第 02 讲 命题与充要条件
高考第2课四种命题和充要条件
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第2课四种命题和充要条件【自主学习】第2课四种命题和充要条件(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-1P8习题1改编)命题：“若x2<1，则-1<x<1”的逆否命题是. 【答案】若x≥1或x≤-1，则x2≥12.(选修2-1P7练习改编)命题“若x<0，则x2>0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为.【答案】2【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x2>0，则x<0”为假命题，所以否命题为假.3.(选修2-1P20习题改编)判断下列命题的真假.(填“真”或“假”)(1)命题“在△ABC中，若AB>AC，则C>B”的否命题为命题.(2)命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题为命题.【答案】(1)真(2)假4.(选修2-1P9习题4(2)改编)“sin α=sin β”是“α=β”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“ 充要”或“ 既不充分也不必要”)【答案】必要不充分5.(选修2-1P20习题改编)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的条件，p是q的条件.【答案】充要必要【解析】q⇒s⇒r⇒q，所以r是q的充要条件；q⇒s⇒r⇒p，所以p是q的必要条件.1.记“若p则q”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p”，逆否命题为“若非q则非p”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数.2.对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当它是假命题时，记作p⇒/q，称p是q的非充分条件，q是p的非必要条件.3.①若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；②若p⇒/q，且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件，记作p⇔q；④若p⇒/p，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.4.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).【要点导学】要点导学各个击破命题真假的判断例1在△ABC中，已知命题p：若C=60°，则sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C.(1)求证：命题p是真命题；(2)写出命题p的逆命题，判断逆命题的真假，并说明理由.【思维引导】(1)利用正弦定理将待证式转化为a2+b2-ab=c2，然后利用余弦定理即证；(2)分清命题p的条件与结论，正确地对原命题的条件和结论进行互换或否定.【解答】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)因为C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos 60°，即c2=a2+b2-ab.由正弦定理sin a A =sin b B =sin cC ， 得sin 2C=sin 2A+sin 2B-sin A sin B. 故命题p 是真命题.(2)命题p 的逆命题：在△ABC 中， 若sin 2A+sin 2B-sin A sin B=sin 2C ，则C=60°. 它是真命题.证明如下：由sin 2A+sin 2B-sin A sin B=sin 2C 和正弦定理得c 2=a 2+b 2-ab.而由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，得cos C=12. 因为0°<C<180°，所以C=60°.【精要点评】对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.变式 给出以下四个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤-1，则x 2+x+q=0有实数根”的逆否命题； ④若a+b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数. 其中真命题是 .(填序号) 【答案】①③【解析】①显然正确；②不全等的三角形的面积不相等，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a+b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数或都是奇数，故④不正确.【精要点评】对命题真假的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式.在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系；要注意四种命题之间的真假关系.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.因此，四种命题中真命题的个数只能是0，2或4.充要条件的判断例2从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中，选出一种适当的填空.(1)(2015·泰安期末)已知a∈R，则“a2<a”是“a<1”的条件.(2)(2015·保定期末)若集合A={0，1}，B={-1，a2}，则“A∩B={1}”是“a=1”的条件.【思维引导】(1)找到不等式a2<a的解集为(0，1)，然后根据“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断.(2)判断充要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足；若由结论能推出条件，则必要性满足.【答案】(1)充分不必要(2)必要不充分【解析】(1)因为由a2<a，可得0<a<1，所以“a2<a”是“a<1”的充分不必要条件.(2)若A∩B={1}，则a2=1，a=±1，所以充分性不满足，必要性满足，故“A∩B={1}”是“a=1”的必要不充分条件.【精要点评】在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个是条件，哪个是结论；其次，要从两个方面，即“充分”与“必要”分别考查.判定时，对于有关范围的问题也可以从集合观点看，如p，q对应的范围为集合A，B，若AB，则A是B 的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A，B互为充要条件.变式从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中，选出一种适当的填空.(1)“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tan x=1”的；(2)“22x y >⎧⎨>⎩，”是“44x y xy +>⎧⎨>⎩，”的 ；(3)“m<12”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的 ； (4)对于数列{a n }，“a n+1>|a n |(n ∈N *)”是“数列{a n }为递增数列”的 ；(5)“函数f (x )=x 3+2x 2+mx+1在(-∞，+∞)上单调递增”是“m ≥289x x +对任意的x>0恒成立”的 .【思维引导】判定p 是q 的什么条件，实际上就是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，这部分内容经常与其他知识点相结合考查.【答案】(1)充分不必要条件 (2)充分不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件 (5)充要条件【解析】(1)因为x=2k π+π4(k ∈Z )⇒tan x=1，但反过来不一定成立，即tan x=1⇒x=k π+π4(k ∈Z )，(2)因为x>2，y>2，根据不等式的性质易得x+y>4，xy>4，但反过来不一定成立，如x=13，y=24.(3)一元二次方程x 2+x+m=0有实数解⇔m ≤14，因为m ≤14⇒m<12，反之不成立，所以是必要不充分条件.(4)因为a n+1>|a n |(n ∈N *)， 所以当n ≥2时，a n >0， 即当n ≥2时，a n+1>a n . 若a 1≥0，有a 2>|a 1|=a 1，若a 1<0，a 2>a 1显然成立，充分性得证.当数列{a n }为递增数列时，设a n =1-2n⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a 2>|a 1|不成立.(5)函数f (x )=x 3+2x 2+mx+1在(-∞，+∞)上单调递增⇔f'(x )=3x 2+4x+m ≥0恒成立⇔Δ=16-12m ≤0⇔m ≥43.m ≥289xx +对任意x>0恒成立⇔m ≥2max 89x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又289x x +=89x x +≤892x x ⋅=43，所以m ≥43. 【精要点评】在判断时注意反例的应用；在判断“若p 则q ”较繁琐时，可以利用它的逆否命题“若非q 则非p ”，判断其是否正确；有时将某些条件转化为与它等价的条件再与另一条件进行判断会更简单 .结合充要条件求参数例3 已知集合M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x-a )(x-8)≤0}. (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的充要条件； (2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的一个充分不必要条件； (3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的一个必要不充分条件. 【思维引导】求a 的取值范围使它成为M ∩P 的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，求出成立时a 的取值范围.【解答】(1)由M ∩P={x|5<x ≤8}，得-3≤a ≤5， 因此M ∩P={x|5<x ≤8}的充要条件是-3≤a ≤5.(2)即在集合{a|-3≤a ≤5}中取一个值，如取a=0，此时必有M ∩P={x|5<x ≤8}； 反之，M ∩P={x|5<x ≤8}未必有a=0，故a=0是所求的一个充分不必要条件. (3)即求一个集合Q ，使{a|-3≤a ≤5}是集合Q 的一个真子集.如果{a|a≤5}，那么未必有M∩P={x|5<x≤8}，但是M∩P={x|5<x≤8}时，必有a≤5，故a≤5是所求的一个必要不充分条件.【精要点评】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.变式(2015·南通期中)若不等式x-1x>0成立的充分不必要条件是x>a，则实数a的取值范围是.【答案】[1，+∞)【解析】由不等式x-1x>0，得(1)(-1)x xx>0，得-1<x<0或x>1.由充分不必要条件的含义可知{x|x>a}为不等式解集的真子集，进而得到a≥1.充要条件的证明例4已知a，b，c都是实数，求证：方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.【思维引导】证明充分性，由“ac<0”推出“方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”，证明必要性是由“方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”推出“ac<0”，主要根据判别式、一元二次方程的根与系数的关系进行论证.【解答】设原方程的两根分别为x1，x2.①充分性：由ac<0，得a，c异号，所以Δ=b2-4ac>0，且x1x2=ca<0.故方程ax2+bx+c=0有一正一负两个实根.所以ac<0是原方程有一正一负两个实根的充分条件.②必要性：若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，不妨设x1>0，x2<0，则x1x2<0，即ca<0，所以a，c异号，即ac<0.故ac<0是原方程有一正一负两个实根的必要条件.综上，ac<0是原方程有一正一负两个实根的充要条件.【精要点评】充要条件的证明应注意：(1)一般地，条件已知，证明结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性.(2)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论.变式设数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n-a n+2，c n=a n+2a n+1+3a n+2(n=1，2，3，…)，求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是{c n}为等差数列且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).【解答】必要性：设{a n}是公差为d1的等差数列，则b n+1-b n=(a n+1-a n+3)-(a n-a n+2)=(a n+1-a n)-(a n+3-a n+2)=d1-d1=0，所以b n≤b n+1(n=1，2，3，…)成立.又c n+1-c n=(a n+1-a n)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1，2，3，…)，所以数列{c n}为等差数列.充分性：设数列{c n}是公差为d2的等差数列，且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).因为c n=a n+2a n+1+3a n+2，①所以c n+2=a n+2+2a n+3+3a n+4，②①-②，得c n-c n+2=(a n-a n+2)+2(a n+1-a n+3)+3(a n+2-a n+4)=b n+2b n+1+3b n+2.因为c n-c n+2=(c n-c n+1)+(c n+1-c n+2)=-2d2，所以b n+2b n+1+3b n+2=-2d2，③从而有b n+1+2b n+2+3b n+3=-2d2，④④-③，得(b n+1-b n)+2(b n+2-b n+1)+3(b n+3-b n+2)=0.⑤因为b n+1-b n≥0，b n+2-b n+1≥0，b n+3-b n+2≥0，所以由⑤得b n+1-b n=0(n=1，2，3，…).由此不妨设b n=d3(n=1，2，3，…)，则a n-a n+2=d3(常数).由此c n=a n+2a n+1+3a n+2⇒c n=4a n+2a n+1-3d3，从而c n+1=4a n+1+2a n+2-3d3，两式相减得c n+1-c n=2(a n+1-a n)-2d3，因此a n+1-a n=12(cn+1-c n)+d3=12d2+d3(常数)(n=1，2，3，…)，所以数列{a n}为等差数列.综上，数列{a n}为等差数列的充要条件是{c n}为等差数列且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).1.(2014·安徽卷)“x<0”是“ln(x+1)<0”的条件.【答案】必要不充分【解析】由ln(x+1)<0，得0<1+x<1，所以-1<x<0，而(-1，0)是(-∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.2.(2015·安徽卷)设命题p：1<x<2，q：2x>1，则p是q的条件.【答案】充分不必要【解析】由q：2x>1=20，解得x>0，所以p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件.3.(2015·南通模考)已知集合M={x|x-2<0}，N={x|x<a}，若“x∈M”是“x∈N” 的充分条件，则实数a的取值范围是.【答案】[2，+∞)【解析】由题意得M={x|x-2<0}={x|x<2}，因为“x∈M”是“x∈N”的充分条件，所以M⊆N，所以a≥2.4.求证：方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0<m<1 3.【解答】①充分性：因为0<m<13，所以方程mx2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m>0，且3m>0，所以方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根.②必要性：若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，则有124-1203mx xm∆=>⎧⎪⎨=>⎪⎩，，所以0<m<13.综上，得证.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第3~4页.【检测与评估】第2课四种命题和充要条件一、填空题1.命题“若a>b，则a+1>b”的逆否命题是.2.(2014·启东中学)若使“x≥1”与“x≥a”恰有一个成立的充要条件为{x|0≤x<1}，则实数a的值是.3.(2015·重庆卷)“x>1”是“lo12g(x+2)<0”的条件.4.设集合S={0，a}，T={x∈Z|x2<2}，则“a=1”是“S⊆T”的条件.5.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是.6.设n∈N*，则一元二次方程x2-4x+n=0有整数解的充要条件是n=.7.已知命题p：|x|>a，q：-12-1xx>0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.8.(2015·郑州质检)给定方程：12x⎛⎫⎪⎝⎭+sin x-1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数根；④若x0是方程的实数根，则x0>-1.其中正确的命题是.(填序号)二、解答题9.(2014·惠州一模)已知集合A=2331224|y y x x x⎧⎫⎡⎤=-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，，，B={x|x+m2≥1}.若命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围.10.设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.11.已知函数f(x)=4sin2π4x⎛⎫+⎪⎝⎭-23cos 2x-1，且给定命题p：x<π4或x>π2，x∈R.若命题q：-2<f(x)-m<2，且¬p是q的充分条件，求实数m的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知集合A={x|x2+2x-3≤0}，B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.13.(2015·黄山质检)在平面直角坐标系中，定义两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题：①已知两点P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)为定值；②原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O，P)的最小值为2 2；③若PQ表示P，Q两点间的距离，那么PQ≥22d(P，Q)；其中为真命题的是.(填序号) 【检测与评估答案】第2课 四种命题和充要条件1.若a+1≤b ，则a ≤b2.0 【解析】由题意可得1x x a <⎧⎨≥⎩， 或1x x a ≥⎧⎨<⎩， 成立的充要条件为{x|0≤x<1}，所以a=0.3.充分不必要 【解析】lo 12g (x+2)<0⇔x+2>1⇔x>-1，故“x>1”是“lo12g (x+2)<0”的充分不必要条件.4.充分不必要 【解析】当a=1时，S={0，1}，又T={-1，0，1}，则S ⊆T ，所以充分性成立；当S ⊆T 时，a=1或-1，所以必要性不成立.5.[-3，0] 【解析】因为命题“ax 2-2ax-3>0不成立”是真命题，则有a=0或204120a a a <⎧⎨+≤⎩，，解得a ∈[-3，0].6. 3或4 【解析】由x 2-4x+n=0，得(x-2)2=4-n ，即x=2±4-n .因为n ∈N *，方程要有整数解，所以n=3或4，故当n=3或4时方程有整数解.7. (-∞，0) 【解析】由命题p ：|x|>a ⇔R 0-0x a x a x a a ∈<⎧⎨<>≥⎩，，或，，q ：-12-1x x >0⇔x<12或x>1.因为p 是q 的必要不充分条件，所以使命题q 成立的不等式的解集是使命题p 成立的不等式解集的子集，所以a<0.8.②③④ 【解析】由题意可知方程12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin x-1=0的解等价于函数y=1-12x⎛⎫ ⎪⎝⎭与y=sin x 的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中分别作出它们的图象如图所示.(第8题)由图象可知：①该方程存在小于0的实数解，故①错误；②该方程有无数个实数解，故②正确；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数解，故③正确；④若x 0是该方程的实数解，则x 0>-1，故④正确.9.由y=x 2-32x+1，配方得y=23-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+716.因为x ∈324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以y min =716，y max =2，即y ∈7216⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以A=7|216y y ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 由x+m 2≥1，得x ≥1-m 2，B={x|x ≥1-m 2}. 因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，所以1-m 2≤716，解得m ≥34或m ≤-34.故实数m 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦∪34∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，.10.设m 是两个方程的公共根，显然m ≠0. 由题设知m 2+2am+b 2=0， ① m 2+2cm-b 2=0， ② 由①+②得2m (a+c+m )=0，所以m=-(a+c)，③将③代入①得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0，化简得a2=b2+c2，所以所给的两个方程有公共根的必要条件是a2=b2+c2.下面证明充分性.因为a2=b2+c2，所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0，它的两个根分别为x1=-(a+c)，x2=c-a.同理，方程x2+2cx-b2=0的两根分别为x3=-(a+c)，x4=a-c.因为x1=x3，所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述，方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.11.由q可得()-2() 2. m f xm f x>⎧⎨<+⎩，因为¬p是q的充分条件，所以在π4≤x≤π2的条件下，()-2()2m f xm f x>⎧⎨<+⎩，恒成立.由已知得，f(x)=2π1cos22x⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-23cos 2x-1=2sin 2x-23cos 2x+1=4sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭+1.由π4≤x≤π2，知π6≤2x-π3≤2π3，所以3≤4sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭+1≤5.故当x=5π12时，f(x)max=5，当x=π4时，f(x)min=3，所以只需5-232mm>⎧⎨<+⎩，成立，即3<m<5.所以m的取值范围是(3，5).12.3--2∞⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】因为集合A={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1}，B={x|2a≤x≤a2+1}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，所以2112-3aa⎧+≥⎨≤⎩，，且等号不能同时取得，解得a≤-32，故实数a的取值范围是3--2∞⎛⎤⎥⎝⎦，.13.①③【解析】已知两点P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)=|2-sin2α|+|3-cos2α|=2-sin2α+3-cos2α=4，所以①正确；设直线上任意一点为(x，x+1)，则原点O 到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O，P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1，即其最小值为1，所以命题②错误；由基本不等式a2+b2≥12(a+b)2得PQ=221212(-)(-)x x y y+≥22(|x1-x2|+|y1-y2|)=22d(P，Q)，所以命题③成立，综上所述，正确的命题为①③.。
理科数学学霸笔记02命题及其关系、充分条件与必要条件
考点02命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若非p则非q；逆否命题：若非q则非p(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语正面词语：=、>(<)、是、都是、任意(所有)的、任两个、至多有1(n)个、至少有1个否定词：≠、≤（≥）、不是、不都是、某个、某两个、至少有2(n+1)个、1个也没有3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p/⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p/⇒q且q/⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件⇔非q是非p的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件⇔非q是非p的必要不充分条件；③p是q的充要条件⇔非q是非p的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件⇔非q是非p的既不充分也不必要条件.例2：设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a<b；但a<b即a－b<0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件，故选 A.。
第2课时：命题及其关系、充分条件与必要条件
四种命题及其关系 在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的 条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的 关系，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定 为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题” 和“逆否命题”．
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、 命题的否定，并判断它们的真假： (1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根； (2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．
答案：
B
3．(2011· 济南调研)若命题“ax2－2ax－3＞0 不成 立”是真命题，则实数 a 的取值范围是________．
解析： ax2－2ax－3≤0 恒成立，当 a＝0 时，－ 3≤0 成立； a＜0 当 a≠0 时，得 ， 2 Δ＝4a ＋12a≤0 解得－3≤a＜0，故－3≤a≤0.
设命题 p：(4x－3)2≤1；命题 q：x2－(2a＋1)x＋a(a ＋1)≤0，若¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
解析： 设 A＝{x|(4x－3)2≤1}， B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}， 1 易知 A＝ x 2≤x≤1 ，B＝{x|a≤x≤a＋1}． 由¬ p 是¬ q 的必要不充分条件， 从而 p 是 q 的充分 1 a≤ ， 不必要条件，即 A B，∴ 2 a＋1≥1. 1 故所求实数 a 的取值范围是0，2.
(3)正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形， 所以 p 是 q 的充分而不必要条件． 1 1 (4)当 a>b 时，a<b不一定成立，如 a＝2，b＝－1. 1 1 当a<b时，a>b 不一定成立，如 a＝－3，b＝2. 所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
02命题及其关系充分必要条件(经典题型+答案)
命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．二、四种命题及其关系1．四种命题间的相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
三、充分条件与必要条件1．如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．抓住关键词：大必小充。
即大范围推小范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件。
例1：|x|>1是x>1的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 解： |x|>1⇔x>1或x<－1，故x>1⇒|x|>1，但|x|>1 x>1，∴|x|>1是x>1的必要不充分条件．另解：根据大必小充原理，容易判断|x|>1是大范围，x>1是小范围，故|x|>1是x>1的必要不充分条件． 例2：下列命题是真命题的为 ( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2 解：由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确，易知B 、C 、D 错误． 3．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是 ( )A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 解：写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．答案D 。
第2讲命题及其关系充要条件课件文新课标课件
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第2讲 充分必要条件和命题教师
题型二 根据充要条件求解参数的取值范围
例 2 “关于 x 的不等式 x2 2ax a 0 的解集为 R”的一个必要不充分条件是 ( )
A． 0 a 1 C． 0 a 1
【答案】C
B． 0 a 1 3
D． a 0 或 a 1 3
【解析】因为关于 x 的不等式 x2 2ax a 0 的解集为 R ，
所以函数 f (x) x2 2ax a 的图象始终落在 x 轴的上方，即 4a2 4a 0 ，解得 0 a 1，
因为要找其必要不充分条件，从而得到 (0,1) 是对应集合的真子集，
对比可得 C 选项满足条件，故选 C. 【玩转跟踪】
1．已知
p
:
x
1
2
1
，
q
:|
x
a
|
2
，若
p
是
q
的充分不必要条件，则实数
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第 2 讲 充分必要条件和命题
[玩前必备]
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件
p⇒q 且 q⇏p p⇏q 且 q⇒p
p 是 q 的充要条件
p⇔q
3．若集合 A x | x 0 ，下列各式是“ a A ”的充分不必要条件的是（ )
A． a 1
【答案】B
B． a 1
C． a 0
D． a 0
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第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
p是q的充 分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p A＝B
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p A B
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p A B
p是q的既不充分条件 也不必要条件
p q且q p A B且A B
二、“基本技能”运用好 1．通过对四种命题及其相互关系的复习，提高学生的抽象概
答案：A
[一“点”就过] 判断命题真假的 2 种方法
直接 判断
判断一个命题为真命题，要给出严格的推理 证明；说明一个命题是假命题，只需举出一 个反例即可
根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题 间接 与否命题同真同假”这一性质，当一个命题 判断 直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否
命题的真假
[提醒] (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改 写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前 提．(3)命题的否命题是条件和结论都否定，而命题的否定是条 件不变只否定结论．
答案：充分不必要 充要
三、“基本思想”很重要 1．利用等价转化思想判断命题真假及充分与必要条件． 2．利用集合思想、数形结合思想解决充分、必要条件的应用
问题．
1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是
()
A．若α≠π4，则tan α≠1
B．若α＝π4，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠π4
答案：C
3．(2020·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
()
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
02命题及其关系、充分条件与必要条件
变式训练 2
给出下列命题： ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充 分不必要条件； ②“a＝2”是“函数 f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数” 的充要条件； ③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0 与直线 mx－6y＋5＝ 0 互相垂直”的充要条件； ④设 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 所对的边，若 a ＝1，b＝ 3，则 A＝30° B＝60° 是 的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________. ．
所以 B＝60° B＝120° 或 ，因此④正确.
答案 ①④
题 型三
充要条件的证明
【例3】已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：
证明: 充分性：当 q＝－1 时， 数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明: 充分性：当 q＝－1 时， 证明: 充分性：当 q＝－1 时， 证明: 充分性：当 q＝－1 时， ＝S ＝p＋q＝p－1. 证明: 充分性：当 q＝－1 时， a1 1 证明:＝S1＝p＋q＝p－1. 时， 充分性：当 q＝－1 a1＝S1＝p＋q＝p－1. 1 aa1＝S1＝p＋q＝p－1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝pn a1＝S1＝p＋q＝p－1. n－1 a1n≥2＝p＋q＝p－1. n－1＝pn－－(p－1). ＝S1 时，an＝Sn－S 当 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－－＝p 1n 1(p－1). － 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn 1 1＝pn－1(p－1). 1 当 当 n≥2 时，a ＝S －S1＝pn n＝1 时也成立. n≥2 时，an＝Sn－Sn－ － 当 (p－1). (p－1). n n n 1＝p 当 n＝1 时也成立. 当 n＝1 时也成立. 当 n＝1 时也成立. an＋1 pn(p－1) 当 当 n＝1 时也成立. n＝1 ＋1 pn(p－1) an＋1 pn(p－1) 于是* a n 时也成立. aan＋＝ n －n(p－1)＝p(n∈N*)， ＝pn－1(p－1)＝p(n∈N pn 于是 a 1 n－1 n 于是n＋1 ＝p n(p－1) ＝p(n∈N )， a an ＋ ＝ p－(p－1) ＝p(n∈N*)， p n 1(p－1) 于是 n p 于是 an 1＝－1n－1(p－1)＝p(n∈N*)， ＝ np 1 ＝p(n∈N*)， 于是n a p (p－1) a 即数列{an}为等比数列. p (p－1) n n}为等比数列. 即数列{an}为等比数列. 即数列{a n}为等比数列. 即数列{a 即数列{an}为等比数列. 即数列{a }为等比数列.
高考第一轮复习第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
1．命题
用 语言、符号 、式子 叫做命题，其中判断为真 的语句叫做假命题．
表达的，可以判断语真句假的 的陈述句叫判做断真为命假题，
第一章 集合与常用逻辑用语
2．四种命题及其关系 (1)四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
第一章 集合与常用逻辑用语
1．下列语句是命题的是( )
①求证x是无理数；
②x2＋4x＋4≥0；
③你是高一的学生吗？
④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2＋4x＋7＞0.
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．③④⑤
【答案】 C
第一章 集合与常用逻辑用语
2．命题“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”的逆否命题是( ) A．若x2＜1，则－1＜x＜1 B．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 C．若－1≤x≤1，则x2≤1 D．若－1＜x＜1则x2＜1 【答案】 D
表述形式 若p则q 若q则p
若綈p则綈q 若綈q则綈p
第一章 集合与常用逻辑用语 (2)四种命题间的相互关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同 的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假 性 不确定 ．
第一章 集合与常用逻辑用语
3．充分条件与必要条件 (1)“若p，则q”为真命题，记p⇒q，则 p是q成立的充分 条件， q是p成立 的必要条件． (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q， 则 p是q成立 的充要条件，q也是p成立的 充要条件 ．
第一章 集合与常用逻辑用语
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等 高．真命题．
高三数学复习(理)：第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件[学生用书P5]1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；(3)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠02．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤03．已知p：a<0，q：a2>a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．答案：必要不充分[学生用书P5]四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．2．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：选D.①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B ＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．3．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．4 解析：选 C.因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题也为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.(2)当x－2＝2－x时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝1，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q 的充要条件，故选C.【答案】(1)A(2)C判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p，则q、若q，则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A 的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒]判断充要条件时需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2021·南充市第一次适应性考试)“A＝60°”是“cos A＝12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.A＝60°⇒cos A＝12，cos A＝12⇒A＝±60°＋k·360°，k∈Z，所以“A＝60°”是“cos A＝12”的充分不必要条件．2．(2021·广东省七校联考)已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由题意可得p：x＜y，q：0＜x＜y，故p是q的必要不充分条件，选B.3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件解析：选D.由“非有志者不能至也”，可得能够到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必须有志，而有志者未必到达“奇伟、瑰怪，非常之观”，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要不充分条件．充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)(1)设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1<x ≤1B ．x ≤1C ．x >－1D ．－1<x <1(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，又因为“x ∈A 且x ∉B ”，所以－1<x <1；又当－1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”．故选D.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【答案】 (1)D (2)[0，3]【迁移探究】 (变问法)本例(2)条件不变，若“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，所以P ⇒S 且S ⇒P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．1．(2021·东北三校第一次联考)下列说法中正确的是( )A ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则b ≥cB ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则b ≤cC ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充要条件，则b ＞cD ．若“a ＜b ”是“a ＞c ”的必要条件，则b ＜c解析：选A.令A ＝{a |a ＞b }，B ＝{a |a ＞c }，C ＝{a |a ＜b }．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则有A ⊆B ，则b ≥c ，故选项A 正确，选项B 错误；若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充要条件，则有A ＝B ，则b ＝c ，故选项C 错误；若“a ＜b ”是“a ＞c ”的必要条件，则有B ⊆C ，这是不可能的，故选项D 错误．故选A.2．命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10解析：选C.命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0⇔∀x ∈[1，3]，x 2≤a ⇔9≤a .则“a ≥10”是“命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.3．若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a 的最小值为________．解析：由x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集，即a ≥3，故a 的最小值为3. 答案： 3[学生用书P7]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.方法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．方法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选B.[学生用书P357(单独成册)][A级基础练]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是()A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为0.逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0，故选C.3．下列命题：①“若a≤b，则a＜b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若2x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.4．(2021·西安五校联考)“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由ln(x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，－1＜x＜0，由x2＋2x＜0得－2＜x＜0，所以“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的充分不必要条件，故选A.5．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量，则“a·b＞0”是“a 与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为a，b为非零向量，a·b＞0，所以由向量数量积的定义知，a 与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b＞0成立．故“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.6．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是()A．a＋b＞0 B．a－b＞0C．ab＞1 D.ab＞1解析：选A.因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，ab＞1，故选A.7．已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得，直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.8．(2021·六校联盟第二次联考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤8”是“ab≤16”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a＞0，b＞0，8≥a＋b≥2ab，故4≥ab，ab≤16，所以a＋b≤8可以推出ab≤16.若a＝2，b＝8，则a＋b＝2＋8＝10，所以ab≤16推不出a＋b≤8.9．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0⇒/x ＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分10．条件p：x>a，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是________．解析：设A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x ≥2}，(1)因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以a ≥2.(2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a <2.答案：(1)a ≥2 (2)a <211．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]12．给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②在△ABC 中，“sin B >sin C ”是“B >C ”的充要条件是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法中正确的是________．(填序号)解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④[B级综合练]13．若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是()A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a＞1且b＞1解析：选B.因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B.14．已知条件p：x2＋2x－3＞0；条件q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.答案：[1，＋∞)[C级提升练]15．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.16．能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。
第02讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词(解析版)
第2讲充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
思维导图
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
2．全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
3．存在量词与特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
(2)特称命题：含有存在量词的命题．
(3)特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．
核心素养分析
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。
本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。
高中数学命题及其关系_充分条件与必要条件
3.反证法证明命题的一般步骤 (1)否定结论,(2)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定
假设错误,肯定结论成立. 反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或
结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中 含有“至多”､“至少”､“惟一”､“不可能”､“不都” 等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.
四种命题的结构不明致误
【典例2】 写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆 命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
[剖析] 解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命 题､否命题､逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一 个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b 不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.
[正解] 逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命 题;
否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题; 逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.
[评析]四种命题的结构与等价关系
如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则 A”,否命题是“若¬A,则¬B”,逆否命题是“若¬B,则¬A”. 这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等 价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题 的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它 们之间的等价关系.
x2
x2
1,
2,
m m
2, 3
1,
m
2;
又≥0,即: m2 4m 12≥0;解之得m 6或m≤ 2;
高中数学疑难解析第二讲 命题及其关系、充要条件
第二讲 命题及其关系、充要条件一 知识回扣1．命题（1）定义 ，（2）分类 ，2．四种命题及其关系（1）原命题，表述形式 。
（2）逆命题，表述形式 。
（3）否命题，表述形式 。
（4）逆否命题，表述形式 。
互为逆否命题真假的判定 。
3．充要条件p 是q 的充分不必要条件⇔ 。
p 是q 的必要不充分条件⇔ 。
p 是q 的充要条件⇔ 。
p 是q 的既不必要也不充分条件⇔ 。
4．用反证法证明的一般步骤是： 、 、 。
二 基础再现考点1：命题及其关系1．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 ．2．“在△ABC 中，若∠C =090，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 。
3．命题“若ab =0,则a =0或b =0”的逆否命题是 。
．4．命题中说法正确的个数是 。
①．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真②“a b >”与“ a c b c +>+”不等价③“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0,则220a b +≠”④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真考点2：充要条件5．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的 。
6．命题:p 2{|0}a M x x x ∈=-<；命题:q {|||2}a N x x ∈=<，p 是q 的 条件．7．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是 。
8．直线ax +2y +3a =0和直线3x +（a －1）y =a －7平行且不重合的充要条件为 。
9．已知,,a b ∈R 则“0a b >>”是“11()()22a b<”的 条件考点3：反证法10．用反证法证明：“已知x 、y ∈R ，x +y ≥2，求 证x 、y 中至少有一个大于1”. 则所作的反设是 。
02总复习：四种命题、充要条件知识梳理
数学高考总复习：四种命题、充要条件【考纲要求】1、理解命题的概念.2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【知识网络】四种命题、充要条件充要条件四种命题及其关系互为逆否关系的命题等价充分、必要、充要、既不充分也不必要【考点梳理】一、命题：可以判断真假的语句。
二、四种命题原命题：若p 则q ；原命题的逆命题：若q 则p ；原命题的否命题：若p ⌝，则q ⌝；原命题的逆否命题：若q ⌝，则p⌝三、四种命题的相互关系及其等价性1、四种命题的相互关系互逆⌝⌝否命题若p则q 原命题若p则q逆命题若q则p ⌝⌝逆否命题若q则p互逆互逆否为互逆否为否否互互2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。
所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。
四、充分条件、必要条件和充要条件1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。
如：命题p 是命题q 成立的××条件，则命题p 是条件，命题q 是结论。
又如：命题p 成立的××条件是命题q ，则命题q 是条件，命题p 是结论。
又如：记条件,p q 对应的集合分别为A,B 则A B ⊂,则p 是q 的充分不必要条件；A B ⊃,则p 是q 的必要不充分条件。
2、“⇒”读作“推出”、“等价于”。
p q ⇒，即p 成立，则q 一定成立。
3、充要条件已知命题p 是条件，命题q 是结论（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。
如：3x <是4x <的充分条件。
（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。
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第 2 讲 命题与充要条件（第课时）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧的充要条件是，则，且若的必要不充分条件是，则，但推不出若由的充分不必要条件是，则推不出，但由若两个命题间的充要关系）则逆否命题（若）则否命题（若）则逆命题（若）则原命题（若四种命题非且或逻辑联结词命题与充要条件q p p q q p q p p q q p q p p q q p q p q p p q p q2．四种命题及相互关系；3．反证法。
难点：1．等价命题的转换；2．正确使用反证法。
、“非”的含义；2．理解四种命题及其相互关系；3．掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义；4．掌握反证法证题的步骤和方法。
说明：前三项要求文科和理科相同，第四项只对理科有要求。
2．充要条件常以选择题型出现；3．反证法难度不会太大。
命题：能够判断真假的语句叫命题，例如“对顶角相等”就是一个命题。
命题的分类：按命题的正确与否可以分为真命题和假命题（例如数学中的定义、公理、定理、公式都是真命题）；按是否含有逻辑联结词（“或”、“且”、“非”）可以分为简单命题和复合命题。
判断命题真假的方法：对于简单命题，可以根据定义、公理、定理、公式、法则来判断其真假；对于复合命题，可以根据真值表（见右表）来判断其真假。
“或”、“且”、“非”实际上与集合中的“交”、“并”、“补”是相互呼应的，判断命题的真假可以借助集合的关系来加以理解。
2．四种命题原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ，把一个命题的条件和结论互换得到一个新命题，则称新命题是原命题的逆命题；否命题：若非p 则非q ，把一个命题的条件和结论同时予以否决得到一个新命题，则称新命题是原命题的否命题；逆否命题：若非q 则非p ，把否命题的条件和结论互换得到一个新命题，则称新命题是原命题的逆否命题。
四种命题之间的关系：原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假。
两个命题同真假也叫做两个命题等价。
四种命题是相对的，任何一个命题都可以作为原命题，然后以此为基础得出其他的三种命题。
例．如果把“对顶角相等”作为原命题，写出它的其它三种命题。
答：逆命题是“相等的角是对顶角”；否命题是“不是对顶角不相等”；逆否命题是“不相等的不是对顶角”。
例．如果把“对顶角相等”作为原命题，那么①“对顶角相等”这个命题是正确的，由此根据原命题与逆否命题等价可知，“不相等的不是对顶角。
”这个命题一定是正确的。
②“相等的角是对顶角”这个命题是错误的，由此根据逆命题与否命题等价可知，“不是对顶角不相等”这个命题一定是错误的。
例．逆命题和原命题不一定等价的例。
①若a=b=0，则a+b=0。
（a 、b 为实数）②一个四边形只有四个角是直角，才可能是正方形。
③若a=b=0，则022=+b a 。
（a 、b 为实数）在①中，有条件a=b=0，就足够推出结论a+b=0，但并不是非得要a=b=0不可，因为当a=-b 时，也可以得出结论a+b=0。
我们把这样的条件称为充分条件。
注意①中使用的是“则”。
在②中，要四边形为正方形，非得要条件“四个角是直角” 不可，但是即使有了这个条件，四边形也不一定就是正方形，我们把这样的条件称为必要条件。
在③中，有条件a=b=0，就足够推出结论022=+b a 。
而且要022=+b a 成立，还非要条件a=b=0不可，我们把这样的条件称为充要条件。
在这种情况下，也可以说“当且仅当a=b=0时，022=+b a ”或“必须且只须a=b=0时，022=+b a ”。
点评：正因为逆命题和原命题不一定等价，所以一个定理不一定有逆定理。
在证明问题时不能想当然地就把定理的逆命题拿来用。
（若已知定理“若p 则q ”的逆命题为“若q 则p ”，该逆命题若真，则称其为已知定理的逆定理。
） 例（2003年高考理科题）．已知0>c ，设 P ：函数xc y =在R 上单调递减，Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围。
解：函数xc y =在R 上单调递减10<<⇔c ，不等式 1|2|>-+c x x 的解集为R 1|2|上恒大于在函数R c x x y -+=⇔ ，).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x3．反证法反证法就是把结论的反面作为推理的已知条件，引出矛盾，从而肯定结论。
如果一个命题的结论中含有“至多”、“至少”、“唯一”等词语，往往使用反证法；证明存在性问题，一般也使用反证法。
反证法的具体步骤是：第一步，假设命题的结论不成立；第二步，从假设出发，通过推理得出矛盾；第三步，由茅盾判定假设不成立，从而判定原命题的结论成立。
使用“或、且、至少、至多、都、不都、都不”。
遇到这些词时，要特别小心，不要搞错了它的含义。
⑴ 或当几个命题，例如A 、B 、C 中至少有一个成立，但至多也只有一个成立时，我们说“A 成立或B 成立或C 成立”。
例如“实数a 或大于零，或等于零，或小于零”。
⑵ 且当几个命题，例如A 、B ，同时成立时，我们说“A 成立且B 成立”。
例如“实数a 大于2且不等于5”。
⑶ 至少例如“222)(b a b a +=+当a 、b 至少有一个为零时成立”实际上包括三层意思： ①a=0时成立； ②b=0时成立；③a 、b 都等于零时成立。
⑷ 至多例如“三角形中至多有一个角是钝角” 实际上包括二层意思： ①有一个钝角； ②没有钝角。
⑸ 不都“不都”是对“都”的否定。
“不都”与“至少一个”的含义相同。
例如“函数并不都有反函数”。
（2x y =就是） ⑹ 都不“都不”只有一种情况。
例如“正方形的四个角都不是钝角”。
例．给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数y ＝x ax --11 (其中x ∈R 且x ≠1a)，证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x 轴。
分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。
证明：设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2)是函数图像上任意两个不同的点，则x 1≠x 2,假设直线M 1M 2平行于x 轴，则必有y 1＝y 2，即x ax 1111--＝x ax 2211--，整理得a(x 1－x 2)＝x 1－x 2∵x 1≠x 2 ∴ a ＝1， 这与已知“a ≠1”矛盾，因此假设不对，即直线M 1M 2不平行于x 轴。
点评：反证法的原理就是利用了逆否命题与原命题同真假，通过证明逆否命题的真，达到证明原命题真。
4．充分条件和必要条件设p 、q 是两个命题，若q p ⇒，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件（q 是p 的必要条件的意思就是若要q 成立非要p 成立不可）；若q p ⇒，同时p q ⇒，则称p 是q 的充要条件，也称q 是p 的充要条件。
若q p ⇒，但q p ，则称p 是q 的充分不必要条件。
若p q ⇒，但p q ，则称p 是q 的必要不充分条件。
一个正确的命题，如果它的条件是结论的充要条件，这个命题的逆命题才成立。
例如上面的例子（若a=b=0，则022=+b a ，a 、b 为实数），其逆命题“若022=+b a ，则a=b=0，a 、b 为实数”是成立。
例（2002年广东高考题）．已知a ＞0，函数2)(bx ax x f -=，⑴ 当b ＞1时，证明：对任意x ∈[0，1]，1)(≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； ⑵ 当10≤b ＜时，讨论：对任意x ∈[0，1]，1)(≤x f 的充要条件。
⑴ 证明：先证明必要性： 对任意[]1 ,0∈x ，|f (x )|≤1⇒－1≤f (x ) ⇒－1≤|f (1)|⇒a －b ≥－1 ， ∴ a ≥b －1 ， 对任意[]1 ,0∈x ，|f (x )|≤1⇒f (x )≤1，∵ b ＞1 ，∴ f (b1)≤1⇒a b1⋅－1≤1 ，∴ a ≤b 2 ，∴ b －1≤a ≤b 2 ； 再证明充分性：因为b ＞1 ，a ≥b －1 ，对任意[]1 ,0∈x ，可以推出ax －bx 2≥b (x －x 2)－x ≥－x ≥－1 ，即ax －bx 2≥－1 ， 因为b ＞1 ，a ≤b 2，对任意[]1 ,0∈x ，可以推出ax －bx 2≤b 2x －bx 2≤1，ax －bx 2≤1 ， ∴ －1≤f (x )≤1 ，综上所述，当b ＞1时，对任意[]1 ,0∈x ，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤b 2。
⑵ 解：因为a ＞0，0＜b ≤1时，对任意[]1 ,0∈x ：1)(1)(2-≥⇒-≥-≥-=x f b bx ax x f ，111)1(1)(+≤⇒≤-⇒≤⇒≤b a b a f x f ， 1)(1)1()(12≤⇒≤-+≤⇒+≤x f bx x b x f b a ， 所以，当 a ＞0，0＜b ≤1时，对任意[]1 ,0∈x ，|f (x )|≤1的充要条件是1+≤b a 。
、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是 （ ）A . p ：3是偶数，q ：4是奇数；B . p ：3+2=6 ，q ：5>3；C . p ：},{b a a ∈，q ：}{a },{b a ；D . p ：Q R q ：*N N =。
2．命题“直角三角形的三条边具有勾三、股四、弦五的关系”对吗？为什么？ 3．（初二）在ΔABC 中，D 是AB 上的一点，E 是AC 上的一点，由ΔADE∽ΔABC ，能推出DE∥BC 吗？4．（高一）把方程lg(x 2+11x+8)-lg(x+1)=1变形成为1018112=+++x x x 之后，因为x 的取值范围扩大了，所以后者一定有增根。
这个说法对吗？为什么？5．（初二）设z y x 、、都是实数，且0≠a ，又知道它们满足 a z y x =++，22222a z y x =++，试证：z y x 、、不可能都相等。
6. 把0,1,2，…，9 这10个数字每个用一次而且只用一次，写出几个数能使其和恰为100吗？1 2 3 4 5 6 7 8 判断命题真假 √ 四种命题 √反证法√ √充要条件√ √1．由下列各命题构成“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是A . p ：3是偶数，q ：4是奇数；B . p ：3+2=6 ，q ：5>3；C . p ：},{b a a ∈，q ：}{a },{b a ；D . p ：Q R q ：*N N =。