦.过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，设两交点),(),(2211y x B y x A .可以通过两次焦半径公式得到：（1）当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关： 抛物线)0(22>=p px y ，)(21x x p AB ++= 抛物线)0(22>-=p px y ，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关： 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-= （2）若已知过焦点的直线倾斜角θ.则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ （3）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =●活动③强化提升，灵活应用例3.如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP |-|FP |cos2a 为定值，并求此定值.【知识点】抛物线方程及其几何性质.【解题过程】设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p 因此焦点)0,2(p F 的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为2p x -=. 从而所求准线l 的方程为2-=x .（2）如图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足为C 、D ，则由抛物线的定义知AC AF =，|FB |=|BD |. 记A 、B 的横坐标分别为x x x z ，则 |F A |＝|AC |＝4cos ||22cos ||2+=++=+a FA p p a FA p x x 解得aFA cos 14||-=. 类似地有a FB FB cos ||4||-=，解得aFB cos 14||+=.记直线m 与AB 的交点为E ，则aaa a FB FA FB FA FA AE FA FE 2sin cos 4cos 14cos 1421|)||(|212||||||||||||=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=+-=-=所以aa FE FP 2sin 4cos ||||==. 故8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-aa a aa FP FP .【思路点拨】涉及到直线倾斜角，我们可以利用抛物线的定义寻找几何关系，利用倾斜角α来表示焦半径,AF BF 解题.【答案】（1）F （2，0），2-=x ；（2）||||cos28FP FP a -=，证明见解题过程.同类训练 已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆13422=+y x 的右焦点重合，抛物线C 与椭圆的交于点P ，延长PF 交抛物线C 于点Q . （1）求抛物线C 的方程； （2）求||PQ 的值. 答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】（1）由题意：(1,0)F ，2P ∴=，抛物线C 的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由2224144y xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得123x =,设:1PQ x my =+，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩得2440y my --=，124y y ∴=-221212144y y x x ∴=⋅=，232x ∴=.12256PQ PF QF x x p ∴=+=++=. 点拨：应用抛物线的定义及直线与抛物线的知识转化处理. 3.课堂总结 知识梳理直线与抛物线的位置关系：设直线方程为y kx b =+，抛物线22y px =，联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax .当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则：若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点（相离） 重难点归纳焦半径与焦点弦：过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，设两交点1122(,)(,),0A x y B x y p >. （1）1||2p AF x =+，2||2pBF x =+；12||AB x x p =++. （2）421px x =，212y y p =-. （3）若已知过焦点的直线倾斜角θ，则22sin pAB θ=. （三）课后作业 基础型 自主突破1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝（ ） A ．2或－2 B ．－1 C ．2 D ．3 答案：C.【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】由⎩⎨⎧y 2＝8x y ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则24(2)k k +＝4，即k ＝2.（当1k =-时，直线与抛物线相切） 点拨：联立方程利用韦达定理解题.2．抛物线y ＝14x 2的焦点关于直线x －y －1＝0的对称点的坐标是（ ） A ．(2，－1) B ．(1，－1) C ．(14，－14) D ．(116，－116) 答案：A.【知识点】对称问题.【解题过程】y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点为(0,1)，其关于x －y －1＝0的对称点为(2，－1)．点拨：点关于直线对称注意两个关键词：“垂直”，“中点”.3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是（ ） A ．1 B ．2 C.58 D ．158 答案：D.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.点拨：注意结合定义用几何关系处理.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB→＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|等于（ ） A ．9B ．6C ．4D ．3答案：B.【知识点】抛物线的焦半径.【解题过程】设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B. 点拨：抛物线22y px =的焦半径：0||2p PF x =+ 5．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m 时，量得水面宽8 m ，当水面升高1米后，水面宽度是________m .答案：解析：【知识点】抛物线的方程.【解题过程】设抛物线拱桥的方程为x 2＝－2py ，当顶点距水面2 m 时，量得水面宽8 m ，即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p ，∴p ＝4，则抛物线方程是x 2＝－8y ，水面升高1 m时，即y＝－1时，x＝±2 2.则水面宽为42m.点拨：根据开口方程假设标准方程求解.6．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|P A|＋|PO|的最小值是_________．答案：解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由|AF|＝4及抛物线定义得A到准线的距离为4.∴A点横坐标为－2，∴A(－2,4).又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)，所以|P A|＋|PO|的最小值为：|AB|＝36＋16＝213.点拨：利用抛物线的定义解题.能力型师生共研7．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是________．答案：4.解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．点拨：利用抛物线的定义解题.8．在已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋92对称，则k的取值范围为________．答案：k>14或k<－14.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称，∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.点拨：利用中点在抛物线内建立不等式求解.探究型 多维突破9．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O .答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p 2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程设为：x ＝my ＋p 2代入抛物线方程得：y 2－2pmy－p 2＝0若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1、y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，所以点C 的坐标为(－p 2，y 2)，故直线CO 的斜率为：k ＝22y p＝2p y 1＝y 1x 1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点．点拨：利用斜率相等说明三点共线.10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．答案：16k =± 解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】（1）由2(1)y x y k x ⎧=-⎨=+⎩消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥O B. （2）设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0.令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|，∴S △OAB ＝112⋅= ∵S △OAB ＝10，∴10＝16k =±. 点拨：注意利用坐标关系解题.自助餐1．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点O 为坐标原点，则OA →·OB→的值是（ ）A ．12B ．－12C ．3D ．－3答案：D.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB→＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝21212()316y y y y +=-，故选D. 点拨：焦点弦AB ：212y y p =-.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在答案：B.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有两条． 点拨：利用焦点弦的最小值2p 判断直线条数.3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ． 3B ．2C ． 5D ． 6答案：C.解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .∵渐近线与y ＝x 2＋1相切，∴x 2＋b a x ＋1＝0有两相等根，∴Δ＝b 2a 2－4＝0，∴b 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝ 5.点拨：利用圆锥曲线的几何性质解题.4．抛物线y 2＝9x 与直线2x －3y －8＝0交于A ，B 两点，则线段AB 中点的坐标为（ ）A ．(1138，－274)B ．(1138，274)C ．(－1138，－274)D ．(－1138，274)答案：B.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】由2x －3y －8＝0得，x ＝32y ＋4，代入y 2＝9x 中得y 2－272y －36＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝274，x 0＝x 1＋x 22＝12(32y 1＋4＋32y 2＋4)＝34(y 1＋y 2)＋4＝32y 0＋4＝1138，故选B.点拨：联立方程利用韦达定理解题.5．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．答案：610解析：【知识点】抛物线的弦长.【解题过程】由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)，B (y 226，y 2)． 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB→＝0. 由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36 ①∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上，∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226， 化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24.将①式代入，得y 1＋y 2＝－6 ②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |610.点拨：联立方程利用韦达定理解题.6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1,2)-．（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．答案：（1）x ＝－1；（2）存在，2x ＋y －1＝0.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】（1）将(1,2)-代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t|5＝15，解得t＝±1.综上知：t＝1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0. 点拨：直线与抛物线方程联立求解.。
人教课标版高中数学选修2-1《抛物线的简单几何性质(第1课时)》教案-新版
2.4.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）一、教学目标（一）学习目标1. 掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2. 能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论.（二）学习重点抛物线的几何性质及其运用.（三）学习难点抛物线几何性质的运用.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第68页至第69页.（2）想一想：如何推导抛物线的焦半径公式？（3）写一写：焦点分别在,x y轴上的抛物线的范围、对称性、顶点.2.预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）抛物线的图象关于点(0,0)对称.（）（2）抛物线没有渐近线.（）（3）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.（）（4）抛物线的离心率等于1.（）【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】抛物线只是轴对称图形，没有对称中心，故（1）错误；由抛物线的定义知：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p，故（3）错误.【思路点拨】结合抛物线的定义和抛物线的方程判断.【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）√.（二）课堂设计1.知识回顾（1）抛物线的定义.（2）抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程. 2.新知讲解探究一：探究抛物线的几何性质 ●活动① 师生互动，探索性质类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课我们来研究“抛物线的几何性质”. 提醒学生从数(方程)和形(图像)两个角度去研究抛物线的几何性质.请学生自己先类比椭圆双曲线的几何性质的研究方法，必要时可与同桌讨论. 类似研究双曲线的性质的过程，我们以()022>=p px y 为例来研究一下抛物线的简单几何性质：（1）范围数：由抛物线22(0)y px p =>，所以抛物线的范围为0x ≥，y R ∈. 形：抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.（2）对称性 数：(),x y 与 (),x y -关于x 轴对称，若点(),x y 在抛物线上，即满足22y px =， 则()22y px -=，即点(),x y -也在抛物线上，故抛物线22y px =()0p >关于x 轴对称. 形：从图像观察，关于x 轴对称，显而易见. 注意：抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. （3）顶点定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.数：()220y px p ∴=>中，令0y =则0x =，即抛物线()220y px p =>的顶0,0点是()形：从图像看，显然原点既是顶点.注意：这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.（4）离心率定义：抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率.由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.●活动②类比学习，归纳梳理对于其它几种形式的方程，它们的性质如何，学生分析回答：(通过对照完成表)【设计意图】通过填表，培养学生类比、归纳学习能力.●活动③对比分析，深入理解【提出问题】与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？（由学生回答）（1）抛物线只位于___________个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有___________条对称轴，___________对称中心；（3）抛物线只有___________个顶点、___________个焦点、___________条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，其值为___________． 探究二：抛物线的特殊量●活动① 结合性质，研究概念（1）通径：标准方程中2p 的几何意义.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.通径的长度2p = p 越大开口越开阔利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 设抛物线22(0)y px p =>上一点00(,)P x y ,则由抛物线的定义可得：焦半径公式：02p PF x =+思考：其他三种标准的抛物线对应的焦半径公式呢？ ●活动② 巩固基础，检查反馈例1.已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由题意，可设抛物线方程为px y 22=，因为它过点)22,2(-M ， 所以22)22(2⋅=-p ，即2=p 因此，所求的抛物线方程为x y 42=．【思路点拨】首先由已知点坐标代入方程，求参数p ． 【答案】x y 42=．同类训练 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆229436x y +=短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程. 【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】椭圆方程为：22149x y +=，则抛物线的对称轴为x 轴，设抛物线的方程为2(0)y ax a =≠.又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则||34a=，即12a =±. 故所求抛物线方程为212y x =或212y x =-.【思路点拨】先确定抛物线的形式，再依条件求待定参数. 【答案】212y x =或212y x =-.例2.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）A. 10B. 8C. 6D. 4 【知识点】焦半径.【解题过程】设抛物线焦点为F ，则12||||||822p p AB AF BF x x =+=+++= 【思路点拨】过焦点的弦长分为上下两个焦半径，利用焦半径公式直接求解. 【答案】B同类训练 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 【知识点】抛物线定义.【解题过程】由y 2＝4x ，知p ＝2，F (1,0)，由抛物线定义，x A ＋p2＝|AF |， ∴x A ＝2－1＝1，因此AB ⊥x 轴，F 为AB 中点，从而|BF |＝|AF |＝2. 【思路点拨】先利用焦半径公式2A pAF x =+求出A x ，再计算||BF . 【答案】2.例3.已知圆x y x 22+-9=0与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A ,B两点，AOB ∆的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程. 【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】依题意设所求抛物线方程为()y px p 2=2>0， 焦点(,),(,),(,)pF A x y B x y 00000-2， 则y px x y x 20022000⎧=2⎪⎨+-9=0⎪⎩()x p x 200+2-9=0 ①,OA BF OA BF k k ⊥∴=-1,即,()y y px x p p p x x x x 0000000025∴=-1=-1∴=2--22②把②代入①得p =2，∴所求抛物线方程为y x 2=4【思路点拨】求抛物线的方程时，一定要先根据题目条件准确地确定其形式，然后再由题目条件求出待定的系数. 【答案】y x 2=4同类训练 已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若||||OA OB =，且AOB ∆的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程.【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由题意知：,A B 关于x 轴对称，焦点(,0)2pF .设0000(,),(,)A x y B x y -，则1FA OB k k ⋅=-，故：200()2p y x x =-. 又2002y px =，所以0002()2p px x x =-，即：052x p =.所以直线AB 方程为：52x p =.【思路点拨】利用抛物线的几何关系解题.【答案】直线AB 方程为：52x p =.3.课堂总结 知识梳理（1）范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）对称性：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； （3）顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； （4）离心率：抛物线的离心率是确定的，等于1； 重难点归纳设F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，00(,)P x y 为抛物线上一点，则焦半径公式：02pPF x =+. （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为（ ）A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4【知识点】抛物线焦半径.【解题过程】设P 点坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32，代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C.【思路点拨】抛物线的焦半径公式：0||2pPF x =+. 【答案】C2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于（ ）A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 【知识点】抛物线焦半径.【解题过程】由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则24k p =.∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4. 【思路点拨】抛物线的焦半径公式：0||2pPF x =+. 【答案】B.3．(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ）A. 2 B ． 3 C ．2D ．2 3【知识点】抛物线几何性质..【解题过程】∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3， 又ba ＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，得e ＝3，故选B. 【思路点拨】利用圆锥曲线的几何性质解题. 【答案】B4．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 【知识点】抛物线的几何性质. 【解题过程】设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B . 又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ， ∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题. 【答案】C.5．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝________.【知识点】抛物线的几何性质. 【解题过程】设正三角形边长为x . 363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23， 当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23， 故a ＝±2 3.【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题.【答案】 .6．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是________________．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】设P 24y y （-，），则AP →＝224y y （--，），BP →＝244y y （--，），AP →·BP→＝224y y （--，）244y y （--，）＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．【思路点拨】数量积问题坐标化转化为函数最值. 【答案】(0,0). 能力型 师生共研7．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为________________．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由抛物线方程y 2＝－2px (p >0)，得其焦点坐标为F 02p（-，），准线方程为x ＝p 2，设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程，得y ＝±6，∴M (－9,6)或M (－9，－6)． 【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题. 【答案】(－9,6)或M (－9，－6)8．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.【知识点】抛物线的几何性质. 【解题过程】如图，k AF ＝－3， ∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |.【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题. 【答案】8. 探究型 多维突破9．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .（1）若点C 的纵坐标为2，求|MN |； （2）若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝ 5. 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.（2）设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0. 所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)， 从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332. 【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题.【答案】（1）|MN |=2；（2）332.10．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝| BF |， ∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32. 设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14， ∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54， 等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 2)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴12y y +=122y y += ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.【思路点拨】本题从分析图形性质出发将三角形的性质应用到解析几何问题中，再结合抛物线的定义和方程求解，这样解答简捷准确．【答案】M 到y 轴距离的最小值为54，M (54，±22). 自助餐1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（ ）A ．(6,)+∞B ．[6,)+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由抛物线的定义知：抛物线的顶点到准线的距离最短. 【思路点拨】利用抛物线的定义解题. 【答案】D2．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点（ ）A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)【知识点】抛物线的定义.【解题过程】∵圆心到直线x ＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．【思路点拨】利用抛物线的定义解题. 【答案】B3. 抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为（ ）A. 102 B ．2 C. 5D ．52【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32， ∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102.【思路点拨】注意利用两曲线的交点同时满足两种定义. 【答案】A.4．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是（ ）A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0【知识点】抛物线的几何性质. 【解题过程】如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，|OA |＝|OB |，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1，即22221(2)22pt ppt pt -=--（），解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.【思路点拨】利用几何关系处理. 【答案】C.5．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，M为AB的中心，作MM′⊥l于M′，则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，在直角梯形BB′A′A中，|MM′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|，即|MM′|等于以|AB|为直径的圆的半径．故以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切．【思路点拨】注意结合抛物线的定义利用几何关系解题.【答案】见解题过程.6．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m 的大木箱，问竹排能否安全通过？【知识点】抛物线的定义.【解题过程】如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，∴抛物线方程为x2＝－104y.当x＝2时，4＝－104y，y＝－1 26，∵6.5－126>6，∴能安全通过．【思路点拨】根据抛物线的开口方向假设方程，通过待定系数法求方程. 【答案】能安全通过.。
高中数学选修2-1精品教案1：2.4.2 抛物线的简单几何性质教学设计
2.4.2 抛物线的简单几何性质◆知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．◆情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
◆能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力◆教学过程一.复习引入抛物线的定义及标准方程二.思考分析一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题3：抛物线有渐近线吗？提示：没有．三.抽象概括1．抛物线的简单几何性质抛物线上一点与焦点F 的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表： 2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同． 4．抛物线的离心率e ＝1(定值)．5．抛物线方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y 2＝2px (p ≠0)知，对同一个x ，p 越大，|y |也越大，说明抛物线开口越大．6．抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支． 四.例题分析及练习[例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路点拨] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[精解详析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3. [感悟体会] 用待定系数法求抛物线方程的步骤：训练题组11．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12y D ．x 2＝±6y 解析：依题意知抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)的形式， 又p2＝3，∴p ＝6,2p ＝12，故方程为x 2＝±12y . 答案：C2．平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．解析：线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0，与x 轴的交点为(54，0)，∴抛物线的焦点为(54，0)，∴其标准方程是y 2＝5x .答案：y 2＝5x[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[思路点拨] 先证明x 轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长． [精解详析] 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即线段AB 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p . [感悟体会] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A ，B 两点关于x 轴对称．另外，抛物线方程中变量x ，y 的范围也是常用的几何性质． 训练题组23．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2解析：双曲线的方程可化为x 23－y 2p216＝1，∴双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)． 又∵抛物线的准线为x ＝－p2，所以由题意得－3＋p 216＝－p2，解得p ＝4. 答案：C4．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．解：如图，设等腰直角三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上．根据抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称．由题意得A (2,2)在抛物线y 2＝2px 上，∴p ＝1，抛物线的方程为y 2＝2x .[例3] 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．[精解详析] ∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k 2＋2.又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． [感悟体会] 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．训练题组35．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( ) A.254B.252C.258D ．25 解析：抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －2，y 2＝8x ，得B 点的坐标为(12，－2)．∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.∴AB 的中点到准线的距离为254.答案：A6．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．直线的方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2.∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x . 五.课堂小结与归纳1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离． 六.当堂训练1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x解析：显然由准线方程x ＝－2，可知抛物线焦点在x 轴正半轴上，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x . 答案：C2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)解析：由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上．而F (14，0)，所以P 点的横坐标为18.代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)．答案：B3．线段AB 是抛物线的焦点弦，F 为抛物线焦点．若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( ) A ．45° B ．60°C ．90° D ．120°解析：法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，AB 的方程为x ＝my ＋p2.消去x 得y 2－2my －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2.又A 1(－p 2，y 1)，B 1(－p 2，y 2)，F (p2，0)，∴1A F u u u r ＝(p ，－y 1)，1B F u u u r ＝(p ，－y 2)，则1A F u u u r ·1B F u u u r ＝p 2＋y 1y 2＝0，即∠A 1FB 1＝90°. 法二：如图所示，∵|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.又∵AA 1∥BB 1∥x 轴， ∴∠1＝∠3，∠6＝∠4，∴∠2＝∠3，∠4＝∠5， ∴∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝2(∠3＋∠4)＝180°， ∴∠3＋∠4＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 答案：C4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |>4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2.由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)． 答案：C5．设点A 是抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，点M 是线段AB 的中点．若|AB |＝3，则M 到直线x ＝－1的距离为________．解析：由题意知点B 即为抛物线的焦点，直线x ＝－1即为抛物线的准线，如图．∵|AB |＝3，∴|AA ′|＝3.又|BB ′|＝2，MM ′即为梯形BB ′A ′A 的中位线， ∴|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝52.答案：526．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 答案：727．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是5，求此抛物线的方程．解：如图，设直角三角形为AOB ，直角顶点为O ，AO 边的方程为y ＝2x ，则OB 边的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得A 点坐标为(p2，p )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，得B 点坐标为(8p ，－4p )．∵|AB |＝53，∴p ＋4p2＋p 2－8p 2＝5.∵p >0，解得p ＝21313，∴所求抛物线方程为y 2＝41313x .8．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程． 解：由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称．设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F (p2，0)．由题意知AF ⊥OB ，则有y x －p 2·－y x ＝－1.∴y 2＝x (x －p 2)，2px ＝x (x －p 2)．∴x ≠0.∴x ＝5p 2.∴直线AB 的方程为x ＝5p2.。
【备课精选】2012年高二数学新人教A版选修2-1教案2.4.2《抛物线的简单几何性质(1)》
课题：§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）教学目标1、掌握抛物线的几何性质；2、根据几何性质确定抛物线的标准方程。
学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：准线方程为2=x的抛物线的标准方程是复习2：双曲线191622=-y x 有哪些几何性质？二、新课导学★学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？★动手试一试：画出抛物线8x y =的图形，顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、准线方程 、对称轴 、离心率 。
★典型例题例1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)222(-，M ，求它的标准方程。
变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点)222(-，M 的抛物线有几条？求出它们的标准方程。
小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解。
例2斜率为1的直线l 经过抛物线x y 42=的焦点F ，且抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长。
变式：过点)02(，M 作斜率为1的直线l ，交抛物线x y 42=于A ，B 两点，求||AB小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解。
★动手试一试练习 求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点)45(-，M ；（2）顶点在原点，焦点是)50(，F ；（3）焦点是)80(-，F ，准线是8=y 。
三、总结提升★学习小结1、抛物线的几何性质；2、求过一点的抛物线方程；3、求抛物线的弦长★知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径。
其长为p 2四、巩固练习A 组1、下列抛物线中，开口最大的是（ ） A ．x y 212= B ．x y =2 C ．x y 22= D ．x y 42= 2、顶点在原点，焦点是F （0，5）的抛物线方程（ ）A ．x y 202=B ．y x 202=C ．x y 2012=D ．y x 2012= 3、过抛物线x y 42=的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．44、过抛物线x y 22=的焦点作直线交抛物线于)()(2211y x B y x A ，，，两点，如果621=+x x ，则|AB|=B 组 1、已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于（ ）A ．3B ．4C ．23D ．242、已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，求这个等边三角形的边长。
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2.4.2 抛物线的简单几何性质
（一）抛物线的几何性质
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．
(二)几何性质
怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．
（1）例题的讲解与引申
例3有2种解法；解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式设P(x0，
这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．
(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，
y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p
例4涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．
附教学教案。