人教A版高中数学选修4-4课件第一讲一、二平面直角坐标系极坐标系

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平面直角坐标系

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D
E
120m
C
60 3m
45o 50m 60o A) 60m B A(O
x
二、极坐标系极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,) ( ∈R).和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定＞0，0≤＜2，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 (,)表示；同时，极坐标表示的点(,) 也是惟一确定的.
x x ② y 3 y 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个标伸长变换.
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? y 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2; O x 在此基础上，将纵坐标变为原来的 3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点 P(x,y)经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为: 1
5 6
2 3
2
B
A
3
6
2
5 6
2 3
2
3
E
B A D
6
2

7 6

7 6
4 3
C
3 2
5 3
11 6
4 3
C
F
3 2
5 3
11 6
例2、在图中，用点A，B，C，D，E
分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.
∵点M的直角坐标为 (1,
3)
y
M (1, 3)
θ

人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件选修4—4 坐标系与参数方程第1节极坐标方程与参数方程

π
θ=4代入 ρ2-2ρcos
+1=0,得 ρ2-3 2ρ+1=0,∴ρ1+ρ2=3 2,ρ1ρ2=1,∴|AB|=|ρ1-ρ2|
= (1 + 2 )2 -41 2 =
(3 2)2 -4 × 1 = 14.
θ-4ρsin θ
考向2参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程
例2(2022全国甲,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点
叫做极点;自极点O引一条射线
再选定一个长度
(通常取弧度
O,
Ox,叫做极轴;
单位、一个角度
)及其正方向(通常取
单位
逆时针方
向),这样就建立了一个极坐标系.
|OM|
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离
叫做点M
的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xOM 叫做点
选修4—4 第1节极坐标方程与参数方程
内
容
索
引
01
强基础固本增分
02
研考点精准突破
课标解读
1.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况.
2.能用极坐标表示点的位置,理解在两个
坐标系中表示点的位置的区别,能进行极
坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形的方程,
通过比较这些图形在两个坐标系中的方
程,理解用方程表示平面图形时选择适当
坐标系的意义.
4.了解参数方程及参数的意义.
5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆
锥曲线的参数方程.
衍生考点
核心素养

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系

3．点的空间坐标的互相转化公式设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝转换公式，，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
，，
1.(ρ，θ，z) 空间的点自我校对 2.正向标系逆时针球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底半径为 ρ0 的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行于 Oxy 坐标面的平面．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝， 6
π θ＝，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.

2014年人教A版选修4-4课件 3.简单的极坐标方程

x
|OP|=|OA|cos∠POA. ∴圆的极坐标方程为
r=2acosq.
2. 直线的极坐标方程问题2. 在直角坐标系中, 一条直线的方程是 y=x, 你能把它化成极坐标方程吗? 请你画出图形, 检验你所得的极坐标方程. 由直角坐标与极坐标的互化 x=rcosq, y=rsinq, 得 rsinq=rcosq, 得 tanq =1 于是得 q = . 4 问题: 以 O 为极点, Ox 为极轴, 直线 l 的极坐标方程是 q = 4 吗?
例 2. 求过点 A(a, 0) (a>0), 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程. 解: 任取 l 上不同于点 A 的一点 M(r, q ).
l M
A x
在 Rt△MOA中, ∠MOA=q, |OM|=r, |OA|=a,
则有 a=rcosq. 检验点 A(a, 0) 满足方程, ∴直线 l 的方程为
r q
O
a
rcosq =a.
练习(补充). 求过点 A(a, ) (a>0), 且平行于极 2 轴的直线 l 的极坐标方程.
解: 任取 l 上不同于点 A 的一点 M(r, q ).
A
在 Rt△MOA中, ∠AMO=q, |OM|=r, |OA|=a,
检验点 A(a, ) 满足方程, 2 ∴直线 l 的方程为 rcosq =a. 则有 a=r sinq.
一二三四
平面直角坐标系极坐标系简单曲线的极坐标方程柱坐标系与球坐标系简介
第一课时第二课时
第一课时圆、直线的极坐标方程
返回目录
1. 极坐标方程中的变量是什么?
2. 直线的极坐标方程和圆的极坐标方程是怎样建立的?

人教版高中数学选修4-4 第一讲坐标系二极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为直0)角坐标方程的形
式是（）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

高中数学人教A版选修4-4课件：平面直角坐标系 (共31张PPT)

例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应 x 2 x 的图形经过伸缩变换: 后的图形。
y 3 y
x 2 x x 解：(1)由伸缩变换 y 3 y 得到； y
x (2)将 y 1 x 2 代入x2+y2=1， 1 y 3
例1 说出下图中各点的极坐标标出(2, π/6), (4, 3π/4),

2
5 6
C E D O B A

4

4 3
X
(3.5, 5π/3)
F
G
所在位置。
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3

2
5 6

P
C E D B A
四、课堂练习
4 1.已知极坐标 M (5, 3 ),下列所给出的
不能表示点M的坐标的是( C )

10 2 A、 (5, ) B、 ( 5, ) C、 (5, ) 3 3 3
8 D(5, ) 3
3 2.已知三点的极坐标为 A( 2, ), B( 2 , ), 2 4 O(0,0) ,则 ABO 为( D )
3 y tan , 4 x
。
即y x( y 0)
4 把极坐标方程 =sin+2cos 化为直角坐标方程。
解：因给定的不恒等于零, 得＝ sin 2 cos
2
化成直角坐标方程为 x2 y2 y 2x
1 2 5 即( x 1) ( y ) 2 4
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标。

高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件

7π 3，－1)化为极坐标为2， 6 .
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时，要根据直角坐标符号特征判断出点所在的象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝－2 ＋0 ＝2，tan θ＝＝0，－2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式：设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 互化公式直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______

tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝－ 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝＝3，－ 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二极坐标第2课时极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-3第一讲-坐标系

2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化，设曲线上任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则极坐标方程与直角坐标方程的互相转化公式为：y＝ρsinθ，x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2.
【例 3】
π 在极坐标系中，圆 ρ＝4sinθ 的圆心到直线 θ＝6(ρ
∈R)的距离是________．
【解析】
圆 ρ＝4sinθ 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4，其
π 圆心为 C(0,2)，直线 l：θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为 x－ 3y＝0； 6 |0－2 3| 所以点 C 到直线 l 的距离是 d＝＝ 3. 2
【例 1】
求圆心在
并把它化为直角坐标方程．【分析】数形结合，先描绘圆的大致位置，找出圆上任一点满足的几何条件．
【解】
如图，设 M(ρ，θ)为圆上除 O，B 外的任意一点，连
3 接 OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－ π，∠BMO＝ 2 π 2.
从而△BOM 为直角三角形，所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB. 即
与曲线 C 相交于 A，B，求|AB|.
【解】
x＝ρcosθ， (1)因为 y＝ρsinθ，
所以 ρ2＝x2＋y2，
由 ρ＝2sinθ＋4cosθ，得 ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. 曲线 C 的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标

4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________．答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝（ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|；当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．

人教A版高中数学选修4-4课件极坐标系的概念(人教A 版)

[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和计算角度的正方向。（通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结：从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
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A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、），Q（1，），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1，），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第一讲《坐标系》小结

在△OMB 中，同理 → |MB|＝ ρ2＋36－12ρcosθ. → → 由|MA|· |MB|＝36，得 (ρ2＋36)2－(12ρcosθ)2＝362. 即 ρ4＋72ρ2－144ρ2cos2θ＝0. 即 ρ2＝72(2cos2θ－1)＝72cos2θ. 所以，点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ2＝72cos2θ.
3．柱坐标系与球坐标系 (1)柱坐标系
一般地，如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组(ρ， θ， z)(z∈R)表示，这样我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)，叫做 P 的柱坐标，空间点 P 的直角坐标与柱坐 x＝ρcosθ，标之间的变换公式为y＝ρsinθ， z＝z.
2ac (2)当 a≠c 时，方程可化为 x ＋y － x＝0，其轨迹是以 a－c
2 2
ac ac 2ac ( ，0)为圆心，为半径的圆，但不包括点(0,0)和( ， a－c |a－c| a－c 0)．
【例 2】
x′＝2x，在同一坐标系中，经过伸缩变换 y′＝2y
后，
曲线 C 变为曲线(x－5)2＋(y＋6)2＝1，求曲线 C 的方程，并判断是什么曲线．
高考真题【例 8】在极坐标系中，圆 ρ＝2cosθ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π B．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π C．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝ D．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝1

高中数学选修4-4(人教A版)第一讲坐标系1.3知识点总结含同步练习及答案

高中数学选修4-4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程
一、知识清单
极坐标与极坐标方程
二、知识讲解
1.极坐标与极坐标方程描述：极坐标系在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox称为极轴．平面任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ 和从Ox到OM 的角度θ 来刻画．这两个数组成的有序对(ρ, θ)称为点M 的极坐标．ρ 称为极径，θ 称为极角．在极坐标系(ρ, θ)中，一般限定ρ ≥ 0．当ρ = 0时，就与极点重合，此时θ 不确定．给定点的极坐标(ρ, θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种表示形式．事实上，(ρ, θ)和(ρ, θ + 2kπ)代表同一个点，其中k 为整数．可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定ρ ≥ 0， 0 ≤ θ ≤ 2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系． ρ < 0，此时极坐标(ρ, θ)对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ 角的射线的反向延长线上，它到极点O 的距离为|ρ|，即规定当ρ < 0时，点M (ρ, θ)就是点M (−ρ, θ + π)．极坐标与直角坐标系的关系设M 为平面上的一点，它的直角坐标系为(x, y)，极坐标为(ρ, θ)．则有{ x = ρ cos θ 或
⎧ ρ2 = x 2 + y 2 ⎨ ⎩ tan θ = y (x ≠ 0) ，ρ < 0也成立． x
y = ρ sin θ
曲线的极坐标方程在给定的平面上极坐标系下，有一个二元方程F (ρ, θ) = 0．如果曲线C 是由极坐标(ρ, θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ, θ) = 0为曲线C 的极坐标方程．圆心(a, 0)在极轴上且过极点的圆，其极坐标方程是ρ = 2a cos θ ；圆心在点(a, 圆，其极坐标方程是ρ = 2a sin θ，0 ≤ θ ≤ π．

人教A版选修4-4 第1讲 2 第2课时极坐标和直角坐标的互化

第2课时极坐标和直角坐标的互化学习目标 1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．知识点极坐标和直角坐标的互化思考1 平面内的一个点M的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？答案可以．思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？答案①直角坐标的原点为极点；②x轴的正半轴为极轴；③单位长度相同．梳理互化的条件及互化公式(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式①极坐标化直角坐标：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ.②直角坐标化极坐标：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tanθ＝yx (x ≠0).类型一点的极坐标化直角坐标例1 把下列点的极坐标化为直角坐标． (1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6；(2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4；(3)M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6.解由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得(1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，∴点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝322，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－322，∴点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，－322.(3)x ＝6cos 5π6＝－33，y ＝6sin 5π6＝3，∴点M 的直角坐标为(－33，3)．反思与感悟由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ惟一确定．跟踪训练1 已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．解根据x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得A(－1，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C(0，－4)．类型二点的直角坐标化极坐标例2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tanθ＝yx ＝－3，θ∈[0,2π)．由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3.(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22，tanθ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tanθ＝y x ＝1，θ∈[0,2π)．由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4. ∴点的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.引申探究1．若规定θ∈R ，上述点的极坐标还惟一吗？解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3＋2kπ(k ∈Z)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6＋2kπ(k ∈Z)． (3)⎝⎛⎭⎪⎫32π2，π4＋2kπ(k ∈Z)．极坐标不惟一．2．若点的直角坐标为(1)(0,23)，(2)(0，－2)，(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解结合坐标系及直角坐标的特点知， (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0. 反思与感悟 (1)将直角坐标(x ，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．跟踪训练2 在直角坐标系中，求与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532的距离为1且与原点距离最近的点N 的极坐标．解把点M 的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532化为极坐标，得ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－5322＝5，tanθ＝－53252＝－ 3. 因为点M 在第四象限，所以θ＝5π3＋2kπ，k ∈Z ，则点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3＋2kπ，k ∈Z.依题意知，M ，N ，O 三点共线，则点N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3＋2kπ，k ∈Z.类型三极坐标与直角坐标互化的应用例3 已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝⎛⎭⎪⎫8，4π3，求线段AB 中点的直角坐标．解因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A(3,33)，同理可得B(－4，－43)．设线段AB 的中点为M(m ，n)，由线段中点的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4＋32＝－12，n ＝－43＋332＝－32，所以线段AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.引申探究1．若本例条件不变，求线段AB 中点的极坐标．解由例3知，AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴ρ2＝x 2＋y 2＝1，∴ρ＝1.又tanθ＝y x ＝3，∴θ＝4π3，∴极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3. 2．若本例条件不变，求AB 的直线方程．解因为A 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A(3,33)．又因为直线AB 的倾斜角为π3，故斜率k ＝3，故直线AB 的方程为y －33＝3(x －3)，即3x －y ＝0. 反思与感悟应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可．跟踪训练3 在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．解对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A(2，2)．对于B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4有ρ＝2，θ＝5π4，∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－ 2.∴B(－2，－2)．设点C 的坐标为(x ，y)，由于△ABC 为等边三角形，故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.∴⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴点C 的坐标为(6，－6)或(－6，6)．∴ρ＝6＋6＝23，tanθ＝－66＝－1或tanθ＝6－6＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5) D ．(－5，－5)答案 A2．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4答案 B解析设点P 的极坐标为(ρ，θ)， ∵ρ2＝x 2＋y 2＝4，∴ρ＝2，又tanθ＝y x ＝－1，且点P 在第二象限，∴θ＝3π4.3．若M 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，则M 点的直角坐标是( )A ．(－3，1)B ．(－3，－1)C ．(3，－1)D ．(3，1) 答案 A解析由公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ＝2cos 5π6＝－3，y ＝ρsinθ＝2sin 5π6＝1，∴M 点的直角坐标为(－3，1)．4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3 B.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 答案 C解析以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得 ρ＝x 2＋y 2＝12＋(－3)2＝2，tanθ＝y x ＝－31＝－ 3.∵点P 在第四象限，结合选项知，θ可以是－π3，∴点P 的极坐标可以是⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 5．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3解析 ρ＝(－3)2＋(－33)2＝6，由6cosθ＝－3，得cosθ＝－12，又0≤θ<2π，且M(－3，－33)在第三象限， ∴θ＝4π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3.极坐标与直角坐标的互化任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sinθ＝y ρ，cosθ＝x ρ，所以x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，ρ2＝x 2＋y 2，tanθ＝y x(x ≠0)．一、选择题1．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－5π3答案 A2．直角坐标为(－2,2)的点M 的极坐标可以为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4答案 C解析易知ρ＝(－2)2＋22＝22，tanθ＝2－2＝－1，因为点M 在第二象限，所以可取θ＝3π4，则点M 的极坐标可以为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4. 3．若点M 的极坐标为(5，θ)，且tanθ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－3,4) 答案 D4．点M 的直角坐标是(3，3)，则点M 的极坐标可能为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，5π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 答案 B解析 ρ＝x 2＋y 2＝23，tanθ＝y x ＝33，又θ的终边过点(3，3)，所以θ＝π6＋2kπ，k ∈Z ，所以M 的极坐标可能为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. 5．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( ) A ．(32，42) B ．(－32，42) C ．(－32，－42) D ．(32，－42)答案 C解析设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A(－2，0)，D(－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)．二、填空题6．把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，π6化为直角坐标为________．答案 (－53，－5)7．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线AB 的倾斜角为________．答案5π6解析点A ，B 的直角坐标分别为(0,3)，⎝⎛⎭⎪⎫332，32，故k AB ＝32－3332－0＝－33，故直线AB 的倾斜角为5π6.8．将向量OM →＝(－1，3)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________．答案 (－1，－3)解析由于M(－1，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3，化为直角坐标为(－1，－3)．9．在极坐标系中，O 是极点，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，2π3，则点O 到AB 所在直线的距离是________．答案125解析点A ，B 的直角坐标分别为(23，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，则直线AB 的方程为y －2332－2＝x －23－32－23，即(4－33)x －(43＋3)y ＋24＝0，则点O 到直线AB 的距离为24(4－33)2＋[－(43＋3)]2＝125.10．在极轴上与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标为________．答案 (1,0)或(7,0)解析设M(r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．三、解答题11．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)解 (1)∵x ＝ρcosθ＝4cos 5π3＝2， y ＝ρsinθ＝4sin 5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)．(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22，tanθ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y<0，∴ρ＝15，θ＝3π2. ∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 12．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫43，7π6. (1)求|AB|的值；(2)求△AOB 的面积(O 为极点)．解如图所示，(1)∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以|AB|2＝32＋(43)2－2×3×43cos 5π6＝93，所以|AB|＝93.(2)S △AOB ＝12OA·OBsin∠AOB ＝12×3×43×12＝3 3. 13．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N(2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．解将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N(2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M(1，－3)，N(2,0)，P(3，3)．方法一因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线．方法二因为MN →＝NP →＝(1，3)，所以MN →∥NP →，所以M ，N ，P 三点共线．四、探究与拓展14．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，54π 解析 ∵点P(x ，y)在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2.又tanθ＝y x ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π. 因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π. 15．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解如图所示．设M 在直角坐标系x ′O ′y ′中的坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝ρcosθ＝4cos π6＝23，y ′＝ρsinθ＝4sin π6＝2，又M 在原坐标系中的坐标为(x ，y)，则x ＝x ′＋2＝23＋2，y ＝y ′＋3＝5，∴点M 的直角坐标是(23＋2,5)．。

2014年人教A版选修4-4课件 1.平面直角坐标系

问题2. 上述思考充分体现了坐标法的思想. 其结果有如下的两种表述, 各种表述由哪几个元素确定? 你认为各种表述有什么意义? 表述 1: 巨响位于 P(-680 5, 680 5 ) 处. 表述 2: 巨响位于信息中心北偏西45, 相距信息中心 680 10 米处. 表述 1 用 x、y 的坐标这两个元素确定位置. 表述 2 用相对于信息中心的方位角和距离这两个元素确定位置. 表述 1 便于书面和图纸上的标注. 这样的表述在语言的传递中缺了坐标系, 点的坐标就显得无意义. 表述 2 便于语言传递和描述, 是相对于参照位置的描述, 易于理解和想像.
O 设点 C 的坐标为 C (x, y), 由中点坐标求得 E ( x , y ), F ( c , 0). 2 2 2 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 代入坐标整理得 2x2+2y2+2c2-5cx=0. (A) F B x
O F B 设点 C 的坐标为 C (x, y), 2+c2=5a2, y x c 例 1. 已知△ ABC 的三边 a , b , 满足 b 由中点坐标求得 E ( , ), F ( , 0). 2 上的中线 2 2, 建立适当的平 BE, CE 分别为边 AC , AB 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系. 代入坐标整理得解: 以△ ABC 的顶点 A= 为原点 , AB 所在直线 2+2y2 2x +2c2-5cx 0. y 为 x 轴, 建立平面直角坐标系 . x y C BE = ( - c, ), 2 2 则各点的坐标为 c E CF = ( x , y ), A(0, 0), B(c, 20), 2 y x c O(A) F B x 则 BE CF = ( - c )((xx )设点 C 的坐标为 C , y ), 2 2 2 y2 x c 1 2 2 由中点坐标求得 E F ).) = 0, = - (2 x( 2 +,2 2 y ), +2 c(2 - ,50 cx 4 2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 由 b ∴BF 与 CE 互相垂直. 代入坐标整理得 (请同学们用斜率试一试) 2x2+2y2+2c2-5cx=0.

2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.2 极坐标系

ρsin θ
或
x2＋y2 ，
y x
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x≠0.
预习思考
1.写出下图中各点的极坐标：
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π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐标系
1.2 极坐标系
栏目链接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏目链接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏目链接
1．极坐标系的建立．在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
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题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏目链接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏目链接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：

极坐标系(4-4)

7一般地，ρ≥0，θ∈R别地，极点O的极坐标为(0,θ)，
=0，可以取任意实数
8
思考探究：
你能在极坐标系中找到下列各点吗？
5 A( 2, ) 6
4 B(5, ) 3
5 C (4, ) 3
9
思考探究：
5 A( 2, ) 6
2

4
4 B(5, ) 3 5 C (4, ) 3
5 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
( 5 ,0 )
(1, ) 2
( 3 ,1)
直角坐标 (3, 3 ) 极坐标
5 (2 3 , ) 6
15
7 ( 2, ) 6
(5,0)
思考探究：
在极坐标系中,点A的极坐标是(ρ,θ),
π≤θ＜π (规定:ρ＞0, -0≤θ＜2π )则
( , ) ( ,2 ) ; (1)点A关于极轴对称的点的极坐标是
再选定一个长度单位 O
X
和角度单位(弧度)及其正方向(逆时针)
这样就建立了一个极坐标系
6
在极坐标系OX中, 如何确定任意一点A A (,) 的位置呢？
用表示线段OA的长度，表示以极轴Ox为始边，O 射线OA为终边的角xOA.

X
有序数对（，）就叫做点A的极坐标叫做点A的极径叫做点A的极角
A
F D O B C G E X

4 3
5 3
10
你能从中体会:
极坐标与直角坐标的区别吗？
平面直角坐标系外在形式定位方式点与坐标本质
极
坐
标
原点，x，y轴
横坐标、纵坐标
极点，极轴极径、极角
点与坐标一一对应点与极坐标不一一对应两线相交定点圆与射线相交定点

人教A版高中数学选修4-4课件极坐标和直角坐标的互化课件

第一讲坐标系知识归纳课件(人教A选修4-4)

方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．返回
求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标 ρ、 θ 的关系． [例 3] 1 △ABC 底边 BC＝10， ∠A＝ ∠B， B 为极点，以 2
BC 为极轴，建立极坐标系，求顶点 A 的轨迹的极坐标方程．
返回
3．(2011· 江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，
则该曲线的直角坐标方程为________．
解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0. 答案：x2＋y2－4x－2y＝0.
返回
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
返回
[解]
π (1)∵直线 l 过点 M(2， )和极点， 3
π ∴直线 l 的直角坐标方程是 θ＝ (ρ∈R)． 3 π ρ＝2 2sin(θ＋ )即 ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 4 两边同乘以 ρ 得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y＝0.
返回
[例 2]
x′＝2x， y′＝2y
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，

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【解】如图所示,A、B、C、D
四个点分别是惟一确定的.
【名师点评】
建立极坐标系 ,以 O为极点 ,Ox为极轴 ,设
点M(ρ,θ),则ρ＝|OM|,即M与极点O的距离,θ是角的弧度数
(也可以是角的度数).
变式训练
π 1.在极坐标系中 ,作出点 M(2, )、N( 2,π),并求出这两点之 4 间的距离 .
ρ＝－12＋ 32＝2,tan θ＝－ 3, 2π ∴θ＝2kπ＋ (k∈ Z). 3 2π ∴极坐标为 (2,2kπ＋ )(k∈Z). 3 【解析】
【答案】
之间的
互化 , 以及极坐标的不确定性 , 一个点可以对应多个极坐标.
变式训练
2π 2.在极坐标系中 ,下列点与点 M(1, )为同一点的是 ( 3 π A.(－ 1, ) 3 π B.(1,－ ) 3 4π C.(－ 1,－ ) 3 π D.(－ 1,－ ) 3 )
新知初探思维启动
1.伸缩变换设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点 ,在变换
x， λ>0 x′＝ λ· y， μ>0 y′＝ μ· φ:_______________
的作用下 ,点 P(x,y)对应到点 P′(x′ ,y′),称 φ 为
平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换 . _________________________________,
解 :如图所示 ,由余弦定理 ,得 |MN|＝ π 2 ＋ 2 －2×2× 2× cos π－ 4
2 2
＝ 10.
题型二
( )
极坐标与直角坐标之间的互化
例2 点 M 的直角坐标是 (－ 1, 3),则点 M 的极坐标为
π A.(2, ) 3 π B.(2,－ ) 3 2π C.(2,2kπ＋ )(k∈ Z) 3 π D.(2,2kπ＋ )(k∈ Z) 3
学法指导 1.简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体
含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得
出．
2.由于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同,在没有充
分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐标解决问题.
第一讲
坐标系
一
平面直角坐标系二极坐标系
学习目标
1.理解平面坐标系的作用. 2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,了解极坐标和直角坐标的互化.
5.极坐标与直角坐标的互化设 M 是坐标平面内任意一点 ,它的直角坐标是 (x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥ 0),于是极坐标与直角坐标的互化公式为 :ρ2＝x2 y ＋y ,x＝ρcos θ,y＝ ρsin θ,tan θ＝ (x≠0). x
2
典题例证技法归纳
题型探究题型一点的极坐标
π π 例1 在极坐标系中 ,作出以下各点 A(4,0),B(3,4),C(2,2), 7π D(3, ). 4
第一讲
坐标系
第一讲
坐标系
课标领航
知识综览从我们看的地图,到我们的载人飞船“神舟十号”的升空, 以及我们中国海军的远洋航行等,都与我们将要学习的坐标系有密切的联系．并且这只是坐标系应用的冰山一角, 它的应用十分广泛,包括数学、物理、工程、航海以及机器人等领域．通过对本讲的学习,学生将掌握各种坐标的基本概念,了解曲线的多种表现形式,体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,体验到用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象的神奇,培养探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识和实践能力.
2.极坐标系的概念极点自极点O引一条射线在平面内取一个定点O,叫做_____; 长度单位、一个角度单位 Ox叫做极轴;再选定一个__________ 正方向逆时针弧度通常取______) __________( 及其_______( 通常取 ________方向),这样就建立了一个极坐标系.极坐标系有 ①极点;②极轴 ;③长度单位;④角度单位及它的方向四个要素 : ________________________________________________. 3.极坐标 ρ 极径设 M是平面内一点 ,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 (ρ,θ) 极角Ox为始边,射线OM为终边的 ______,记为____;以极轴 (ρ,θ＋ 2kπ)( k∈Z) ∠xOM叫做点M的_______,记为θ.有序数对 _____ 叫做点 (0, )(θ ∈R) M的极坐标,记为M(ρ,θ).极坐标(ρ ,θθ )与 ________________ 表示同一个点.极点O的坐标为_____________.
4.点与极坐标的关系
极点对称, 若ρ<0,则－ρ>0,规定点(－ρ,θ)与点(ρ,θ)关于______ ρ>0,0≤θ<2π 即(－ρ,θ)与(ρ,π＋θ)表示同一点.如果规定____________,
那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ)表示; 惟一确定的. 同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是___________
3.在直角坐标系内点及其坐标 ,方程及其曲线满足逻辑关系: 点 P⇔ 坐标x，y， ↕ ↕ 曲线 C⇔ 曲线方程 fx， y＝0 在极坐标系内则为 : 点 P⇐坐标 ρ， θ ↕ ↕ 曲线 C⇐曲线方程 fρ， θ＝0.
在f(ρ,θ)＝0表示的曲线C上,不一定有坐标(ρ,θ)满足f(ρ,θ) ＝0,但也不是说P的坐标与方程f(ρ,θ)＝0毫无关系.一般地, 有以下结论:(1)坐标适合方程的点都在曲线C上;(2)曲线C 上每一个点的所有坐标中至少有一个坐标适合方程.
π 解析:选 D.由极坐标的定义可以得 ,在极坐标系中 ,(－1,－ ) 3 2π 与 M(1, )表示同一点 . 3
方法感悟
1.极坐标系有四个要素:极点、极轴、长度单位、角度
单位及方向. 2.极坐标系中,点与其坐标是“一对多”的对应,点坐标是表示点的充分不必要条件.非极点的点坐标有两组:(ρ,θ ＋2kπ)和(－ρ,θ＋2kπ＋π),k∈Z,只在特殊规定时,点的坐标才是惟一的.