平面图形知识要点(第四章)
北师大版七年级上册数学第四章基本的平面图形讲义(学生、家长、教师必备)
第四章基本平面图形■通关口诀：三线入门学几何；线段距离要分清。
温习数角数线段；中点角分三描述。
点点滴滴认识圆；六十进制作了解。
多边形与对角线；学习几何打基础。
比线比角要熟练；尺规作图知初步。
■正奇数学学堂第一讲：线段、射线、直线【知识点一】“三线”的基本概念｛1.线段：不定义的基本概念。
两个特征：一是直的；二是有两个端点。
2.射线：把线段一方无限延长所形成的图形叫做射线。
三个特征：直的；一个端点；向一方无限延长。
3.直线：把线段向两方无限延长形成的图形叫做直线。
三个特征：直的；无端点；向两方无限延长。
4.注意：三线都是直的。
线段和射线都是直线的一部分。
区别在端点个数和是否延长及延长的方向。
〖母亲题示例〗1.填写下表:名称图例端点数延伸方向有无长度线段射线直线2．下图中哪个是线段，哪个是射线，哪个是直线？【知识点二】线段、射线、直线的表示方法。
1.线段：可以用表示两爹端点的大写字母或一个小写字母来表示。
名称+字母（无顺序）。
2.射线：可以用端点和射线上的另一点表示。
名称+字母（字母有顺序，端点字母必须在前）。
3.直线：可以用两个大写字母来表示。
也可以用一个小写字母来表示。
名称+字母（不讲顺序）。
4.注意：线段-字母相同即相同；射线：字母、顺序都相同，才能断定同一线；直线：字母相同即同线。
〖母亲题示例〗1.如图，A,B在直线l上，下列说法错误的是（）Ａ．线段AB和线段BA同一条线段Ｂ．直线AB和直线BA同一条直线Ｃ．射线AB和射线BA同一条射线Ｄ．图中以点A 为端点的射线有两条.【知识点三】直线的性质（老大：代表两个小弟。
）1.交点：两条直线相交，只有一个交点。
2．两点定线：经过两点有且只有一条直线。
（简记：两点确定一条直线）。
3．探求：过一点有无数条直线。
过两点以上不一定有直线。
但它们可以在一条直线上。
4．求交点：过平面内n条直线最多有(1)2n n —个交点。
5．数线段：①n个点= (1)2n n 条线段②n条基本线段：退乘法求线段数。
《基本平面图形》基础知识点
（1）圆的定义：定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．
（4）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC= ∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
或 （其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
九、角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC=∠BOC= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．
【中考-章节复习三】 第四章 平面图形及其位置关系
第四章 平面图形及其位置关系【同步教育信息】一. 教学内容：第四章：平面图形及其位置关系学习目标：1. 经历观察、测量、折叠、模型制作与图案设计等活动，发展空间观念。
2. 在现实情境中认识线段、射线、直线、角等简单图形。
3. 了解平面上两条直线的平行和垂直关系。
4. 能用符号表示角、线段、互相平行或垂直的直线。
5. 会进行线段或角的比较。
能估计一个角的大小，会进行角的单位的简单换算。
6. 经历在操作活动中探索图形性质的过程。
7. 了解线段、平行线、垂线的有关性质。
8. 借助三角尺、量角器、方格纸等工具；会画角、线段、平行线、垂线。
9. 能进行简单的图案设计，并能表达和交流自己的设计方案。
§4.1线段、射线、直线基本知识回顾：图形 名称 特征 端点 度量 表示方法直线向两方 无限延长 无不可以 A B 直线AB 或直线BAl 直线l射线 向一方 无限延长 1个 不可以O M射线OM线段 不可延长2个 可以A B 线段AB 或线段BA a线段a直线的相关知识：（1）过一点可以做无数条直线。
（2）过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线） （3）过三点中的两个点最多可以做3条直线。
（）过个点中的两个点最多可以做条直线。
4n n n ()12例1：过平面上的两个点最多可以作几条直线？若平面上有三个点、四个点、五个点……n 个点，过任意两点作一条直线，最多可以作多少条直线，完成下列表格。
点的个数 2 3 4 5 6 n最多可以作直线 1361015n n ()-12§4.2 比较线段的长短基本知识回顾：（1）两点之间，线段最短。
（2）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，点M 叫做线段AB 的中点。
A M B表达式：∵M 是AB 中点∴==AM BM AB 12AB AM BM ==22（4）作一条线段等于已知线段。
a作法书P 123A C B∴线段AC 即为所求。
最新北师大版七年级数学上册第四单元基本平面图形知识点
第四章：基本平面图形知识梳理一、线段、射线、直线1、线段、射线、直线的定义（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。
线段可以量出长度。
（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。
射线无法量出长度。
（3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。
直线无法量出长度。
： 联系：射线是直线的一部分。
线段是射线的一部分，也是直线的一部分。
2、点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
3、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。
简称两点确定一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
4、线段的比较（1）叠合比较法（用圆规截取线段）；（2）度量比较法（用刻度尺度量）。
5、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。
若C 是线段AB 的中点，则：AC=BC=21AB 或AB=2AC=2BC 。
二、角1、角的概念：（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。
两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
（2）角还可以看成是一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法：角用“∠”符号表示，角的表示方法有以下四种： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B ，∠C 等。
第四章 基本平面图形 4.3角(12张PPT)
顶 点 另一条边
2.角的表示
角 的 表ห้องสมุดไป่ตู้示
①用大写字母表示
如图
三个大写字母表示 ∠BAC或∠CAB
其中A表示的是顶点
一个大写字母表示 ∠A A是顶点
②用一个希腊字母表示 ∠α（要在靠近顶点处加上弧线，
再写字母，如α、β、γ）
③用一个阿拉伯数字表示 ∠1（要在靠近顶点处加上弧线，
再写数字如1、2、3......）
新课标 北师大版七年级上册
第四章 基本平面图形
3.角
新知学习
检测反馈
……
不之不 知高登 地也高 之；山 厚不， 也临不
深知 溪天 ，
你能在下列图片中找到角吗?
想一想，角是怎样形成的？
1.角的概念： 有公共端点的两条射线组成的图形 这个公共端点是角的顶点， 这两条射线是角的两条边
角的构成要素：顶点、两条边
(1)你能用适当的方式分别表示下图中的角吗?
A
B C
B
C
∠ABC
A
D
∠BAC, ∠BAD, ∠DAC
想一想： 1.还有其它的表示方法吗？
2.能用∠A来表示∠BAC,∠CAD,∠BAD吗?
角的动态概念
如图把裁纸刀的手柄看成一条射线的话,在它开合的过程 中就形成了角
FB C
A
D
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的
1.平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫平角. 2.周角：终边和始边重合时所形成的角叫周角。
小学的学习我们已经知道: 1平角 180 °,1周角= 360 °,什么样子的角是平 角?什么样子的角是周角?一个一度的角又有多大 呢?
平面构成第四章第二节基本型
平面构成第四章第二节基本型一、基本形的概念基本形是构成中最基本的单位元素。
基本形，就是点、线、面、体基本元素构成设计形态的基本单元形象。
当我们运用一种基本形象来构成设计对象时，这些形象就是基本形。
二、形象的组合关系形象是物体的外部特征，是可见的。
在构成中形象和形象之间产生了各种的组合关系。
1.分离：形与形之间不接触，有一定距离。
2.相遇（相接）：形与形之间边缘正好相切。
3.复叠：形与形之间上下重叠关系，由此产生上下前后左右的空间关系。
4.透叠：形与形之间相交在一起，相交部分为透明感觉，但不产生上下前后的空间关系。
5.联合：形与形之间结合在一起，组成为一个较大的新形象。
6.减缺：形与形之间下下重叠，上面图形减下面图形，得到一个新的形象。
7.差叠：形与形之间相交重叠，重叠的地方产生一个新的形象。
8.重合：形与形之间相互重合，变为一体。
三、打散重构（一）打散重构的定义打散重构是一种分解组合的构成方法，就是把一个完整的东西，打破原有的组合规律，破坏其排列关系，分解成若干个部分，然后根据一定的构成原则重新组合。
▲这种方法有利于抓住事物的内部结构及特征，从不同的角度去观察、解剖事物，从一个具象的形态中提炼出抽象的成分，用这些抽象的成分再组成一个新的形态，产生新的美感。
在现代标志设计中经常使用这一方法。
（二）基础几何打散重构利用分割、打散的手法，把几何形体分成若干个部分，然后把分割的图形重新组合得到新的图形。
▲练习时要注意不要分得太多、太乱。
重组时不能重叠在一起。
（三）特殊打散重构按照一定的秩序规律，利用分割、打散的手法，把图形分成若干个部分，然后把分割好的图形全部用上，缺一不可，使其重新组合（重组时不能重叠一起）。
得到新的图新。
▲练习时要注意分割的图形形状，可用弧线分割、直线分割等，不同的分割方式能组成不同的形象。
如，把一个圆分成六分，再重新组合成新的图形。
四、正负形（一）认识正负形（图与底）形体与空间是相辅相成，互不可分的。
北师大版七年级数学第四章----- 基本平面图形
第四章 基本平面图形思维导图形图面平本基⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=︒⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧︒︒︒︒︒"=''=︒⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧)(36036018090909006016012为扇形的半径为圆心角的度数，π扇形面积：—用扇形所占百分比乘—圆心角的度数相关计算角叫做圆心角圆心角：顶点在圆心的形径所组成的图形叫做扇这条弧的端点的两条半扇形：由一条弧和经过的部分叫做圆弧圆弧：圆上任意两点间点形成的图形点旋转一周，另一个端段绕着它固定的一个端定义：平面上，一条线圆做正多边形各角也相等的多边形叫正多边形：各边相等，两个顶点的线段边形中，连接不相邻的多边形的对角线：在多图形次相连组成的封闭平面一直线上的线段首尾顺定义：由若干条不在同多边形大小比较线射线叫做这个角的平分的角，这条把这个角分成两个相等顶点引出的一条射线，角平分线：从一个角的的角，小于钝角：大于的角直角：等于的角，小于锐角：大于小于平角的角的分类，角的单位换算：希腊字母表示一个阿拉伯数字或一个字母或一个大写字母或表示方法：用三个大写而成的射线绕着它的端点旋转角也可以看成是由一条顶点的公共端点是这个角的的射线组成，两条射线角由两条具有公共端点定义角长短比较之间线段的长度两点之间的距离：两点最短性质：两点之间，线段点段分成两条相等线段的线段的中点：把一条线字母表示表示，也可用一个小写的两个端点的大写字母表示方法：用表示线段看做线段板的边沿都可以近似地定义：绷紧的琴弦、黑线段倒字母写在前面，不能颠字母表示，表示端点的表示方法：用两个大写限延长就形成了射线定义：将线段向一方无射线有一条直线性质：经过两点有且只个小写字母表示意两点的大写字母或一表示方法：用直线上任了直线个方向无限延长就形成定义：将线段向两个两直线扇形R n R n S考点精讲考点一线段、射线、直线线段、射线、直线的概念1.线段：期紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看做线段．线段有两个特征：一是直的；二是有两个端点.2.射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线．手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看做射线．射线有三个特征：一是直的；二是有一个端点三是向一方无限延伸.3.直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线有三个特征：一是直的；二是没有端点；三是向两方无限延伸.线段、射线、直线的表示方法名称图例表方方法线段用一个小写字母表示，如：线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）.射线用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA直线用一个小写字母表示，如：直线l；用直线上的两个大写字母表示，如直线AB（或直线BA）.线段、射线、直线的区别与联系名称线段射线直线不同点端点个数2个1个无伸展性不可延长只能向一方无限延长向两方无限延长度量可以度量不可度量不可度量联系将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就形成了直线，线段和射线都可以看做直线的一部分共同点都是直的，不是曲的拓展：线段的延长线是有方向的，作延长线时要特别注意表示线段的字母的顺序，以便确定延长的方向.“线段BA”与“线段AB”是同一条线段，但“线段AB的延长线”与“线段BA的延长线”却不是同一条.如图，图中，线段AB的延长线如图（1），线段BA的延长线如图（2）.直线的性质1.画直线的常用工具是直尺，经过一点A可以画出无数条直线.2.直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（这一事实可以简述为：两点确定一条直线）线段的性质两点的所有连线中,线段最短.简单说成：两点之间的所有连线中，线段最短.可简称为“两点之间线段最短”两点之间的距离两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.特别提醒：考点二比较线段的长短（1）线段是一个图形；两点间的距离是指线段的长度，是一个数值.（2）线段的长度可用刻度尺测量.比较两条线段的长短已知线段AB和CD.1.叠合法：把它们放在同一条直线上比较．具体作法如下：画一条直线l，在l上先作出线段AB，再作出线段CD，并使点C与点A重合，点D与点B位于点A的同侧，则：（1）如果点D与点B重合，就说线段AB与线段CD相等，记作AB＝CD，如图①所示；（2）如果点D在线段AB内部，就说线段AB大于线段CD，记作AB＞CD，如图②所示；（3）如果点D在线段AB外部，就说线段AB小于线段CD，记作AB＜CD，如图③所示.2.度量法：先用刻度尺量出线段AB与线段CD的长度，再进行比较.特别提醒：用测量法比较线段的长短时，要采用相同的测量标准，单位要统一.作一条线段等于已知线段如图所示，作图步骤为：（1）作一条射线AB；（2）用圆规量出已知线段的长度（记作a）；（3）用圆规在射线AB上截取AC＝a．则线段AC就是所求作的线段.线段的中点特别提醒：（1）线段的中点必须在线段上，线段的中点只有一个，三等分点有两个，四等分点有三个.（2）利用线段的中点可以写出线段相等或成倍分关系的等式.（3）若点C是线段AB的中点，则AC＝BC；但若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点.角的定义1.角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边．构成角的两个基本条件；一是角的顶点，二是角的边.如图所示，角的顶点是点O，角的边是射线OA，OB.考点三角2.从运动的观点看，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.如图所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形.3.一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角.如图(1)所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角：如图(2)所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.在小学数学中，我们已经知道：1平角＝180°，1周角＝360°.拓展：平角与直线、周角与射线的区别：平角是一个角，它的始边和终边在同一条直线上，但方向相反；直线是一条线，没有端点，可以向两边无限延长，这是两个不同的概念，不能说“一条直线就是平角”或“平角是一条直线”.同样，周角是始边旋转360°后与终边重合而构成的角，这时构成角的两条边的两条射线重合，同样也不能说“一条射线是周角”或“周角是一条射线”.特别提醒：（1）平角和周角都是“角”，而不是”线”因此不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是周角.（2）没有特殊说明，我们只讨论大于等于0且小于等于180°的角.角的表示方法角的几何符号是“∠”，角的表示方法有以下几种：图例记法适用范围及注意事项用三个大写字母表示，如∠AOB或∠BOA任何情况都适用，用此方法表示角时，顶点的字母必须写在中间用一个大写字母表示，如∠O以这一点为顶点的角只有一个时才适用用数字1，2，3，…表示，如∠AOB可记作∠1任何情况都适用，用此方法表示角时，要用小弧线表示出角的范围，即从哪边到哪边用小写希腊字母α，β，…表示，如∠BOC可记作∠α任何情况都适用，用此方法表示角时，要用小弧线表示出角的范围，即从哪边到哪边考点三角特别提醒：当以某一点为顶点的角较多时，不能只用表示顶点的大写字母表示角，一般可用数字或希腊字母表示.角的分类小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角且小于直角的角叫锐角；大于直角且小于平角的角叫钝角.1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°.角的度量及换算1.角的度量单位角的度量单位主要有度、分、秒，符号分别是“°”“′”“″”.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其他度量角的单位制.2.角度制的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=160⎛⎫⎪⎝⎭，1′=60″，1″=160''⎛⎫⎪⎝⎭.3.角的度量方法最常用的量角的工具是量角器.用量角器量角时要注意对中（顶点对中心）、重合（一边与量角器的零刻度线重合）、读数（读出另一边所对的度数）这三点.考点四角的比较角的大小比较名称方法举例度量法用量角器量出两个角的度数，度数大的角大，度数小的角小，度数相等的角相等用量角器量得∠1=50°，∠2=45°，所以∠1>∠2.叠合法把两个角的一条边和顶点叠合在一起，另一条边在叠合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小如果EF与BC重合，如图），那么∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF=∠ABC.如果EF落在∠ABC的外部，如图，那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF>∠ABC.如果EF落在∠ABC的内部，如图，那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF<∠ABC.注意：（1）角的大小与角的两边的长短、粗细无关，只与角的两边张开的程度有关；考点四角的比较（2）角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置，图形的放大或缩小而改变.特别提醒：（1）比较角的大小时，有时也可用估测法，即直接通过观察的方法，比较角的大小.此方法较为直观，但不够准确，适用于角度差别较大或精确度要求不高的角的大小的比较.（2）“测量法”中角的大小关系和角的度数大小关系是一致的，是从“数的方面”来比较角的大小.“叠合法”中比较角的大小时，一定要使两个角的顶点及一边重合，将角的另一边落在重合的边的同侧，这是从“形”的方面来比较角的大小.两者比较大小的结果是一致的.角的平分线定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.如图所示，如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA=21∠BOA，∠BOA＝2∠BOC＝2∠C0A.特别提醒：（1）角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线.（2）若OC是∠AOB的平分线，则OC必然在∠AOB的内部.考点五多边形和圆的初步认识多边形的有关概念1.多边形：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形．三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，相邻两条边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.特别提醒：多边形的特征：①多边形是平面图形，要和立体图形区分开；②多边形是由不在同一直线上的线段组成的封闭图形；③组成多边形的各条线段首尾顺次相连．2.多边形的对角线：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 拓展：从n边形每一个顶点都能引出（n-3）条对角线，共有n个顶点，但每条对角线都重复计算了一次，从而对角线共有2)3(nn条.正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.如图所示的多边形分别是正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形.拓展：多边形可分为凸多边形和凹多边形，如没有特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧，凸多边形的每个内角都小于180°.圆、圆弧、扇形、圆心角的概念1.平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径（如图所示）2.圆上任意两点A ，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作.读作圆弧AB 或“弧AB ”（现阶段一般研究小于半圆的弧）3.由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA ，OB 所组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆心角.如图所示的阴影部分就是扇形AOB ．∠AOB 就是圆中的一个圆心角，∠AOB 也可记作∠1.特别提醒：圆心和半径是确定一个圆的两个必须条件．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可．圆心角的度数（1）一个圆可以分割成若干个扇形，这些扇形的面积的和等于圆的面积（2）因为一个周角为360°，所以分成的几个扇形的圆心角的度数之和＝360，每一个扇形圆心角的度数＝360°×（每一个扇形圆心角占周角的百分比）拓展：半径为R 的圆，其面积S ＝πR 2，将圆等分为360个小扇形，则每个圆心角为1°的小扇形的面积是3602R π，所以圆心角为n 的扇形的面是3602R n π.。
第四章 平面图形的几何性质
D
12
组合图形的惯性矩：
I y I yi
i 1
n
I z I zi
i 1
n
空心圆截面：
I y Iz
D4 d 4
64
D 1 64
4 4 4 4
d ( ) D
z
Ip
D4 d 4
32
D 1 32
D
O d
zC z
100
1
20
C(yc,zc) 140 2
yC
zc
(2)求T形截面对形心轴yC的惯性矩Iyc
I y c I y i ( I y ci a Ai )
2 i
20
y
100 203 20 1403 2 ( 150 103.3 ) 100 20 ( 103.3 70 )2 20 140 12 12
A
I y1z1 y1 z1 dA
A
y
y1 cos cos cos sin sin y cos z sin y1 y cos z sin z1 y sin z cos
23
z1 z
z
形心主轴唯一
y
形心轴 y’、z’ 不是形心主轴 形心轴 y、z 是形心主轴
C
y
15
公式(formula of parallel axis)
已知：Iyc，Izc，Iyczc；求： Iy，Iz，Iyz。
z
b
y zc
2 2 I zc y1 dA I yc z1 dA A A
形心坐标为:
第四章基本平面图形-角的认识与计算(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-角的定义及其表示方法：理解角是由两条射线的公共端点（顶点）所形成的图形，学会使用符号正确表示各种角。
-角的分类：掌握锐角、直角、钝角、周角的分类标准，并能准确区分。
-角的度量：理解和掌握度、分、秒的概念，学会使用量角器进行角的度量。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角的基本概念。角是由两条射线的公共端点（顶点）所形成的图形，它是描述物体方向和形状的重要几何元素。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如测量三角板的角度。这个案例展示了角的度量在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角的分类和度量这两个重点。对于难点部分，如角的加减运算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得相当积极。他们能够在小组内部分享自己的想法，通过合作解决问题。不过，我也注意到有些小组在讨论时可能会偏题，需要我在旁边适时引导，帮助他们集中讨论与角相关的核心问题。
在学生小组讨论后，成果分享的环节也让我有所反思。虽然大部分学生能够正确表达自己的观点，但仍有部分学生表达不够清晰，逻辑性不强。我意识到在未来的教学中，应该更多地关注学生的表达能力和逻辑思维的培养，比如通过组织更多的小组讨论和课堂报告，提供更多机会让他们练习表达。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器测量不同物体的角度。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
第四章《平面图形及其位置关系》复习总结
第四章《平⾯图形及其位置关系》复习总结第四章《平⾯图形及其位置关系》复习⼀、线段、射线、直线意义：性质：两点之间，线段最短表⽰：线段AB （或BA ），线段b线段⽐较⼤⼩：度量法，叠合法两点间的距离重要概念线段的中点意义：射线表⽰：射线OA意义：直线表⽰：直线AB （或BA ），直线m性质：两点确定⼀条直线注意：1.表⽰线段，射线，直线时，在字母前要注明“线段”“射线”或“直线”；2.线段，射线都可看作直线的⼀部分；3.射线，直线没有长度，线段有长度；4.⽤两个⼤写字母表⽰线段或直线时，两个字母没有顺序性，但表⽰射线的两个⼤写字母必须把端点字母放在前⾯；5.线段可向两⽅延长：延长线段AB （反向延长线段BA ），延长线段BA （反向延长线段AB ）；6.射线只能反向延长；7.端点相同，延伸⽅向相同的射线是同⼀条射线；8.AM=MB 并不能说明点M 是线段AB 的中点，需添上条件“M 在线段AB 上”；9.“距离”与“线段”、“路程”不同.结论：平⾯内n 条直线，最多．．可有()21-n n 个交点；过平⾯上n 个点中的两个点，最多．．可画()21-n n 条直线；n 个班进⾏单循环⽐赛，共⽐赛()21-n n 场； n 个⼈相互握⼿的总次数为()21-n n 次；D CB A O B A 直线上有n 个点，则⼀共有()21-n n 条线段；有公共端点的n 条射线共可组成()21-n n 个⾓；平⾯内n 条直线最多．．可将平⾯分成222++n n 个部分. 练习：1.分别画出下列图形：⑴直线l 经过点C ，D ；⑵点P 在直线m 上，但在直线n 外；⑶取不在同⼀直线上的三点A ，B ，C ，画直线AB ，线段BC ，射线CA ；⑷取不在同⼀直线上的三点P ，Q ，R ，①连接PQ ，并延长⾄E ，②连接RQ 并反向延长⾄F ，③过点R 画射线PR.2.判断题⑴直线l 上有两个端点；⑵经过A ，B 两点的线段只有⼀条；⑶延长线段AB 到C ，使AC=BC ；⑷反向延长线段BC ⾄A ，使AB=BC ；⑸过两点有且只有⼀条直线；⑹直线上的任意两点都可以表⽰这条直线；⑺两条直线相交，只有⼀个交点；⑻三条直线两两相交，共有三个交点；⑼射线AC 在直线AB 上；⑽直线AB 与直线BA 是指同⼀条直线.3.根据下图，下列说法正确的有⑴点B 在线段AC 上；⑵直线AB 经过点C ；⑶点D 不在直线AC 上；⑷点A 在线段BC 的延长线上.4.观察下图，并判断对错⑴线段OA 与线段AO 是同⼀条线段；⑵线段OA 与线段OB 是同⼀条线段；⑶直线OA 与线段BO 是同⼀条直线；⑷射线OA 与射线AO 是同⼀条射线；DC B A m C B A ⑸射线OA 与射线OB 是同⼀条射线；⑹射线OB 与射线AB 是同⼀条射线.5.点与直线的位置关系有种，分别是和 .6.如图，直线上有四点，则图中有条直线，条射线，条线段.7.如果线段AB=5cm ，BC=3cm ，那么A ，C 两点的距离是（）A.8cmB.2cmC.4cmD.⽆法确定8.两根⽊条，⼀根长60cm ，⼀根长100cm ，将它们的⼀端重合，顺次放在同⼀条直线上，此时两根⽊条的中点间的距离是cm.9.已知线段m ，⽤圆规和直尺作⼀条线段 AB ，使AB=2m.思考题如图所⽰，某单位有三个住宅区A ，B ，C （在⼀条直线上）分别住有职⼯30⼈，25⼈，10⼈，已知AB=100m，BC=200m. 该单位为⽅便职⼯上下班，单位的接送车打算在AC 之间只设⼀个停靠点P ，为使所有的⼈步⾏到停靠点的路程之和最短，那么停靠点P 的位置应设在（） A. A 点 B. B 点C. AB 之间D. BC 之间⼆、⾓静态定义动态相关概念：直⾓，平⾓，周⾓，锐⾓，钝⾓⾓⾓的平分线表⽰法：∠A ，∠AOB ，∠1，∠α度量与计算：1°=60′=3600″，1′=60″⼤⼩⽐较：度量法，叠合法注意：1.构成⾓的两个要素是顶点、两边，两边都是射线，⾓的⼤⼩与两边的长短⽆关，只与两边张开的程度有关；2.在初中阶段，如⽆特别说明，所涉及的⾓均指⼩于平⾓的⾓.C D B AE DC B AO 3.不管⽤哪种⽅法表⽰⾓，⾸先要写上符号“∠”，注意区分“∠”与“＜”；4.⽤⼀个⼤写字母表⽰⾓，只适⽤于顶点处只有⼀个⾓的情形5.⾓的平分线是射线，不是直线、线段6.⽤⼀付三⾓板可以画出15°的整数倍的⾓7.如果⼀个⾓的两边分别平⾏于另⼀个⾓的两边，那么这两个⾓相等或互补.练习；1.判断⑴平⾓是⼀条直线；⑵⼀条射线是⼀个周⾓；⑶两条射线组成的图形叫做⾓；⑷两边成⼀直线的⾓是平⾓；⑸有公共端点的两条线段组成的图形叫做⾓；⑹⼀条射线旋转得到⾓；⑺⼀个钝⾓与⼀个锐⾓的差⼀定是锐⾓；⑻两个锐⾓的和⼀定⼤于90°；⑼若∠AOC=∠BOC ，则OC 是∠AOB 的平分线；⑽若∠AOC=21∠AOB ，则OC 是∠AOB 的平分线. 2.如图所⽰，图中⼩于平⾓的⾓有个.3.灯塔A 在灯塔B 的南偏东70°，A 、B 相距4海⾥，轮船C 在灯塔B 的正东，在灯塔A 的北偏东40°，试画图确定轮船C 的位置.4.如图，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE=20°，∠AOD=40°，求∠DOE 的度数.5.48.26°= ° ′″ 56°25′12″= °6.⼀条船沿北偏东60°的⽅向航⾏⾄某地，然后依原航线返回，船返回时正确的⽅向是 .7.已知∠1，∠2都是钝⾓，甲，⼄，丙，丁四⼈计算()2161∠+∠的结果依次是28°，48°，88°，60°，其中只有⼀个结果正确，那么正确的结果是（）A.甲B.⼄C.丙D.丁三、位置定义：同⼀平⾯内，不相交的两条直线叫做平⾏线表⽰：AB∥CD，m∥n平⾏画法：三⾓板，量⾓器，直尺圆规，⽅格纸等经过直线外⼀点，有且只有⼀条直线平⾏于已知直线性质：位置平⾏与同⼀直线的两直线互相平⾏定义：相关概念：点到直线的距离垂直表⽰：AB⊥CD，m⊥n画法：三⾓板，量⾓器，直尺圆规，⽅格纸等性质：同⼀平⾯内，过⼀点有且只有⼀条直线垂直于已知直线注意：1.平⾏线是相互的，AB∥CD，也可记作CD∥AB;2.⼀条直线有⽆数条直线与其平⾏，但过直线外⼀点却只有⼀条;3.点到直线的距离是⼀个数量，不是指图形（垂线段），⽽是指垂线段的长度练习：1．判断对错⑴不相交的两条直线是平⾏线；⑵同⼀平⾯内，不相交的两条射线叫做平⾏线；⑶同⼀平⾯内，两条直线不相交就重合；⑷同⼀平⾯内，没有公共点的两条直线是平⾏线；⑸过平⾯内⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏；⑹两条线段AB，CD没有交点，那么直线AB与直线CD平⾏；⑺平⾏于同⼀直线的两条直线互相平⾏；⑻同⼀平⾯内，不相交的两条射线互相平⾏；⑼同⼀平⾯内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平⾏两种；⑽同⼀平⾯内，经过⼀个已知点能画⼀条直线和已知直线垂直；⑾⼀条直线的垂线可以有⽆数条；⑿过射线的端点与射线垂直的直线只有⼀条；⒀过直线外⼀点和直线上⼀点这两个已知点，可以画已知直线的垂线.2．对直线a，b，c ，若a∥b，a与c相交，那么b与c是什么位置关系？说明理由. 3．在同⼀平⾯内有三条直线，如果要使其中有且只有两条直线平⾏，那么它们（）A.没有交点 B.只有⼀个交点 C.有两个交点 D.有三个交点D C B A D C B A OP N M B A N M O C B A 4．同⼀平⾯内的四条直线⽆论其位置关系如何，它们的交点个数不可能有（）A.2个B.3个C.4个D.5个5．⼀个三棱柱中有多少对平⾏线？6．在平⾯上有三条直线a ，b ，c ，它们之间有哪⼏种可能的位置关系？请画图说明.7．已知平⾏四边形ABCD 如图，过A 点分别作出BC ，DC 边上的⾼AE ，AF.8．如图所⽰，下⾯结论中正确的有个⑴线段AC 与线段BC 互相垂直；⑵线段CD 与线段BC 互相垂直；⑶点C 到AB 的距离是线段CD ；⑷线段AC 是A 到BC 的距离；⑸线段AC 的长度是点A 到BC 的距离.9．点P 为直线l 外⼀点，点A 、B 、C 为直线l 上三点：PA=4，PB=5，PC=2，则点P 到直线l 的距离为（）A ．4B ．2C ．⼩于2D ．不⼤于210．如图，已知点O 在直线AB 上，OP ⊥MN 于点P ，那么（）A ．线段OP 的长度叫做点O 到直线MN 的距离；B ．线段OP 的长度叫做点P 到直线AB 的距离；C ．线段OP 叫做直线AB 到直线MN 的距离；D ．直线OP 的长度叫做点O 与P 两点间的距离. 11．画⼀条线段的垂线，垂⾜在（）A ．线段上B ．线段的端点C ．线段的延长线上D ．以上都可能12．七巧板通常是由个直⾓三⾓形，个正⽅形和个平⾏四边形组成.13．⽤⼀副七巧板分别拼出⑴⼀个等腰梯形；⑵长⽅形；⑶平⾏四边形，并在图中找出⼀个锐⾓、⼀个直⾓、⼀个钝⾓、⼀对平⾏线段、⼀对互相垂直的线段.14.点M 为线段AB 的三等分点，且AM=6，求AB 的长.15．如图，点O 是直线AB 上⼀点，过O 画射线OC ，OM ，ON ，且OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，那么射线OM ，ON 之间有什么位置关系？说明你的理由.。
第四章 基本平面图形 复习 22—23北师大版数学七年级上册
考点讲练
考点一 图形个数问题
例1 如图，A，B，C，D为平面内每三点都不在
一条直线上的四点，那么过其中任意的两点，可画出
几条直线？若A，B，C，D，E为平面内每三点都不
在一条直线上的五点，则过其中任意的两点可画几条 直线？若是n个点呢？
解：对于已知四点，A点与其他三点共可确定3条
直线，过B，C，D也各有3条，这样共有4×3＝12(条)
AB=4cm,BC=3cm.如果点0是线段AC的中
点，那么线段OB的长度是多少？
●
●●
●
A
OB
C
解：因为AC AB BC 4 3 7(cm)
o是线段AC的中点
所以AO OC 1 AC 1 7 3.5(cm)
2
2
所以OB OC BC 3.5 3 O.5(cm)
考点三 时钟夹角问题
87×60ʹʹ =5220ʹʹ
1800×（ 1 ）ʹ=30ʹ 30×（ 1 ）0=0.50
60
60
1、（
1 8
）0等于多少分？等于多少秒?
解：
1 8
60ʹ=7.5ʹ
7.5×60ʹʹ=450ʹʹ
”
2、6000 等于多少分？等于多少度?
解：6000 ÷ 60ʹ =100ʹ 100 ÷ 60º ≈ 1.67º
第四章 基本平面图形
小结与复习
要点梳理
一、线段、射线、直线 1.线段、射线与直线的特性
类别 线段
图形
端点 个数
是否 可以 延伸
两个
不可 延伸
是否 可以 度量
可以 度量
表示方法
表示方法
备 注
A，
线段AB B 或线段 两
北师版七年级数学上册 第四章 基本平面图形(易错题归纳)
第四章基本平面图形（易错题归纳）易错点一：直线、射线、线段的概念理解不透技巧点拨：代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可1．直线a上有5个不同的点A、B、C、D、E，则该直线上共有（）条线段．A．8B．9C．12D．102．下列叙述正确的是（）A．线段AB可表示为线段BAB．射线AB可表示为射线BAC．直线可以比较长短D．射线可以比较长短3．下列说法正确的是（）A．直线BA与直线AB是同一条直线B．延长直线ABC．射线BA与射线AB是同一条射线D．直线AB的长为2cm4．下列说法正确的是（）A．延长直线ABB．延长射线ABC．反向延长射线ABD．延长线段AB到点C，使AC＝BC易错点二：线段运用技巧点拨：正确掌握数线段方法5．A站与B站之间还有3个车站，那么往返于A站与B站之间的车辆，应安排多少种车票？（）A．4B．20C．10D．96．由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（）A．6种B．7种C．21种D．42种7．往返于甲、乙两地的列车，中途需要停靠4个车站，如果每两站的路程都不相同，问：（1）这两地之间有种不同的票价；（2）要准备种不同的车票．易错点三：两点间的距离技巧点拨：题意不明确时注意分类讨论8．已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB＝5cm，BC＝3cm，那么点A与点C之间的距离是（）A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm9．已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，则下列判断正确的是（）A．点A在线段BC上B．点B在线段AC上C．点C在线段AB上D．点A在线段CB的延长线上10．已知线段AB＝6cm，点C在直线AB上，AC＝AB，则BC＝．11．如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点B表示的数是﹣2，BC＝6，AC＝18，点P从A点出发沿数轴向右运动，速度为每秒2个单位．（1）数轴上点A表示的数为；点C表示的数为．（2）经过t秒P到B点的距离等于P点到C点距离的2倍，求此时t的值．（3）当点Q以每秒1个单位长度的速度从C点出发，沿数轴向终点A运动，N为BQ中点．P、Q同时出发，当一点停止运动时另一点也随之停止运动．用含t的代数式表示线段PN的长．12．P是线段AB上一点，AB＝12cm，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（1）如图若AP＝8cm，①运动1s后，求CD的长；②当D在线段PB上运动时，试说明线段AC和线段CD的数量关系；（2）如果t＝2s时，CD＝1.5cm，试探索AP的值．易错点四：比较线段的长短技巧点拨：注意点的位置进行分类讨论。
七年级上册数学第四章基本平面图形
O C A D B OC A E DB 第四章 基本平面图形3【知识点】【知识点】角的平分线: 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
14、多边形: 由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。
由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。
从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n 边形分割成（n-2）个三角形。
n 边形内角和等于（n-2）×1800，正多边形（每条边都相等，每个内角都相等的多边形）的每个内角都等于（n-2）×1800 / n 过n 边形一个顶点有（n-3）条对角线，n 边形共（n-3）×n / 2条对角线. 圆、弧、扇形圆、弧、扇形 圆：平面上一条线段绕着固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。
固定的端点称为圆心固定的端点称为圆心 弧：圆上A 、B 两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
4.4 角的比较※课时达标 1.1.若若OC 是∠是∠AOB AOB 的平分线的平分线,,则∠则∠AOC=_____;AOC=_____;AOC=_____;∠∠AOC=12______; ______; ∠∠AOB=2_______. 2.12平角平角=_____=_____=_____直角直角直角, , 14周角周角=______=______=______平角平角平角=_____=_____=_____直角直角直角,135,135,135°角°角°角=______=______=______平角平角平角. . 3.3.如图如图如图,(1),(1),(1)∠∠AOC=_____ +_____ = ____ -____ ;(2) (2)∠∠AOB=______-______ =______-_____.第第3题图题图 第第4题图题图4.4.如图如图如图,O ,O 是直线AB 上一点上一点,,∠AOC=90AOC=90°°,∠DOE=90DOE=90°°,则图中相等的角有则图中相等的角有_________对对( ( 小于直角的角小于直角的角小于直角的角))分别是______.5.5.下列说法正确的是下列说法正确的是下列说法正确的是( ). ( ).A. A.两条相交直线组成的图形叫做角两条相交直线组成的图形叫做角两条相交直线组成的图形叫做角B. B.有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角C. C.一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角D. D.角是从同一点引出的两条射线角是从同一点引出的两条射线角是从同一点引出的两条射线★基础巩固1.1.已知已知O 是直线AB 上一点上一点,OC ,OC 是一条射线是一条射线, ,则∠则∠则∠AOC AOC 与∠与∠BOC BOC 的关系是的关系是( ). ( ).A. A.∠∠AOC 一定大于∠一定大于∠BOCB.BOC B.BOC B.∠∠AOC 一定小于∠一定小于∠BOC BOCC. C.∠∠AOC 一定等于∠一定等于∠BOCD.BOC D.BOC D.∠∠AOC 可能大于可能大于,,等于或小于∠等于或小于∠BOC BOC2.2.已知∠已知∠已知∠AOB=3AOB=3AOB=3∠∠BOC,BOC,若∠若∠若∠BOC=30BOC=30BOC=30°°,则∠则∠AOC AOC 等于等于( ) ( )A.120 A.120°°B.120 B.120°或°或6060°°C.30 C.30°°D.30 D.30°或°或9090°°3.3. a Ð和b Ð的顶点和一边都重合的顶点和一边都重合,,另一边都在公共边的同侧另一边都在公共边的同侧,,且a b Ð>Ð,那么a Ð的另一半落在另一半落在b Ð的( ).A. A.另一边上另一边上另一边上B. B. B.内部内部内部;C.; C.; C.外部外部外部D. D. D.以上结论都不对以上结论都不对以上结论都不对4.2704.270°°=_______=_______直角直角直角_____________________平角平角平角________________________周角周角周角. .5.5.已知一条射线已知一条射线OA,OA,如果从点如果从点O 再引两条射线OB 和OC,OC,使∠使∠使∠AOB=60AOB=60AOB=60°°, , ∠∠BOC=20BOC=20°°,求∠求∠求∠AOC AOC 的度数的度数. .6.6.如图如图如图,,如果∠如果∠1=651=651=65°°1515′′,∠2=782=78°°3030′′,求∠求∠33是多少度是多少度? ?312☆能力提高7.7.如图（如图（如图（11）,OD,OE 分别是∠分别是∠AOC AOC 和∠和∠BOC BOC 的平分线的平分线,,∠AOD=40AOD=40°°,∠BOE=25BOE=25°°,求∠求∠AOB AOB 的度数的度数. . 解解:∵OD 平分∠平分∠AOC,OE•AOC,OE•AOC,OE•平分∠平分∠平分∠BOC(•BOC(•BOC(•已知已知已知)•,• )•,•∴∠∴∠∴∠AOC=•2•AOC=•2•AOC=•2•∠∠AOD,•∠∠BOC=•2•BOC=•2•∠∠_____( ),∵∠∵∠AOD=40AOD=40AOD=40°°,∠_______=25_______=25°°(已知已知), ),∴∠∴∠AOC=2AOC=2AOC=2××4040°°=80=80°°(•(•等量代换等量代换等量代换). ).∠BOC=2BOC=2××( )( )°°=( ),∴∠∴∠∴∠AOB=________. AOB=________.8.8.如图（如图（如图（22）,若∠若∠AOC=AOC=AOC=∠∠DOB,DOB,则∠则∠则∠AOB= AOB= AOB= ∠∠COD;•COD;•若∠若∠若∠AOB=•AOB=•AOB=•∠∠COD,•COD,•则∠则∠则∠AOC___AOC___AOC___∠∠DOB.9.9.已知∠已知∠已知∠AOB AOB 和∠和∠BOC BOC 之和为180180°°,这两个角的平分线所成的角是这两个角的平分线所成的角是_______. _______.10.10.如图（如图（如图（33）,∠AOB 是直角是直角,,∠AOC=38AOC=38°°,∠COD=COD=∠∠COB=1:2,COB=1:2,则∠则∠则∠BOD=( ). BOD=( ).A.38 A.38°°B.52 B.52°°C.26 C.26°°D.64 D.64°° E C B B A D OCB A DO (1) (2)CB AD OE C BA DO(3) (4)11.11.如图（如图（如图（44）所示）所示,OE ,OE 平分∠平分∠BOC,OD BOC,OD 平分∠平分∠AOC,AOC,AOC,∠∠BOE=20BOE=20°°,∠AOD=40•AOD=40•°°,•,•求∠求∠求∠DOE DOE 的度数的度数. .●中考在线12.12.用一副三角尺用一副三角尺用一副三角尺,,可以拼出小于180180°的角有°的角有n 个,则n 等于等于( ). A.4 B.6 C.11 D.13 ( ). A.4 B.6 C.11 D.13 13.13.已知已知α、β都是钝角都是钝角,,甲、乙、丙、丁四人计算16(α+β)的结果依次是5050°°,26,26°°,72•,72•°°,90,90°°,那么结果正确的可能是果正确的可能是( ). A.( ). A.( ). A.甲甲 B. B.乙乙 C. C.丙丙 D. D.丁丁14.14.点点P 在∠在∠MAN MAN 内部内部,,现在四个等式现在四个等式::①∠①∠PAM=PAM=PAM=∠∠MAP;MAP;②∠②∠②∠PAN=PAN=12∠A;•A;•③∠③∠③∠MAP=MAP=12∠MAN,MAN,④∠④∠④∠MAN=2MAN=2MAN=2∠∠MAP,其中能表示AP 是角平分线的等式有是角平分线的等式有( ). A.1( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个15.15.如图如图如图,,∠AOD=AOD=∠∠BOC=90BOC=90°°,∠COD=42COD=42°°,求∠求∠AOC AOC AOC、∠、∠、∠AOB AOB 的度数的度数. .O C ADB16.16.如图如图如图,OA ,OA ,OA⊥⊥OB OB、、OC OC⊥⊥OD,OE 是OD 的反向延长线的反向延长线. .(1) (1)试说明∠试说明∠试说明∠AOC=AOC=AOC=∠∠BOD.(2) (2)若∠若∠若∠BOD=50BOD=50BOD=50°°,求∠求∠AOE. AOE.O CAE DB17.17.如图如图如图,AO ,AO ,AO⊥⊥CO,BO CO,BO⊥⊥DO,DO,∠∠BOC=30BOC=30°°,求∠求∠AOD AOD 的度数的度数..O CADB18.18.如图所示如图所示如图所示,OE ,OE 平分∠平分∠BOC,OD BOC,OD 平分∠平分∠AOC,AOC,AOC,∠∠BOE=20BOE=20°°,∠AOD=40•AOD=40•°°,•,•求∠求∠求∠DOE DOE 的度数的度数..E CB ADO19.19.如图如图如图,AO ,AO ,AO⊥⊥CO,BO CO,BO⊥⊥DO,DO,∠∠BOC=30BOC=30°°,求∠求∠AOD AOD 的度数的度数..OCA DB4.5 多边形和圆的初步认识※课时达标1.________1.________，，__________________，，__________________，，__________________等都是多边形等都是多边形等都是多边形. .2.2.各边相等，各角也相等的多边形叫做各边相等，各角也相等的多边形叫做各边相等，各角也相等的多边形叫做____________. ____________.3.3.下列说法中正确的是下列说法中正确的是下列说法中正确的是( ( ).A.A.圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧B. B. B.圆上任意两点间的线段叫做弧圆上任意两点间的线段叫做弧圆上任意两点间的线段叫做弧C. C.圆上任意两点间的线段长度叫做弧圆上任意两点间的线段长度叫做弧圆上任意两点间的线段长度叫做弧D. D. D.任意两点间的部分叫做弧任意两点间的部分叫做弧任意两点间的部分叫做弧4.4.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1：2：3，则这三个扇形的圆心，则这三个扇形的圆心角的度数分别是角的度数分别是角的度数分别是( ( ).A.30 A.30°，°，°，606060°，°，°，909090°°B.60 B.60°，°，°，120120120°，°，°，180180180°°C.40 C.40°，°，°，808080°，°，°，120120120°°D.50 D.50°，°，°，100100100°，°，°，150150150°°5.5.如图如图如图,,从四边形ABCD 的顶点A 出发，可以画出出发，可以画出__________________对角线对角线对角线,,是线段是线段____. ____.6.6.将一个圆分成三个大小相同扇形，则它们的圆心角是将一个圆分成三个大小相同扇形，则它们的圆心角是将一个圆分成三个大小相同扇形，则它们的圆心角是__________________°。
北师大版初一(上)数学讲义第四章：基本平面图形
第四章：基本平面图形◆4.1 线段、射线、直线1．线段、射线、直线的概念(1)线段概念：铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段．线段的特征：①线段是直的；②线段有2个端点；③线段的长度是有限的，可度量．线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的．(2)射线概念：射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形．如图，把线段AB向一个方向无限延伸，就是一条射线．射线的特征：①射线是直的；②射线有一个端点；③因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短，不可测量．射线可以反向延长；射线没有粗细之分．(3)直线概念：直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的．直线的特征：①直线是直的；②直线没有端点；③向两个方向无限延长，没有长短，不可测量．因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延长．【例1】下列说法正确的有( )．①画一条射线等于5 cm；②线段AB为直线AB的一部分；③在直线、射线、线段中，线段最短；④射线与其反向延长线形成一条直线．A．1个B．2个C．3个D．4个2.线段、射线、直线的表示方法(1)线段的表示方法①用两个表示端点的大写字母来表示．如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”．②用一个小写字母来表示．如线段AB也可记作“线段a”．(2)射线的表示方法用两个大写字母表示．一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作“射线AB”(端点必须在前面)．射线的识别：判断两条射线是否是同一条射线，首先看端点是否相同，再看延伸方向是否相同，如果这两点都符合，那么这两条射线是同一条射线．①端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB，MC，MN都表示同一条射线．②端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB，AC就不是同一条射线．③端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN的延伸方向一致，但端点不同，所以不是同一条射线．【例2－1】射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是( )．(3)直线的表示方法直线有两种表示方法：①可以用表示这条直线上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直线上任意两个点的字母没有顺序性．如图甲中的直线可记作“直线AB”或“直线BA”；②可用一个小写字母来表示，如图乙中的直线可记作“直线l”．图甲图乙辨误区线段、射线、直线的联系①表示线段、射线、直线时，都要在字母前面注明“线段、射线或直线”；②用两个大写字母表示线段和直线时，两个字母没有顺序性，可以交换位置，如“线段BA”和“线段AB”表示同一条线段，“直线AB”和“直线BA”表示同一条直线；③表示射线的两个大写字母有一定的顺序，表示端点的字母必须写在前面．【例2－2】如图所示，下列说法( )．A．都错误 B．都正确C．只有一个正确D．有两个正确3．直线的性质(1)经过两点有且只有一条直线．①它包含两层含义：一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条……；②它可简单地说成“两点确定一条直线”．(2)直线的其他性质：①经过一点的直线有无数条；②不同的两条直线最多有一个交点．【例3】工人师傅要将一块长条钢板固定在机器上，则至少要用__________个螺钉．4．射线、线段的计数方法射线和线段可以看做直线的一部分，因此在一条直线上，取一些点时，会出现射线和线段．(1)点数与射线的条数射线向一方无限延伸，因此射线的条数是由端点的个数决定的．在直线上，以一个点为端点的射线有2条，若直线上有n个点，则共有2n条射线．(2)点数与线段的条数线段有两个端点，直线上每两个点之间的部分就是一条线段．因此，数线段时，只要判断这些点共有多少种组合即可．析规律数线段条数的方法确定线段的条数时，可以先固定第一个点为一个端点，再以其余的点为另一个端点组成线段，然后固定第二个点为一个端点，与其余的点(第一个点除外)组成线段……，依此类推，直到找出最后的线段为止．【例4】画出线段AB：(1)如图(1)，在线段AB上画出1个点，这时图中共有几条线段？(2)如图(2)，在线段AB上画出2个点，这时图中共有几条线段？(3)如图(3)，在线段AB上画出3个点，这时图中共有几条线段？(4)如图(4)，在线段AB上画出n个点时，猜一猜：图中共有几条线段？5．直线性质的应用生活中的很多实际问题要用到直线的性质，如木工师傅在锯木料之前，先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹条墨线，就是利用了直线的“两点确定一条直线”的性质，沿着这条线能锯成直的，而不会歪斜．【例5】建房屋垒墙时，建筑工人都要在墙的两端固定绳子，请利用所学的知识，说明其中道理．6.与直线有关的规律探究 (1)两点确定一条直线，在同一平面内，不同的点可以确定不同的直线．当任意三点均不在同一直线上时，点数与直线条数的关系见下表：点的个数 最多直线条数2 13 3 46 … …n (n >1) n (n －1)2(2)平面上若有n (n >1)条直线两两相交，则交点个数最多有12n (n －1)个．【例6】平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出另外三种不同情 况的图形．………………………………………………………………………………………………………………………◆4.2比较线段的长短1．线段的性质（1）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
第四章 基本平面图形
第四章 基本平面图形 4.1 线段、射线、直线基础题知识点1 线段、射线、直线的概念及表示方法 1.手电筒发射出去的光可看作是一条（B ）A.线段B.射线C.直线D.折线 2.下列表示线段的方法中，正确的是（B ）A.线段AB.线段ABC.线段abD.线段Ab 3.如图所示，A ，B ，C 是同一直线上的三点，下面说法正确的是（C ）A.射线AB 与射线BA 是同一条射线B.射线AB 与射线BC 是同一条射线C.射线AB 与射线AC 是同一条射线D.射线BA 与射线BC 是同一条射线4.（柳州中考）如图，点A ，B ，C 是直线l 上的三个点，图中共有线段的条数是（C ）A.1B.2C.3D.4 5.延长线段AB 到C ，则下列说法正确的是（B ） A.点C 在线段AB 上 B.点C 在直线AB 上 C.点C 不在直线AB 上D.点C 在直线BA 的延长线上6.如图，图中的直线可以表示为直线AB 或直线l.7.如图，图中有1条直线，6条射线，6条线段.知识点2 线段、射线、直线的画法8.下列关于作图的语句中，正确的是（D ） A.画直线AB ＝10厘米B.延长线段AB 到C ，使AC ＝12ABC.画射线OB ＝10厘米D.过A ，B 两点画一条直线9.（教材P108习题T2变式）如图，已知平面上四个点A ，B ，C ，D. （1）画直线AB ；（2）画射线BC ；（3）画线段CD ；（4）连接AD.解：如图所示.知识点3两点确定一条直线10.开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为两点确定一条直线.11.用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明经过一点可以画无数条直线；用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明两点确定一条直线.易错点未分类讨论而导致漏解12.平面内有三个点A，B，C，过其中每两个点画直线，可以画出直线的条数为（C）A.1条B.2条C.1条或3条D.无法确定中档题13.如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是（B）A B C D14.如图，MN是过点A的直线，则图中有一个端点是点A的线段有4条，分别是线段AB，AD，AE，AC；图中的射线有2条，分别是射线AM，AN；图中有1条直线，即直线MN.15.如图，已知平面上四点A，B，C，D.（1）画直线AB，射线CD；（2）画射线AD，连接BC；（3）直线AB与射线CD相交于点E；（4）连接AC、BD相交于点F.解：如图所示.16.如图，数轴上点O表示原点，点A表示－2，点B表示1，点C表示2.（1）数轴可以看做是什么图形？（2）数轴上原点及原点右边的部分是什么图形？这个图形怎样表示？（3）射线OB与射线OC是同一条射线吗？端点表示什么数？（4）射线AB与射线BA是同一条射线吗？为什么？（5）数轴上表示绝对值不大于2的部分是什么图形？这个图形怎样表示？解：（1）数轴可以看做规定了原点、正方向、单位长度的直线.（2）数轴上原点及原点右边的部分是射线，这个图形表示成射线OB.（3）射线OB与射线OC是同一条射线，端点表示的数为0.（4）射线AB和射线BA不是同一条射线.理由：它们的端点不同，射线AB的端点是点A，射线BA的端点是点B.（5）数轴上表示绝对值不大于2的部分是从表示－2的点A到表示＋2的点C的一条线段，可以表示为线段AC.17.李明乘车回奶奶家，发现这条汽车线路上共有6个站（包括始发站和终点站），学习本节知识后，善于思考的小明已猜到这条线路上有多少种不同的票价，还要准备多少种不同的车票，聪明的你想到了吗？ 解：有15种不同票价，有30种不同车票.综合题 18.如图.（1）试验观察：如果每过两点可以画一条直线，那么： 第①组最多可以画3条直线； 第②组最多可以画6条直线； 第③组最多可以画10条直线； （2）探索归纳：如果平面上有n （n ≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画n （n －1）2条直线；（用含n 的式子表示）（3）解决问题：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握990次手.4.2 比较线段的长短基础题知识点1 线段基本事实及两点间的距离 1.下列说法正确的是（D ） A.两点之间直线最短B.画出A ，B 两点间的距离C.连接点A 与点B 的线段，叫A ，B 两点间的距离D.两点之间的距离是一个数，不是指线段本身2.（西安碑林区期末）把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是（C ） A.过一点有无数条直线 B.两点确定一条直线 C.两点之间线段最短 D.线段是直线的一部分3.如果线段AB ＝5 cm ，BC ＝4 cm ，且A ，B ，C 在同一条直线上，那么A ，C 两点间的距离是（C ） A.1 cm B.9 cmC.1 cm 或9 cmD.以上答案都不正确4.（德州中考）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象.请你用数学知识解释出现这一现象的原因：两点之间，线段最短.知识点2 比较两条线段的长短5.如图，用圆规比较两条线段A′B′和AB 的长短，其中正确的是（A ）A.A′B′＞ABB.A′B′＝ABC.A′B′＜ABD.不能确定 6.如图，AB ＝CD ，则AC 与BD 的大小关系是（C ）A.AC>BDB.AC<BDC.AC ＝BDD.不能确定 7.下面给出的四条线段中，用尺规比较最长的是（D ）A.线段aB.线段bC.线段cD.线段d知识点3 线段的中点8.点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（B ） A.AC ＝BC B.AC ＋BC ＝AB C.AB ＝2AC D.BC ＝12AB9.如图，C 是线段AB 上的一点，M 是线段AC 的中点.若AB ＝8 cm ，BC ＝2 cm ，则MC 的长是（B ）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm10.已知点O 为线段AB 的中点，点C 为OA 的中点，并且AB ＝40 cm ，求AC 的长. 解：因为点O 为线段AB 的中点，AB ＝40 cm ， 所以OA ＝12AB ＝20 cm.因为点C 为OA 的中点， 所以AC ＝12OA ＝10 cm.易错点 当题目中没有给出图形时，考虑问题不全面而丢解11.已知线段AB ＝10 cm ，直线AB 上有一点C ，BC ＝6 cm ，M 为线段AB 的中点，N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长.解：①如图1，当点C 在线段AB 上时，因为M 为AB 的中点，所以MB ＝MA ＝5 cm. 因为N 为BC 的中点，所以NB ＝NC ＝3 cm. 所以MN ＝MB －NB ＝2 cm ；②如图2，当点C 在线段AB 的延长线上时， 因为M 为AB 的中点，所以MB ＝AM ＝5 cm. 因为N 为BC 的中点，所以NB ＝NC ＝3 cm. 所以MN ＝MB ＋BN ＝8 cm.综上所述，线段MN 的长是2 cm 或8 cm.中档题12.如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（B ）A.两点之间直线最短B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.经过一点有无数条直线13.如图，C 为AB 的中点，D 是BC 的中点，则下列说法错误的是（C ）A.CD ＝AC －BDB.CD ＝12AB －BDC.CD ＝23BC D.AD ＝BC ＋CD14.线段AB ＝2 cm ，延长AB 到C ，使BC ＝AB ，再延长BA 到D ，使BD ＝2AB ，则线段DC 的长为（C ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.2 cm 15.（教材P113习题T2变式）已知线段a 、b （a ＞b ），用尺规作图法作一条线段，使其等于2a －b （不写作法，保留作图痕迹）.解：如图所示，线段OC 即为所求.16.如图，已知线段AB ，按下列要求完成作图和计算：（1）延长线段AB 到点C ，使BC ＝2AB ，取AC 的中点D ； （2）在（1）的条件下，如果AB ＝4，求线段BD 的长度.解：（1）如图所示.（2）因为BC ＝2AB ，且AB ＝4，所以BC ＝8. 所以AC ＝AB ＋BC ＝4＋8＝12. 因为D 为AC 的中点， 所以AD ＝12AC ＝6.所以BD ＝AD －AB ＝6－4＝2.综合题17.如图，已知点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. （1）若AB ＝20，BC ＝8，求MN 的长； （2）若AB ＝a ，BC ＝8，求MN 的长； （3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？解：（1）因为AB ＝20，BC ＝8， 所以AC ＝AB ＋BC ＝28.因为点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以MC ＝12AC ＝14，NC ＝12BC ＝4.所以MN ＝MC －NC ＝14－4＝10.（2）根据（1），得MN ＝12（AC －BC ）＝12AB ＝12a.（3）根据（1），得MN ＝12（AC －BC ）＝12AB ＝12a.（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到线段MN 始终等于线段AB 的一半，与点C 的位置无关.小专题（八） 线段的计算类型1 中点问题【例】 如图，点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点.（1）若AC ＝9 cm ，CB ＝6 cm ，则MN ＝7.5cm ； （2）若AC ＝a cm ，CB ＝b cm ，则MN ＝（12a ＋12b ）cm ；（3）若AB ＝m cm ，求线段MN 的长；（4）若C 为线段AB 上任一点，且AB ＝n cm ，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论.解：（3）因为点M 是AC 的中点，所以CM ＝12AC.因为点N 是BC 的中点，所以CN ＝12BC.所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12AB ＝12m cm.（4）猜想：MN ＝12AB ＝12n cm.结论：当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在MN ＝12AB.【变式1】 若MN ＝k cm ，求线段AB 的长. 解：因为点M 是AC 的中点，所以CM ＝12AC.因为点N 是BC 的中点，所以CN ＝12BC.所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12AB.所以AB ＝2MN ＝2k cm.【变式2】 若C 在线段AB 的延长线上，且满足AB ＝p cm ，M ，N 分别为AC ，BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，并说明理由.解：猜想：MN ＝12AB.当点C 在线段AB 的延长线时，如图.因为点M 是AC 的中点，所以CM ＝12AC.因为点N 是BC 的中点，所以CN ＝12BC.所以MN ＝CM －CN ＝12（AC －BC ）＝12AB ＝12p cm.如图，点C 在线段AB 所在的直线上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN ＝12AB.1.如图，C 是线段AB 上一点，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点.若AB ＝8 cm ，AC ＝3.2 cm ，则MN ＝2.4cm.2.如图，已知点C ，D 为线段AB 上顺次两点，M ，N 分别是AC ，BD 的中点. （1）若AB ＝24，CD ＝10，求MN 的长；（2）若AB ＝a ，CD ＝b ，请用含有a ，b 的式子表示出MN 的长.解：（1）因为AB ＝24，CD ＝10， 所以AC ＋DB ＝AB －CD ＝14 cm. 因为M ，N 分别是AC ，BD 的中点， 所以MC ＋DN ＝12（AC ＋DB ）＝7 cm.所以MN ＝MC ＋DN ＋CD ＝17 cm. （2）因为AB ＝a ，CD ＝b ， 所以AC ＋DB ＝AB －CD ＝a －b.因为M ，N 分别是AC ，BD 的中点， 所以MC ＋DN ＝12（AC ＋DB ）＝12（a －b ）.所以MN ＝MC ＋DN ＋CD ＝12（a －b ）＋b ＝12（a ＋b ）.类型2 直接计算线段的长度3.如图，点C 为线段AB 的中点，点D 在线段CB 上. （1）图中共有6条线段；（2）图中AD ＝AC ＋CD ，BC ＝AB －AC ，类似地，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式； （3）若AB ＝8，DB ＝1.5，求线段CD 的长.解：（2）答案不唯一，如：①BC ＝CD ＋DB ；②AD ＝AB －DB. （3）因为C 为线段AB 的中点，AB ＝8，所以CB ＝12AB ＝4.所以CD ＝CB －DB ＝2.5.4.如图，AD ＝12 cm ，AC ＝BD ＝8 cm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，求EF ＋2FB 的长.解：因为AD ＝12 cm ，AC ＝BD ＝8 cm ， 所以BC ＝AC ＋BD －AD ＝4 cm.所以AB ＝AC －BC ＝4 cm ，CD ＝BD －BC ＝4 cm. 所以EF ＝BC ＋ 12（AB ＋CD ）＝4＋12×8＝8（cm ）.所以CF ＝ 12CD ＝2 cm.所以FB ＝BC ＋CF ＝6 cm.所以EF ＋2FB ＝8＋2×6＝20（cm ）. 即EF ＋2FB 的长为20 cm.类型3 运用分类讨论思想求线段的长度5.已知A ，B ，C 三点在一条直线上，且线段AB ＝15 cm ，BC ＝5 cm ，则线段AC ＝20或10cm.6.已知线段AB ＝60 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝20 cm ，点D 是AC 的中点，求CD 的长度. 解：当点C 在线段AB 上时，如图1.图1CD ＝12AC ＝12（AB －BC ）＝12×（60－20）＝12×40＝20（cm ）.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图2.图2CD ＝12AC ＝12（AB ＋BC ）＝12×（60＋20）＝12×80＝40（cm ）.所以CD 的长度为20 cm 或40 cm.类型4 动态问题7.如图，数轴上A ，B 两点对应的有理数分别为10和15，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q 同时从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t 秒.（1）当0＜t ＜5时，用含t 的式子填空： BP ＝5－t ，AQ ＝10－2t ；（2）当t ＝2时，求PQ 的值； （3）当PQ ＝12AB 时，求t 的值.解：（2）当t ＝2时，AP ＜5，点P 在线段AB 上，OQ ＜10，点Q 在线段OA 上，如图1.图1此时PQ ＝OP －OQ ＝（OA ＋AP ）－OQ ＝（10＋t ）－2t ＝10－t ＝8. （3）①当点P 在点Q 右边时，如图2.图2此时，AP ＝t ，OQ ＝2t ，OA ＝10，AB ＝5. 所以PQ ＝OA ＋AP －OQ ＝10＋t －2t ＝10－t. 当PQ ＝12AB 时，即10－t ＝2.5，解得t ＝7.5.②当点P 在点Q 左边时，如图3.图3此时，OQ ＝2t ，AP ＝t ，OA ＝10，AB ＝5. 所以PQ ＝OQ －OA －AP ＝2t －10－t ＝t －10. 当PQ ＝12AB 时，即t －10＝2.5，解得t ＝12.5.综上所述，当PQ ＝12AB 时，t ＝7.5或12.5.4.3 角基础题 知识点1 角的概念及表示方法 1.下列说法正确的是（D ） A.一条直线可以看成一个平角 B.周角是一条射线C.角是由一条射线旋转而成的D.角是由公共端点的两条射线组成的图形2.下列四个图形中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个角的图形是（B ）3.如图，∠AOB 的顶点是点O ，两边分别是OA 、OB.4.如图，点O 是直线AB 上一点，图中共有5个小于平角的角.知识点2 角的度量及换算 5.计算：（1）15°30′＝15.5°； （2）25.35°＝25°21′； （3）57.27°＝57°16′12″； （4）36°48′36″＝36.81°.知识点3 方位角6.（太原师院附属中学阶段考试）A ，B 两地的位置如图所示，则A 在B 的（C ）A.南偏东30°B.东偏南60°C.北偏西60°D.西偏北60°易错点 度、分、秒转换时，误按十近制进行换算 7.计算：3.76°＝3°45′36″；22°32′24″＝22.54°.中档题8.赵师傅透过放大5倍的放大镜从正上方看30°的角，则通过放大镜他看到的角等于（A ） A.30° B.90° C.150° D.180°9.（教材P117习题T3变式）下列时刻中，时针与分针之间的夹角为30°的是（B ） A.早晨6点 B.下午1点 C.中午12点 D.上午9点10.（焦作期末）已知岛P 位于岛Q 的正西方，由岛P ，Q 分别测得船R 位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（D ）11.计算：（1）85°33′－29°48′； （2）44°35′÷3.解：原式＝55°45′. 解：原式＝14°51′40″.综合题12.如图，在锐角∠AOB 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画n 条不同射线，可得12（n ＋1）（n ＋2）个锐角.…4.4 角的比较基础题 知识点1 角的测量及大小比较1.在∠AOB 的内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在（A ） A.∠AOB ＞∠AOC B.∠AOC ＝∠BOC C.∠BOC ＞∠AOC D.∠AOC ＞∠BOC2.如图，若∠AOC ＝∠BOD ，则∠AOD 与∠BOC 的大小关系是（C ）A.∠AOD ＞∠BOCB.∠AOD ＜∠BOCC.∠AOD ＝∠BOCD.无法确定3.比较两个角的大小，有以下两种方法（规则）：（1）用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大； （2）构造图形，若一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大.对于如图给定的∠ABC 与∠DEF ，用以上两种方法分别比较它们的大小.解：（1）略.（2）如图所示.故∠DEF 大.知识点2 角的平分线及角的运算4.（百色中考）如图，AM 为∠BAC 的平分线，则下列等式错误的是（C ）A.12∠BAC ＝∠BAM B.∠BAM ＝∠CAMC.∠BAM ＝2∠CAMD.2∠CAM ＝∠BAC5.一副三角板如图所示放置，则∠AOB 等于（C ）A.120°B.90°C.105°D.60° 6.如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB.若∠DOC ＝35°，则∠AOD 等于（C ）A.35°B.70°C.110°D.145° 7.如图，下列条件中不能确定OC 平分∠AOB 的是（D ）A.∠AOC ＝∠BOCB.∠AOC ＝12∠AOBC.∠AOB ＝2∠BOCD.∠AOC ＋∠BOC ＝∠AOB8.（平顶山期末）如图，若OB 平分∠AOC ，OC 平分∠BOD ，且∠AOB ＝25°，则∠AOD 等于（C ）A.25°B.50°C.75°D.90° 9.如图，OB 是∠AOC 的平分线，∠BOC ＝30°，∠COD ＝40°，求∠AOD 的度数.解：因为OB 是∠AOC 的平分线，∠BOC ＝30°， 所以∠AOC ＝2∠BOC ＝60°.因为∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ，∠COD ＝40°， 所以∠AOD ＝60°＋40°＝100°.易错点 对角的位置关系没有进行分类讨论，导致漏解10.OC 是从∠AOB 的顶点O 引出的一条射线，若∠AOB ＝90°，∠AOB ＝2∠BOC ，则∠AOC 的度数是45°或135°.中档题11.如图，∠AOC 和∠DOB 都是直角，如果∠AOB ＝150°，那么∠DOC ＝（A ）A.30°B.40°C.50°D.60°12.如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠BOD ＝14∠DOC ，∠BOD ＝10°，则∠AOD 的度数为（C ）A.50°B.60°C.70°D.80° 13.用一副三角板拼角，能拼出的最小角（非0°）的大小是15°，能拼出的最大角（非平角）的大小是150°.14.（太原师院附属中学阶段考试）如图，拿一张长方形纸片，按图中的方法折叠一角，得到折痕EF.如果∠DFE ＝35°，那么∠D′FA ＝110°.15.如图，点O 是直线AB 上的一点，∠AOC ＝130°，OB 平分∠COD ，OE 平分∠AOD ，求∠AOE 的度数.解：因为点O 在直线AB 上， 所以∠AOC ＋∠BOC ＝180°. 因为∠AOC ＝130°， 所以∠BOC ＝50°.因为OB 平分∠COD ，所以∠COD ＝2∠COB ＝100°. 所以∠AOD ＝360°－∠AOC －∠COD ＝360°－130°－100°＝130°. 因为OE 平分∠AOD ， 所以∠AOE ＝12∠AOD ＝65°.综合题16.如图所示，OE ，OD 分别平分∠AOC 和∠BOC. （1）如果∠AOB ＝90°，∠BOC ＝38°，求∠DOE 的度数； （2）如果∠AOB ＝α，∠BOC ＝β（α，β均为锐角，α＞β），其他条件不变，求∠DOE 的度数； （3）从（1）（2）的结果中，你发现了什么规律，请写出来.解：（1）因为∠AOB ＝90°，∠BOC ＝38°，所以∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋38°＝128°. 又因为OE ，OD 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠COE ＝12∠AOC ＝12×128°＝64°，∠COD ＝12∠BOC ＝12×38°＝19°.所以∠DOE ＝∠COE －∠COD ＝64°－19°＝45°.（2）因为∠AOB ＝α，∠BOC ＝β， 所以∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝α＋β.又因为OE ，OD 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠COE ＝12∠AOC ＝12（α＋β），∠COD ＝12∠BOC ＝12β.所以∠DOE ＝∠COE －∠COD ＝12（α＋β）－12β＝12α＋12β－12β＝12α.（3）∠DOE 的大小与∠BOC 的大小无关，∠DOE ＝12∠AOB.小专题（九） 角度的计算类型1 角平分线问题【例】 如图，已知∠AOB 内部有三条射线OE ，OC ，OF ，且OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC. （1）若∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠EOF ＝45°； （2）若∠AOC ＝α，∠BOC ＝β，则∠EOF ＝α＋β2； （3）若∠AOB ＝θ，你能猜想出∠EOF 与∠AOB 之间的数量关系吗？请说明理由.解：∠EOF 与∠AOB 之间的数量关系是∠EOF ＝12∠AOB ＝12θ.理由：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ， 所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝12∠AOC.所以∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝12∠BOC ＋12∠AOC ＝12（∠BOC ＋∠AOC ）＝12∠AOB ＝12θ.【变式1】 若∠EOF ＝γ，求∠AOB.解：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ， 所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝12∠AOC.所以∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝12∠BOC ＋12∠AOC ＝12（∠BOC ＋∠AOC ）＝12∠AOB.因为∠EOF ＝γ，所以∠AOB ＝2γ.【变式2】 若射线OC 在∠AOB 的外部，且∠AOB ＝θ，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，则上述（3）中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由.解：∠EOF ＝12θ成立，如图所示.理由：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ， 所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝12∠AOC.所以∠EOF ＝∠COF －∠EOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12（∠AOC －∠BOC ）＝12∠AOB ＝12θ.如图，当射线OC 在∠AOB 的内部或外部（0°＜∠AOC ≤180°），OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC 时，总有∠EOF ＝12∠AOB.1.如图，点A ，O ，B 在一条直线上，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，则∠EOF ＝90°.2.如图，已知∠AOB 内部有顺次的四条射线：OE ，OC ，OD ，OF ，且OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD. （1）若∠AOB ＝160°，∠COD ＝40°，则∠EOF 的度数为100°； （2）若∠AOB ＝α，∠COD ＝β，求∠EOF 的度数； （3）从（1）（2）的结果中，你能看出什么规律吗？解：（2）因为∠EOF ＝∠COE ＋∠COD ＋∠FOD ＝12∠AOC ＋∠COD ＋12∠BOD ＝12（∠AOC ＋∠BOD ）＋∠COD ＝12（∠AOB －∠COD ）＋∠COD ＝12∠AOB ＋12∠COD ，∠AOB ＝α，∠COD ＝β， 所以∠EOF ＝12α＋12β＝12（α＋β）.（3）若∠AOB 内部有顺次的四条射线：OE ，OC ，OD ，OF ，且OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ， 则∠EOF ＝12（∠AOB ＋∠COD ）.类型2 直接计算角的度数3.如图，点A ，O ，E 在同一直线上，∠AOB ＝40°，∠EOD ＝28°46′，OD 平分∠COE ，求∠COB 的度数.解：因为∠EOD ＝28°46′，OD 平分∠COE ， 所以∠COE ＝2∠EOD ＝2×28°46′＝57°32′. 因为∠AOB ＝40°， 所以∠COB ＝180°－∠AOB －∠COE ＝180°－40°－57°32′＝82°28′.类型3 运用分类讨论思想求角的度数 4.如图，OC 是∠AOB 的平分线. （1）当∠AOB ＝60°时，求∠AOC 的度数； （2）在（1）的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数； （3）当∠AOB ＝α，∠EOC ＝90°时，直接写出∠AOE 的度数.（用含α的式子表示）解：（1）因为OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC ＝12∠AOB.因为∠AOB ＝60°， 所以∠AOC ＝30°.（2）如图1，∠AOE ＝∠EOC ＋∠AOC ＝90°＋30°＝120°.如图2，∠AOE ＝∠EOC －∠AOC ＝90°－30°＝60°. 所以∠AOE 的度数为120°或60°. （3）90°＋α2或90°－α2.类型4 运用角中的旋转求角的度数5.已知点O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC. （1）如图1.①若∠AOC ＝60°，则∠DOE 的度数为30°； ②若∠AOC ＝α，则∠DOE 的度数为12α（用含α的式子表示）；（2）将图1中的∠DOC 绕点O 顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE 和∠AOC 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.解：∠DOE ＝12∠AOC.理由如下：因为∠BOC ＝180°－∠AOC ，OE 平分∠BOC ， 所以∠COE ＝12∠BOC ＝12（180°－∠AOC ）＝90°－12∠AOC.所以∠DOE ＝90°－∠COE ＝90°－（90°－12∠AOC ）＝12∠AOC.4.5 多边形和圆的初步认识基础题 知识点1 认识多边形1.下列图形中，不是多边形的是（D ）A B C D 2.从九边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为（C ）A.3B.4C.6D.93.若某一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形，则这个多边形是（D ） A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形4.n 边形有n 个顶点，n 条边，n 个内角，过n 边形的每一个顶点有（n －3）条对角线.知识点2 认识正多边形 5.下列说法不正确的是（A ）A.各边都相等的多边形是正多边形B.正多边形的各边都相等C.正三角形就是等边三角形D.各内角都相等的多边形不一定是正多边形6.一个正六边形的周长是18 cm ，则这个正六边形的边长是3cm.知识点3 认识圆7.下面的平面图形中，为扇形的是（D ）A B C D8.如图所示的圆可记作圆O ，半径有3条，分别是OA 、OB 、OC ，请写出任意三条弧：答案不唯一，如：AC ︵、BC ︵、MB ︵.9.将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是90度.中档题10.下列属于正n 边形的特征的有（A ）①各边相等；②各个内角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点可以引（n －2）条对角线；⑤从一个顶点引出的对角线将正n 边形分成面积相等的（n －2）个三角形.A.2个B.3个C.4个D.5个11.从十边形的一个顶点出发，可以引m 条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n 个三角形，则m ＋n ＝15Ｗ. 12.（教材P124例变式）把一个半径为2的圆分成三个扇形，使它们的圆心角的度数之比为1∶3∶5. （1）求这三个扇形的圆心角的度数； （2）求这三个扇形的面积（π取3.14）. 解：（1）1＋3＋5＝9， 360°×19＝40°，360°×39＝120°，360°×59＝200°.答：这三个扇形的圆心角的度数分别是40°，120°，200°. （2）3.14×22＝12.56， 12.56×40360＝314225，12.56×120360＝31475，12.56×200360＝31445.答：这三个扇形的面积分别是314225，31475，31445.综合题13.观察探究及应用. （1）观察图形并填空：一个四边形有2条对角线； 一个五边形有5条对角线； 一个六边形有9对角线； 一个七边形有14对角线； （2）分析探究：由凸n 边形的一个顶点出发，可作（n －3）条对角线，多边形有n 个顶点，若允许重复计数，共可作n （n －3）条对角线； （3）结论：一个凸n 边形有n （n －3）2条对角线；（4）应用：一个凸十二边形有54条对角线.章末复习（四） 基本平面图形分点突破知识点1 线段、射线、直线1.如图，下列说法不正确的是（C ）A.点O 不在直线AC 上B.图中共有5条线段C.射线AB 与射线BC 是指同一条射线D.直线AB 与直线CA 是指同一条直线 2.按要求作图：如图，在同一平面内有四个点A ，B ，C ，D.①画射线CD ；②画直线AD ；③连接AB ；④直线BD 与直线AC 相交于点O.解：如图所示.知识点2 线段的有关计算3.下列关系中，与图示不符合的式子是（C ）A.AD －CD ＝AB ＋BCB.AC －BC ＝AD －DBC.AC －BC ＝AC ＋BDD.AD －AC ＝BD －BC4.如图，若AB ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，C 是BD 的中点，则BD ＝10cm ，AD ＝12cm.5.如图，线段AB ＝10 cm ，延长AB 到点C ，使BC ＝6 cm ，点M ，N 分别为AC ，BC 的中点，求线段BM ，MN 的长.解：因为AB ＝10 cm ，BC ＝6 cm ， 所以AC ＝16 cm.又因为M 为AC 的中点， 所以MC ＝AM ＝8 cm. 因为N 为BC 的中点，所以BN ＝NC ＝3 cm ，BM ＝AB －AM ＝10－8＝2（cm ）， MN ＝BM ＋BN ＝2＋3＝5（cm ）.知识点3 角的有关计算6.下列各式计算正确的是（C ）A.（12）°＝118″ B.38°15′＝38.15°C.24.8°×2＝49.6°D.90°－85°45′＝4°55′ 7.（北京中考）如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠AOC ＝76°，则∠BOM 等于（C ）A.38°B.104°C.142°D.144° 8.如图所示，已知∠AOC ＝∠BOD ＝80°，∠BOC ＝30°，则∠AOD 的度数为（C ）A.160°B.110°C.130°D.140° 9.如图，OB 为∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线. （1）如果∠AOB ＝40°，∠DOE ＝30°，那么∠BOD 为多少度？ （2）如果∠AOE ＝140°，∠COD ＝30°，那么∠AOB 为多少度？解：（1）因为OB 为∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线， 所以∠AOB ＝∠BOC ，∠DOE ＝∠DOC.所以∠BOD ＝∠BOC ＋∠DOC ＝∠AOB ＋∠DOE ＝40°＋30°＝70°. （2）因为OD 是∠COE 的平分线，∠COD ＝30°， 所以∠EOC ＝2∠COD ＝60°. 因为∠AOE ＝140°，所以∠AOC ＝∠AOE －∠EOC ＝80°. 又因为OB 为∠AOC 的平分线， 所以∠AOB ＝12∠AOC ＝40°.知识点4 多边形和圆的初步认识10.一个正六边形的边长为6，则它的周长为36.11.将一个圆分成六个完全相同的小扇形，则这些小扇形的圆心角为60度.常考题型演练12.如图，图中小于平角的角有（B ）A.10个B.9个C.8个D.4个13.（宝鸡期末）当时刻为下午3：30时，钟表上的时针与分针间的夹角是（C）A.60°B.70°C.75°D.85°14.如图，已知A，B，C，D，E五点在同一直线上，D点是线段AB的中点，点E是线段BC的中点.若线段AC＝12，则线段DE等于（C）A.10B.8C.6D.415.从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形的边数为10.16.（焦作期末）已知∠AOB＝45°，OC是∠AOB的一条三等分线，则∠AOC的度数是15°或30°.17.如图，已知点C为AB上一点，AC＝12 cm，CB＝23AC，D，E分别为AC，AB的中点.求DE的长.解：因为AC＝12 cm，CB＝23AC，所以CB＝8 cm.所以AB＝20 cm.因为D，E分别为AC，AB的中点，所以AD＝6 cm，AE＝10 cm.所以DE＝4 cm.18.如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，OD是OB的反向延长线. （1）射线OC的方向是北偏东70°；（2）求∠COD的度数；（3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数.解：（2）因为∠AOB＝40°＋15°＝55°，∠AOB＝∠AOC，所以∠BOC＝110°.又因为OD是OB的反向延长线，所以∠COD＝180°－110°＝70°.（3）因为∠COD＝70°，OE平分∠COD，所以∠COE＝35°.又因为∠AOC＝55°，所以∠AOE＝55°＋35°＝90°.19.（郑州5中月考）将平面内一副三角板按三种方式摆放，分别求出对应的度数. （1）平面内将一副三角板按如图1所示摆放，则∠EBC＝150°；（2）平面内将一副三角板按如图2所示摆放，若∠EBC＝165°，则∠α＝15°；（3）平面内将一副三角板按如图3所示摆放，若∠EBC＝115°，求∠α的度数.解：因为∠EBC＝115°，∠EBD＝90°，所以∠DBC＝∠EBC－∠EBD＝25°.因为∠ABC＝60°，所以∠α＝∠ABC－∠DBC＝35°.。
第四章基本平面图形4.5.2圆
课堂小结
多边形和圆 的初步ห้องสมุดไป่ตู้识
多边形的 对角线 多边形 正多边形
圆心角 圆
扇形面积
n边形的 对角线
分割三角形
D．扇形是圆的一部分
2．刘师傅把一个四边形的木板锯掉一个角，那么剩下的木板的形状不
可能是( D ) A．三角形
B．四边形
C．五边形 D．六边形
3.将一个圆分割成四个扇形，它们圆心角的度数之比为
1∶2∶3∶4，则这四个扇形的圆心角的度数依次为
__3_6_°____，72_°_____1_0_8，° _____1_4_4_°，________．
二圆
合作探究
问题1：上面的图形中有你熟悉的图形吗？ 问题2：你能用哪些方法画出一个圆？
多边形的相关概念
由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组 成的封闭平面图形叫做多边形．
组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段 叫做多边形的对角线． 提示：我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多 边形总在任何一条边所在直线的同一侧.
圆的相关概念
平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋 转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆 固定的端点O称为圆心
圆上任意两点A，B之间的部分叫做圆弧，简称弧， 记作 AB ，读作“圆弧AB或“弧AB” 由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA， OB所组成的图形叫做扇形
顶点在圆心的角叫做圆心角．
4.如图，把一个圆分成四个扇形，
若该圆的半径为4 cm，你能求出它
解：因为圆的面积为：π×42＝16π(cm2)．
们的面积吗？
所以S扇形OAB＝16π×45%＝7.2π(cm2)； S扇形OBC＝16π×10%＝1.6π(cm2)； S扇形OCD＝16π×25%＝4π(cm2)； S扇形OAD＝16π×30%＝4.8π(cm2)．
北师版七年级数学上册第四章 基本平面图形 基础知识归纳
第四章基础知识归纳知识点1线段、射线、直线1.下面是四个图形，以及对每个图形的描述：○1线段AB与射线CD不相交：○2点C在线段AB上：③直线a与直线b不相交：○4射线OB会通过点A.其中正确的个数是（）.A.1个 B 2个 C.3个 D.4个2.如图，点A.B.C是直线l上的三个点，图中共有线段（）.A.1条B.2条C.3条D.4条3.下列说法正确的是（）.A.两点之间的所有连线中，直线最短B.若P是线段AB的中点，则AP=BPC.若AP=BP，则P是线段AB的中点D.两点之间的线段叫作这两点之间的距离4.如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（）.A.CD=AC-DB в.CD=AD-BCC.CD=12AB-BD D.CD=13AB5.如图，A，B，C，D为直线1上的四个点，图中共有条线段，以点C为端点的射线有条，它们是。
6.已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E，F分别为线段OA，OB的中点，则线段EF的长度为cm.7.如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=8cm，BD=2 cm（1）求AC的长；（2）若点E在直线AD上，且EA=3cm，求BE的长.8.已知点A，B如图所示，请你按照下列要求画图（延长线都画成虚线）：（1）过点A，B画直线AB，并在直线AB上方任取两点C，D；（2）画射线AC，线段CD；（3）延长线段CD，与直线AB相交于点M；（4）画线段DB，反向延长线段DB，与射线AC相交于点N.9.（1）已知点C在线段AB上，AC=8厘米，BC-6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长.（2）根据（1）的计算过程和结果，设AC+BCa，其他条件不变，你能猜测出MN的长度吗？你发现了其中的规律了吗？知识点2角的度量10.如图所示，下列表示角的方法错误的是（）A.∠1与∠AOB表示同一个角B.∠β表示的是∠BOCC.图中共有三角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD.∠AOC也可用∠O来表示11.下列说法中，正确的是（）.A.平角是一条直线B.直角就是900C.大于直角的角叫做钝角D.两个锐角的和不一定是钝角12.如图所示，下列说法错误的是（）.A.OA的方向是北偏东50°B.OB的方向是南偏东40°C的方向是西偏南30°D.OD的方向是西北方向13.把15024'36"化成以度表示的角等于14.如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29o 18'，则∠AOC的度数为15.小斌在暑假参加了书法班和音乐班，第一天时，它的地图被墨染了，已经看不清音乐班的位置，但他知道音乐班是在书法班的南偏东60 o方向，在家的北偏东30 o方向，图中已经画出他家和书法班的位置，你能帮他确定音乐班的位置吗？知识点3角的比较16.若OC是∠AOB内部的一条射线，则下列式子中，不能表示“OC是∠AOB的平分线”的是（）∠АОВA.∠AOC=∠BOC В. ∠AOC=12C.AOB=2∠BOCD.∠AOC+ ∠BOC=∠AOB17.在∠AOB的内部任取一点C，作射线0C，则一定有（）.A. ∠AOB>∠AOCB.∠AOC >∠BOCC. ∠BOC>∠AOCD.∠AOC= ∠BOC18.如果∠1-∠2=∠3，且∠4+∠2=∠1，那么∠3和∠4之间的关系是（）.A. ∠3>∠4B.∠3=∠4C.不能确定D. ∠3<∠419.已知∠AOB=3∠BOC，若∠BOC=30o，则∠AOC=（）А.120° B.120°或60 ° С.30° D.30°或90°20.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为21.如图，∠AOB=90°，OE是∠AOB的平分线，OD是∠BOC平分线，若∠EOD=60°，则∠BOC的度数是∠EOC，∠COD=15°.求：22.如图，OE为∠AOD的平线，∠COD=14（1）∠EOC的度数；（2）∠AOD的度数.23.如图，∠AOB=90°，OM平分∠BOC，ON平分∠ACC，求∠MON 的度数.知识点4多边形和圆的初步认识24.一个多边形从一个顶点最多能引出2019条对角线，这个多边形的边数是（）.А.2 019 B.2 020 C.2021 D.2 022 25.如图，A，B，C.D四个扇形中最大与最小圆心角的差是o26.从n边形一个顶点出发，可以将n边形分为个三角形.27.一个半径是3cm的圆中，有一个圆心角是90的扇形，它的面积是cm.28.一个圆被分为1：5两部分，则较小的弧所对的圆心角是29.如图，正方形ABCD的内部有若干个点，利用这些点以及正方形ABCD的顶点A，B，C，D把原正方形分割成一些小三角形（互相不重叠）：（1）填写下表：（2）原正方形能否被分割成2020个小三角形？若能，求此时正方形ABCD的内部有多少个点·若不能，请说明理由.。
材料力学第四章 平面图形的几何性质
§4.1 静矩和形心
一、静矩，即面积对轴的矩：(与力矩类似)
z
是面积与它到轴的距离之积。
图形对y轴和z轴的静矩为
dA
Sz
ydA
A
z
Sy
zdA
A
特点：
y▲静矩的量纲为长度的三次方；
第四章 平面图形的几何性质
§4.1 静矩和形心 §4.2 惯性矩和惯性半径 §4.3 惯性积 §4.4 平行移轴公式 §4.5 转轴公式 主惯性轴
第四章 平面图形的几何性质
【基本内容】
一、静矩、形心 二、惯性矩、惯性积、惯性半径 三、主轴、主惯性矩、形心主惯性平面的概念 四、平行移轴公式、转轴公式
跟踪训练
1.图示矩形截面的I．Ⅱ两部分对z轴的静矩的关 系是( )
例 1 求下列各图的图形形心位置。
za
y1
1 2
a,
y2
3 2
a
z1
a,
z2
1 2
a
2a o
A1
y
n
Ai yi
i 1
n
Ai
2a2
1a 2 2a2
a2 a2
3 2
a
5 6
a
i 1
A2
a
yz
n
Ai zi
i 1
n
Ai
2a2 a a2 1 a 2
I z1
Iy
2
Iz
Iy
Iz 2
cos2
I yz sin 2
I y1z1
Iy
2
第四章-基本平面图形知识点梳理
第四章 基本平面图形一、知识点总结1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。
线段有两个端点。
2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
射线有一个端点。
3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
直线没有端点。
一条直线上有n 个点，则在这条直线上一共有条线段，一共有2n 2)1(-⨯n n 条射线。
平面内的n 条直线相交，最多也只有个交点。
2)1(-⨯n n 4、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。
5、点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
6、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。
（或者说两点确定一条直线。
）（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
7、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
8、线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。
9、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。
或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
10、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。
终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
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《基本平面图形》知识要点
1、线段:有两个端点，能度量大小，用两个大写字母（即线段的两端点）表示，记作：线段AB或线段BA，用一个小写字母表示。
记作：线段a
2、射线:有一个端点，并向一方无限延伸，不可度量大小，用两个大写字母（即端点和射线另外一点，端点必须写在前面）表示。
记作：射线OA，用一个小写字母表示。
记作：射线ι
3、直线:没有端点，并向两个方向无限延伸，不能度量大小，用两个大写字母（即直线上的两点）表示，记作：直线AB或直线BA，用一个小写字母表示。
记作：直线a
注意：（1）线段、直线表示与字母顺序无关；（2）射线表示有方向性，端点在前，射线上任意一点在后
绷紧的琴弦、人行横道线都可以近似地看做线段。
将线段向一个方向无限延伸就形成了射线。
将线段向两个方向无限延伸就形成了直线。
直线公理：经过两点有且只有一条直线。
两点确定一条直线。
4、线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
两点之间，线段最短。
5、两点间的距离：连接两点之间线段的长度。
6、点到直线的距离：指这点到这条直线的垂线段的长度。
7、线段比较的方法：
叠合法；将线段重叠在一起，使一个端点重合，再进行比较.
度量法：先分别量出各线段的长度，再比较长短.
8、把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点
如图：点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，点M 叫做线段AB 的中点。
这时 AM=BM=21
AB 或AB ＝2AM ＝2BM
9、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点，两条射线是这个角的两条边。
10、角的表示方法: 1，用三个字母及符号“∠”来表示，中间的字母表示顶点,其它两个字母分别表示角的两边上的点，如∠AOB,
∠DBA 等。
2，用一个大写字母表示，如∠Ａ，∠B ，∠C 。
3，用一个希腊字母表示，如∠α，∠β，∠γ，注意要在角靠近顶点处加上弧线。
4，用一个阿拉伯数字表示，如∠1，2，∠3，注意要在角靠近顶点处加上弧线。
11、角的比较：∠AOB 与∠DOB 有一个公共顶点、一条公共边OB ，同时，OD 边落在∠AOB 的内部，这就表明∠DOB 小于∠AOB ，记作∠DOB ＜∠AOB 。
12、从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做角平分线
13、角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
A B M
14、一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。
继续旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。
1平角=1800；1周角=3600
15、多边形定义：由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。
从n 边形的一个顶点出发可以画(n-3）条对角线, 这(n-3）条对角线把n 边形分割成(n-2)个三角形，n 边形的内角和为1800
(n-2)，n 边形共有2)
3(-n n 条对角线。
正多边形：各边相等，各角也相等的多边形。
16、平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图叫做圆.固定的端点O 称为圆心,线段OA 称为半径.
17、圆上A ，B 两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，记作
，读“圆
弧AB ”或“弧AB ”；弧长与圆周长有关，按比例求。
始0
011111=60601111=6060''''''''的为分，记作，即。
的为秒，记作，即1。
18、由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
扇形面积与圆的面积有关，按比例求。
19、顶点在圆心的角叫做圆心角。
20、平面图形是由同一个平面内的点、线构成的图形。
21、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
∵a∥m a∥l ∴m∥l
22、如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
23、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
过A点作l的垂线，垂足为B点。
垂线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。