第一章121.2.2第1课时组合与组合数公式教育精品PPT课件
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第一章1.21.2.2第一课时组合与组合数公式及组合数的两个性质.
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[例1]
判断下列各事件是排列问题还是组合问题：
(1) 10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这 次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军 获得者有多少种可能？
(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种 选法？ 返回
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组合数公式
组合 数公 式 性质 备注
m A n m 乘积形式 Cn ＝ m＝nn－1n－2„n－m＋1 Am m！
阶乘形式
n－m Cm n ＝ Cn
Cm n＝
n！ m！n－m！
m m m－1 ；Cn ＝ C ＋ C ＋1 n n
n 1 ①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0 ＝ .C n n＝ 1
7×6×5＝210－210＝0. (2)证明：mCm n ＝m· n！ n· n－1！ ＝ m！n－m！ m－1！n－m！
n－1！ －1 ＝ n· ＝nCm n－1 . m－1！n－m！ 1 1 m！5－m！ m！6－m！ (3)∵ m－ m＝ － ， C5 C6 5！ 6！ 7×7－m！m！ 7 ， m＝ 10C7 10×7！
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从1,3,5,7中任取两个数相除． 问题1：可以得到多少个不同的商？
2 提示：A4 ＝4×3＝12 个．
问题2：如何用分步法求商的个数？
提示：第一步，从这四个数中任取两个数，有 C2 4种方 法； 第二步， 将每个组合中的两个数排列， 有 A2 由 2种排法．
2 分步乘法计数原理，可得商的个数为 C2 4A2.
提示：可以，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列 数可由以下两个步骤得到： 第一步，从这 n 个不同元素中取出 m 个元素，共有 Cm n 种不同的取法； 第二步，将取出的 m 个元素全排列，共有 Am m种不同 的排法．
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2.1组合及组合数公式课件新人教B版选修2308292
元素有C42 种,根据分步乘法计数原理,有C53 × C42 =10×6=60(种).
由分类加法计数原理,集合 C 共有 30+60=90(个).
答案:90
第二十一页，共21页。
第一(dìyī)课时 组合及组合数公式
第一页，共21页。
1.理解组合的概念及组合数公式.
2.会利用(lì
yòng)组合数公式解决一些简单的组合问题.
第二页，共21页。
1
2
1.组合的有关概念
(1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组,
叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的定
(2)当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时,
就是不同的组合.例如从a,b,c三个不同的元
素中取出两个元素的所有(suǒyǒu)组合有3个,它们分别是
ab,ac,bc.要注意ba,ab是相同的组合.
(3)组合问题与排列问题的共同点是:都要“从n个不同元素中,任
取m个元素”,不同点是:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要
答案:ab ac ad bc bd cd
第五页，共21页。
1
2
2.组合数公式
(1)组合数的计算公式:C =
!
!(-)!
=
(-1)(-2)…(-+1)
,这里
!
m∈N,n∈N+,且 m≤n.
(2)C0 =1.
名师点拨
公式Cnm
计算;公式Cnm =
n!
Am
n
= Am =
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
应一个三角形,不共面的四点确定一个四面体等,解题时可借图形来帮
由分类加法计数原理,集合 C 共有 30+60=90(个).
答案:90
第二十一页，共21页。
第一(dìyī)课时 组合及组合数公式
第一页，共21页。
1.理解组合的概念及组合数公式.
2.会利用(lì
yòng)组合数公式解决一些简单的组合问题.
第二页，共21页。
1
2
1.组合的有关概念
(1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组,
叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的定
(2)当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时,
就是不同的组合.例如从a,b,c三个不同的元
素中取出两个元素的所有(suǒyǒu)组合有3个,它们分别是
ab,ac,bc.要注意ba,ab是相同的组合.
(3)组合问题与排列问题的共同点是:都要“从n个不同元素中,任
取m个元素”,不同点是:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要
答案:ab ac ad bc bd cd
第五页，共21页。
1
2
2.组合数公式
(1)组合数的计算公式:C =
!
!(-)!
=
(-1)(-2)…(-+1)
,这里
!
m∈N,n∈N+,且 m≤n.
(2)C0 =1.
名师点拨
公式Cnm
计算;公式Cnm =
n!
Am
n
= Am =
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
应一个三角形,不共面的四点确定一个四面体等,解题时可借图形来帮
组合与组合数公式(修改的)PPT
1.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品 中任意抽出 3 件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
2.由 13 个人组成的课外活动小组，其中 5 个人只会跳舞，5 个人 只会唱歌，3 个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出 4 个会跳舞和 4 个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？
C．3 或 5
D．15
解析：选 C．由组合数的性质得 n＝2n－3 或 n＋2n－3＝12，解
得 n＝3 或 n＝5，故选 C．
3.若集合 A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合 A 中含有 4 个元素的 子集共有________个. 解析：共有 C45＝5 个. 答案：5
4.10 个人分成甲、乙两组，甲组 4 人，乙组 6 人，则不同的分组 种数为________．(用数字作答) 解析：从 10 人中任选出 4 人作为甲组，则剩下的人即为乙组， 这是组合问题，共有 C410＝210 种分法. 答案：210
1.2.2 组 合
第 1 课时 组合与组合数公式
1.组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素_合__成___一__组__，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
2.组合数的概念、公式、性质
组合数定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 _所__有__不__同__组__合___的个数，叫做从 n 个不同元素
【解】 (1)3C38－2C25＝3×83××72××61－2×52××41＝148. (2)利用组合数的性质 Cnm＋1＝Cnm＋Cmn －1， 则 C34＋C35＋C36＋…＋C310 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C310－C44 ＝C45＋C35＋…＋C310－C44 ＝… ＝C411－1＝329.
组合与组合数公式 课件(66张)
主题2:组合数公式与组合数性质 从1,3,5,7中任取两个相除, 1.可以得到多少个不同的商? 提示: =4×3=12个不同的商.
A24
2.如何用分步乘法计数原理求商的个数?
提示:第1步,从这四个数中任取两个数,有 种方法;
C24
第2步,将每个组合中的两个数排列,有 种排法.由分
步乘法计数原理,可得商的个数为
出m个元素的组合数,等于从n个不同元素中取出n-m个
元素的组合数,因此
Cmn
Cnm n
.
【预习自测】
1.如果 =28,则n的值为 (
C2n
A.9
B.8
C.7
) D.6
【解析】选B.
=28,所以n=8或n=-7(舍).
C2n
28得
nn 1
2
2.给出下面几个问题,其中是组合问题的是 ( ) ①某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛; ②从1,2,3,4中选出2个数,构成平面向量a的坐标; ③从1,2,3,4中选出2个数分别作为实轴长和虚轴长,构 成焦点在x轴上的双曲线的方程; ④从正方体的8个顶点中任取两点构成线段.
(5)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3 个元素的有多少?
【解题指南】明确组合、排列的定义是解题的关键,若 问题是否与顺序有关不明显,则可以尝试写出其中的一 个结果进行判断.
【解析】(1)当取出3个数字后,如果改变3个数字的顺 序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关, 而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.排列数为
A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 【解析】选B.①④中所取元素不考虑顺序,故是组合问 题,②③中考虑元素顺序,是排列问题.
3.某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现在挑 选5名队员参加比赛,种子选手都必须在内,那么不同的 选法共有________种. 【解析】只需在除种子选手外的7人中再选3人,共有
第一章 1.2 1.2.2 第一课时 组合与组合数公式
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关则是组合问题．
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[通一类] 1．判断下列问题是排列问题还是组合问题： (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一 张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子 和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同 选法？
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[自主解答]
(1)已知集合的元素具有无序性，因此含 3 个元
素的 子集个数 与元素的 顺序无关， 是组合问 题，共有 C 3 7＝ 7！ 7×6×5 ＝ ＝35 个． 4！×3！ 3×2×1 (2)发邮件有先后之分， 与顺序有关是排列问题， 共写了 A2 8＝ 8！ ＝56 个电子邮件． 6！
11×10×9×8×7 ＝ ＝462. 5×4×3×2×1
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[悟一法]
n 1．关于组合数的性质 1(Cm n ＝Cn
－m
)
(1)该性质反映了组合数的对称性， 即从 n 个不同的元素中 取出 m 个元素的每一个组合， 都对应着剩下的 n－m 个元素的 一个组合，反过来也一样，这是一一对应的关系． n n－m (2)当 m> 时，通常不直接计算 Cm ，而改为计算 C . n n 2
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解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的
门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序
无关．
(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．
(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺 序.
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关则是组合问题．
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[通一类] 1．判断下列问题是排列问题还是组合问题： (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一 张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子 和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同 选法？
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[自主解答]
(1)已知集合的元素具有无序性，因此含 3 个元
素的 子集个数 与元素的 顺序无关， 是组合问 题，共有 C 3 7＝ 7！ 7×6×5 ＝ ＝35 个． 4！×3！ 3×2×1 (2)发邮件有先后之分， 与顺序有关是排列问题， 共写了 A2 8＝ 8！ ＝56 个电子邮件． 6！
11×10×9×8×7 ＝ ＝462. 5×4×3×2×1
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[悟一法]
n 1．关于组合数的性质 1(Cm n ＝Cn
－m
)
(1)该性质反映了组合数的对称性， 即从 n 个不同的元素中 取出 m 个元素的每一个组合， 都对应着剩下的 n－m 个元素的 一个组合，反过来也一样，这是一一对应的关系． n n－m (2)当 m> 时，通常不直接计算 Cm ，而改为计算 C . n n 2
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解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的
门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序
无关．
(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．
(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺 序.
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第一章 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式(共57张ppt)
幻灯片11.2.2 组合第1课时组合与组合数公式幻灯片2幻灯片3一、组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素_________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.合成一组幻灯片4思考：组合与排列的概念有何异同点？提示：共同点：都是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”；不同点：组合“不管顺序并成一组”，而排列是要“按照一定顺序排成一列”.幻灯片5二、组合数的概念、公式与性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____ _________的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.表示法____所有不同组合mnC幻灯片6组合数公式乘积式阶乘式性质 备注①n ，m ∈N*且m ≤n ②规定：()()n n 1(n 2)n m 1m!--⋯-+mnm m A Amn C _______________________________==()n!m!n m !-mn C __________=mm 1n n C C -+n m n C -m m n n 1C ____C _________+==，0n C 1=幻灯片7判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a1,a2,a3三个不同元素任取两个元素的一个组合为( )(2)从1，3，5，7中任取两个数相除可以得 个商.( )(3) ( )(4) ( )23C .24C35C 54360.=⨯⨯=2 01212 013 2 013C C 2 013.== 幻灯片8提示：(1)错误.组合数 与一个组合是两个不同的概念，根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数.解题时应分清求组合还是组合数.(2)错误.相除为一排列问题，应有 个商.(3)错误.(4)正确.因为答案：(1)× (2)× (3)× (4)√23C24A 35543C 10.321⨯⨯==⨯⨯ 2 012 2 0132 01212 013 2 013 2 013C C C 2 013.-===幻灯片9【知识点拨】1.对组合的三点认识(1)组合的特点：组合要求n 个元素是不同的，被取出的m 个元素自然也是不同的，即“从n 个不同的元素中取出m 个元素”.(2)组合的特性是：元素的无序性，即取出的m 个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．(3)相同的组合：根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，也是相同的组合. 幻灯片10 2.排列问题和组合问题的区分方法排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,即排列问题与选取的顺序有关组合 若交换某两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取的顺序无关幻灯片11 3.组合数公式的两种形式的适用范围形式 主要适用范围乘积式 含具体数字的组合数的求值阶乘式 含字母的组合数的有关变形及证明幻灯片124.组合数两个性质的应用要注意性质 的顺用、逆用、变形用．顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用.m m m 1n 1n n C C C -+=+m 1m m n n 1n C C C -+=- 幻灯片13。
课件6：1.2.2 第1课时 组合与组合数公式
(2)可按 AB→AC→AD→BC→BD→CD 顺序写出，如图:
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， BCD，BCE，BDE，CDE.
方法二(树形图法)： (1)画出树形图，如图所示:
由此可以写出所有的组合：ab，ac，ad，bc，bd，cd.
(2)画出树形图，如图所示．
(2)在学习组合数公式时，要注意与排列数公式进行对比．组合
数公式
C
m n
＝Байду номын сангаас
nn－1n－2…n－m＋1 m！
一
般
用
于
求
值
计
算
；
C
m n
＝
m！nn！－m！一般用于化简与证明．
组合的有关概念 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ (2)10名同学分成人数相同的两个学习小组，共有多少种分法？
1．判断下列问题是组合问题还是排列问题．并用组合数或排列数表 示出来． (1)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？ (2)10支球队以单循环制进行比赛，共需要进行多少场比赛？ (3)10支球队主客场制进行比赛，共需要进行多少场比赛？ (4)有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，不同的选法种数是多少？
3．计算：(1)C212＝________； (2)C338n－n＋C32n1＋n＝________. 【解析】 (1)C212＝122××111＝66.
(2)由00≤≤338n－≤2n1≤＋3nn
129≤n≤38 ，即0≤n≤221
，
∴129≤n≤221，又 n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C321n＋n＝C3208＋C3301＝C230＋C131＝30×229＋31＝466.
组合与组合数公式课件
关系
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
组合与组合数得第1课时演示课件.ppt
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什精选么课件特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3精选课件
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
Hale Waihona Puke (n m 1)Cnm
n! m!(n
m)!
精选课件
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什精选么课件特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3精选课件
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
Hale Waihona Puke (n m 1)Cnm
n! m!(n
m)!
精选课件
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
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的积．( )
(3)C25＝5×4＝20.( ) (4)C22 001167＝C12 017＝2 017.( )
解析：(1)对．因为只要两个组合的元素相同，不论 元素的顺序如何，都是相同的组合．
(2)对，根据组合数的定义知说法正确． (3)错，C25＝52××41＝10. (4)对，根据组合数的性质知等式成立． 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
温馨提示 注意组合与排列的区别与联系．
2．组合数公式与组合数的性质
(1)组合数公式：①Cmn ＝AAmnmm＝
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）
m！
.
②Cmn ＝m！（nn！－m）！．
(2)组合数的性质：①Cmn ＝__C__nn－_m_；②Cmn＋1＝ _C_nm_＋__C__nm_－_1 ．规定：C0n＝1．
温馨提示 1.组合数公式可由排列数公式表示，注意 公式的结构；2.组合数公式在 n，m∈N*，且 m≤n 时成立， 在 m＞n 时不成立．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相
同．( )
(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘，可得C
2 4
个不同
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛， 没有顺序，是组合问题．
(4)冠 、亚军是有顺序的，是排列问题． (5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺 序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1 枪，有顺序，是排列问题.
类型 2 组合数的计算
[典例 2] (1)计算：C9979＋C9989＋C91900＝________； (2)求值：C5n－n＋C9n－＋n1＝________； (3)解不等式 C4n>C6n. 解析：(1)C9979＋C9989＋C91900＝C91800＋C91900＝C91901＝C2101＝ 101×100 2×1 ＝5 050.
是组合问题；②和③中的问题是排列问题．
答案：①
4．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的 距离均不相等，则车票票价的种数是________．
解析：甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，
同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的 种数为 C23＝3×2 2＝3.
答案：3
5．方程 Cx14＝C21x4－4的解为________．
0≤5－n≤n，
(2)由组合数定义知：
得 4≤n≤5.
0≤9－n≤n＋1，
又 n∈N*，
所以 n＝4 或 n＝5.
当 n＝4 时，C5n－n＋C9n－＋n1＝C14＋C55＝5； 当 n＝5 时，C5n－n＋C9n－＋n1＝C05＋C46＝16. 答案：(1)5 050 (2)5 或 16
解：(3)由 C4n>C6n，得
(2)从 5 个不同的元素 a，b，c，d，e 中取出 2 个， 写出所有不同的组合．
(1)解：①是组合问题，因为每两个队比赛一次并不 需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
②是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队 得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．
③是组合问题，因为 3 个代表之间没有顺序的区别．
(2)要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序 排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来， 如图所示：
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
பைடு நூலகம்
归纳升华 1．区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺 序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是 排列问题，否则是组合问题． 2．写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然 后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来．
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1．2.2 组合
第 1 课时 组合与组合数公式
[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念(重点)． 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单 的组合问题(重点、难点)．
1．组合的概念 (1)组合：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组，叫作从n不同元素中取出m个元素的一 个组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元 素的组合数，用符号Cnm表示．
(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连 中，不同的结果有多少种？
(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪 连中，不同的结果有多少种？
在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问 题？
解：(1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序， 是组合问题．
(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列 问题．
2．下列计算结果为 21 的是( )
A．A24＋C26 C．A27
B．C77 D．C27
解析：C27＝72××61＝21.
答案：D
3．下面几个问题中属于组合问题的是________． ①由 1，2，3，4 构成的双元素集合；②由 1，2，3 构成两位数的方法；③由 1，2，3 组合无重复数字的两位 数的方法． 解析：①中选出的两个元素构成集合，与顺序无关，
n！
>
n！
，
4！（n－4）！ 6！（n－6）！
[变式训练] 给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工 作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不 同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共 需比赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种 不同的结果？
x＝2x－4， 解析：由题意知2x－4≤14，或
x≤14
x＝14－（2x－4）， 2x－4≤14， x≤14，
解得 x＝4 或 x＝6. 答案：4 或 6
类型1 组合的概念(自主研析) [典例1] (1)判断下列各事件是排列问题还是组合问 题． ①10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)， 这次比赛需要进行多少场次？ ②10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军 获得者有多少种可能？ ③从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？