高中数学必修二导学案：第一章第三节柱体锥体台体的表面积

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高中数学 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积精品教案新人教A版必修2

第一课时柱体、锥体、台体的表面积〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕了解柱体、锥体与台体的表面积〔不要求记忆公式〕.〔2〕能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.〔3〕培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.3．情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.〔二〕教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.难点：展开图与空间几何体的转化.〔三〕教学方法学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？学生先思考讨论，然后回答.学生：将正方体沿AA′展开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图那么17AA'=即所求.师：(肯定后)这个题考查的是正方体展开图的应用，这节课，我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积.情境生动，激发热情教师顺势带出主题.A′D′C′BCAB′DA′A探索新知1．空间多面体的展开图与表面积的计算.〔1〕探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.〔2〕棱长为a，各面均为等边三角形S–ABC (图1.3—2)，求它的表面积.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC = a，22223()22aSD SB BD a a=-=-=∴211332224SBCS BC SD a a a=⋅=⨯=.∴四面体S–ABC的表面积223434S a a=⨯=.师：在初中，我们学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？生：相等.师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.师：〔肯定〕棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？……生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.生：由于四面体S–ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.学生分析，教师板书解答过程.让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状.推而广之，培养探索意识会探索新知2．圆柱、圆锥、圆台的表面积〔1〕圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导S圆柱 = 2πr (r + 1)S圆锥 = πr (r + 1)S圆台 = π(r12 + r2 + r1l + rl )〔2〕讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系〔3〕例题分析例2 如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.解：如下图，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积22151520 1.5[()1515]()2222Sππ=⨯+⨯+⨯-⨯≈1000(cm2) = 0.1(m2).涂100个花盆需油漆：0.1×100×100=1000(毫升).答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，那么它们的表面积是多少？师：打出投影片〔教材图和图1.3—4〕生1：圆柱的底面积为2rπ，侧面面积为2rlπ，因此，圆柱的表面积：2222()S r rl r r lπππ=+=+生2：圆锥的底面积为2rπ，侧面积为rlπ，因此，圆锥的表面积：2()S r rl r r lπππ=+=+师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，那么它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧=1(22)()2r r l r r lπππ''+=+所以它的表面积为122()S r r r l rlπ'=+++现在请大家研究这三个表面积公式的关系.学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论.师：下面我们共同解决一个实际问题.〔师放投影片，并读题〕师：此题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表面积.生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.(学生分析、教师板书)让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题.S圆台=π(r12+r2+rl+r′l)S圆柱=2πr(r+l) S圆锥=πr(r+l)r = 0r = 1随堂练习1．练习圆锥的表面积为a cm 2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱〔底面是正六边形，侧面是全等的矩形〕形，上面是圆柱〔尺寸如图，单位：mm 〕形. 电镀这种零件需要用锌，每平方米用锌0.11kg ，问电镀10 000个零件需锌多少千克〔结果精确到0.01kg 〕答案：1． 233a ππm ；2．1.74千克.学生独立完成归纳总结1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系. 学生总结，老师补充、完善作业 1.3 第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力备用例题例1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q 1，Q 2，求直平行六面体的侧面积.[分析]解决此题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.[解析]如下图，设底面边长为a ，侧棱长为l ，两条底面对角线的长分别为c ，d ，即BD = c ，AC = d ，那么12222(1)(2)11()()(3)22c l Qd l Q c d a ⎧⎪⋅=⎪⋅=⎨⎪⎪+=⎩ 由〔1〕得1Q c l =，由〔2〕得2Q d l =，代入〔3〕得22212()()22Q Qa l l+=， ∴2222124Q Q l a +=，∴22122la Q Q =+.∴S 侧 =221242al Q Q =+.例2 一个正三棱柱的三视图如下图，求这个三棱柱的表面积. [解析]由三视图知正三棱柱的高为2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为23mm. 设底面边长为a ，那么3232a =，∴a = 4. ∴正三棱柱的表面积为S = S 侧 + 2S 底 = 3×4×2 + 2×14232⨯⨯2483=+(mm 2).例3 有一根长为10cm ，底面半径是0.5cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，那么铁丝的最短长度为多少厘米？〔精确到0.01cm 〕[解析]如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD .由题意知，BC =10cm ，AB = 20.588ππ⨯⨯=cm ，点A 与点C 就是铁丝的起止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度.∴AC =2210(8)27.05π+≈(cm). 所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.[评析]此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折〔曲〕为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm 和440mm ，高是200mm. 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？[分析] 问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.[解析]如下图，O 、O 1是两底面积的中心，那么OO 1是高，设EE 1是斜高，在直角梯形OO 1E 1E 中，EE 1=221E F EF +=22111()OO EO E O +-图4—3—2∵边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.∴S正棱台侧 = 11()()22c c h n a a h''''+⋅=+⋅= 514(44080)269 2.8102⨯⨯+⨯≈⨯〔mm2〕答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.。

高中数学必修二第一章空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

高中数学必修二第一章空间几何体1.3.11.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识点一多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 知识点二旋转体的表面积思考求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？答求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径. 知识点三体积公式1.柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .2.锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3.台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V 3思考简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？答表面积变大了，体积不变.题型一空间几何体的表面积例1 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)， AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)，即r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ，则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2.∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1).∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2).反思与感悟 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.跟踪训练1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体SABC (即正四面体SABC )，求其表面积. 解由于四面体SABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.因此，四面体SABC 的表面积为S ＝4×34a 2＝3a 2. 题型二空间几何体的体积例2 在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ，且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ，所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是485π. 反思与感悟求几何体体积的常用方法跟踪训练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵11--=，A ABD A A BD V V∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 题型三与三视图有关的表面积、体积问题例3 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( ) A.8π cm 2 B.7π cm 2 C.(5＋3)π cm 2D.6π cm 2(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 (1)B (2)6＋π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π. (2)由三视图可知该几何体是组合体.下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π) m 3.反思与感悟 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.跟踪训练3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.分割转化求体积例4 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.分析本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和，从而简化求解步骤. 解因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ， D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形. 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等，故111122---==.A EBFD A EFB F EBA V V V 又因为1∆EBA S ＝12EA 1·AB ＝14a 2，则1-F EBA V ＝112a 3，所以111122---==A EBFD A EFB F EBA V V V ＝16a 3.解后反思本题首先利用分割的方法，把四棱锥分割为两个全等的三棱锥，然后利用等积转换法，针对三棱锥的几何特点，变换顶点，体积不变，将不容易求体积的三棱锥转化为容易求体积的三棱锥，从而使问题获解.圆柱体积的求解例5 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 分析利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解. 解设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h .如图①所示，当2πr ＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π；如图②所示，当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4；所以，此时V 圆柱＝πr 2h ＝4π.解后反思圆柱的侧面展开图为矩形，但一个矩形对应的圆柱并不惟一.应该对以哪个边为母线进行分类讨论.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π答案 A解析设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr ＝1＋2π.2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π 答案 D解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.3.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π 答案 C解析由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C.4.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________. 答案 12解析设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×2×32×h ＝23，∴h ＝1.∴斜高h ′＝12＋⎝⎛⎭⎫2×322＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.5.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________.答案 3∶4(或4∶3)解析设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，111-A B C ABC V 三棱柱＝S 0h .111-ABC A B C V 三棱台＝73S 0h .设剩余的几何体的体积为V ，则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.2.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.3.在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π 答案 C解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36 D.34 答案 D解析 S 底＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以1B ABC V －三棱锥＝13S 底·h ＝13×34×3＝34. 3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A.3π B.33π C.2π D.9π 答案 A解析设圆锥底面的半径为R ，则由12×2R ×3R ＝3，得R ＝1.所以S 圆锥表＝πRl ＋πR 2＝π×1×2＋π＝3π.4.在一个长方体中，过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，它的体对角线长是214，则这个长方体的体积是( )A.6B.12C.24D.48 答案 D解析设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a ，那么a 2＋(2a )2＋(3a )2＝214.解得a ＝2，长方体的体积为V ＝2×4×6＝48.5.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋3C.21D.18 答案 A解析由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝⎛⎭⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3. 6.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A.54 B.54π C.58 D.58π 答案 A解析设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23 D.1 答案 B解析如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B.二、填空题8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 答案7解析设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 83π解析由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×13π×12×1＋π×12×2＝8π3(m 3).11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 答案 32解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2. ∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V -ABCD . (1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.第11页共11页 13.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝(6)2＋(3)2＝9＝3(cm).故几何体的表面积为S ＝πrl ＋πr 2＋2πr ·AD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π ＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r 2·AD －13πr 2AD＝π×3×6－13×π×3× 6＝26π(cm 3).。

柱体、锥体和台体的表面积的计算

台体的表面积
定义和特点
台体是由两个平行的圆形底面和它们之间的侧面组成的立体。
表面积计算公式
台体的表面积 = π(R + r)l + πR² + πr²，其中 R 是上底圆的半径，r 是下底圆的半径， l 是台体的斜高。
示例
如果台体的上底圆半径为 4 米，下底圆半径为 3 米，斜高为 6 米，则表面积为 191.03 平方米。
使用公式计算表面积的注意事项
1 单位一致
确保所有的尺寸都使用同一种单位（如米、厘米）进行计算和输入。
2 精确度
在计算过程中保持足够的精确度，以避免计算结果的误差。
3 要素考虑
根据不同几何体的表面积计算公式，确保将所有必要的参数（如底面半径、高度、斜高）全部考虑进去。
表面积计算应用举例
柱体、锥体和台体的表面积的计算
欢迎来到本次演讲，我们将深入探讨柱体、锥体和台体的表面积计算方法以及它们的定义和特点。
柱体的表面积
1 定义和特点
柱体是一个横截面为圆形的立体，表面由两个圆和一个侧面组成。
2 表面积计算公式
柱体的表面积 = 2πr² + 2πrh，其中 r 是底面圆的半径，h 是柱体的高度。
3 示例
如果柱体的半径为 3 米，高度为 5 米，则表面积为 94.25 平方米。
锥体的表面积
定义和特点
锥体是一个横截面为圆形且垂直于底面的立体，表面由一个底面圆和一个侧面组成。
表面积计算公式
锥体的表面积 = πr² + πrl，其中 r 是底面圆的半径，l 是锥体的斜高。
示例
如果锥体的底面半径为 4 米，斜高为 5 米，则表面积为 94.97 平方米。

高中数学必修二教案-柱体,锥体,台体的表面积

（r1 为上底半径，r 为下底半径，l 为母线长）
2
课堂教学设计
教学内容
教学环节与活动设计
（3）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面
积公式之间的变化关系。
S圆台（r '2 r2 r 'l rl)
S圆柱 2r2 2rl=2（r r l） r=r’
r’=0
S圆锥 r2 rl=（r r l）
（4）例题分析讲解（P24/例 1）
3、探究旋转体的展开图和表面积
（1）向学生展示圆柱、圆锥和圆台的实物教具：
（2）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构
【老师出示实物教具，并运用多媒体演示它们的展开图】，
并归纳出其表面积的计算公式:
S圆柱 2r2 2rl=2（r r l） S圆锥 r2 rl=（r r l） S圆台（r '2 r2 r 'l rl)
课堂教学设计
备课人课题
授课时间
柱体、锥体、台体的表面积
教学目标
重点难点教
知识与技能
柱体、锥体、台体的表面积的推导与计算，能利用公式求柱体、锥体和台体的表面积
过程与方法
启发引导，充分发挥学生的主体作用
情感态度价值观让学生体验空间几何体的表面积的求解过程与方法
柱体、锥体、台体的表面积的推导与计算。
2、探究多面体的展开图和表面积
（1）向学生展示正六棱柱、正五棱锥和正四棱台的实物教具：
1
课堂教学设计
教教学内容
教学环节与活动设计
学
设
（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面
计图形构成？表面积如何求？
（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。

人教版高中数学全套教案导学案1.3.1柱体,锥体,台体的表面积

备课人授课时间课题柱体、锥体、台体的表面积教学目标知识与技能柱体、锥体、台体的表面积的推导与计算，能利用公式求柱体、锥体和台体的表面积过程与方法启发引导，充分发挥学生的主体作用情感态度价值观让学生体验空间几何体的表面积的求解过程与方法重点柱体、锥体、台体的表面积的推导与计算。

难点台体的表面积公式的推导。

教学设计教学内容教学环节与活动设计1、创设情境（1）提出问题：在过去的学习中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积的求法和它们的展开图，请大家回忆一下，它们的展开图是什么呢？怎样来求它们的表面积？（2）设置疑问：正方体和长方体的表面积可以利用它们的展开图（平面图形）来求面积，那么，柱体，锥体，台体是否也可以利用它们的展开图来求呢？它们的侧面展开图又是什么呢？如何计算它们的表面积？要是让我们来设计一只圆台形铁皮水桶，你能设计出来吗？引入课题。

【老师展示空间几何体教具和示意图】2、探究多面体的展开图和表面积（1）向学生展示正六棱柱、正五棱锥和正四棱台的实物教具：1教学设计（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。

【老师出示实物教具，并运用多媒体演示它们的展开图】（4）例题分析讲解（P24/例1）3、探究旋转体的展开图和表面积（1）向学生展示圆柱、圆锥和圆台的实物教具：（2）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构【老师出示实物教具，并运用多媒体演示它们的展开图】，并归纳出其表面积的计算公式:222=2S r rl r r lπππ=++圆柱（）2=S r rl r r lπππ=++圆锥（）22'')S r r r l rlπ=+++圆台（（r1为上底半径，r为下底半径，l为母线长）2教学设计（3）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。

22'')S r r r l rlπ=+++圆台（222=2S r rl r r lπππ=++圆柱（）2=S r rl r r lπππ=++圆锥（）（4）例题分析讲解（P25/例2）4、巩固深化1、粉碎机的上料斗是正四棱台形(上、下底面是正方形，侧面为全等的等腰梯形)，它的上、下底面边长分别为44cm、8cm，高是20cm，计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.2、要做一个圆台形铁皮桶，上、下底面半径分别为40CM、20 CM，母线与底面的夹角为120°，求计算这只铁桶需要多少CM2铁皮.5、课堂小结（引导学生小结）（1）本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积的求解方法。

高中数学必修二教案-柱体、锥体、台体的表面积与体积

1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。

2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。

3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。

（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。

高三数学教案柱体、椎体、台体的表面积与体积公式推导过程

柱体、椎体、台体的表面积与体积
•侧面积和全面积的定义：
(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的
展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积，
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
柱体、锥体、台体的体积公式：
•多面体的侧面积与体积：
直棱柱的侧面展开图是矩形
棱
柱
棱锥正棱柱的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，
棱台正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，
•旋转体的侧面积和体积：
圆
柱
圆柱的侧面展开图的矩形：
圆
锥
圆锥的侧面展开图是扇形：
圆台的侧面展开图是扇环：圆
台
球
•。

人教版数学高一必修二导学案 1.3空间几何体的表面积与体积

1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【考纲要求】[学习目标]1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法．2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体、柱体和锥体之间的转换关系．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．[目标解读]1．求柱体、锥体、台体的表面积与体积是重点；2．求组合体的表面积与体积是难点．【自主学习】1．多面体与旋转体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是的面积的和，也就是的面积．旋转体圆柱底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝圆锥底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V=(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V= .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V= .特别提醒：柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特征，必要时要展开．【考点突破】要点一柱体、锥体、台体的表面积1.求柱体、锥体、台体的侧面积或表面积时，可直接使用公式．但像台体的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．2．在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算出以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．3．这些公式的推导方法向我们揭示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间概念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题．典型例题1、已知四棱锥S－ABCD中，各侧面为正三角形，底面为正方形，且各棱长均为5，求它的侧面积、表面积．【思路启迪】由题意可知，四棱锥的四个侧面为全等的正三角形，底面为正方形．【解】设E为AB中点，则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×12×AB×SE＝2×5×52－⎝⎛⎭⎫522＝25 3.S表＝S侧＋S底＝253＋25＝25(3＋1)．旋转体圆台上底面面积：S上底＝下底面面积：S下底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝方法指导：求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．反馈训练1、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．3:2B ．2:1C ．4:3D ．5:3 要点二柱体、锥体、台体的体积求几何体的体积首先要明确几何体的形状及相应的体积公式，其次需要计算几何体的底面积和高．当几何体不规则或直接求体积有困难时，可利用转化思想，采用间接方法，如割补法等求其体积，也可借助体积公式和图形的性质转化为其他等体积的几何体，再求体积．典型例题2、已知过三棱台上底面的一边与一条侧棱平行的一个截面，它的两个顶点是下底面两边的中点，求棱台被分成两部分的体积的比．【思路启迪】注意应用棱台和棱柱的体积公式．【解】设棱台上底面△A ′B ′C ′的面积为S ′，棱台的高为h . 由题意可知：△A ′B ′C ′≌△DBE .∵△DBE ∽△ABC ，D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴S △DBE S △ABC ＝14.∴S △ABC ＝4S ′. ∴V 台ABC －A ′B ′C ′＝13h ·(S ′＋S ′·4S ′＋4S ′)＝13h ·7S ′＝73h ·S ′， V 柱DBE －A ′B ′C ′＝S ′·h .∴棱台被分成的两部分体积比为4:3或3:4.方法指导：求几何体的体积要分清是由什么几何体构成，利用相应几何体的体积公式进行求解．反馈训练2、如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．16 要点三三视图与几何体的表面积与体积把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．典型例题3、(2012·江西卷)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4 【思路启迪】先根据三视图复原几何体，再根据几何体的特征与体积公式求其体积．【解析】由三视图可以判断该几何体为六棱柱，直观图如图所示．AB ＝1，AA 1＝1. V ABCDEF －A1B 1C 1D 1E 1F 1＝4×1＝4. 【答案】 D方法指导：根据三视图首先确定几何体的结构特征，再依据三视图中的数据进行相应的计算．反馈训练3、(1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2(2)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3考点巩固1．一个圆锥的全面积是底面积的4倍，则轴截面的面积是底面积的( ) A.152π倍 B.15π倍C.2π倍 D.22π倍2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A 1－BC 1D 的体积为( )A.23B.13C.14D.123．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．805．如图是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点，现在沿三角形GFH 所在的平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的_____ ___．6．已知正三棱锥V－ABC的正视图，俯视图如图所示，其中VA=4，AC=23，求该三棱锥的表面积．7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD 内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．考点巩固-答案1、解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h依题意得πr2＋πrl＝4πr2∴l＝3r，圆锥的高h＝(3r)2－r2＝22r故S 轴＝r ·22r ＝22r 2，S 轴S 底＝22π.答案：D2、解析：三棱锥A 1－BC 1D 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1去掉4个角得到的，其体积V ＝1×1×1－4×13×12×1×1＝13.答案：B3、解析：当俯视图为A 中正方形时，几何体为棱长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.答案：C 4、解析：由该几何体的三视图得出原型为： S 四边形A1B 1C 1D 1＝4×2＝8， S 四边形ABCD ＝4×4＝16，四边形ADD 1A 1与四边形BCC 1B 1为全等的梯形，面积均为：(2＋4)×42＝12，四边形ABB 1A 1与四边形CDD 1C 1均为矩形，其中BB 1＝42＋1＝17，∴面积均为：4×17＝417.∴该几何体的全面积S ＝8＋16＋12×2＋417×2＝48＋817. 答案：C5、解析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于三角形AGF 所在的正方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是直角三角形AGF ，而∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，∴AF ＝AG ＝12a ，∴S △AGF ＝12×12a ×12a ＝18a 2，又AH ＝12a ，∴锯掉一角的体积为V ＝13×12a ×18a 2＝148a 3，∴锯掉的这块的体积是原正方体体积的148.答案：1486、解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4， AB ＝BC ＝AC ＝23，取BC 的中点D ，连接VD ，则 VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13，∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)． 7、解析：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6和8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD .如图所示，AB ＝8，BC ＝6，高VO ＝4. (1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥中侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形．在△VBC 中，BC 边上的高 h 1＝VO 2＋⎝⎛⎭⎫AB 22＝42＋⎝⎛⎭⎫822＝4 2.在△VAB 中，AB 边上的高 h 2＝VO 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22＝42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.所以此几何体的侧面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.8、解：如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －ADcos60°＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a . ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2，圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2，圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2， ∴组合体上底面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh ＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3.V 锥＝13S ′h ＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3.∴V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3.1.3.2球的体积和表面积【考纲要求】[学习目标]1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题． 3．培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力． [目标解读]1．球的表面积与体积公式的应用是重点；2．解决球的组合体及三视图中球的有关问题是难点．【自主学习】1．球的体积公式是V 球 = (R 为球的半径)． 2．球的表面积公式是S 球 = (R 为球的半径)．特别提醒：在球的截面中，经过球心的截面是最大的圆．【考点突破】要点一球的表面积与体积1.球的体积是球体所占空间的大小的度量，设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数即V =43πR 3.2．球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是关于球半径的函数即S =4πR 2. 典型例题1、(1)已知球的直径为6cm ，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．【思路启迪】利用条件确定半径R 代入相关公式可求．【解】 (1)∵直径为6cm ，∴半径R ＝3cm ， ∴表面积S 球＝4πR 2＝36π(cm 2)，体积V 球＝43πR 3＝36π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝64π，∴R 2＝16，即R ＝4， ∴V 球＝43πR 3＝43π×43＝2563π.(3)∵V 球＝43πR 3＝5003π方法指导：已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．反馈训练1、(1)把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为 ( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R(2)若两球表面积之比为4:9，则其体积之比为__ ___．要点二球的切接问题球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体，主要包括“内切”和“外接”等有关的问题，像长方体内接于球，正方体内接于球，正四面体内接于球，球内切于正方体，球内切于正四面体，球内切于圆台等组合体．解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．典型例题2、正三棱锥(三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形的中心)的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积．【思路启迪】本题关键是求出球的半径．类比三角形内切圆半径的求法(即分割法)，求出三棱锥内切球半径．【解】：如图，过侧棱PA 与球心O 作截面PAE ，交侧面PBC 于PE .∵△ABC 为正三角形，易知AE 既是△ABC 底边BC 上的高，又是BC 边上的中线．作正三棱锥的高PD ，则PD 过球心O ，且D 是正△ABC 的中心， ∵AB ＝26，∴DE ＝13AE ＝13·32AB ＝ 2.∴PE ＝12＋(2)2＝ 3.∴S 全＝S 侧＋S 底＝3·12·26·3＋34(26)2＝92＋63，即棱锥的全面积为92＋6 3.以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，球半径为r . 则V 1＋V 2＋V 3＋V 4＝13r ·S 全＝13h ·S △ABC ，∴r ＝S △ABC ·hS 全＝34·(26)2·192＋63＝6－2，∴S 球＝4πr 2＝4π(6－2)2. 方法指导：(1)与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键．(2)球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径．(3)球与旋转体的组合，通常作轴截面解题．反馈训练2、有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．要点三球的截面问题解决球的问题时常常用到球的轴截面，在轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心与圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．典型例题3、已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．【思路启迪】要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的轴截面(过直径的球的平面)．【解】如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，r21＝R2－(x＋1)2且πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π(平方单位)．方法指导：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．反馈训练3、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3 B.8π3 C ．82π D.82π3考点巩固1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍D ．32倍2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4:3B ．3:1C ．3:2D ．9:43．某几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.⎝⎛⎭⎫8＋4π3m 3 B.⎝⎛⎭⎫8＋2π3m 3 C.⎝⎛⎭⎫4＋4π3m 3 D.⎝⎛⎭⎫4＋2π3m 3 4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．5．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为__________．6．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积之比．7．一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少．8．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)考点巩固-答案1、解析：设原来球的半径为r ，变化后的球半径为r ′， ∴4πr ′2＝2·4πr 2，∴r ′＝2r . ∴V ′V ＝43πr ′343πr 3＝(2r )3r3＝2 2. 答案：B2、解析：作轴截面如图，则PO ＝2OD ，∠CPB ＝30°，CB ＝33PC ＝3r ，PB ＝ 23r ，圆锥侧面积S 1＝6πr 2，球的面积S 2＝4πr 2，S 1:S 2＝3:2. 答案：C3、解析：该几何体是一棱长为2的正方体，上面放了一个半径为1的半球，所以其体积为23＋2π3＝8＋2π3(m 3)．答案：B4、解析：据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如上图所示．故该几何体的表面积为S ＝S 圆柱＋S 球＝2π＋6π＋4π＝12π. 答案：12π5、解析：设两圆锥高分别为h 1，h 2，(设h 2<h 1)球半径为R ，圆锥底面半径为r ，如图，S 1S 2＝2R ，AO 1＝r ，且∠S 1AS 2＝90°，AO 1⊥S 2S 1，∴AO 21＝S 1O 1·S 2O 1，即r 2＝h 1h 2，又∵πr 2＝3164πR 2，∴r ＝32R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧h 1h 2＝34R 2h 1＋h 2＝2R∴h 1，h 2分别为32R ，12R ，∴h 2h 1＝13.答案：136、解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h ，图中圆锥的底面半径为r ，高为h ，则V 圆锥＝13πr 2h ，球的半径为r ，所以V 球＝43πr 3，又h ＝2r所以V 圆锥:V 球:V 圆柱＝⎝⎛⎭⎫13πr 2h :⎝⎛⎭⎫43πr 3: (πr 2h ) ＝⎝⎛⎭⎫23πr 3:⎝⎛⎭⎫43πr 3: (2πr 3)＝1:2:3.7、解：设球未取出时高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x .如图所示，∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥容积为V 圆锥＝13πAC 2·PC ＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3.球取出后水面下降到EF ，水的体积为 V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r . 故球取出后水面的高为315r . 8、解：如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝3π2R 2，S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝3π2R 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧＝11π2R 2＋3π2R 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR 2. 章末小结【知识框架】。

6 【平煤高中学案必修二】柱体、锥体、台体的表面积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积学习目标（1）了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图；（2）了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式；（3）了解圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算公式；（4）会求一些简单几何体的表面积．学习过程一、课前准备预习理解教材2425P P -的内容：二、新课导学（一）思考、探究1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积将正方体、长方体的各个面展开到一个平面上，是什么形状？结论：．想一想：下列几何体的侧面展开图是什么形状？直三棱柱正四棱锥正四棱台新知1：棱柱、棱锥、棱台的表面积就是． 2．圆柱、圆锥、圆台的表面积将圆柱、圆锥、圆台沿一条母线展开，得到什么图形？结论：圆柱的侧面展开图是；圆锥的侧面展开图是；圆台的侧面展开图是．新知2：⑴ 设圆柱底面半径为r ，母线长为l ，则圆柱的侧面积为侧S = ，圆柱的全面积全S = ．⑵ 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的侧面积为侧S = ，圆锥的全面积全S = ．⑶设圆台的上、下底面半径分别为r '、r ，母线长为l ，则圆台的侧面积为侧S = ，圆台的全面积全S = （二）典型例题例1. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。

例2. 一个圆台形花盆盆口直径为cm 20，盆底直径为cm 15，底部渗水圆孔直径为cm 5.1，盆壁长cm 15。

为了美化花盆的外观，需要涂油漆。

已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（π取14.3，结果精确到1毫升）？例3. 已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，求圆锥的底面面积.例4. 在长宽高分别是5米，4米，3米的长方体房间里，一只蚂蚁要从长方体的顶点A 沿表面爬行到顶点1C ，怎样爬行路线最短？最短路程是多少?三．总结提升1.特殊几何体的侧面积公式.（1）正n 棱柱底面边长为a ，侧棱长为l ，则正棱柱的侧面积S = . （2）正n 棱锥底面边长为a ，侧棱长为l ，则正棱锥的侧面积S = . （3）正n 棱台底面边长分别为c '、c ，侧棱长为l ，则正棱台的侧面积S = . 四、反馈练习1．正方体的全面积是296()cm ，则正方体的棱长是（） A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm2．圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则母线长是（） A ．2B ．3C ．4D ．53．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（） A ．2倍B ．2倍C ．3倍D ．5倍4．圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）A ．πB ．π2C ．π3D ．π45．在正方体1111D C B A ABCD -中，三棱锥C AB D 11- 的表面积与正方体的表面积的比为（） A ．3:1 B ．2:1C ．2:1D ．2:36. 直棱柱的侧面展开图是什么形状？．如何计算直棱柱的表面积？．7．圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的表面积是．8．正四棱锥P ABCD -的底面边长是2，侧棱长是3，则这个棱锥的表面积是．A 1DCBAD 1C 1B 1BB 1AD CD 1C 1 A 1。

高中数学必修2第一章第三节《空间几何体的表面积与体积》全套教案

空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。

高中数学 1.3柱体、锥体、台体的表面积与体积导学案新人教版必修2-新人教版高一必修2数学学案

柱体、锥体、台体的表面积（导学案）1. 理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积计算公式（不要求记忆）；2. 能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关的实际问题. 一、复习常见平面图形的面积计算公式：S= S= S=S= S= S=S= =a a ar l 0n二、思考：棱柱、棱锥、棱台的表面积想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？四、探究：圆柱、圆锥、圆台的表面积问题：根据圆柱、圆锥、圆台的几何特征，想想它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？o'lrO想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的表面积之间有什么关系吗？五．典型例题例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S ABC ，求它的表面积.例2 如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20㎝,盆底直径为16cm,底部渗水圆孔直径为2cm,盆壁长16cm.（1）求花盆外部的表面积（结果用π表示）；（2）为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升,涂100个这样的花盆需要多少油漆（结果用π表示，不能用计算器）?B C ASB参考公式：课后作业1. 课本27页练习题第1题2.根据圆柱、圆台、圆锥之间的关系，分析棱柱、棱台、棱锥之间的关系。

动手做一做自己动手做几个空间几何体，并与其他同学交流、分享自己的作品。

附加题1.现有一棱长为1的正方体盒子AC ′，一只蚂蚁从A 点出发，经过正方体的各个侧面到达A ′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？cm 16cm20cm16)(22rl l r r r S +'++'=π圆台A ′D ′C B C AB ′ D2.四棱台的上、下底面均是正方形,边长分别是6cm 和10cm,侧面是全等的等腰梯形，高是8cm,求它的表面积?。

高中数学必修二《柱体、锥体、台体的表面积》优秀教学设计

课题Hale Waihona Puke §柱体、锥体、台体的表面积
课型
新授课
学习目标
三维目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体与柱体体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。
自学
1.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？如何算它们的面积？
检测
让学生总结讨论结果。
后教
1.推导圆锥、圆台的表面积公式。
2.例题讲解：
例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者之间的面积关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。
教学重点
柱体、锥体、台体的表面积计算
教学难点
台体表面积公式的推导
课前准备
教案、课件、实物几何体
教学方法
先学后教，学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
例2例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π取3.14，结果精确到1cm）？
练习
当堂训练：【课堂训练】
1、一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.

人教新课标版数学高一A版必修2导学案 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积(第1课时)

第1课时柱体、锥体、台体的表面积1．了解柱体、锥体、台体侧面展开图，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法．2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并了解柱体、锥体和台体表面积之间的关系．3．初步掌握面积在实际生活中的应用．1．柱体的表面积(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是__________，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的________，如图a所示；圆柱的侧面展开图是____，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图b所示．(2)面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝____，表面积S表＝________.表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小．常把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般地，表面积＝侧面积＋底面积．【做一做1】圆柱OO′的底面半径r＝2 cm，母线l＝3 cm，则圆柱OO′的表面积等于______cm2.2．锥体的表面积(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个______拼成的，则侧面积为各个三角形面积的__，如图a所示；圆锥的侧面展开图是____，扇形的半径是圆锥的____，扇形的弧长等于圆锥的________，如图b所示．(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝____，表面积S表＝________.【做一做2】圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于()A．15 B．15π C．24π D．30π3．台体的表面积(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个____拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的__，如图a所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图b所示．(2)面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，则侧面积S侧＝________，表面积S表＝____________.圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系：【做一做3】圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于() A．72 B．42π C．67π D．72π答案：1．(1)平行四边形底面周长矩形(2)2πrl2πr(r＋l)【做一做1】20π2．(1)三角形和扇形母线底面周长(2)πrlπr(l＋r)【做一做2】B3．(1)梯形和(2)π(r＋r′)lπ(r2＋r′2＋rl＋r′l)【做一做3】C面积公式对比剖析：如下表所示．题型一：求几何体的表面积【例1】如图所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)反思：求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体，再通过这些基本的柱、锥、台体的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的．题型二：与三视图有关的面积计算【例2】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()A．72 B．66 C．60 D．30反思：已知三视图求面积的步骤：(1)根据三视图明确几何体的结构特征；(2)明确三视图中各数据所反映的几何体的特征；(3)代入相应的面积公式．题型三：实际应用问题【例3】粉碎机的下料斗是正四棱台形(两个底面均是正方形，侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形)，如图所示，它的两个底面边长分别是80 mm和440 mm，侧棱是300 mm.计算制造这个下料斗所需铁板的面积是多少？反思：解决此类问题首先要分清是求几何体的表面积还是侧面积，其次将实物转化为空间图形，最后转化到平面图形上进行处理，这是常用的方法．答案：【例1】解：正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．【例2】 A【例3】解：如图所示，设四边形ABCD 是该下料斗的一个侧面，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则AE ＝AD 2－DE 2.由题意，CD ＝440 mm ，AB ＝80 mm ，AD ＝BC ＝300 mm ，故DE ＝440－802＝180(mm)．∴AE ＝AD 2－DE 2＝3002－1802＝240(mm)．∴S 梯形ABCD ＝12×(440＋80)×240＝62 400(mm 2)．故四棱台的侧面积为62 400×4＝249 600(mm 2)． ∴制造这个下料斗所需铁板面积为249 600 mm 2.1．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π2．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，表面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝____cm.3．一个几何体的三视图如图所示，若图中圆半径为1，等腰三角形腰长为3，则该几何体的表面积为__________．4．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S-ABCD ，如图所示，求它的表面积．5．牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与一个圆锥的组合体，尺寸如图所示，请你算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m 2)答案：1．B 2.3 3.5π4．解：∵四棱锥S -ABCD 的各棱长均为5，各侧面都是全等的正三角形，设E 为AB 的中点，则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12×5×2＝，S 底＝52＝25，∴S 表面积＝S 侧＋S 底＝25＝1)．5．解：m ，则其侧面积为S 1＝π×52(m 2)．下部分圆柱体的侧面积为S 2＝π×5×1.8＝9π (m 2)．所以搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S ＝S 1＋S 2＝π×529π≈50.03(m 2)，即至少需要约50.03 m 2的篷布．。

《柱体_锥体_台体的表面积与体积》学案

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、知识点（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积= 侧面积+ ______________；（2）圆柱：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆锥：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆台：'r、r分别为上、下底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.（3）柱体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）台体体积公式：________________________；（S’、S分别为上、下底面面积，h为高）二、例题讲解题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面积是______________；体积是______________。

图（1）解题反思：题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示，求这个正三棱柱的表面积与体积图（2）解题反思：题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE∆，BCF∆均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．32B．33C．34D．23EA BDCF侧视图俯视图主视图8题4：圆台上、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为．三、巩固训练（课后作业）1、若圆柱的侧面积展开图是长为6cm ，宽为4cm 的矩形，则该圆柱的体积为____________________2、如图(4)，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为2，E 为11B A 的中点，则三棱锥11D AB E -的体积是____________.图（4）3、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4 的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S4、如图(6)，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为xcm 的内接圆柱。

最新人教版2020高中数学必备二导学案：第一章第三节柱体锥体台体的表面积

第一章第三节柱体锥体台体的表面积三维目标1．了解柱体、锥体、台体的表面积的推导方法；2. 会求柱体、锥体、台体的表面积.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1 Array问题1. 这是长征5号火箭模型，主体高47cm，底部为直径9cm的圆.主体可以近似地看成由哪些几何体组合构成？如果主体表面（加虚线部分，圆柱高40cm，圆锥高7cm）要涂上白色颜料，估计需要涂多少平方厘米的颜料？怎样计算？问题2. 阅读教材第23～25页，思考填出下列表格：底面积：=—侧面积：=底面积：=—侧面积：=BDE上底面积：=下底面积：=侧面积：=—问题3. 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？举例说明. 【学做思2】*1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S –ABC ，求它的表面积.*【变式】已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S -ABC ，过SA 的中点作一个平行于底面的平面，求所得棱台的表面积。

*2.如图，在四边形ABCD 中90,135DAB ADC ∠=∠=，5,2AB CD AD ===,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积。

3．如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)达标检测1.如下左图坐在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为圆柱，3的求圆柱的表面积．2.已知某几何体的三视图如上图，求该几何体的表面积．(单位：cm)3.圆锥底面半径为1，高为22，轴截面为PAB，如上右图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．。

高中数学人教A版必修2导学案设计：1.3.1柱体、柱体、台体的表面积(学生版)

章节1.3.1 课题柱体、锥体、台体的表面积教学目标1.理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积计算公式；2.能运用柱、锥、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.教学重点旋转体的侧面积公式教学难点圆台侧面积公式的推导【复习回顾】1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，原平面图形的面积S原与它直观图的面积S直之间的关系可以用一个公式表示为。

2、若扇形中心角为n o，半径为r，则它的面积S= ，弧长l= ，你能用弧长l和半径r表示扇形的面积公式吗？【新知探究】一、棱柱、棱锥、棱台的表面积1．我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你知道它们的展开图与其表面积有什么关系吗？结论：正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？二、圆柱、圆锥、圆台的表面积3．根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？新知2：（1）设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即.正四棱锥正四棱台正六棱柱（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即.试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？新知3：设圆台的上、下底面半径分别为r'，r，母线长为l，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？【典型例题】例1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S ABC-，求它的表面积.练习1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a，求它的表面积.例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm ,盆底直径为15cm ,底部渗水圆孔直径为1.5cm ,盆壁长15cm .为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14,结果精确到1毫升)?练习2.粉碎机的上料斗是正四棱台形状，它的上、下底面边长分别为440mm 、80mm ，高(上下底面的距离)是200mm , 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.例3. 已知梯形ABCD 中，AD //BC ，90ABC ∠=o ，AD=a ，2BC a =，60DCB ∠=o ,在平面ABCD 内，过C 作l CB ⊥,以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积。

高中数学必修二(人教A版)第一章第5课时柱体、锥体、台体的表面积与体积导学案Word版

第5课时柱体、锥体、台体的表面积与体积【知识要点】知识整理1柱体、锥体、台体的表面积1．多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．2．【即时训练1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．()(3)圆台的高就是相应母线的长．()(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．()知识整理2柱体、锥体与台体的体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝.(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝.(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝.【即时训练2】圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A．15πB．30C．12πD．36π【题型讲练】【例1】一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．[再练一题]1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为()A．81πB．100πC．168πD．169π空间几何体的体积【例2】如图所示，在长方体′的体积与剩余部分的体积之比．[再练一题]2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A-A1BD的高.与三视图有关的表面积和体积探究1(1)请说出该几何体的结构特征；(2)试根据图中数据求该几何体的表面积．探究2 已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？【例3】如图，已知某几何体的三视图如图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．[再练一题]3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【课堂反馈】1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ，则长方体的体积为( )A ．27 cm 3B ．60 cm 3C ．64 cm 3D ．125 cm 32．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π3．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________.4．一个几何体的三视图如图1所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图15．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，求三棱锥D 1-EDF 的体积．6．如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积和体积.【课后练习】(建议用时：30分钟)一、选择题1．圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO ′的侧面积是( )A ．54πB ．8πC ．4πD ．16π2．一个几何体的三视图及其尺寸如图1-3-8(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12πB ．18πC ．24πD ．36π图13．如图2，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1-B 1C 1E 的体积等于( )A ．13B ．512C ．36D ．16图24．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图3所示，该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,85．一个多面体的三视图如图4所示．则该多面体的体积为( )A.233 B ．476C ．6D ．7图3 图4二、填空题6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.7．一个几何体的三视图如图5所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图5三、解答题8．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图所示，AA 1＝3.(1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.[能力提升]10．圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.11．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，若四边形ABCD 绕AD 旋转一周成为几何体．(1)画出该几何体的三视图；(2)求出该几何体的表面积．。

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第一章第三节柱体锥体台体的表面积
三维目标
1．了解柱体、锥体、台体的表面积的推导方法； 2. 会求柱体、锥体、台体的表面积.
________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1
问题1. 这是长征5号火箭模型，主体高47cm ，底部为直径9cm 的圆.主体可以近似地看成由哪些几何体组合构成？
如果主体表面（加虚线部分，圆柱高40cm ，圆锥高7cm ）要涂上白色颜料，估计需要涂多少平方厘米的颜料？怎样计算？
问题2. 阅读教材第23～25页，思考填出下列表格：几何体
图形
侧面展开图
表面积公式
元素意义
圆柱
r
l
O '
O
底面积：=
侧面积：=
表面积： =
— —
圆锥
l
r
O
S
底面积：
=
侧面积：=
— —
C
B
A
D E 表面积： =
圆台
O '
O
r l
r '
上底面积：=
下底面积：
=
侧面积：
=
表面积： =
—
—
问题3. 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？举例说明. 【学做思2】
*1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S –ABC ，求它的表面积.
*【变式】已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S -ABC ，过SA 的中点作一个平行于底面的平面，求所得棱台的表面积。

*2.如图，在四边形ABCD 中90,135DAB ADC ∠=∠=o
o
，
5,2,2AB CD AD ===,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成
几何体的表面积。

3．如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)
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1.如下左图坐在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为圆柱，
3的
求圆柱的表面
积．
2.已知某几何体的三视图如上图，求该几何体的表面积．(单位：cm)
3.圆锥底面半径为1，高为22，轴截面为PAB，如上右图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．。