2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案：第三章

[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 81～P 85的内容，回答下列问题． 已知函数：①y ＝f (x )＝c ，②y ＝f (x )＝x ，③y ＝f (x )＝x 2， ④y ＝f (x )＝1x ，⑤y ＝f (x )＝x .(1)函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝c －cΔx＝0，(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x )′＝1，(x 2)′＝2x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(x )′＝12x . (3)函数②③⑤均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？提示：∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x 2－1，(x )′＝⎝⎛⎭⎫x 12′＝12x 12－1＝12x ，∴(x α)′＝αx α－1． 2．归纳总结，核心必记 (1)基本初等函数的导数公式(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． [问题思考](1)常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f (x )＝c 图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x 轴．(2)对于公式“若f (x )＝x α(α∈Q *)，则f ′(x )＝αxα－1”，若把“α∈Q *”改为“α∈R ”，公式是否仍然成立？提示：当α∈R 时，f ′(x )＝αx α－1仍然成立．(3)下面的计算过程正确吗？⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4＝22.提示：不正确．因为sinπ4＝22是一个常数， 而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎫sin π4′＝0．(4)若f (x )，g (x )都是可导函数，且f (x )≠0，那么下列关系式成立吗？ ①[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)； ②⎣⎡⎦⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2. 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．[课前反思](1)基本初等函数的导数公式有哪些？； (2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？．[思考] 你能说出函数f (x )＝c 与f (x )＝x α、f (x )＝sin x 与f (x )＝cos x 、f (x )＝a x 与f (x )＝e x 、f (x )＝log a x 与f (x )＝ln x 的导数公式有什么特点和联系吗？名师指津：(1)幂函数f (x )＝x α中的α可以由Q *推广到任意实数．(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(e x )′＝e x 是(a x )′＝a x ln a 的特例．(4)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，(ln x )′＝1x 是(log a x )′＝1x ln a 的特例．讲一讲1．求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1. [尝试解答] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．练一练1．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫1e x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫110x； (3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1e x ′＝⎝⎛⎭⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫110x ′＝⎝⎛⎭⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－x ln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .讲一讲2．(链接教材P 84－例2)求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.[尝试解答] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝（e x ＋1）′（e x －1）－（e x ＋1）（e x －1）′（e x －1）2＝e x （e x －1）－（e x ＋1）e x （e x －1）2＝－2e x （e x －1）2.利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．练一练2．求下列函数的导数： (1)y ＝cos xx ；(2)y ＝x sin x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x2.解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝（cos x ）′·x －cos x ·（x ）′x 2 ＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝（1＋x ）21－x ＋（1－x ）21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4（1－x ）′（1－x ）2＝4（1－x ）2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′ ＝1x ln 10＋2x3.讲一讲3．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[思考点拨] 将直线y ＝x 向上平移，当直线与曲线y ＝e x 相切时，该切点到直线y ＝x的距离最小．[尝试解答] 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1， 又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0，1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.解决有关切线问题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 练一练3．求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数，见讲1；(2)利用导数运算法则求导数，见讲2； (3)利用导数运算研究曲线的切线问题，见讲3. 3．本节课的易错点是导数公式(a x )′＝a x ln a 和(log a x )′＝1x ln a以及运算法则[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′的区别．课时达标训练（十五）[即时达标对点练]题组1 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x .其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sinπ3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误.⎝⎛⎭⎫1x 2′＝0－（x 2）′x 4＝－2x x 4＝－2x 3，所以③错误.⎝⎛⎭⎫－1x ′＝－0－（x 12）′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x，所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A.13B.12C.18D.14 解析：选D ∵f (x )＝x α， ∴f ′(x )＝αxα－1.∴f ′(1)＝α＝14.题组2 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2 ＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2.答案：x 2＋6x （x ＋3）25．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x . (2)y ′＝(cos x ·ln x )′ ＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′ ＝－sin x ·ln x ＋cos xx .(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e xsin x ′＝（e x ）′·sin x －e x ·（sin x ）′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x＝e x （sin x －cos x ）sin 2x.题组3 利用导数公式研究曲线的切线问题7．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．解析：y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.答案：y ＝3x ＋18．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以根据题意得1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：29．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________． 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：110．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2，1)．[能力提升综合练]1．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x解析：选C 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：选B y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－sin x （cos x －sin x ）（sin x ＋cos x ）2＝11＋sin 2x，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________．解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：16．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f ′(0)＝________． 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )， 则f (x )＝xg (x )，求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x )， 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32. 则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是 sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。