6、简谐振动、单自由度系统与频响函数

x0 A cos v0 A sin
v0 A＝ x v0 tg x0
2 0 2
说明： (1) 一般来说 的取值 在-π和π(或0和2π)之 间；
结论：
（1）单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数表示 的，故称为简谐振动。 （2）自由振动的角频率即系统的固有频率仅由系统本身参数确 定，与外界激励、初始条件无关。
0
10
2
10
4
幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 1Hz ， 阻 尼 比 30）
10
-2
10
0
10
2
10
4
加速度摆
当 1, 在0以下 x 有 2 1，在自振 sX 频率为以下，呈现 加速度平坦特性， 摆体称为加速度摆。 即摆体和外界振动 加速度成正比。
3 2 x 10
-6
幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 100Hz ， 阻 尼 比 0.707）
k m
（3）自由振动的振幅A和初相角φ由初始条件所确定。
单自由度系统 单自由度系统的阻尼自由振动
k b
m
bx kx 0 m x
x
0
k m
x 20 x 0 2 x 0 b 2 mk
2 r1， 1 2 0 0
x A1e r1t A2e r2t
0 ：无阻尼固有角频率
：阻尼常数
大阻尼状态
当 1时，系统为大（过）阻尼 状态，方程特征根为两个不等实 根，方程解为：
x （A1e
2 10t
A2e
2 10t
）e 0t
可见，大阻尼状态下，系统的自由 响应按照指数规律衰减，逐渐向平 衡位置靠近，解中的常数A1和A 2由 系统的初始状态决定。
dv a A 2 cos( t ) A 2 cos( t ) dt
x
1
a
v
2 4 6 8 10 12
0.5
t
14
-0.5
-1
常数A和 的确定
x A cos(t ) dx v A sin( t ) dt
由初始条件：
速度
0
0
1 2 D1
2
加速度
• 对于一个单自由度系统，位移、速度、加 速度的共振频率点是不同的，对于实际的 结构，尤其是土木水利工程的结构，其阻 尼比通常在0.15以下，加速度、速度和位移 的共振频率点非常接近，可以认为是相同 的。而阻尼比较大时，系统的共振已经不 明显或者已经消失。
简谐力作用下加速度频率响应曲线
D=0.707 D=1 D=2
u
0
0t TD1 2 )
AK
t
AK 1
e
1 0TD1 2
AK AK 1
对数衰减率
0 ( t
e


1 2
AK 1 ln ln TD1 AK 1 2 1 2

2 2
单自由度系统的强迫振动
运动方程为：mx bx kx F0 sin t
u 0

1 (1 u ) 4u
2 2 2 2
，为动力放大系数
F0 xst = k
d
简谐力作用下位移频率响应曲线
D=0
D=1/8
D=1/6
D=1/4
D=0.3535
D=0.707 D=1 D=2
u
0
三参量无阻尼和有阻尼共振时的频率值
无阻尼
有阻尼
位移
0 0 0
0 1 D1 2
x2 A sin （t ）
A A12 A2 2 q / 0 2
2 2 4 2 2 （ 1 2 ） 0 0 2
arctg
2 A2 arctg （ 2 02 ） A1 0
A
1 (1 u 2 ) 2 4u 2 2
xst xst
x2 A1 sin t A2 cos t
（ q 0 2 2） A1 2 2 2 2 2 2 （0 ） 4 0
（ q 0 2 2） A2 2 （0 2 2） 4 20 2 2
有阻尼强迫振动的解：
（ q 02 2） （ q 02 2） x2 2 2 2 sint 2 2 2 cont 2 2 2 2 2 2 （0 ） 4 0 （0 ） 4 0
临界阻尼状态
当 1时，系统为临界阻尼状态， 方程特征根为两个重根，方 程解为：
x ( A1 A2t )e 0t
可见，临界阻尼状态下，系统的自 由响应也是按照指数规律衰减，逐 渐向平衡位置靠近，解中的常数A1 和A 2由系统的初始状态决定。
临界阻尼状态几种初始条件 曲线
小阻尼状态
惯性测量原理—摆系统
右图所示惯性系统的运动方程为： mx cx kx mX 经过拉普拉斯变换后有（不考虑负号）：
，
x s2 2 X s 20 s 0 2 其中，0 k c m 2 mk 对于不同的0和，系统表现出不同
的性质。
位移摆
当 1, 0时 x 有 1，在自振 X 频率以上，呈现 位移平坦特性摆 体称为位移摆。 即摆体和外界振 动位移成正比。
当 1时，系统为小阻尼状态， 方程特征根为两个不等实根， 方程解为：
x Ae 0t cos 1 2 0t
小阻尼状态下系统的响应曲线
可见，小阻尼状态下，系统的自由 响应按照具有固定频率的谐波振荡， 但是谐波的幅值按照指数规律衰减。
小阻尼情况下的阻尼比计算
A1
A3
A2 A4
Ae Ae
幅 频 特 性 曲 线 (自 振 频 率 1Hz ， 阻 尼 比 0.707) 1.5
1
0.5
0 -2 10 200 150 100 50 0 -2 10
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 1Hz ， 阻 尼 比 0.707）
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
速度摆
a
D=0 D=1/8
D=1/6
D=1/4
D=0.3535 D=0.5 D=0.707 D=1 D=2
u
0
简谐力作用下速度频率响应曲线
D=0.1
D=0..25
D=0..5 D=1 D=2
u
0
D=4
d
简谐力作用下位移频率响应曲线
D=0
D=1/8
D=1/6
D=1/4
D=0.3535
当 1, 在0附近
3 x 10
-3
幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 1Hz ， 阻 尼 比 30）
x 有 1，以自振 sX 频率为中心，呈现 速度平坦特性摆 体称为位移摆。即 摆体和外界振动速 度成正比。
2
1
0 -4 10 100 50 0 -50 -100 -4 10
10
-2
10
k o
运动学特征
x
d x 2 x 0 2 微分方程特征 dt
2

k m
解 位移 速度 加速度
d2x 2 + ω x=0 2 dt
可得 振动方程
x A cos( t )
v
dx A sin( t ) A cos( t ) dt 2
F0 x 20 x 0 x sin t q sin t m
2
F0 sin t
方程的解为： x x1 x 2， x1为阻尼自由振动s 0 Dt C2 sin 0 Dt） 0 D 1 2 0
1
0 0 10 0 -50 -100 -150 -200 0 10
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 100Hz ， 阻 尼 比 0.707）
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
简谐振动
以无阻尼自由振动的弹簧振子为例得出普遍结论：
由
F ma kx
k 2 a x x m