平行四边形的底和高(例3)

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【典例精讲】第5讲平行四边形和梯形-四年级上册数学精品讲义(思维导图+

第5讲平行四边形和梯形（思维导图+学问梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、学问点梳理学问点一：平行与垂直1.平行同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

直线a是直线b的平行线，直线a与b相互平行，记作a∥b，或者b∥a 2.垂直两条直线相交成直角，就说这两条直线相互垂直。

直线a是直线b的垂线，交点叫做垂足，记作a⊥b，或者b⊥a垂线的画法：用三角尺画已知直线的垂线比较便利，先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再沿着另一条直角边化一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。

学问点二：平行四边形1.两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。

2.常见的四边形有桌子、柜子、地砖、床、书本、打印纸等。

3.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

4.通过动手操作，我们发觉平行四边形简洁变形。

5.长方形和正方形是特殊的平行四边形。

学问点三：梯形1.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

2.两腰相等的梯形叫等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫直角形。

3.梯形中，平行的一组对边叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰。

4.一个平行四边形能分成两个完全一样的梯形。

学问点四：四边形之间的关系长方形、正方形是特殊的平行四边形。

三、例题精讲考点一：平行与垂直【典型一】关于下图，下列说法错误的是（）。

A．直线a比直线c短B．直线a与直线b不平行C．直线c与直线d之间距离都相等D．直线c与直线d都垂直于直线a【分析】依据题意，直线无法测量长度；直线a与直线b不平行；平行线间的距离处处相等，因此直线c与直线d之间距离都相等；直线c与直线d都垂直于直线a，据此推断即可。

【详解】A．直线无法测量长度，所以直线a比直线c短，说法错误；B．直线a与直线b能相交，故不平行；C．直线c与直线d相互平行，所以它们之间距离都相等；D．直线c与直线d都垂直于直线a。

什么是平行四边形的底和高

什么是平行四边形的底和高教学目标（一）使学生理解平行四边形的概念及其特性，并会画平行四边形的高（二）并使学生掌控长方形、正方形和平行四边形的关系（三）进一步提高学生观察、比较能力和作图能力教学重点和难点理解和掌握平行四边形的定义及其特性，画平行四边形的高是教学重点；理解长方形、正方形与平行四边形之间的关系是难点教学过程设计（一）复习准备我们已经研习过一些几何图形，观测一下这些图形存有什么共同的特点？（投影）在明确它们都是由四条线段围成的基础上概括出：由四条线段围成的图形是四边形回答：我们研习过哪些四边形呢？（学过的四边形有长方形、正方形、平行四边形）你能够举例说道说道哪些物体表面就是平行四边形吗？教师出示挂图，让学生初步感知平行四边形我们已初步重新认识了平行四边形，那么什么叫做平行四边形？它存有什么特性？这就是我们今天必须研究的课题（板书课题：平行四边形）（二）学习新课首先出具一组图形：这些图形是什么形？它们有什么特征？①动手测量指名一学生到黑板上用三角板检验一下，每个图形的对边怎样其余同学用三角板检验课本页3个图形的对边然后再用尺子度量一下每组对边的长怎样②抽象化归纳根据你测量的结果，能说说什么叫平行四边形吗？小组先议论一下，（可能将讲出每组对边分别成正比，也可能将讲出平行四边形每组对边平行）再使至黑板上测量的'同学讲出检验与测量的结果，从而带出平行四边形的清楚含义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（板书）教师特别强调表明：只要四边形的每组对边分别平行就能够确认它的两组对边成正比，因此平行四边形的定义就是“两组对边分别平行的四边形”反馈：判断下面图形哪些是平行四边形？（投影）同学们已经研习过三角形，三角形具备平衡的特性，那么平行四边形存有什么特性呢？（1）教师演示教师拎一长方形木框，用两手夹住长方形的两个对角，向恰好相反方向扎观测两组对边存有什么变化？切为了什么图形？什么没变小？学生明确：两组对边边长没有变，变成了平行四边形，四个直角变成了锐角和钝角（2）动手操作方式学生自己动手，把准备好的长方形框拉成平行四边形，并测量一下两组对边是否还平行根据刚才的实验、测量，鼓励学生归纳出来：平行四边形存有不稳定性（板书）（4）对比三角形具备稳定性，不难变形平行四边形与三角形相同，难变形，也就是具备不稳定性这种不稳定性在实践中有广泛的应用你能举出实际例子来吗？（如汽车间的保护网，推拉门、放缩尺等）出具：教师边演示边说明：从平行四边形一条边上的一点到对边惹来一条垂线，这点和像距之间的线段叫作平行四边形的低这条对边叫作平行四边形的底（2）找出相应的底和高出具：（投影）观察上图中，有几条高？它们相对应的底各是哪条线段？从而使学生明晰：从b点画低，它的底就是cd；从d点画低，它的底就是bc同学们已经学过三角形画高的方法，平行四边形高的画法与其相同，都用过线外一点画已知直线的垂线的方法从一条边上任意一点都可以向它的对边画高，但通常是从一个角的顶点向它的对边画高这里高要画在平行四边形内，不要求把高画在底边的延长线上同学动手图画低：页“搞一搞”4、教学长方形、正方形和平行四边形的关系教师利用长方形侧边，带动长方形的边，并使其变为相同的平行四边形还可以把平行四边形变为长方形，比较一下长方形和平行四边形的优劣点引导学生明确：相同点是两组对边都分别平行，所以长方形也具有平行四边形的特征，也属于平行四边形不同点是长方形的四个角都是直角，所以把长方形看作是特殊的平行四边形比较正方形和平行四边形的相同点和不同点引导学生明确：正方形也是两组对边分别平行，四个角也是直角，正方形也可看作是特殊的平行四边形因为长方形和正方形都有两组对边分别平行，四个角是直角的共同点，而正方形还有四条边相等的这一特征，因此正方形还可看作是特殊的长方形这三种图形之间的关系可以用子集图去则表示（三）巩固反馈1、说道说什么叫作平行四边形？它存有什么特性？2、在下面图形中画高，并指出它的底3、在下面图形中，图画出来两条相同的高4、说一说平行四边形、长方形和正方形之间的关系（四）作业（略）课堂教学设计说明本节课就是在学生对平行四边形存有了初步认知的基础上，通过直观模拟，操作方式课堂教学等手段，给学生创建明晰的概念新课分为四个部分1、首先使同学利用前面谈过的检验平行线的方法，检查三个相同形状的平行四边形，然后再用尺子度量一下每组对边的长度，使学生从实践中辨认出平行四边形的特征，从而抽象化归纳出来平行四边形的定义2、其次通过教师的演示和学生实际操作，发现平行四边形的特性，就是具有不稳定性3、然后重新认识平行四边形的底和低，并可以图画低4、最后通过比较长方形、正方形和平行四边行的异同点，明确它们的关系：正方形是特殊的长方形，长方形、正方形都是特殊的平行四边形并用集合图表示5、在教学或练中，既必须注重直观模拟，运用比较的方法，又必须强化动手操作方式，量一量、图画一画等，使学生在实践中既赢得科学知识，又提升能力板书设计由四条线段围起的图形叫作四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形特性：不稳定性画出两条不同的高。

人教版数学三年级上册平行四边形的认识教案与反思推荐(3)篇

人教版数学三年级上册平行四边形的认识教案与反思推荐（３）篇〖人教版数学三年级上册平行四边形的认识教案与反思第【1】篇〗[教学目标]1、知识与技能直观地认识平行四边形学会从各种平面图或实物中辨认平行四边形培养初步的观察能力，空间观念和动手能力。

2、过程与方法让学生在观察、操作、合作交流中探索新知3、情感态度与价值观渗透事物之间相互联系及转化的辩证唯物主义思想。

[教学重点]引导学生直观的认识平行四边形[教学难点]引导学生通过直观感知抽象出平行四边形。

[教学关键]在教学过程中，尽可能为学生提供观察、操作的机会，丰富学生的感性认识，使学生的感性认识升华为理性认识。

[教学方法]演示法、观察法、操作法等。

[教具准备]多媒体课件、可拉动的长方形框架、钉子板，方格纸[学具准备]可拉动的长方形框架，一张长方形的纸。

[教学过程]一、复习引入游戏引入（出示课件）以“七个小矮人”中的开心果讲游戏规则，老师先发一些基本图形给学生，有三角形、圆形、长方形、正方形、平行四边形等，叫到什么图形的时候，大一部分同学就起立把图形举高让大家看，最后，只剩下平行四边形没有叫着，揭示课题：今天我们就来认识这一种新的四边形。

板书课题：平行四边形二、探索新知1、观察感知（课件展示）教学例1：课件出示生活中的实物图形，引导学生观察在观察的基础上进行小组交流讨论，这些图形都有什么共同点？交流抽象：在小组讨论的基础上进行全班交流，教师引导学生观察发现：以上的图形都含有，指出这种图形就是我们今天要认识的平行四边形，课件出示平行四边形的图和文字。

2、操作感知教学例2拉一拉：⑴你能把长方形变成平行四边形吗？你是怎样变的？捏住长方形的两个对角，向相反的方向拉动，这样就变成了一个平行四边形。

在学生独立操作、感知的基础上进行小组合作、交流：长方形有什么变化？全班交流时引导学生发现：通过拉动长方形框架使它变成了平行四边形，在拉动的过程中，四条边的长短不变，所以平行四边形的对边相等；四个角变了，原来是四个直角，拉成平行四边形后，四个角分别变成了两个锐角和两个钝角。

平行四边形的周长和面积计算

平行四边形的周长和面积计算平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的对边是平行的，对角线向量相等。

在几何学中，计算平行四边形的周长和面积是基础而重要的内容。

本文将详细介绍如何计算平行四边形的周长和面积，并给出相关公式及实际应用示例。

一、周长的计算平行四边形的周长是指四条边的总长度。

要计算平行四边形的周长，需要知道其边长或者对角线长度。

1. 已知边长的情况：设平行四边形的边长分别为a和b，则周长C可通过以下公式计算：C = 2a + 2b2. 已知对角线长度的情况：设平行四边形的对角线长度分别为d1和d2，则周长C可通过以下公式计算：C = 2√(d1^2 + d2^2)二、面积的计算平行四边形的面积是指其内部所围成的平面的大小。

面积的计算可以通过多种方法实现，具体取决于已知信息。

1. 已知底边和高的情况：设平行四边形的底边长度为b，高为h，则面积A可通过以下公式计算：A = b * h2. 已知边长和夹角的情况：设平行四边形的边长为a和b，夹角为θ，则面积A可通过以下公式计算：A = a * b * sin(θ)3. 已知对角线长度的情况：设平行四边形的对角线长度为d1和d2，则面积A可通过以下公式计算：A = 1/2 * d1 * d2三、实际应用示例无论是周长还是面积的计算，平行四边形都可以在很多实际应用中发挥作用。

以下是一个示例：假设某个足球场的形状近似为一个平行四边形，已知其中一条边长为60米，另一条边长为80米。

我们首先可以计算该足球场的周长：C = 2a + 2b = 2 * 60 + 2 * 80 = 120 + 160 = 280米接下来，我们可以计算该足球场的面积，假设其高为40米：A = b * h = 80 * 40 = 3200平方米在实际应用中，计算平行四边形的周长和面积可以帮助我们更好地了解和描述各种几何形状，并应用于建筑、地理测量、设计等领域。

结论通过本文的介绍，我们了解了平行四边形的周长和面积的计算方法。

结合案例,解读小学阶段“图形与几何

结合案例,解读⼩学阶段“图形与⼏何结合案例解读⼩学阶段“图形与⼏何”的三个核⼼概念新课标在《图形与⼏何》领域的核⼼概念主要有：空间观念、⼏何直观、推理能⼒。

【空间观念】：空间观念在学术⽂献中的基本解释:所谓的空间观念,是指物体的形状、⼤⼩、⽅向、各部分之间的位置关系、变化等特征在⼈们头脑中留下的表象。

表象就是⼀个初步感知,即⼀提到某个⼏何图形学⽣就能在头脑中再现出⼏何图形的形象,能了解其某些基本特征。

2011课标中的空间观念：主要是指根据物体特征抽象出⼏何图形，根据⼏何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的⽅位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语⾔的描述画出图形等。

《图形与⼏何》的课程内容主要有：图形的认识、图形的测量、图形的运动、图形与位置。

如何在这些内容的教学中，体现空间观念培养？⼀、如何以“认识图形”为载体，发展空间观念。

“认识图形”实际也属于“概念教学”，那么它在教学过程中不仅要遵循概念教学的规律，还需突出空间观念的培养。

（实际我们通常教的图形的认识，也在培养空间观念，我们今天提空间观念培养是希望更鲜明⼀点，更强烈⼀点。

）（⼀）充分感知，培养空间观念。

⼩学⽣思维以直观形象为主逐步向抽象过渡，他们对物体的认识在⼀定程度上主要依赖于直觉观察。

因此教师要按照⼉童认识事物的规律，运⽤感知规律使学⽣获得空间与图形的鲜明表象，积累丰富的感性经验，培养空间观念。

《标准》中较多地使⽤这样的表述，这实际上明确了认识图形的过程和⽅式。

通过观察、操作，认识……结合实例（⽣活情境）了解……通过实物和具体模型，了解…（1）视觉与思维结合。

⽆论哪⼀种图形的基本认识，⼩学阶段都依赖实物、模型，提供给学⽣充分观察，交流、体验的机会。

长⽅体、正⽅体、长⽅形、正⽅形、平⾏四边形、三⾓形、梯形、圆的认识都是从具体物体上剥离后抽象形成的，都从具体⾛向抽象。

线段、射线、直线也不例外。

不过射线、直线在⽣活中找不到，从抽象到抽象⼩学⽣很难接受，我们⽼师创造出从地球射向⽉球的⼀束激光，有⽆穷的能量，外加没有任何阻挡，创造了所谓的“射线”实体，让学⽣通过视觉和合理想象，“直观”感知射线。

平行四边形专题详解

平行四边形专题详解18.1 平行四边形知识框架{基础知识点{ 平行四边形的定义平行四边形的性质平行四边形的判定定理三角形中位线定理典型题型{利用平行线的性质求角度平行线间距离的运用平行四边形的证明难点题型{平行四边形间距离的应用平行四边形有关的计算平行四边形的有关证明一、基础知识点知识点1 平行四边形的定义1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。

平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD 表示为“▱ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。

3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。

平行线间距离处处相等。

例1.如图，AB ∥EG ，EF ∥BC ，AC ∥FG ，A ，B ，C 分别在EF ，EG 上，则图中有个平行四边形，可分别记作。

例2.如图，▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=DF 。

例3.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法错误的是（）A.AB=CDB.CE=FGC.直线a，b之间的距离是线段AB的长D.直线a，b之间的距离是线段CE的长知识点2 平行四边形的性质平行四边形的性质，主要讨论：边、角、对角线，有时还会涉及对称性。

如下图，四边形ABCD是平行四边形：1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。

平行四边形10道经典例题

平行四边形经典例题一、已知平行四边形的性质求角度例题：在平行四边形ABCD 中，∠A 的度数比∠B 的度数小40°，求∠A 和∠B 的度数。

解析：因为平行四边形的邻角互补，即∠A + ∠B = 180°。

又已知∠A 比∠B 小40°，即∠B - ∠A = 40°。

联立这两个方程可得：∠A = 70°，∠B = 110°。

二、利用平行四边形的性质求边长例题：平行四边形ABCD 的周长为40，AB = 6，求BC 的长。

解析：平行四边形的对边相等，所以AB = CD = 6，BC = AD。

周长为40，则2(AB + BC) = 40，即2×(6 + BC) = 40，解得BC = 14。

三、判断四边形是否为平行四边形例题：已知四边形ABCD 中，AB∠CD，AB = CD，判断四边形ABCD 是否为平行四边形。

解析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD 是平行四边形。

四、根据平行四边形的性质求线段长度例题：在平行四边形ABCD 中，AC、BD 是对角线，AC = 10，BD = 8，且AC 与BD 的夹角为60°，求AB 的长度。

解析：过 A 作AE∠BD 于E。

设O 为AC 与BD 的交点，则AO = 5，BO = 4。

在直角三角形AOE 中，因为∠AOE = 60°，所以OE = AO×cos60° = 5×1/2 = 2.5，AE = AO×sin60° = 5×√3/2。

在直角三角形ABE 中，根据勾股定理可得AB = √(AE² + BE²) = √[(5×√3/2)²+(4 + 2.5)²]。

五、利用平行四边形的性质证明线段相等例题：在平行四边形ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 的中点，连接DE、BF。

第十七讲认识底和高(五年级)

第十七讲认识底和高（五年级）教学目标：1.结合“限高”的情境体会高的意义，并通过动手操作，认识梯形、平行四边形与三角形的底和高。

2.会用三角尺画出平行四边形、三角形与梯形的高。

3.能在方格纸上画出给定底和高长度的平行四边形、三角形与梯形。

重难点重点：会用三角尺画出平行四边形、三角形与梯形的高。

难点：理解底和高的对应关系。

教学过程：一、创境导入，设疑激趣1、在我们日常生活中，无论是马路上，还是桥洞、桥上，甚至是小区的门口，我们常常会看到这样的一些标志。

你知道这些标志中数字的含义吗？对，这就是“限高”。

今天，我们就一起来认识底和高。

板书课题：认识底和高2、如果把桥洞可能成一个梯形，你知道“限高4..5米”是从哪到哪的距离吗？你认为“限高”指的是哪一条线段的长度呢？二、新课探究。

（一）梯形、平行四边形，三角形的底和高。

1、教师提问：你猜测一下（上下的高度）到底是不是这样的呢？让我们一起来验证一下吧！2、过程讲解（1）理解限高的含意①观图，抽象出平面图形。

桥洞的形状可以看成是梯形，如下图所示。

②指出限高指的是哪一条线段。

（2）认识梯形的底和高①初步认识梯形的高。

上图中的限高线就是梯形的高。

②进一步认识梯形的底和高。

梯形中平行的两条边为梯形的上底和下底，上底与下底间的垂线段为梯形的高，不平行的对边为梯形的腰。

如下图所示。

③让学生从上底向下底画垂线段，看一看能画多少条。

让学生发现：腰腰梯形的高有无数条。

（3）认识平行四边形的底和高从平行四边形的顶点（或一条边上的任意一点）向它的对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是这条高所对应的底，如下图所示。

发现：平行四边形有无数条高。

（4）认识三角形的底和高三角形有三条边，三条边都可以作底边，每条边与其所对的顶点到这条边的垂直线段就是三角形的底和高。

如下图所示。

发现：三角形有三组对应的底和高。

3、归纳总结1.梯形的底和高：梯形中平行的两条边为上底和下底；上底和下底之间的垂直线段就是梯形的高。

平行四边形知识点及同步练习、含答案3

平行四边形的特征【学习目标】1．探索并掌握平行四边形的特征．2．灵活运用平行四边形的特征解决问题．3．平行四边形一般转化成三角形的问题来解决．【基础知识概述】 1．平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ． (3)平行四边形定义的作用：①由定义知平行四边形的两组对边分别平行．②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形． 2．平行四边形的特征：(1)平行四边形的邻角互补，对角相等． (2)平行四边形的对边平行且相等． (3)平行四边形的对角线互相平分．(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．(5)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．注意：①特征：都是通过连对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的，即通过平移或旋转，利用重合来证明的．②夹在两条平行线间的平行线段是指端点分别在两条平行线上的平行线段． ③互相平分指两条线段有公共的中点． 3．平行四边形特征的作用：可以用来证明线段相等、角相等及两直线平行等．如图12-1-1，有如下结论：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠==(对角线互相平分)，(对角相等)，(对边相等)，(对边平行)，是平行四边形，则如果四边形DO BO CO AO D B C A ADBC CD AB AD//BC CD //AB ABCD 4．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2)两平行线间的距离处处相等．注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的．①平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变．②平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．5．平行四边形的面积：(1)如图12-1-2①，．也就是(a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离)．(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图12-1-2②，有公共边BC，则．注意：这里的底是相对而言的，也就是高所在的边，平行四边形任意一边都可以作底，底确定后，高也就确定了．【例题精讲】例1如图12-1-3，已知的对角线相交于点O，过O作直线交AB于E，交CD 于F，可得OE＝OF．为什么？分析：要得到OE＝OF，可先证得它们所在△AEO与△CFO(△BEO与△DFO)重合．解：在中，∵AB∥CD，OD＝OB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴将△BOE绕点O旋转180度后与△DOF重合．∴OE＝OF．注意：把线段与角归结为平行四边形的边，对角线或对角，利用平行四边形的特征证明．例2(1)在中，∠A︰∠B＝2︰3，求各角的度数．(2)已知的周长为28cm，AB︰BC＝3︰4，求它的各边的长．分析：(1)在平行四边形中，邻角是互补的，而对角是相等的，所以∠A与∠B必是邻角，其和为180°，可据此列式求出角度．(2)平行四边形的对边相等，所以周长为邻边之和的2倍，可以据此列式求出各边长．解：(1)由于∠A、∠B是平行四边形的两个邻角，所以∠A＋∠B＝180°．又因为∠A︰∠B＝2︰3，不妨可设∠A＝2k，∠B＝3k，那么2k＋3k＝180°，可以解得k＝36°，则∠A＝∠C＝72°，∠B＝∠D＝108°．(2)由于在中，AB＝CD，BC＝AD．所以AB＋BC＋CD＋AD＝28，即AB＋BC ＝14．由题意得AB︰BC＝3︰4，因此可设AB＝3k，BC＝4k，那么有3k＋4k＝14，解得k ＝2，则AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝8cm．例3如图12-1-4，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB 的周长比△BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长．分析：由平行四边形对边相等知AB＋BC＝平行四边形周长的一半＝30cm，又由△AOB 的周长比△BOC的周长长8 cm知AB—BC＝8cm，由此两式，可得各边长．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，AO＝CO．∵AB＋CD＋AD＋CB＝60，AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，∴AB十BC＝30，AB－BC＝8，∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11．答：这个四边形各边长分别为19 cm，11 cm，19 cm，11 cm．注意：①平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半．②平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．思考：如图12-1-4，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？提示：周长为80．设AB＝3x，则AD＝2x，依题意有3x－2x＝8，∴x＝8，∴AB＝3x＝3×8＝24，AD＝2x＝2×8＝16．∴周长＝2(24＋16)＝80．例4 如图12-1-5，在中，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．求∠ADE，∠EDF，∠FDC的度数．分析：由平行四边形对角相等、邻角互补得∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°，再由垂直得到角为90°即可．解：在中，∵∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°．∴∠A＝180°－∠B＝60°．∴∠C＝60°．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠ADE＝∠FDC＝90°－∠A＝90°－60°＝30°．注意：在平行四边形中求角的度数时，一般运用平行四边形的特征，即对角相等、邻角互补来进行求解．【中考考点】会利用平行四边形证明角相等，线段相等及直线平行．【命题方向】多以中档题型出现，填空、选择、计算、证明等各种形式都会涉及．【常见错误分析】例7如图12-1-7，中，AC和BD交于O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，则OE＝OF．为什么？错解：∵，∴OA＝OC，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AOE＝∠COF．又∠1＝∠2，∴△AOE旋转180°后与△COF重合，∴OE＝OF．误区分析：错误出于∠AOE＝∠COF这一步骤，原因在于默认了E，O，F三点共线，而已知条件中并没有这个结论，其实E，O，F三点共线在证题过程中应该加以证明，否则就犯了推理没有根据，理由不充足的逻辑错误．正解：解法一：∵，∴AD∥BC，∴∠3＝∠4．又OA＝OC，∠AEO＝∠CFO＝90°，∴△AOE旋转180°后与△COF重合，∴OE＝OF．解法二：∵AD∥BC，OE⊥AD∴OE⊥BC．又OF⊥BC，∴直线OE与OF重合，即E，O，F三点共线，∴∠1＝∠2．又∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO＝90°，∴△AOE旋转180°后与△COF重合，∴OE＝OF．此命题可推广如下：已知中，AC 和BD 交于O ，过点O 作直线EF 交AD 于F ，交BC 于F ，则OE ＝OF ．求解(略)．这个推广后的命题，是平行四边形中一个十分重要的基本命题，利用它的结果可以证明很多问题成立．【学习方法指导】1．学习平行四边形的特征时，按照对角、对边、对角线的顺序去理解，便于记忆和应用．2．本节主要内容是平行四边形的定义及特征，并且要重点理解两条平行线间的距离的概念．【同步达纲练习】一、填空题1．若一个平行四边形相邻的两内角之比为2︰3，则此平行四边形四个内角的度数分别为____________．2．在中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为____________． 3．在中，∠A ＝30°，AB ＝7 cm ，AD ＝6 cm ，则＝____________． 4．一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x 的取值范围为____________．5．中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________．6．平行四边形的边长等于5和7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是____________．7．已知等腰△ABC 的一腰AB ＝9 cm ，过底边上任一点P 作两腰平行线分别交AB 于M ，交AC 于N ，则AN 十PN ＝____________．8．平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．9．平行四边形邻边长是 4 cm 和8cm ，一边上的高是 5 cm ，则另一边上的高是____________．10．如图12-1-8，中，E 是AD 的中点，BD 与EC 相交于F ，若2S EFD =∆，则BFC S ∆＝____________．11．已知P 为内一点，，则PCD PAB S S ∆∆+＝____________．12．已知的对角线相交于点O ，它的周长为10 cm ，△BCO 的周长比△AOB 的周长多2cm ，则AB ＝____________．二、解答题13．已知，如图12-1-9，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于E，EF ∥AC交BC于F，则BE＝FC，为什么？14．如图12-1-10，中，E，F是对角线BD上两点，且BE＝FD，连结AE，FC，则AE＝FC，试说明理由．15．如图12-1-11，中，对角线AC长为10 cm，∠CAB＝30°，AB长为6 cm，求的面积．16．如图12-1-12，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明PD＋PF＋PE＝AB．17．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高，如果这两条高的夹角是135°，求此平行四边形的各角的度数．三、思考题18．如图12-1-13，EF 过对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若AB ＝4，BC ＝5，OE ＝1.5，求四边形EFCD 的周长．19．以平行四边形ABCD 两邻边BC 、CD 为边向外作正△BCP 和正△CDQ ，则△APQ 为正三角形，请说明理由．参考答案【同步达纲练习】一、1．72°，108°，72°，108° 2．6，8，6，83．2cm 21 4．10<x<22 5．7cm ，3 cm 6．5，2 7．9 cm 8．12或189．cm 2510．8 11．50 12．1.5cm 二、13．提示：由△BED 是等腰三角形得到BE ＝ED ，由四边形DEFC 是平行四边形得到ED ＝FC 即可．14．提示：通过△ABE 与△DCF 重合可以得出．15．2cm 30．16．延长FP 交AB 于G ，延长DP 交BC 于H ，四边形AGPD ，EBHD 为平行四边形，PD ＝AG ，PH ＝BE ，△GEP ，△PHF 为等边三角形，PE ＝EG ，PH ＝PF ＝BE ，PD ＋PF ＋PE ＝AG ＋GE ＋EB ＝AB ．17．45°，135°，45°，135°．三、18．OE ＝OF ＝1.5，AE ＝CF ，DE ＝BF ，ED ＋CF ＝BF ＋FC ＝5，CD ＝AB ＝4，四边形EFCD 的周长为2×1.5＋5＋4＝12．19．提示：证明△ABP 、△QDA 、△QCP 三个三角形重合，可得出AP ＝AQ ＝PQ 即可．。

平行四边形的底和高

平行四边形的四条边都可以做为边.
高是以为那条边为底而定的.
(高即是两平行线的最短距离.)
高可以这样做:
1.随便以一条边为底边, 过底边的一个边点作边的垂线,交另一边.
交点与垂点的距离就是以这条边为底的高.
2.画一条直线交且垂直两平行线,两个交点的距离就为高.
不同的平行四边形,它得出的高是不一样的.
同一个平行四边形,以不同的边为底,它的高也不一样.
平行四边形有两组底和高，底就是平行四边形的一条边，而该底对应的边就是与这条边垂直并与夹在两平行边之间的线段。

平行四边形面积计算方法

平行四边形面积计算方法平行四边形是一个基本的几何形状，其具有四条边和四个角，其中相对的两条边平行且相等，相对的两个角也相等。

在数学和几何学中，平行四边形面积的计算是一个基本的问题，本文将介绍平行四边形面积计算的方法。

一、基本定义平行四边形的面积可以通过其底边和高来计算。

底边是平行四边形的一条边，高是从底边垂直到相对边的距离。

设平行四边形的底边为b，高为h，则其面积为S=b*h。

当平行四边形的底边和高已知时，可以直接使用这个公式计算面积。

二、计算方法平行四边形的面积可以通过不同的方法计算，以下介绍几种常见的计算方法。

1. 利用底边和高如上所述，平行四边形的面积可以通过底边和高来计算。

因此，如果已知平行四边形的底边和高，可以直接使用公式S=b*h来计算其面积。

例如，如果一个平行四边形的底边为5 cm，高为3 cm，则其面积为S=5 cm * 3 cm = 15 cm。

2. 利用对角线平行四边形的对角线是连接相对角的线段。

如果已知平行四边形的对角线长度，可以通过以下公式计算其面积：S=(1/2)*d1*d2其中，d1和d2分别表示平行四边形的两条对角线的长度。

例如，如果一个平行四边形的对角线长度分别为6 cm和8 cm，则其面积为S=(1/2)*6 cm*8 cm=24 cm。

3. 利用三角形平行四边形可以被分成两个相等的三角形。

因此，可以通过计算其中一个三角形的面积并乘以2来计算整个平行四边形的面积。

具体来说，可以使用以下公式计算一个三角形的面积：S=(1/2)*b*h其中，b和h分别表示三角形的底边和高。

例如，如果一个平行四边形的底边为5 cm，高为3 cm，则其面积为S=(1/2)*5 cm*3 cm=7.5 cm。

整个平行四边形的面积为2*S=15 cm。

三、应用举例平行四边形的面积计算方法在实际应用中有广泛的用途。

以下是一些常见的举例。

1. 计算房间地板的面积当测量房间的地板时，可以将其分成多个平行四边形，并使用上述方法计算每个平行四边形的面积。

五年级上册数学教案第四单元《第2课时认识底和高》北师大版

五年级上册数学教案第四单元《第2课时认识底和高》北师大版教案：五年级上册数学教案第四单元《第2课时认识底和高》北师大版一、教学内容1. 通过实际操作，让学生理解“底”和“高”的概念，并能够正确地使用这两个词汇。

2. 通过例题和练习，让学生掌握如何找平行四边形的底和高，以及如何计算这些高的长度。

二、教学目标1. 学生能够理解平行四边形底和高的概念，并能够正确使用这两个词汇。

2. 学生能够通过观察和操作，找出平行四边形的底和高，并计算它们的长度。

三、教学难点与重点1. 教学难点：理解平行四边形底和高的概念，以及如何找出一幅平行四边形的底和高。

2. 教学重点：掌握计算平行四边形底和高的方法。

四、教具与学具准备1. 教具：准备一些平行四边形的模型，以便在课堂上进行展示和操作。

2. 学具：每个学生准备一张纸和一把尺子，用于进行课堂练习。

五、教学过程1. 引入：我会向学生展示一些平行四边形的模型，并提问他们：“你们认为这些图形有什么共同的特点？”，通过这个问题引导学生思考平行四边形的特征。

2. 讲解：我会向学生解释平行四边形的底和高的概念，并通过实际的模型展示给学生看，让他们能够直观地理解这个概念。

3. 练习：我会给学生一些平行四边形的图形，让他们找出其中的底和高，并计算它们的长度。

六、板书设计1. 板书认识底和高2. 板书内容：平行四边形的底：与平行四边形相对的边平行四边形的高：从底垂直向上的线段七、作业设计1. 作业题目：找出下面的平行四边形的底和高，并计算它们的长度。

八、课后反思及拓展延伸通过今天的教学，我发现学生们对平行四边形的底和高的概念有一定的理解，但在找出一幅平行四边形的底和高时，有些学生还是有些困难。

在今后的教学中，我需要更多地给予他们实际的操作机会，以便更好地理解和掌握这个概念。

同时，我也可以让学生们尝试自己设计一些平行四边形的图形，让他们更好地运用所学的知识。

重点和难点解析在上述教案中，有几个关键的细节是我需要特别关注的，因为它们对于学生理解和掌握本节课的核心概念至关重要。

《平行四边形的认识》的优秀教学设计（通用13篇）

《平行四边形的认识》的优秀教学设计《平行四边形的认识》的优秀教学设计（通用13篇）作为一名专为他人授业解惑的人民教师，时常需要编写教学设计，借助教学设计可以让教学工作更加有效地进行。

那么应当如何写教学设计呢？以下是小编帮大家整理的《平行四边形的认识》的优秀教学设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。

《平行四边形的认识》的优秀教学设计篇1一、教学目标(一)知识与技能结合生活实际认识平行四边形，掌握平行四边形的特征，认识平行四边形的底和高。

培养学生抽象、概括的能力，渗透对应的数学思想。

(二)过程与方法使学生经历动手操作和自主探究的过程，充分感受平行四边形的本质特征。

(三)情感态度和价值观激发学生的学习兴趣,培养积极探索的精神,感受数学的价值。

二、教学重难点教学重点：平行四边形的意义。

教学难点：认识平行四边形的底和高。

三、教学准备课件、三角板四、教学过程(一)复习旧知，导入新课1.复习旧知师：同学们，你们认识平行线吗?请看屏幕，这里面哪一组是平行线?课件出示：(1)提问：第②组是平行线吗?第⑤组呢?我们来看这三组平行线，请同学们仔细观察。

课件动态依次演示:(2)师：认识这个四边形吗?【设计意图】通过简单旧知识复习，让学生快速进入学习情境，激发学生的学习兴趣，通过课件的动画演示自然由平行线过度到平行四边形,让学生直观感受到平行四边形的本质，为后面平行四边形意义的教学做好思维上的孕伏。

(二)自主探究，合作交流1.平行四边形的意义(1)提供感性材料师:生活中你见过平行四边形吗?在哪见过，能给大家说一说吗?①学生尝试举例。

②教师课件出示生活中与平行四边形有关的实例。

a.引导学生找一找、说一说课件实例中的平行四边形。

b.课件呈现:上面的各图中都有平行四边形。

(2)合作探究平行四边形的特征①师：我们把刚才找到的平行四边形放在一起来观察一下，结合我们对平行四边形初步的认识，谁能说一说它们有哪些共同的特点?预设：对边平行、对边相等、对角相等平行四边形是否具有这样的特征呢?在1号学具袋里的小篇子上也有这些平行四边形，你们可以两人一组研究研究。

北师大版五年数学上册《第四单元认识底和高》说课稿

尊敬的评委、老师们：大家好！我是北师大版五年级数学上册《第四单元认识底和高》的说课教师。

今天，我将为大家详细介绍本节课的教学内容、教学目标、教学重难点、教学过程和教学反思。

一、教材分析北师大版五年级数学上册《第四单元认识底和高》是在学生已经掌握了平行四边形、三角形和梯形的特征的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，认识平行四边形、三角形和梯形的底和高，并能够运用底和高的概念解决实际问题。

二、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解平行四边形、三角形和梯形的底和高概念，掌握画底和高的方法，并能够运用底和高解决实际问题。

2. 过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等活动，培养观察能力、动手能力、思维能力和语言表达能力。

3. 情感态度与价值观：学生体验数学与生活的紧密联系，培养学习数学的兴趣和信心。

三、教学重难点1. 教学重点：学生能够理解平行四边形、三角形和梯形的底和高概念，掌握画底和高的方法。

2. 教学难点：学生能够运用底和高解决实际问题。

四、教学过程1. 导入新课通过展示生活中常见的平行四边形、三角形和梯形图片，引导学生观察这些图形的特征，为新课的学习打下基础。

2. 探究新知（1）平行四边形的底和高引导学生观察平行四边形的特征，找出平行四边形的底和高，并让学生亲自动手画一画平行四边形的底和高。

通过观察和操作，让学生理解平行四边形的底和高概念。

（2）三角形的底和高同样地，引导学生观察三角形的特征，找出三角形的底和高，并让学生亲自动手画一画三角形的底和高。

通过观察和操作，让学生理解三角形的高和底的概念。

（3）梯形的底和高接着，引导学生观察梯形的特征，找出梯形的底和高，并让学生亲自动手画一画梯形的底和高。

通过观察和操作，让学生理解梯形的底和高概念。

3. 巩固练习设计一些具有梯度的练习题，让学生运用底和高的概念解决问题，巩固所学知识。

4. 课堂小结引导学生总结本节课所学内容，加深对平行四边形、三角形和梯形的底和高概念的理解。

(完整版)平行四边形的性质及判定典型例题

平行四边形的性质及判定（典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，O 是卜二・ABCD 对角线的交点.△ OBC 的周长为59, BD=38 , AC=24，贝卩AD= __ 若厶OBC 与厶OAB 的周长之差为 15，贝y AB=QABCD 的周长= _____ .AC ,可得BC ,再由平行四边形对边相等知 AD=BC ，由平行四边形的对角线互相平分，可知△ OBC 与厶OAB 的周长之差就为BC 与AB 之差，可得AB ，进而可得」ABCD 的周长.解 EBCD 中0A 二= OB = OD = |E D （平行四边形的对角线互相平分）•••△ OBC 的周长=0B + 0C +EC分析: 根据平行四边形对角线互相平先所OC =1=19 + 12 + BC=59••• BC=28—ABCD 中，•BC=AD(平行四边形对边相等)•AD=28△ OBC的周长-△ OAB的周长=(OB + OC + BC)-(OB + OA+AB)=BC-AB=15•AB=13•••二ABCD的周长=AB + BC + CD + AD=2(AB + BC)=2(13 + 28)=82说明：本题条件中的△ OBC占厶OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15 .例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形. ()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分. ()(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：(1) 错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边AD // BC .显然四边形ABCD 不是平行四边形．(2) 错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3) 错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．”一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4) 对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的．(5) 错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6) 对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF .求证：ED // BF .分析：欲址DE // BF，只需/ DEC二/ AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：v AE=CFAE+EF二CF+EF••• AF=CE在二ABCD中AB // CD（平行四边形的对边平行）• / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）•••△ ABF刍乂 CDE（SAS）•••/ AFB= / DCE• ED // BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在△ ABC中DE // BC // FG，若BD=AF、求证; DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH // AB（或DM // AC）,得至U DE=BH、只需证HC=FG ,因AF=BD=EH , / CEH=/ A. / AGF = Z C所以△ AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK // AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证△ AFG CKE .过E作EH // AB交于Hv DE // BC•••四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）••• DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又BD=AF• AF=EHv BC // FGAGF= / C（两直线平行同位角相等）同理 / A= / CEH• △ AFG EHC(AAS)••• FG=HC••• BC二BH+HC二DE二FG.过C作CK // AB交DE的延长线于K.v DE // BC•四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）•CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又BD=AF•AF=CKv CK // AB• / A= / ECK（两直线平行内错角相等）v BC // FG•••/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK二/ AED（对顶角相等）•••/ AGF= / CEK•••△ AFG S' CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BC• DE+FG=BC例 5 如图I—ABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.u --- ---------- r分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45°进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在二ABCD 中，AD // BC•••/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）vZ ABC=3 / A•••/ A=45 ,Z ABC=135•••Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）•EF 丄CD•Z F=45°（直角三角形两锐角互余）•EF=CE=1在RtAOEF中,CF = JCE之》EF金=（勾股定理）v AD=BC=1二BF = CF”EC = Q[例6如图1，‘ ■ ABCD中，对角线AC长为10cm , Z CAB=30 , AB长为6cm，求一ABCD的面积.解：过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)vZ CAB=30-■.CH 二丄= 1 X10=52 2••• S—ABCD = AB-CH = 6X5=30(cm2)答：二ABCD的面积为30cm2 .说明：由于二=底＞高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C 作高.例7如图，E、F分别在’・ABCD的边CD、BC上，且EF //求证：S△ ACE二S △ ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.二ABCD DE // AB•••/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/ GDE= / DAB（同上）AD // BC•••/ DAB= / FBH（同上）:丄 GDE= / FBHv DE // BH , DB // EH•四边形BHED是平行四边形V DE二BH（平行四边形对边相等）GDE 刍乂 FBH（ASA）••• S△ GDE=S △ FBH（全等三角形面积相等）.GE=FH（全等三角形对应边相等）.S△ ACE=S △ AFH（等底同高的三角形面积相等）.S △ ADE = S △ ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二a・ha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a.例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析EF二DE （目标）十BEDP 为口DF"d叫西3 ]1=Z 3 r Z 1=Z 2f t"S亠彩姑皤彩B口ABCD证明：T四边形ABCD是平行四边形二DE // FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）•••/仁/ 3（两直线平行内错角相等）而Z]=^Z ADC,Z2=|ZABC•••/ 2= / 3• DF // BE（同位角相等两条直线平行）•四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）• BF=DE .（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过△ ADF CBE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的Rt△ ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF // AB，交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG // BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, 可得EG=EC ,从而得出结论.过E点作EG // BC交AB于G点.v EF // AB••• EG=BFv CD为Rt△ ABC斜边AB上的高•/ BAC + / B=90°.Z BAC + / ACD = 90°•/ B= Z ACD•Z ACD=Z EGAv AE 平分Z BAC•Z 1= Z 2又AE=AE•△ AGE ACE(AAS)•CE=EG•CE=BF .说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用.(2)本题也可以设法平移AE .(连F点作FG // AE，交AB于G)例10如图，已知I —ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于E, AF 丄DC 于F，/ EAF=2 / C,求AE 和AF 的长.分析：从化简条件开始①由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.口虹CD 的周长=321 fAB=10AB : BC-5 : 3 p |BC=6②/ EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAE^ZC=180°] oAE 1 EAF-2 Z C j討c=6°这样，立即可以看ADF、△ AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形.于是有= = = 3再由勾股定理求出解：——ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 16 2又AB : BC=5 : 35+3BC= —X3 = 65+3/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于360°v AE 丄BC / AEC=90AF 丄DC / AFC=90•••/ EAF+ / C=180/ EAF=2 / CT AB // CD(平行四边形的对边平行)•••/ ABE二/ C=60 (两直线平行同位角相等)同理/ ADF=60SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5£—■Al = ja =E^ = 5^3 (cm)在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= ^AP = |B C=3■f-j d—iAF - 7A D3 -I>F a = M Ccm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2 .平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是—，理由是（2）如图2, D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE // BC贝卩四边形ADCF是__,理由是__ ,四边形BCFD 是—，理由是—分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD // CF即BD // CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形.解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB 二 /CBD=90 .求证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：CIID 从对角钱看一（5 ）对角线互相平分因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一:v AB=CD . Z ADB= / CBD=90 , BD=DB .••• Rt △ ABD 坐 Rt △ CDB .「（ 1）两组对边分别平存C I ）从边看 —（2）两组对边分别相等_（3）-组对边平行且相尊（1）从边看（II ）从角看（4）两组对角分别相等的四边形绘平行四边形•••/ ABD= / CDB，/ A= / C.•/ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 / ABC= / CDA .•四边形ABCD 是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．证法二：vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .•Rt△ ABD 坐Rt△ CDB .•Z ABD=Z CDB．•AB //CD.（内错角相等两直线平行）•四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．证法三：由证法一知，Rt △ ABD幻Rt △ CDB .••• DA=BC又T AB二CD•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，‘「ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.分析：只须证明EGFH为平行四边形.证明：连结EG 、GF、FH 、HE．T四边形ABCD是平行四边形•••/ A= / C, AD=CB .T BG=DH•AH=CG又AE=CF•△ AEH CFG（SAS）•HE=GF同理可得EG=FH•四边形EGFH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）•EF 与GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F.求证：四边形AECF是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，可得△ ABE CDF••• AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.证明：口ABCD中，AB屯CD（平行四边形的对边平行，对边相等）•/ ABD= / CDB（两直线平行内错角相等）AE 丄BD、CF 丄BD•AE // CF / AEB= / CFD=90•△ ABE CDF（AAS）•AE=CF•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF // EC , BE // DF，从而四边形GEHF为平行四边形.证明：」ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）v AE=CF /. DE=BFT四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）二AF // CE , BE // DF（平行四边形对边平行）•••四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）••• GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知—ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、H 在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄HF分析：证EF 、GH 互相平分二GEHF 为平行四边形.证明:连 BG 、DH 、GF 、EHT ABCD 为平行四边形.••• AD 垒 BC又 AG=HC• DG 丄 BH•四边形BGDH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）• HO = GO , DO=BO （平行四边形的对角线互相平分）又 BE=DF•OE=OF•四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）••• EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7如图，——ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.分析：连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边证法一:连结EH , HF、FG、GEv AE丄BD , G是AD中点.-■.GE=C J D =^AD2/ GED二 / GDE同理可得HF =HB =^EC,Z HFE =Z HEFV四边形ABCD是平行四边形••• AD 岂BC,/ GDE= / HBF••• GE=HF，/ GED= / HFB•GE // HF•四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分）证法二：容易证明厶ABE CDF• BE=DFT四边形ABCD为平行四边形••• AD 些BCT G、H分别为AD、BC的中点•DG 丄BH•四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）•OG=OH , OB=OD又BE=DF•OE=OF•EF和GH互相平分.例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：—ABCD ,使/ ABC二/ a, AB=a , BC=b ,分析：已知两边与夹角，可先确定△ ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出.作法:(1) 作/ EBF二/ a,⑵在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,⑶分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点D, 二四边形ABCD为所求.*证明：由作法可知AB=CD = aBC=AD=b二四边形ABCD 为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)且/ ABC 二 / a, AB=a , BC=b- ABCD 为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1) 已知两邻边(AB 、BC)和夹角(/ B).(2) 已知一边(BC)和两条对角线(AC , BD).(3) 已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角 (如/ DBC ,Z ACB).⑷已知一边(CD)和一个内角(/ ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD ，且BD > CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法.。

平行四边形底和高的长度关系

平行四边形底和高的长度关系一、概述平行四边形是一种基本的几何图形，其底和高的长度关系是几何学中的一个重要知识点。

本文将从定义、性质和应用三个方面，全面阐述平行四边形底和高的长度关系。

二、定义平行四边形是指有两对对边分别平行的四边形。

在平行四边形中，底是指两个相邻且平行的边中的任意一个，高则是指从该底所在点到与另一条底垂直且在同一水平线上的线段长度。

三、性质1. 平行四边形底和高互相垂直。

证明：设ABCD为平行四边形，以AB为底，EF为高，则由定义可知EF与AB垂直。

又因为AD∥BC，所以∠EAF=∠EDC（同旁内角），而∠EAF+∠EDF=180°（EF为直线），因此∠EDF=90°，即EF与DC垂直。

因此，在任意一个平行四边形中，底和高互相垂直。

2. 平行四边形底和高之间存在等比例关系。

证明：设ABCD为平行四边形，以AB为底，EF为高，则由定义可知EF与AB垂直。

设EF=x，AD=h，则由三角形相似可得：EF/AD=AB/DC即x/h=AB/DC因此，平行四边形底和高之间存在等比例关系。

3. 平行四边形底和高的长度关系为：面积=底×高。

证明：设ABCD为平行四边形，以AB为底，EF为高，则由定义可知EF与AB垂直。

设AB=a，AD=b，则平行四边形的面积为：S=EF×AB=(a×h)/2又因为h=2S/b，所以：S=(a×h)/2=(a×2S/b)/2=aS/b因此，平行四边形底和高的长度关系为：面积=底×高。

四、应用1. 计算平行四边形的面积。

根据性质3可知，在已知平行四边形的底和高的长度时，可以直接用公式S=底×高计算其面积。

例如，在一个平行四边形中，底长为8cm，高长为5cm，则其面积为40cm²。

2. 判断图形是否是平行四边形。

根据定义可知，在一个图形中如果有两对对边分别平行，则该图形是一个平行四边形。

平行四边形的高与面积计算

平行四边形的高与面积计算平行四边形是一种特殊的四边形，具有两对平行的边。

在几何学中，计算平行四边形的高和面积是常见的问题。

本文将详细介绍如何计算平行四边形的高与面积，并提供相应的计算公式和步骤。

1. 平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

它的性质包括：（1）对边相等：平行四边形的对边长度相等。

（2）对角线等分：平行四边形的对角线相等，并且互相等分。

（3）内角和为180度：平行四边形的内角之和等于180度。

2. 平行四边形的高计算平行四边形的高是指由两个平行边垂直相连的线段，又称为垂线或者高线。

平行四边形的高可以通过以下公式计算：高 = 底边长 × sin(底边与高的夹角)为了计算平行四边形的高，我们需要知道底边的长度以及底边与高的夹角。

夹角可以通过几何图形或给定的问题中的条件得到。

例如，假设平行四边形的底边长度为a，底边与高的夹角为θ，则平行四边形的高可以表示为：高= a × sinθ3. 平行四边形的面积计算平行四边形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 底边长 ×高根据前面的讨论，我们知道了如何计算平行四边形的高。

因此，我们只需知道底边的长度，即可使用上述公式计算出平行四边形的面积。

例如，假设平行四边形的底边长度为a，高为h，则平行四边形的面积可以表示为：面积 = a × h4. 平行四边形的实例为了更好地理解和应用平行四边形的高与面积计算，我们通过以下实例进行说明。

例1：已知平行四边形的底边长度为6 cm，底边与高的夹角为45度，求该平行四边形的高和面积。

解：首先，根据给定信息可知，底边长度a = 6 cm，底边与高的夹角θ = 45度。

因此，可以使用计算公式计算出高和面积。

高 = 6 cm × sin(45°) ≈ 4.24 cm面积= 6 cm × 4.24 cm ≈ 25.44 cm²因此，给定底边长度为6 cm，底边与高的夹角为45度的平行四边形的高约为4.24 cm，面积约为25.44 cm²。

在平行四边形中同一底边上的高的长度

在平行四边形中同一底边上的高的长度1. 基本概念在平行四边形中，同一底边上的高是指从底边到顶点的垂直距离。

平行四边形具有一对对边平行，对角相等的特点，因此同一底边上的高的长度是相等的。

2. 应用举例假设我们有一个平行四边形ABCD，其中AB和CD是平行边，AD和BC是平行边。

我们要求同一底边AB上的高的长度。

首先我们可以选择任意一点，比如点E，作AE的垂直平分线，相交于点F。

那么AE 和FC就是同一底边AB上的两条高，它们的长度是相等的。

3. 计算公式在平行四边形中，同一底边上的高的长度可以通过计算得到。

假设底边长度为b，高的长度为h，那么可以通过以下公式来计算：h = |AB| * sin(θ)其中θ为底边AB与高的夹角，|AB|为底边AB的长度。

这个公式可以帮助我们在已知底边长度和夹角的情况下，求出同一底边上的高的长度。

4. 观点与理解在平行四边形中，同一底边上的高的长度在几何学中是一个基本而重要的概念。

通过了解和计算同一底边上的高的长度，我们可以更深入地理解平行四边形的性质和特点，为解决相关几何问题提供基础和方法。

总结回顾同一底边上的高的长度是指在平行四边形中从底边到顶点的垂直距离。

通过计算公式或几何方法，我们可以求得同一底边上的高的长度，并在实际应用中进行相关计算。

在学习和应用几何知识时，关于同一底边上的高的长度的理解和掌握是非常重要的，在解决相关问题时具有重要作用。

通过本次的文章撰写，希望能够帮助你更深入地理解和应用同一底边上的高的长度这一概念。

在学习和探索过程中，不断研究和实践是非常重要的，相信你能够很好地掌握这一概念，并且灵活运用于实际问题中。

平行四边形是一种常见的几何图形，具有许多特点和性质。

在平行四边形中，同一底边上的高的长度是一个基本概念，它在解决相关问题和应用中起着重要作用。

除了在几何学中的应用外，同一底边上的高还可以在其他领域发挥作用，比如建筑、工程等领域。

接下来我们将深入探讨同一底边上的高的长度在不同领域的应用和意义。

北师大五年级上册数学第四单元知识点总结及对应典型例题

第四单元多边形的面积一、比较图形的面积1.从量上来说：数方格2.从形上来说：（1）重叠法（即平移、轴对称）（2）割补法：出入相补（3）拼接法：3.图形面积相同，其形状可以是不同的。

二、认识底和高1.认识底和高（1）平行四边形的底和高：从平行四边形一边上的一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是平行四边形的底。

（2）三角形的底和高：三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

（3）梯形的底和高：从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的高。

（4）高和底的关系是对应的。

2.用三角板画高的方法：（①贴②移③画④标）（1）用三角板画出平行四边形的高的方法：把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平行四边形一条边上的高。

注意：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。

（2）用三角板画出三角形的高的方法：把三角板的一条直角边与三角形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边对应的顶点。

从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三角形一条边上的高。

（3）用三角板画出梯形的高的方法：把三角板的一条直角边与梯形的一条平行的边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是梯形一条边上的高。

3.底和高的条数对应题型：三、平行四边形的面积1.平行四边形的面积推导过程：利用割补法，可以把平行四边形转化成长方形，转化后的长方形面积与原平行四边形面积相等，长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高，因为长方体的面积=长×高，所以平行四边形的面积=底×高。

计算平行四边形的高

计算平行四边形的高平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两对平行边。

本文将介绍如何计算平行四边形的高，以及一些相关的概念。

一、什么是平行四边形的高？平行四边形的高是指从一个顶点到其对边的垂直距离。

与其他四边形相比，平行四边形具有独特的性质，其高与底边（对边）的长度关系呈一定比例。

二、计算平行四边形的高的方法有多种方法可以计算平行四边形的高，下面将介绍两种常用的方法。

方法一：使用平行四边形的面积公式平行四边形的面积可由底边长和高来计算。

根据这一特性，可以通过给定的边长和面积来计算平行四边形的高。

假设平行四边形的底边长为a，高为h，面积为S，则可以使用以下公式计算高h：h = S / a方法二：使用三角形的性质平行四边形可以视为两个相等的三角形组成。

根据三角形的垂直距离和底边的关系，可以使用三角形的性质计算平行四边形的高。

假设平行四边形的底边长度为a，对边长度为b，两对对边之间的夹角为θ，可以使用以下公式计算高h：h = b * sin(θ)三、示例让我们通过一个示例来演示如何计算平行四边形的高。

假设有一个平行四边形，其中底边长为6cm，对边长为4cm。

我们需要计算它的高。

首先，我们可以使用面积公式来计算高。

假设平行四边形的面积为12cm²，根据公式h = S / a，可以得到：h = 12cm² / 6cm = 2cm其次，我们可以使用三角形的性质来计算高。

假设两对对边之间的夹角为60°，根据公式h = b * sin(θ)，可以得到：h = 4cm * sin(60°) ≈ 3.46cm因此，我们可以得出结论，这个平行四边形的高约为2cm或3.46cm。

四、其他相关概念在计算平行四边形的高之前，有几个相关的概念也需要了解。

1. 平行四边形的面积公式：平行四边形的面积可以通过底边长a和高h来计算，公式为：S = a * h2. 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，内角和为180°，对角线相交于中点，且对角线互相平分。

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