1.1 空间几何体的结构 课件(人教A版必修2)

K
60°
A
2 OA cos 60
≈2×3.142×6370×0.5 由计算器算得 C≈2.0015×104（km）. 答：北纬60°纬线长约等于2.0015×104km.
O
B
例3:在北纬45°圈上有A、B两点,沿该纬线圈 2 上A、B两点间的劣弧长为 R （R为地球半 4 径），求A、B两点的球面距离.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积.
32 3
变式3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面
例2、某街心花园有许多钢球（钢的密度 是7.9g/cm3),每个钢球重145kg，并且外 径等于50cm，试根据以上数据，判断钢 球是实心的还是空心的。如果是空的,请 你计算出它的内径（π取3.14，结果精确 到1cm）。
2.地球的纬度:
赤道是一个大圆， 其它的纬线都是小圆. 某点的纬度就是 经过这点的球半径 与赤道面所成角的 度数.
P
北极 地
轴 O
赤
A
道
由地理知识知：AOP的度数为P点纬度.
①经线上的度数叫做经度，经度的概念与二面 角的度数有关.经度差是经线与地轴所确定平面 的两个半平面的二面角大小，.若旋转是向东进 行的，则点P的经度就是东经多少度，若旋转是 向西进行的，则点P的经度就是西经多少度. ②纬线是与赤道所在平面平行的截面圆，纬线 上的度数叫做纬度，纬度是纬线上的点与球心 连线和赤道所在平面所成的角的度数，即线面 角的度数.若点P在北半球，就是北纬多少度； 若点P在南半球，就是南纬多少度．
我们用一个平面去截一个球,是什么图形呢？ 圆面
截面的定义：
用一个平面去截一个球,截面是圆面(黄色圆面).
截面的性质：
1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面． 2.球心到截面的距离d与球的半径R和截面半 径r有下面的关系:
r R d
2
2
O
R
ß
d
r
大小圆的定义：
1.大圆：球面被经过球心
的平面截得的圆叫做大圆. 如⊙O(浅蓝色圆面）. 2.小圆：球面被不经过球 心的平面截得的圆叫做小 圆. 如⊙O′(黄色圆面）.
（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲 面叫球. （ ） × （2）在空间，到定点的距离等于定长 的所有点的集合叫球. （ ） × （3）球的小圆的圆心与球心的连线垂 直于这个小圆所在平面. （ ） √ （4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆.× (
)
(5)球半径是5，截面圆半径为3,则球心到截 面圆所在平面的距离为4. （ √）
３.理论根据
结合平面几何知识:在以两个定点为端点的弧 中，半径越大弧长越小.(见右图）显然，在球面 上北京、纽约间的最短距离是过这两点的大圆上 劣弧的长.
Q
P
A O
m
O1
B
五、地球的经纬线
1.地球的经度:
北极
地球的经线就是球面上从 本 P 地 北极到南极的半个大圆. 初 子 某点的经度是经过这 轴 午 点的经线和地轴确定的 O 线 半平面与0度经线(本初 道 A 赤 子午线) 和地轴确定的 B 半平面所成二面角的度 数. 由地理知识知：AOB为P点所在经线的经度.
3
（4）设地球的半径为R，在北纬45 °圈上有A、B 两点，它们的经度分别是东经140 °与西经130 ° ， R 则A、B两点的球面距离是______.
3
课堂小结
球的概念，球截面的性质 球面上两点间的距离 地球经、纬度的含义 球的直观图作法
1.3.2 球的体积和表面积
1、球的体积 A
例2：我国首都靠近北纬60°纬线。求北纬60°纬 线的长度约等于多少km（地球半径约为6 370km）.
K
A 轴截面 O B
60°
A
O
B
解： 如图，A是北纬60°纬线上的一点，AK是它的半
径，所以OK⊥AK.设c是北纬60°的纬线长，因 为∠AOB=∠OAK=60°，所以
c =2π·AK
= 2π·OAcosOAK
定义1：到一个定点的距离等于定长的点的集合 是一个球面。定点——球心，定长——球半径
定义2：到一个定点的距离小于或等于定长的点 的集合是一个球体（简称“球”）。
一、球的概念:
1.球的定义
球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体.
球的集合定义
与定点(圆心)的距离等于或小于定长(半径) 的点的集合叫做球体，简称球.
0
B
O
C
2 r R 4 2 2 R R 2 4 2
S
在ABC中, OA OB AB R AOB A、B两点间的球面距离为

3

3
R
填空题:
（1）设地球的半径为R，在北纬30 °纬线上有 甲乙两地，它们的经度相差120 ° ，那么这两
2.球的有关概念
半圆的圆心叫做球心.
P
一个球用它的球心字母 A 来表示，例如 球O. 连结球心和球面上任意一点的 线段叫做球的半径（线段OP). 连结球面上两点并经过球心的 线段叫做球的直径（线段AB).
球体与球面的区别：
O
B
•球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面. •球(即球体):球面所围成的几何体. •它包括球面和球面所包围的空间.
四、球面距离
假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机,设 想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢?航程大 约是多少呢?
(1)北京和纽约间的距离是一条线段的长吗?
不是,是一端圆弧的长.
(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢? 无数条. (3)这无数条弧长哪条最短? 我们不妨先看一个例子！
例1：已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45 度线上，其经度差为90度. 求(1)在北纬45度圈上劣弧 ⌒的长度; AB (2) 在经过A、B两地的大圆上劣弧 ⌒ 的长度. AB
P
2.两点的球面距离公式
图中的弧 AB 的长度就是AB 两点的球面距离.
O
. .
B
.
关键：球心角(弧度)
A
设球心角AOB , 球半径为R, 则 弧长AB R .
球面上两点距离不能通过解三角形直接求得， 一般地是先求出大圆半径R和这两点在大圆上 的劣弧所对的圆心角θ，再求出弧长. 飞机、轮船都是尽可能以大圆弧为航线航行.
∴大圆中劣弧 AmB 的长度为 3 m
O1
⌒
R
A
B O
A
大圆中 劣弧的长度为
R
3
m
O1
A
B
O
大圆中 AmB 的 长度小于纬圆 中 ⌒长度 AB
⌒
四、球面距离
1.定义
球面上两点之间的最短连 线的长度，就是经过这两 点的大圆在这两点间的一 段劣孤的长度.
Q
O
即：球面距离是球面上 过两点的大圆在这两点 之间的劣弧的长度.
已知球的半径为R
A Ci C2 O
ri
O O.
r1 R 2 R,
R 2 r2 R ( ) , n 2R 2 2 r3 R ( ) , n
2
Bi B2
R 2 ri R [ (i 1)] , i 1,2, n n
2
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
R R i 1 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2, n n n n V半球 V1 V2 Vn R 3 12 2 2 (n 1) 2 [n ] 2 n n R 3 1 (n 1) n (2n 1) [n 2 ] n n 6 1 (n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
小结：
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
4 3 半径是R的球的体积： V R 3
2
R 2 ri R [ (i 1)] , i 1,2,, n n 3
2
4 3 定理:半径是R的球的体积 V R 3
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 3 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 2 6
变式1：一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球 的质量是 7.9 [ 4 ( 5 )3 4 x 3 ] 142 3 2 3 5 3 142 3 3 x ( ) 11.3 2 7.9 4 由计算器算得:
3
（2）解：∵∠POB=30 ° ∴∠AOB=120° 又AB的球面距即大圆ACB 上的劣弧 ACB 的长
2R ACB 的弧长 . 3
C 地
30 °
A
K轴
30 ° 30 °
B
O 赤 道
P
填空题:
（3）设地球的半径为R，在北纬45 °圈上有A、B
两点，它们的经度分别是东经110 °与东经20 ° ， R 则A、B两点的球面距离是______.
x 2.24 2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
S侧 6 5 150 cm
2
2
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来 的几倍? 8倍
N
分析：求球面距离，
关键求球心角，要求 球心角，关键是求两 点间的直线距离（弦 长）.在纬圆中求弦长 ，在大圆中求球心角 及球面距离.