有效数字
有效数字
22
系统误差
• 定义：在一定的条件下（指仪器、方法、环境和观测者一 定），多次测量同一量时，其结果的符号和大小总按一定 规律变化的误差称为系统误差。 • 分类：仪器误差；理论误差（方法误差）；环境误差； 个人误差 • 产生原因：仪器，理论推导，实验方法，操作，环境等。 • 特点：倾向性、方向性（或者都偏大或者都偏小） • 消除方法：改进、修正、矫正。
12
Rs＝0.100Ω
R2(Ω ) U(v) 400.0 2.82 350.0 2.49
R1＝4350.0Ω
250.0 1.82
d＝40.0mm
150.0 1.18 100.0 0.84 50.0 0.56
300.0 2.15
200.0 1.51
解：根据实验数据，作 R2～U 曲线如图所示：
13
在直线上取两点(0.60，60.0)、(2.60，368.0)，以及常量代入测 量公式。则 电流常数：Ki=
③.使用条件：自变量等间隔变化（对一次逐
差必须是线性关系，否则先进行曲线改直）
18
四、最小二乘法
近性计算法比较： 作图法：直观、简便。但主观随意性大（粗略）
逐差法：粗略的近似计算方法（要满足一定条件）
回归分析法：最准确的计算方法 定义: 由数理统计的方法处理数据，通过计算 确定其函数关系的方法。 步骤：1.推断函数形式（回归方程） 如
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随机误差
定义:在同一条件下，对同一量进行多次测量时，如果 没有系统误差，测量结果仍会出现一些无规律的起伏， 这种偶然的，不确定的偏离叫做随机误差。 产生原因：随机误差是由于人的感官灵敏程度和仪器精 密程度有限以及实验中难以确定的因素（如温度、湿度、 电源电压的起伏、空气流动、振动等的影响。）而引起 的。 特点：随机性（忽大忽小，忽正忽负，没有规律），但 当测量次数比较多时服从统计规律。最常见的就是正态 分布（高斯分布）。如下图所示： 消除方法：多次测量取平均值
有效数字名词解释
有效数字名词解释有效数字是一种表示测量结果或计算结果的方法，它通过保留一定数量的位数来表示测量或计算的精确度。
有效数字通常包括所有非零数字以及所有零的中间数字，并且排除任何不确定的数字或估计的数字。
有效数字的位数取决于测量或计算的不确定度。
如果测量仪器或计算方法的不确定度较大，那么有效数字将相对较少，精确度较低。
相反，如果测量仪器或计算方法的不确定度较小，那么有效数字将相对较多，精确度较高。
有效数字有几个重要的特点和规则，包括：1. 所有非零数字都是有效数字。
例如，测量结果为5.63，那么有效数字为三个：5、6、3。
2. 所有零的中间数字都是有效数字。
例如，测量结果为0.0532，那么有效数字为四个：0、5、3、2。
3. 在某些情况下，末尾的零也可以是有效数字。
例如，测量结果为10.0，那么有效数字为三个：1、0、0。
4. 不确定的数字或估计的数字不是有效数字。
例如，估计结果为2.6，那么有效数字为两个：2、6。
5. 当数字末尾有无限个零时，可以使用科学计数法来表示有效数字。
例如，测量结果为3000，可以用3.0 × 10^3表示，有效数字为两个：3、0。
有效数字的使用非常重要，因为它能够提供关于数据精确度和可靠性的信息。
在科学研究、工程设计、财务报告等领域，有效数字能够帮助人们正确理解和使用数据，并准确地进行测量、计算和预测。
有效数字的运算和处理也需要遵循一定的规则。
在进行加减乘除等运算时，需要根据有效数字的位数来确定运算结果的有效数字位数。
一般来说，结果的有效数字位数不能超过参与运算的最少的有效数字位数。
总之，有效数字是一种表示测量结果或计算结果精确度的方法，它通过保留一定数量的位数来表示数据的可靠性。
有效数字的使用能够提供准确、可信的信息，帮助人们正确理解和使用数据。
了解和运用有效数字的规则和原则是科学研究和工程设计等领域的基本要求。
有效数字及运算法则
————— –– –– 1605– 1926 ————— – –––
3.21 6.5 = 21 – 3.21 – 6.5
–
–
–
20.865
结果为 21
–
例5
N AB / C
其中：
A 3.21 0.01cm , B 6.5 0.2cm , C 21.843 0.004 cm
2 lg100.0 10.0 27.3211 27.31
35
=
100 2.0000 35 0.01
= 2104 35 =
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精品课件！
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本章小结
一.有效数字的概念 二.直接测量时有效数字的运算
三.有效数字的运算规则
注意：进行单位换算时， 有效数字的位数不变。
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为 20000 （欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104 又如数据为 0.0000325m ，使用科学记数 法写成3.2510-5m
3.有效数字与仪器的关系
有效数字的位数
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
2.乘除法
3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
有效数字及运算法则
指针正好在82mA上：读为82.0mA
可修改
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对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
可修改
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例1
62 .
–5
+
1.
23–4
=
63
.
7–
0.326 9.674 __1_0_.0_0_0_，
100.00 __1_._00_0_0_。
0.326 9.674可修改
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在表达式 100.00 0.100cm 中的
100.00的有效数字是_4__位;
100.00 0.10cm 中的
100.00的有效数字是__4__ 位;
100.0 0.1cm 中的有效数字
注意：进行单位换算时，
有效数字的位数不变。
可修改
4
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
可修改
5
3.有效数字与仪器的关系
N 0.96 0.0可3修cm改
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运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0
4.02=16
正确
49 = 7
4.02=16.0 错误
可修改
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(1)对数函数 lgx的尾数与x的位数相同
有效数字(分析)
甲：0.042%，0.041%；乙：0.04099%,0.04201%。
问哪一份报告是合理的，为什么？
答:：甲的报告合理。因为在称样时取了两位有效
数字，所以计算结果应和称样时相同，都取两位 有效数字。
3 数据的记录和计算规则
1、记录测定结果时，只应保留一位可疑数字。在 分析化学中几个重要物理量的测量误差一般为 (视仪器的精度而定) :
习题：用加热挥发法测定BaCl2· 2H2O中结晶水的质 量分数时，使用万分之一的分析天平称样0.5000g，
问测定结果应以几位有效数字报出？
答:：应以四位有效数字报出。
H
2O
2 18.02 0.5000 100% 244.3
习题：两位分析者同时测定某一试样中硫的质量 分数，称取试样均为3.5g，分别报告结果如下：
10.23500--------10.24 250.65000-------250.6 18.085002--------18.09
4、有效数字的计算规则
1. 加减法
几个数据相加或减时，有效数字位数的保留 ，应以小数点后位数最少的数据为准，其他的数 据均修约到这一位。
0.0121 25.64 1.05782
（3）在实际分析工作中一般按下列原则进行。 含量（质量分数）/% >10% 1~10 % 3位 <1%
结果报告的位数
4位
2位
（4）分析中的各类误差通常取1～2位有效数字。
习题：如果分析天平的称量误差为±0.2mg，拟分别称 取试样0.10000g和1.0000g左右，称量的相对误差各为 多少？这些结果说明了什么问题？ 解：因分析天平的称量误差为±0.2mg。故读数的绝对 误差E=±0.0002g
有效数字
2 2
( )如 t计 > tα (n1 + n2 − 2), 则 µ1 ≠ µ2 3如 :
异常值的检验—Q检验法 检验法 异常值的检验
Q 算= 计
x离群 − x邻近 xmax − xmin
若Q计 > Q表 , 则离群值应弃去.
Q值表 值表
测量次数
n Q0.90 Q0.95
3
4
5
6
7
8
9
10
第一节 有效数字
定义
有效数字就是实际能测到的数字。有效数字的位 数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量 仪器的准确度有关。我们可以把有效数字这样表 示。 有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字 表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数 不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
• 有效数字保留的位数，应根据分析方法与仪器的 准确度来决定，一般使测得的数值中只有最后一 位是可疑的。 • 例如在分析天平上称取试样0.5000g，这不仅表 明试样的质量0.5000g，还表明称量的误差在 ±0.0002g以内。如将其质量记录成0.50g，则表 明该试样是在台称上称量的，其称量误差为0.02g， 故记录数据的位数不能任意增加或减少。如在上 例中，在分析天平上，测得称量瓶的重量为 10.4320g，这个记录说明有6位有效数字，最后 一位是可疑的。因为分析天平只能称准到 0.0002g,即称量瓶的实际重量应为 10.4320±0.0002g,无论计量仪器如何精密，其最 后一位数总是估计出来的。因此所谓有效数字就 是保留末一位不准确数字，其余数字均为准确数 字。同时从上面的例子也可以看出有效数字是和 仪器的准确程度有关,即有效数字不仅表明数量的 大小而且也反映测量的准确度.
有效数字
有效数据定义、运算及其修约规则一、有效数据1.1有效数字定义有效数字是指实际能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
1.2实际意义有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如，用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23cm，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，如测得物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
这个数值就是四位有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
例如，分析天平称得的物体质量为7.1560g，滴定时滴定管读数为20.05mL，这两个数值中的“0”都是有效数字。
在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字。
（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字（2）分析天平（万分之一）取4位有效数字（3）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示:0.1000 mol/L（4）pH 4.34 ,小数点后的数字位数为有效数字位数对数值，lg X =2.38；lg(2.4 102)1.3有效数字中＂0＂的意义＂0＂在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字．例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：以上数据中“0”所起的作用是不同的。
“0”是有效数字：10.0780，6位有效数字。
1.2056中，5位有效数字。
“0”作为数字定值：0.2044中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字；0.0120中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。
称量精确至0.0002g;15000m 和10000g很难肯定其中的0 是否是有效数字还是数字定值，写为1.5×104m，则表示有效数字是二位；如果把它写为1.50×104m则表示有效数字是三位。
有效数字及运算法则
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
100.0035=1.00809611.008
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法 3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。
例 9 L=2R 其中R=2.3510-2m
就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
综合运算举例
50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )
=
50.00 2.0 100 1.00
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
科学计数法的有效数字
科学计数法的有效数字
有效数字是指从左边起第一个不为0的数字算起，有几个就是几个。
如：10.040就是5个，那么科学记数法就可以看出了，如：10的6次方就是7个有效数字，而10的负6次方就是1个了。
科学记数法科学记数法是一种记数的方法。
把一个数表示成a与10的n 有效数字是指从左边起第一个不为0的数字算起，有几个就是几个。
如：10.040就是5个，那么科学记数法就可以看出了，如：10的6次方就是7个有效数字，而10的负6次方就是1个了。
科学记数法
科学记数法是一种记数的方法。
把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。
当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多时，用科学记数法免去浪费很多空间和时间。
形式
科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。
表示为a×10^b （aEb）
其中一个因数为a（1≤|a|<10），另一个因数为10^n。
有效数字的运算规则
有效数字的运算规则在数学运算中，我们经常会遇到有效数字的概念。
有效数字是指在一定的测量精度下，数值中具有确定意义的数字。
在进行有效数字的运算时，我们需要遵守一系列的运算规则，以确保计算结果的准确性。
本文将介绍有效数字的运算规则，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
有效数字的规定在进行有效数字的运算之前，我们首先需要了解有效数字的规定。
一般来说，有效数字的规定有以下几条：1. 所有非零数字都是有效数字。
例如，1234有四个有效数字。
2. 零在非零数字之间时也是有效数字。
例如，10203有五个有效数字。
3. 零不是有效数字，如果它位于一个数的最前面。
例如，0.123有三个有效数字。
4. 末尾的零在不带小数点的情况下不是有效数字。
例如，100有一个有效数字。
5. 小数点之后的零都是有效数字。
例如，12.300有五个有效数字。
6. 科学计数法表示的数必须按法则识别有效数字。
例如，2.0 x10^3有两个有效数字。
加法和减法运算的规则在进行有效数字的加法和减法运算时，我们需要遵守以下规则：1. 运算结果的小数位数应与参与运算的数中最小的小数位数相一致。
2. 运算结果的整数部分应与参与运算的数中最小的整数部分相一致。
举个例子，假设我们要计算14.2 + 3.56。
根据规则1，小数位数应与参与运算的最小数字3.56一致，因此结果应保留两位小数。
根据规则2，整数部分应与参与运算的最小数字14.2一致，因此结果为17.76。
乘法和除法运算的规则在进行有效数字的乘法和除法运算时，我们需要遵守以下规则：1. 运算结果的有效数字个数应与参与运算的数中最小的有效数字个数相一致。
2. 运算结果的小数位数应与参与运算的数中最小的小数位数相一致。
举个例子，假设我们要计算2.3 x 0.078。
根据规则1，有效数字个数应与参与运算的最小数字0.078一致，因此结果应有两个有效数字。
根据规则2，小数位数应与参与运算的最小数字0.078一致，因此结果应保留两位小数。
有效数字
有效数字目录[隐藏]∙ 1 名称定义∙ 2 有效数字的概念∙ 3 有效数字的正确表示∙ 4 有效数字的具体说明∙ 5 有效数字与不确定度的关系∙ 6 有效数字的舍入规则∙7 有效数字的运算规则有效数字-名称定义有效数字所谓有效数字：具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。
所谓能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。
有效数字指科学计算中用以表示一个浮点数精度的那些数字。
一般地，指一个用小数形式表示的浮点数中，从第一个非零的数字算起的所有数字。
如1.24和0.00124的有效数字都有3位。
我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字;把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字.把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字.如上例中测得物体的长度7.45cm.数据记录时,我们记录的数据和实验结果的表述中的数据便是有效数字.有效数字-有效数字的概念测量结果都是包含误差的近似数据，在其记录、计算时应以测量可能达到的精度为依据来确定数据的位数和取位。
如果参加计算的数据的位数取少了，就会损害外业成果的精度并影响计算结果的应有精度；如果位数取多了，易使人误认为测量精度很高，且增加了不必要的计算工作量。
一般而言，对一个数据取其可靠位数的全部数字加上第一位可疑数字，就称为这个数据的有效数字。
一个近似数据的有效位数是该数中有效数字的个数，指从该数左方第一个非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数，它不取决于小数点的位置。
有效数字-有效数字的正确表示1、有效数字中只应保留一位欠准数字，因此在记录测量数据时，只有最后一位有效数字是欠准数字。
2、在欠准数字中，要特别注意0的情况。
0在数字之间与末尾时均为有效数字。
如0.078和0.78与小数点无关,均为两位。
506与220均为三位。
3、л等常数，具有无限位数的有效数字，在运算时可根据需要取适当的位数。
有效数字-有效数字的具体说明(1)实验中的数字与数学上的数字是不一样的.如数学的 8.35=8.350=8.3500 ,而实验的 8.35≠8.350≠8.3500.(2)有效数字的位数与被测量的大小和仪器的精密度有关.如前例中测得物体的长度为7.45cm,若用千分尺来测,其有效数字的位数有五位.(3)第一个非零数字前的零不是有效数字.(4)第一个非零数字开始的所有数字(包括零)都是有效数字.(5)单位的变换不能改变有效数字的位数.因此,实验中要求尽量使用科学计数法表示数据.如100.2m可记为0.1002km.但若用cm和mm作单位时,数学上可记为10020cm和100200mm,但却改变了有效数字的位数.采用科学计数法就不会产生这个问题了.有效数字-有效数字与不确定度的关系有效数字的末位是估读数字,存在不确定性.一般情况下不确定度的有效数字只取一位,其数位即是测量结果的存疑数字的位置;有时不确定度需要取两位数字,其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应.由于有效数字的最后一位是不确定度所在的位置,因此有效数字在一定程度上反映了测量值的不确定度(或误差限值).测量值的有效数字位数越多,测量的相对不确定度越小;有效数字位数越少,相对不确定度就越大.可见,有效数字可以粗略反映测量结果的不确定度.有效数字-有效数字的舍入规则1、当保留n位有效数字，若后面的数字小于第n位单位数字的0.5就舍掉。
有效数字运算规则
• 财务数据的处理：如收入、支出、利润等 • 财务报表的编制：如资产负债表、利润表等
有效数字运算在财务管理中的应用
• 提高财务数据的准确性 • 有助于进行高精度计算
05
有效数字运算规则的发展趋势与挑战
计算机技术的发展对有效数字运算的影响
计算机技术的发展
• 计算机性能的提升：提高了数值运算的速度和精度 • 软件开发技术的进步：便于实现有效数字运算的算法
有效数字运算规则的定义
• 在进行数值运算时，保留有效数字的位数，以保证计算 结果的精确度
有效数字运算规则的重要性
• 提高计算结果的准确性 • 减少误差传播 • 有助于进行高精度计算
02
有效数字的运算规则
加法运算中的有效数字保留
加法运算规则
• 整数部分：直接相加，保留所有有效数字 • 小数部分：从小数点后的第一位开始相加，保留相同位数的小数
计算机技术对有效数字运算的影响
• 提高有效数字运算的效率 • 有助于进行高精度计算
高精度计算方法的探索
高精度计算方法的研究
• 数值分析方法：研究数值计算过程中的误差传播和误差 估计 • 并行计算方法：利用计算机的多核处理器进行并行计算， 提高计算速度
高精度计算方法在有效数字运算中的应用
• 提高有效数字运算的准确性 • 有助于进行更高精度计算
• 提高测量设备的精度：使用高精度的测量设备，减小测量误差 • 采用误差修正技术：采用误差修正算法，减小计算误差
04
有效数字运算规则的实际应用
工程测量中的有效数字运算
工程测量中的有效数字运算实例
• 建筑物的尺寸测量：如高度、长度、宽度等 • 土地测量的数据处理：如面积、体积等
有效数字是什么意思
什么是有效数字
有效数字是指在分析工作中实际能够测量到的数字。
能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。
我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字;把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。
有效数字是指在一个数中，从该数的第一个非零数字起，直到末尾数字止的数字称为有效数字，如0.618的有效数字有三个，分别是6,1,8。
有效数字是在整个计算过程中大致维持重要性的近似规则。
更复杂的科学规则被称为不确定性的传播。
数字往往是四舍五入，以避免报告微不足道的数字。
数字也可以简单化，而不是指示给定的测量精度，例如，使它们在新闻广播中更快地发音。
扩展资料：
有效数字的相关规则：
1、舍入规则
当保留n位有效数字，若第n+1位数字≤4就舍掉。
当保留n位有效数字，若第n+1位数字≥6时，则第n位数字进1。
当保留n位有效数字，若第n+1位数字=5且后面数字为0时，则第n位数字若为偶数时就舍掉后面的数字，若第n位数字为奇数时加1。
2、计算规则
加减法：以小数点后位数最少的数据为基准，其他数据修约至与其相同，再进行加减计算，最终计算结果保留最少的位数。
乘除法：以有效数字最少的数据为基准，其他有效数修约至相同，再进行乘除运算，计算结果仍保留最少的有效数字。
3、具体深层规则
有效数字相加减的结果的末位数字所在的位置应按各量中存疑数字所在数位最前的一个为准来决定。
一般情况下，表示最后结果的不确定度的数值只保留1位，而最后结果的有效数字的最后一位与不确定度所在的位置对齐.如果实验测量中读取的数字没有存疑数字，不确定度通常需要保留两位。
有效数字的规则
§1.4有效数字及其运算规则一、有效数字的一般概念1.有效数字任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。
因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。
例如，2.78的有效数字是三位，2.7是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。
这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。
2.确定测量结果有效数字的基本方法(1)仪器的正确测读仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。
可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
此时物体长度的测量值应记为L=83.87cm。
其中，83.8是可靠数，尾数“7”是可疑数，有效数字为四位。
(2)对于标明误差的仪器，应根据仪器的误差来确定测量值中可疑数所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。
如某测量值为12.3V，若读出：12.32V，则尾数“2”无意义，因为它前面一位“3”本身就是可疑数字。
(3)测量结果的有效数字由误差确定。
不论是直接测量还是间接测量，其结果的误差一般只取一位。
测量结果有效数字的最后一位与误差所在的一位对齐。
如L=(83.87±0.02)cm是正确的，而L=(83.868±0.02)cm和L=(83.9±0.02)cm 都是错误的。
3.关于“0”的问题有效数字的位数与十进制的单位变换无关。
末位“0”和数字中间的“0”均属于有效数字。
如23. 20cm；10.2V等，其中出现的“0”都是有效数字。
小数点前面出现的“0”和它之后紧接着的“0”都不是有效数字。
如0.25cm或0.045kg中的“0”都不是有效数字，这两个数值都只有两位有效数字。
有效数字
Precision and Accuracy
• 精密度（precision）和准确度（accuracy）
– 精密度表示测量值之间的相近性 – 准确度表示测量值与真实值之间的相近性
精密度高，准确度低 精密度低，准确度高 精密度高，准确度高
Significant Figures: Examples
• 加减法 150.0 + 0.507 = 150.507 = 150.5 2.0113 + 31.25 + 0.357 = 33.6183 = 33.62
• 乘除法 2.51 × 1.2 = 3.012 = 3.0 45.2 6.3578 = 7.1094 = 7.11
Significant Figures
• 有效数字：是指在分析工作中实际能够测量到的数字。
所谓能够测量到的是包括最后一位估计的、不确定的数 字。 我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把 通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。把测量结果 中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字 叫有效数字。如举例中测得物体的长度5.16 cm。我们记 录的数据和实验结果表述中的数据便是有效数字。
入有效数字，如：3.0，0.0200； 5. 如果数字右侧有零，但是位于小数点之前，一般
不记入有效数字，如：130，10300。
Scientific Notation（科学计数法）
• 以10300为例 – 若有三位有效数字，记为：1.03×104 – 若有四位有效数字，记为：1.030×104 – 若有五位有效数字，记为：1.0300×104
• 修约规则 ---- “四舍六入五取偶” 14.2432保留三位有效数字，则为14.2 26.4843保留三位有效数字，则为26.5 1.0501保留两位有效数字，则为1.1 1.05保留两位有效数字，则为1.0（末位有效数字为偶数）
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电阻值只记录到“ 10”。
6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可
疑位。
6
三.有效数字的运算规则
(1)记录测量数据时,一般只保留一位可疑数字. 如滴定管读数32.47ml.
(2) 在运算中舍去多余数字时采用四舍五入法.等 于5时,如前一位为奇数,则增加1;如前是偶数则 舍去.
(3)加减运算时,计算结果有效数字的末位的位置 应与各项中绝对误差最大的那项相同. 即保留 各小数点后的数字位数应与最小者相同. 13.75 +0.0084 +1.642应为13.75+0.01+1.64
四舍、六入、五凑偶
16
估计值只有一位，所以也叫欠准数位或 可疑数位。
3
有效数字的特点
（1）位数与单位变换或小数点位置无关 。 35.76cm = 0.3576m = （2）00.00的0地35位76km
0.0003576 3.005 3.000 都是四位
（3）特大或特小数用科学计数法
3.576 101
3.576 102
h 6.627 10 34 j s
4
二、有效数字的读取
进行直接测量时，由于仪器多种多样， 正确读取有效数字的方法大致归纳如下：
1、一般读数应读到最小分度以下再估一 位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。
2、有时读数的估计位，就取在最小分度
位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则
21 30 0 333
20 9673
20 967
可见，约简不影响计算结果。在加减法运 算中，各量可约简到其中位数最高者的下一 位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位 数最高者对齐。
11
乘、除法
在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最
少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，特
a:真数有几个有效数字,则其对数的尾数也应有几 个有效数字 lg 317.2=2.5013; lg7.1×1028=28.85
b: 对数的尾数有几个有效数字,则其反对数也应有 几个有效数字 0.652=lg4.49
9
(8) 在整理最后结果时,要按测量的误差进行化整, 表示误差的有效数字一般只取一位,至多也不超 过二位, 1.45±0.01 任何一个物理量的数据,其有效数字的最后一 位,在位数上应与误差的最后一 位相对应.
即末位为偶数(0、2、4、6、8)， 数字舍去；末位为奇数(1、3、5、7、 9)，数字入进变为偶数。
修约成4位有效数字 3.14159 → 3.142 6.378501→ 6.379 2.71729 → 2.717 4.51050 → 4.510 5.6235 → 5.624 3.21650 → 3.216
1223.78±0.054,应为1223.78±0.05 14356±86,应为(1.436±0.009) ×104
(9) 计算平均值时,若为四个数或超过四个数相平 均,则平均值的有效数字可增加一位.
10
加、减法
21 30 0 3327 20 97
21 30
约简
0 3327
测量结果最佳值的有效数字的末位与不 确定度首位取齐。
3. 舍入规则： 四舍六入五凑偶
15
当实验结果的有效数字位数较多 时，进行取舍一般采用1/2修约规则。
（1） 需舍去部分的总数值大于 0.5时，所留末位需加1，即进。
（2） 需舍去部分的总数值小于 0.5时，末位不变，即舍。
（3） 需舍去部分的总数值等于 0.5时，所留部分末位应凑成偶数。
为欠准数位。比位数最少者
少一位的情况。
12
乘方、立方、开方
有效数字位数与底数的相同
7Байду номын сангаас8892 62.24 103.45 10.171
13
常数
不参与有效数字运算
14
四、舍入法则
1. 不确定度的有效数字
一般情况下不确定度的有效数字取一位， 精密测量情况下，可取二位。
2. 测量结果的有效数字
7
(4) 若第一位有效数字等于或大于8,则有效数字 可多计一位. 如9.12在计算有效数字时,可作四 位运算.
(5) 乘除运算时,所得的积或商的有效数字,应以各 值中有效数字最低者为标准. 2.3×0.524=1.2
(6) 常数Π, e等,按需要取有效数字的位数
8
(7)在对数计算中,所取对数位数(对数首数除外)应 与真数的有效数字相同.
有效数字及运算规则
一、有效数字的一般概念
定义：在测量结果的数字表示中，由 若干位可靠数字加一位可疑数字，便组成 了有效数字
数据左起第一位非零数起,到第一位 欠准数止的全部数字。
有效数字=准确数字+欠准数 1
有效数字来源 于测量时所用的 仪器。我们的任 务是使测量值尽 可能准确地反映 出它的真实值。 有两个特征：
殊情况比最少者多（少）一位。
5 2 3 21 16 7
3 21
5 2
642
1 01 1 21 0 83
0 83
1 211 010 968
420
1605
363
16 6 9 2
56
全部欠准时，商所在位即为
多一位的情况
0.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到下
一位。
5
3、游标类量具，读到卡尺分度值。多不估 读，特殊情况估读到游标分度值的一半。
4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。
5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪 器的灵敏阈决定。例如在“灵敏电流计研 究”中，测临界电阻时，调节电阻箱“10 ”，仪器才刚有反应，尽管最小步进为 0.1
（1）以刻度为依据可 读到最小刻度所在位。
准确位
（2）在最小刻度之间 可估计一位。
欠准位
2
35
36 (cm)
[1] [2] [3]
[3]位置介于35.7-35.8之间, 可以估
[1]位置为35.00cm, 计为35.75. 35.76
不能写成 35cm。 35.77，不妨取 35.76cm。
[2]位置为35.40cm