约束优化_惩罚函数法
第二节 罚函数法
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
第五章约束优化方法2惩罚函数法
-
K=0?
+
r ( k 1) Cr ( k )
F0 F
-
x(0) k 1
xk*
k k 1
F F0 F0
2
㈦内点罚函数的特点
内点法只适用于解不等式约束优化问题。由于内点法 需要在可行域内部进行搜索，所以初始点必须在可行域 内部选取可行设计点。
内点法的突出优点在于每个迭代点都是可行点
=x*
由此可知，内点法的序列无约束最优点 部且趋近于约束最优点x*的。 内点罚函数还可以按如下形式构成
是在可行域内
㈢初始点x(0)的选取
由于内点法的搜索是在可行域内进行，显然初始点必须 是域内可行点。须满足
确定初始点常用如下两种方法
⑴自定法 即根据设计者的经验或已有的计算资料自行决
定某一可行点作为初始点。
5.3.4 惩罚函数法
惩罚函数法简介 内点法 外点法 混合法 总结
惩罚函数法简介
惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间接法。 基本原理： 把约束优化问题转化成无约束优化问题来求解。 两个前提条件： 一是不破坏原约束的约束条件 二是最优解必须归结到原约束问题的最优解上去
按照惩罚函数的构成方式，惩罚函数法分为三种： 外点法、内点法、混合法
㈡外点罚函数法的形式及特点
先讨论解不等式约束优化问题 设有不等式约束优化问题
S.T. :
u=1，2……，p
构造外点法惩罚函数的常见形式
取正递增
引入罚因子递增系数C>1，并令
=∞ 惩罚项
的含义可用另一形式表示
在可行域内 （包括边界）
当gu(x) ≥0 （x∈D）
当gu(x) <0 （x∈D）
优化设计3——惩罚函数法
罚函数的求解过程是： 定义G[gi(X)]和H[hj(X)]的形式， 选择罚因子的序列r1(k)和r2(k)，每调整一次罚因子的值， 即对罚函数P作一次无约束优化，可得一个无约束最优解； 随着罚因子的不断调整，无约束最优解不断逼近有约束最 优解。 这是一种序列求优过程，故罚函数又称为“序列无约 束极小化方法”（Sequential Unconstrained Minization Technique），简称为SUMT法。
为了便于在计算机上利用直接寻优方法进行迭代计算，一 般引入函数
L 2 p Z ( ) [h j ( X )]2 i 1 xi j 1
n
然后对Z函数求极小值，即可求得原问题的最优解。
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19
对于不等式约束优化问题，可设法引入松弛变量，使不等式 变成等式，即可按等式约束优化问题求解。 例如：对于下面不等式约束条件 g(X)=ax1+bx2+c ≥0
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10
（7）终止判别：反复执行上述过程中，随着反射系数α
的不断减半，复合形逐渐向最优点收缩，复合形越来越小， 直到满足 k 1 2 1 { [ f ( X i ) f ( X c ] } 2 1 (a) k i 1
时，迭代结束。此时复合形中目标函数值最小的顶点 （或用X(C0)点）即为最优解。式中XC 为复合形所有顶点的 点集中心，即 k
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28
除上式外，常用的内点罚函数形式还有：
P( X , r ( k ) ) f ( X ) r ( k ) ln[ gi ( X )] P( X , r
(k ) m
) f (X ) r
优化设计4约束优化方法
22
由此，这种方法的关键是如何确定初始点、搜索方向和搜索步长，而这 些都涉及到随机数问题．因此下面如何产生随机数的方法
23
随机数的产生 产生在区间(0，1)内分布的随机数列rj的常用方法有两种
N=10; DIM R(N) FOR I=1 TO N R(I)=RND(1)
PRINT R(I) NEXT I
条件，就可再加倍增大步长，继续迭代，不断产生新的迭代点。
如果该点已违反了可行性条件，
此时取它的前一迭代点X
(1) 3
作为沿
e1方向搜索的终点转而沿x2坐标
轴正向进行搜索
X 4(已1) 经违犯
了可行性条件
正向的第一个迭代点的目标函数 值增加，即不满足适用性条件，
改取负步长 0 进行迭代
下面的迭代方式与前面相同，直到违反适用性或
21
随机方向法在某个迭代点可以按照足够多的m个方向进行搜索，一般事先
约定搜索方向数m＝50~500，m过小会影响最优方向的选择，过大会使收
敛速度降低。因此，随机方向法处理约束优化问题要比约束坐标轮换法灵
活和有效。
以二维约束优化问题为例说明随 机方向法的基本原理。在可行域 内任意选择的一个初始点X（0）出发 给定的步长α＝α0按照以某种方法 产生的随机方向S（1）进行搜索，得到 迭代点X＝X(0)+αS（1）,如果同时满足 可行性和适用性，则表示点X探索成 功。再将点X作为起始点
足约束条件 gu(X) 0（u＝1，2，…，m)，则应重新随机选择出可行
i=ai(ba)
26
均匀分布的随机数列 i
初始点的选择
27
选择初始点注意：
根据设计变量上限和下限随机产生的初始点， X(0)[x1 (0),x2 (0),xn (0)]T
机械优化设计第五节约束优化-惩罚函数法3-5
外点法求解时，惩罚函数的形式为：
(k ) ( x, r ) f ( x) r max 0, gu ( x) r hv ( x) u 1 v 1
(k ) (k ) m p 2 2
k 1, 2
r
(1) ( 2)
(k )
内点法对企图从内部穿越可行域的点施以惩 g x 0 时，则障碍项的 罚。设计点离边界越近 值急剧增大,并趋向无穷大,于是惩罚越大,于是惩 罚函数 ( x r ( k ) )亦随之急剧增大至无穷大.
u
就好像在可行域的边界上设置很高的障 碍，从而保障迭代点一直在可行域内而又趋向 于约束最优点。当 k r ( k ) 0时，才能求得 原约束问题的最优解。 参数的选取和确定：
(0)
（2）初始惩罚因子 r
(0)
的选择
) . 初始惩罚因子 r ( 0的选择对于计算效率影响很大
若r x, 项）的作用就会很小，
x, r ( k )
( 0 ) 值得太小，则在惩罚函数中障碍项（惩罚
r
(k )
f ( x)
这时求惩罚函数 的无约束极值点。 犹如求原目标函数 f ( x)本身的无约束极值点而 这个极值点 x又不大可能接近 f ( x) 的约束极值点,
D.收敛条件： 同时满足:(1)相邻两次惩罚函数值相对变化 足够小； (2)相邻两次惩罚函数无约束最优 点的距离足够小。
(k ) x r
* (k ) ( k 1) ( k 1) , r x r , r 1 * ( k 1) ( k 1) x r , r
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例： 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
约束最优化方法
约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。
以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。
2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。
3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。
4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。
5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。
6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。
7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。
8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。
分享：惩罚函数法（内点法、外点法）求解约束优化问题最优值
分享：惩罚函数法（内点法、外点法）求解约束优化问题最优值1 用外点法求下列问题的最优解方法一：外点牛顿法：clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);% a b为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1 f2最优点梯度。
syms x1 x2 e; %e为罚因子。
m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0; %c为递增系数。
赋初值。
f=x1^2+x2^2+e*(1-x1)^2;f0(1)=1;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');%求偏导、海森元素。
for k=1:100 %外点法e迭代循环.x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);for n=1:100 %梯度法求最优值。
f1=subs(fx1); %求解梯度值和海森矩阵f2=subs(fx2);f11=subs(fx1x1);f12=subs(fx1x2);f21=subs(fx2x1);f22=subs(fx2x2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.001) %最优值收敛条件a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs (f));break;elseX=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';x1=X(1,1);x2=X(2,1);endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) %罚因子迭代收敛条件a(k+1) %输出最优点坐标，罚因子迭代次数，最优值b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend方法二：外点梯度法：clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);syms d x1 x2 e;m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0;f=x1^2+x2^2+e*(1-x1)^2; f0(1)=1;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');for k=1:100x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);for n=1:100f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs (f));break;elseD=(x1-d*f1)^2+(x2-d*f2)^2+e*(1-(x1-d*f1))^2;Dd=diff(D,'d'); dd=solve(Dd); x1=x1-dd*f1; x2=x2-dd*f2;endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1)b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend2,点法求下列问题的最优解内点牛顿法clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);syms x1 x2 e;m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3;f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(f x1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');for k=1:100x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);for n=1:100f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);f11=subs(fx1x1);f12=subs(fx1x2);f21=subs(fx2x1);f22=subs(fx2x2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs (f));break;elseX=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';x1=X(1,1);x2=X(2,1);endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1)b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend。
解约束优化问题的一种新的罚函数模型
第36卷 第7期2009年7月计算机科学Comp uter Science Vol.36No.7J uly 2009到稿日期:2008209219 返修日期:2009204222 本文受国家自然科学基金(No.60374063)资助。
胡一波(1974-),女,博士研究生,研究方向为进化算法及智能计算CAD ,E 2mail :yibohu @ ;王宇平(1961-),男,教授,博士生导师,研究方向为多目标优化、进化算法。
解约束优化问题的一种新的罚函数模型胡一波1,2 王宇平1(西安电子科技大学计算机学院 西安710071)1 (西安电子科技大学理学院 西安710071)2摘 要 罚函数法是进化算法中解决约束优化问题最常用的方法之一,它通过对不可行解进行惩罚使得搜索逐步进入可行域。
罚函数常定义为目标函数与惩罚项之和,其缺陷一方面在于此模型的罚因子难以控制,另一方面当目标函数值与惩罚项的函数值的差值很大时,此模型不能有效地区分可行解与不可行解,从而不能有效处理约束。
为了克服这些缺点,首先引入了目标满意度函数与约束满意度函数,前者是根据目标函数对解的满意度给出的一个度量,而后者是根据约束违反度对解的满意度给出的一个度量。
然后将两者有机结合,定义了一种新的罚函数,给出了一种新的罚函数模型。
并且设置了自适应动态罚因子,其随着当前种群质量和进化代数的改变而改变。
因此它很易于控制。
进一步设计了新的杂交和变异算子,在此基础上提出了解决约束优化问题的一种新的进化算法。
通过对6个常用标准测试函数所作的数据仿真实验表明,提出的算法是十分有效的。
关键词 进化算法,约束优化,满意度函数,罚函数中图法分类号 TP18 文献标识码 A N ew Penalty Model for Constrained Optimization ProblemsHU Y i 2bo 1,2 WAN G Yu 2ping 1(School of Computer Science and Technology ,Xidian University ,Xi ’an 710071,China )1(Depart ment of Mat hematics Science ,Faculty of Science ,Xidian University ,Xi ’an 710071,China )2Abstract Penalty f unction method is one of the most widely used methods for constrained optimization problems in evo 2lutionary algorithms.It makes the search approach the feasible region gradually by the way to punish the infeasible so 2lutions.The penalty f unctions are usually defined as the sum of the objective function and the penalty terms.The meth 2ods will bring two main drawbacks.Firstly ,it is difficult to control penalty parameters ,secondly ,when the difference between the objective f unction value and the constrained f unction value is great ,the algorithm can not effectively distin 2guish feasible f rom infeasible solutions ,and thus can not handle the constraints effectively.To overcome the defects ,two satisfaction degree functions defined by the objective f unction and the constraints f unction were designed ,respectively.A new penalty f unction was constructed by these two satisfaction degree f unctions.Moreover ,we designed an adaptive penalty factor which is varying with the quality of the population and the number of generations.As a result ,the penalty factor can be easily controlled.Thus a new penalty f unction optimization model was proposed.Furthermore ,a new crossover operator and a new mutation operator were designed.Based on these ,a new evolutionary algorithm for con 2strained optimization problems was proposed.The simulations are made on six widely used benchmark problems ,and the results indicate the proposed algorithm is very effective.K eyw ords Evolutionary algorithm ,Constrained optimization ,Penalty function 1 引言进化算法在优化问题求解上取得了巨大的成功,与传统优化方法相比,进化算法只要求被优化的函数值是可计算的,不要求它具有连续性及可微性,所以它是一种可广泛应用于工程领域复杂优化问题的有效算法。
第五章 约束优化方法(1)
约束优化方法概述 约束优化问题的最优解及其必要条件 约束坐标轮换法 约束随机方向法 复合形法 惩罚函数法
教学要求： 1、掌握约束优化局部最优解的必要条件。 2、掌握复合形法得原理及程序设计。 3、掌握内点法和外点法的惩罚函数的构造原理及
程序设计。
约束优化方法概述
5.2 约束优化问题极小点的条件
约束优化问题极小点的条件，是指在满足约束条件 下，目标函数局部极小点的存在条件。
约束问题最优解的存在条件有两种：一是极小点在 可行域内部，二是极小点在可行域的一个或几个边界交 汇处。
5.2.1 不等式约束问题解的必要条件 第一种情况：如图所示， g1(x*)=0， g2(x*)>0，
在可行设计点x(k)处，对于不等式约束，若gi (x(k))=o，则称 第i个约束gi (x)为可行点的起作用约束；否则，若gi (x(k))>o ， 则称gi (x)为可行点的不起作用约束。即只有在可行域的边界上 的点才有起作用约束，所有约束对可行域内部的点都是不起作 用约束。
对于等式约束，凡是满足该约束的任一可行点，该等式 约束都是起作用约束。
如果点 是最优点，则必须满足K-T条件； 反之，满足K-T条件的点则不一定是约束最优点。
在工程实际中，优化问题大都属于有约束的优化 问题，即其设计变量的取值要受到一定的限制，用于 求解约束优化问题最优解的方法称为约束优化方法。
一、约束优化问题的类型
根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学 模型分别如下：
1、不等式约束优化问题（IP型）
2、等式约束优化问题（EP型） 3、一般约束优化问题（GP型）
g3(x)
g1(x*)
g1(x)
x*
约束优化-惩罚函数法
( p) 1
,r
( p) 2
f x r G g x r H h x
( p) 1 m j 1 j ( p) 2 l k 1 k
的无约束最优化问题。
min x, r1( p ) , r2( p ) f x r1( p ) G g j x r2( p ) H hk x
k 1 l
对于每次迭代的 M ( p )，都可以求得相应的惩 罚函数最小 值和最优解X ( M ( p ) )。
当M为足够大的值时，惩罚 函数最小值将收敛于一 个有 限的极限值 *，且满足hk ( x) 0，而序列｛X ( M ( p ) )｝将 收敛于某一点X *。 *即为原问题f ( x)在等式约束hk ( x) 0 条件下的最小值， X *即为原问题的最优解。 即： lim M ( p ) lim M
2 另外，惩罚项形式 M h ( x ) k k 不是唯一的， k 1 l
任何仅仅当约束条件得 到满足时才等于零的 非负函数都可以当作惩 罚项，可以根据具体情 况选择。
四、惩罚函数法
将约束最优化问题 min f x f x1 , x2 , , xn s.t. g j x g j x1 , x2 , , xn 0 hk x hk x1 , x2 , , xn 0 转化为形如： min x, r ( j 1,2, , m) (k 1,2, , l )
为便于在计算机上用直 接寻优的方法进行迭代 计算， 可以构造一个新的函数 ： F F Z x i 1 k 1 i k
n l 2 l F 2 x hk ( x) i 1 k 1 i n 2 2
6第六章 约束优化方法new
6) 若收敛条件
得到满足，停止迭代。约束最优解为 x x, f x f x 。 否则， 令x0 x转步骤2）。
f x f x xx
0 0 2
1
（6-12）
随机方 向法的 程序框 图见图 6-5。
例6-2 求约束优化问题
min f x x x
2 2 2 1 2 4 3 0 1 2 4 2 2 2 0
(2) (3)
1
2
4
3
2l3l4
所以只剩下两个独立参数l2, l3。 因此设计变量取
x l x 1 2 x 2 l3
(4)
复演预期函数的机构设计问题， 可以按期望机构的输出函数与给定函数的 均方根误差达到最小来建立目标函数， 即 d
s.t. g j x g j x1 , x2 ,, xn 0 min f x f x1 , x2 ,, xn
hk x hk x1 , x2 ,, xn 0
j 1, 2,, m k 1, 2,, l
根据求解方式的不同， 约束优化方法可以分为： 直接解法和间接解法
q即为(0, 1)区间内的伪随机数。利用q, 容易求得任意区间(a, b)内的伪随机 数， 其计算公式为 x = a + q(ba)
（6-5）
这部分内容为产生伪随机数的数学模型，可写成子程序。或 者大家可以直接利用算法语言中自带的产生随机数的子程序。
二、初始点的选择 随机方向法的初始点x0必须是一个可行点，满足全部不等式 约束条件。当约束条件较为复杂，用人工不易选择可行初始点 时，可用计算机随机选择的方法来产生。其计算步骤如下： 1）输入设计变量的下限值和上限值，即 ai xi bi (i = 1, 2, ,n) 2）在区间（0，1）内产生n个伪随机数qi (i = 1, 2, , n) 3）计算随机点x的分量 xi = ai + qi (bi ai) (i = 1, 2, , n)
第五章惩罚函数法详解
㈣关于几个参数的选择
⑴初始罚因子r(0)的选取
如果 值选得太大，则在一开始罚函数的惩罚项的 值将远远超出原目标函数的值，因此，它的第一次无约束极 小点将远离原问题的约束最优点。在以后的迭代中，需要很 长时间的搜索才能使序列无约束极小点逐渐向约束最优点逼近。
如果 值选得太小，则在一开始惩罚项的作用甚小，
而在可行域内部惩罚函数
与原目标函数F(x)很相近，
只在约束边界附近罚函数值才突然增高。这样，使其罚函数
在在约束边界附近出现深沟谷地，罚函数的性态变得恶劣。
如下图，对于有深沟谷地性态差的函数，不仅搜索所需的 时间长，而且很难使迭代点进入最优的邻域，以致极易使 迭代点落入非可行域而导致计算的失败。
或
r（0）=1~50
函数
的一系(x,列r(k最) ) 优点，
xk* (k 0,1,2, )
显见，无约束最优点序列将逐渐趋近于原约
束优化问题的最优点x*。
㈡内点罚数法的形式及特点
⑴具有不等式约束的优化问题的数学模型
S.T. :
u=1，2……，p
⑵构造如下形式的内点罚函数
p
(x, r (k) ) F (x) r (k)
而且，当x越趋近于约束边界时，由于惩罚项 r(k) 1
增大，所以罚函数 (x, r(的k) )值越大。当x←b时，罚g１函(x)
数的值将趋近于+∞。因此，当初始点取在可行域内，求
函数 (x, r(k)的) 极小值时，只要适当控制搜索步长，
防止迭代点跨入非可行域，则所搜索到的无约束极小点 x*必可保持在可行域内。
⑹由终止准则，若满足则转步骤⑺，否则转⑸⑺,输出最优解(x*,F*)
入口
给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2
第五章约束问题的最优化方法
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲 约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束 不等式约束 一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法 内点法 乘子法
1
一 、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给 定 点x Q , 记 点 x 的 积 极 约 束 指 标 集 为 I ( x )。 给 定 向 量 d ， 如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是 点 x 的 可 行 方 向 。
则 向 量d 是 点 x 处 的 可 行 下 降 方 向 。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，
惩罚函数法
得到极小点为 x * (λ k )，记为 x k +1 .
step 3 ： , 如果 x * ( λ k ) ∈ D ,即 g j ( x * (λ k )) ≥ ε（j = 1,2,L , m ） 就是问题（ 的最优解， 则 x * (λ k） 就是问题（ A）：min f ( x ) 的最优解， stop;
if x ≥ 2 if x < 2
dϕ k ( x ) 可得： 由 = 0 可得： dx 2 （x − 1） 2λ k ( x − 2) = 0 +
1 + 2λ k 所以 x = x ( λ k ) = ∉D 1 + λk
k *
的最优解。 这就是对于固定的 λ k，问题 min ϕ k ( x )的最优解。
x∈ D
否则转 step 4.
step 4 ： 给定 λ k +1 > λ k（可取 λ k + 1 = αλ k 这里 α > 1 为惩罚 因子的放大系数） 因子的放大系数）, k := k + 1, 转 step 2.
（4）应注意的问题
(a) 在step 2中， 可用无约束优化问题的 算法求解 min ϕ k ( x ) = f ( x ) + λ k p( x ) n
( 3) 算法分析
考虑如下优化问题： 考虑如下优化问题： min f ( x ) s .t . g i ( x ) ≥ 0 , i = 1,L，m
转化为无约束优化问题 : minψ k ( x ) = f ( x ) + µ k q( x )
x∈ R n
µ1 > µ2 > L > µk ↓ 0
数值最优化方法-罚函数方法
k k
根据引理，我们还知道 f ( xk ) 单调增加，并且
f ( x k ) P ( x k , k ) f ( x * )
（4.1.3）
惩罚项所具有的性质应该怎么样呢？ 怎么取呢？
想一想 有没有其他形式的惩罚项。
6
一般约束优化问题
min f ( x ) s.t. ci ( x) 0
ci ( x) 0 i I l 1,2,, m
i E 1,2, , l
怎么构造罚函数？
~ P x, f ( x) P x l m ~ P x ci ( x ) min0, ci ( x )
得到 以 xk 为 近 似 最 优 解 ， 停 止 。 否 则 ， 令
~ minP x, k f ( x) k P x
k 1 c k , k k 1 ，转 Step 2。
那么这类方法是否能收敛呢？？
13
~ minP x, k f ( x) k P x
2 2 min f x1 , x2 x1 x2 s.t. x1 x 2 2 0
其中的 表示很大的正数。
2 2 P x1 , x 2 , x1 x 2 x1 x 2 2
2
2 x1 x 2 2 1
当 时， x1 x 2 1 即无约束优化问题最优解的极限为原问题的解。
14
证明 (1)因为 xk 是 P ( x , k ) 的极小点，且 k 1 k ，故
第六章 约束优化方法3
简称为S U M T法。
利用原目标函数和约束函数构造一个新目标函数。
在新目标函数中，利用约束函数构造一个能反映一旦破坏约束便发挥惩罚作用的项，称为罚函数。
对于求极小的优化问题，罚函数应体现当搜索点破坏约束时，罚函数值增大，这对求极小化问题相当于惩罚。
同时，在惩罚项前冠以随迭代过程而按一定规律变化的参数，称为罚因子。
罚因子的作用是扩大罚函数的影响，促进搜索点迅速向极小点收敛，而且随着搜索点逐渐接近极小点，使惩罚项的惩罚作用逐渐消失，最后使新目标函数的极小点逐渐收敛到原目标函数的极小点。
因此，罚函数法的实质是，首先构造包含惩罚函数的新目标函数，然后用无约束优化方法求新目标函数的优化解，即原目标函数的约束最优解。
惩罚函数法是另外一种约束优化问题转化为无约束优化问题求解的算法。
并且要求，当点不满足约束条件时，等号后第二项和第三项的值很大，反之当满足约束条件时，这两项的值很小或等于零。
这相当于当点在可行域之外时对目标函数的值加以惩罚。
),2,1(0)(),,2,1(0)()(p v X h m u X g X f v u L L ===≥..min t s 构造如下无约束问题：[][])()()(),,(min 121121X h H r X g G r X f r r X v p v k u m u k k k ∑∑==++=）（）（）（）（φX X 对于下式所描述的约束优化问题：X(k)(k)12(k)(k)12()();[()], [()] (),;,,(),ϕu v u v X r r G g X H h X g X h X r r k ——惩罚函数 简称罚函数——分别为不等式约束函数 等式约束函数以某种方式构成的复合函数。
在全域内定 义为非负——罚因子或罚参数（>0)；随迭代次数的增加而不断进行调整的参数，它可以是一个递增或递减的数列。
(k)(k)(k)(k)121211min ()()[()][()],,f ϕ==++∑∑p m u v u v X r r X rG g X r H h X ＝一系列无约束优化问题的解(k)(k)12(),∗X r r 逼近原问题的最优解∗X(k)(k)1211(k)(k)12 [()], [()], () > *,,()ϕϕ==∑∑pm u v u v r G gX r H h X X r r f X k f X 称为惩罚项。
约束优化_惩罚函数法
第10讲 约束优化：惩罚函数法
优化理论 学与系统科学学院
第10讲 约束优化：惩罚函数法
优化理论 数学与系统科学学院
对数障碍函数法(续)
凸规划！
障碍函数是凸函数，故求它的驻点即可！
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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第10讲 约束优化：惩罚函数法
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3
对数障碍函数法(续)
假定（算法分析与设计）：
⊙
(有时C 2 )，导数是Lipschitz 连续
注：实践中该假定经常不满足,但没关系！
罚函数法/序列无约束极小化法： 外点罚函数、内点罚函数(障碍罚函数)、精确罚函数
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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z 惩罚函数法－外点罚函数
二次惩罚函数、乘子法、 惩罚函数
障碍因子
一定条件下，当
时
病态海森矩阵！ 特点：光滑的(一阶可微)，但需要
原问题是凸规划时，障碍函数是凸函数！
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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对数障碍函数法(续)
基本/原始(primal)障碍函数法
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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原－对偶路径跟随法
KKT条件
特点：不需要
；是非光滑的！
避免了无约束优化问题的病态性！
即可
⊙ 先验确定惩罚参数很难；通常是计算一系列子问题， 并在计算过程中调整该参数
⊙ 与逐步二次规划法有密切联系；SQP的线搜索实现中 通常以 惩罚函数作为评价函数
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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乘子罚函数法
外点惩处函数法·约束优化问题
外点惩处函数法·约束优化问题版权声明：本⽂为博主原创⽂章，未经博主同意不得转载，博客主页 /i_love_homehttps:///zstu_wangrui/article/details/36242529外点惩处函数法·约束优化问题外点法惩处函数（r添加，SUMT.java）⽤于求解约束优化问题。
解题过程例如以下：Step1 输⼊⽬标函数与约束⽅程，构建外点惩处函数法求解⽅程，求解初始化。
Step2 对求解⽅程进⾏⼀次⽆约束优化⽅法求解（鲍威尔BWE），得到新解。
Step3 新解与原解求误差。
如误差满⾜精度要求，则输出解，否则添加因⼦r，运⾏Step 2。
鲍威尔法（BWE.java）是N维⽆约束求解⽅法。
须要调⽤⼀维求解⽅法。
⼀维求解⽅法採⽤黄⾦切割法（GSM.java）。
在实现算法的代码中，我去掉了输⼊处理，⼈为地将输⼊确定下来。
可降低代码篇幅。
我会将⽂件打包放⼊我的下载，欢迎⼤家⼀起交流。
（1）外点法惩处函数 SUMT.java：package ODM.Method;import java.util.Arrays;/** ⽆约束优化⽅法：惩处函数法·外点法*/public class SUMT {private int n = 6; // 维数，变量个数private final double eps = 1e-5; // 精度private final double c = 5; // 递增系数private double r = 0.1; // 惩处因⼦，趋向⽆穷public SUMT(){Finit();AlgorithmProcess();AnswerOutput();}// 结果private double[] xs;private double ans;private void Finit(){xs = new double[n];Arrays.fill(xs, 0);ans = -1;//xs[0] = xs[1] = xs[2] = xs[4] = 1; xs[3] = 3; xs[5] = 5;}// 算法主要流程private void AlgorithmProcess(){int icnt = 0; // 迭代次数double[] x = new double[n]; // 转化为⽆约束优化问题的解while(true){icnt++;BWE temp = new BWE(n, r, xs); // 採⽤鲍威尔⽅法求函数最优解x = temp.retAns();if(retOK(x) <= eps){ // 满⾜精度要求for(int i = 0; i < n; i++)xs[i] = x[i];ans = temp.mAns();break;}r = c * r;for(int i = 0; i < n; i++)xs[i] = x[i];}System.out.println("迭代次数：" + icnt);}// 收敛条件（仅仅有⼀个，不完好）private double retOK(double[] x){double sum = 0;for(int i = 0; i < n; i++){sum += Math.pow(x[i] - xs[i], 2);}return Math.sqrt(sum);}// 结果输出private void AnswerOutput(){for(int i = 0; i < n; i++)System.out.printf("%.6f\t", xs[i]);System.out.printf("%.6f\n", ans);}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubnew SUMT();}}（2）鲍威尔法 BWE.java：package ODM.Method;import java.util.Arrays;public class BWE {private double r;// 初始化变量private double[] x0; // 初始解集private double[][] e; // 初始⽅向private int N;final private double eps = 1e-5;private Func F;// 初始化：初始点, 初始⽮量(n 个，n*n 矩阵), 维数 private void Init(int n){this.x0 = new double[n];if(r == -1)Arrays.fill(this.x0, 0);else{}this.e = new double[n][n];for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){if(i != j)e[i][j] = 0;else e[i][j] = 1;}}this.N = n;if(r != -1)F = new Func(r);elseF = new Func();}// 搜索点, ⽅向⽮量private double[][] x;private double[][] d;// ⽅向重排, 队列操作private void queueDir(double[] X){// 删去⾸⽅向for(int i = 0; i < N-1; i++){for(int j = 0; j < N; j++){d[i][j] = d[i+1][j];}}// 新⽅向插⼊队尾for(int i = 0; i < N; i++)d[N-1][i] = X[i];}private void Process(){x = new double[N+1][N];d = new double[N][N];for(int j = 0; j < N; j++)x[0][j] = x0[j];for(int i = 0; i < N; i++){for(int j = 0; j < N; j++){d[i][j] = e[i][j];}}int k = 0; // 迭代次数while(k < N){for(int i = 1; i <= N; i++){GSM t = new GSM(F, x[i-1], d[i-1]);x[i] = t.getOs();}double[] X = new double[N];for(int i = 0; i < N; i++)X[i] = x[N][i] - x[0][i];queueDir(X);GSM t = new GSM(F, x[N], X);x[0] = t.getOs();k++;}}// 答案打印private void AnswerOutput(){for(int i = 0; i < N; i++){System.out.printf("x[%d] = %.6f\n", i+1, x[0][i]);// System.out.print(x[0][i] + " ");}System.out.printf("最⼩值：%.6f\n", F.fGetVal(x[0]));// System.out.println(": " + F.fGetVal(x[0]));}public BWE(int n){this.r = -1;Init(n);Process();AnswerOutput();}public BWE(int n, double r, double[] x){this.r = r;Init(n);for(int i = 0; i < n; i++)x0[i] = x[i];Process();}// 返回结果，解向量和最优值public double[] retAns(){return x[0];}public double mAns(){return F.fGetVal(x[0], 0);}/*public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubnew BWE(2);}*/}（3）黄⾦切割 GSM.java：package ODM.Method;/** 黄⾦切割法*/public class GSM {private int N; // 维度private final double landa = (Math.sqrt(5)-1)/2; // 0.618 private double[] x1;private double[] x2;private double[] os;private final double eps = 1e-5; // 解精度private ExtM EM; // ⽤于获取外推法结果// 最优值输出public double[] getOs() {return os;}// 函数, 初始点, ⽅向⽮量public GSM(Func Sample, double[] x, double[] e) {//for(int i = 0; i < e.length; i++)System.out.print(e[i] + " ");System.out.println(); initial(Sample, x, e);process(Sample);AnswerPrint(Sample);}// 结果打印private void AnswerPrint(Func Sample) {os = new double[N];for(int i = 0; i < N; i++)os[i] = 0.5*(x1[i] + x2[i]);// System.out.println("os = " + os[0] + " " + os[1]);// System.out.println("ans = " + Sample.fGetVal(os));}// 向量范值private double FanZhi(double[] b, double[] a){double sum = 0;for(int i = 0; i < N; i++){if(b[i] - a[i] != 0 && b[i] == 0)return eps*(1e10);if(b[i] == 0)continue;sum += Math.pow((b[i] - a[i]) / b[i], 2);}return Math.pow(sum, 0.5);}// 算法主流程private void process(Func Sample) {double[] xx1 = new double[N];SubArraysCopy(xx1);double yy1 = Sample.fGetVal(xx1);double[] xx2 = new double[N];AddArraysCopy(xx2);double yy2 = Sample.fGetVal(xx2);// 迭代过程while(true){if(yy1 >= yy2){ArraysCopy(xx1, x1);ArraysCopy(xx2, xx1); yy1 = yy2;AddArraysCopy(xx2);yy2 = Sample.fGetVal(xx2);}else{ArraysCopy(xx2, x2);ArraysCopy(xx1, xx2); yy2 = yy1;SubArraysCopy(xx1);yy1 = Sample.fGetVal(xx1);}//System.out.println(FanZhi(x2, x1) + " / " + Math.abs((yy2 - yy1)/yy2));if(FanZhi(x2, x1) < eps && Math.abs(yy2 - yy1) < eps)break;}}// 获得外推法结果：左右边界private void initial(Func Sample, double[] x, double[] e) {N = x.length;EM = new ExtM(Sample, x, e);x1 = EM.getX1();x2 = EM.getX3();}// 向量赋值private void ArraysCopy(double[] s, double[] e){for(int i = 0; i < N; i++)e[i] = s[i];}// + landaprivate void AddArraysCopy(double[] arr){for(int i = 0; i < N; i++)arr[i] = x1[i] + landa*(x2[i] - x1[i]);}// - landaprivate void SubArraysCopy(double[] arr){for(int i = 0; i < N; i++)arr[i] = x2[i] - landa*(x2[i] - x1[i]);}/*public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubdouble[] C = {0, 0};double[] d = {1, 0};new GSM(new Func(), C, d);}*/}以上算法⽂件包括函数⽅程，黄⾦切割时有⼀维搜索的外推法确定“⾼低⾼”区间。
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第10讲 约束优化：惩罚函数法
优化理论 数学与系统科学学院
约束优化问题
其中函数
假定（算法分析与设计）：
⊙
(有时C 2 )，导数是Lipschitz 连续
注：实践中该假定经常不满足,但没关系！
罚函数法/序列无约束极小化法： 外点罚函数、内点罚函数(障碍罚函数)、精确罚函数
第10讲 约束优化：惩罚函数法
对数障碍函数法
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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第10讲 约束优化：惩罚函数法
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对数障碍函数法(续)
障碍函数的海森矩阵的条件数近似地等于
障碍函数法(原始内点法)的两个潜在困难： ⊙ 随着障碍参数趋于零，障碍函数的海森矩阵病态性加剧 ⊙ 前一次的迭代点作为本次无约束优化问题的初始点太差！
一定条件下，存在
，当
实际计算中，对乘子进行更新！
时，可以
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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2
乘子罚函数法(续)
算法： 给定初始惩罚参数 ；最优解和乘子的估计
第 k 次迭代固定参数
，以 x(k)为初始点求
更新乘子：
warm start技术
根据需要更新惩罚参数(且不必趋于无穷)：
>0 是惩罚参数
一定条件下，当
时
病态海森矩阵！
特点：光滑的(一阶可微)，但需要
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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1
精确罚函数法 SQP中常用*****
例
特点：在 x1=1 处不可微；进行整理，得
结论：对任一
第10讲 约束优化：惩罚函数法
罚函数的解与原问题的相同！ 优化理论 数学与系统科学学院
增广Lagrange乘子法的特点： 所得子问题是光滑的；一定条件下，不需要
可以用“使用导数的方法”求解子问题！
避免了病态海森矩阵！
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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乘子罚函数法(续)
乘子法/增广Lagrange函数法 Method of multipliers/Augmented Lagrangian method 算法的动机与框架
精确罚函数法 SQP中常用*****
一定条件下，
存在
，当
时，求解
特点：不需要
；是非光滑的！
避免了无约束优化问题的病态性！
即可
⊙ 先验确定惩罚参数很难；通常是计算一系列子问题， 并在计算过程中调整该参数
⊙ 与逐步二次规划法有密切联系；SQP的线搜索实现中 通常以 惩罚函数作为评价函数
第10讲 约束优化：惩罚函数法
障碍因子
一定条件下，当
时
病态海森矩阵！ 特点：光滑的(一阶可微)，但需要
原问题是凸规划时，障碍函数是凸函数！
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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对数障碍函数法(续)
基本/原始(primal)障碍函数法
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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原－对偶路径跟随法
KKT条件
约束优化问题
可行域：
常用方法
特殊问题
一般问题
线性约束问题－可行方向法 逐步二次规划法
对偶问题－次梯度优化
惩罚函数法
内点法(原对偶内点法)－凸规划
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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优化理论
第10讲 约束优化：惩罚函数法
Constrained Optimization: Penalty Function Method
第10讲 约束优化：惩罚函数法
ห้องสมุดไป่ตู้
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第10讲 约束优化：惩罚函数法
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对数障碍函数法(续)
凸规划！
障碍函数是凸函数，故求它的驻点即可！
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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第10讲 约束优化：惩罚函数法
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3
对数障碍函数法(续)
“扰动的”(perturbed)KKT条件:
跟踪方程 的保持
的解，直至 逐渐缩减到零！
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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4
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乘子罚函数法
例
乘子罚函数法(续)
以x(k)为初始点，利用纯粹牛顿法求解无约束极小化问题
惩罚参数： 解的初始猜测和Lagrange乘子的初始猜测分别为
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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第10讲 约束优化：惩罚函数法
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乘子罚函数法(续)
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z 惩罚函数法－外点罚函数
二次惩罚函数、乘子法、 惩罚函数
z 障碍函数法－内点罚函数
原始对数障碍法、 现代内点法(原－对偶路径跟随法)
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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二次惩罚函数法
条件数
第10讲 约束优化：惩罚函数法
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二次惩罚函数法(续)