《传热学》第2章_稳态热传导资料
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工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念
0)
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
《传热学》第二章热传导
第二章热传导一、名词解释1．温度场：某一瞬间物体内各点温度分布的总称。
一般来说，它是空间坐标和时间坐标的函数。
2．等温面(线)：由物体内温度相同的点所连成的面（或线）。
3．温度梯度：在等温面法线方向上最大温度变化率。
4．热导率：物性参数，热流密度矢量与温度降度的比值，数值上等于1 K／m的温度梯度作用下产生的热流密度。
热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。
5．导温系数：材料传播温度变化能力大小的指标。
6．稳态导热：物体中各点温度不随时间而改变的导热过程。
7．非稳态导热：物体中各点温度随时间而改变的导热过程。
8．傅里叶定律：在各向同性均质的导热物体中，通过某导热面积的热流密度正比于该导热面法向温度变化率。
9．保温(隔热)材料：λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)的材料。
10．肋效率：肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
11．接触热阻：材料表面由于存在一定的粗糙度使相接触的表面之间存在间隙，给导热过程带来额外热阻。
12．定解条件(单值性条件)：使微分方程获得适合某一特定问题解的附加条件，包括初始条件和边界条件。
二、填空题1．导热基本定律是_____定律，可表述为。
（傅立叶，）2．非稳态导热时，物体内的_____场和热流量随_____而变化。
（温度，时间）3．导温系数的表达式为_____，单位是_____，其物理意义为_____。
（a=λ/cρ,m2/s,材料传播温度变化能力的指标）4．肋效率的定义为_______。
（肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
）5．按照导热机理，水的气、液、固三种状态中_______态下的导热系数最小。
（气）6．一般，材料的导热系数与_____和_____有关。
（种类，温度）7．保温材料是指_____的材料.（λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)）8．已知材料的导热系数与温度的关系为λ＝λ0(1+bt)，当材料两侧壁温分别为t1、t2时，其平均导热系数可取下的导热系数。
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导
d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：
t w1 t w 2
ql
Q l
t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1
i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
传热学
等温线
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
2、温度梯度
• 定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限。温度梯度表示为：
t t grad t n lim n n 0 n n
式中，n
是等温面法线方向上的单位矢量。
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
t dxdydz y y
t ( ) Φ 0 x x
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV Φdxdydz
5. 导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
非稳态项
华北电力大学
三个坐标方向净导入的热量
内热源项
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x 0, t t1 x , t t2
c2 t1 t 2 t1 c1
t1 t 2
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
2、温度梯度
• 定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限。温度梯度表示为：
t t grad t n lim n n 0 n n
式中，n
是等温面法线方向上的单位矢量。
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
t dxdydz y y
t ( ) Φ 0 x x
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV Φdxdydz
5. 导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
非稳态项
华北电力大学
三个坐标方向净导入的热量
内热源项
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x 0, t t1 x , t t2
c2 t1 t 2 t1 c1
t1 t 2
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
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2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学2-稳态导热
tw1 tw2 1 d ln 2 2 l d1
虽然是稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！
热阻为：
t ln(d 2 / d1 ) R Φ 2l
t w1 t w 2 ql d2 1 l ln 2 d1
21
长度为 l 的圆筒壁的导热热阻
t w1 t w 2 d2 1 ln 2 l d1
采用圆柱坐标系，这是沿半径方向 的一维导热，稳态导热微分方程为：
d dt r 0 dr dr
积分得： 通解为：
dt r c1 dr
dt c1 dr r
19
t c1 ln r c2
第一类边界条件
边界条件为： r r1 r r2 代入通解：
t tw1
如果采用单层玻璃窗，则散热损失为
10 Φ' 3333 .3W 0.003
是双层玻璃窗散热损失的 35 倍，可见采用双层玻璃 窗可以大大减少散热损失，节约能源。
例题2-1 P 29
4)第三类边界条件 已知平壁的壁厚为，无内热源，导热系数为常数 传热过程：一侧的热流体通过固体壁面把热量传给 另一侧冷流体的过程。 1、热流体传给壁面的热流密度：
k为传热系数
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
•
平壁的表面积为A，热流量为:
例题2-2 P31
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
第二节 复合平壁的稳定导热
工程上经常碰到沿宽度或厚度方向的材料不同构成
平壁，这种平壁为复合平壁，如空心墙、夹心板等。 导热系数相差不大时，仍近似作一维处理：
总热阻为：
虽然是稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！
热阻为：
t ln(d 2 / d1 ) R Φ 2l
t w1 t w 2 ql d2 1 l ln 2 d1
21
长度为 l 的圆筒壁的导热热阻
t w1 t w 2 d2 1 ln 2 l d1
采用圆柱坐标系，这是沿半径方向 的一维导热，稳态导热微分方程为：
d dt r 0 dr dr
积分得： 通解为：
dt r c1 dr
dt c1 dr r
19
t c1 ln r c2
第一类边界条件
边界条件为： r r1 r r2 代入通解：
t tw1
如果采用单层玻璃窗，则散热损失为
10 Φ' 3333 .3W 0.003
是双层玻璃窗散热损失的 35 倍，可见采用双层玻璃 窗可以大大减少散热损失，节约能源。
例题2-1 P 29
4)第三类边界条件 已知平壁的壁厚为，无内热源，导热系数为常数 传热过程：一侧的热流体通过固体壁面把热量传给 另一侧冷流体的过程。 1、热流体传给壁面的热流密度：
k为传热系数
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
•
平壁的表面积为A，热流量为:
例题2-2 P31
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
第二节 复合平壁的稳定导热
工程上经常碰到沿宽度或厚度方向的材料不同构成
平壁，这种平壁为复合平壁，如空心墙、夹心板等。 导热系数相差不大时，仍近似作一维处理：
总热阻为：
传热学第二章稳态热传导
n w
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
2稳态热传导资料
国家标准规定，温度低于350℃时导热系数小于0.12W/(m⋅K)的材料 称为保温材料。
多孔材料
绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔或纤维结 构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等),不是均匀介质,统称多孔材料。
多孔材料的导热系数随温度的升高而增大。 多孔材料的导热系数与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈 大，热导率愈大。
（1）导热系数为常数
t a( 2t 2t 2t )
x2 y2 z2 c
（式2）
a
c
称为热扩散率或热扩散系数，其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温
度变化快慢，反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质储热能
力（ c ）之间的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，
13
2.2 导热问题的数学描述
1.导热微分方程
依据：能量守恒和傅里叶定律。
假设： 1）物体由各向同性的连续介质组成； 2）有内热源，强度为 ，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位 为W/m3。
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系，选取物体中的微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒，建立微元体的热平衡方程；
t 0
t f (x, y, z, )
b)随空间划分 一维稳态温度场：
t f (x)
三维稳态温度场： t f (x, y, z)
4
2.1 导热的基本概念与基本定律
（2）等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。
等温面上任何一条线都是等温线。如果 用一个平面和一组等温面相交, 就会得到一 组等温线。温度场可以用一组等温面或等温 线表示。
多孔材料
绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔或纤维结 构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等),不是均匀介质,统称多孔材料。
多孔材料的导热系数随温度的升高而增大。 多孔材料的导热系数与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈 大，热导率愈大。
（1）导热系数为常数
t a( 2t 2t 2t )
x2 y2 z2 c
（式2）
a
c
称为热扩散率或热扩散系数，其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温
度变化快慢，反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质储热能
力（ c ）之间的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，
13
2.2 导热问题的数学描述
1.导热微分方程
依据：能量守恒和傅里叶定律。
假设： 1）物体由各向同性的连续介质组成； 2）有内热源，强度为 ，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位 为W/m3。
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系，选取物体中的微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒，建立微元体的热平衡方程；
t 0
t f (x, y, z, )
b)随空间划分 一维稳态温度场：
t f (x)
三维稳态温度场： t f (x, y, z)
4
2.1 导热的基本概念与基本定律
（2）等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。
等温面上任何一条线都是等温线。如果 用一个平面和一组等温面相交, 就会得到一 组等温线。温度场可以用一组等温面或等温 线表示。
传热学2-稳态导热new
假设单管长度为l，圆筒壁的外半 径小于长度的1/10。 一维、稳态、无内热源、常物性：
d dt (r )=0 dr dr
第一类边界条件
2013-6-14
(a)
r r1时 t t w1 r r2时 t t w22稳态导热11对上述方程(a)积分两次:
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
[W
m]
Rl
2013-6-14
通过单位长度圆筒壁传热过程的总热阻 [mK/W]
2稳态导热 单位长度圆筒壁传热系数 [W/mK] 18
kl = 1 / Rl
例2-4（P37) 作业：2-19
思考题
为什么计算平壁导热时取单位面积，而圆筒壁
面却取单位长度？ 一维、稳态、无内热源的平壁、圆筒壁导热， 其热流、温度梯度的方向、热流量的方向、温度 曲线如何？
线性分布
t 2 t1 t q t ( A )
温度差
热阻
单位面积平壁的导 热热阻： 面积为A的热阻：
R = [m2 • ° / w] C
RA
= A
[° / w] C
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2013-6-14 2稳态导热 4
金属壁一般很薄、热导率很大，
故导热热阻一般可忽略。
增大h1、h2
增大换热面积A，尤其在对流环热系数小的一侧
2013-6-14 2稳态导热 22
在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段
肋壁：直肋、环肋（图2-13（P41）；等截面、变截面
2013-6-14
2稳态导热
23
等截面直肋 肋宽L 肋基 肋厚
传热学第2章稳态热传导
（2）该平壁热力学能的变化速率；
λсρ
（3）x=0m和x=0.5m两处温度 随时间的变化速率。
t w1 t=450-320x-160x2
ΦV
t w2
0 δ 0.5 x
2.3 典型一维稳态导热问题的分析解
2.3.1 通过平壁的导热
h (8 ~ 10)
1. 第一类边界条件下单层平壁的导热
假设；大平壁λ= 常数，表面积A，厚度δ，
无内热源，平壁两侧维持均匀恒定
温度 tw1, tw2，且tw1> tw2。
t
A
λ
确定（1）平壁内的温度分布；
tw1
（2）通过此平壁的热流密度。
tw2 ф
0 x dx δ x
导热数学描述（导热微分方程+边界条件）
d 2t dx2
0
B.C x 0 t tw1
t
A
λ
tw1
x t tw2
tw2
求解微分方程，得通解：
dx
t
A
λ
tw1
tw2 ф
0 x dx δ x
大小和方向
结论
t
tw1
tw1
tw2
x
q tw1 tw2
✓ 当λ= 常数时，平壁内温度分布呈线性分布，
且与λ无关。
t
✓ 通过平壁内任何一个等温面的
A tw1
λ
热流密度均相等，与坐标x无关。
✓ 导热热阻（Conductive resistance）
1. 定义：温度场描述了各个时刻物体内所有各点 的温度分布。
t f ( x, y, z, )
2. 分类：
按温度场是否随时间变化
• 稳态温度场： t 0
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
《传热学》第2章-导热基本定律及稳态导热
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等
λ金属 > λ非金属; λ固相 > λ液相 > λ气相
不同物质的导热机理
1、气体的热导率 λ气体 ≈ 0.006 ~ 0.6 W (mo C)
0o C : λ空气 = 0.0244 W (moC) ; 20o C : λ空气 = 0.026 W (moC)
dΦv = Φ& dxdydz
v 单位时间内，微元体热力学能的增加 dU = ρc ∂t dxdydz ∂τ
导热微分方程式
dΦλ + dΦV = dU
dΦ λ
=
∂ ∂x
λ
∂t ∂x
+
∂ ∂y
λ
∂t ∂y
+
∂ ∂z
λ
∂t ∂z
dxdydz
dΦv = Φ& dxdydz
q = − dΦ n dA
直角坐标系中： q = qxi + qy j + qz k
导热基本定律
v 1822法国数学家傅里叶（Fourier）在大量实验研究的基础 上, 提出了导热基本定律—傅里叶定律。
v 对于物性参数不随方向变化的各向同性物体, 傅里叶定律度
热流密 度矢量
导热微分方程式的求解方法
积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法等
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 è温度场
圆柱坐标系（r, Φ, z）
dz
v 感兴趣的同学
课下自己推导
练习.
v 球坐标系方程 见教材P26.
=
−λ ∂t ∂n w
=0
⇒
λ金属 > λ非金属; λ固相 > λ液相 > λ气相
不同物质的导热机理
1、气体的热导率 λ气体 ≈ 0.006 ~ 0.6 W (mo C)
0o C : λ空气 = 0.0244 W (moC) ; 20o C : λ空气 = 0.026 W (moC)
dΦv = Φ& dxdydz
v 单位时间内，微元体热力学能的增加 dU = ρc ∂t dxdydz ∂τ
导热微分方程式
dΦλ + dΦV = dU
dΦ λ
=
∂ ∂x
λ
∂t ∂x
+
∂ ∂y
λ
∂t ∂y
+
∂ ∂z
λ
∂t ∂z
dxdydz
dΦv = Φ& dxdydz
q = − dΦ n dA
直角坐标系中： q = qxi + qy j + qz k
导热基本定律
v 1822法国数学家傅里叶（Fourier）在大量实验研究的基础 上, 提出了导热基本定律—傅里叶定律。
v 对于物性参数不随方向变化的各向同性物体, 傅里叶定律度
热流密 度矢量
导热微分方程式的求解方法
积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法等
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 è温度场
圆柱坐标系（r, Φ, z）
dz
v 感兴趣的同学
课下自己推导
练习.
v 球坐标系方程 见教材P26.
=
−λ ∂t ∂n w
=0
⇒
传热学-第2章稳态热传导-习题课
保温材料的应用范围广泛，不 仅可以用于民用建筑，还可用 于工业和商业建筑等领域。
电子元件散热方案
随着电子技术的不断发展，电子元件的功率密度越来越高，散热问题越 来越突出。
电子元件的散热方案包括自然散热、强制风冷、液冷等，需要根据电子 元件的发热量、使用环境和可靠性要求等因素选择合适的散热方案。
良好的散热方案能够有效地降低电子元件的工作温度，提高其稳定性和 寿命。
稳态热传导通常发生在物体内部，当 热量传递速率与热量生成速率相平衡 时，物体内部温度分布达到稳定状态 。
稳态热传导的物理模型
01
稳态热传导的物理模型通常采用 一维导热模型，即温度随空间坐 标的变化而变化，忽略时间因素 对温度分布的影响。
02
在一维导热模型中，温度分布可 以用一维偏微分方程来描述，该 方程基于傅里叶导热定律和能量 守恒原理。
02
解析
首先，我们需要计算平壁的传热量，然后根据传热量和平壁的热导率计
算平壁的温度变化。由于平壁是稳态热传导，所以温度分布是线性的。
03
答案
平壁的另一面的温度升高了20℃。
习题二解析
题目
一圆筒壁，内径为1m，长度为2m，加热功率为50W，材料的热导率为0.02W/m·℃，求圆 筒壁的另一面的温度升高了多少？
常见问题解答
问题2
如何求解一维稳态热传导问题？
解答
一维稳态热传导问题可以通过分离变量法求解。首先将温度表示为x的函数，然后根据傅里叶定律和 边界条件建立方程，最后求解方程得到温度分布。在求解过程中，需要注意初始条件和边界条件的处 理。
下节课预告
重点内容
非稳态热传导的基本概念、扩散 方程的建立和求解、初始条件和 边界条件的处理。
传热学-第2章
第二章 稳态热传导 12
在导热体中取一微元体 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中： [导入与导出净热量]+ [内热源发热量] = [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量 d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
dQx qx dydz d
t t1
n i
x
i 1
t tn1
t1 t2 t3 t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
第二章 稳态热传导
三层平壁的稳态导热
30
q
t1 t n 1
由热阻分析法：
ri
i 1
n
t1 t n 1
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一章复习
(1) 导热
傅里叶定律：
(2) 对流换热 牛顿冷却公式： (3) 热辐射
斯忒藩－玻耳兹曼定律 ：
dt Φ A dx
Aht
A T 4
(4) 传热过程
(t f 1 t f 2 ) (t f 1 t f 2 ) Φ 1 1 Rh1 R Rh 2 Ah1 A Ah2
多层、第三类边条
tf1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
h1 t2 t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
传热系数？ tf1
？
t1 t2 t3 t2
？ tf2
32
三层平壁的稳态导热
第二章 稳态热传导
一台锅炉的炉墙由三层材料叠合而成.最里面的是耐火黏土砖,厚 115MM;中间是B级硅藻土砖,厚125MM;最外层为石棉板,厚 70MM.已知炉墙内外表面温度分别为485℃ 和60 ℃ , 试求每平方 米炉墙的热损失及耐火黏土砖和硅藻土砖分界面上的温度。 解：各层的导热系数可根据估计的平均温度从手册中查出。第一 次估计的平均温度不一定正确，待算得分界面温度时，如发现不 对，可重新假定每层的平均温度。经几次试算，逐步逼近，可得 合理的数值。这里列出的是几次试算后的结果： W 3 0.116 /(m K ) W 1 1.12W /(m K ) 2 0.116 /(m K )
在导热体中取一微元体 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中： [导入与导出净热量]+ [内热源发热量] = [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量 d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
dQx qx dydz d
t t1
n i
x
i 1
t tn1
t1 t2 t3 t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
第二章 稳态热传导
三层平壁的稳态导热
30
q
t1 t n 1
由热阻分析法：
ri
i 1
n
t1 t n 1
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一章复习
(1) 导热
傅里叶定律：
(2) 对流换热 牛顿冷却公式： (3) 热辐射
斯忒藩－玻耳兹曼定律 ：
dt Φ A dx
Aht
A T 4
(4) 传热过程
(t f 1 t f 2 ) (t f 1 t f 2 ) Φ 1 1 Rh1 R Rh 2 Ah1 A Ah2
多层、第三类边条
tf1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
h1 t2 t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
传热系数？ tf1
？
t1 t2 t3 t2
？ tf2
32
三层平壁的稳态导热
第二章 稳态热传导
一台锅炉的炉墙由三层材料叠合而成.最里面的是耐火黏土砖,厚 115MM;中间是B级硅藻土砖,厚125MM;最外层为石棉板,厚 70MM.已知炉墙内外表面温度分别为485℃ 和60 ℃ , 试求每平方 米炉墙的热损失及耐火黏土砖和硅藻土砖分界面上的温度。 解：各层的导热系数可根据估计的平均温度从手册中查出。第一 次估计的平均温度不一定正确，待算得分界面温度时，如发现不 对，可重新假定每层的平均温度。经几次试算，逐步逼近，可得 合理的数值。这里列出的是几次试算后的结果： W 3 0.116 /(m K ) W 1 1.12W /(m K ) 2 0.116 /(m K )
《传热学》第2章_稳态热传导
qt1t235 W3 /m 2
2021/5/23
第2章 稳态热传导
例2-2 一锅炉炉壁有三层材料组成，最里面的是耐火粘土砖，厚115mm，
中间层是硅藻土砖，厚125mm；最外面是石棉板，厚70mm，已知墙
壁内外表面的温度为495 ℃和60 ℃，试求每平方米炉强的热损失及分界
面上的温度。
假设：1. 一维问题；2. 稳态导热；3. 无接触热阻(界面紧密接触)
1,2，,导3 热系数
面温度t1，t4。
，1,两2,外3表
假设各层之间接触良好，可以近似地认
t2
t3 t4
为接合面上各处的温度相等
x 0
❖
第一类边界条件：
x
n i1
i
t t1 t tn1
t1
t2
t3
t4
❖
热阻：
2021/5/23
r1
1 1
....r.n.nn
三层平壁的稳态导热
关键点：界面热流密度、传热量处处相同
0时( n t)wf2()
3. 规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的 温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为
( n t)wh(twtf )
2021/5/23
第2章 稳态热传导
4. 如果导热物体表面与温度为Te的外界环境只发生辐射传热，称为
辐射边界条件。可表示为
T nTw 4Te4
更多的热量；2. 分母是单位体积的物体温度升高1℃所需要的
热量。a越大，表示物体内部温度扯平的能力越大。
2. 等号左边一项为非稳态项，也就是热力学能增量
3. 等号右边三项为通过界面的导热而使微元体增加的能量
4. 公式最后一项为源项
2021/5/23
第2章 稳态热传导
例2-2 一锅炉炉壁有三层材料组成，最里面的是耐火粘土砖，厚115mm，
中间层是硅藻土砖，厚125mm；最外面是石棉板，厚70mm，已知墙
壁内外表面的温度为495 ℃和60 ℃，试求每平方米炉强的热损失及分界
面上的温度。
假设：1. 一维问题；2. 稳态导热；3. 无接触热阻(界面紧密接触)
1,2，,导3 热系数
面温度t1，t4。
，1,两2,外3表
假设各层之间接触良好，可以近似地认
t2
t3 t4
为接合面上各处的温度相等
x 0
❖
第一类边界条件：
x
n i1
i
t t1 t tn1
t1
t2
t3
t4
❖
热阻：
2021/5/23
r1
1 1
....r.n.nn
三层平壁的稳态导热
关键点：界面热流密度、传热量处处相同
0时( n t)wf2()
3. 规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的 温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为
( n t)wh(twtf )
2021/5/23
第2章 稳态热传导
4. 如果导热物体表面与温度为Te的外界环境只发生辐射传热，称为
辐射边界条件。可表示为
T nTw 4Te4
更多的热量；2. 分母是单位体积的物体温度升高1℃所需要的
热量。a越大，表示物体内部温度扯平的能力越大。
2. 等号左边一项为非稳态项，也就是热力学能增量
3. 等号右边三项为通过界面的导热而使微元体增加的能量
4. 公式最后一项为源项
工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念
对于微元体，按照能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热 平衡关系： 导人微元体的总热流量十微元体内热源的生成热 ＝导出微元体的总热流量十微元体热力学能(即内能)的增量 (a) 式(a)中其他两项的表达式为 ∂t dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ d τ 微元体热力学能的增量＝ dU = c ρ 微元体内热源的生成热＝
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
∂t ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ρC p = λ ( 2 + 2 + 2 ) + qv ∂τ ∂x ∂y ∂z
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
d2t dx2 = 0
dt = c1 dx t = c1x + c 2
c 2 = t1 c1 = t 2 − t1
δ
∴t =
t 2 − t1
δ
x + t1
（2）根据傅里叶定律，得到：
q = −λ dt t 2 − t 1 t1 − t 2 = −λ = δ dx δ
λ
分析：（和电路分析类比 分析：（和电路分析类比） ：（和电路分析类比）
可类比：
t1 − t 2 q= Rλ
(I = ∆V V1 − V2 = ) R R
导热热阻
δ Rλ = λ
热流密度
q
温差 t1 − t 2
t1 − t 2 q= Rλ
（二）多层平壁： 如左图所示三层平壁，各层厚度分别为
δ1δ2δ3 ，导热系数为λ1λ2λ3，两侧 壁面的温度为t1和t4,求其温度场。 求解步骤： （1）画出串联热阻图
用傅理叶定律求解 在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则 根据傅里叶定律，边界条件r=r1,t=t1;r=r2,t=t2。 我们得:
传热学第二章 稳态热传导
混合气体导热系数不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
河海大学常州校区热能与动力工程共一系百一—十四页传热学
2022年2月24日9时35分 杨祥花
分子质量小的气体（H2、He）导热(dǎorè)系数较大 — 分子 运动速度高。
温度对气体导热(dǎorè)系数的影
响 河海大学常州校区热能与动力工程共一系百一—十四页传热学
T
大多数建筑材料和绝热材料具有(jùyǒu)多孔或纤维结构
多孔材料的导热系数与密度和湿度有关
、湿度
保温材料：1992年国家标准规定，温度低于350度时导热系数 小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）
80年代0.14；50年代0.23
河海大学常州校区热能与动力工程共一系百一—十四页传热学
2022年2月24日9时35分 杨祥花
河海大学常州校区热能与动力工程共一系百一—十四页传热学
2022年2月24日9时35分 杨祥花
河海大学常州校区热能与动力工程共一系百一—十四页传热学
2022年2月24日9时35分 杨祥花
（三）导热(dǎorè)系数同温度的 关系
~t
t （1） 与 有关(yǒuguān)为！某温度(wēndù)下的
第二章 稳态热传导
基本 要求 (jīběn)
：
1 、重点(zhòngdiǎn)内容：
① 傅里叶定律及其应用；
② 导热系数及其影响因素；
③ 导热问题的数学模型。
2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 ；
3 、了解内容：多维及具有内热源的导热问题。
定性—导热基本概念，傅里叶定律 定量—温度场求解，导热量计算
各时刻物体中各点温度所组成的集合温度分布物体中任一点温度则为非稳态温度场平行平面间的温度场一维温度场对应非稳态导热非稳态温度场稳态导热稳态温度场河海大学常州校区热能与动力工程系传热学2017年9月20日1时51分河海大学常州校区热能与动力工程系传热学2017年9月20日1时51分2324河海大学常州校区热能与动力工程系传热学2017年9月20日1时51分二向量形式的傅里叶定律1温度梯度如图等温面梯度指向量变化最剧烈方向法向方向则温度梯度为gradt在空间坐标则河海大学常州校区热能与动力工程系传热学2017年9月20日1时51分25热流密度矢量可见
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导热问题完整数学描述
10
第2章 稳态热传导
2.2.1 导热微分方程：
基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
方法：从导热物体中任意选取一个微元平行六面体来做该微元体
能量收支平衡的分析。
假设：1.物体内有内热源(单位时间内单位体积中产生或消耗的热能)
2.导热物体中的热物理性质是温度的函数
热平衡关系：
导入微元体的总热流量 +微元体内热源的生成热 =导出微元体的总热流量 +微元体热力学能(内能)的增量
要点：
1. 理解导热的基本定律和数学描述 2. 对一维稳态、肋片及具有内热源的导热问题进行数值计算
1
第2章 稳态热传导
2.1 导热基本定律——傅里叶定律
各类物体的导热机理：
导电固体导热：自由电子（电子气）的运动 非导电固体导热：晶格结构（弹性声波）的振动 气体导热：分子不规则运动时的相互碰撞； 液体导热: 1.类似于气体；
9
第2章 稳态热传导
2.2 导热问题的数学描述
物理问题
分析主要的 物理量
应用相应的 物理定理
进行合理的 简化假定
得到描述问题的 微分方程
边界条件 和初始条件
应用合适的 数学求解方法
得到问题的解
能量守恒定律 傅里叶定律
导热微分方程
建立物体中的温度场应当 满足的变化关系式
定解条件
规定相应的 时间和边界条件
第2章 稳态热传导
引言
三类传热问题的目标：
(1)准确地计算所研究过程中传递的热流量 (2)准确的预测物体中的温度分布
稳态导热研究内容：
(1)导热基本定律的最一般数学表达式 (2)导热微分方程及相应的初始和边界条件 (3)分析肋片导热问题 (4)具有内热源的导热问题 (5)多维稳态导热问题
热传导完整 数学描述
等温面与等温线
等温面:同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所 构成的面。
等温线:用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一 个等温线簇。
3
第2章 稳态热传导
特点：
1.温度不同的等温面或等温线彼此不能相交。 2.在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物
体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上。 3.当等温线图上两条相邻等温线间的温度间隔相等时，等温线的
利用等温线和热流线来定量且形 象地表述一个导热过程： 等温线表示热流梯度，而热流线 是与等温线处处垂直的一组曲线， 通过平面上任一点的热流线与该 点的热流密度相切。 相邻两条热流线之间所传递的热 流量处处相等，相当于构成了一 个热流通道。 该方法用于现代工程软件应用。
6
第2章 稳态热传导
q
导热系数：
t
n
x
——物质的重要热物性参数 W /m k
(单位温度梯度作用下物体内热流密度矢量的模)
导热系数的数值表征物质导热能力大小。(需要实验测定) 与物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等有关
金属 非金属; 固相 液相 气相 (一般情况)
特性 范围 形式 变化
金属固体 12-418 自由电子 t升高λ减小
气体
液体
0.006~0.6 0.007~0.7
分子热运动 晶格振动
t升高λ增大 t变化λ不同
非金属固体 0.025~3 晶格振动 t变化λ不同
保温材料：平均温度不高于350℃时导热系数不大于0.12W/(m﹡k)
(蜂窝状多孔结构)
7
第2章 稳态热传导
从图上可以看出：在比较广阔的温度区间内的实用计算中，大多数 材料的λ都容许采用线性近似关系，即λ= λ0(a+bt)，而λ0是该直线 段的延长线在纵坐标上的截距。
8
第2章 稳态热传导
工程导热材料的一般分类： 均匀且各向同性材料：
物体内不同地点不同方向上的导热系数一样。
均匀且各向异性材料：
木材、石墨、变压器的铁芯(顺木纹方向>>垂直纹方向)
不均匀且各向同性材料：
空心砖(空心率为40%,导热系数减少50%)
不均匀且各向异性材料：
多层不均匀板壳(注意连续性条件)
出1
y
y dy
y
y
y y
dy
y
y
y
t y
y
dxdzdy
z
z dz
z
z
z
z
dz
z
z
z
t z
z
dxdy
dz
导出总热流量
增1
c
t
dxdydz
热力学能增量
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式：
c
t
x
t x
y
t y
z
t z
12
第2章 稳态热传导
几种简化形式：
疏密可直观反映出不同区域温度热流密度的相对大小。
4
第2章 稳态热传导
导热基本定律：
Φ A dt W
dx
~ t 傅里叶热定律 A x
Φ A t W
x
t tw1
tw2
0 x
t+ət t
t-ət
定义：在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直 该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与 温度升高的方向相反。
2.类似于非导电固体;(倾向于此观点)
2
第2章 稳态热传导
等温场(temperature field)：
温度场：物体中存在温度的场。 温度分布：各时刻物体中各点温度所组成的集合
分类：
稳态温度场：物体中各点温度不随时间而变。 t f x, y, z 瞬态温度场：物体中各点温度随时间变化。 t f x, y, z,
t
)
·
r r r r 2 z z
qx zy
x
q z dz
q y dy
qy
dx qz
dz qxdx dy
11
第2章 稳态热传导
x x
t x
dydz x
入1
y
y
t y
y
dxdz
z
z
t z
dxdy z
导入总热流量
入2 dxdydz
内热源生成热量
x
xdx
x
x
x
x
dx
x
x
x
t x
x
dydzdx
为常数：
t
a
2t x2
2t y 2
2t z 2
Φ
c
为常数,无内热源：
t
a
2t x2
2t y 2
2t z 2
相同方法得到：
常物性、稳态：
0
2t x 2
2t y 2
2t z 2
Φ
泊松方程
常物性、无内热源、稳态：
0
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c t 1 (r t ) 1
(
t )
(
空间热流密度表达方式
当物体的温度是三个坐标的函数时，三个坐标方向上的单位矢量与
该方向上热流密度分量的乘积合成为一个空间热流密度矢量记为q
q Φ dt
A
dx
W m2
q
gradt
t
n
x
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第2章 稳态热传导
在公式
q
gradt
t x
n
中，gradt表示空间某点的温度梯度，
n表示通过该点的等温线上的法向单位矢量，温度升高的方向。
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第2章 稳态热传导
2.2.1 导热微分方程：
基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
方法：从导热物体中任意选取一个微元平行六面体来做该微元体
能量收支平衡的分析。
假设：1.物体内有内热源(单位时间内单位体积中产生或消耗的热能)
2.导热物体中的热物理性质是温度的函数
热平衡关系：
导入微元体的总热流量 +微元体内热源的生成热 =导出微元体的总热流量 +微元体热力学能(内能)的增量
要点：
1. 理解导热的基本定律和数学描述 2. 对一维稳态、肋片及具有内热源的导热问题进行数值计算
1
第2章 稳态热传导
2.1 导热基本定律——傅里叶定律
各类物体的导热机理：
导电固体导热：自由电子（电子气）的运动 非导电固体导热：晶格结构（弹性声波）的振动 气体导热：分子不规则运动时的相互碰撞； 液体导热: 1.类似于气体；
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第2章 稳态热传导
2.2 导热问题的数学描述
物理问题
分析主要的 物理量
应用相应的 物理定理
进行合理的 简化假定
得到描述问题的 微分方程
边界条件 和初始条件
应用合适的 数学求解方法
得到问题的解
能量守恒定律 傅里叶定律
导热微分方程
建立物体中的温度场应当 满足的变化关系式
定解条件
规定相应的 时间和边界条件
第2章 稳态热传导
引言
三类传热问题的目标：
(1)准确地计算所研究过程中传递的热流量 (2)准确的预测物体中的温度分布
稳态导热研究内容：
(1)导热基本定律的最一般数学表达式 (2)导热微分方程及相应的初始和边界条件 (3)分析肋片导热问题 (4)具有内热源的导热问题 (5)多维稳态导热问题
热传导完整 数学描述
等温面与等温线
等温面:同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所 构成的面。
等温线:用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一 个等温线簇。
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第2章 稳态热传导
特点：
1.温度不同的等温面或等温线彼此不能相交。 2.在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物
体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上。 3.当等温线图上两条相邻等温线间的温度间隔相等时，等温线的
利用等温线和热流线来定量且形 象地表述一个导热过程： 等温线表示热流梯度，而热流线 是与等温线处处垂直的一组曲线， 通过平面上任一点的热流线与该 点的热流密度相切。 相邻两条热流线之间所传递的热 流量处处相等，相当于构成了一 个热流通道。 该方法用于现代工程软件应用。
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第2章 稳态热传导
q
导热系数：
t
n
x
——物质的重要热物性参数 W /m k
(单位温度梯度作用下物体内热流密度矢量的模)
导热系数的数值表征物质导热能力大小。(需要实验测定) 与物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等有关
金属 非金属; 固相 液相 气相 (一般情况)
特性 范围 形式 变化
金属固体 12-418 自由电子 t升高λ减小
气体
液体
0.006~0.6 0.007~0.7
分子热运动 晶格振动
t升高λ增大 t变化λ不同
非金属固体 0.025~3 晶格振动 t变化λ不同
保温材料：平均温度不高于350℃时导热系数不大于0.12W/(m﹡k)
(蜂窝状多孔结构)
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第2章 稳态热传导
从图上可以看出：在比较广阔的温度区间内的实用计算中，大多数 材料的λ都容许采用线性近似关系，即λ= λ0(a+bt)，而λ0是该直线 段的延长线在纵坐标上的截距。
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第2章 稳态热传导
工程导热材料的一般分类： 均匀且各向同性材料：
物体内不同地点不同方向上的导热系数一样。
均匀且各向异性材料：
木材、石墨、变压器的铁芯(顺木纹方向>>垂直纹方向)
不均匀且各向同性材料：
空心砖(空心率为40%,导热系数减少50%)
不均匀且各向异性材料：
多层不均匀板壳(注意连续性条件)
出1
y
y dy
y
y
y y
dy
y
y
y
t y
y
dxdzdy
z
z dz
z
z
z
z
dz
z
z
z
t z
z
dxdy
dz
导出总热流量
增1
c
t
dxdydz
热力学能增量
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式：
c
t
x
t x
y
t y
z
t z
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第2章 稳态热传导
几种简化形式：
疏密可直观反映出不同区域温度热流密度的相对大小。
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第2章 稳态热传导
导热基本定律：
Φ A dt W
dx
~ t 傅里叶热定律 A x
Φ A t W
x
t tw1
tw2
0 x
t+ət t
t-ət
定义：在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直 该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与 温度升高的方向相反。
2.类似于非导电固体;(倾向于此观点)
2
第2章 稳态热传导
等温场(temperature field)：
温度场：物体中存在温度的场。 温度分布：各时刻物体中各点温度所组成的集合
分类：
稳态温度场：物体中各点温度不随时间而变。 t f x, y, z 瞬态温度场：物体中各点温度随时间变化。 t f x, y, z,
t
)
·
r r r r 2 z z
qx zy
x
q z dz
q y dy
qy
dx qz
dz qxdx dy
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第2章 稳态热传导
x x
t x
dydz x
入1
y
y
t y
y
dxdz
z
z
t z
dxdy z
导入总热流量
入2 dxdydz
内热源生成热量
x
xdx
x
x
x
x
dx
x
x
x
t x
x
dydzdx
为常数：
t
a
2t x2
2t y 2
2t z 2
Φ
c
为常数,无内热源：
t
a
2t x2
2t y 2
2t z 2
相同方法得到：
常物性、稳态：
0
2t x 2
2t y 2
2t z 2
Φ
泊松方程
常物性、无内热源、稳态：
0
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c t 1 (r t ) 1
(
t )
(
空间热流密度表达方式
当物体的温度是三个坐标的函数时，三个坐标方向上的单位矢量与
该方向上热流密度分量的乘积合成为一个空间热流密度矢量记为q
q Φ dt
A
dx
W m2
q
gradt
t
n
x
5
第2章 稳态热传导
在公式
q
gradt
t x
n
中，gradt表示空间某点的温度梯度，
n表示通过该点的等温线上的法向单位矢量，温度升高的方向。