2014年辽宁卷高考文科数学真题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试

（辽宁卷） 文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.

1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =（ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x <<

2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i -

3.已知1

3

2a -=，212

11log ,log 33

b c ==，则（ ）

A ．a b c >>

B ．a c b >>

C ．c a b >>

D ．c b a >>

4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥

5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：学科 网若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；

命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝

6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2

π

B ．4

π C ．6

π D ．8

π

7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82

π- D ．84

π-

8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）

A ．43-

B ．-1

C ．34-

D ．12

-

9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n

a a 为递减数列，则（ ）

A ．0d <

B ．0d >

C ．10a d <

D ．10a d >

10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2

()121,(,)

2x x f x x x π⎧

∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式

1

(1)2f x -≤

的解集为（ ） A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334-- 11. 将函数3sin(2)3

y x π

=+的图象向右平移2

π

个单位长度，所得图象对应

的函数（ ） A ．在区间7[

,

]1212ππ

上单调递减

B ．在区间7[,]1212

ππ

上单调递增

C ．在区间[,]63

ππ

-上单调递减

D ．在区间[,]63

ππ

-上单调递增

12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[5,3]--

B ．9[6,]8

-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T =

.

14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪--≤⎩

，则目标函数34z x y =+的最大值

为 .

15. 已知椭圆C ：22

194

x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦

点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则

||||AN BN += .

16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a

b

c

-+的最小值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）

在ABC ∆中，学 科网内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，

1

cos 3

B =，3b =，求：

（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）

某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

19. （本小题满分12分）

如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，

0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.

（1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积.

附：椎体的体积公式13

V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.

20. （本小题满分12分）

圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （1）求点P 的坐标；

（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线

:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.