1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的
立的条件是 a=b=c.
2.不等式的变形及其应用:
(1)a+b+c≥33 ������������������,当三个正数的积为定值时,它们的和有最小值;
(2)abc≤
������+������+������ 3
3
,当三个正数的和为定值时,它们的积有最大值.
做一做1 若正数a1,a2,a3满足a1a2a3=8,则有( )
≤
2������������������2������+������������������2������+������������������2������ 3
A.a1+a2+a3≥2
B.a1+a2+a3≥6
C.a1+a2+a3≥6 2
D.a1+a2+a3≥2 2
解析：由三个正数的算术-几何平均不等式可得������1
+������2+������3 3
≥
3 ������1������2������3 = 3 8=2(当且仅当 a1=a2=a3=2 时,等号成立),于是
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：(1)因为 0<x<3,所以 3-x>0.
于是
y=x2(3-x)=4·���2���
·���2���·(3-x)≤4·
���2���+���2���+3-������ 3
3
=4,
当且仅当������
2
=
���2���=3-x,即
x=2
时,函数
y
取得最大值
4.
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[悟一法]
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
2 － 3
.
2 － 3
② .
2 1 1 12 故 a2＋b2＋c2＋(a＋b＋ c) ≥3(abc) 3 ＋9(abc)
又 3(abc) ＋9(abc)
2 3
2 － 3
≥2 27＝6 3， ③
所以原不等式成立．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当 3(abc)
2 3
＝9(abc)
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
13 求证：abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4 证明：∵0<a<1，∴1－a>0.
a＋1－a 2 1 ∴0<a(1－a)≤[ ]＝ . 2 4 1 1 同理 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 将以上三个不等式相乘得 13 abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4
2
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
新人教A版高二数学选修4-5第一章不等式 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式_1
∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12. ∴3 3 3x·4y·5z≤3x＋4y＋5z＝12.
∴(xyz)max＝1165. 答案：1165
当且仅当 x＝43，y＝1，z＝45时等号成立．
课时作业
人教A版数学·选修4-5
复习成功的关键在于
返回导航 上页
下页
01 抓思维训练
02 勤于方法总结
03 善于提炼观点
2．已知 x，y∈R＋且 x2y＝4，试求 x＋y 的最小值及达到最小值时 x、y 的值．
解析：∵x，y∈R＋且 x2y＝4，∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3 3 14x2y＝3 3 14×4＝3， 当且仅当x2＝x2＝y 时等号成立． 又∵x2y＝4. ∴当 x＝2，y＝1 时，x＋y 取最小值 3.
1．已知 a，b，c∈R＋，证明：a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27.
证明：因为 a，b，c∈R＋，所以 a＋b＋c≥33 abc>0.
所以(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2. 又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0，
所以a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥3 3
13 a2b2c2·9
探究三 平均不等式的实际应用 [例 3] 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏 电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得 太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一 点处的亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦 成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝ksirn2 θ， 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能 使桌子边缘处最亮？
因构造定值时拆分不合理致误
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
B．3
C.523 5
D．4
3 2
解析：y＝3x＋
1 2x2
＝
3x 2
＋
3x 2
＋
1 2x2
≥3
3
33 1 2x·2x·2x2
＝
3 3
98＝323 9.
当且仅当32x＝21x2，即x＝ 3 13时，等号成立． 答案：A
3．设x＞0，则y＝x＋x42的最小值为(
)
ห้องสมุดไป่ตู้
A．2
B．2 2
C．3 2
D．3
解析：y＝x＋x42＝x2＋x2＋x42≥3· 3 x2·x2·x42＝3， 当且仅当x2＝x42时取“＝”号． 答案：D
(3)如果a，b，c∈R＋，那么abc≤
a＋b＋c 3
3
，当且
仅当a＝b＝c时，等号成立．( )
(4)如果a1，a2，a3，…，an都是实数．那么a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理3，只有在a，b，c都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如a＝1，b＝－1，c＝－3，
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[学习目标] 1.探索并了解三个正数的算术—几何平 均不等式的证明过程，会用三项的平均值不等式证明一 些简单问题(难点)． 2.能够利用三项的平均值不等式求 一些特定函数的最值(重点)． 3.会建立函数不等式模 型，会解决简单的应用问题(重点)．
解：设切去的正方形的边长为x，无盖盒子的容积为V， 则V＝(a－2x)2x＝14(a－2x)(a－2x)·4x≤14 （a－2x）＋（3 a－2x）＋4x3＝22a73， 当因且此仅V取当最a－大2值x＝22a473x，，即x＝a6时，等号成立． 故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的16 时，盒子的容积最大．
3.三个正数的算术-几何平均不等式
桦甸市第四中学 新课讲解
定理3 若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc, 3
当且仅当a b c时，等号成立。
表述:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
桦甸市第四中学 新课讲解
推广 如果 a1, a2 , , an R , n 1且n N* 则：
解：设剪去的小正方形的边长为x
x
则其容积为 : V x(a 2 x)2 ,(0 x a ) 2
V 1 4x (a 2x)(a 2x) 4
1 [4x (a 2x) (a 2x)]3 2a3
4
3
27
当且仅当4 x
a
2x,
x
a 6
时,Vmax
22
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
当 x 2
1
x,即x
2 时, 3
ymax
4. 27
构造三个数相加等于定值.
桦甸市第四中学
桦甸市第四中学
例３将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四个
全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最 大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?
所以
（x+y+z）3 27
xyz，
即（x+y+z）3 27xyz
当且仅当x y z时等号成立
桦甸市第四中学
例２ 当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
解 0 x 1, 1 x 0,
:
y x2(1 x) 4 x x (1 x)
高中数学第一1.1.3三个正数的算术几何平均不等式自我小测新人教选修
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式自我小测1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝－－－，则必有( )． A ．0≤M ＜18 B ．18≤M ＜1 C ．1≤M ＜8 D ．M ≥82．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )．A ．B ．C ．12D ．3．设π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为________． 4．设x ＞0，则22x x＋≥__________.5．已知0＜x ＜4.5，则x 2(9－2x )的最大值是__________．6．已知圆柱的体积V 是定值，问圆柱的底半径r 和高h 各是多少时，圆柱的全面积S 最小？并求S 的最小值．7．若a ＞b ＞0，求1a b a b ()＋－的最小值．8．甲、乙两人同时沿同一路线从A 地出发走向B 地，甲先用13的时间以速度p 行走，再用13的时间以速度q 行走，最后用13的时间以速度r 行走；乙在前13的路程用速度p 行走，中间13的路程用速度q 行走，最后13的路程用速度r 行走(p ，q ，r 均不相等)，问甲、乙两人谁先到达B 地，为什么？9.已知a ，b ，c 均为正数，证明2222111a b c a b c ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋a ，b ，c为何值时，等号成立．参考答案1. 答案：D 解析：111a b c a b c a b c M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＋＋＋＋＋＋＝－－－8b c a c a b abc ()()()≥＋＋＋＝，当且仅当13a b c ＝＝＝时等号成立． 2. 答案：C解析：∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥12.当且仅当2x ＝22y ＝23z，即x ＝2，y ＝1，23z ＝时，等号成立．3. 解析：∵y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤3222sin sin 2cos 8648832727x x x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＋＋＝＝， ∴26427y ≤，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x max y .4. 答案：3解析：∵x ＞0，∴222113x x xx x≥＋＝＋＋. 当且仅当21x x＝，即x ＝1时等号成立．∴223x x≥＋. 5. 答案：27解析：由题可知x 2(9－2x )＝x ·x ·(9－2x )． 因为0＜x ＜4.5，所以9－2x ＞0.所以923x x x ()≥＋＋－3≤，即x 2(9－2x )≤27.当且仅当x ＝9－2x ，即x ＝3时，等号成立． 因此，当x ＝3时，x 2(9－2x )有最大值是27. 6. 解：πr 2h ＝V ，S ＝2πr 2＋2πrh2112π2π22r rh rh ⎛⎫≥⋅ ⎪⎝⎭＝＋＋6π＝当且仅当212r rh ＝，即h ＝2r 时，等号成立．即r h ＝min S ＝.7. 解：∵11()a a b b b a b b a b ()()＋＝－＋＋－－3≥，当且仅当a ＝2，b ＝1时，等号成立，∴1a b a b ()＋－的最小值为3.8. 解：设A ，B 两地间的距离为s (s ＞0)，甲从A 到B 所用的时间为t 1，乙从A 到B 所用的时间为t 2，由题意得111333t t t s p q r ⨯⨯⨯＝＋＋， ∴13s t p q r ＝＋＋，233s st p q ÷÷＝＋111()33s s r p q r ÷＋＝＋＋．∴213st t p q r≥≥＝＋＋．∵p ，q ，r 均不相等，∴等号不成立． ∴t 1＜t 2，甲先到B 地．9. 证法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 231113()abc a b c≥＋＋， 所以2231119()abc a b c -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋.②故2222111a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋＋＋＋22333()9()abc abc ≥－＋.又22333()9()abc abc ≥－＋所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当22333()9()abc abc －＋时，③式等号成立．故当且仅当143a b c ＝＝＝时，原不等式等号成立． 证法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac. 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac.① 同理，222111111a b c ab bc ac≥＋＋＋＋.② 故2222111a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋≥ab ＋bc ＋ac ＋333ab bc ac≥＋＋③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当143a b c ＝＝＝时，原不等式等号成立．。
高中数学 1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式课件 新人教A版选修45
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
栏 目 链 接
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．
2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的 最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
1．三个正数的算术—几何平均不等式．
(1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算
___几__何___平均数．
思考 2 若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73 ___≥___4.
栏 目 链 接
题型一 利用定理3证明不等式
例 1 设 a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9.
分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明．
证明：：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥33 abc －1，两不等式相乘，
有：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥33 abc×33 abc －1＝9. ∴(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9. 当且仅当 a＝b＝c＝0 时，等号成立．
点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的 结构入手进行分析．多联想定理3的形式以便用好它．
变式 训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，∴3 abc
解析：y2＝14sin4θcos2θ＝18×2sin2θ sin2θ cos2θ
≤81sin2θ＋sin32θ＋2 cos2θ3＝217. 当且仅当 sin2 θ＝2cos2θ＝2－2sin2θ.
即
sin
Hale Waihona Puke θ＝36时取等号，此时
1.1(第3课时)三个正数的算术—几何平均不等式 学案(含答案)
1.1（第3课时）三个正数的算术—几何平均不等式学案（含答案）第第3课时课时三个正数的算术三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式学习目标1.理解定理3.2.能用定理3及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值或值域问题.4.能运用三个正数的算术几何平均不等式解决简单的实际问题知识点三项均值不等式思考类比基本不等式ab2aba0，b0，请写出a，b，cR时，三项的均值不等式答案abc33abc.梳理1三个正数的算术几何平均不等式定理3如果a，b，cR，那么abc33abc，当且仅当abc时，等号成立2基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1a2annna1a2an，当且仅当a1a2an时，等号成立3重要变形及结论abcabc33；a3b3c33abc；31a1b1c3abcabc3a2b2c23.上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为abc.类型一用平均不等式求最值例11求函数yx1232x1x32的最大值；2求函数yx4x12x1的最小值解11x32，32x0，x10.又yx1232xx1x132xx1x132x33133127，当且仅当x1x132x，即x431，32时，ymax127.2x1，x10，yx4x1212x112x14x1213312x112x14x1214，当且仅当12x112x14x12，即x3时等号成立即ymin4.反思与感悟1利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”2应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数.拆项.分离常数.平方变形等跟踪训练1求函数y13x2x0x13的最大值解y13x2x1613x13x6x1613x13x6x33481，当且仅当13x13x6x，即x19时，ymax481.类型二用平均不等式证明不等式例2已知a，b，cR.求证a3b3c31abc23.证明a3b3c31abc3abc1abc23，当且仅当abc，且abc33时等号成立a3b3c31abc23.引申探究若本例条件不变，求证bcaacabbabcc3.证明bcaacabbabccbacbaccaabbc333bacbac33caabbc3633，当且仅当abc时取等号反思与感悟证明不等式的方法1首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正.二定.三相等”的条件若满足即可利用平均不等式证明2若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子跟踪训练2已知x，y，z都是正数，且xyz1，求证1xy1xz1yz27.证明1xy33xy0,1xz33xz0，1yz33yz0，1xy1xz1yz273xyz2.又xyz1，1xy1xz1yz27，当且仅当xyz1时，等号成立类型三用平均不等式解决实际应用问题例3如图，将边长为1的正六边形铁皮图的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器图当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积解设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x0x1，则OB1B1B2x.由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1A1A21，A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于点C1，在RtA1C1B1中，B1A1C160，则容器的高B1C1A1B1sin60321x于是容器的容积为VfxSh634x2321x94x21x0x1则fx94x21x98xx22x98xx22x3313，当且仅当xx22x，即x23时，Vmax13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.反思与感悟利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤1理解题意，设变量设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数2建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题3在定义域内，求出函数的最大值或最小值4验证相等条件，得出结论跟踪训练3已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大解设内接圆柱的体积为V，又R2r2h24，r2R2h24，Vr2hR2h24h.又V44R2h2h44R2h22h24124R2h222h24128R233439R3，当且仅当4R2h22h2，即h233R，此时r63R时，等号成立当h233R，r63R 时，内接圆柱的体积最大为439R3.1函数fx1x22xx0的最小值为A3B4C5D6答案A解析x0，fx1x2xx331x2xx3，当且仅当x1x2，即x1时等号成立2设x0，则fx4x12x2的最大值为A422B42C不存在D.52答案D解析x0，fx4x12x24x2x212x2433x2x212x243252，当且仅当x2x212x2，即x1时，等号成立3已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是Ayx22x4x333x22x4x36，故ymin6.By2x1x332x1x332，故ymin332.Cy2x1x4，故ymin4.Dyx1x12x133x1x12x33881，故ymax881.答案C解析A，B，D在使用不等式abc33abca，b，cR和abcabc33a，b，cR时都不能保证等号成立，最值取不到C中，x0，y2x1x2x1x224，当且仅当x1x，即x1时取等号4设a，bR，且ab3，则ab2的最大值为A2B3C4D6答案C解析ab24ab2b24ab2b2334ab334134，当且仅当ab21时，等号成立即ab2的最大值为4.5已知a，b为实数，且a0，b0，则ab1aa21b1a2的最小值为________答案9解析因为a0，b0，所以ab1a33ab1a33b0，同理可得a21b1a2331b0，由及不等式的性质，得ab1aa21b1a233b331b9，当且仅当ab1时，等号成立1求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立2求形如yax2bxx0，a0，b0的函数的最小值，关键是拆bx为bxb2xb2x，则yax2bxax2b2xb2x33ax2b2xb2x3232ab2.求形如yaxcbx2x0，a0，bc0的函数的最小值，关键是拆ax 为ax2ax2，则yaxcbx2ax2ax2cbx233ax2ax2cbx23232a2cb.。
高中数学《三个正数的算术—几何平均不等式 》导学案
1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式一、学习目标1.了解三个正数的算术—几何平均不等式；2.会应用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单问题.【重点、难点】教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题二、学习过程【情景创设】1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？2.证明：已知+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立.【导入新课】（阅读课本第8-9页，完成下面知识点的梳理）1.定理3.如果+∈R c b a ,,，那么3c b a ++ ，当且仅当 时，等号成立. 即：三个正数的 不小于它们的 .2推广：对于n 个正数n a a a ,,,21 ，它们的算术平均它们的几何平均.，即 ，当且仅当 时，等号成立.思考探究:利用不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 求最值的条件是什么？ “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为 ；(2)和或积为 ；(3)各项或各因式能 相等的值．三 、典例分析例1. 求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时 633min 3242123221262==⋅=y例2.已知a ，b ，c 为正数，求证： (a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .【变式拓展】1．如果x >0，如何求2x ＋1x2的最小值？ 2.当x ∈(0,1)时，函数y=x 2(1-x)的最大值是_______.四、总结反思1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．五、随堂检测1．函数y ＝x 2(1－5x )(0≤x ≤15)的最大值是( ) A ．4 B.215 C.4675 D.522．若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( ) A ．9 B ．3336 C ．13 D ．不存在3．已知a.b.c ∈R ＋则(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c)≥________. 4．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值是________．5.若正数y x ,.满足42=xy ，则y x 2+的最小值为 .。
推荐-高中数学人教A版选修4-5课件1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式
“三相等”:取等号的条件是a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部 分相等.
不等式a2+b2≥2ab与a3+b3+c3≥3abc的运用条件不一样,前者要 求a,b∈R,后者要求a,b,c∈R+.要注意区别.
题型一 题型二 题型三 题型四
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【变式训练 2】
已知
0<a<1,求证:
1 ������
+
14-������≥9.
证明:
1 ������
+
4 1-������
=
1 ������
+
2 1-������
反思三个正数的算术-几何平均不等式定理,是根据不等式的意 义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等 式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用 该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相等”的条件,要注意 经过适当的恒等变形后再使用定理证明.
连续多次使用算术-几何平均不等式定理时要注意前后等号成 立的条件是否保持一致.
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 应用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题
【例3】 如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电
三个正数的算数-几何平均不等式
三个正数的算术-几何平均不等式求证：如果),0(,,+∞∈c b a ，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
证明：因为abc c ab b a b a abc c b a 333)(33223333-+--+=-++ ①abc ab b a c b a 333)(2233---++= ②)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= )32)((222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ac bc ab c b a c b a ---++++= ])()())[((21222c a c b b a c b a +++++++=0≥ 所以abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
注意：（1）三个整数的积为定值，则和有最小值；三个正数的和为定值，则积有最大值。
与常用的基本不等式类似，求解过程中要注意“一正、二定、三相等”。
（2）几个简单的变形：33abc c b a ⋅≥++；27)(3c b a abc ++≤；3311133333c b a c b a abc cb a ++≤++≤≤++。
以上三个式子都是当且仅当c b a ==时，等号成立。
（3）公式的证明过程中，①式应用了公式3223333)(y xy y x x y x +++=+。
②式应用了公式))((2233y xy x y x y x +-+=+。
对上述结果做简单的恒等变形，就可以得到定理：如果),0(,,+∞∈c b a ，那么33abc c b a ≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
1，已知),0(,,+∞∈z y x ，求证xyz z y x 27)(3≥++。
证明：因为033>≥++xyz z y x ，所以xyz z y x ≥++27)(3，即xyz z y x 27)(3≥++。
1.1.3-三个正数的算术-几何平均不等式-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式一、教材分析：基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，也是求最值的的一种常见方法，经常运用于实际问题，是高考高频考点。
三个正数的算术—几何平均不等式是基本不等式的进一步推广，通过三个正数的算术—几何平均不等式，常常可以将一些较为复杂的求最值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的承接作用。
因此，本节课注重在例题中呈现类比及转化等数学思想，引导学生进行数学思想方法的探究，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、教学目标：1、知识与技能：掌握三个正数的算术-几何平均不等式；2能够证明三个正数的算术-几何平均不等式3.会应用此定理求某些函数的最值；2、过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n 个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。
3、情感、态度与价值观： 通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力；三、教学重点：三个正数均值不等式定理的应用；四、教学难点：解题中的转化技巧。
五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生已经学习不等式的基本性质和基本不等式等相关知识，初步掌握运用所学知识解决简单的数学问题，但不等式作为高中数学的重点和难点,是学生的相对“头疼”的知识内容，尤其是基本不等式成立的前提条件“一正，二定，三相等”，学生解题时常常会顾此失彼，出现基本不等式运用的一些常见错误。
拓展到三个正数或者更多正数时，务必要结合基本不等式，注重类比，对不等式成立的前提条件加以强调。
3、教具选择： 多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究七、教学过程1、自主导学：温故知新：两个正数的均值不等式引入新课：猜想对于3个正数如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）是否成立？ 2、合作探究（1）分组探究： 探究1a 、b 、c ∈R +, 那么a 3+b 3+c 3≥3abc , 当且仅当a =b =c 时, 等号成立即可（参考公式: (a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3; a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)） 证明:33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2a b c abc a b a b ab c abc a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c a b c a ab b ac bc c ab a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=+--+-=++---⎡⎤=+++-++-++⎣⎦⎡⎤=++++--+-⎣⎦=++++---⎡⎤=++-+-+-≥⎣⎦对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ ，当且仅当c b a ==时取“=” 语言表述： 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc推广： na a a n +++ 21≥ n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 语言表述：（2）教师点拨：上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.3、巩固训练： 例1：已知x 、y 、z ∈R +, 求(x +y +z )3≥27xyz例2 将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则（师生共同总结此题规律。
高中数学 1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-
1．1.3 三个正数的算术—几何平均不等式1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．1．三个正数的算术—几何平均不等式． (1)如果a 1，a 2，a 3∈R ＋，则a 1＋a 2＋a 33叫做这3个正数的算术平均数，3a 1a 2a 3叫做这三个正数的________．答案: 几何平均数(2)三个正数基本不等式：a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3.当且仅当a 1＝a 2＝a 3时，等号成立．语言表述：三个正数的________平均数不小于它们的________平均数． 答案: 算术 几何思考1 若已知a 1＝3，a 2＝9，a 3＝27，则a 1＋a 2＋a 33＝________，3a 1a 2a 3＝________．则有：a 1＋a 2＋a 33________3a 1a 2a 3.答案: 13 9 >2．n 个正数的算术—几何平均不等式． (1)如果a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，n ＞1且n ∈N *，则a 1＋a 2＋…＋a nn叫做这n 个正数的算术平均数，na 1a 2…a n 叫做这n 个正数的________．答案: 几何平均数 (2)基本不等式：a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，a i ∈R ＋，1≤i ≤n )．当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立．语言表述：n 个正数的________平均数不小于它们的________平均数．答案: 算术 几何思考2 若x ＞0，则x 3＋x 3＋x 3＋27x3______4.答案: ≥一层练习1．函数y ＝x 2(1－5x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值是( )A ．4 B.215 C.4675 D.52答案: C2．若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( )A ．9B ．3336 C ．13 D ．不存在 答案: B3．已知a .b .c ∈R ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________．答案: 94．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值是________． 答案: 4二层练习5．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案: C6．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：把a 2＋1ab ＋1a （a －b ）变形为ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ），即可利用三个正数的算术—几何平均不等式求其最小值．∵a ＞b ＞0，∴a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a ＋b )＋1a （a ＋b ）≥2＋2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a （a －b ）＝1，即a ＝2，b －22时，取“＝”号．故选D.7．若数列{a n }的通项公式是a n ＝nn 3＋128，则该数列中的最大项是( )A ．第4项B ．第6项C ．第7项D ．第8项 解析：a n ＝nn 3＋128＝1n 2＋128n ＝1n 2＋64n ＋64n∵n 2＋64n ＋64n ≥33n 2×64n ×64n ＝48，当且仅当n 2＝64n，即n ＝4时，等号成立，∴a n≤148，该数列的最大项是第4项．故选A. 答案：A8．求函数y ＝3x ＋4x2(x >0)的最值是________．解析：∵x >0，∴y ＝3x ＋4x 2＝3x 2＋3x 2＋4x 2≥333x 2×3x 2×4x 2＝339.当且仅当3x 2＝3x 2＝4x 2，即x ＝2393时取符号．∴当x ＝2393时，函数y 的最小值为339.9．已知正数a ，b 满足ab 2＝1，则a ＋b 的最小值是________．解析：因为a ，b 是正数，ab 2＝1， 所以a ＋b ＝a ＋b 2＋b2≥33ab 24＝3232.故a ＋b 的最小值是3232，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab 2＝1，a ＝b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1232，b ＝32时取到最小值．10．已知a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc . 证明：∵a ，b ，c 为正数，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，a 2＋b 2＋c 2≥33a 2b 2c 2∴(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥33abc ×33a 2b 2c 2＝93abc ×a 2b 2c 2. ∴(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．三层练习11．θ为锐角，则y ＝sin θ·cos 2θ的最大值是________________________________________________________________________．分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sin 2θ＋cos 2θ＝1的应用．解析：∵y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ＝12×2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ)≤12(23)3＝427.当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号． ∴y max ＝239.12．已知x ∈R ＋，有不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥3，…，受此启发，可以推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a ＝________．解析：∵x ＋a x n ＝x n ＋x n …＋x n ,\s \do 4(n 个))＋a x n ≥(n ＋1)×n ＋1x n n n ×a xn ＝n ＋1，∴a ＝n n.答案：n n13．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c为何值时，等号成立．证明：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．14．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用算术－几何平均不等式求最值，也可求导求最值．解析：设OO 1为x m ，则1＜x ＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x －1）2＝8＋2x －x 2，于是底面正六边形的面积为6×34×(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)，帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（x －1）＋1＝32(4－x )(x ＋2)(x ＋2) ＝34(8－2x )(x ＋2)(x＋2) ≤34⎣⎢⎡⎦⎥⎤（8－2x）＋（x＋2）＋（x＋2）33＝34×64 ＝16 3.当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．故当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时帐篷的体积最大，其值为16 3 m2.1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．(1)“一正”：不论是三个数的或者n个数的算术—几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的，如a＋b＋c≥33abc，取a＝b＝－2，c＝2时a＋b＋c＝－2，而33abc＝6，显然－2≥6不成立．(2)“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋a n为定值)，求其积a1·a2·…·a n的最大值；二是已知积a1·a2·…·a n为定值，求其和a1＋a2＋…＋a n的最小值．(3)“三相等”：取“＝”的条件是a1＝a2＝…＝a n，不能只是一部分相等．2．重要不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3abc的运用条件不一样，前者a，b∈R，后者a，b，c∈R＋，要注意区别．3．注意算术—几何平均不等式中的变形与拼凑方法．。
人教版高中数学选修4-5 练习：第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式A 级 基础巩固一、选择题1．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3312xy ·12xy ·x 2＝3 314（x 2y ）2＝3344＝3，当且仅当12xy ＝x 2，即x ＝1时，等号成立． 答案：C2．若a ＞b ＞0，则a ＋1b （a －b ）的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：因为a ＋1b （a －b ）＝(a －b )＋b ＋1b （a －b ）≥33（a －b ）·b ·1b （a －b ）＝3，当且仅当a ＝2，b ＝1时取等号，所以a ＋1b （a －b ）的最小值为3.答案：D3．设x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg x ＋lg z 的取值范围是( )A ．(－∞，lg 6]B ．(－∞，3lg 2]C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：因为lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23， 所以lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号．答案：B4．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z 的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12 D ．1235 解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3326＝12. 当且仅当x ＝2y ＝3z ＝2时等号成立． 答案：C5．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B.2333 C.332 D.223解析：当log x y ＝－2，得x －2＝y ，即x 2y ＝1，且x ＞0，y ＞0， x ＋y ＝12x ＋12x ＋y ≥3312x ·12x ·y ＝3232. 当且仅当12x ＝y 时等号成立．答案：A 二、填空题6．已知正数a ，b 满足ab 2＝1，则a ＋b 的最小值是________． 解析：因为a ，b 是正数，ab 2＝1， 所以a ＋b ＝a ＋b 2＋b2≥33ab 24＝3232. 故a ＋b 的最小值是3232，当且仅当⎩⎨⎧ab 2＝1，a ＝b2，即⎩⎨⎧a ＝1232，b ＝32时取到最小值．答案：33227．函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值是________．解析：f (x )＝14×4x (5－2x )(5－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋5－2x ＋5－2x 33＝25027， 当且仅当4x ＝5－2x ，即x ＝56时，等号成立．故函数f (x )＝x (5－2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值为25027.答案：250278．设x ，y ，z ＞0且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值是_________．解析：因为6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ，所以x 2y 3z ≤1，当且仅当x2＝y ＝4z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝14时，等号成立．所以x 2y 3z 取得最大值1. 答案：1 三、解答题9．θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．解：y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2θ)≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427.当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号．所以y max ＝239.10．已知a ，b ，c 为正数，求证： (a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc . 证明：因为a ，b ，c 为正数，所以a ＋b ＋c ≥33abc ，a 2＋b 2＋c 2≥33a 2b 2c 2所以(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥33abc ·33a 2b 2c 2＝93abc ·a 2b 2c 2. 所以(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．B 级 能力提升1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝nn 3＋128，则该数列中的最大项是( )A ．第4项B ．第6项C ．第7项D ．第8项解析：a n ＝nn 3＋128＝1n 2＋128n ＝1n 2＋64n ＋64n因为n 2＋64n ＋64n≥33n 2·64n ·64n＝48，当且仅当n 2＝64n ，即n ＝4时，等号成立，所以a n ≤148，该数列的最大项是第4项． 答案：A2．函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为__________，最小值为________．解析：因为y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤8⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 33＝8×827＝6427， 所以y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x ＝±2时取等号． 所以y max ＝893，y min ＝－89 3.答案：839 －8393．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥，如图所示．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则1＜x ＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x －1）2＝8＋2x －x 2，于是底面正六边形的面积为6×34×(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)，帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（x －1）＋1＝32(4－x )(x ＋2)(x ＋2)＝34(8－2x )(x ＋2)(x ＋2)≤34⎣⎢⎡⎦⎥⎤（8－2x ）＋（x ＋2）＋（x ＋2）33＝16 3.当且仅当8－2x ＝x ＋2，即x ＝2时取等号．即当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为2 m 时帐篷的体积最大．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 2 2 2 2
3
3
2 2 2
3
3 3 3
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
跟踪训练
设 a，b，c∈R ， 1 1 1 9 求证：(a＋b＋c) a＋b＋b＋c＋a＋c ≥ . 2
证明：∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a) ≥3 a＋bb＋cc＋a， 3 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3 × × ， a＋b b＋c a＋c a＋b b＋c a＋c 1 1 1 9 ∴(a＋b＋c) a＋b＋b＋c＋a＋c ≥ . 2
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
二层练习
1 4．若 a＞b＞0，则 a＋ 的最小值为( A ) ba－b A．3 B．4 C．5 D．6
12 5．函数 f(x)＝3x＋ x2 (x＞0)的最小值为________ ． 9
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
最小值是(
D
3
)
A．3 9 C．6
B．1＋2 2 D．7
1 1 1 2．A＝210＋ 10 ＋„＋ 11 ，则 A 与 1 的大小 2 ＋1 2 －1
A＜1 ． 关系是________
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
b a b c a 2 3．若 a，b，c，d 都是正数，则 ＋ ≥________. ＋ ＋ a b a b c
当且仅当a=b=c时等号成立 金品质•高追求 我们让你更放心！
＋
3
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
已知 a，b，c∈R ，且 abc＝8. a＋b＋c 3 求 ＋ 的最小值． 3 a＋b＋c
1 解析：设 f(x)＝x＋ ， x 且 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， ＋ 因为 a，b，c，∈R ，且 abc＝8，
a1＋a2＋„＋an 7．设 a1，a2，„，an 为正数，求证： ≥ n n . 1 1 1 ＋ ＋„＋ a1 a2 an
a1＋a2＋„＋an 证明： 因为 a1， a2， „， an 为正数， 所以要证 n n ≥ 成立， 1 1 1 ＋ ＋„＋ a1 a2 an 1 1 1 2 ＋ ＋ „ ＋ 需证(a1＋a2＋„＋an)· ≥ n ， a a a 1 2 n
＝4 a1a2a3a4， a1＋a2＋a3＋a4 4 即 ≥ a1a2a3a4， 4 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
一层练习
1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
12．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正 六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如下图所 示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐 篷的体积最大为多少？
分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用基 本不等式求最值，也可求导求最值． 金品质•高追求 我们让你更放心！
金品质•高追求 我们让你更放心！
证明：证法一
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
2 2 又 3(abc) ＋9(abc)－ ≥2 27＝6 3，③ 3 3 所以原不等式成立． 当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立． 2 2 当且仅当 3(abc) ＝9(abc)－ 时，③式等号成立． 3 3 1 故当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原不等式等号成立． 4
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
证明：若 a1＝a2＝a3＝a4，则上式左＝a1，右＝a1. 故所需证不等式中等号成立． 若 a1，a2，a3，a4 不全相等，则不妨设 a1≠a2，于是 a1＋a2＞2 a1a2＞0， a3＋a4≥2 a3a4＞0， 故 a1＋a2＋a3＋a4＞2( a1a2＋ a3a4) ≥2· 2· 4 a1a2· a3a4
解析：y2＝sin2θcos2θcos2θ 1 ＝ 2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ) 2 123 4 ≤ ( )＝ . 23 27 3 当且仅当 2sin θ＝1－sin θ，即 sinθ＝ 时取等号． 3 2 3 ∴ymax＝ . 9
2 2
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
不等式和绝对值不等式
1.1 1.1.3
不等式
三个正数的算术—几何平均不等式
金品质•高追求
我们让你更放心 ！
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问 题． 2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定 函数的极值，从而学会解决简单的应用问题．
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
由算术—几何平均不等式可得 a1＋a2＋„＋an≥n a1a2„an， n 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ≥n ， a1 a2 an a1a2„an 两式相乘得
1 1 1 2 (a1＋a2＋„＋an)a＋a ＋„＋a ≥ n ， 2 n
＋
a＋b＋c 3 所以 ≥ abc＝2. 3 a＋b＋c 5 所以 f ≥f(2)＝ . 2 3 当且仅当 a＝b＝c＝2 时取“＝”号． a＋b＋c 3 5 故 ＋ 的最小值为 . 3 2 a＋b＋c
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
设 a1，a2，a3，a4 为正数， a1＋a2＋a3＋a4 4 求证： ≥ a1a2a3a4， 4 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
时取到最小值．
金品质5•(配人教A版)◆
11．已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋ 1 1 1 2 ＋ ＋ a b ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成 c 立．
因为 a，b，c 均为正数，由均值不等式 2 2 2 2 得 a ＋b ＋c ≥3(abc) ，① 3 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3(abc)－ ， a b c 3 1 1 1 2 2 所以a＋b＋c ≥9(abc)－ .② 3 1 1 12 2 2 2 2 2 故 a ＋b ＋c ＋a＋b＋c ≥3(abc) ＋9(abc)－ . 3 3
13 ， a1a2a3＝________ 9 ________ ，
3
3
a1＋a2＋a3 3 ≥ 则有： ________ a1a2a3. 3 金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
2．n 个正数的算术—几何平均不等式 ＋ (1)如果 a1，a2，„，an∈R ，n＞1 且 n∈N＋则： a1＋a2＋„＋an 叫做这 n 个正数的算术平均数， n n a1a2„an叫做这 n 个正数的________；
6．已知 x，y，z 为正数，求证： y x x y z (1) ＋ ≥2；(2) ＋ ＋ ≥3. x y y z x
y x 证明：(1) ＋ ≥2 x y
xy ·＝2. yx
3 x yz x y z (2) ＋ ＋ ≥3 ··＝3. y z x y zx
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
2 2 2
1 1 1 2 ＋ ＋ ＋ a b c
3 3 3 ≥ab＋bc＋ac＋ ＋ ＋ ≥6 3.③ ab bc ac
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
所以原不等式成立． 当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立， 当且仅当 a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时， ③式等号成立． 1 故当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原不等式等号成立． 4
几何
练习2：
≥
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋
b2＋c2)≥9abc.
证明：因为 a，b，c 为正数， 所以 a＋b＋c≥3 abc， a ＋b ＋c ≥3 a b c ， 将上述两个同向不等式相乘得 (a＋b＋c)(a ＋b ＋c )≥9 a b c ＝9abc， 即(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.
a1＋a2＋„＋an n (2)基本不等式： ≥ a1a2„an n ＋ (n∈N*，ai∈R ，1≤i≤n)． 语言表述：n 个正数的________平均数不小于 它们的________平均数． x x x 27 练习 2：若 x＞0，则 ＋ ＋ ＋ 3 ________4. 3 3 3 x
2．(1)几何平均数 (2)算术 金品质•高追求
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆
证法二
因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.① 1 1 1 1 1 1 同理 2＋ 2＋ 2≥ ＋ ＋ ，② a b c ab bc ac 故 a ＋b ＋c