高二数学事件的独立性2
2.2.2事件的相互独立性
P( ABC ) P ( A) P ( B) P (C )
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P(AUB)=1— P(A)P (B)
1 2 2 1 2 3 3
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 14 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 25
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___ 5
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独立性
昌乐及第中学 赵美艳
相互独立的概念
设A、 B为两个事件，若
P( A B) P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立.
即事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响， 反之亦然.
相互独立的性质
（1）事件A与事件B相互独立，则 A与B相互独立， A与B相互独立， A与B相互独立. （2）事件A，B，C两两相互独立，则
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 m+n- mn 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______
P(A+B)=P(A· B)+P(A· B) +P(A· B)=1- P(A· B)
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 13 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____
高二数学人选择性必修件独立性检验
系。
02
社会学领域
研究两个社会现象是否独立， 如研究教育程度与职业选择的
关系。
03
经济学领域
研究两个经济指标是否独立， 如研究通货膨胀率与失业率的
关系。
03
独立性检验方法
卡方检验法
01
02
03
卡方统计量
用于衡量实际观测值与理 论期望值之间的差异，其 值越大，表明差异越显著 。
Spearman等级相关系数
同样用于衡量两个有序分类变量之间的关联程度，与Kendall's tau-b类似，但计算方 法略有不同。
04
数据处理与结果分析
数据收集与整理
数据来源
明确数据的来源，确保数据的真实性 和可靠性。
数据整理
将数据按照一定的格式进行整理，便 于后续的计算和分析。
数据筛选
根据研究目的，筛选与研究问题相关 的数据。
将计算得到的统计量与临界值进 行比较，判断假设是否成立。
意义探讨
根据假设检验的结果，探讨数据背 后的实际意义，如两个变量之间是 否存在关联等。
注意事项
在讨论结果时，需要注意结果的可 靠性、可重复性以及可能存在的误 差来源。
05
实际应用案例解析
医学领域案例：疾病与基因关系研究
01
研究目的
探究某种疾病与特定基因之间 的关联程度。
02
数据收集
收集患者的基因数据和疾病信 息。
03
独立性检验
通过卡方检验等方法，判断疾 病与基因之间是否存在统计学
上的独立性。
04
结果解读
若检验结果拒绝原假设，则认 为疾病与基因之间存在关联， 这为疾病的预防、诊断和治疗
数学高二-选修2素材 3.2独立性检验是如何判断两个事件是否相互独立的
3.2 独立性检验是如何判断两个事件是否相互独立的独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量2χ应该很小.如果由观测数据计算得到的2χ的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理.根据随机变量2χ的含义,可以通过概率式评价该假设不合理的程度,由实际计算的2χ>6.635,说明假设不合理的程度约为99%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99%．当2χ≤3.841时,认为两个分类变量是无关的.对于两事件而言即相互独立.1.两个事件独立的判定例1: 为了研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果列表如下：根据193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？请说明理由．解：提出假设H0：药的效果与给药方式无关系．根据列联表中的数据，得χ2＝2193(58314064)122719895-⨯-⨯⨯⨯⨯≈1.3896＜2.072．当H0成立时，χ2＞1.3896的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．注意：这是一个由列联表来验证的独立性检验问题,其结论是没有关系的假设成立.并且应该注意上述结论是对所有口服药物与注射药物的实验人而言的,绝不要误以为对被跟踪的193个跟踪研究对象成立.例2:调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表．试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.分析：利用表中的数据通过公式计算出2χ统计量,可以用它的取值大小来推断独立性是否成立．解：由公式()841.368892.35732345531826248922<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ 故婴儿的性别与出生时间是相互独立的(也可以说没有充分证据显示婴儿的性别与出生时间有关)．2.两个事件不独立的判定例3:在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效?分析:列出22⨯列联表,利用公式求出2χ与两个临界值3.841与6．635比较大小得适当范围.解：根据题目所给数据得到如下表所示： 秃顶与患心脏病列联表由公式,得:()635.6373.167726651048389451175597214143722>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ所以有99％的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.说明:因为这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论适合住院的病人群体.例4.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人,认为作业不多的有9人,不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人,认为作业不多的有15人,则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？解：2x =059.523272426)981518(502=⨯⨯⨯⨯-⨯， ()024.52>x P =0.025, 有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系.。
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性概率与统计是数学领域中重要的分支之一，它研究的是事物发生的可能性以及事物之间的关联程度。
在概率与统计中，事件独立性是一个重要的概念。
本文将介绍事件独立性的定义、性质以及相关的应用。
一、定义事件独立性是指在一系列随机试验中，某一事件的发生与其他事件的发生无关。
具体地说，对于两个事件A和B，如果事件A发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，或者说事件B的发生与否不会对事件A的发生产生任何影响，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。
二、性质1. 互逆性：如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的补事件和事件B也相互独立。
2. 自反性：任意事件与自身都是相互独立的。
3. 偶然性：事件A和事件B相互独立，并不意味着它们是不可能发生的，它们仍然可以同时发生或者同时不发生。
4. 独立性传递性：如果事件A和事件B相互独立，事件B和事件C 相互独立，那么事件A和事件C也相互独立。
三、应用事件独立性在概率与统计中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 抛硬币：在抛硬币的过程中，每一次的抛硬币都是一个独立事件。
无论前一次抛硬币结果是正面还是反面，对于下一次抛硬币的结果都没有影响，每次抛硬币的概率仍然是50%。
2. 掷骰子：与抛硬币类似，每一次掷骰子的结果都是独立事件。
无论前一次掷骰子的点数是多少，对于下一次掷骰子的结果都没有影响。
3. 抽样调查：在进行抽样调查的时候，每一次的抽样都是独立事件。
例如，在进行市场调研时，每一次的问卷发放都是独立的，一个人接收到问卷并填写与其他人接收到问卷并填写之间没有关联性。
4. 生活中的决策：在日常生活中，我们经常需要根据过去的经验和信息做出决策。
如果我们认为某个事件的发生与其他事件是独立的，我们可以根据概率和统计的知识来进行决策。
总结起来，概率与统计中的事件独立性是一个重要的概念。
它可以帮助我们理解和分析随机事件之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的用途。
独立性检验-高二数学课件(人教B版2019选择性必修第二册)
（1）事件 （2）事件
A B
发生的概率可估计为P( A) 发生的概率可估计为P(B)
a a
c n b
（3）事件 AB 发生的概率可估计为
P(
n AB)
a
n
如果 A 与 B 独立，那么上述 P( AB）与 P( A )P( B ）的估计值
相差不会太大，注意到总数为 n，因此利用后者可以估计出，理论上
非优秀 45 30
总计 55 50
总计
30
75
105
题型二：独立性检验解决实际问题
例5：有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分
以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中随机 抽取1人为优秀的概率为 2 .
7
(2)根据列联表的数据，若按照95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班
既是 A 又是 B 的数据有n P( A )P( B )个，注意到实际的数据为 a
（即n P( AB ）)个，因此
[nP( AB) nP( A)P(B)]2 [na n(a c)(a b)]2
nP( A)P(B)
na c(a b)
不会太大.
类似地，考虑 A 与 B ，A 与 B ，A 与 B ，可知
3
33
合计 3x x 4x 11.20 x 14.65 33.60 3x 43.96
题型二：独立性检验解决实际问题
例4：某年调查某桑场采桑人员和不采桑人员的桑毛虫皮炎发病情 况，结果如表所示，利用列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮 炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系犯错误的概率是多少？
采桑 不采桑 合计
由于12.981>6.635，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，
人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.2.2 事件的相互独立性
2.2.2 事件的相互独立性
知识回顾 1.什么叫互斥事件？ 在一次试验中,不可能同时发生的事件. 2.什么叫对立事件？ 若A∩Β为不可能事件,A∪Β为必然事件,那么称事件A与事件Β互为对立事件.
3.条件概率 一般地,设ΑΒ为两个事件,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率叫条件概 率. 4.条件概率的计算公式:
（2）甲、乙两地都不下雨的概率； 解：P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56 （3）其中至少有一方下雨的概率. 解：P=1-0.56=0.44
2.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次.则甲,乙同时射中同一目标
14 的概率为_______ 15
3.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白).从每袋中任取1球,则至少取到
(2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概
率是
P( A B) P( A B) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) 0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48
想一想 求相互独立事件概率的一般步骤是什么？ （1）确定各事件是不是相互独立
（2）确定各事件是否会同时发生
（3）先求每个事件发生的概率，再求其积
巩固练习
1.在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这 段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都下雨的概率； 解：P=0.2×0.3＝0.06
（3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是:
人教B版高二数学选修 独立性检验(2)-1教案牛老师
教案满招损，谦受益。
《尚书》
大地二中张清泉
【素材积累】
1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。
上帝认为他太能说了，会打扰天堂的幽静，于是旧把他打入了地狱。
刚过了一个星期，阎王旧满头大汗找上门来说：上帝呀，赶紧把他弄走吧!上帝问：怎么回事?
阎王说：地狱的小。
2、机会往往伪装成困难美国名校芝加哥大学的一位教授到访北大时曾提到：芝加哥大学对学生的基本要求是做困难的事。
因为一个人要想有所成旧，旧必须做那些困难的事。
只有做困难的事，才能推动社会发展进步。
【素材积累】
每个人对未来都有所希望和计划，立志是成功的起点，有了壮志和不懈的努力，就能向成功迈进。
1、立志多在少年，但宋朝学家苏洵27岁开始发愤，立志就读，昼夜不息，结果大器晚成，终于成为唐宋八大家之一。
2、我国明代画家王冕，少年放牛时，立志要把荷花佳景惟妙惟肖地画出来。
他不分昼夜地绘画，立志不移，后来成为当时著名的画家。
3、越王勾践被吴国军队打败，忍受奇耻大辱，给吴王夫差当奴仆。
三年后，他被释放回国，立志洗雪国耻。
他卧薪尝胆，发愤图强，终于打败了吴国。
4、有志者事竟成，百二秦关终归楚；苦心人天不负，三千越甲可吞吴。
——蒲松龄。
人教新课标版数学高二-选修2-3课件事件的相互独立性
1 4
，乙去此地的概率为
1 5
，假定两人 2
的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率为__5__.
解析 P＝1－1－141－15＝25.
解析答案
1234
4.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是 0.6，计算： (1)两人都投中的概率； 解 设A表示事件“甲投篮一次并且投中”， B表示事件“乙投篮一次并且投中”， 则AB表示事件“两人各投篮一次并且都投中”. 由题意可知，事件A与事件B相互独立， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36.
解析答案
小结作业 1.相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
判断 一个事件的发生与否对另一个 两个事件不可能同时发生 ，即 方法 事件发生的概率没有影响 AB＝∅
若A与B互斥， 概率 A与B相互独立等价于P(AB) ＝
则 P(A ＋ B) ＝ P(A) ＋ P(B) ， 反 之 公式 P(A)·P(B)
解 记“三个元件T1，T2，T3”正常工作“分别 为事件A1，A2，A3”，
则 P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34， 不发生故障的事件为(A2∪A3)A1， P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1) ＝[1－P( A 2)·P( A 3)]·P(A1)＝1－14×41×12＝3125.
结论
称事件A与事件B相互独立
答案
知识点二 相互独立的性质
条件
A与B是相互独立事件
结论
A与_B__ A与_A__ _A_与_B_
也相互独立
答案
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合作探究
类型一 事件独立性的判断 例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中 各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选 出1名女生”； 解 “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生， 对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响， 所以它们是相互独立事件.
2.2.2事件的相互独立性【公开课教学PPT课件】
皮匠中至少有一人解出的概率与诸
葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:1 P(ABC) 1 0.9握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶
个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概
不可能同时发生的
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响，
B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮 匠抵个诸葛亮”。
那我们从数学中 概率的角度来看，如 何理解这句话呢？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
P(AB) P(A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
人教版高中数学选修2-3《2.2.2事件的相互独立性》
把“从乙坛子里摸出 1个 球，得到白球”叫做事件B
甲
没有影响
乙
事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则
称事件A与事件B相互独立.
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生
的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.
显然事件A“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”与
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生 的概率为：
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积.
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，
那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生
的概率的积，即
P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·… · P（An）
(1)甲同学做错、乙同学做对. (2)甲、乙两同学同时做错. (3)甲、乙两同学中至少有一人做对. (4)甲、乙两同学中至多有一人做对. (5)甲、乙两同学中恰有一人做对.
2.补全下列的表格：
概 率 意 义
相互独立事件同时发生的概率公式： 若A、B是相互独立事件，事件A,B同时发生，将
它记作AB.
(3)解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概
率是
解法2：两人都未击中的概率是
【提升总结】
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时， 要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
探究点2
求相互独立事件同时发生的概率
高二数学独立性检验知识点
高二数学独立性检验知识点独立性检验是高中数学中的重要概念之一，用于判断两个或多个事件是否相互独立。
在数学考试中，独立性检验经常被应用于概率统计等相关题目。
本文将详细介绍高二数学中的独立性检验知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、独立性的定义和特性在进行独立性检验之前，我们首先需要了解独立性的定义和特性。
在概率统计中，两个事件A和B的独立性表示事件A的发生与事件B的发生是互相独立的，即A的发生不影响B的发生，反之亦然。
独立性的特性包括以下几个方面：1. 互斥性：如果A和B互斥（即A和B不能同时发生），则A和B是相互独立的。
2. 互不影响性：如果A和B是相互独立的，那么A和B的补事件也是相互独立的。
即P(A) = 1 - P(A')，P(B) = 1 - P(B')。
3. 乘法法则：如果A和B是相互独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
二、独立性检验方法在实际应用中，我们需要通过数据分析或实验来判断两个事件是否独立。
针对不同情况，有不同的独立性检验方法。
1. 经验法：当数据较少或不能进行大样本实验时，我们可以使用经验法来判断独立性。
经验法主要是通过观察、比较和思考来判断两个事件是否独立。
2. 理论法：当数据比较充足并且满足一定的条件时，我们可以使用理论法来进行独立性检验。
理论法主要是基于概率计算和统计推断来判断独立性。
三、常见的独立性检验方法在高二数学中，常见的独立性检验方法包括以下几种：1. 卡方检验：卡方检验是一种针对频数资料的检验方法，用于检验两个事件是否独立。
通过计算观察频数和期望频数之间的差异来判断独立性。
2. 相关系数检验：相关系数检验可以用于判断两个事件之间是否存在线性相关性。
当两个事件呈现出线性相关性时，它们往往是不独立的。
3. 二项分布检验：二项分布检验可以用于判断两个事件的独立性。
当事件满足二项分布的条件时，可以通过计算观察值与理论值之间的差异来判断独立性。
高二数学 事件的相互独立性
高二数学事件的相互独立性1．教学目标1.1地位、作用《事件的相互独立性》是高中数学选修2-3第二章的内容,这节课是在学生学习了排列、组合、等可能性事件概率、互斥事件概率，条件概率的基础上进行的.通过本节学习不仅要掌握相互独立事件的定义及其同时发生的概率乘法公式和公式的应用,为后继学习独立重复试验等概率知识以及今后学习相关知识奠定良好基础, 而且更重要的是让学生真正意识到集体的力量大于个人的力量,虚心求教的必要性,养成谦虚求教的良好治学态度,适时地对学生进行德育教育.1.2 学情分析➢认知分析：现在是高二的第二学期，学生已有一定的数学分析能力，为此教学应从设疑入手，引导其探索，提出解决问题的方法，重在进一步培养其分析问题、解决问题的能力和创新意识。
➢能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.➢情感分析：多数学生对数学学习有兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流方面，有待加强.综上所述,确定本节课的教学目标如下：➢知识目标：理解相互独立事件的意义,掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式,并能应用该公式计算一些独立事件同时发生的概率,进一步理解偶然性与必然性之间的辩证关系。
➢能力目标：培养学生的动手能力、探究性学习的能力、创新意识和实践能力,发展学生“用数学”的意识和能力.➢情感目标：培养学生关注人文、虚心求教的情感,帮助学生体验数学学习活动中的发现与快乐,激发他们的学习兴趣.2．重点、难点：教学重点：相互独立事件的意义和相互独立事件同时发生的概率公式.教学难点：对事件独立性的判定，以及能正确地将复杂的概率问题分解转化为几类基本的概率模型.3.教学方法与教学手段教学方法：启发式教学为主；讲授为辅。
教学手段：多媒体辅助教学。
4．教学过程（1）创设情境,让学生的思维“动”起来[问题] 从“三个臭皮匠,顶上一个诸葛亮”这句古话中你能得到什么启发？从数学的角度,你能做出解释吗？给出引例：诸葛亮vs臭皮匠（略）（这一环节的设计意图是：课堂教学刚开始时如果能引起学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，就会形成强大的内驱力，可以很快促使学生积极思维，迅速拉近教师和学生的距离。
2.2.2事件的相互独立性
辨一辨
设P( A) 0.4, P( A B) 0.7, 则 (1)当A, B互斥时, 求P( B)的值. (2)当A, B互为相互独立事件时, 求P( B)的值.
(2)A不发生且B不发生且C不发生
P( A B C )
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系 ① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
例3：甲,乙,丙三人分别独立解一道题,甲做对 的概率是1/2,三人都做对的概率是1/24,三人全 做错的概率是1/4.
(1)分别求乙,丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲,乙,丙三人中恰有一人做对这道题的概 率.
练习：一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。由 多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。今 设所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，且各元件能否正常工作 是互相独立的。试求各系统的可靠性。
B表示事件“最后一名同学中奖”.
(2)事件A的发生不会影响事件B发生的概率。 P( B | A) P( B) ∵ P( AB) P( A) P( B | A)
P( AB) P( A) P( B)
设A，B为两个事件，如果 P( AB) P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立。
(1)
1 (3) 1
1
2
(2)
1 2
P1=r2
2
(4)
P2=1－(1－r)2
1 1 2 2
2
P3=1－(1－r2)2
P4=[1－(1－r)2]2
例4盒中有大小相同的球10个，其中标号为1的球有
高二数学独立性检验2
P(Ⅹ2≥x0)
0.50 0.40 0.25 0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
因当H0成立时，χ2≥10.828的概率为0.001，故有99.9%的把握 认为，两种药物的疗效有差异。
课堂练习： 书 P 9
1 ， 2 ，3
课堂作业： 书 P 11
1，2
； / 赢方国际 ；
松咯壹口气/心想谭妙彤敢如此说/那应该存在绝对の把握/|那壹方上官家族也不敢太过靠近/所以人烟最稀少/对方想要找到咱们存在难度/|谭妙彤说话の同时/带着马开改变方向/向着壹方快步而跑/马开和叶静云紧追而上/三人快步而跑/在三人离开の同时/上官敏达已经调动咯方圆の众多修 行者/壹群人拿着马开の画像/向着四面八方涌去/告知各方阻杀马开/第两百壹十六部分古魇禁地外第两百壹十六部分上官世家在这壹方の影响力相信巨大の/上官敏达下咯追杀令/这四周都为此而震动起来/铺天盖地の搜寻马开/但让它们疑惑の相信/并没存在发现马开の踪迹/上官敏达为此暴 怒/更相信派遣众多修行者四处找寻马开/大存在挖地三尺也要把马开找出来の意思/谭妙彤带路/正如谭妙彤说の那样/这条路人烟稀少/极少碰到人/壹路上马开也没存在碰到什么麻烦/偶尔存在找寻の修行者碰到马开/都被马开信手解决咯/|再往前就特别靠近古魇禁地咯/恁们壹定要小心壹些/ 跟着咱不要乱跑/要不然/步进其里本人都不知道/要相信正好碰到古魇禁地扩散の阵法/那就真の麻烦咯/|谭妙彤提醒马开和叶静云/|古魇禁
2.3.2独立性-事件的独立性
三．例题讲解
二人轮流进行射击， 例 5．A,B 二人轮流进行射击，A 先 B 后，相 ． 看做一轮射击， 邻“A 先 B 后”看做一轮射击，射击进行到 有人击中目标为止，A 击中靶的概率为 0.3， 有人击中目标为止， ， B 击中靶的概率为 0.4，试求在前 5 轮 A 先击 ， 中靶的概率. 中靶的概率
三．例题讲解
例 6．某人向某个目标射击，直至击中 ．某人向某个目标射击， 为止， 为止，每次射击击中目标的概率为 1/3， ， 试分别求在第五次和前五次可击中目标的 概率. 概率
三．例题讲解
三部机床独立工作， 例 7．A,B,C 三部机床独立工作，由一个工人 ． 照管，且不能同时照管两部和两部以上机床， 照管，且不能同时照管两部和两部以上机床， 某段时间内， 它们不需要工人照管的概率分别 某段时间内， 为 0.9、0.8 和 0.85，求在这段时间内： 、 ，求在这段时间内： （1） ） （2） ） （3） ） 三部机床都不需要工人照管的概率； 三部机床都不需要工人照管的概率 有机床需要工人照管的概率； 有机床需要工人照管的概率 至少有两部机床需要人照管， 至少有两部机床需要人照管，而一人 根本照管不过来而造成停工的概率. 根本照管不过来而造成停工的概率
Y X 图1 Y Z X 图2 Z
变式.若 变式 若 X,Y,Z 按图 2 的方式连接成一个系统 M。当元 。 中至少有一个正常工作 系 工作时 件 X,正常工作和正常工作。 统正常工作。求系统正常工作的概率 P.
事件的独立性(第2课时)(课件)高二数学课件(沪教版2020必修第三册)
4、甲、乙两人各掷一个骰子，观察朝上的面的点数， 记事件A：甲得到的点数为2，B：乙得到的点数为奇数；
5、甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率
（1）求3人同时被选中的概率； （2）求3人中至少有1人被选中的概率；
“ THANKS ”
（(填序号）；
【答案】①②③ 【解析】根据事件相互独立性的定义判断，只要P(A∩B)＝P(A)P(B)，P(A∩C)＝ P(A)P(C)，P(B∩C)＝P(B)P(C)成立即可； 利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5， P(A∩B)＝0.25，P(A∩C)＝0.25，P(B∩C)＝0.25； 可以验证P(A∩B)＝P(A)P(B)，P(A∩C)＝P(A)P(C)，P(B∩C)＝P(B)P(C)． 所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件 A与C相互独立；
课本练习
１． 掷黑 、 白两颗骰子 ． （ １ ） 验证事件 “ 两颗骰子的点数和为 ７ ” 与事件 “ 白色骰子的点 数是 １ ” 是独立的 ； （ ２ ） 验证事件 “ 两颗骰子的点数和为 ７ ” 与事件 “ 两颗骰子中至 少有一颗的点数是 １ ” 不是独立的 ． ２． 甲 、 乙两人的罚球命中率分别是 p 与 q ． 两人各投篮一次 ， 求 ： （ １ ） 都投中的概率 ； （ ２ ） 都没投中的概率 ； （ ３ ） 至少一人投中的概率 ； （ ４ ） 至多一人投中的概率 ． ３． 把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜 ， 问 ： 在比分是 ２∶１ 的 情况下 ， 怎么分奖金公平？
【答案】(1－a)(1－b)； 【解析】由题意可知，该产品为正品是第一道工序和第二道工 序都为正品， 故该产品为正品的概率为(1－a)(1－b)；
选修2-3 第二章 2.2.2 事件的相互独立性
2.2.2 事件的相互独立性
刷基础
题型3 相互独立事件的应用
9．[福建厦门双十中学2018高二月考]学校体育节的乒乓球决赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，
小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是
1 2
，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是( C
)
解析
2.2.2 事件的相互独立性
刷基础
2.2.2 事件的相互独立性
刷基础
题型2 求相互独立事件同时发生的概率
4．[江西上饶2018高三模拟]某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过
前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为( D )
A．0.48
B．0.4
刷易错
易错警示
解此类问题首先要判断事件的相互独立性，然后利用公式P(AB)＝P(A)·P(B)求解；若事件A与B相 互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立，在条件不变的前提下，利用它们的相互独立性求不 同类型的概率．
2.2.2 事件的相互独立性
刷易错
易错点 独立性条件的改变理解易错
11．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 (1)求2个人都译出密码的概率； (2)2个人都译不出密码的概率； (3)至多1个人译出密码的概率； (4)至少1个人译出密码的概率．
和1 . 4
解
2.2.2 事件的相互独立性
解析
2.2.2 事件的相互独立性
刷基础
题型2 求相互独立事件同时发生的概率
6．[四川成都外国语学校2019高三月考]体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投
2.2.2事件的相互独立性(二)
Ja在这段时间内 闭合” 在这段时间内， A ：“Ja在这段时间内，闭合” Jc Jb在这段时间内 闭合” 在这段时间内， B ：“Jb在这段时间内，闭合” Jc在这段时间内 闭合” 在这段时间内， C ：“ Jc在这段时间内，闭合”。
变题：世纪金榜P37例3 变题：
1.射击时 甲射 次可射中 次;乙射 次可射中 次. 射击时, 甲射10次可射中 次可射中8次 乙射 次可射中7次 乙射10次可射中 射击时 14 乙同时射中同一目标的概率为 则甲,乙同时射中同一目标的概率为 乙同时射中同一目标的概率为_______ 25 2.甲袋中有 球 (3红,2白), 乙袋中有 球 (2红,1白). 甲袋中有5球 红 白 乙袋中有3球 红 白 甲袋中有 3 从每袋中任取1球 则至少取到1个白球的概率是___ 个白球的概率是 从每袋中任取 球,则至少取到 个白球的概率是 5 3.甲,乙二人单独解一道题 若甲 乙能解对该题的概率 甲 乙二人单独解一道题 若甲,乙能解对该题的概率 乙二人单独解一道题, 分别是m, 此题被解对的概率是 的概率是_______ 分别是 n . 则此题被解对的概率是 m+n- mn
每次1件则两次都抽出次品的概率是 ③从中抽两次,每次 件则两次都抽出次品的概率是 从中抽两次 每次 件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取 放回抽取) 放回抽取 C41·C41 C1001·C1001
例4某大学毕业生参加某单位的应聘考试，考试依 某大学毕业生参加某单位的应聘考试，
存分为笔试、面试、实际操作三轮进行， 存分为笔试、面试、实际操作三轮进行，规定只有 通过前一轮才能进入下一轮考试，否则被淘汰。三 通过前一轮才能进入下一轮考试，否则被淘汰。 轮考试都通过才能正式录用。设该大学生同行一、 轮考试都通过才能正式录用。设该大学生同行一、 三轮考试的概率分别是2/3,3/4,4/5,且各轮考试 二、三轮考试的概率分别是 且各轮考试 通过与否相互独立。 通过与否相互独立。 （1）求该大学生进入第三轮考试的概率 ） （2）设该大学生在应聘考试中考试的轮数为ξ ，求 ξ ） 的分布列。 的分布列。
人教新课标版数学高二-选修2-3训练 事件的相互独立性
数学·选修2－3(人教A 版)2．2 二项分布及其应用 2．2.2 事件的相互独立性一、选择题1．若事件A ，B 相互独立，且P (A )＝P (B )＝35，则P (AB )＝( )A.325B.425C.925D.35解析：因为事件A ，B 相互独立，故P (AB )＝35×35＝925.故选C.答案：C2．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是( )A ．2个球都是白球B ．2个球都不是白球C ．2个球不都是白球随机变量及其分布D ．2个球中恰好有一个白球解析：两个球都是白球的概率为16，故其对立事件2个球不都是白球的概率为1－16＝56.答案：C3．投掷一枚质地均匀硬币和一颗质地均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析：用间接法考虑，事件A ，B 一个都不发生的概率为P (A B )＝P (A )P (B )＝12×56＝512.则所求概率1－P (A B )＝712，故C 正确． 答案：C4．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A 型螺栓的概率为( )A.120B.1516C.35D.1920解析：设“从甲盒中取一螺杆为A 型螺杆”为事件A ，“从乙盒中取一螺母为A 型螺母”为事件B ，则A 与B 相互独立P (A )＝160200＝45，P (B )＝180240＝34，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A 型螺栓的概率为P ＝P (AB )＝P (A )P (B )＝45×34＝35.故选C.答案：C5．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23解析：由题意，可得，⎩⎪⎨⎪⎧P (A －)·P (B －)＝19，P (A )P (B －)＝P (A －)P (B )所以⎩⎪⎨⎪⎧[1－P (A )]·[1－P (B )]＝19，P (A )[1－P (B )]＝[1－P (A )]P (B )，所以P (A )＝P (B )＝23.故选D.答案：D二、填空题6．(2013·揭阳高二检测)已知A ，B ，C 为三个彼此互相独立的事件，若事件A 发生的概率为12，事件B 发生的概率为23，事件C 发生的概率为34，则发生其中两个事件的概率为__________．解析：由题意可知，所求事件的概率P ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＋12×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23×34＝1124. 答案： 11247．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为______(用数字作答)．解析：分情况讨论：若共有3人被治愈，则 P 1＝C 340.93×(1－0.9)＝0.291 6；若共有4人被治愈，则P 2＝0.94＝0.656 1.故至少有3人被治愈的概率为P ＝P 1＋P 2＝0.947 7.8．中国古代有田忌赛马的故事，若甲乙两队分别有上，中，下三等马，但甲队实力明显较弱，但若以甲队的下等马对乙队的上等马，甲赢的概率为0.1，以甲队的中等马对乙队的下等马，甲赢的概率为0.8，以甲队的中等马对乙队的下等马，甲赢的概率为0.7，若三局两胜制，则甲赢的概率是________________________________________________________________________．解析：甲赢有三种情况：一、二场赢，第三场输；一、三场赢，第二场输；二、三场赢，第一场输，概率分别是0.1×0.8×0.3,0.1×0.2×0.7,0.9×0.8×0.7，相加得甲赢的概率为0.542.答案：0.542三、解答题9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率．解析：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，所以灯不亮的概率为P ＝P (A B )[1－P (CD )] ＝P (A )P (B )[1－P (CD )] ＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316. 所以灯亮的概率为1－316＝1316.10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 4950，求p的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列．解析： (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 P (C )＝1－110p ＝4950 ，解得p ＝15.(2)由题意，P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎪⎫1102⎝⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫110⎝⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1100⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量ξ的概率分布列为：。
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通常，炸圆子都在腊月二十八进行。中饭过后，父亲开始分肉，剔下的骨头的放一边，可以熬汤和红烧。余下的肉按肥瘦一定的比例切成薄片，葱姜剁碎，两者混在一起，剁肉工作才正式开始，只 见两把菜刀在父亲手里上下翻飞，叮咚作响……好似在谱一首过年的欢乐曲，我们在大屋里听得十分入耳，心也随之一起跳动，不时地往厨房里张望着，热切地等待着。肉剁好后，父亲将肉糜与煮熟的 糯米放在一起搅拌，搓成球状，就可以上油锅炸了。于是，“滋啦”的声响伴着油香，开始在小厨房里弥漫。这时，幼小的我们，会不自觉地溜到父母的身边，抄起刚出锅冒着热气的肉圆，忙不迭地往 嘴里送，母亲连声说：“慢点，慢点，不要烫着，小心把油溅到衣服上。”快乐与幸福在一片热气之中迅速荡漾开来。集结号游戏中心
父亲练有一手好毛笔字，不仅自家的门对子要写，周围邻居家的门对子也要帮着写。通常，接到别家的邀请，父亲会带上笔和墨，随来客一起出门。我那时小，扯着父亲的衣角，闹着想跟去，父亲 的脸顿时沉了下来，严厉责斥我留在家里。这时，母亲会过来拉住我，说大人去干重要的事，不要跟在后面的。我似懂非懂地点了点头， 大点才知道，跟在父亲后面，就是讨要好处的意思。这点，自然是父亲不能允许的了。我们家的门对子一般在除夕的上午写，父亲研好墨，在大方桌上铺开红纸，用小刀把红纸裁出几份，长的自然是贴 大门上的，小的贴在侧门，连鸡笼都留有一份。红纸得先叠出方格印子，保证上下字之间不走斜。然后再开始书写，父亲的字很好，正楷和行书都行，印象最深的一副对子：“忠孝传家久，诗书继世 长。”常常是贴在卧室门上的。父亲是合肥人，因家庭成分问题，大学毕业后，分配备受影响。所以每年春节前都要回合肥看奶奶，有时为了省下路费，就千方百计找便车捎上一趟，记得小时候，军车 和医护车都坐过。时光如梭，那副对子散发的墨香，长久地定格在我的记忆里，可以穿越历史的迷雾，愈久弥香。