中考数学几何专项复习题-07倍半角模型知识精讲
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倍半角模型知识精讲
一、二倍角模型处理方法
1.作二倍角的平分线,构成等腰三角形.
例:如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,作∠ABC的平分线交AC于点D,则∠DBC=∠C,DB=DC,即△DBC是等腰三角形.
2.延长二倍角的一边,使其等于二倍角的另一边,构成两个等腰三角形.
例:如图,在△ABC中,∠B=2∠C,延长CB到点D,使得BD=AB,连接AD,则△ABD、△ADC都是等腰三角形.
例题:如图,在△ABC中,∠C=2∠A,AC=2BC,求证:∠B=90º.
【解答】见解析
【证法一】如图1,作∠C的平分线CE交AB于点E,过点E作ED⊥AC于点D.
则∠ACE=∠A,AE=CE,
∵AE=EC,ED⊥AC,∴CD=AC,
又∵AC=2BC,∴CD=CB,∴△CDE≌△CBE,∴∠B=∠CDE=90º;
【证法二】如图2,延长AC到点D,使得CD=CB,连接BD,取AC的中点E,连接BE.
由题意可得EC=CD=BC,∠DBE=90º,
∵CD=CB,∠D=∠CBD,∴∠ACB=2∠D,
∵∠ACB=2∠A,∠A=∠D,∴AB=BD,
又∵AE=DC,∴△ABE≌△DBC,∴∠ABE=∠DBC,∴∠ABC=∠EBD=90º.
【证法三】如图3,作∠C的平分线CD,延长CB到点E,使得CE=AC,∴AC=BC+BE.
∵AC=2BC,∴BC=BE,在△ACD与△ECD中,AC=EC,∠ACD=∠ECD,CD=CD,
∴△ACD≌△ECD,∴∠A=∠E,
又∵∠DCB=∠DCA=∠A,∴∠E=∠DCB,∴DC=DE,∴∠ABC=90º.
二、倍半角综合
1.由“倍”造“半”
已知倍角求半角,将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.
如图,若()
2.由“半”造“倍”
已知半角求倍角,将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.
如图,在Rt△ABC(∠A<45º)的直角边AC上取点D,当BD=AD时,则∠BDC=2∠A,设,
则,在Rt△BCD中,由勾股定理可得,解得,故有
.
三、一些特殊的角度
1.由特殊角30º求tan15º的值
如图,先构造一个含有30º角的直角三角形,设BC=1,,AB=2,再延长CA至D,使得
AD=AB=2,连接BD,构造等腰△ABD,则∠D=∠BAC=15º,.
2.由特殊角45º求tan22.5º的值
由图可得,.
3.“345”三角形
(1)如图1,Rt△ABC三边比为3:4:5,Rt△BCD三边比为,若,则
;
(2)如图2,Rt△ABC三边比为3:4:5,Rt△BCD三边比为,若,则
;
(3)如图3,Rt△ABC三边比为3:4:5,Rt△BCD三边比为,若,则
.