☆☆☆☆组合与组合数公式解读
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acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
例2求证：
C
m n
m 1 n． m
C
m1 n
例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员， 他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合? 为什么? 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合
呢?
什么是两个相同的排列？
什么是两个相同的组合？
相同排列：元素相同且顺序相同. 相同组合：元素相同
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序合成一组”．
组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
m）]!
n！ m!(n m)!
(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有 多少种？
解： (1)
C
3 100
161700
(2)
C
C1 2
2 98
9506
(3)
法一：C
C1 2
2 98
C22C918
9604
法二：
C
3 100
C938
9604
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端 点的有向线段共有多少条？
解：(1) (2)
C
2 10
45
A
2 10
90
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件 次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有 多少种？
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合数，用符号 Cnm表示
如: C32 3
思考:如何计算:
C42 6
C
3 4
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
组合数的两个性质
定理1:
Cmn
Cnm n
.
证明:
C
m n
m（! nn！m）!,
Cnm n
(n
n！ m)![n （n
c
a
b c
d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 求34可P34可分分两两步步考考虑虑：：
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 3 ຫໍສະໝຸດ BaiduC A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种 学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中
的守门员，那么教练员有多少种方式做这件 事情？
解：(1)
C
11 17
12376
(2)
C 1171C
1 11
136136
例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点 为端点的线段共有多少条？
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
例2求证：
C
m n
m 1 n． m
C
m1 n
例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员， 他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合? 为什么? 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合
呢?
什么是两个相同的排列？
什么是两个相同的组合？
相同排列：元素相同且顺序相同. 相同组合：元素相同
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序合成一组”．
组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
m）]!
n！ m!(n m)!
(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有 多少种？
解： (1)
C
3 100
161700
(2)
C
C1 2
2 98
9506
(3)
法一：C
C1 2
2 98
C22C918
9604
法二：
C
3 100
C938
9604
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端 点的有向线段共有多少条？
解：(1) (2)
C
2 10
45
A
2 10
90
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件 次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有 多少种？
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合数，用符号 Cnm表示
如: C32 3
思考:如何计算:
C42 6
C
3 4
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
组合数的两个性质
定理1:
Cmn
Cnm n
.
证明:
C
m n
m（! nn！m）!,
Cnm n
(n
n！ m)![n （n
c
a
b c
d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 求34可P34可分分两两步步考考虑虑：：
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 3 ຫໍສະໝຸດ BaiduC A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种 学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中
的守门员，那么教练员有多少种方式做这件 事情？
解：(1)
C
11 17
12376
(2)
C 1171C
1 11
136136
例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点 为端点的线段共有多少条？
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个