概率论与数理统计
概率论与数理统计
第一章 概率论第一节 随机事件和概率一、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
（2）加法原理（两种方法均能完成此事）：n m +某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
（3）乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：n m ⨯某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由n m ⨯种方法来完成。
（4）一些常见排列① 特殊排列② 相邻③ 彼此隔开④ 顺序一定和不可分辨【例1】 袋中有N 个球，其中M 个为白色，从中有放回地取出n 个：①N ＝10，M ＝2， n ＝3；②N ＝10，M ＝4，n ＝3．考虑以下各事件的排列数： (Ⅰ)全不是白色的球． (Ⅱ)恰有两个白色的球． (Ⅲ)至少有两个白色的球． (Ⅳ)至多有两个白色的球． (Ⅴ)颜色相同． (Ⅵ)不考虑球的颜色．解：①当M ＝2时，(Ⅰ)83． (Ⅱ)3³22³8． (Ⅲ)3³22³8＋23．(Ⅳ)3³22³8＋3³2³83＋83(或103－23)． (Ⅴ)23＋83． (Ⅵ)103． ②当M ＝4时，将上面的2→4，8→6即可．二、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。
概率论与数理统计
28
概率的性质
1 P( ) 0
2
A, B互斥（即AB ）
P( A U B) P( A) P( B)
一般地，
Ai Aj (i, j 1, 2,L n, i j )
P UAi P( Ai ). i 1 i 1
29
问题：如何对随机现象进行研究？
5
§1.1.1 随机试验
对随机现象进行的观察或试验称为随机试验，简称为 试验。 随机试验的三个特点:
1.可以在相同条件下重复进行； 2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果的取值范围； 3.试验前不能确定会出现哪一个结果。
6
§1.1.2
样本空间与随机事件
在下图中，用Ω表示一个试验的所有可能的
15
Ω A
A
6. 对立（互逆）的事件：如果 AB＝ , ， 且AB＝,则称A与B为互逆事件，记作 B= A
如果A，B是任意两事件，则有
AA ,
A A ,
A B AB,
A A.
3) A B A ( B A)
注意对立事件与互斥的区别.
16
7.完备事件组 若事件A1,A2,„An为两两互不相容的事件， 并且
P(C) [P( AC) P(BC) P( ABC)]
0.3 (0.08 0.05 0.03) 0.2
35
1 例 设 A、B 为两个随机事件 ,且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2
1 A 与 B 互斥 ;
用不同的记号，可写为 (A+B)C=AC+BC (AB)+C=(A+C)(B+C)
概率论与数理统计
2.和（并）：
3.互斥（互不相容）：对立：
事件的运算：
伯努利大数定律：当试验次数n足够大时，事件发生的频率就约等于事件发生的概率。
全概率公式、贝叶斯公式
定义：
引入随机变量后，可用随机变量的
等式或不等式来表达随机事件；
随机变量的函数一般也是随机变量
0-1分布是n=1时的二项分布
定义：性质：
定义：
F(x)是X的分布函数，X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数，简称概率密度
性质：
均匀分布：
标准正态分布N(0,1)
标准正态分布的分位数
举例：
期望反映了随机变量取值的平均，又称均值。
概率论与数理统计
概率论与数理统计概率论与数理统计是现代数学中非常重要的分支之一，它们在自然科学、社会科学，以及工程技术等领域都有广泛的应用。
在生物学，物理学，化学等领域，常常需要采用概率论和数理统计的方法，来研究和分析现象。
这篇文章将要探讨概率论和数理统计的一些基本概念和方法，并介绍它们在现实生活中的应用。
一、概率论概率论是一门研究随机现象及其规律的数学学科。
它的基本思想是通过建立数学模型，来描述随机事件的概率分布及其规律。
随机事件指某一次试验中可能发生或不发生的事情，例如掷骰子、抛硬币、抽扑克牌等，这些事件的结果是随机的，因此需要采用概率论的方法来研究。
1.概率和概率分布概率是指某一事件发生的可能性，用一个数值来表示。
在概率论中，对于某一特定随机事件，概率的大小常常用P(A)来表示，其中A是这个事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上的概率是0.5，用数学语言可以表示为P(正面)=0.5，反面朝上的概率也是0.5，即P(反面)=0.5。
概率分布是指某个随机事件的各种结果的概率分布情况。
在一次试验中，随机事件可能会有多个结果，即样本空间。
概率分布用来描述每个结果的概率大小。
例如，抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}，正面和反面各占1/2的概率。
2.条件概率和独立事件条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，某个随机事件会发生的概率。
条件概率的计算方法一般采用贝叶斯公式，例如给定事件A，以及事件B，P(A|B)表示在B发生的情况下，A 发生的概率，则条件概率可以表示为：P(A|B) = P(AB)/P(B)其中AB表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立事件是指某个随机事件的发生不会对另一个随机事件的发生产生影响。
如果事件A、B是独立事件，则可以表示为P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)，即A和B的概率相互独立，并不受对方的影响。
3.期望值和方差期望值是统计学中一个非常重要的概念，用来描述一个随机变量的总体平均数。
概率论与数理统计
1 lim P ( X 1 X 2 X n ) p 1, n n nA 即 lim P p 1. n n
关于伯努利定理的说明:
nA 伯努利定理表明事件发 生的频率 依概 n 率收敛于事件的概率p, 它以严格的数学形式 表达了频率的稳定性 .
x
定理5.6表明:
无论各个随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,服从什么 分布, 只要满足定理的条件 , 那么它们的和 X k
k 1 n
当 n 很大时, 近似地服从正态分布 .
下面介绍的定理是定理5.5的特殊情况.
定理5.7:
设随机变量 X服从参数为 n, p(0 p 1)的二项分布，则 （ 1 ）（拉普拉斯定理）局 部极限定理：
且np 2, npq 1.265.
3 （ 1 ）直接计算： P{ X 3} C10 0.23 0.87 0.2013
第一节
大数定律
一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结
一、问题的提出：
契比雪夫不等式
定理 设随机变量 X 具有数学期望 E ( X ) μ, 方差 D( X ) σ 2 , 则对于任意正数 ε , 不等式 σ2 P{ X μ ε } 2 ε 成立. 证明
取连续型随机变量的情况来证明.
则随机变量之和的标准化变量 n n n n X k E X k X k k k 1 k 1 k 1 Z n k 1 n Bn D X k k 1 的分布函数 Fn ( x ) 对于任意x 满足
n n X k k k 1 k 1 lim Fn ( x ) lim P n n Bn t2 x 1 2 e dt ( x ). 2π
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04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
概率论与数理统计(完整版)
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
概率论与数理统计
一、事件的频率与概率
次数， µ n ( A ) : 事件 A 在 n 次可重复试验中出现的 次数，
称为 A 在 n 次试验中出现的频数
频率—— f n ( A) = 频率
µ n ( A)
n
.
频率有如下性质： 频率有如下性质：
1. 非负性：对任何事件 A，有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1 非负性：
掷一骰子， 如： A =“掷一骰子，点数小于 4”， B =“掷一骰子，点数小于 5”， 掷一骰子， 则A ⊂ B.
显然对任何事件 A，有 Φ ⊂ A ⊂ Ω⊂ A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A = B .
2.事件的和（并） 事件的和（
两个事件 A, B 中至少有一个发生 (属于A或属于 B的样本点 构成的集合 )，称为事件 A 与 B 的和(并 ), 记作 A + B 或 A ∪ B .
显然， 显然，事件 A 与 A 可以构成一个完备事件 组
类似地，称可列个事件 A1 , A2 , L , An， 构成一个 L 类似地， 完备事件组， 完备事件组，如果满足 ：
(1)
( 2)
Ai A j = Φ
(i ≠ j )
∑A
i
i
=Ω
律 事件运算满足下列运算 ：
(1) 交换律 A + B = B + A AB = BA
设袋中有红, 黄各一球, 例: 设袋中有红,白,黄各一球,有放回抽取三 取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球, ),每次取一球 次(取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球,试 说明下列各组事件是否相容?若不相容, 说明下列各组事件是否相容?若不相容,说明是否 对立? 对立? 三次抽取, 三次抽取, (1) A=“三次抽取,颜色全不同”,B=“三次抽取, = 三次抽取 颜色全不同” = 三次抽取 相容 颜色不全同” 颜色不全同” (2) A=“三次抽取,颜色全同”,B=“三次抽取, 三次抽取, 三次抽取, = 三次抽取 颜色全同” = 三次抽取 颜色不全同” 颜色不全同” 不相容， 不相容，对立 三次抽取, 三次抽取, (3) A=“三次抽取,无红色球”,B=“三次抽取, = 三次抽取 无红色球” = 三次抽取 无黄色球” 无黄色球” 相容 三次抽取, (4) A=“三次抽取,无红色球也无黄色”, = 三次抽取 无红色球也无黄色” B=“三次抽取, 无白色球” 不相容，不对立 三次抽取, = 三次抽取 无白色球” 不相容，
概率论与数理统计完整ppt课件
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计(龙永红)
随机变量的数学定义
设E是一个随机试验，Ω是其样本空间。我们称样本 是一个随机试验， 是其样本空间。 空间上的函数 X = X (ω ) (ω ∈ Ω ) 随机变量， 为一个随机变量 如果对于任意的实数x 为一个随机变量，如果对于任意的实数x，集合
注
意
连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量概 率分布的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！ 率分布的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！
我们不能认为： P{X = a} = f (a ) ！
连续型随机变量的一个重要特点
设 X 是连续型随机变量，则 对任意的实数 a , 有
P{X =a} = 0
说
明
若已知连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ，
由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：
1
2
0
f ( x) ≥ 0.
f (x)
0
∫
∞
−∞
f ( x)dx = 1.
1
0 x
3
0
P{x1 < X ≤ x2 } = F ( x2 ) − F ( x1 ) = ∫ f ( x)dx. ( x1 ≤ x2 )
x1 x2
f (x)
0
x1 x2
x
4
例8
等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点，记X为 落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布 函数
分布函数的性质
当 ， 10 F(x)是一个不减的函数． 即 x2 > x1时 F(x2 ) ≥ F(x1).
2 0 ≤ F(x) ≤1 且 ,
概率论与数理统计(完整版)
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质： 性1质 . P()0.
概率论和数理统计(第三学期)第7章数理统计的基本概念
n i1
i
1 n
n
Ei
i1
D
D 1 n
n i 1
i
1 n2
n
Di
i 1
2
n
2
S~ 1 n
n i 1
i
2
1 n
n i 1
i2 2i
2
1 n
n
i2
i 1
2
n
i
i 1
n
2
1 n
n
i2
i 1
2
2
2
1 n
n
i2
i 1
2
E S~2
E
1 n
n
i2
i 1
23
.209
2
2 0.95
20
10
.851
当自由度n 45时，可用下面近似公式去求2 n:
x2 n
1 2
u
2
2n 1
例3
求
2 0.05
60 ．
解
2 0.05
60
1 2
u0.05
2
2 60 1
1 1.645
2
119 78.798
2
3、t分布的上侧分位点
对于给定的α(0<α<1)，使
2
e
xi 2 2
2
(2
) e 2
n 2
1
2 2
n i1
xi 2
在数理统计中，总体的分布往往是未知的，需 要通过样本找到一个分布来近似代替总体分布。
§7.3 分布的估计
频率分布 例 某炼钢厂生产的钢由于各种因素的影响，各炉
钢的含硅量可以看作是一个随机变量，现记录了 120炉钢的含硅量百分数，求出这个样本的频数分 布与频率分布。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论与数理统计
例题
例１： 设Ａ、 Ｂ、 Ｃ为任意三个事件， 写出下列事件的表达式： （１） 恰有二个事件发生； （２） 三个事件同时发生； （３） 至少有一个事件发生。 解： （１） ABC AB C A BC （２） ABC （３）
A B C
随机事件的频率与概率
概率的统计定义 古典概型 概率的性质 概率的计算
完备事件组
A1 , A2 , , An 两两互斥完备事件组， 就是指事件
组中每两个都是互斥事件，并且
A1 A2 An Ai
i 1 n
例如：
Ai
＝“出现ｉ点” ｉ＝１，２，…，6。
A1 , A2 , , A6 为两两互斥完备事件组
定义可以推广到无穷多个事件的情况
概
率
论
——研究和揭示随机现象数量规律性 的一门数学学科
第一章 随机事件与概率
随机事件 随机事件的频率与概率 古典概型与几何概型 条件概率 事件的独立性
随机事件
★ 现象——现象分为确定性现象和随机现象。
随机现象——在个别试验中，其结果呈不确定性， 在大量重复试验中，结果又具有统计规律性。 * 随机现象的结果是偶然性的，但在随机试验下
概率公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
条件概率
在事件Ｂ已经发生的条件下， 事件Ａ的概率称为条件 概率，记作 PA B且有
P A B rAB rAB n P AB rB rB n PB 。
例１：一家有二个小孩，已知此家有一个女孩， 问另一个是女孩的概率？
女，男 ， 女，女 解： 样本空间：Ｂ＝ 男，女 ，
有利事件：Ａ＝ 女，女
则
1 PA B 3
概率论与数理统计总结
3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B n k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-泊松定理 0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nkn n λλ(3) 泊松分布 )(λP = ,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ〔5〕几何分布 p q k p qk X P k -====-1,2,1}{1dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：〔1〕连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
〔2〕对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。
3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπN (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex x t d 21)(22π2、连续型随机变量函数的分布： 〔1〕分布函数法；(){}⎰⎰<==∈=yx g X l X y Y dx x f dx x f l X P y F y)()()(〔2〕设随机变量X 具有概率密度f X (x )，又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ，则Y=g(X )的概率密度为()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他βαy y h y h f y f X Y 其中x =h(y )为y =g(x )的反函数，()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,max ,,min βα 3、 二维连续型随机变量 〔1〕联合分布函数为dudv v u f y x F y x ⎰⎰∞-∞-=),(),(函数 f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度. 其中： 0),(≥y x f ，⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f〔2〕基本二维连续型随机向量分布均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布：+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律：4、 连续型边缘概率密度,),()(dy y x f x f X ⎰∞+∞-= dx y x f y f Y ⎰∞+∞-=),()(F (x ，y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ，Y )是连续型随机变量，f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )分别为(X ，Y )的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ，y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律： 〔3〕条件分布函数：2、连续型随机变量的条件分布 〔1〕条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x Y X du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成， 〔2〕条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布1、离散型随机变量函数分布：二项分布：设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p )，则 Z=X+Y 的分布律：Z ～b (n 1+n 2,p ).泊松分布：假设X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。
概率论与数理统计
概率论与数理统计首先，概率论是研究随机事件发生的可能性的数学理论。
概率论的基本概念包括样本空间、事件、概率等。
样本空间是指所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率是用来描述事件发生可能性的大小。
概率论主要研究的是随机事件的规律性和性质，通过概率论的基本概念和理论，可以对随机事件进行合理的量化和分析。
数理统计是根据概率论的基本原理，通过对样本观测数据的分析来对总体的性质进行推断和估计的一门学科。
数理统计主要包括描述统计和推断统计两个部分。
描述统计是通过对样本数据进行整理、分析和表示，来描述总体数据的特征和分布情况。
推断统计是根据样本统计量，对总体参数进行推断和估计。
数理统计在许多领域中都有广泛的应用，如社会科学、自然科学、医学、工程等。
相关分析是数理统计中的一个重要方法，它研究两个变量之间的相关性。
相关性指的是两个变量之间的关系，既可以是正相关，也可以是负相关，还可以是没有相关性。
通过相关分析，可以帮助我们了解两个变量之间的关系及其强度，从而可以进行进一步的预测和分析。
在相关分析中，常用的统计量包括相关系数和相关显著性检验。
相关系数是衡量两个变量之间相关性强度的指标，其取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量正相关，相关系数接近-1时，表示两个变量负相关，相关系数接近0时，表示两个变量没有相关性。
相关显著性检验可以用来检验相关系数是否显著不等于0，从而判断两个变量之间是否存在相关性。
相关分析在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在金融领域中，可以利用相关分析来研究不同股票之间的相关性，从而帮助投资者进行风险分散和资产配置。
在医学研究中，可以利用相关分析来研究因变量和自变量之间的关系，从而帮助医生和研究人员了解疾病的发展和治疗效果。
在市场调查中，可以利用相关分析来研究不同因素之间的相关性，从而帮助企业做出有效的营销策略。
综上所述，概率论与数理统计及其相关分析是一门重要的学科，它在现实生活和科学研究中具有广泛的应用价值。
概率论和数理统计的关系
概率论和数理统计的关系概率论和数理统计是数学的两个重要分支，它们之间存在密切的关系。
概率论是研究随机事件发生的规律性的数学理论，而数理统计则是通过概率论的方法，对收集到的数据进行分析和推断的工具。
概率论为数理统计提供了基础理论和方法，而数理统计则是概率论在实际问题中的应用。
概率论是数理统计的基础。
概率论研究的是随机事件的发生概率以及事件之间的关系，为数理统计提供了严密的数学基础。
在数理统计中，我们通常需要对一组数据进行分析和推断，而这些数据往往受到各种随机因素的影响，因此需要用概率论的方法来描述和处理。
例如，在研究一种新药物的疗效时，我们需要收集患者的数据并进行统计分析，而这些数据往往受到患者个体差异、药物剂量等随机因素的影响，因此需要运用概率论的知识对数据进行建模和分析。
数理统计是概率论的应用。
概率论研究的是随机事件的规律性，而数理统计则是通过概率论的方法对实际问题进行统计分析和推断。
数理统计可以通过收集一组样本数据来推断总体的特征和规律。
例如，在市场调研中，我们通常只能对一部分人进行调查，通过对这部分人的数据进行分析和推断，从而得出对整个市场的结论。
这种推断是基于概率论的方法，通过对样本数据的统计分析，来推断总体的特征和规律。
概率论和数理统计的关系可以用一个简单的例子来说明。
假设我们有一个罐子，里面装有黑色和白色两种颜色的球，我们想知道黑色球和白色球的比例。
我们可以通过从罐子中随机抽取一些球，然后统计黑色球和白色球的数量，进而推断总体比例。
在这个例子中，概率论研究的是在给定条件下随机事件的发生概率，而数理统计则是通过对样本数据的统计分析，推断总体的特征和规律。
在实际应用中，概率论和数理统计经常是相辅相成的。
概率论提供了概率分布、随机变量、期望和方差等概念和工具，为数理统计的推断和分析提供了理论基础。
而数理统计则通过采样、估计和假设检验等方法，将概率论的理论转化为实际问题的解决方案。
概率论和数理统计的结合使得我们能够从收集到的数据中获取更多的信息，并做出合理的推断和决策。
概率论与数理统计(完整公式,知识点梳理)
p
k
；
对于分布 二项分布
f ( x)dx
。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
k k nk P( X k ) Pn(k ) Cn p q
P( A)
（10）加法 公式 （11）减法 公式 （12）条件 概率
L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 L ()
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
P(a X b) F (b) F (a)
可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。分布
函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°
0 F ( x) 1,
x ；
F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F ( x1) F ( x2) ；
积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。
4 / 27
（4）分布 函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F ( x) P( X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
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一.填空题2. 设A 、B 为不相容的两个随机事件，且P (A )=0.2, P (B )=0.5，则P (AB )= ,()P A B = .答 案：0, 0.74. 设A 、B 为互相独立的随机事件，P (A )=0.4, P (B )=0.7，则P (AB )= ,()P A B = .答 案：0.28， 0.825. 已知()()4070.B A P ,.A P =-=，则()=AB P 。
答 案：0.37. 若X 是连续型随机变量，则对任常数C 有()==C X P 。
答 案： 09. 设连续型随机变量X 的分布函数为()2,1;,12;1,2.x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩则常数=A 。
答 案：41 10. 已知随机变量X 服从正态分布()110,N ，若()50.a X P =≤，则=a 。
答 案：1013. 设二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布律为：1010.120.40.2XYa -， 则a = . 答 案： 0.315. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布律分别为：406010..PX ，703032..PY , 则()Y ,X 的联合分布律为 . 答 案：28.042.012.018.01032XY17. 设随机变量X 服从参数为4的泊松分布，且Y =2X +1，则EY = ，DY = .答 案：9， 1618.随机变量X 与Y 相关，则X 与Y （填一定或可能）独立.答案：可能20. 如果随机变量X 与Y 有线性关系b aX Y +=，其中b ,a 0≠为常数，则相关系数XY ρ的绝对值=XY ρ 。
答 案： 122. 总体X 服从参数为()10<<p p 的（0—1）分布，从中抽取容量为10的样本值 ()1011011010,,,,,,,,,，则样本均值=X 。
答案：60106.= 24. 已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N (μ,1), 从中随机的取出16个零件，得到长度的平均值为40cm ，则μ的置信水平为95%的置信区间是___________.答 案：（39.51，40.49）25.假设检验中犯两类错误的概率的和 (填一定或不一定)等于1.答案：不一定 二．选择题2. 设连续型随机变量X ~N (2,16)，则2~4X -( ) B 、N (0,1) 答 案：B5. 设X 与Y 相互独立，且知X ~N (20，4)，Y ～N (8，2)，则Z =2X -Y 服从的分布是（ ）。
B 、N (32，18) 答 案：B7. 总体X 服从正态分布2(,8)N μ，μ未知，n X ,,X ,X 21是取自该总体的样本。
下列函数中是统计量的是（ ）。
A ：()211∑-nK X X n ，9．设总体X 服从正态分布()2σμ,N ，参数02>σμ,都未知。
从中抽取一组容量25=n 的样本观测值2521x ,,x ,x ，经计算得到样本均值40=x ，样本方差92=S 。
可知均值μ的置信度为9501.=-α的置信区间为（ ）。
（附表：()()()()062247112497509619506510250050.t ,.t ,..,....====ΦΦ）D ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯-53062405306240.,.答 案：D三. 计算题1. 有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有3个白球和2个黑球、3个黑球和2个白球、3个白球和3个黑球。
掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。
然后从所选中的盒子中任取一球。
求：（1）取出的球是白球的概率；（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。
答案： 0.5333 0.56252. 某仓库有同样规格的产品100箱，其中50箱是甲厂生产的，30箱是乙厂生产的，20箱是丙厂生产的，而甲厂、乙厂、丙厂产品的次品率分别为110，115，120. 现从随机抽取的一箱中随机地取出一件产品. （1）求取出的产品是次品的概率；（2）若已知取出的产品是次品，求它是甲厂生产的概率.答 案：设B 表示所取的产品是次品；A i 表示所取的产品分别是甲厂、乙厂、丙厂生产的0.08 5/83. 有三个口袋，在甲袋中装有6只白球和4只红球；乙袋中装有12只白球和8只红球；丙袋中装有6只白球和14只红球. 随机地选取一个口袋并从中随机地取出一只球.（1）求取出的球是白球的概率;（2）若已知取出的球是白球，求它是来自甲袋的概率.答案：1/2 2/54. 口袋中有1个白球、1个黑球。
从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率：（1）. 取到第n 次，试验没有结束；（2）. 取到第n 次，试验恰好结束. 答 案： ()121212311n n P A A A n n =⋅=++ ()()12121112311n n P A A A n n n n -=⋅⋅=++ 5. 袋中有12个球，其中2个白球，10个红球。
从袋中任取2个球，则取到白球的个数是随机变量X 。
写出X 的分布律。
答 案： X 的分布律为X 0 1 2 P 15/22 10/33 1/66 6. 设连续型随机变量X 的概率密度函数为,0()0,0xAe x f x x -⎧>=⎨≤⎩其中A >0为常数.（1）求常数A 的值；（2）求X 的分布函数F (x )； 答案：A =11,0()0,0x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩7. 设随机变量X 的分布律为X −2 0 2 4 P 0.1 0.2 b 0.3 其中b >0为未知常数，并令Y =X 2.求(1)常数b 的值； (2) P (−1≤ X ≤ 2)；(3) Y 的分布律. 答案：（1）b =0.4 （2）P (−1≤ X ≤ 2) =0.6（3） Y 0 4 16 P 0.2 0.5 0.3知 识 点：离散型随机变量的性质及其函数的分布律的求法 难度系数：28. 设连续型随机变量X 的概率密度函数为,01()2,120,ax x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它其中a 为常数. 求(1)常数a 的值；(2) 13()22P X <<.答 案：（1）α=1. (2) 3/49. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他令Y =2X +4.求Y 的概率密度函数. 答 案：414(),06,06()2220,0,Y y y f y y f y --⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他其他 10. 已知二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布律为试求：（1答 案： k =0.2X 的边缘分布律为Y 的边缘分布律为11. 设连续型随机变量X 的概率密度函数为,0()0,0xe xf x x -⎧>=⎨≤⎩（1）求E (X ) ，D (X ) ；（2）令Y =e −2X ，求E (Y ).答 案：（1）122()1DX EX EX =-= （2）1/312. 设二维随机变量(X ，Y )的联合分布律为：（1）确定常数a 的值;（2）求YZ =的分布律;（3） 判断X 与Y 是否独立？要说明理由。
答 案：a =0.2（2） Z 的边缘分布律为(3) 因为 P (X =-1,Y =1)=0.1≠P (X =-1)P (Y =1)=0.3×0.4=0.12, 所以，X 与Y 不独立 13. 已知随机变量X 与Y 互相独立，且知X 与Y 的分布列分别为X -1 0 3 Y 2 4 P k 0.1 0.4 0.5 P k 0.4 0.6 （1）求二维随机变量(X ,Y )的联合分布；（2）判断X 与Y 是否相关？ 其理由是什么？ 答 案：（1）由独立性可知，联合分布为 （214. 设连续型随机变量X 的分布函数为,0,()00x A Be x F x ,x -⎧+≥=⎨<⎩求（1）常数A ，B 的值；（2）P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）X 的概率密度函数f (x ).答 案：（1）11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1e P X F -≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F -->=-=--=（3） e ,0()()0,0x x f x F x x -⎧≥'==⎨<⎩15. 设随机变量X 服从数学期望为1/3的指数分布. （1）写出X 的概率密度函数；（3）令31XY e -=-，求Y 的概率密度函数.答 案：(1)易知X 的概率密度函数为：33,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩(2)Y 的概率密度函数为：1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他16.设总体X ~b (1, p ), X 1, X 2, …, X n 是取自X 的一个样本，求参数p 的最大似然估计量. 答 案:解方程得p 的最大似然估计值为11ˆni i px x n ===∑ 18. 设总体X 的概率密度函数为1(2),01()0,x x f x αα+⎧+≤≤=⎨⎩其他，其中参数α>0未知. X 1, X 2, ..., X n 是来自该总体的样本，x 1, x 2, ..., x n 为对应的样本值. 试求：参数α的最大似然估计. 答 案：似然函数为：1ˆ2ln nii nxθ==--∑19. 设总体X 的概率密度函数为(1),01()0,x x f x θθ⎧+≤≤=⎨⎩其他，其中参数θ>0未知. X 1, X 2, ..., X n 是来自该总体的样本，x 1, x 2, ..., x n 为对应的样本值. 试求：参数θ的矩估计.答 案：θ的矩估计为 21ˆ1X Xθ-=- 20. 某种零件的长度服从正态分布),(2σμN , 按规定其方差不得超过20.016σ=. 现从一批零件中随机抽取25件测量其长度，得其样本方差为0.025. 问在显著性水平0.05α=下，能否推断这批零件合格? 答 案：拒绝20:0.016σ≤H .21. 假设成年男性的身高（单位：厘米）服从正态分布N (μ, σ2)，但参数μ和σ2均未知。
今从一批成年男性中随机抽取16名测量他们的身高数据，计算得样本均值为174x =厘米，样本标准差为s =10厘米. 问在显著性水平α=0.05下能否认为“这批成年男性的平均身高是175厘米”. （要写出检验步骤） 答 案：，计算得：0.4 2.1315=< 所以：不拒绝原假设，认为“这批成年男性的平均身高是175厘米”. 知 识 点： 单个正态总体的方差未知时关于均值的假设检验 难度系数：222. 某小学一年级学生的体重（单位：公斤）服从正态分布。