2014年高中数学 函数的奇偶性学案 新人教B版必修1
3.1.3 高中必修一数学教案《函数的奇偶性》
高中必修一数学教案《函数的奇偶性》教材分析函数的奇偶性是高中数学必修一人教版B版第三章第一单元第三节的内容，是函数的一条重要性质。
教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称，感受奇函数和偶函数的图象特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。
从知识结构上而言，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础，起着承上启下的作用。
学情分析从学生的认知基础来看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，学生刚刚学习了函数的单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。
从学生的思维发展来看，高一学生的思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。
教学目标1、理解函数奇偶性的概念和图像特征，能判断一些简单函数的奇偶性。
2、经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。
3、通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美；通过分组讨论，培养合作交流的精神，学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
教学重点函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。
教学难点对函数奇偶性的概念理解与认识。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习导入初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），关于原点的对称点为（-x，-y）。
例如，（-2，3）关于y轴的对称点（2，3），关于原点的对称点（2，-3）二、学习新知1、偶函数填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征。
不难发现，上述两个函数，当自变量取为相反数的两个值x和-x，对应的函数值相等。
f（-x）= （-x）2 = x2 = f（x）g（-x）= 1|−x| = 1|x|= g（x）一般地，设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f（-x）= f（x）则称y = f（x）为偶函数。
高中数学 第二章《函数》学案 新人教B版必修1
必修1函数复习 学案知识点解读：1、函数的定义、表示法：2、单调性：会用定义判断或证明函数的单调性 3、奇偶性：（1）奇函数在x=0时有定义，则必有f （0）=0 （2）偶函数f （x ）必有f （-x ）=f （x ）= f （︱x ︱） （3）会用定义证明、判断函数的奇偶性4、反函数：基础达标：1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2（B ）3（C ）4（D ）52、函数xx x f -+=11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则（A ）B B A = （B ）B A ⊆ （C ）B B A =（D ）B A =3、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(-(B))4,1(--(C))1,4(--(D))4,1(-4、已知函数)(x f y =的反函数)(1x f-的定义域为]1,0[，那么函数))((R m m x f y ∈+=的值域是（A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R5、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤<a （D ）03<≤-a6、已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是 (A) ]43,(--∞ (B) )0,43[-(C) ),0[+∞ (D) )1,(--∞参考答案1.C2.B3.B4.C5.D6.D能力提高：1．设()124+-=x x x f ，则()=-01f________2．函数),(1R x mx y ∈+=与)(2R n n x y ∈-=互为反函数的充要条件是___________3．若点)41,2(既在函数bax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__________________，b =_________________。
高中数学第三章函数-函数奇偶性的应用课后课时精练新人教B版必修第一册
第2课时 函数奇偶性的应用A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2C ．y ＝－1xD ．y ＝3x答案 D解析 A 中，由函数y ＝x ＋1的图像知该函数不是奇函数．B 中，函数y ＝－x 2是偶函数．C 中，函数y ＝－1x在其定义域内没有单调性．D 中，函数y ＝3x 是奇函数，且在其定义域内是增函数，符合题意．故选D.2．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，g (x )＝－x 2－mx 在(－∞，0)内单调递增，则实数m ＝( )A ．－2B ．±2C ．0D ．2答案 A解析 由函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，得m 2－4＝0.解得m ＝±2.又当m ＝2时，g (x )＝－x 2－2x ，该函数在(－∞，0)内不单调递增，故m ≠2.当m ＝－2时，g (x )＝－x 2＋2x ，该函数在(－∞，0)内单调递增．故选A.3．如果奇函数f (x )在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f (x )在区间[3,7]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (x )在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f (7)为最小值．又已知f (－7)＝5，∴f (7)＝－f (－7)＝－5.故选C.4．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1) 答案 D解析 因为f (x )为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，又－2<－32<－1，且函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，所以f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)，即f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．故选D. 5．设函数f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，那么当x ∈(－∞，0]时，f (x )等于( )A ．－x (1＋3x ) B ．x (1＋3x ) C ．－x (1－3x ) D ．x (1－3x )答案 D解析 当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3x )． ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x (1－3x )，又f (0)＝0， ∴x ∈(－∞，0]时，f (x )＝x (1－3x )．故选D. 二、填空题6．设奇函数f (x )的定义域为[－6，6]，当x ∈[0,6]时f (x )的图像如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________．答案 [－6，－3)∪(0,3)解析 由f (x )在[0,6]上的图像知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图像关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a ×(－3)＝－6，解得a ＝5.8．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b )>0，则a ＋b ________0(填“>”“<”或“＝”)．答案 <解析 f (a )＋f (b )>0，∴f (a )>－f (b )，∴f (a )>f (－b )，f (x )为减函数，∴a <－b ，∴a ＋b <0.三、解答题9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x . (1)求f (－1)的值；(2)当x <0时，求f (x )的解析式．解 (1)因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－1)＝f (1)＝1－4×1＝－3. (2)若x <0，则－x >0，因为f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x . 10．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )＝x 5＋x 3＋b . (1)求b 值；(2)若f (x )在[0,2]上单调递增，且f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f (0)＝0，解得b ＝0. (2)因为函数f (x )在[0,2]上是增函数，又因为f (x )是奇函数，所以f (x )在[－2,2]上是单调递增的， 因为f (m )＋f (m －1)>0， 所以f (m －1)>－f (m )＝f (－m )． 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m －1≤2，－2≤－m ≤2，m －1>－m .解得12<m ≤2.故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. B 级：“四能”提升训练1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥2f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 由题设知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ≥0，－x 2x <0，则2f (x )＝f (2x )，因此，原不等式等价于f (x ＋a )≥f (2x )． 因为f (x )在R 上是增函数，所以x ＋a ≥2x ，即a ≥(2－1)x .又x ∈[a ，a ＋2]，所以当x ＝a ＋2时，(2－1)x 取得最大值(2－1)(a ＋2)，因此，a ≥(2－1)(a ＋2)，解得a ≥ 2.故实数a 的取值范围是[2，＋∞)．2．已知f (x )是定义在R 上的函数，对x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f(x)<0，f(－1)＝2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在[－2,4]上的最值．解(1)证明：由f(x)的定义域为R，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即0＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－[f(x2)－f(x1)]＝－[f(x2)＋f(－x1)]＝－f(x2－x1)．因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0.所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以f(x)在R上为减函数．(3)因为f(－1)＝2，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－4，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8.因为f(x)在[－2,4]上为减函数，所以f(x)max＝f(－2)＝4，f(x)min＝f(4)＝－8.。
高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性第课时学案含解析B版第一册
3。
1。
3 函数的奇偶性第2课时学习目标1.掌握函数奇偶性的简单应用。
2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件。
自主预习1.函数的奇偶性与单调性的性质（1）若f（x)为奇函数且在区间[a,b]（a<b）上为增函数（减函数），则f(x)在［—b,—a]上为(函数),即在关于原点对称的区间上单调性.（2）若f（x)为偶函数且在区间[a，b］(a〈b）上为增函数（减函数),则f(x）在[-b,-a]上为（函数),即在关于原点对称的区间上单调性.2.奇偶函数的运算性质在公共定义域内：(1)两个奇函数的和函数是函数,积函数是函数;（2）两个偶函数的和函数、积函数都是函数;(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是函数。
3.函数的对称轴与对称中心(1）若函数f（x）的定义域为D,对∀x∈D都有f（T+x）=f （T—x)(T为常数),则x=是f（x)的对称轴.（2）若函数f（x)的定义域为D，对∀x∈D都有f（a+x）+f（a-x）=2b(a，b为常数),则是f(x)的对称中心.课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1(1)函数f（x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)=x(x-1）,则当x〉0时，f（x）=。
(2）函数f（x)为R上的奇函数,当x〉0时，f(x)=-2x2+3x+1,则f(x）=.【训练1】(1）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x〈0时，f（x）=-x2-x,求函数f(x)的解析式;（2）已知f（x)是R上的偶函数,当x∈(0，+∞)时,f(x）=x2+x—1,当x∈（-∞，0）时，求f（x)的解析式.题型二利用奇偶性研究函数的性质例2研究函数f（x）=x2—2|x｜+1的单调性，并求出f(x)的最值.【训练2】研究函数f（x）=x+1的单调性,并写出函数的值x域。
题型三证明函数图像的对称性例3求证：二次函数f（x)=—x2—2x+1的图像关于x=-1对称。
【训练3】证明函数f（x）=x的图像关于点（—1，1）对x+1称.课堂练习1。
高一数学教案函数的奇偶性5篇
高一数学教案函数的奇偶性5篇使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数奇偶性的方法.高一数学教案函数的奇偶性1一、内容与解析 (一)内容：基本初等函数习题课(一)。
(二)解析：对数函数的性质的掌握，要先根据其图像来分析与记忆，这样更形像更直观，这是学习图像与性质的基本方法，在此基础上，我们要对对数函数的两种情况的性质做一个比较，使之更好的'掌握.二、目标及其解析：(一)教学目标(1)掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质及其奇偶性.(二)解析(1)基本初等函数的学习重要是学习其性质，要掌握好性质，从图像上来理解与掌握是一个很有效的办法.(2)每类基本初类函数的性质差别比较大，学习时要有一个有效的区分.三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易区分各函数的图像与性质，不容易抓住其各自的特点。
四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用P5高一数学教案函数的奇偶性2【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程. 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下 (1)函数的单调性起着承前启后的作用。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.1.4(一)
对称性？具有奇函数图象对称性的函数是否为奇函数？ 答 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标
(1)f(x)＝(x－2)
本 课 时 栏 目 开 关
x<－1， x＋2 2＋x ； (2)f(x)＝0 |x|≤1， 2－x －x＋2 x>1.
2＋x 解 (1)由 ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称， 2－x
故 f(x)为非奇非偶函数．
(2)x<－1 时，f(x)＝x＋2，－x>1，
1 1 1 对函数 f(x)＝x有： f(－3)＝－3＝－f(3)， f(－2)＝－2＝－f(2)， f(－1)＝－1＝－f(1)．
存在的规律是：两个关于原点对称的 x 的值，其函数值互为 相反数．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.4(一)
问题 3
你能把问题 2 中的由具体的函数值得出的规律扩展到
(3)函数的定义域为 R，由于 f(－x)＝0＝f(x)，
所以函数为偶函数．
小结 利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数 定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个 x， 则－x 也一定是定义域内的一个自变量．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.4(一)
跟踪训练 1 判断下列函数是否为偶函数． (1)f(x)＝(x＋1)(x－1)； x3－x2 (2)f(x)＝ . x－1 解 (1)函数的定义域为 R， 因函数 f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，
新人教B版必修一2.1.4《函数的奇偶性》学案
ax b 1 x2 是定义在（－１，１）上的奇函数且
12 f ( ) ，求 f ( x)
25
1. 奇偶函数的概念
奇函数：设函数 y f ( x) 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x ，都有
，
且
，则这个函数叫做奇函数。
偶函数：设函数 y g( x) 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x ，都有
，
且
，则这个函数叫做偶函数。
2. 奇偶函数的图象性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标
（ 2） f ( x)
x x2 1
（3） f ( x) x2, x [ 1,3]
（ 4） f ( x) 1 x2 x2 1
小结：用定义判断函数奇偶性的步骤是：
班级：
姓名：
学号：
例 2. 已知 f ( x) 是 R 上的奇函数，且当 x (0, ) 时， f ( x) x2(1 x) ，求 f ( x)
为对称中心的中心对
称图形。反之，如果一个函数的图象是以
为对称中心的中心对称图形，则这个
函数是奇函数。
（2）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以
为对称轴的轴对称图形。
反之，如果一个函数的图象关于
对称，则这个函数是偶函数。
四、典例分析：
例 1. 判断下列函数是否具有奇偶性
（1） f ( x) x 1
2.1.4 函数的奇偶性
一、 学习目标：
1. 理解函数奇偶性的定义以及奇、偶函数的图象性质
;
2. 会利用定义判断并证明函数的奇偶性；
3. 应用函数的奇偶性研究函数的定义域、值域、单调性、作函数图象等。
二、重难点：
1. 函数奇偶性的判断是本节课的重点；
第三章-3.1.3-函数的奇偶性高中数学必修第一册人教B版
A.
1
−
2
=0
C.函数
1
−
2
B.
是偶函数
1
2
)
= −2
D.函数
1
+
2
是减函数
1
2
≠ 0，
【解析】令 =
又
令
0
1
2
1
,
2
= 0，则有
1
2
+
1
2
× 0 =
1
2
[1 + 0 ] = 4 ×
图3.1.3-1
例7（1） 已知函数 , ∈ ，若∀, ∈ ，都有( + ) = + ，求证：
为奇函数.
【解析】令 = 0，则 = 0 + ,
∴ 0 = 0.
令 = −, = ,则 0 = − + ，
∴ − = − . ∴ 是奇函数.
【解析】∵ 为奇函数，∴ 的图象关于原点对称，而 − 1 的图象是将
的图象向右平移1个单位长度得到的，∴ − 1 的图象关于点 1,0 对称,故A正确.
令 = − 1，则由 + 1 = − 1 可知， = ( + 2)，即 = + 2 ,
对于C， = 0，定义域为[−1,1]时,该函数既是奇函数又是偶函数，因此 ⇏ .由
= 0， ∈ ，只要A关于原点对称，都可以得到 既是奇函数又是偶函数，
所以是的必要不充分条件，故C为假命题.
对于D，由于 是奇函数，且定义域为，所以对任意的 ∈ 都有 − = − ,
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.1.4(二)
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.1.4(二)
2.已知奇函数 f(x)的定义域为 R，且对于任意实数 x 都有 f(x＋4)＝f(x)，又 f(1)＝4，那么 f [f (7)]＝________. 0
2.1.4(二)
2.1.4
【学习要求】
本 课 时 栏 目 开 关
函数的奇偶性(二)
1.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解； 2.会推断奇偶函数的性质． 【学法指导】 通过函数奇偶性的应用，加深对概念的理解，提高分析问题和 解决问题的能力，培养知识的迁移能力及数形结合的应用意 识．培养利用数学概念进行判断、推理的能力及加强化归与转 化能力的训练.
小结
在奇、偶函数定义中，交换条件和结论仍成立．即若
f(x)为奇函数，则 f(－x)＝－f(x)．若 f(x)为偶函数，则 f(－x) ＝f(x)．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.4(二)
跟踪训练 2 已知 f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f(x)在 (－1,1)上是减函数，解不等式 f(1－x)＋f(1－x2)<0.
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当 x<0 时，f(x)＝－x－1.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.4(二)
本 课 时 栏 目 开 关
小结
求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为
x，然后把 x 转化为－x，此时－x 成为了已知区间上的解析 式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导， 即可得所求区间上的解析式．
新人教B版新教材学高中数学必修第一册第三章函数函数的奇偶性函数奇偶性的概念教案
考点学习目标核心素养函数奇偶性的判断结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法数学抽象、逻辑推理奇、偶函数的图像了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系直观想象奇、偶函数的应用会利用函数的奇偶性解决简单问题数学运算问题导学预习教材P１0４—P１09的内容，思考以下问题：１．奇函数与偶函数的定义是什么？２．奇、偶函数的定义域有什么特点？３．奇、偶函数的图像有什么特征？１．偶函数（１）定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有—x∈D，且f（—x）＝f（x），则称y＝f（x）为偶函数．（２）图像特征：图像关于y轴对称．２．奇函数（１）定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有—x∈D，且f（—x）＝—f（x），则称y＝f（x）为奇函数．（２）图像特征：图像关于原点对称．■名师点拨（１）奇、偶函数定义域的特点由于f（x）和f（—x）须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．（２）奇、偶函数的对应关系的特点１奇函数有f（—x）＝—f（x）⇔f（—x）＋f（x）＝0⇔错误!＝—１（f（x）≠0）；２偶函数有f（—x）＝f（x）⇔f（—x）—f（x）＝0⇔错误!＝１（f（x）≠0）．（３）函数奇偶性的三个关注点１若奇函数在原点处有定义，则必有f（0）＝0．有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；２既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合；３函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）奇、偶函数的定义域都关于原点对称．（）（２）函数f（x）＝x２的图像关于原点对称．（）（３）对于定义在R上的函数f（x），若f（—１）＝—f（１），则函数f（x）一定是奇函数．（）（４）若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（—x）＋f（x）＝0.（）答案：（１）√（２）×（３）×（４）√下列函数为奇函数的是（）Ａ．y＝|x| B．y＝３—xＣ．y＝错误!Ｄ．y＝—x２＋１４解析：选Ｃ．A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数，故选Ｃ．若函数y＝f（x），x∈[—２，a]是偶函数，则a的值为（）Ａ．—２B．２Ｃ．0 Ｄ．不能确定解析：选Ｂ．因为偶函数的定义域关于原点对称，所以—２＋a＝0，所以a＝２．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．（填序号）解析：１３关于y轴对称是偶函数，２４关于原点对称是奇函数．答案：２４１３若f（x）是定义在R上的奇函数，f（３）＝２，则f（—３）＝________，f（0）＝________．解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（—３）＝—f（３）＝—２，f（0）＝0．答案：—２0函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝|x＋１|—|x—１|；（２）f（x）＝错误!＋错误!；（３）f（x）＝错误!；（４）f（x）＝错误!【解】（１）因为x∈R，所以—x∈R，又因为f（—x）＝|—x＋１|—|—x—１|＝|x—１|—|x＋１|＝—（|x＋１|—|x—１|）＝—f（x），所以f（x）为奇函数．（２）因为函数f（x）的定义域为{—１，１}，关于原点对称，且f（x）＝0，所以f（—x）＝—f（x），f（—x）＝f（x），所以f（x）既是奇函数又是偶函数．（３）f（x）的定义域为[—１，0）∪（0，１]．即有—１≤x≤１且x≠0，则—１≤—x≤１，且—x≠0，又因为f（—x）＝错误!＝—错误!＝—f（x）．所以f（x）为奇函数．（４）f（x）的定义域是（—∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．当x>0时，—x<0，f（—x）＝１—（—x）＝１＋x＝f（x）；当x<0时，—x>0，f（—x）＝１＋（—x）＝１—x＝f（x）．综上可知，对于x∈（—∞，0）∪（0，＋∞），都有f（—x）＝f（x），所以f（x）为偶函数．错误!判断函数奇偶性的两种方法（１）定义法（２）图像法[注意] 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．１．给定四个函数：１y＝x３＋错误!；２y＝错误!（x>0）；３y＝x３＋１；４y＝错误!.其中是奇函数的有（）Ａ．１个B．２个Ｃ．３个D．４个解析：选Ｂ．１函数的定义域为R，f（x）＝x３＋错误!，f（—x）＝—（x３＋错误!）＝—f（x），则函数f（x）是奇函数；２函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；３函数的定义域为R，f（0）＝0＋１＝１≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；４函数的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），f（—x）＝错误!＝—错误!＝—f（x），则函数f（x）是奇函数．２．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）Ａ．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）Ｃ．y＝x２＋f（x）D．y＝x２f（x）解析：选Ｂ．因为f（x）是奇函数，所以f（—x）＝—f（x）．对于A，g（—x）＝—x＋f（—x）＝—x—f（x）＝—g（x），所以y＝x＋f（x）是奇函数．对于B，g（—x）＝—xf（—x）＝xf（x）＝g（x），所以y＝xf（x）是偶函数．对于C，g（—x）＝（—x）２＋f（—x）＝x２—f（x），所以y＝x２＋f（x）为非奇非偶函数．对于D，g（—x）＝（—x）２f（—x）＝—x２f（x）＝—g（x），所以y＝x２f（x）是奇函数．奇、偶函数的图像已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x２＋２x.现已画出函数f （x）在y轴左侧的图像，如图所示．（１）请补出完整函数y＝f（x）的图像；（２）根据图像写出函数y＝f（x）的增区间；（３）根据图像写出使f（x）<0的x的取值集合．【解】（１）由题意作出函数图像如图：（２）据图可知，单调递增区间为（—１，0），（１，＋∞）．（３）据图可知，使f（x）<0的x的取值集合为（—２，0）∪（0，２）．１．（变问法）本例条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？解：结合图像可知，满足条件的y的取值范围是（—１，0）．２．（变条件）若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解：（１）由题意作出函数图像如图所示：（２）据图可知，单调递增区间为（—１，１）．（３）据图可知，使f（x）<0的x的取值集合为（—２，0）∪（２，＋∞）．错误!巧用奇偶性作函数图像的步骤（１）确定函数的奇偶性．（２）作出函数在[0，＋∞）（或（—∞，0]）上对应的图像．（３）根据奇（偶）函数关于原点（y轴）对称得出在（—∞，0]（或[0，＋∞））上对应的函数图像．[注意] 作对称图像时，可以先从点的对称出发，点（x0，y0）关于原点的对称点为（—x0，—y0），关于y轴的对称点为（—x0，y0）．已知函数y＝f（x）是偶函数，且图像与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是（）Ａ．４B．２Ｃ．１Ｄ．0解析：选Ｄ．因为f（x）是偶函数，且图像与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0．利用函数的奇偶性求参数（１）若函数f（x）＝ax２＋bx＋３a＋b是偶函数，且定义域为[a—１，２a]，则a＝________，b＝________．（２）若已知函数f（x）＝错误!是定义在（—１，１）上的奇函数，且f错误!＝错误!，求函数f（x）的解析式．【解】（１）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a—１＝—２a，解得a＝错误!.又函数f（x）＝错误!x２＋bx＋b＋１为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b＝0．故填错误!和0．（２）因为f（x）是定义在（—１，１）上的奇函数，所以f（0）＝0，即错误!＝0，所以b＝0．又因为f错误!＝错误!＝错误!，所以a＝１，所以f（x）＝错误!.错误!利用奇偶性求参数的常见类型及策略（１）定义域含参数：奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b ＝0求参数．（２）解析式含参数：根据f（—x）＝—f（x）或f（—x）＝f（x）列式，比较系数即可求解．１．若f（x）＝（ax＋１）（x—a）为偶函数，且函数y＝f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，则实数a的值为（）Ａ．±１B．—１Ｃ．１Ｄ．0解析：选Ｃ．因为f（x）＝（ax＋１）（x—a）＝ax２＋（１—a２）x—a为偶函数，所以１—a２＝0．所以a＝±１．当a＝１时，f（x）＝x２—１，在（0，＋∞）上单调递增，满足条件；当a＝—１时，f（x）＝—x ２＋１，在（0，＋∞）上单调递减，不满足．２．已知函数f（x）＝错误!是奇函数，则a＝________．解析：因为f（x）为奇函数，所以f（—１）＋f（１）＝0，即（a—１）＋（—１＋１）＝0，故a ＝１．答案：１１．下列函数是偶函数的是（）Ａ．y＝xB．y＝２x２—３Ｃ．y＝错误!Ｄ．y＝x２，x∈（—１，１]解析：选Ｂ．对于A，定义域为R，f（—x）＝—x＝—f（x），是奇函数；对于B，定义域为R，满足f（x）＝f（—x），是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数．２．函数f（x）＝错误!—x的图像关于（）Ａ．y轴对称Ｂ．直线y＝—x对称Ｃ．坐标原点对称Ｄ．直线y＝x对称解析：选Ｃ．函数f（x）＝错误!—x是奇函数，其图像关于坐标原点对称．３．已知函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x２＋错误!，则f（—１）＝________．解析：当x＞0时，f（x）＝x２＋错误!，所以f（１）＝１＋１＝２．又f（x）为奇函数，所以f（—１）＝—２．答案：—２４．根据题中函数的奇偶性及所给部分图像，作出函数在y轴另一侧的图像，并解决问题：（１）如图１是奇函数y＝f（x）的部分图像，求f（—４）·f（—２）；（２）如图２是偶函数y＝f（x）的部分图像，比较f（１）与f（３）的大小．解：（１）作出函数在y轴另一侧的图像，如图所示，观察图像可知f（—４）＝—f（４）＝—２，f（—２）＝—f（２）＝—１，所以f（—４）·f（—２）＝（—２）×（—１）＝２．（２）作出函数在y轴另一侧的图像，如图所示．观察图像可知f（１）＝f（—１），f（３）＝f（—３），f（—１）<f（—３），所以f（１）<f（３）．[A 基础达标]１．下列函数为奇函数的是（）Ａ．y＝x２＋２B．y＝x，x∈（0，１]Ｃ．y＝x３＋x D．y＝x３＋１解析：选Ｃ．对于A，f（—x）＝（—x）２＋２＝x２＋２＝f（x），即f（x）为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R，且f（—x）＝（—x）３＋（—x）＝—（x３＋x）＝—f（x），故f（x）为奇函数；对于D，f（—x）＝—x３＋１≠f（x）且f（—x）≠—f（x），故f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．２．若函数f（x）＝（m—１）x２＋（m—２）x＋（m２—7m＋１２）为偶函数，则m的值是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｂ．因为函数f（x）＝（m—１）x２＋（m—２）x＋（m２—7m＋１２）为偶函数，所以f（—x）＝f（x），即（m—１）x２＋（m—２）x＋（m２—7m＋１２）＝（m—１）x２＋（—m＋２）x＋（m２—7m ＋１２），即m—２＝—m＋２，解得m＝２．３．设f（x）是定义在R上的一个函数，则函数F（x）＝f（x）—f（—x）在R上一定（）Ａ．是奇函数Ｂ．是偶函数Ｃ．既是奇函数又是偶函数Ｄ．既不是奇函数又不是偶函数解析：选Ａ．F（—x）＝f（—x）—f（x）＝—[f（x）—f（—x）]＝—F（x），符合奇函数的定义．４．如图，给出奇函数y＝f（x）的局部图像，则f（—２）＋f（—１）的值为（）Ａ．—２B．２Ｃ．１Ｄ．0解析：选Ａ．由题图知f（１）＝错误!，f（２）＝错误!，又f（x）为奇函数，所以f（—２）＋f（—１）＝—f（２）—f（１）＝—错误!—错误!＝—２．故选Ａ．５．如果函数y＝错误!是奇函数，则f（x）＝________．解析：设x<0，则—x>0，所以２×（—x）—３＝—２x—３．又原函数为奇函数，所以f（x）＝—（—２x—３）＝２x＋３．答案：２x＋３6．已知函数f（x）＝ax３＋bx＋错误!＋５，满足f（—３）＝２，则f（３）的值为________．解析：因为f（x）＝ax３＋bx＋错误!＋５，所以f（—x）＝—ax３—bx—错误!＋５，即f（x）＋f（—x）＝１0．所以f（—３）＋f（３）＝１0，又f（—３）＝２，所以f（３）＝8．答案：87．判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝３，x∈R；（２）f（x）＝５x４—４x２＋7，x∈[—３，３]；（３）f（x）＝错误!解：（１）因为f（—x）＝３＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．（２）因为x∈[—３，３]，f（—x）＝５（—x）４—４（—x）２＋7＝５x４—４x２＋7＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．（３）当x>0时，f（x）＝１—x２，此时—x<0，所以f（—x）＝（—x）２—１＝x２—１，所以f（—x）＝—f（x）；当x<0时，f（x）＝x２—１，此时—x>0，f（—x）＝１—（—x）２＝１—x２，所以f（—x）＝—f（x）；当x＝0时，f（—0）＝—f（0）＝0．综上，对x∈R，总有f（—x）＝—f（x），所以函数f（x）为R上的奇函数．8．定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上的图像如图所示．（１）补全f（x）的图像；（２）解不等式xf（x）>0．解：（１）描出点（１，１），（２，0）关于原点的对称点（—１，—１），（—２，0），则可得f（x）的图像如图所示．（２）结合函数f（x）的图像，可知不等式xf（x）>0的解集是（—２，0）∪（0，２）．[B 能力提升]9．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）Ａ．f（x）g（x）是偶函数Ｂ．|f（x）|g（x）是奇函数Ｃ．f（x）|g（x）|是奇函数Ｄ．|f（x）g（x）|是奇函数解析：选Ｃ．依题意得对任意x∈R，都有f（—x）＝—f（x），g（—x）＝g（x），因此，f（—x）·g（—x）＝—f（x）·g（x）＝—[f（x）·g（x）]，f（x）g（x）是奇函数，A错；|f（—x）|·g（—x）＝|—f （x）|·g（x）＝|f（x）|·g（x），|f（x）|·g（x）是偶函数，B错；f（—x）·|g（—x）|＝—f（x）·|g（x）|＝—[f（x）|g（x）|]，f（x）·|g（x）|是奇函数，C正确；|f（—x）·g（—x）|＝|—f（x）g（x）|＝|f （x）g（x）|，|f（x）g（x）|是偶函数，D错．故选Ｃ．１0．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）—g（x）＝x３＋x２＋１，则f（１）＋g（１）＝（）Ａ．—３B．—１Ｃ．１Ｄ．３解析：选Ｃ．因为f（x）—g（x）＝x３＋x２＋１，所以f（—x）—g（—x）＝—x３＋x２＋１，又由题意可知f（—x）＝f（x），g（—x）＝—g（x），所以f（x）＋g（x）＝—x３＋x２＋１，则f（１）＋g（１）＝１，故选Ｃ．１１．已知奇函数f（x）＝错误!（１）求实数m的值，并画出y＝f（x）的图像；（２）若函数f（x）在区间[—１，a—２]上单调递增，试确定a的取值范围．解：（１）当x<0时，—x>0，f（—x）＝—（—x）２＋２（—x）＝—x２—２x.又f（x）为奇函数，所以f（—x）＝—f（x）＝—x２—２x，所以f（x）＝x２＋２x，所以m＝２．y＝f（x）的图像如图所示．（２）由（１）知f（x）＝错误!由图像可知，f（x）在[—１，１]上单调递增，要使f（x）在[—１，a—２]上单调递增，只需错误!解得１<a≤３．１２．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有错误!>0．（１）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（２）若f（１＋m）＋f（３—２m）≥0，求实数m的取值范围．解：（１）因为a>b，所以a—b>0，由题意得错误!>0，所以f（a）＋f（—b）>0．又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（—b）＝—f（b），所以f（a）—f（b）>0，即f（a）>f（b）．（２）由（１）知f（x）为R上的单调递增函数，因为f（１＋m）＋f（３—２m）≥0，所以f（１＋m）≥—f（３—２m），即f（１＋m）≥f（２m—３），所以１＋m≥２m—３，所以m≤４．所以实数m的取值范围为（—∞，４]．[C 拓展探究]１３．已知f（x）是定义在R上的函数，设g（x）＝错误!，h（x）＝错误!.（１）试判断g（x）与h（x）的奇偶性；（２）试判断g（x），h（x）与f（x）的关系；（３）由此你能猜想出什么样的结论？解：（１）因为g（—x）＝错误!＝g（x），h（—x）＝错误!＝—h（x），所以g（x）是偶函数，h （x）是奇函数．（２）g（x）＋h（x）＝错误!＋错误!＝f（x）．（３）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．。
函数奇偶性教学设计
3.1.3 函数的奇偶性教学设计一、教材分析学情分析【教材分析】本节课内容是人教B版必修一第三章第三节3.1.3《函数奇偶性》第一课时；1.函数的奇偶性是函数的重要性质之一，从知识结构上看，它既是函数概念的拓展与深化，又是后续研究指数函数，对数函数，幂函数，三角函数性质的基础，因此本节内容起着承上启下的作用；2.教材通过初中学过的有关轴对称和中心对称的知识引入新课，重点介绍了函数奇偶性的定义以及奇函数，偶函数的图像特征与函数奇偶性的应用，内容编排上注重体现数学抽象，逻辑推理，和直观想象以及数学运算等核心素养；3.本节的重点是函数奇偶性的定义以及奇函数偶函数的图像特征，函数奇偶性的应用等等；【学情分析】学生在初中阶段已经学习了轴对称和中心对称的知识，会画二次函数和反比例函数的图像，在上一节又学习了函数的单调性，已经初步积累了研究函数图像和性质的基本方法和初步经验，这为学习函数奇偶性做了知识上的储备；我任教是抚顺十二中高一实验班学生，学生相对来说基础较好，接受新知识能力较强，具备一定的知识储备和探索精神，但由于刚进入高中数学知识学习的第一阶段，思维尽管活跃，敏捷，却缺乏冷静深刻，因此片面不严谨.从学生的思维特点来看，学生很难从前面所学的函数单调性，联系到函数图像的对称性所反映的函数奇偶性，这对学生的思维是一个突破，需要教师正确的引导；二、教学目标与核心素养【教学目标】1.理解函数的奇偶性及其几何意义，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，学会判断函数的奇偶性；2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力；三、教学重难点【教学重点】1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤；3.学会利用奇偶性应用，认识函数关于某点，某直线对称；【教学难点】1.判断函数的奇偶性，利用函数的奇偶性特征解决问题；2.结合图像，奇偶性的综合应用；四、教学方法1.情景导入法：在本节课开始用数学家名言，调度学生积极性，让学生体会数学无处不在，事物的普遍联系；2.自学导入法：利用“尝试与发现”让学生自己体会知识点，突出学生的主体地位；3.探究式学习法：渗透自主探究，合作学习，感受成功的快乐，师生互动，快乐课堂；4.兴趣驱动法：让学生在学会的基础上更欣赏数学喜欢数学，兴趣是最好的老师；五、教学策略1.引导学生提前阅读教材内容，特别是尝试与发现，启发学生用熟悉的数学知识理解新概念；2.教学时，充分利用函数图像，让学生观察函数图像的特征，获得对函数奇偶性的直观认识，体会数学的图形美，体现直观想象的数学核心素养；3.重视从几个实例的共同特征到一般性质的概括过程，并要引导学生用数学语言表达出来，通过形成函数奇偶性的概念，培养学生的探究能力，体现数学抽象的核心素养；六、教学过程教学设备教室大屏幕一体机，教材，学案，当堂检测小卷课前准备提问学生：数学源于生活，寓于生活，用于生活，那么我们现在在学习的函数图象，是否能在生活中找到与函数有关的性质，比如具有对称的特性？是否也体现了图象对称的美感呢？新课引入1.在中学的数学课本里，一些基本的概念是逐步被引导出来的，要把基本的概念了解清楚，可以说是学好数学的第一个步骤，如果概念还没有理解清楚，就急急忙忙的去证明定理，做习题，那是没有不碰壁的.----苏步青2.在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……上述材料中哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?3.被誉为“上海之鸟”浦东国际机场设计，是一个硕大无比，展开双翅的海鸥，它的两翼呈对称状，看上去舒展优美.它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高更广阔的天地，创造更新更宏伟的业绩.一些函数的图像也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数什么性质呢？这就是我们本节课学习的函数的奇偶性.设计意图：用实例调动学生积极性，用名言鼓励学生热爱数学，重视概念课，用美好事物让学生感受数学无处不在，体会世间万物普遍联系，培养学生直观想象能力，以及学习数学的热情；【尝试与发现】填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图像应具有的特征。
高中数学 2.1.4《函数的奇偶性》学案 新人教b版必修1
2.1.4函数的奇偶性（学案 ）【学习目标】1. 理解函数奇偶性的定义及其图象特征。
2. 能根据定义判断函数的奇偶性。
3. 结合函数的奇偶性研究函数的其他性质。
【自主学习】1.作出函数f(x)=2x 和g(x)=3x 的图象，观察图象的对称性。
2s ：描点作图由图象可知，()y f x =的图象关于 对称，用式子可表达为 。
()y g x =的图象关于 对称，用式子可表达为 。
2. 设函数()y f x =的定义域为D ， 则这个函数叫偶函数。
偶函数的图象是 。
设函数()y g x =的定义域为D ， 则这个函数叫奇函数。
奇函数的图象是 。
3. 函数根据奇偶性可分成四类： 。
跟踪1：判断下列函数的奇偶性① 53()f x x x x =++ ②2()1f x x =+③()1f x x =+ ④2(),[1,3]f x x x =∈-跟踪2：研究函数21y x =的性质（定义域，值域，单调性，奇偶性）并作出图象跟踪3：课本49页练习A 1. 2. 3. 4. 5.【典例示范】例1.判断函数的奇偶性①()f x =②()f x =③()22f x x x =+-- ④2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩总结提高：判断函数奇偶性的步骤是：例2. 已知函数()f x 对任意实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断函数的奇偶性例3：已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，求0x <时函数的解析式【巩固拓展】1、已知()f x 为R 上的奇函数，且当x (0,)∈+∞时，f(x)=(1x ,求f(x)。
【归纳总结】1. 判断函数奇偶性首先要看什么？2. 判断函数奇偶性的步骤：3、奇偶性对函数的其他性质有什么影响？【快乐体验】1、下列说法中，不正确的是（ ）A. 图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B. 奇函数的图象一定经过原点C. 偶函数的图象若不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数D.图象关于y 轴成轴对称的函数一定是偶函数2、若函数()y f x =的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为（ ）。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.1.4 函数的奇偶性》
函数的奇偶性教案一、教学重点1.函数奇偶性的定义及性质2.函数奇偶性的判断与证明二、教学难点1.函数奇偶性的判断与证明2.奇函数偶函数性质的证明三、教学目标1.通过探究过程总结概括函数奇偶性的定义2.灵活运用奇偶函数的性质3.学会用定义判断证明函数的奇偶性四、教学方法传统板书教学与t教学相结合，几何画板演示法，创设情境导入法五、教学过程（一）情境创设师：上节课我们从函数图像上升及下降的变化趋势研究了函数的单调性，那么今天我们将从函数图像的另一个角度去继续探究函数的另一个性质——奇偶性师：通过学生熟悉的伸展运动及太极八卦图，让学生观察并回忆这两幅图有什么特点？在初中已有的知识里把这样的图像叫什么？生：从几何角度来看，第一幅图是轴对称图形，以一条直线为对称轴，第二幅图是中心对称图形，以一个点作180°旋转重合，以一个点为对称中心师：在坐标系中的函数图像是否也具有这样的对称性的？生：观察函数y=x2与y=x3的图像，总结特征结论：y=x2图像关于轴对称，y=x3的图像关于原点对称师：如何用函数中的数学语言来科学严谨的描述这样的性质呢？（二）探究总结，形成概念1.老师带领学生通过赋特殊值观察函数y=x2自变量与函数值之间的关系，再利用几何画板动态演示为学生呈现直观的函数值与自变量之间的关系变化，会发现当自变量在定义域内任取相反数时都有f(−x)=f(x)2.学生依照上述探究方法，对函数y=x3自主探讨，总结自变量与函数值的关系：对定义域内的任意自变量,都有f(−x)=−f(x)3.通过上述讨论探究，师生共同整理总结得出函数奇偶性的定义：奇函数：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(−x)=−f(x),则称f(x)为奇函数偶函数：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(−x)=f(x),则称f(x)为偶函数4.通过函数奇偶性的定义给出几点说明（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性2 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数, 则f(−x)=－f(x)成立若函数f(x)为偶函数, 则f(−x)= f(x)成立（4）函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质．5 通过定义及图像总结奇函数与偶函数的性质（三）函数的奇偶性应用1课堂练习: 说出下列函数的奇偶性:①f=4_______ ②f= -1__________③f= ________ ④f= -2__________⑤f=5________ ⑥f= -3_______________对于形如f(x)=x n n∈Z的函数，在定义域R内:若n为偶数，则它为偶函数,若n为奇数，则它为奇函数。
高中数学2.1.4函数的奇偶性教学设计新人教B版必修1
2015-2016学年高中数学 2.1.4函数的奇偶性教学设计新人教B版必修1整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称．)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课新知探究提出问题①如下图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写下面两表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x 2x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝|x |③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f(x)＝x 2，x∈[－1,2]是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？⑦观察函数f(x)＝x 和f(x)＝1x 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生： ①观察图象的对称性．②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．③利用函数的解析式来描述．④偶函数的性质：图象关于y 轴对称．⑤函数f(x)＝x 2，x∈[－1,2]的图象关于y 轴不对称；对定义域[－1,2]内x ＝2，f(－2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x 的相反数－x 不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．⑥偶函数的定义域中任意一个x 的相反数－x 一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；(2)由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；(4)可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质．讨论结果：①这两个函数之间的图象都关于y轴对称．②填表如下．x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝x29 4 1 0 1 4 9x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝3 2 1 0 1 2 3|x|这两个函数的解析式都满足：f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)．③设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．④偶函数的图象关于y轴对称．⑤不是偶函数．⑥偶函数的定义域关于原点轴对称．⑦设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称．应用示例思路1例1判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．解：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋x3＋x5是奇函数．(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x 2＋1＝f(x)，所以f(x)＝x 2＋1是偶函数．(3)函数f(x)＝x ＋1的定义域是R ，当x∈R 时，－x∈R . 因为f(－x)＝－x ＋1＝－(x －1)，－f(x)＝－(x ＋1)， 所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)．因此，f(x)＝x ＋1既不是奇函数也不是偶函数．(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3[－1,3]，所以f(x)＝x 2，x∈[－1,3]既不是奇函数也不是偶函数．点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数－x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系． ③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数； 变式训练判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x 4；(2)f(x)＝x 5；(3)f(x)＝x ＋1x ；(4)f(x)＝1x2.活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．解：(1)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝(－x)4＝x 4＝f(x)，所以函数f(x)＝x 4是偶函数．(2)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝(－x)5＝－x 5＝－f(x)，所以函数f(x)＝x 5是奇函数． (3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－x ＋1－x＝－(x ＋1x )＝－f(x)，所以函数f(x)＝x ＋1x 是奇函数．(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，例2研究函数y＝1x2的性质并作出它的图象．解：已知函数的定义域是x≠0的实数集，即{x∈R|x≠0}．由函数的解析式可以推知：对任意的x值，对应的函数值y＞0，函数的图象在x轴的上方；函数的图象在x＝0处断开，函数的图象被分为两部分，且f(－x)＝f(x)，这个函数为偶函数；当x的绝对值变小时，函数值增大得非常快，当x的绝对值变大时，函数的图象向x轴的两个方向上靠近x轴．由以上分析，以x＝0为中心，在x轴的两个方向上对称地选取若干个自变量的值，计算出对应的y值，列出x，y的对应值表：在直角坐标系中，描点、连成光滑曲线，就得到这个函数的图象，如下图所示．由图象可以看出，这个函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．点评：当函数y＝f(x)不是基本初等函数时，通常利用其性质来画其图象，即根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性来估计其图象的特点.思路2例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x 2，x∈[－1,2]； (2)f(x)＝x 3－x2x －1；(3)f(x)＝x 2－4＋4－x 2. 活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x∈R ，有1＋x 2＞x 2＝|x|≥－x ，则1＋x 2＋x ＞0.则函数的定义域是R .解：(1)因为它的定义域[－1,2]不关于原点对称，函数f(x)＝x 2，x∈[－1,2]既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为它的定义域为{x|x∈R 且x≠1}，并不关于原点对称，函数f(x)＝x 3－x2x －1既不是奇函数又不是偶函数．(3)∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x＝±2，即f(x)的定义域是{－2,2}． ∵f(2)＝0，f(－2)＝0，∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)．∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)． ∴f(x)既是奇函数也是偶函数． 点评：本题主要考查函数的奇偶性．定义法判断函数奇偶性的步骤是(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数. 变式训练1．函数f(x)＝2x 2＋x 4，x∈[a,1＋a]是偶函数，则实数a ＝________. 答案：－122．判断下列函数的奇偶性．(1)y ＝x 2，x∈[－1,1)； (2)y ＝x 3＋2x；(3)y ＝x 2＋1.答案：(1)非奇非偶函数；(2)奇函数；(3)偶函数.例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x ＞1时f(x)＞0，f(2)＝1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比较f(－52)与f(74)的大小．分析：(1)转化为证明f(－x)＝f(x)，利用赋值法证明f(－x)＝f(x)；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f(－52)和f(74)转化为同一个单调区间上的函数值．(1)证明：令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f(1)＝f[－1×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0. ∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．(2)证明：设x 2＞x 1＞0，则f(x 2)－f(x 1)＝f(x 1·x 2x 1)－f(x 1)＝f(x 1)＋f(x 2x 1)－f(x 1)＝f(x 2x 1)．∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1.∴f(x 2x 1)＞0，即f(x 2)－f(x 1)＞0.∴f(x 2)＞f(x 1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f(－52)＝f(52)．由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(52)＞f(74)．∴f(－52)＞f(74)．点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.变式训练已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x 、y ，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)． (1)求f(1)、f(－1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．分析：(1)利用赋值法，令x ＝y ＝1得f(1)的值，令x ＝y ＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(－x)＝－f(x)． 解：(1)∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)＝yf(x)＋xf(y)，∴令x ＝y ＝1时，有f(1·1)＝1·f(1)＋1·f(1)．∴f(1)＝0.∴令x ＝y ＝－1时，有f[(－1)·(－1)]＝(－1)·f(－1)＋(－1)·f(－1)．∴f(－1)＝0. (2)是奇函数．∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)＝yf(x)＋xf(y)， ∴令y ＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)． 将f(－1)＝0代入得f(－x)＝－f(x)， ∴函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数.知能训练1．设函数y ＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________.解析：∵函数y ＝f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3. 答案：－32．f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a]，则a ＝__________，b ＝__________.解析：∵偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a ＝0.∴a＝13.∴f(x)＝13x 2＋bx ＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.答案：133．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)． 又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(6)＝0. 答案：B 拓展提升问题：利用图象讨论基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法：图象法，可得 正比例函数y ＝kx(k≠0)是奇函数； 反比例函数y ＝kx(k≠0)是奇函数；一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)，当b ＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当b ＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．作业课本本节练习B 1、2.设计感想 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．备课资料 奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立．(3)f(－x)＝f(x) ⇔f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x) ⇔f(x)是奇函数．(4)f(－x)＝f(x) ⇔f(x)－f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x) ⇔f(x)＋f(－x)＝0. (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数．奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y ＝f[g(x)]是偶函数，如果函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y ＝f[g(x)]是奇函数，简称为“同偶异奇”．(6)如果函数y ＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a ，b)和(－b ，－a)上具有相同的单调性；如果函数y ＝f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a ，b)和(－b ，－a)上具有相反的单调性．(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝f(x)－f(－x)2＋f(x)＋f(－x)2.(8)若f(x)是(－a ，a)(a ＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)；若函数y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)＝0.。
2.1.函数的奇偶性-人教B版必修一教案
2.1 函数的奇偶性-人教B版必修一教案1. 教学目标1.知识目标：–掌握函数奇偶性的含义；–理解奇函数和偶函数的定义；–能够判断一个函数的奇偶性。
2.能力目标：–培养学生分析函数性质的能力；–培养学生判断函数奇偶性的能力；–培养学生将所学知识应用到解决实际问题的能力。
3.情感目标：–培养学生对数学的兴趣和探究精神；–培养学生团队合作和互助的意识。
2. 教学重点和难点1.教学重点：–函数奇偶性的含义及相关定义；–奇函数和偶函数的性质；–判断函数的奇偶性。
2.教学难点：–奇偶函数与原点的对称性的理解；–对奇函数和偶函数概念的深入掌握。
3. 教学内容和方法1.教学内容：–函数奇偶性的概念；–奇函数和偶函数的定义及性质；–函数奇偶性的判断方法。
2.教学方法：–讲授法：通过授课介绍函数的奇偶性概念、奇函数和偶函数的定义及性质，以及判断函数奇偶性的方法。
–实践演练法：对于一些常见的函数进行分类讨论、概括性总结和归纳整理，通过实例巩固所学知识，将知识应用到解决实际问题中。
–合作探究法：采用小组合作探究的方式，引导学生根据所学知识自主探究并发表小结。
4. 教学过程4.1 自主学习1.学生自主预习教材关于函数奇偶性的内容，具体包括函数奇偶性概念、奇函数和偶函数的定义及性质，以及判断函数奇偶性的方法。
4.2 分组讨论1.将学生分成小组，每个小组选定一类函数进行分类讨论和总结。
2.日常生活中常见的函数有哪些？3.如何将这些函数分类，可以根据哪些特征进行分类？4.将同类函数进行概括性总结，总结出这些函数的特征。
4.3 演示探究1.针对一个函数f(x)，首先判断该函数的奇偶性；然后绘制函数f(−x)。
2.根据函数的奇偶性，确定函数f(−x)与函数f(x)之间的关系。
3.用图像验证函数奇偶性的判断方法。
4.4 小结讲解1.每个小组派代表汇报讨论的结果和总结的有关函数分类的特征，优秀代表可获加分。
2.教师针对函数奇偶性的判断方法和相关概念进行讲解，强调奇函数和偶函数的定义及特性，以及函数的奇偶性与函数图像的关系。
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2014年高中数学 函数的奇偶性学案 新人教B 版必修1
一、三维目标：
知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性。
过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力。
情感态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分
组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
二、学习重、难点：
重点：函数的奇偶性的概念。
难点：函数奇偶性的判断。
学法指导：认真阅读教材P47--P49，通过对教材中的例题的研究，完成学习目标 。
学习过程：
一、奇函数、偶函数的定义：
设函数y=f(x)的定义域为D, 如果对D 内的每一个x ，都有_________________，那么函数f(x)就叫奇函数。
设函数y=f(x)的定义域为D, 如果对D 内的每一个x ，都有_________________，那么函数f(x)就叫偶函数。
有上面的定义可知，奇（偶）函数的定义域必须关于_________对称。
二、奇函数、偶函数的图象特征：
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以____ 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以____为对称中心的中心对称图形，则这个函数是__函数。
（２）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以____为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以______为对称轴的轴对称图形，则这个函数是_____函数。
三.奇函数与偶函数的判断方法
1．定义法 利用定义法判断函数的奇偶性的步骤:(1)考察定义域是否关于____对称，如果定义域不关于____对称,那么此函数既不是奇函数又不是偶函数; 如果定义域关于____对称，则进行下一步；(2)验证()()f x f x -=-或()()f x f x -=对定义域中的任意的值x 是否成立;(3)得出结论. 2．函数图象法：
若()f x 的图象关于原点对称,则()f x 为__函数;若函数()f x 的图象关于y 轴对称,
则()f x 为___函数。
四.函数奇偶性的性质
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全_____；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性________.
②奇函数的图象关于_____对称,偶函数的图象关于_______对称. ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==. ④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.
⑤从函数的奇偶性的概念可以发现, ()()f x f x -=-是与()()0f x f x -+=等价的,
()()f x f x -=是与()()0f x f x --=等价的,也就是说，若函数的定义域关于原点对称，,且()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=为恒等式,也可以判断函数的奇偶性.上述两式也
可以用
()
1(()0)()
f x f x f x -=±≠代替. ⑥既奇又偶函数有无穷多个
（
()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
例1、函数奇偶性的判定 （1）y=x+x 3
+x 5
(2) y=x 2
+1,x ∈[]1,3-
(3) y=x+1 (4)y=0
例2.已知函数21
()(,,)ax f x a b c Z bx c
+=
∈+是奇函数,且(1)2,(2)3f f =<,求,,a b c 的值.
例3、利用奇偶性求解析式
已知f(x)为R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x+x 3
+1，求函数f(x)的解析式。
１、函数f(x)=x 3
+3x 的奇偶性 （ ） (A)是奇函数 (B) 是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 是非奇非偶函数 2、函数f(x)=(x+1)(x+a) 为偶函数，则a 的值为（ ）
(A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -2
3.函数2
()(2)2
a y f x x =-≤≤是奇函数，则实数a 的值是( ) A.2- B.2 C.2或2- D.无法确定
4.若()f x 是定义在[5,5]-上的奇函数,且(3)(1)f f <,则( )
A.(1)(3)f f -<-
B.(0)(1)f f >
C.(1)(1)f f -<
D.(3)(5)f f ->-
5.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集
为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
)
x )
x
2.设函数(1)()
()x x a f x x
++=
为奇函数,则a = .
3. 已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，1||)(2-+=x x x f ，那么x <0时，f (x )= .
4. 判断下列函数的奇偶性 ①x
x y 1
3
+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4； 5.若奇函数在
上单调递增，又
，则不等式
的解集为
________． 6.如果偶函数
在
上有最大值，那么
在
上（ ）．
A ．有最大值
B ．有最小值
C ．没有最大值
D ．没有最小值
课堂笔记：。