弹性力学
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学知识点总结
一、弹性体的力学性质1.1 弹性体的基本定义弹性体是指在受力作用下可以发生形变，但在去除外力后能够完全恢复原状的物质。
弹性体的形变可以分为弹性形变和塑性形变两种，其中弹性形变是指在外力作用下形变后又能够完全恢复的形变，而塑性形变则是指在外力作用下形变后无法完全恢复的形变。
1.2 林纳与胡克定律弹性体的力学性质可以由林纳和胡克定律来描述。
林纳定律指出，在小形变范围内，弹性体的形变与受力成正比。
而胡克定律则指出，在弹性体上施加的外力与其形变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
二、应力应变关系2.1 应力的定义与计算应力是指单位面积上的受力大小，通常用σ表示。
应力可以分为正应力和剪应力两种，其中正应力是指垂直于物体表面的受力，而剪应力是指平行于物体表面的受力。
在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应力：σ = F / A其中，σ为应力，F为受力大小，A为受力的面积。
2.2 应变的定义与计算应变是指物体在受力作用下的形变程度，通常用ε表示。
应变可以分为正应变和剪应变两种，其中正应变是指物体在受力作用下的长度、体积等发生的相对变化，而剪应变是指物体表面平行位移的相对变化。
在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应变：ε = ΔL / L其中，ε为应变，ΔL为长度变化量，L为原始长度。
2.3 应力应变关系应力与应变之间存在一定的关系，这种关系可以用材料的弹性模量来描述。
弹性模量是指在正应变下的应力大小，通常用E表示。
弹性模量可以分为弹性体积模量、剪切模量和弹性体积模量三种，分别对应不同形变情况下的应力应变关系。
3.1 弹性体积模量弹性体积模量是指在正应变下，单位体积的物体受力后的应力大小，通常用K表示。
弹性体积模量是材料的一个重要力学性质，它描述了材料在受力作用下的体积变化情况。
3.2 剪切模量剪切模量是指在剪切应变下，材料受力后的应力大小，通常用G表示。
剪切模量描述了材料在受力作用下的形变情况。
3.3 杨氏模量杨氏模量是衡量正应变下的应力大小的指标，通常用E表示。
弹性力学
1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁动力学，非连续体力学包括原子级、波动方程、量子力学。
2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。
3、弹性力学的基本假定为：假设物体是连续的、假设物体是匀质的和各项同性的、假设物体是完全弹性的、假设物体的变形是很少的、和假设物体内无初应力。
4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。
5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数弹性模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。
6、完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。
8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，压缩时为负，与正应力的正负号规定相适应。
10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
11、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L-1 MT-2 。
12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有9 个应力分量，分别为：，其中正应力为：，剪应力为：，这些应力分量与外载荷共同建立3个方程。
13、建立几何方程时，线应变为，角应变为，这些应变与位移共同建立 6个方程。
14、物理方程表示应力与应变的关系，即为胡克定律，其中弹性常数E和μ分别表示材料的弹性模量和泊松比，物理方程组共包含6个方程。
弹性力学
2.1弹性力学理论基础弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
2.1.1弹性力学基本概念弹性力学问题的求解主要基于以下几个基础理论。
1.牛顿（Newton）定律弹性力学是一门力学，它服从Newton所提出的三大定律，即惯性定律﹑运动定律，以及作用与反作用定律。
质点力学和刚体力学是从Newton定律演绎出来的，而弹性力学不同于理论力学，它还有新假设和新定律。
2.连续性假设所谓连续性假设，就是认定弹性体连续分布于三维欧式空间的某个区域之内，与此相伴随的，还认定弹性体中的所有物理量都是连续的。
也就是说，我们将假定密度、位移、应变、应力等物理量都是空间点的连续变量，而且也将假定空间的点变形前与变形后应该是一一对应的。
3.广义虎克（Hooke）定律所谓广义Hooke定律，就是认为弹性体受外载后其内部所生成的应力和应变具有线性关系。
对于大多数真实材料和人造材料，在一定的条件下，都符合这个实验定律。
线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于连续介质力学其他分支的标识。
Newton定律、连续性假设和广义Hooke定律，这三方面构成了弹性力学的理论基础。
弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。
数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对在某种假设的前提下的物体进行弹性分析，从而得出物体的各种力学参数。
弹性力学基础
一列的电平为低，则说明有键按下，如列线全部为高电平，则说明没 有键被按下。
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[任务5.1]键盘接口设计
• (1)判断键盘中有无键按下 • (2)去除键的机械抖动 • (3)如有键被按下，则寻找闭合键所在位置，求出其键代码 • (4)程序清单
• 1.并行输出 • 如图5-8所示，这是一个由单片机的P1口驱动1位LE D显示器的电路。 • 2.串行偷出 • 电路如图5-9所示，采用串行输出可以大大节省单片机的I/O口资源。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
• 5. 2. 3静态显示电路的软件结构
• 图5-8所示的并行输出的1位共阴LE D静态显示电路比较简单，程序 也不复杂。
• 5. 2. 4动态显示电路的结构及原理
• 动态显示就是逐位轮流点亮各位LE D显示器(即扫描)。动态显示电 路是单片机中应用最为广泛的显示方式之一。适用于LE D显示器较 多的场合。电路如图5-10所示。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
2.1 弹性力学概述
• 本章主要介绍弹性力学的基本概念，用解析法求解简单弹性力学问题 的基础知识，其中主要包括弹性力学基本方程以及边界条件表达式等。 掌握这些弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。此 外，为了更好地理解机械结构有限元分析的基本原理以及将来能对分 析结果更好地进行评价和理解，本章还介绍了应变能、虚位移、虚功 及最小势能原理。
• 弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，因此，直接把解 的困难性。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近 似解法是弹性力学发展的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等， 特别是随着计算机的广泛应用而发展起来的有限单元法为弹性力学的 发展和解决工程实际问题带来了广阔的前景。
弹性力学的概念
经典弹性力学建立
17世纪末到18世纪初，R·胡克、C·惠更斯 、L·欧拉和J·伯努利等人建立了经典的弹性 力学理论，奠定了弹性力学的基础。
弹性力学应用领域
工程领域
材料科学
弹性力学广泛应用于各种工程领域，如建 筑、桥梁、道路、隧道、航空航天等，用 于分析和设计各种结构物。
弹性力学对于研究材料的力学性能和变形 行为具有重要意义，为材料科学的发展提 供了理论基础。
组分、结构等因素变化。
智能材料
03
如压电材料、形状记忆合金等，其力学行为与电场、磁场、温
度等外部条件密切相关，对弹性力学提出新的挑战。
复杂环境下弹性力学问题
极端环境
如高温、低温、高压、 真空等极端环境下，材 料的弹性力学行为可能 发生变化，需要研究相 应的理论和实验方法。
多场耦合
在力、热、电、磁等多 场耦合作用下，材料的 弹性力学响应更加复杂 ，需要建立多场耦合的 弹性力学模型。
泊松比
又称横向变形系数，是反映材料在受到纵向压缩或拉伸时，横向应变与纵向应变 比值的物理量。泊松比越大，说明材料在受到纵向力时横向收缩或膨胀越明显。
应力集中与应力分布
应力集中
在物体内部，由于形状、尺寸或材料性质等原因，某些部位 的应力可能显著高于其他部位，这种现象称为应力集中。应 力集中容易导致物体在局部范围内发生破坏。
地震学
生物力学
弹性力学在地震学中也有重要应用，用于 研究地震波在地球内部的传播规律和地震 引起的地面振动等问题。
生物力学是研究生物体运动和变形的学科， 弹性力学为其提供了基本的理论和方法。
02
弹性力学基本概念
CHAPTER
应力与应变概念
应力
物体内部单位面积上所承受的力，表示物体内部某一点的受力状态。应力分为 正应力和切应力，正应力与截面垂直，切应力与截面平行。
弹性力学概念
力学：研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。
弹性力学的研究对象：为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。
（是各种弹性体，包括杆件，平面体、空间体、板和壳体等。
弹性力学研究的对象比较广泛，可以适用于土木、水利、机械等工程中各种结构的分析。
）弹性力学的任务在边界条件下，从平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力、应变和位移等未知函数研究方法已知条件：1物体的几何形状，即边界面方程2物体的材料参数3所受外力的情况4所受的约束情况。
求解的未知函数：应力、应变和位移。
解法：在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程弹性体边界上，根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内的微分方程，得出应力、形变和位移弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）（1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同的。
（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。
（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。
（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。
（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。
（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量。
即简化几何方程，简化平衡微分方程）上述这些假定，确定了弹性力学的研究范畴：研究理想弹性体的小变形状态外力是其他物体作用于研究对象的力（分为体力和面力）体力是作用于物体体积内的外力（如重力和惯性力）面力是作用于物体表面上的外力（如液体压力和接触力）内力假想将物体截开，则截面两边有互相作用的力，称为内力切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小等正负号相同）形变就是物体形状的改变。
弹性力学简介
弹性力学简介( 选读）弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展简史人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17 世纪开始的。
弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。
英国的胡克和法国的马略特于1680 年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。
牛顿于1687 年确立了力学三定律。
同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。
在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。
这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。
在17 世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。
到19 世纪20 年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。
柯西在1822 ～1828 年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动( 平衡) 方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。
这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。
同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。
1855 ～1858 年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。
弹性力学
弹性力学－问题的建立
在弹性力学问题分析中，为了研究弹性体在外界因素影响下（包括外 力、温度）其内部所生成的位移和应力分布，就需要建立一套相关未知量 （如位移）所满足的微分方程，并提取适当的定解条件以保证可以求得关 心的未知量。 一般而言，需要从四个方面来考虑：静力学，几何学，物理学，边界 条件。
静力学－平衡微分方程
计算机辅助几何建模技术进展
模型的几何表达： 1973年Braid提出体素表达几何结构的方法，在随后的20多年时间 实体建模技术快速发展，80年代至90年代初，Requicha对实体建模技术 进行了较为全面的论述。现在，实体建模技术已经趋于成熟，成为目前 几何建模中使用的的主流工具。从软件应用情况看，1976年美国罗切斯 特大学在实体表达的基础上推出PADL软件，实体建模开始进入实用。目
讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为探讨各个截 面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。 分解的方法通常有沿三个坐标轴分解，或沿微分面的法线和切线方向分解。
力的方 向。切应力不仅需要确定截面方位，还需要指明方向，为了表达弹性体内 部任意一点的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过点截 取一个平行六面体单元。
位移：由于外载荷作用或温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间 的位置将发生变化，即产生位移。在这个移动过程中，弹性体将可能同时 发生两种位移变化。第一种位移是由于位置的改变，但物体内各个点仍然 保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的， 因此称为刚体位移。第二种是由于弹性体形状的变化，位移发生时不仅改 变物体的决定位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形 状变化引起的位移，称为变形。 在弹性力学中，主要研究变形。因为变形和弹性体的应力有着直接的 关系。根据连续性假设，弹性体在变形前后仍保持为连续体。
弹性力学简答题
弹性力学简答题1. 什么是弹性力学？弹性力学是研究物体在受力作用下产生的形变量与受力之间的关系的力学分支。
它研究物体经历一定变形后是否能恢复到原来形态的能力。
2. 什么是物体的弹性形变？物体的弹性形变是指物体受到外力作用后发生的形变，当外力作用消失时，物体能够恢复到原来的形态。
3. 弹性形变和塑性形变有什么区别？弹性形变和塑性形变的主要区别在于恢复能力。
弹性形变是当外力作用消失后，物体能够完全恢复到原来的形态；而塑性形变是当外力作用消失后，物体只能部分或完全无法恢复到原来的形态。
4. 弹性力学中的钩尔定律是什么？钩尔定律是弹性力学中的基本定律之一，它描述了当物体受到的力线性地与其产生的形变量之间的关系。
根据钩尔定律，力和形变之间的关系可以表示为F = kx，其中F是受力，k是弹性系数（也称为弹簧常数），x是形变量。
5. 什么是弹性系数？弹性系数是衡量物体弹性恢复能力的物理量。
它可以分为两种常见的弹性系数，分别是切应力和切应变之间的比例关系（即剪切模量），以及拉应力和拉应变之间的比例关系（即弹性模量）。
6. 彈性力学中的杨氏模数是什么？杨氏模数是用于描述材料在拉力作用下产生的形变量与拉力大小之间的关系的物理量。
它可以表示为Y = σ/E，其中Y是杨氏模数，σ是拉应力，E是弹性模量。
7. 弹性力学在实际生活中有哪些应用？弹性力学在实际生活中有许多应用。
例如，弹性力学可以用于设计和分析弹簧、悬挂系统和弹性体等工程结构。
此外，弹性力学还可以应用于材料科学、建筑工程、机械工程、地震学等领域。
以上是对弹性力学的简答题回答，请参考。
弹性力学徐芝纶版
应变张量是一个二阶对称张量，用于描述物体在应力作用下的形变状态，包括大 小和方向的变化。
几何方程与应变协调方程
几何方程
几何方程描述了应变与位移之间的关 系，是弹性力学的基本方程之一。
应变协调方程
应变协调方程是一组方程，用于保证 应变张量的连续性和无间断性，是解 决弹性力学问题的重要工具之一。
03
应变分析
应变的定义与分类
应变的定义
应变是描述物体形状改变的物理量， 表示物体在应力作用下的形变程度。
应变的分类
根据不同的分类标准，应变可以分为 多种类型，如线应变和角应变、单值 应变和非单值应变等。
主应变与应变张量
主应变
在应变张量中，有三个相互垂直的主轴，对应三个主应变，表示物体在三个方向 上的形变程度。
弹性力学徐芝纶版
• 绪论 • 应力分析 • 应变分析 • 弹性本构关系 • 弹性力学问题的解法 • 弹性力学的应用实例
01
绪论
弹性力学简介
弹性力学
一门研究弹性物体在外力作用 下变形和内力的学科。
弹性力学的基本概念
物体在外力作用下发生变形， 变形与外力成正比，且在去掉 外力后恢复原状。
弹性力学的研究对象
研究物体在动态过程中受到的力，主要考察物体 的振动和波传播。
稳定性问题
研究物体在受到外力作用下的稳定性，主要考察 物体的失稳和屈曲。
求解方法概述
解析法
通过数学公式和定理求解弹性力学问题，得到精确解。适用于简单 问题和理论分析。
近似法
利用近似公式和数值计算方法求解弹性力学问题，得到近似解。适 用于复杂问题和实际工程。
通过实验测定材料的弹性模量和泊松比，结 合广义胡克定律，可以推导出各向同性材料 的弹性本构关系。这些关系式是弹性力学中 求解问题的基本方程，可用于分析各种弹性 力学问题。
弹性力学基本概念和考点
基本概念：（1）面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。
（3）弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。
（4）平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。
同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。
这时，二z =0, Z =0,・zy =0，由切应力互等，二Z =0, * =0,・yz =0，这样只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即匚x,二y, xy二yx，所以这种问题称为平面应力问题。
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，z^0, z^0，根据切应力互等，任=0,『=0。
由胡克定律，ZX =0, zy =0，又由于z方向的位移w处处为零，即；z = 0。
因此，只剩下平行于xy面的三个应变分量，即；x, ；y, xy，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。
（5）一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。
（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。
（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
平衡微分方程:（记:u（记）（1）平面问题的平衡微分方程;（2）平面问题的平衡微分方程（极坐标）；——L+ - +—!-- +&P P P CT ptp^2!^ + cP P1、 平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是 平衡的。
弹性力学与有限元完整版
• 后者与弹性体的应力有着直接的关系——弹性力 学研究的主要变形，通常叫位移。
根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连
续体。
弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至 M’(x’，y’，z’)，这一过程也是连续的，为 x、y、z
弹性力学各个量之间的关系
平衡方程
外力
物理方程
几何方程
应力
应变
位移
3.1 概述
根据几何方程和本构方程可见：
位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。
• 假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变 分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。
弹性力学基本内容
外界作用
弹性体
外力 温度变化
应力 应变 位移
1.1 弹性力学绪论
• 弹性力学，又称弹性理论。
– 是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部 所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构 的强度，刚度和稳定性问题作准备 。
• 弹性力学的研究对象：
–是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料 力学和结构力学的研究范围更为广泛 。
合计 15
未知量：
应力分量——6个
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
应变分量——6个
x、 y、 z、 xy、yz、 zx
位移分量——3个
u、v、w
合计 15
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
2.1 平面应力问题
1、平面应力问题的概念
• ②受力特征
– 外力平行于中心层 – 外力沿厚度不变化
弹性力学课件完整版
材料拉伸或压缩时力学性能指标
弹性模量
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的指标，它等于应 力与应变的比值。
泊松比
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时横向变形与纵向变形之 间关系的指标。
屈服极限和强度极限
屈服极限是指材料开始产生塑性变形的应力值，强度极限 是指材料在拉伸或压缩时所能承受的最大应力值。这些指 标对于评价材料的力学性能具有重要意义。
生物医学领域人体骨骼、肌肉等软组织力学性能研究
骨骼力学性能研究
运用弹性力学理论对人体骨骼进行受力分析 和模拟，研究骨骼在不同载荷下的应力分布 和变形情况，为骨折治疗和骨骼生物力学研 究提供理论支持。
肌肉软组织力学性能研究
通过弹性力学方法建立肌肉软组织的力学模 型，研究肌肉在收缩和舒张过程中的应力应 变关系以及能量转换机制，为运动生物力学
通过弹性力学中的运动方程可以建立位移梯度与应变之间的联系。
03
位移边界条件与约束
在实际问题中，空间各点的位移会受到边界条件和约束的影响。因此，
在分析空间各点位移变化规律时，需要考虑这些因素的影响。
06
弹性力学在工程中应用 举例
建筑结构中梁、板、柱设计原理
梁的设计原理 根据梁的受力特点和支承条件，运用弹性力学理论进行内 力、应力和变形的分析，从而确定梁的截面尺寸和配筋。
实验法在弹性力学研究中作用
验证理论模型
通过实验手段，可以验证弹性力学理论模型 的正确性和有效性。
研究材料性能
通过实验可以研究不同材料的力学性能，为 弹性力学的研究提供基础数据。
获取实验数据
通过实验可以获取大量的实验数据，为弹性 力学的研究提供有力的支持。
探索新现象和新规律
通过实验可以发现新的力学现象和规律，推 动弹性力学的发展。
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材料的弹性变形
单晶体的弹性模量，其值在不同的结晶学方向是不同的，表现出 各向异性。在原子间距较小的结晶学方向上较高；反之较小。
晶格类型 金属
E／MPa 单晶体 最大值 最小值
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材料的弹性变形
粘(黏)弹性
麦克斯韦Maxwell模型：
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材料的弹性变形
粘(黏)弹性 开尔文Voigt-Kelvin模型：
2010/1/15
材料的弹性变形
材料在外力作用下发生变形，当外力除去后，变形 也随之消失，这种变形即为弹性变形。
任何材料在外力作用下，开始总会有弹性变形，而且大多 数材料在正常服役条件下也都处于弹性状态。因此材料的弹 性变形是材料最基本的力学性能。 材料的弹性变形一般是原子系统在外力作用下离开平衡位 置达到新的平衡状态的过程，所以了解弹性变形的规律有必 要从原子模型入手。 从宏观上看，材料的弹性本构关系可以用广义Hooke定律 描述，弹性模量是表征材料弹性特征的力学指标。需要指出 的是，实际上材料的弹性还会表现出非线性的特点或某种不 完善性。
弹性滞后行为可用 相对滞后系数γ表示，γ ＝B／emax，其中B为 弹性滞后环的最大宽度， emax为最大应力下的总 应变。
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材料的弹性变形
滞弹性效应
理想的弹性体加载时立即产生变形，卸载后立即恢复原状，但实际 材料，尤其是高分子材料，在受载后变形并不马上达到平衡值，卸载后 也不是立刻完全恢复。这种随时间产生的弹性变形成为滞弹性变形。
体积模量K表示材料在三 向等压缩下，压强p与体 积应变之间的比例关系。
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材料的弹性变形 广义Hooke定律
在单向拉伸时，除σx外 其它应力分量均为0，于是简
化为：
材料的弹性变形
材料的其它弹性性能指标
刚度 在实际工程结构中，材料弹性模量的意义通常是以刚度来体现的。这 是因为构件一旦设计定型，在弹性变形范围内的服役过程中，通常以 其所受负荷来判定变形量。而刚度即指引起单位应变的负荷，即：
尽管每个晶粒在不同的方向上有不同的弹性模量，但由大量随机取 向的晶粒组成的多晶体却显示出各向同性，弹性模量在各个方向上是一 样的，其值介于最大值和最小值之间。
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材料的弹性变形
弹性模量的影响因素
弹性模量是材料力学性能中最稳定的指标，主要取决于材料的原子结 构，对材料的组织分布与变化不敏感，受外界条件波动的影响也较小 1、原子结构的影响 弹性模量是一个与原子间结 合力强弱相关的物理量，它同熔 点、汽化热等物理量一样随原子 序数而发生周期性变化 除了过渡族金属外，弹性模量E与原 子半径r之间存在下列关系：
材料预先经少量塑性变形（1%～4%）后卸载， 若再同向加载，弹性极限与屈服强度升高；若再反 向加载，则弹性极限与屈服强度降低，这一现象称 为包申格（Bauschinger）效应。
从位错的观点看，Bauschinger效应是由下列原因引起 的：在正向外力作用下，位错按某种方式运动并产生 塑性变形，遇到障碍时形成塞积；外力去除后，位错 并不能作反向运动以完全消除塑性变形，已经塞积的 位错群会在滑移面上产生和原先所加正向应力相反的 应力；因此若再施加反向外力时，只要反向外力和位 错塞积群产生的应力之和达到材料屈服应力时，便会 屈服。而再施加正向外力时，需正向外力和位错塞积 群产生的应力之差达到材料屈服应力时才会屈服。
温度升高，弹性后效速度加快， 变形量∆e1也增大。
应力状态对弹性后效有强烈的影 响。切应力分量愈大，弹性后效愈 明显。
弹性后效现象对于仪表和精密机械中 的传感元件十分重要
弹性滞后
2010/1/15
材料的弹性变形
弹性不完善性 完善的弹性性能应当是受到应力作用时立即发生相
应的弹性应变，去除应力时应变也随即消失。表现在在 应力—应变曲线上，即加载线与卸载线完全重合，应变 与应力严格地同相位。然而实际材料往往不可能是理想 弹性体，即使在弹性变形范围内，实际材料的应变与应 力也不呈严格的对应关系。应变不仅与应力有关，还与 时间和加载方向有关。这些与完善弹性性质不同的现象 称为弹性不完善性，主要有： 滞弹性效应 包申格（Bauschinger）效应
材料的弹性变形
滞弹性效应
理想的弹性体加载时立即产生变形，卸载后立即恢复原状，但实际 材料，尤其是高分子材料，在受载后变形并不马上达到平衡值，卸载后 也不是立刻完全恢复。这种随时间产生的弹性变形成为滞弹性变形。
弹性后效
弹性后效与材料的晶体结构和组 织不均匀性有关。材料的成分和组 织不均匀，弹性后效增大。
式中，S为构件的承载面积。可见，ES即为刚度。 不难看出，要减小构件的弹性变形，可 选用高弹性模量材料
适当增加承载面积
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材料的弹性变形
材料的其它弹性性能指标
弹性比功 弹性比功指单位体积材料所吸收的最大弹性变 形功，即：
弹性比功反映了材料吸收变形功而不发生永久变形的能力。 不难看出，要增大构件的弹性比功，可 降低弹性模量 提高弹性极限
材料的弹性变形
滞弹性效应
理想的弹性体加载时立即产生变形，卸载后立即恢复原状，但实际 材料，尤其是高分子材料，在受载后变形并不马上达到平衡值，卸载后 也不是立刻完全恢复。这种随时间产生的弹性变形成为滞弹性变形。
弹性滞后 在弹性范围内对材料加载，由于加载不是瞬时完成的，因而在加载过程中 对于每一个应力值都会产生正弹性后效，其发展的程度随应力的升高而增大， 卸载时则相应地产生反弹性后效，这一现象称为弹性滞后。因此，加载和卸载 时的应力—应变曲线不重合，形成一封闭的回线，称为弹性滞后环。
式中k、m均为常数，m>1，这表明弹性模量随原子半径增大而减小，亦 即随 原子间间距增大而减小。
材料的弹性变形
具有强化学键结合的材料弹性模量较高，而仅由弱化学键结合 的材料弹性模量则很小。
材料
E （MPa）
Tm （℃）
金刚石
1140000
3800
钨
410000
3387
铁及低碳钢
207000
～1538
材料的弹性变形
粘(黏)弹性 弹性：
弹簧 Spring
应力与应变之间没有时间差，没有蠕变及应力松弛现象； 外力做功以弹性能储存，没有能量损耗。
粘性：
黏壶 Dashpot
若维持应变不变，应力将一直松弛到零； 外力做功以热的形式损耗，能量没有储存。
材料的弹性变形
包申格（Bausc272700 384600
125000 384600
211400 411000
115800 151400
59900 151400
81600 160600
六方
Mg 50600 Zn 123500
42900 34900
44700 100700
18200 48700
16700 27300
17300 39400
多晶体
G／MPa 单晶体 最大值 最小值
多晶体
Al
76100 63700 70300 28400 24500 26100
面心立方 Cu Au
191100 116700
66700 42900
129800 78000
74500 42000
30600 18800
48300 27000
Ag 115100 43000 82700 43700 19300 20300
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材料的弹性变形
在拉力或压力作用下，原子间的 作用力将发生变化，原子间距亦将随 之变化，达到新的平衡，于是在宏观 上表现出一定的变形，当拉力或压力 除去后，由于原子间吸引力或排斥力 的作用，将使原子回复到原先的平衡 位置，宏观变形也因而消失。此即弹 性变形的物理本质。
当原子偏离其平衡位置较小时，原子间相互作用力与原子间距 离的关系曲线可以近似地看作是直线。因此当宏观弹性变形较小时， 应变与应力间近似地呈线性关系。这也正是Hooke定律的物理本质。
晶体结构 三斜晶系 单斜晶系 斜方晶系 四方晶系 六方晶系
立方晶系
各向同性体
独立常数个数 21 13 9 6 5
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材料的弹性变形 广义Hooke定律
2010/1/15
Sijkl称为柔度常数
Cijkl称为刚度常数
刚度常数和柔度常数统称为弹性常数 ，两种常数都是有36个。
由于可以证明Cij=Cji，Sij=Sji，所以二者最多也只有21个是独立的。 而且晶体的对称性越高，独立常数就越少 。
材料因内部原子偏离平衡位置所产生的内力便是弹性力。若材 料内部原子间的弹性力不为零，则材料内的弹性势能升高 。
材料的弹性变形
广义Hooke定律
刚度常数和柔度常数统称为弹性常数 ，两种常数都是有36个。
由于可以证明Cij=Cji，Sij=Sji，所以二者最多也只有21个是独立的。 而且晶体的对称性越高，独立常数就越少 。
材料的弹性变形
彭瑞东
煤炭资源与安全开采国家重点实验室
材料的弹性变形
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2010/1/15
材料的弹性变形
材料在外力作用下发生变形，当外力除去后，变形 也随之消失，这种变形即为弹性变形。
任何材料在外力作用下，开始总会有弹性变形，而且大多 数材料在正常服役条件下也都处于弹性状态。因此材料的弹 性变形是材料最基本的力学性能。 材料的弹性变形一般是原子系统在外力作用下离开平衡位 置达到新的平衡状态的过程，所以了解弹性变形的规律有必 要从原子模型入手。 从宏观上看，材料的弹性本构关系可以用广义Hooke定律 描述，弹性模量是表征材料弹性特征的力学指标。需要指出 的是，实际上材料的弹性还会表现出非线性的特点或某种不 完善性。