空间几何体_柱体锥体台体和球的概念

10.1 空间几何体——柱体、锥体、台体和球的概念

【知识网络】

1、棱柱、棱锥、棱台的几何特征，它们的形成特点及平移的概念，简单作图方法。

2、圆柱、圆锥、圆台、球及简单几何体的几何特征，它们的形成特点和画法。

3、简单几何体的形状，善于将复杂的几何体转化为简单的几何体。解决棱台的有关问题时，注意联系棱锥的性质；在画棱柱、棱锥、棱台时，注意做到实虚分明。

4、识别一些复杂几何体的组成情况，注意球与球面，多面体与旋转体的区别。了解处理旋转体的有关问题一般作出轴截面，然后在轴截面中去寻找各元素的关系。 【典型例题】

例1：（1）在棱柱中（ ）

A ．只有两个面平行

B ．所有的棱都平行

C ．所有的面都是平行四边形

D ．两底面平行，且各侧棱也互相平行 答案：D 。解析：由棱柱的概念知。

（2）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为（ ）

A ．4∶9

B ．2∶1

C ．2∶3

D ．2∶5

答案：B 。解析：截得小棱锥与原棱锥的侧棱之比为2：3，故此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为2：1。

（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，4,3==b a ，则以斜边c 所在直线为轴可得旋转体，当用一个平面垂直于斜边去截这个几何体时，所得截面圆的直径的最大值是 （ ）

A 、

512 B 、5

24

C 、5

D 、10 答案：B 。解析：最大截面圆的直径为Rt △ABC 斜边上高的2倍。 （4）填表

（5角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为____________．

答案： m 310。解析：作出圆锥的轴截面： 光源高度30/tan 60h == 。

例2：在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A 点出发沿四面体表面绕一周，再回到A 点，问蚂蚁经过的最短路程是多少？

答案：解：如图⑴三棱锥P —ABC ，沿棱PA 展开得图⑵，蚂蚁经过的最短路程应是A A '，又∵∠APB=∠BPC=∠APC=30°，∴A A '=22。

⑴ ⑵

例3：试画出图形并加以说明，正方体的截面可能是什么图形？若正方体的棱长为1，当截面边数最少时截面的最大面积是多少？

答案：正方体的截面可能是三角形及其内部、四边形及其内部、五边形及其内部、六边形及其内部. 当截面边数最少时截面的最大面积是

2

3

. 例4：如图（1）是一个半径为3，圆心角为120°的扇形，现将它卷成一个圆锥，沿虚线粘好如图（2），求圆锥的底面圆半径。

（1） （2）

答案：由于扇形恰好卷成一个圆锥，扇形的弧长AB 即为圆锥底面的圆周长，设圆锥的底面圆半径为

r

，则=r π2圆弧AB ，在扇形中，由于∠AOB=120°，故圆弧AB 即是半径为3的圆周长的3

1

，∴圆弧AB=ππ2323

1=⨯⨯r 。∴=r π22π，故r =1

A

C

B A A '

B

C

A

A

O

3

120

故所求圆锥的底面圆半径为1。

【课内练习】

1．给出下列命题

（1）多面体是由若干个平面多边形所围成的图形

（2）棱柱、棱锥、棱台是简单多面体（一个几何体表面经过连续变形变为球面的多面体叫简单多面体）

（3）有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 （4）有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台

其中正确命题的个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 答案：B 。 解析：⑴⑵正确。

2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ） A 、圆锥 B 、圆柱 C 、球体 D 、以上都可能 答案：B 。解析：用平行于轴的平面去截圆柱，得到的截面是四边形。

3．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是 （ ） A 、四棱柱 B 、四棱锥 C 、四棱台 D 、五棱柱 答案：A 。解析：多边形平移形成的几何体是棱柱，梯形是四边形。

4．用一张4cm×8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则轴截面的面积为 （接头忽略不计）。 答案：

232

cm π

。解析：以4cm 或8cm 为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为

232

cm π

。

5．四棱台有 个顶点， 个面， 条边。 答案：8；6；12。

6．旋转体中母线上（除与轴相交的点之外）每一个点在绕轴旋转的过程中形成的轨迹（运动的点的集合）都是一个 。

答案：圆。

7．将一个半径为5cm 的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的母线长为 cm 。

答案：5。解析：扇形卷成圆锥的侧面时，圆锥的母线长等于扇形的半径，半圆可看成圆心角为180°的扇形。

8．已知甲命题：棱柱是直棱柱；并给出下列4个乙命题： ①棱柱有一条侧棱与底面垂直；

②棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直； ③棱柱有一个侧面与底面多边形的一条边垂直； ④棱柱有一个侧面是矩形且与底面垂直。 其中乙命题是甲命题的

（1）必要不充分条件的序号是 ； （2）充要条件的序号是 。 （注：把所有满足题意的乙命题的序号都填上） 答案：（1）②；（2）①④。

9． 如图是正方体的表面展开图，A 、B 、C 、D

四点，求在正方体中，∠

ACB 和∠DCA 的度数分别为多少？当正 方体的棱长为2时，△ACD 的面积等于多少？

答案：将正方体的表面展开图还原成正方体如下图所示，由于正方体的各个面均为正方形，∴△ACB 是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形。 故∠ACB=45°，又AC 、CD 、AD 均为全等正方形的对角线，

从而AC=CD=DA ，故∠DCA=60°。

当正方体的棱长为2时，则AC=CD=DA=22， 即△ACD

是以22为边长的正三角形，从而32)22(4

3

2=⋅=

∆ACD S 。 10．如图所示，在直角坐标系中有一直角三角形OAB ，现将该三角形分别绕x 轴、y 轴各旋转一周，得到两个几何体，这两个几何体是同一种类型的几何体吗？

答案：解：不是同一种类型的几何体，如图所示⑴， Rt △OAB 绕y 轴旋转一周得到的几何体仅是一个圆锥， 而它绕x 轴旋转一周得到的几何体是由一个圆柱挖去 一个圆锥而组成，如图⑵所示。

B C

B C

D

x

x

x