《线性代数》电子教程之三

特别注意
A− B = (aij − bij )m×n
只有两个矩阵是同型矩阵时， 只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才 能进行加（ 能进行加（减）法.
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例如
20 17 12 22 15 15 A= 30 20 10, B = 26 25 10
y1 = a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n , y = a x + a x +⋯+ a x , 2 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ym = am 1 x1 + a m 2 x2 + ⋯ + a mn x n ,
y2 ,⋯ , ym
0 1 ⋯ 0 E = (δ ij ) = ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1
y1 = x1 , y = x , 2 2 单位矩阵对应线性变换为恒等变换 ⋯⋯ yn = xn .
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对角矩阵： 不在对角线上的元素都是0. 这种方 对角矩阵： 不在对角线上的元素都是 阵称为对角矩阵 简称对角阵 对角矩阵， 对角阵， 表示， 阵称为对角矩阵，简称对角阵，用 Λ 表示，即 λ1 0 ⋯ 0 0 λ2 ⋯ 0 Λ= = diag(λ1 , λ2 , ⋯ , λn )
2. 有关概念
实矩阵与复矩阵：元素是实数的矩阵称为实矩阵， 实矩阵与复矩阵：元素是实数的矩阵称为实矩阵， 实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 除特别说明外， 复矩阵； 元素是复数的矩阵称为复矩阵；除特别说明外，都 指实矩阵. 指实矩阵 行矩阵（行向量）： 只有一行的矩阵， 行矩阵（行向量）： 只有一行的矩阵，记作
0 1 A = (a ij ) = 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
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用矩阵表示这个图后， 说明 用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对 这个图进行分析和计算. 这个图进行分析和计算 8
例4 n 个变量x1 , x 2 , ⋯ , x n 与m 个变 y1 , 量之间的关系式
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西尔维斯特（ ），他是犹太 西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897），他是犹太 ）， 人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优 异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。 异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和 他接受过一些较低的教授职位， 律师。经过一些年的努力， 律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大 学的教授，并于1884年70岁重返英格兰成为牛津 学的教授，并于 年 岁时重返英格兰成为牛津 大学的教授。他开创了美国纯数学研究， 大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了 《美国数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是 美国数学杂志》。在长达 多年的时间内， 》。在长达 多年的时间内 行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。 行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。
a11 a 21 ⋮ am1 a12 a 22 ⋮ ⋯ a1n ⋯ a2 n ⋮
a m 2 ⋯ a mn
列矩阵， 矩阵. 称为 m行 n列矩阵，简称 m×n × 矩阵 为表示这 个数表是一个整体，总是加一个括弧， 个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑 体字母表示它， 体字母表示它，记作
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a11 a 21 A= ⋮ a m1
a ij = bij ( i = 1,2,⋯ , m; j = 1,2,⋯ , n)
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二、矩阵举例
例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 A = a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33 a14 a 24 a 34
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卡莱（ 卡莱（Cayley 1821-1895）生于一个古老而有才能 ） 的英国家庭，在学校中他就显示了数学才能.他的 的英国家庭，在学校中他就显示了数学才能 他的 老师说服他的父亲送他到剑桥，而不要让他做家务. 老师说服他的父亲送他到剑桥，而不要让他做家务 在剑桥它是数学荣誉会考的一等第一名，并获得 在剑桥它是数学荣誉会考的一等第一名， Smith奖，他当选为剑桥的三一学院的研究员和助 奖 理导师， 年后由于必须担任圣职而离开。 理导师，但3年后由于必须担任圣职而离开。他转 年后由于必须担任圣职而离开 向法律并在这个职业上花费了后来的15年 这期间 向法律并在这个职业上花费了后来的 年.这期间 他用了大量的时间搞数学，并发表了近200篇文章 篇文章. 他用了大量的时间搞数学，并发表了近 篇文章 也是在这时，他和Sylvester开始了长期的友谊和合 也是在这时，他和 开始了长期的友谊和合 作.1863年，他被任命为剑桥新创立的 年 他被任命为剑桥新创立的Sadler数学教 数学教 除去1882年受 年受Sylvester的聘请在霍普金斯大学 授。除去 年受 的聘请在霍普金斯大学 以外，他一直在剑桥，直到逝世． 以外，他一直在剑桥，直到逝世．
(1)
线性变换. 称为从变量 x1 , x 2 , ⋯ , x n到变量y1 , y2 ,⋯ , ym的线性变换 线性变换 (1)的系数 a ij构成矩阵 A = ( a ij ) m×n ; 称为线性变换的系数矩阵 线性变换的系数矩阵， 称为线性变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一 对应的. 对应的
基本要求
理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、 理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单 位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵； 位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵； 熟练掌握矩阵的运算及其运算规律. 熟练掌握矩阵的运算及其运算规律
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一、矩阵的定义与记号
第 一 节
1.定义 由 m × n个数 a ij ( i = 1,2,⋯ m; j = 1,2,⋯ , n) 定义 排成的m 行 n 列的数表
A = (a1 , a 2 ,⋯ , a n )
1×n矩阵
只有一列的矩阵， 只有一列的矩阵，记作 列矩阵（列向量）： 列矩阵（列向量）： b1 b2 B= ⋮ m×1矩阵 b m
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方阵： 方阵：行数与列数都等于 n的矩阵称为 n阶矩阵 阶方阵. 或n 阶方阵 n阶矩阵 A 也记作 An . 同型矩阵: 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 同型矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是同型矩阵 同型矩阵. 就称它们是同型矩阵 矩阵相等： 同型矩阵， 矩阵相等： 如果 A = (a ij ) 与 B = (bij ) 是同型矩阵， 并且它们的对应元素相等， 并且它们的对应元素相等，即 那么就称矩阵 与矩阵 B 相等， 那么就称矩阵 A 相等，记作 A= B = .
种产品的数量. 其中 a ij 为工厂向第 i 店发送第 j 种产品的数量. 这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵
b11 b21 B= b 31 b 41 b12 b22 b32 b42
b 种产品的单价， 为第 i 种产品单件重量 种产品单件重量. 其中bi 1 为第 i 种产品的单价， i 2
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一、矩阵的加减法 第 1. 定义 两个同为m×n的矩阵相加（减）后得一 两个同为 × 的矩阵相加（ 矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和（ 对应元素的和 二 m × n 矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和（差）. 节
A = (aij )m×n , B = (bij )m×n ,
A+ B = (aij + bij )m×n
a12 a 22 ⋮ am 2
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋮ ⋯ a mn
个数称为矩阵 的元素，简称为元，数 a ij 的元素，简称为元， 这 m × n 个数称为矩阵 A 位于矩阵的第 i 行第 j 列，称为矩阵的 (i, j)元. 以 (a 数 a ij 为 (i, j) 元的矩阵可简记作 (a ij ) 或 (a ij ) m×n . m × n 矩阵 A 也记作A ×n. m 注意 （1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式 ）矩阵的记号是在数表外加上括弧， 的记号（在数表外加上双竖线）是不同的， 的记号（在数表外加上双竖线）是不同的，这是两 个不同的概念，注意区别. 个不同的概念，注意区别 （2）矩阵的行数和列数不一定相等 ）矩阵的行数和列数不一定相等. 4
k 0 ⋯ 0 k ⋯ kE = ⋮ ⋮ 0 0 ⋯
0 0 ⋮ k
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四、小结
在线性代数里，矩阵是一个主要工具， 在线性代数里，矩阵是一个主要工具，也是 一个主要的研究对象. 一个主要的研究对象 1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵 年由西尔维斯特（ 年由西尔维斯特 ） 的概念 矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社 矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、 会科学等许多领域。如在观测、导航、 会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的 位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、 位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、 模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面 射线照相术等方面， 模糊识别，以及计算机层析 射线照相术等方面， 都有广泛的应用 1858年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则 年卡莱（ 年卡莱 ）
0 ⋮ ⋮ 0 ⋯ λn ⋮
y1 = λ1 x1 , y =λ x , 2 2 对角矩阵对应的线性变换为 2 ⋯⋯ yn = λn xn .
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零矩阵：元素都是零的矩阵，记作 零矩阵：元素都是零的矩阵，记作0.
0 0 O= ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0
从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息. 说明 从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息 7
四个城市间的单向航线如下图所示， 四个城市间的单向航线如下图所示， 例3 若令 1 条单向航线， 1, 从i市到 j市有1条单向航线， a ij = 0, 从i市到 j市没有单向航线 . 则这个图可以用矩阵表示为