空间几何体_柱体锥体台体和球的概念

10.1 空间几何体——柱体、锥体、台体和球的概念【知识网络】1、棱柱、棱锥、棱台的几何特征，它们的形成特点及平移的概念，简单作图方法。

2、圆柱、圆锥、圆台、球及简单几何体的几何特征，它们的形成特点和画法。

3、简单几何体的形状，善于将复杂的几何体转化为简单的几何体。

解决棱台的有关问题时，注意联系棱锥的性质；在画棱柱、棱锥、棱台时，注意做到实虚分明。

4、识别一些复杂几何体的组成情况，注意球与球面，多面体与旋转体的区别。

了解处理旋转体的有关问题一般作出轴截面，然后在轴截面中去寻找各元素的关系。

【典型例题】例1：（1）在棱柱中（ ）A ．只有两个面平行B ．所有的棱都平行C ．所有的面都是平行四边形D ．两底面平行，且各侧棱也互相平行 答案：D 。

解析：由棱柱的概念知。

（2）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为（ ）A ．4∶9B ．2∶1C ．2∶3D ．2∶5答案：B 。

解析：截得小棱锥与原棱锥的侧棱之比为2：3，故此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为2：1。

（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，4,3==b a ，则以斜边c 所在直线为轴可得旋转体，当用一个平面垂直于斜边去截这个几何体时，所得截面圆的直径的最大值是 （ ）A 、512 B 、524C 、5D 、10 答案：B 。

解析：最大截面圆的直径为Rt △ABC 斜边上高的2倍。

（4）填表（5角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为____________．答案： m 310。

解析：作出圆锥的轴截面： 光源高度30/tan 60h == 。

例2：在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A 点出发沿四面体表面绕一周，再回到A 点，问蚂蚁经过的最短路程是多少？答案：解：如图⑴三棱锥P —ABC ，沿棱PA 展开得图⑵，蚂蚁经过的最短路程应是A A '，又∵∠APB=∠BPC=∠APC=30°，∴A A '=22。

⑴ ⑵例3：试画出图形并加以说明，正方体的截面可能是什么图形？若正方体的棱长为1，当截面边数最少时截面的最大面积是多少？答案：正方体的截面可能是三角形及其内部、四边形及其内部、五边形及其内部、六边形及其内部. 当截面边数最少时截面的最大面积是23. 例4：如图（1）是一个半径为3，圆心角为120°的扇形，现将它卷成一个圆锥，沿虚线粘好如图（2），求圆锥的底面圆半径。

（1） （2）答案：由于扇形恰好卷成一个圆锥，扇形的弧长AB 即为圆锥底面的圆周长，设圆锥的底面圆半径为r，则=r π2圆弧AB ，在扇形中，由于∠AOB=120°，故圆弧AB 即是半径为3的圆周长的31，∴圆弧AB=ππ23231=⨯⨯r 。

∴=r π22π，故r =1ACB A A 'BCAAO3120故所求圆锥的底面圆半径为1。

【课内练习】1．给出下列命题（1）多面体是由若干个平面多边形所围成的图形（2）棱柱、棱锥、棱台是简单多面体（一个几何体表面经过连续变形变为球面的多面体叫简单多面体）（3）有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 （4）有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台其中正确命题的个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 答案：B 。

解析：⑴⑵正确。

2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ） A 、圆锥 B 、圆柱 C 、球体 D 、以上都可能 答案：B 。

解析：用平行于轴的平面去截圆柱，得到的截面是四边形。

3．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是 （ ） A 、四棱柱 B 、四棱锥 C 、四棱台 D 、五棱柱 答案：A 。

解析：多边形平移形成的几何体是棱柱，梯形是四边形。

4．用一张4cm×8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则轴截面的面积为 （接头忽略不计）。

答案：232cm π。

解析：以4cm 或8cm 为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为232cm π。

5．四棱台有 个顶点， 个面， 条边。

答案：8；6；12。

6．旋转体中母线上（除与轴相交的点之外）每一个点在绕轴旋转的过程中形成的轨迹（运动的点的集合）都是一个 。

答案：圆。

7．将一个半径为5cm 的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的母线长为 cm 。

答案：5。

解析：扇形卷成圆锥的侧面时，圆锥的母线长等于扇形的半径，半圆可看成圆心角为180°的扇形。

8．已知甲命题：棱柱是直棱柱；并给出下列4个乙命题： ①棱柱有一条侧棱与底面垂直；②棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直； ③棱柱有一个侧面与底面多边形的一条边垂直； ④棱柱有一个侧面是矩形且与底面垂直。

其中乙命题是甲命题的（1）必要不充分条件的序号是 ； （2）充要条件的序号是 。

（注：把所有满足题意的乙命题的序号都填上） 答案：（1）②；（2）①④。

9． 如图是正方体的表面展开图，A 、B 、C 、D四点，求在正方体中，∠ACB 和∠DCA 的度数分别为多少？当正 方体的棱长为2时，△ACD 的面积等于多少？答案：将正方体的表面展开图还原成正方体如下图所示，由于正方体的各个面均为正方形，∴△ACB 是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形。

故∠ACB=45°，又AC 、CD 、AD 均为全等正方形的对角线，从而AC=CD=DA ，故∠DCA=60°。

当正方体的棱长为2时，则AC=CD=DA=22， 即△ACD是以22为边长的正三角形，从而32)22(432=⋅=∆ACD S 。

10．如图所示，在直角坐标系中有一直角三角形OAB ，现将该三角形分别绕x 轴、y 轴各旋转一周，得到两个几何体，这两个几何体是同一种类型的几何体吗？答案：解：不是同一种类型的几何体，如图所示⑴， Rt △OAB 绕y 轴旋转一周得到的几何体仅是一个圆锥， 而它绕x 轴旋转一周得到的几何体是由一个圆柱挖去 一个圆锥而组成，如图⑵所示。

B CB CDxxx⑴ ⑵ 【作业本】A 组1．下列命题正确的是 （ ） A ．棱柱的底面一定是平行四边形 B ．棱锥的底面一定是三角形C ．棱台的底面是两个相似的正方形D 。

棱台的侧棱延长后必交于一点 答案：D 。

解析：棱柱、棱锥、棱台的底面是任意多边形。

2．一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转半周所得的几何体是 （ ） A 、圆柱 B 、圆台 C 、圆锥 D 、以上均不对 答案：B 。

解析：由圆台的形成过程知.3．下列命题中：①空间中与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面。

其中正确命题的个数为 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 答案：D 。

4．已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的直角三角形ABC 且SA=SB=SC=32，62 AB ，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的球面上，则球的表面积是________。

答案：24π。

解析：如图所示，S 在底面ABC 上射影O 是Rt △的外心即AB 的中点，易得OA=OB=OC=OS 球的表面积为24π。

5．将一个形状为长方体的橡皮切三刀，这块橡皮最多被割成 块. 答案：8块。

6．如图所示，已知△ABC 。

（1）如果你认为△ABC 是水平放置的三角形，试以它为底，画一个三棱柱； （2）如果你认为△ABC 是竖直放置的三角形，试以它为底，再画一个三棱柱。

⑴ ⑵7A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中， ∠ABC 的度数是多少？答案：以连排的三个正方形中间的一个为底面，将 平面图还原成正方体如图，由于正方体各个面是边 长相等的正方形，故△ABC 的三边AB 、BC 、AC 分别是三个正方形的对角线。

∴AB=BC=AC ， 故∠ABC=60°。

8．一块扇形铁皮AOB ，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下一扇环ABCD 作圆台的侧面，圆台的下底面比上底面大，并且由剩下的扇形COD 内剪下一个面积最大的圆形铁皮，使它恰好作为圆台的上底面，问OD 应取多长？答案：解：设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，如图所示， ∵扇形OCD 内面积最大的圆是其内切圆⊙O '，E 为 切点，,R E O ='圆弧AB 长为18072602⨯⨯=ππR ， ∴361221121230sin ,12=+=+'='+'===E OF O O O OF OD R ， ∴OD 的长为36cm 。

B 组1．一棱台被平行于底面的平面截成上、下两个棱台，它们的体积分别是y 和x ，则y 和x 的函数图像大致是（ ）答案:C 。

解析：设棱台的体积为V （为定量），则x+y=V ，故选C 。

ABCD1A 1B BC1C 1C AB C2．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是 （ ）A 、10cmB 、cm 25C 、cm 152+πD 、cm 4252+π 答案：D 。

解析：沿EF 将圆柱的母线剪开，并展开侧面，则在侧面展开图中52FG π=，EF=5，。

3．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，则 （ ）A.以下四个图形都是正确的 B.只有（2）（4）是正确的 C.只有（1）（2）（3）是正确的 D.只有（1）（2）是正确的① ② ③ ④答案：D 。

4．如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=2，BB 1=2，∠ABC=90°，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的 表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 。

A 1B 1C 1绕A 1B 1折起，则B 1B 1折面平 面，则A 1B 1C 1绕A 1C 1折起，则5．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为_______. 答案：3π。

解析：将正四面体看作由单位正方体的面对角线所形成，则四面体的外接3π。

6．画一个六面体： （1）使它是一个四棱柱； （2）使它由两个三棱锥组成； （3）使它是五棱锥。

ABC1B 1C FE ⋅⋅1A答案：（1）如图甲是一个四棱柱；（2）如图乙是一个由两个三棱锥组成的几何体；（3）如图丙是一个五棱锥。

甲 乙 丙。

7．如图，AE CD AE AB //,⊥，将五边形ABCDE 绕AE 边所在的直线旋转一周，由此形成一个几何体。