弹性力学

弹性模量在物理本质上反映了 原子间结合强度的大小。
材料的弹性变形
工程中常用的弹性常数
杨氏弹性模量
杨氏弹性模量E反映了材料抵抗正 应变的能力，可由材料的静态拉伸 或压缩试验测定。
剪切弹性模量
剪切弹性模量G反映了材料抵抗切 应变的能力，可由材料的静态扭转 试验测定。
泊松比 体积模量
泊松比ν反映了材料横向正应变与 受力方向（轴向）正应变的相对比 值，可由材料的静压试验测定。
Fe 体心立方
W
272700 384600
125000 384600
211400 411000
115பைடு நூலகம்00 151400
59900 151400
81600 160600
六方
Mg 50600 Zn 123500
42900 34900
44700 100700
18200 48700
16700 27300
17300 39400
温度升高，弹性后效速度加快， 变形量∆e1也增大。
应力状态对弹性后效有强烈的影 响。切应力分量愈大，弹性后效愈 明显。
弹性后效现象对于仪表和精密机械中 的传感元件十分重要
弹性滞后
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材料的弹性变形
弹性不完善性 完善的弹性性能应当是受到应力作用时立即发生相
应的弹性应变，去除应力时应变也随即消失。表现在在 应力—应变曲线上，即加载线与卸载线完全重合，应变 与应力严格地同相位。然而实际材料往往不可能是理想 弹性体，即使在弹性变形范围内，实际材料的应变与应 力也不呈严格的对应关系。应变不仅与应力有关，还与 时间和加载方向有关。这些与完善弹性性质不同的现象 称为弹性不完善性，主要有： 滞弹性效应 包申格（Bauschinger）效应
体积模量K表示材料在三 向等压缩下，压强p与体 积应变之间的比例关系。
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材料的弹性变形 广义Hooke定律
在单向拉伸时，除σx外 其它应力分量均为0，于是简
化为：
材料的弹性变形
材料的其它弹性性能指标
刚度 在实际工程结构中，材料弹性模量的意义通常是以刚度来体现的。这 是因为构件一旦设计定型，在弹性变形范围内的服役过程中，通常以 其所受负荷来判定变形量。而刚度即指引起单位应变的负荷，即：
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材料的弹性变形
弹性模量的影响因素
2、温度的影响
温度是对弹性模量影响相 对较大的一个外部因素。通常， 温度升高使原子间距增大，体 积膨胀，原子间结合力减弱， 从而引起弹性模量降低。
不同材料的弹性模量对温度的敏感程度也不同。 3、加载速率的影响
一般情况下，加载速率并不影响弹性性能，因为固体的弹性变形 以介质中的声速传播。
材料的弹性变形
彭瑞东
煤炭资源与安全开采国家重点实验室
材料的弹性变形
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
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材料的弹性变形
材料在外力作用下发生变形，当外力除去后，变形 也随之消失，这种变形即为弹性变形。
任何材料在外力作用下，开始总会有弹性变形，而且大多 数材料在正常服役条件下也都处于弹性状态。因此材料的弹 性变形是材料最基本的力学性能。 材料的弹性变形一般是原子系统在外力作用下离开平衡位 置达到新的平衡状态的过程，所以了解弹性变形的规律有必 要从原子模型入手。 从宏观上看，材料的弹性本构关系可以用广义Hooke定律 描述，弹性模量是表征材料弹性特征的力学指标。需要指出 的是，实际上材料的弹性还会表现出非线性的特点或某种不 完善性。
弹性滞后行为可用 相对滞后系数γ表示，γ ＝B／emax，其中B为 弹性滞后环的最大宽度， emax为最大应力下的总 应变。
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材料的弹性变形
滞弹性效应
理想的弹性体加载时立即产生变形，卸载后立即恢复原状，但实际 材料，尤其是高分子材料，在受载后变形并不马上达到平衡值，卸载后 也不是立刻完全恢复。这种随时间产生的弹性变形成为滞弹性变形。
尽管每个晶粒在不同的方向上有不同的弹性模量，但由大量随机取 向的晶粒组成的多晶体却显示出各向同性，弹性模量在各个方向上是一 样的，其值介于最大值和最小值之间。
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材料的弹性变形
弹性模量的影响因素
弹性模量是材料力学性能中最稳定的指标，主要取决于材料的原子结 构，对材料的组织分布与变化不敏感，受外界条件波动的影响也较小 1、原子结构的影响 弹性模量是一个与原子间结 合力强弱相关的物理量，它同熔 点、汽化热等物理量一样随原子 序数而发生周期性变化 除了过渡族金属外，弹性模量E与原 子半径r之间存在下列关系：
材料的弹性变形
滞弹性效应
理想的弹性体加载时立即产生变形，卸载后立即恢复原状，但实际 材料，尤其是高分子材料，在受载后变形并不马上达到平衡值，卸载后 也不是立刻完全恢复。这种随时间产生的弹性变形成为滞弹性变形。
弹性滞后 在弹性范围内对材料加载，由于加载不是瞬时完成的，因而在加载过程中 对于每一个应力值都会产生正弹性后效，其发展的程度随应力的升高而增大， 卸载时则相应地产生反弹性后效，这一现象称为弹性滞后。因此，加载和卸载 时的应力—应变曲线不重合，形成一封闭的回线，称为弹性滞后环。
材料的弹性极限与材料的成分、组织结构密切相关，波动较大，而材 料的弹性模量则主要取决于材料的元素构成，对材料的组织结构变化 不敏感。
材料的弹性变形
单晶体的弹性模量，其值在不同的结晶学方向是不同的，表现出 各向异性。在原子间距较小的结晶学方向上较高；反之较小。
晶格类型 金属
E／MPa 单晶体 最大值 最小值
材料的弹性变形
粘(黏)弹性 弹性：
弹簧 Spring
应力与应变之间没有时间差，没有蠕变及应力松弛现象； 外力做功以弹性能储存，没有能量损耗。
粘性：
黏壶 Dashpot
若维持应变不变，应力将一直松弛到零； 外力做功以热的形式损耗，能量没有储存。
材料的弹性变形
包申格（Bauschinger）效应
材料的弹性变形
广义Hooke定律
由于大部分材料可视为各向同 性体或伪各向同性体，因此独立弹 性常数只有两个，即S11、S12。在 工程应用中，据此定义弹性常数有 杨氏弹性模量E、剪切弹性模量G、 泊松比ν 。
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材料的弹性变形 广义Hooke定律
杨氏弹性模量E
剪切弹性模量G
泊松比ν
材料的弹性变形
粘(黏)弹性
麦克斯韦Maxwell模型：
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材料的弹性变形
粘(黏)弹性 开尔文Voigt-Kelvin模型：
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材料的弹性变形
材料在外力作用下发生变形，当外力除去后，变形 也随之消失，这种变形即为弹性变形。
任何材料在外力作用下，开始总会有弹性变形，而且大多 数材料在正常服役条件下也都处于弹性状态。因此材料的弹 性变形是材料最基本的力学性能。 材料的弹性变形一般是原子系统在外力作用下离开平衡位 置达到新的平衡状态的过程，所以了解弹性变形的规律有必 要从原子模型入手。 从宏观上看，材料的弹性本构关系可以用广义Hooke定律 描述，弹性模量是表征材料弹性特征的力学指标。需要指出 的是，实际上材料的弹性还会表现出非线性的特点或某种不 完善性。
材料因内部原子偏离平衡位置所产生的内力便是弹性力。若材 料内部原子间的弹性力不为零，则材料内的弹性势能升高 。
材料的弹性变形
广义Hooke定律
刚度常数和柔度常数统称为弹性常数 ，两种常数都是有36个。
由于可以证明Cij=Cji，Sij=Sji，所以二者最多也只有21个是独立的。 而且晶体的对称性越高，独立常数就越少 。
式中，S为构件的承载面积。可见，ES即为刚度。 不难看出，要减小构件的弹性变形，可 选用高弹性模量材料
适当增加承载面积
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材料的弹性变形
材料的其它弹性性能指标
弹性比功 弹性比功指单位体积材料所吸收的最大弹性变 形功，即：
弹性比功反映了材料吸收变形功而不发生永久变形的能力。 不难看出，要增大构件的弹性比功，可 降低弹性模量 提高弹性极限
钢
121000
1084
铝
69000
600
刚玉
400000
2050
石英玻璃 电木
70000 5000
Tg～1150 －
硬橡胶
4000
－
非晶态聚苯乙烯 低密度聚乙烯
3000 200
Tg～100 Tg～137
表中，Tm指材料的熔点，Tg为玻璃体的软化温度。
键型
共价键 金属键 金属键 金属键 金属键 共价键和离子键 共价键和离子键 共价键 共价键 分子键 分子键
式中k、m均为常数，m>1，这表明弹性模量随原子半径增大而减小，亦 即随 原子间间距增大而减小。
材料的弹性变形
具有强化学键结合的材料弹性模量较高，而仅由弱化学键结合 的材料弹性模量则很小。
材料
E （MPa）
Tm （℃）
金刚石
1140000
3800
钨
410000
3387
铁及低碳钢
207000
～1538
多晶体
G／MPa 单晶体 最大值 最小值
多晶体
Al
76100 63700 70300 28400 24500 26100
面心立方 Cu Au
191100 116700
66700 42900
129800 78000
74500 42000
30600 18800
48300 27000
Ag 115100 43000 82700 43700 19300 20300
内耗
由于弹性滞后，加载时材料所吸 收的弹性变形能大于卸载时所释放的 弹性变形能，即有一部分变形能不可 逆地为材料所吸收，其数值可用弹性滞后环的面积来量度。这种因弹性不完 善性而引起的不可逆的能量消耗，称为材料的内耗。
导致材料内耗的因素主要由滞弹性 效应、局部塑性内耗以及位错内耗、晶 界内耗等。
材料的内耗与材料的消震能力相关 联，内耗大有利于提高材料的消震能力。
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材料的弹性变形
在拉力或压力作用下，原子间的 作用力将发生变化，原子间距亦将随 之变化，达到新的平衡，于是在宏观 上表现出一定的变形，当拉力或压力 除去后，由于原子间吸引力或排斥力 的作用，将使原子回复到原先的平衡 位置，宏观变形也因而消失。此即弹 性变形的物理本质。
当原子偏离其平衡位置较小时，原子间相互作用力与原子间距 离的关系曲线可以近似地看作是直线。因此当宏观弹性变形较小时， 应变与应力间近似地呈线性关系。这也正是Hooke定律的物理本质。
晶体结构 三斜晶系 单斜晶系 斜方晶系 四方晶系 六方晶系
立方晶系
各向同性体
独立常数个数 21 13 9 6 5
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材料的弹性变形 广义Hooke定律
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Sijkl称为柔度常数
Cijkl称为刚度常数
刚度常数和柔度常数统称为弹性常数 ，两种常数都是有36个。
由于可以证明Cij=Cji，Sij=Sji，所以二者最多也只有21个是独立的。 而且晶体的对称性越高，独立常数就越少 。
材料的弹性变形
滞弹性效应
理想的弹性体加载时立即产生变形，卸载后立即恢复原状，但实际 材料，尤其是高分子材料，在受载后变形并不马上达到平衡值，卸载后 也不是立刻完全恢复。这种随时间产生的弹性变形成为滞弹性变形。
弹性后效
弹性后效与材料的晶体结构和组 织不均匀性有关。材料的成分和组 织不均匀，弹性后效增大。
材料预先经少量塑性变形（1%～4%）后卸载， 若再同向加载，弹性极限与屈服强度升高；若再反 向加载，则弹性极限与屈服强度降低，这一现象称 为包申格（Bauschinger）效应。
从位错的观点看，Bauschinger效应是由下列原因引起 的：在正向外力作用下，位错按某种方式运动并产生 塑性变形，遇到障碍时形成塞积；外力去除后，位错 并不能作反向运动以完全消除塑性变形，已经塞积的 位错群会在滑移面上产生和原先所加正向应力相反的 应力；因此若再施加反向外力时，只要反向外力和位 错塞积群产生的应力之和达到材料屈服应力时，便会 屈服。而再施加正向外力时，需正向外力和位错塞积 群产生的应力之差达到材料屈服应力时才会屈服。