力法典型方程(三次例子)
力法习题
6
（2）由位移条件，建立力法典型方程。
1211XX111222XX2212CCa
h
（3）计算系数与自由项
系数 ——计算同前由图乘求得。
X1
自由项——基本结构由支座移
动引起的沿Xi方向的位移，即：
ΔiC=－∑RiCi
l
B
X2
基本体系
A
7
h
B
B
1
A
X1＝1
b
h/l
M1图
X2＝1
A
b
1/l
M2图
（4）将系数和自由项代入力法方程，求得X1、X2。 （5）求弯矩
【例】试计算图(a)所示刚架，并绘出内力图。
【解】(1) 选取基本结构 此结构是三次超静定 对称刚架，取对称的基本结构如图(b)所示，X1、 X2为对称多余未知力，X3为反对称多余未知力。
(2) 建立力法方程 根据前面分析，力法方 程将分为两组，即
δ11X1+δ12X2+Δ1P=0
δ21X1+δ22X2+Δ2P=0
代入力法方程，解得：
x1
1P
11
5FP 16
计算杆端弯矩：
M AB L(51 FP6 )F2 PL3F 1PL 6 （外侧受拉）
弯矩图如L/16
A
A
A`
3FPL/16
18
(2)求图(b)刚架在反对称荷载作用下的内力计算
取对称的基本结构，只考虑反对称的多余未知力，建
1
L b X2
3L
31X由1+图乘32X法2求+ 得33X3+△3P=0
X1 1 M 1图
M 2图
11 作3LE基I 本结22 构3LE各I M 和12 M2P1图 6LEI
结构力学力法
超静定次数 = 基本未知力的个数 = 多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数 总次数也可由计算自由度得到。
（3 次）
或
(1 次）
(6 次)
(4 次)
力法的基本原理
有一个多于约束 的超静定结构， 有四个反力，只 有三个方程。
只要满足
1 1
FAy FP1 FP2 FBy
1
M A FPi a i 1 FBy l
M M1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3
支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗？ 这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？ M k Mds M k Mds k k FRi ci EI EI
h l 11 22 EI 3 EI l 12 6 EI 3 2 2h hl 33 3 EI EI 2 h hl 13 23 2 EI 2 EI
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
ij
图乘来求
(5) 求基本结构的广义荷载位移
iP
注意： 用图乘法求 ij 和 iP 时应注意图乘条件 (6) 解方程求未知力 X i
4 FP X 1 11 X 2 3 FP 88
FP
FPa
FP （×Fpa）
由叠加原理求得
M M1 X1 M2 X 2 M P
由于从超静定转化为静定，将什么 约束看成多余约束不是唯一的，因此 力法求解的基本结构也不是唯一的。
解法 2： FP 原 结 构
6.4 力法的典型方程
M 2图
6.4 力法的典型方程
按叠加公式 M =`M1 X1 +`M2 X2 +MP 作弯矩图。
计算控制截面弯矩：
MCB
1 14
ql2（上拉）
M AC
1 28
ql2（右拉）
1 ql 2 14
q
B
C
5 ql 2 56 A 1 ql 2 28
M图 ( kN m )
第六章 用力法计算超静定结构
6.4 力法的典型方程
建筑工程系
6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
C
用力法计算图（a）结构并作M图： 多余约束处的位移条件：
1 0
A
(1)
2 0
Δ1 是基本体系在X1作用点（B点）沿X1方 C 向的位移，即B点的竖向位移；
Δ2 是基本体系在X2作用点（B点）沿X2方
向的位移，即B点的水平位移。
A
q
B
l
l
(a)
q
B X2
X1
(b)
6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
分别计算基本结构在每种力单独作用下的位移：
（一）荷载单独作用时，基本结构
C
q
B
的相应位移为：Δ1P、Δ2P。
1P
A
(c) 2P
（二）单位力`X1=1单独作用时，基 本结构的相应位移为：d11、d21。
δn1X1δn2X2 δnnXnnP 0
这就是n次超静定结构在荷载作用下力法方程的一般 形式，常称为典型方程。
6.4 力法的典型方程
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 0 δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 0
一次超静定结构的力法典型方程
一次超静定结构的力法典型方程在我们生活的这个世界里，结构物无处不在，房子、桥梁、甚至那看似简单的秋千，都跟结构有着千丝万缕的关系。
说到超静定结构，哎呀，这可是一个既神秘又让人抓狂的概念。
你可能会想，什么是超静定？是不是跟超人有关系？其实不是，超静定结构的意思就是，它的稳定性和受力情况并不是那么简单，通过一些力法的经典方程，我们能一探究竟。
想象一下，你的朋友跟你说他要建个大房子，你的第一反应肯定是：这得稳得住呀，风一吹可别塌了。
说到这里，超静定结构就显得尤为重要了。
好了，咱们来聊聊力法，听起来挺高大上的，但其实呢，就是用简单的力的平衡来搞定这些复杂的结构。
想象一下，你在玩积木，拼拼凑凑，突然发现有个地方歪了，这可怎么办？这时候，你得用一些巧妙的办法来调整。
力法的经典方程就像是你的调节工具，它帮助你找出哪些地方受力不均，哪里需要加固。
就像人喝酒，喝多了总得找个地方坐下，太累了可不行。
大家知道吗，超静定结构其实可以用几个基本的力法方程来描述。
我们得了解个基本的概念，结构的自由度。
自由度听起来高深，其实就是结构能在什么情况下发生变形。
就像一只小鸟，想飞就飞，想栖就栖，但超静定结构可没这么容易。
这里有个小诀窍，咱们常用的牛顿第二定律就可以派上用场，这可是万金油，万能的。
简单来说，就是力等于质量乘以加速度，哎，这可真是个简单粗暴的真理。
再说了，力法的方程其实就是在用一些简单的数学式子，来帮我们找出各个构件的受力情况。
你想啊，建筑结构就像一个大家庭，每个成员都有自己的责任和角色。
如果有人分担过多的压力，那家里可就不太平了。
想象一下，家里的洗衣机坏了，大家伙儿都在忙，结果呢，阳台的窗户也跟着受到了影响，哎，这可就麻烦了。
力法就是要确保每个成员都在适当的负荷下，不然可就得重新分配任务了。
你看，在这些方程中，有时候会出现一些神秘的符号，比如力的方向、大小，甚至是一些角度。
这就像打麻将，牌面上的每一张都要考虑清楚。
你不能只想着自己要胡，得看看别人怎么出牌。
【毕业论文】力法的基本原理
1第六章力法2一. 力法的基本未知量和基本体系力法计算的基本思路：把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题，即利用已经熟悉的静定结构的计算方法来达到计算超静定结构的目的。
6-1 力法的基本原理3力法思路基本结构待解的未知问题qEI EIqEIX 1基本体系基本未知量01=Δ基本方程41111=+=P ΔΔΔ11111X Δδ=01111=+⋅P ΔX δ力法方程力法方程P 1Δ其中δ11和Δ1P可图乘法获得；由此确定约束力X 1，通过叠加求内力；超静定问题变成静定问题。
q1X Δ11=X 11δqEIqEIX 11=Δ5)力法是将多余未知力作为基本未知量的分析方法。
)将全部多余约束去掉得到的静定结构称力法的基本结构。
)根据原结构的变形条件而建立的位移方程称力法基本方程。
在变形条件成立条件下，基本体系的内力和位移与原结构相同。
1111=+⋅P ΔX δ6基本结构X 1例：基本体系PV ΔB 1==原结构已知的X 1方向的位移原结构70V ΔB 1==基本结构在X 1和外荷载P 分别作用下的变形：X 111ΔPP1Δ原结构已知的X 1方向的位移基本结构在X 1方向的位移1P 11Δ+Δ1P 11Δ+Δ0=11111X Δδ=11=X 11δ01111=Δ+P X δ力法基本方程的物理意义：基本结构在X 1和外荷载P 共同作用下，在B 点的竖向位移之和＝原结构已知的在B 点的竖向位移（等于零）。
8一个超静定结构可选的力法基本结构往往不只一种。
X 1表示原结构支座B 截面的弯矩。
基本体系二基本体系二选取：原结构PPX 1基本结构Δ1=原结构在B 点左右两截面的相对转角等于零9基本结构:PX 11PΔ11ΔB11111X δ=Δ0ΔX δ=+1P 111基本体系在X 1 和外荷载P 共同作用下，在B 点左右两截面的相对转角之和＝原结构已知的在B 点左右两截面的相对转角（等于零）1P11Δ+Δ0=10（1）（2）（1）基本结构的图和图好绘。
力法
所以：力法典型方程的实质是位移协调方程！
由典型方程解得X1
、X2后，利用叠加原理，有
M M 1 X1 M 2 X 2 M P
n次超静定结构的力法方程
11 X 1 12 X 2 1n X n 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0
1 1 2 1 1 2 6 6 6 6 6 6 EI1 2 3 EI 2 2 3
3) 求自由项和系数
4) 代入典型方程求解
X 1 1.927kN , X 2 6.746kN
504 EI 2
22
1 1 2 l3 11 ll l EI 2 3 3 EI
代入力法典型方程
3 X 1 ql 8
ql 2 8
q A
5 ql 8
结构任一截面的弯矩M可表示为
B
3 ql 8
M M 1 X1 M P
以截面A为例：
3ql ql 2 MA l 2 8
解：1) 确定超静定次数，选 取基本体系
2) 根据原结构已知变形条件 建立力法典型方程
3) 求自由项和系数
1 1 2 2l 11 l 1 1 2 EI 2 3 3 EI 1 1 1 l 12 21 l 1 1 EI 2 3 6 EI
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
4) 代入典型方程求解
ql 2 ql 2 X1 , X2 15 60
22
2l 11 3 EI
1 2 ql 1 ql l 1 EI 3 8 2 24EI
05-讲义：7.2 力法的基本原理及典型方程
第二节 力法的基本原理及典型方程力法是计算超静定结构的最基本方法。
采用力法求解超静定结构问题时，不能孤立地研究超静定问题，而是应该把超静定问题与静定问题联系起来，即利用已经熟悉的静定结构计算方法来达到计算超静定结构的目的。
一、力法的基本原理这里先用一个简单的一次超静定结构为例来说明力法的基本概念，即讨论如何在静定结构的基础上，进一步寻求计算超静定结构的方法。
1、力法的基本未知量、基本结构和基本体系图7-7(a)所示为一次超静定梁结构，若将B 处支座链杆作为多余约束去掉，则能得到静定的悬臂梁结构（图7-7(b)）。
将原超静定结构中去掉多余约束后所得到的静定结构，称为力法的基本结构。
所去掉的多余约束处，以相应的多余未知力1X 来表示其作用，如图7-7(b)所示，这样原结构就相当于基本结构同时受到已知外荷载q 和多余未知力1X 的共同作用。
基本结构在原荷载和多余未知力共同作用下的体系称为力法的基本体系。
在基本体系中，仍然保留原结构的多余约束反力1X ,，只是把它由被动的支座反力改为主动力。
因此基本体系的受力状态与原结构是完全相同的，基本体系完全可以代表原超静定结构。
在基本体系中，只要能够设法求出1X ，则剩下的问题就是静定结构的问题了。
由此可知，力法的主要特点就是把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键问题，把多余未知力当作处于关键地位的未知力，因此多余未知力称为力法的基本未知量，力法这个名称就是由此而来的。
图7-7 力法的基本结构和基本体系(a)原超静定结构 (b)基本结构 (c)基本体系2、力法方程的建立怎样才能求出图7-7(c)中基本未知量1X 呢？在基本体系中，未知力1X 相当于外荷载，因此无论1X 为多大，只要梁不破坏，都能够满足平衡条件，显然不能利用平衡条件求解1X ，必须补充新的条件。
为此，将图7-7(c)中的基本体系与图7-7(a)中的原超静定结构加以比较。
在图7-7(a)所示的原超静定结构中，1X 表示支座B 处的约束反力，它是被动的，是固定值，与1X 相应的位移1 （即B 点的竖向位移）等于零。
力法 结构力学知识点概念讲解
力法1概述1.1超静定结构我们学习了各种静定结构的计算方法，它们的支座反力和内力都可以由静力平衡条件全部唯一确定下来。
一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一的确定，我们就称为静定结构，图1a所示简支梁就是一个静定结构。
一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的确定，我们就称之为超静定结构，图1b所示的连续梁就是一个超静定结构。
（a）（b）图1从几何构造来看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系，超静定结构是有多余约束的几何不变体系。
例如图1a所示的简支梁，如果我们去掉一个支杆B，它就变成了几何可变体系。
图1b所示的连续梁，如果我们去掉支杆C，体系仍然是几何不变的，所以，支杆C是多余约束。
而多余约束上产生的反力称为多余力。
可见，超静定结构的基本特点是：内力是超静定的，约束是有多余的。
1.2超静定次数超静定次数就是超静定结构中所具有的多余约束的数目，或者说多余未知力的数目。
在超静定结构中，由于具有多余约束力，使平衡方程的数目少于未知力的数目，所以仅靠平衡条件无法确定全部反力和内力，还必须考虑位移条件以建立补充方程。
一个超静定结构有多少个多余约束，相应的便有多少个多余未知力，也就需要建立同样数目的补充方程，才能求解。
因此，用力法计算超静定结构时，首先必须确定多余约束的数目。
确定超静定次数的方法，就是把给定的超静定结构通过去掉多余约束变为静定结构，所去掉的多余约束的数目就是超静定次数。
如去掉n个约束，就称原结构是n次超静定。
通过前面几何组成分析的学习我们知道：(1)去掉一个链杆支座或切断一根链杆的轴向联系，相当于去掉一个约束。
(2)去掉一个铰支座或去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。
(3)去掉一个固定支座或切断一根受弯杆，相当于去掉三个约束。
(4)一个固定支座改为固定铰支座或将一个刚性联结改为单铰，相当于去掉一个约束。
图2 (a)所示连续梁，去掉右边两根链杆支座后，即变为静定结构。
力法的基本方程讲义
11
2 2EI
(1 2
66
2 3
6)
1 3EI
(6 6 6)
144 EI
图 5.19
22
2 2EI
(6 6 6)
1 3EI
(1 2
66
2 3
6)
132 EI
33
2 2EI
(1 61)
1 3EI
(1 61)
8 EI
12
21
1 2EI
(1 2
6 6 6)
1 3EI
(1 2
6 6 6)
MA
Pa
3EL kl
ab 2
b2
l2
1
3EI kl 3
；M C
Pa3b
1
3b 3a
l3
1
3EI kl 3
【例 5-3】用力法计算如图 5.18(a)所示刚架。 解：刚架是二次超静定结构，基本结构如图 5.18(b)所示。力法方程为
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
2EI 3
EI
将系数和自由项代入力法方程，化简后得
解此方程组得：
24X1 15X 2 5X3 31.5 0
15
X
1
22 X 2
4X3
126
0
5 X 1
4X2
4 3
X3
21
0
X1=9 kN；X2=6.3 kN；X3=30.6 kN·m 按迭加公式计算得最后弯矩图如图 5.20。
从以上例子可以看出，在荷载作用下，多余力和内力的大小都只与各杆弯曲刚度的相对
90 EI
13
31
2 2EI
(1 2
力法典型方程
•X3=1
•5）把上述过程总结如下的简洁步骤： •*确定超静定次数 •*选取基本体系 •*作MP图， 图,求出 •*写力法方程
•*依叠加法作出弯矩图。
•二、力法的典型方程
•称为力法的典型方程
•物理意义：基本体系中去掉约束处的位移应该等于
原结构相应的位移
•P1
•P1
•P2 •A
•P2
•A •B
•B •X3
• 计算图示刚架，作M图
•
d11x1+ D1P =0
d11 =5a/6EI
D1P =qa3/24EI
x1 = - D1P /d11 = -qa2/20
MBC=- qa2/20 (上侧受拉）
•MP •M
•A •A
•X1 •B
•A
•B
•P1 •X2
•P2
•B •X3
•A
•B
•求位移 •令X1，X2， X3分别等于1
•δ32
•A
•δ31 •X1=
•B 1 •δ21 •A
•B
•δ22
•δ11
•X2= 1 •δ12
•P1
•A
•δ33 •B •X3=1 •δ23
•P2 •A
•Δ3P •B•Δ2P
•δ13
•M1 •6 •6
•MP •414
•X2•=1 •X2 •M2
•6 •6
•MP •414
•4）解力法方程
•δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0 •δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
•X1=36， •X2=－ 13.5
•q=23kN/m
•↑↑↑↑↑↑↑
•X1 •X•1=1 •M1 •6 •6
•X2•=1 •X2 •M2
结构力学 力法
X1 = 5 ql ( ↑ ) 4 X1 = 0
当 当
求解图示加劲梁。 例 5. 求解图示加劲梁。 −4 4 横梁 I = 1 × 10 m
解： δ 11 X 1 + ∆1 P = 0
10.67 12.2 , + δ 11 = EI EA 533 .3 ∆1 P = EI 当 A = 1× 10 −3 m 2 ,
ql 2 20
1
M X1
Mi
ql 2 / 40
∆1 = 0 ∆ 2 = 0
1 1 ql 2 1 ql 2 1 ql 3 θA = ( ⋅l ⋅ ⋅1 − ⋅ l ⋅ ⋅1) = ( EI 2 20 2 40 80 EI
)
(1).位移计算 位移计算
求A截面转角 截面转角 q A ql 22EI EI 20 l M l
X1
P -P/2 a
2/2
X1 = − P / 2
P/2 a 0 0 P P
− 2P
X1 = 1
Hale Waihona Puke 1 0 1− 2 − 2
1 1 1
N1
N = N1 X1 + N P
X1
0
P
P 变形条件仍为: 变形条件仍为: N∆1 = 0 P 对吗? 对吗?
X1 X1
∆1 = −
X 1a EA
求作图示梁的弯矩图。 例 4. 求作图示梁的弯矩图。
P
Pl 2 / 8
l X1 P
l X2 X3
δ 13 = δ 31 = δ 23 = δ 32 = ∆3 P = 0
M 32ds N 32ds kQ32ds l δ 33 = ∫ +∫ +∫ = ≠0 EI EA GA EA X3 = 0 δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1 P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 P = 0
力法(3)
一、受集中荷载作用的两端固定梁
三次超静定，去掉固定支座B 得图示悬臂梁。基本体系， X3可略去不计。 力法典型方程：
做出
代入力法典型方程整理得：
解联立方程组得：
AB梁B端的弯矩和剪力：
AB梁A端的弯矩和剪力：
最后弯矩图、剪力图为：
二、支座位移的影响
固定端A顺时针转动角度φA，取基本体系如图所 示， 写出力法典型方程。 力法典型方程：
§5—5等截面单跨超静定梁的杆端内力 等截面单跨超静定梁的杆端内力
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。 计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力 杆端内力(弯矩、剪力)。为了应 杆端内力 用方便，首先推导杆端弯矩公式。 如图所示，两端固定的等截 除受荷载及温度变化外， 面梁， A EI 两支座还发生位移：转角 ϕA、 ϕB及侧移△AB 。转角ϕA、 ϕB ϕA 顺时针为正， △AB则以整个杆 A′ 件顺时针方向转动为正。 在位移法中，为了计算方便，弯 矩的符号规定如下：弯矩是以对杆 MAB 端顺时针为正(对结点或对支座以 A 杆端剪力符号规定不变。 逆时针为正)。
P L βAB
t1 B t2
ϕB B′ B
MBA
固端力、三种类型的等截面单跨超静定梁 单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩，通常称为 固端弯矩，并以 和 表 示，相应的杆端剪力称为固端剪 力，以 和 表示。统称 为固端力。
P A B
三种类型的等截面单跨超静定梁。
两端固定
一端固定 一端铰支
一端固定 一端定向支座
做出
各系数与前同，自由项计算如下：
代入力法典型方程整理得：
解联立方程组得：
力法和位移法—力法典型方程(建筑力学)
l3 2 EI
1 P
1 EI
ql 2 (
2
l
l )
2
ql 4 4 EI
2 P
1 EI
ql 2 (
2
ll
1 3
ql 2 2
l
3l )
4
5ql 4 8EI
试用力法计算图示超静定刚架的内力，并绘出弯矩图
4.代入力法方程求解多余未知力
11 X1 12 X 2 1P 0
l3
l3
ql 4
3EI X1 2EI X 2 4EI
将以上关系式代入
，有
12 12 X2 , 22 22 X2
熟知力法的基本原理
上式就是二次超静定结构力法方程。解以上方程即可求出多余未知力X1 和X2。当X1和X2单位约束反力求解后，其余的计算就可以转化为静定结 构计算。具体绘制弯矩图时，可利用图乘法和叠加原理进行求解，即： 结构各个端部弯矩多余未知力X1和X2 F
(c)
A
M2图
(d)
Fl
F
2
C
B
A
MF图 (e)
➢ 由图乘法得
熟知力法的基本原理
C
B X1=1 C l
B
l X2=1
A l
M1 图
(c)
A
M2图
(d)
熟知力法的基本原理
将各系数和自由项代入典型方程，解得
X1=
X2=
由
绘出结构弯矩图如图f。
3Fl 40
C
FB
17Fl 80
A 3Fl 80
弯矩图 (f)
熟知力法的基本原理
由此得到位移平衡方程为
基本结构在荷载q和多余未知力 X1、X2 共同作 用下的位移应等于这些力分别单独作用下的位 移的叠加，所以有:
力法典型方程柔度系数
力法典型方程柔度系数力法典型方程是材料力学研究中常用的一种表示方法，它能够描述材料受力时的本质特征。
在力法典型方程中，柔度系数是一个重要的物理量，用于表示材料在受力时的弹性特性。
什么是柔度系数？柔度系数是材料力学中一个很重要的物理量，这个物理量可以用于描述物体在受力时的弹性特性。
简单来说，所谓柔度系数就是物体受外力作用下形变产生的应力与应变的比值。
柔度系数通常以弹性模量为基础，而它的倒数就是物体的刚度系数。
在实际应用中，弹性模量是一种非常重要的材料力学参数，用于描述弹性材料在受力时的本质特征，而柔度系数正是弹性模量的倒数。
因此，柔度系数可以用于描述材料某种特定的力学行为，包括弹性变形的程度、刚度等等。
比如，弹簧就是一种典型的弹性材料，它的涵盖了所有的形变应力和变形的比值，意味着弹簧受到的力越大，形变就越大。
因此，柔度系数可以用来衡量弹簧的弹性能力。
柔度系数在力法典型方程中的应用力法典型方程是材料力学研究中常用的一种表示方法，用于描述材料在受力时的本质特征。
在力法典型方程中，柔度系数是一个很重要的物理量，用于描述材料在受力时的弹性特性。
力法典型方程通常表示为f(x) = kx，其中x是材料的位移，k是柔度系数。
当物体受力时，它会发生形变，并且会产生反作用力来抵消外力。
而柔度系数就是描述物体在受力时的弹性特性的一个重要参数。
比如，当有一个物体受到一个力F作用时，它发生的形变量可以用弹性模量E来表示，而它的弹性形变量可以用材料的柔度系数k来表示。
柔度系数的大小通常与材料质地和处理过程有着密切的关系。
对于弹性材料来说，柔度系数越大，材料的弹性变形量就越大，材料受到的应力也越小。
因此，柔度系数越大的材料，越容易发生弹性变形。
结论柔度系数是材料力学研究中的一个重要物理量，它用于描述材料在受力时的弹性特性。
在力学研究中，柔度系数通常与弹性模量密切相关，它可以用来衡量物体受到外力时的形变程度和弹性能力。
在力法典型方程中，柔度系数被用来描述物体在受力时的弹性特性，它是该方程模型的一个关键参数。
力法—支座移动时超静定结构计算(建筑力学)
第八节 支座移动时超静定结构计算
由于超静定结构具有多余约束，因此，凡能使结构产生变 形的因素都将导致结构产生内力。
用力法计算超静定结构在支座移动作用下的内力时，力法 的基本原理和步骤并没有改变，所不同的是力法典型方程中 自由项的计算。
例 7 8 图
力法
解 (1) 此梁为一次超静定，取基本结构为悬臂梁，基本体 系如图b所示。
将系数和自由项代入力法典型方程，得
l3 3EI
X1
l
a
X1
3EI l2
a l
力法
(5) 绘制弯矩图 因为基本结构是静定结构，支座移动并不产生内力，故最 后内力是由多余未知力引起的。
M M 1X1 弯矩图如图d所示。
(2) 建立力法典型方程
11 X 1 1c a
(3) 计算系数和自由项 δ11与外因无关，其计算同前，自由项∆ic 计算公式为
ic F R c
力法
绘出基本结构在X1 =1 作用下的弯矩图 M 1 ，并求出相应的 反力（图c），利用位移公式求得
11
l3 3EI
1c l
(4) 求多余未知力
力法的典型方程
d12 = d 21
1 1 l3 = ( l l l) = 2EI 2 4EI
d 22
D1 P
1 1 2 l3 = ( l l l) 2 = 2EI 2 3 3EI
1 1 2 1 1 1 1 2 3 5ql4 2 =( ql l l + ql l l)( ql l l) = 2EI 2 2 EI 3 2 4 8EI
力法的典型方程
D2
X1
基本结构
d11 d21 X1=1 X 1
q
d12
X2=1
d22
X 2
dij ( = j 主系数>0 i ) dij ( j 付系数 i ) dij = d ji 位移互等
D P 1 D2 P
DiP
柔度系数
荷载系数
P 2 P 1
力法典型方程
对三次超静定问题
P 2
P 1
=
A
原结构
5 - X =1 2 1
2
-
5 2
M1 FN1 图
2 1 2 N 1
d11 =
M F 2 1 2 1 5 2 2 ds + l = ( 2 4 2 + ) [() 2 5 2+ 1 2 ] ò EI EA EI 2 3 EA 2
10 . 67 5 5 + 2 10. 108 13.18 104 11.99 104 67 = + = + = EI EA 10000 E 10E E
6.3 力法的典型方程 力法的
q 2EI EI l l EI l
力法的基本结构
q X2 2EI X1 l
变形协调条件:
ì D = 0 1 í D 2 = 0
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X 2 6 KN
X1 35/ 4KN
18 kNm 18 kNm
97.5 kNm 34.25 kNm
例6．计算下列超静定刚架，EI=常数。
EI=常数
P
4m
2m
2m
1 1 756 1P 3 168 3 EI 2 EI 1 1 5 1260 2 P 3 168 6 EI 2 6 EI
4）解力法方程
δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0 δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
例5 力法解图示刚架。 3m
1）2次超静定超静定 2）选取力法基本体系；
56 kN
3）画MP图、M图，
求系数
3m
3m 3m
X1
56 kN
X2 168
MP
例5 力法解图示刚架。 3m
1）2次超静定超静定 2）选取力法基本体系；
56 kN
3）画MP图、M图，求系数和自由项
3m
3m 3m
X1=1 3 X2=1
力法计算超静定刚架
解：1. 一次超静定 2. 选取基本体系与多余未知力 2m
6 kN/m
C
B
A 6m
6 kN/m
4m
X
2m 4m
基本体系 6m
3）作 M P图，M图 2m
6 kN/m 4m 基本体系 6m
12
108
96
12
18KN MP
1 1 2 1 2 160 11 6 4 4 4 4 4 EI 2 3 2 3 3EI 1 1 2 1 2 1P 6 4 108 4 96 4 EI 2 3 2 3 2 1 1440 4 12 4 3 2 EI
4
X1=1
X2=1
MP
A 24/7
M1
M2
4
X1 22 9 , X2 7 7
MA=16-4×22/7-4×(-9/7) = -12/7(右侧受拉) MB=16-4×22/7+0
= 24/7(左侧受拉)
12/7 M图，单位：kNm
例4 力法解图示刚架。
q=23kN/m
C
EI A
EI EI
要求基本体系在X1，X2， X3和 P单独作用下在B截面的 水平和竖直位移以及转角的叠加为零
A B
X1
A P1
B X2
P2
A
X3
B
A
B
求位移
令X1，X2， X3分别等于1
δ32 A δ31 B X1=1 δ21
A
B X2=1 δ12
δ22
δ11
P1
A
δ33
B X3=1 δ23 δ13
P2
A Δ 3P Δ 1P B Δ 2P
§ 5-2 力法的典型方程
力法关键：根据位移协调条件建立力法方程求 解多余未知力
一、示例 P1
P2 A B
1. 结构为3次超静定结 构，要去掉3个约束变 为静定结构
2. 选取基本体系如下
P1
3. 基本思路
P2 A X3 B X2 X1
1）原结构的受力和变形可等价于基本结构在X1，X2和X3 及荷载P共同作用。
4
4
X=1
1
M图
4. 解力法方程
11 X 1P 0
解得：X 9，方向向左
5. 依叠加法作出弯矩图
12 108
96
MP
M M =96+4 =108+4 × × (-9)= (-9)= 60( 72( 右侧受拉 下侧受拉 )) CA CB
12 72
60 4
C 4
B
A
M图，单位：kNm
q=23kN/m
X1
X1 =1
↑↑↑↑↑↑↑ MP
M1 6 6
1 6 6 6 108 12 21 414 EI 2 EI 1 6 6 2 6 3 288 22 6 EI 2 3 EI
X2 =1 X2 M2
1 6 414 3 6 3726 1P 2P 0 EI 3 4 EI
4）解力法方程
6 6
δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0
δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
X1=36， X2=－13.5
5）叠加最后弯矩图 ↑↑↑↑↑↑↑ MP
M=∑Mi· Xi+MP
X1
X1 =1
X2 =1 X2 M2 6
6 6
q=23kN/m
M1 6
414
81 103.5 M kNm 198 135
3 Pl / 8
X1
例1. 力法解图示结构,作M图.
P M X1
3Pl / 32
4)求解力法方程
11 X1 1P 0
X1 11P / 16
M1
l/2
X1=1
5）作弯矩图
P
MP
M M1 X1 M P
Pl / 4
3 Pl / 8
P M
3Pl / 32
解:
1）1次超静定次数 2）选取基本体系 3)作 M P图，M 图求系数
*依叠加法作出弯矩图。
M M P M1 X1 M 2 X 2 M3 X 3
二、力法的典型方程
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0
21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0
称为力法的典型方程
6
M
6m
6
X1=1
1 2 8160 5120 1P 6 EI 3 EI
4)求解力法方程
11 X1 1P 0
X1
6
M
6
1P
11
320 27
X1=1
5）作弯矩图
M M1 X1 M P
320/27
160 M图(kN.m)
q=20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D 6m q=23kN/m
X1
X2
X2 基本体系
6m
B
q=23kN/m
1）2次超静定超静定 2）选取力法基本体系； 3）画MP图、M图，求系数
↑↑↑↑↑↑↑
X1
↑↑↑↑↑↑↑
X1
↑↑↑↑↑↑↑
414
MP
X1 =1
X2 =1 X2
6 6
M1 6 6
M2
11
1 6 6 2 6 144 2 EI 2 3 EI
2）基本体系的受力可看作基本结构在： X1 ， X2 ，X3和P单独 作用下的叠加。
+
A
B
X1
A
P1
B
X2
+
A X3 B
+
P2 A
B
3）位移协调条件的描述 P1
P1
P2 A
P2
B
A
X3
B X2
X1
原结构在B截面的水平和竖直位移以及转角为零
要求基本体系在B截面的水平和竖直位移以及转角为零 Δ 1=0， Δ 2=0， Δ 3=0
M1
6 6
M2
X1=1 3
X2=1
168
MP
M2
M1
6 6
2 1 2 126 11 3 3 3 3 6 3 EI 2 3 EI 2 1 2 144 22 6 6 6 12 21 0 EI 2 3 EI
4)求解力法方程
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
22 9 解得： X 1 , X 2 7 7
5）作弯矩图 M M P M1 X1 M 2 X 2
16 B C
3P
P2 Δ
2P 2P
Δ
MP图
X3=1 X1=1 X2=1
M1 图
M2 图
M3 图
4）弯矩图的作法
P1
M M P M1 X1 M 2 X 2 M3 X 3
P2 MP图
X3=1
X1=1
M1图 M2图
X2=1
M3图
5）把上述过程总结如下的简洁步骤： *确定超静定次数 *选取基本体系
M i 图,求出 ij , iP *作MP图，
*写力法方程
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0
21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0
31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
物理意义：基本体系中去掉约束处的位移应该等于 原结构相应的位移 P1
P1 P2 P2 A B A X3 B X2 X1
设结构为n次超静定，选基本体系后有n个多余未知力，分别
为X1 ，X2 ，...，Xn 则荷载P，X1 ，X2 ，...，Xn 各力都
P X1
11 2l / 3EI
1P 1 1 Pl 1 Pl 2 l EI 2 4 2 16EI
M1
1
4)求解力法方程 X1=1 P
11 X1 1P 0
X1 3Pl / 325）作弯矩图MPPl / 4
M M1 X1 M P
§ 5-3
例1 作弯矩图
δ32 δ31 X1=1 δ22