(江苏专版)2019版高考数学大一轮复习第五章平面向量专题探究课二学案理

第五章 平面向量 专题探究课二高考导航 从近几年的高考试题看，试卷交替考查三角函数、解三角形、向量与三角综合以及三角应用题.该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的恒等变形以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题；四是考查三角应用题.在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.热点一 三角函数的恒等变形和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数恒等变形转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【1】 (2018²苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，试求函数f (x )的最值，并写出取得最值时自变量x 的值.解 (1)由题意知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z ).(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2；当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.探究提高 此类题目的答题模板为：第一步：三角函数式的恒等变形，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期；第三步：确定f (x )的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值； 第五步：明确规范地表达结论.【训练1】 (2018²江苏大联考)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x .(1)β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (β)的取值范围；(2)若tan α＝23，求f (α)的值.解 (1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β－π6－1.因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 故f (β)的取值范围是[－2，1].(2)由题可得f (α)＝3sin 2α－2cos 2α ＝23sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan α－2tan 2α＋1， 因为tan α＝23，所以f (α)＝23³23－24³3＋1＝1013.热点二 解三角形与三角函数结合高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理在知识的交汇处命题.【例2】 (2018²苏州测试)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω>0)的周期为π.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域；(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积. 解 (1)f (x )＝32(1＋cos 2ωx )＋12sin 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. 因为f (x )的周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.又0≤x ≤π2，得π3≤2x ＋π3≤43π，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32≤32＋1，即函数y ＝f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32＋1.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32.由A ∈(0，π)，知π3<A ＋π3<43π，解得A ＋π3＝23π，所以A ＝π3.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝b 2＋c 2－bc . 所以16＝(b ＋c )2－3bc ，因为b ＋c ＝5，所以bc ＝3. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝334.探究提高 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决此类问题的关键. 【训练2】 (2018²苏北四市期中)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B ＝2，tan C ＝3. (1)求角A 的大小； (2)若c ＝3，求b 的长.解 (1)因为tan B ＝2，tan C ＝3，A ＋B ＋C ＝π， 所以tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－2＋31－2³3＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)因为tan B ＝sin B cos B ＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1，又B ∈(0，π)，所以sin B ＝255，结合(1)可得sin C ＝31010.由正弦定理得b ＝c sin Bsin C ＝3³25531010＝2 2.热点三 三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】 (满分14分)(2017²江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π].(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ²b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 满分解答与评分标准 本题第(1)问满分为6分，具体评分标准如下： 法一 因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ，………………………………………………2分于是tan x ＝－33.…………………………………………………………………2分 又x ∈[0，π]，所以x ＝56π. ……………………………………………………2分法二 因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ， ①……………………………………………………2分 则23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝0，即23sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0. …………………………2分所以x ＋π6＝π，即x ＝56π. ………………………………………………2分法三 因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x ，因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以sin 2x ＝14，即sin x ＝±12，所以x ＝π6或56π→会而不对，缺乏取舍意识本题第(2)问满分为8分，具体评分标准如下：法一 f (x )＝a ²b ＝(cos x ，sin x )²(3，－3)＝3cos x －3sin x ……………………2分＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.…………………………………………………………………2分因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，则－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.………………2分……………2分法二 (本题第二问有考生采用了导数的方法求最值)f (x )＝a ²b ＝(cos x ，sin x )²(3，－3)＝3cos x －3sin x ，……………………2分则f ′(x )＝－3sin x －3cos x ，则f ′(x )＝0，tan x ＝－33. 因为x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.…………………………………………2分又f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝－23，f (π)＝－3.……………………………2分……………………………2分探究提高 解决数学问题的第一步应该是审题，审题“审什么？”首先应该是题目的条件是什么？结论是什么？有没有隐含条件？由条件可以得出什么结论？要得出结论需要什么条件？本题的第二问：求函数的最大值和最小值以及对应的x 的值.不少考生就在这里出现了审题不清的问题：只顾求出了函数的最大值和最小值，没有求出对应的x 的值.根据评分标准：最大值及其对应的x 值都写对得2分，最小值及其对应的x 值都写对再得2分.这块原有4分的分值，若只求对了最大值和最小值，没有求出对应的x 的值，这4分将全部扣掉.【训练3】 (2018²苏北四市调研)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围.解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0. 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12.∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2]. 热点四 三角函数应用题三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.【例4】 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则以Ox 为始边，OB 为终边的角θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2(θ∈[0，＋∞)). (2)点A 在圆上转动的角速度是π30 rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞).到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30 s ，答：缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.探究提高 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决.步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式.【训练4】 一半径为4 m 的水轮(如图)，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计时.(1)将点P 距离水面的高度h (m)表示为时间t (s)的函数； (2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过4 m. 解 (1)建立如图所示的平面直角坐标系.依题意，如图|φ|＝π6，易知OP 在t s 内所转过的角为4³2π60 t ＝2π15t ，故角2π15t －π6是以Ox 为始边，OP 与终边的角，故P 点的纵坐标为4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π15t －π6，故所求函数关系式为h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π15t －π6＋2(t ≥0)；(2)令4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π15t －π6＋2>4，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π15t －π6>12，∴π6＋2k π<2π15t －π6<5π6＋2k π，k ∈Z . ∴2.5＋15k <t <7.5＋15k ，k ∈Z ， ∴时间为(7.5＋15k )－(2.5＋15k )＝5.答：在水轮转动的一圈内，有5 s 的时间点P 距水面的高度超过4 m.一、必做题1.(2018²苏北四市模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则 |2a －b |的最大值与最小值的和为________.解析 由题意可得a ²b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝（2a －b ）2＝4|a |2＋|b |2－4a ²b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0，4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 答案 42.(2018²苏州调研)已知m ＝(cos α，sin α)，n ＝(2，1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若m ²n ＝1，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝________. 解析 因为m ²n ＝2cos α＋sin α＝1，所以sin α＝1－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，整理得5cos 2α－4cos α＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，解得cos α＝45或cos α＝0(舍去)，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝－725.答案 －7253.(2018²南京、盐城模拟)设a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<β<π2是平面上两个向量，若a²b ＝45，且tan β＝43，则tan α＝________.解析 由a²b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝45，且0<α<β<π2，即α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝sin （α－β）cos （α－β）＝－34＝tan α－tan β1＋tan α²tan β，代入tan β＝43，得tan α＝724.答案7244.(2018²南京、盐城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则cos A ＝________.解析 由sin B ＝2sin C 结合正弦定理可得b ＝2c ，又a ＋2c ＝2b ，则a ＝2c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2＋c 2－2c 222c2＝24. 答案245.(2018²南京调研)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法正确的有________(填序号). ①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )； ④(a ⊙b )2＋(a ²b )2＝a 2b 2.解析 ②中，a ⊙b ＝mq －np ＝－(np －mq )＝－b ⊙a ， 故②不正确；①③④逐个代入验证，皆成立，故填①③④. 答案 ①③④6.(2018²海门中学月考)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为________ km.解析 由题图可知，∠ACB ＝120°，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ²BC ²cos∠ACB ＝a 2＋a 2－2²a ²a ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，解得AB ＝3a (km).答案 3a7.(2018²盐城诊断)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________.解析 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形.答案 直角三角形8.(2018²如东中学月考)若函数f (x )＝sin(ωπx －π4)(ω>0)在区间(－1，0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是________.解析 令ωπx －π4＝k π＋π2(k ∈Z )， 则得x ＝4k ＋34ω(k ∈Z )， ∴当k ＝－1时，得y 轴左侧第1条对称轴为－14ω；当k ＝－2时，得y 轴左侧第2条对称轴为－54ω，因此－1<－14ω<0且－1≥－54ω，解得14<ω≤54，故ωmax ＝54. 答案 549.(2018²泰州中学月考)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x .(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若f (x )＝－1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值. 解 (1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12， 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12，最小正周期有为T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 10.(2018²泰州模拟)在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，向量m ＝(cos A ， sin B )，n ＝(cos B ，sin A ).(1)若a cos A ＝b cos B ，求证：m ∥n ；(2)若m ⊥n ，a >b ，求tan A －B 2的值.(1)证明 因为a cos A ＝b cos B ，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以m ∥n .(2)解 因为m ⊥n ，所以cos A cos B ＋sin A sin B ＝0，即cos(A －B )＝0，因为a >b ，所以A >B ，又A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(0，π)，则A －B ＝π2，所以tan A －B 2＝tan π4＝1. 二、选做题11.(2015²江苏卷)设向量a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则∑11k ＝0 (a k ²a k ＋1)的值为________.解析 a k ²a k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6² ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos （k ＋1）π6，sin （k ＋1）π6π＋cos （k ＋1）π6 ＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cos k π6² ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosk π6cos （k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫sink π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin （k ＋1）π6＋ cos k π6cos （k ＋1）π6＝cos π6＋sin 2k π＋π6＋cos k π6cos （k ＋1）π6＝32＋sin 2k π＋π6＋32cos 2 k π6－12cos k π6sin k π6＝32＋sin 2k π＋π6＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos k π3－14sin k π3＝334＋sin 2k π＋π6＋12cos （2k ＋1）π6. 因为sin 2k π＋π6，12cos （2k ＋1）π6的周期皆为6，一个周期的和皆为零， 因此∑11k ＝0 (a k ²a k ＋1)＝334³12＝9 3. 答案 9 312.如图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t (s)后与地面的距离为h (m).(1)求函数h ＝f (t )的关系式；(2)画出函数h ＝f (t )(0≤t ≤12)的大致图象.解 (1)如图，以O 为原点，过点O 的圆的切线为x 轴，建立直角坐标系.设点A 的坐标为(x ，y )，则h ＝y ＋0.5.设∠OO 1A ＝θ，则cos θ＝2－y 2， y ＝－2cos θ＋2. 又θ＝2π12³t ， 即θ＝π6t ，所以y ＝－2cos π6t ＋2， h ＝f (t )＝－2cos π6t ＋2.5(t ≥0). (2)函数h ＝－2cos π6t ＋2.5(0≤t ≤12)的大致图象如下.。