实数的概念及分类

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七年级下册数学实数知识点

七年级下册数学实数知识点七年级下册数学实数知识点1、实数的概念及分类①实数的分类②无理数无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如√7 ,3 √2等;有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/?+8等;有特定结构的数，如0.1010010001…等;某些三角函数值，如sin60°等2、实数的倒数、相反数和绝对值①相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

②绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

|a|≥0。

0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。

③倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

0没有倒数。

④数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

⑤估算3、平方根、算数平方根和立方根①算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0。

②平方根一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

注意√a 的双重非负性：√a≥0 ; a≥0③立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。

表示方法：记作 3 √a性质：一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。

实数的概念复习题

实数的概念复习题实数是数学中最基础、最广泛使用的数的集合。

它包括有理数和无理数两个部分。

在这篇文章中，我们将复习实数的概念，并做一些相关的练习题。

一、实数的定义与分类实数是数轴上的每一个点所对应的数。

它既包括有理数，又包括无理数。

1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。

有理数可以是正数、负数或零。

例如，-2，1/2和0.75都是有理数。

2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数，无理数的十进制表示是无限不循环小数。

例如，π和√2都是无理数。

二、练习题复习完实数的定义与分类后，让我们来做一些练习题，以巩固概念。

1. 判断下列数是否为有理数，若是，将其写成分数形式；若不是，将其写成无理数的近似值：a) 0.3b) 1/7c) -2d) √32. 将下列数按从小到大的顺序排列，并用数轴表示：a) -5，√2，0，-1，4/3b) -√5，1/2，2/3，π/4，03. 计算下列各组数的和：a) -1/3，0.2，√5b) π，1/6，-0.4，⅔4. 解决下列方程：a) |x-2| = 5b) √(x+3) = 75. 判断下列各命题的真假：a) 有理数包括整数、分数和小数。

b) 任意两个相邻整数之间必有一个整数。

三、答案1.a) 0.3是有理数，可以写成3/10。

b) 1/7是有理数，已经是分数形式。

c) -2是有理数，可以写成-2/1。

d) √3是无理数。

2.a) -5，-1，0，4/3，√2。

b) -√5，π/4，1/2，2/3，0。

3.a) -1/3 + 0.2 + √5。

b) π + 1/6 - 0.4 + 2/3。

4.a) x = -3 或 x = 7。

b) x = 48。

5.a) 真。

b) 真。

通过以上复习题的练习，我们可以更加熟悉实数的概念，并巩固相关的知识点。

实数是数学中非常重要的概念，在几乎所有数学学科中都有应用。

因此，掌握实数的概念对于进一步学习数学具有重要意义。

实数的概念简答

实数的概念简答实数是数学中一个非常重要的概念，它是数的集合中最广泛使用的一个集合，包括了整数、有理数以及无理数。

实数可以用来描述现实世界中的许多事物，它们具有很多特性和性质。

首先，实数是有序的。

这意味着实数可以按照大小顺序排列。

对于任意两个实数a和b，必然存在以下三种关系之一：a<b、a=b或者a>b。

这种有序性质可以大大拓展实数的应用范围，使得我们能够对实数进行比较和排序。

其次，实数是连续的。

实数可以沿着数轴上的任意两个点之间有无穷多个其他的实数。

这意味着在任意两个实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。

这个性质使得实数可以用来度量和描述连续的现实世界中的量，比如时间、距离等。

实数集合包括了有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。

有理数的性质是可以用有限个整数和分数的和、差、积与商来表示。

无理数是不能表示成两个整数的比值的数，它们的十进制表示是无限不循环小数。

著名的无理数包括π、e和根号2等。

无理数的性质是不能用有限个有理数的和、差、积与商来表示。

实数集合具有良序性和完备性。

良序性是指实数集合中的任意非空子集都有最小值。

也就是说，对于实数集合中任意的非空子集合，必然存在一个最小的实数。

完备性是指实数集合中的任意上有界的子集都有上确界。

也就是说，对于实数集合中的任意上有界子集合，必然存在一个实数作为上确界。

实数集合上有四则运算，即加减乘除。

实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。

实数的四则运算可以推广到无穷级数中，这给了我们处理许多数学问题的工具。

实数集合上还有大小比较运算符号，包括小于号、大于号、小于等于号、大于等于号以及不等号。

这些运算符号可以用来比较实数的大小关系。

实数还具有可数性和不可数性。

有理数是可数的，可以用自然数来进行一一对应。

而无理数是不可数的，不能用自然数进行一一对应。

在实数集合中，还有一些特殊的数，比如无穷大和无穷小。

第1讲实数的概念

7、 3 的绝对值等于 3 ， 2 4 的平方根等于 3 ， 9
1 3 的倒数是 2
2 7 。
8. 2的相反数是 A． 1 B．
2
9. A
1 2
2
C．-2
D．2
2的相反数是（）
2
B
C -2
1 2
D 2
10、的相反数的倒数是 .
课时训练
1、把下列各数填在相应的大括号内： 5 , , 3.14, 0 , 3. 3 3 3, 3, tg 300 , 1, 7
cos600 ,
3
64, 2.1010010001 .
3
-1，0， 64 整数集合：{ ……}； -1 奇数集合：{ ……}； 5 有理数集合：{ -1，，3.14，0， . 3 3 3，cos60°， 3 64 }； 3
1
；
（2） 3 －2的绝
（3）若 x 1, y 2 ，且xy>0，x+y=
3 ; 8; 3 27; 例2、把下列各数填到相应的集合里: 22 ; 3.14; 0.100110001 ; sin 300 ; 7 0 tan45 3; 0.3 21; 3.2
整数集合：{ 3 27 ;tan45°; － 3 }； 3-1；3.14；22/7;sin30°；｜-3.2｜；-0.32· 1· 分数集合：{ }；有理数集合： 3-1；3 27 ；3.14；22/7；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜；无理数集合：{
4、下列运算正确的是
A.
1 1 5 5
2
B. ( 2) 2
1 3 1 D. ( ) 2 8

实数的概念

实数的概念
实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n 为正整数，包括整数）。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

[1]相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数，叫做互为相反数）实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。

[2]绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变），a是它本身；
②a为0时，|a|=0，a也是它本身；
③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值），-a是a的相反数。

(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负数。

)
[3]倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）
[4]数轴
定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。

（2）数轴上的点与实数一一对应。

特别规定0的算术平方根是根号0
实数分类
按性质分类是：正数、0、负数；
按定义分类是：有理数、无理数。

实数的相关概念

实数的相关概念实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

性质封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab,a=b,ab。

传递性实数大小具有传递性，即若ab,bc,则有ac。

阿基米德性实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若ba0,则存在正整数n，使得nab。

稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

实数的相关概念 2实数的相关概念 2：实数是有理数和无理数的总称。

实数包括有理数和无理数，实数集通常用字母R表示。

实数集与数轴上的点有着一一对应的关系，任一实数都对应着数轴上的唯一一个点。

实数是什么1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

整数和小数的集合也是实数，实数是有理数和无理数的集合。

而整数和分数统称有理数，所以整数和小数的集合也是实数。

小数分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数(即无理数)，其中有限小数和无限循环小数均能化为分数，所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即实数。

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。

实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。

什么是实数？实数是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。

实数集通常用黑正体字母R表示。

实数概念例题和知识点总结

实数概念例题和知识点总结一、实数的概念实数，是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

例如，π（圆周率）约等于 31415926就是一个无理数，因为它的小数部分是无限不循环的。

再比如√2（根号 2）约等于 141421356也是无理数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

二、实数的分类1、按定义分类实数可以分为有理数和无理数。

有理数又可以分为整数和分数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。

无理数就是无限不循环小数。

2、按正负分类实数可以分为正实数、0、负实数。

正实数包括正有理数（正整数、正分数）和正无理数。

负实数包括负有理数（负整数、负分数）和负无理数。

三、实数的性质1、实数的相反数实数 a 的相反数是 a，0 的相反数是 0。

例如，5 的相反数是－5，π 的相反数是π。

2、实数的绝对值正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。

例如，｜5| ＝ 5，｜－5| ＝ 5 ，｜0| ＝ 0 。

3、实数的倒数若实数 a 不为 0，则 a 的倒数为 1/a 。

例如，5 的倒数是 1/5 ，－2 的倒数是－1/2 。

4、实数的运算实数的运算遵循加、减、乘、除、乘方、开方等运算规则。

加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：ab ＝ ba乘法结合律：（ab)c ＝ a(bc)乘法分配律：a(b ＋ c) ＝ ab ＋ ac在进行实数运算时，要注意先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的。

四、实数的大小比较1、数轴比较法在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

2、差值比较法设 a、b 是两个实数，若 a b ＞ 0，则 a ＞ b；若 a b ＝ 0，则 a ＝ b；若 a b ＜ 0，则 a ＜ b 。

第1课时实数的有关概念

第1课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.下列运算正确的是（）A．33--=B．3)31(1-=-C3=±D3=-例）A．B C．2-D．2例3.2的平方根是（）A．4 B C．D．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A．107.2610⨯元B．972.610⨯元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使： a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（） A ．16 B ．16- C ．18 D ．18- 2.2-的倒数是（） A ．12- B ．12 C ．2 D ．2-3.下列各式中，正确的是（）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<<4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 .8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（） A ．32 B ． 23 C ．23- D ．32-第2课时实数的运算第4题图0 例5图【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________例4.下列运算正确的是（） 9 0 -4 国际标准时间（时）-5 例2图 ……例3图A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=-例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-.【当堂检测】1.下列运算正确的是（）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元B ．9101.4⨯元C ．9102.4⨯元D ．8107.41⨯元3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（）AB． C ． 3.2- D．5.计算： (1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)10112-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭第3课时整式与分解因式第4题图【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1=-（a≠0，n 为正整数）；2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝，q ＝．3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．。

实数的概念与性质

实数的概念与性质实数是数学中最基本和最广泛使用的一种数，包括有理数和无理数。

作为数学的基础，实数具有一些独特的性质和特点。

本文将探讨实数的概念以及它的性质。

一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数的全体数的集合。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。

无理数是不能表示为有理数的比值的数，它们通常以无限不循环小数的形式存在。

实数可以通过不同的方式表示和描述，例如：1. 十进制表示法：实数可以用十进制数来表示，有限的十进制数是有理数，无限不循环的十进制数是无理数。

2. 小数和分数表示法：实数可以表示为有限小数或者无限循环小数，有理数可以用分数表示。

3. 数轴表示法：通过在数轴上标记实数的位置，可以直观地表示实数的大小关系。

不同表示方法可以相互转换，实数的概念是统一和相互联系的。

二、实数的性质1. 有序性：实数集是有序的，任意两个实数之间可以进行比较大小。

这是实数集比有理数集更加广泛适用的一个重要性质。

2. 稠密性：实数集是稠密的，任意两个实数之间都存在一个实数。

这意味着在实数集中，无论多么接近的两个实数，总是可以找到另一个实数介于它们之间。

3. 完备性：实数集是完备的，任何一个非空有上界的实数集都有最小上界。

这一性质称为实数集的确界性质，它保证了实数集在数学推导中的连续性和完整性。

4. 代数运算性质：实数集上定义了加法和乘法两种代数运算，满足交换律、结合律、分配律等基本性质。

实数集上还具有整除性和唯一因子分解等重要性质。

5. 密度性：实数集中的有理数和无理数彼此之间也是密集的。

这一性质使得实数集成为了展开无限不循环小数的基础。

6. 绝对值性质：实数的绝对值是非负的，它表示一个数到原点的距离。

绝对值具有非负性、正定性、三角不等式等重要的性质。

7. 有限性：实数集是无限的，没有最大实数和最小实数。

实数集的无限性质使得它可以涵盖无数个数值。

总结：实数是数学中最基本和最广泛使用的一种数。

实数的有关概念及实数的分类

例9：[02潍坊]若与互为相反数，则的值为。
课堂练习：
《全解》P5
小结：
⑴要注意绝对值概念的正确应用。因为互为相反数的绝对值相等，因此绝对值等于一个正数的数有两个，它们是一对互为相反数，不可漏掉其中任何一个。
⑵解涉及有理数的绝对值、大小比较等问题时，数轴是一个十分有效的工具。可由已知条件确定对应于数轴上的点，按“表示在数轴上的点的数，左边的数总比左边的大”进行比较大小；有时也可采用特殊值法进行判断。
总复习
代数第一课时实数的有关概念及实数的分类
教学目的：通过概念的复习和典型例题评析，使学生掌握实数的有关概念和实数的分类，并通过适当的练习得到提高。
教学重点：典型例型评析。
教学难点：学生综合能力的提高。
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一、实数的分类：
. 二、数轴: ⑴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 ⑵实数与数轴上的点是一一对应的。
例4：已知：| a |=3，| b |=2，且 ab < 0，求 a－b 的值。 a =3， b =－2时， a－b＝5 a =－3， b =2时， a－b＝－5
平方根：如果 ( )，那么 x 叫做 a 的平方根(二次方根)，记作，其中叫做 a 的算术平方根。
正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零(一个)。负数没有平方根。
⑶注意平方根与算术平方根的区别与关系。要求一个的平方根或算术平方根，须将这个数先进行化简或计算。
⑷相反数和倒数是两个重要的概念，要注意两者的区别。
⑸已知条件是含有字母的二次根式，要注意隐含的条件，因为中，一般遇到可转化为去处理。
绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。

实数知识点大全总结

实数知识点大全总结实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。

实数包括正数、负数、零、有理数、无理数等各种类型的数。

实数有着丰富的数学性质和运算规律，在数学和其他学科中都有广泛的应用。

1. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。

有理数是可以用分数表示的数，包括正整数、负整数、零、分数等。

有理数具有分数形式和小数形式两种表达方式，例如3/4和0.75都是有理数。

无理数是不能用分数表示的数，或者说是无限不循环小数的数。

无理数包括无限不循环小数和根号形式的数，例如π和√2都是无理数。

2. 实数的运算实数可以进行各种运算，包括加法、减法、乘法、除法等。

实数的运算遵循一定的性质和规律。

加法和减法：实数的加法和减法满足交换律、结合律和分配律，即a+b=b+a，a+(b+c)=(a+b)+c，a*(b+c)=a*b+a*c。

加法的逆元是减法，即a+(-a)=0。

乘法和除法：实数的乘法和除法也满足交换律、结合律和分配律，即a*b=b*a，a*(b*c)=(a*b)*c，a/(b*c)=(a/b)/c。

乘法的逆元是除法，即a*(1/a)=1。

3. 有理数的性质有理数具有以下性质：a) 有理数的加法和乘法封闭性：两个有理数的和、积仍然是有理数。

b) 有理数的序关系：任意两个有理数可以比较大小，成立大小关系。

c) 有理数的密集性：在任意两个有理数之间，都可以找到另一个有理数。

d) 有理数的稠密性：在有理数的任何两个不同的数之间总存在无数个有理数。

4. 无理数的性质无理数具有以下性质：a) 无理数的加法和乘法封闭性：两个无理数的和、积仍然是无理数。

b) 无理数的密度性：在任意两个无理数之间，总存在另一个无理数。

c) 无理数的非周期性：无理数小数部分是无限不循环小数。

d) 无理数的无限性：无理数是无限不可数的。

5. 实数的绝对值实数a的绝对值记作|a|，定义为：a≥0时，|a|=a；a<0时，|a|=-a。

实数及其运算基础知识点

实数及其运算基础知识知识点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一要点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等知识点二、实数的倒数和绝对值1、绝对值（1）一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离。

（2）零的绝对值是它本身，即|0|=0.（3）正数的绝对值是它的本身，即a ＞0，则|a|=a ，例|3|=3.（4）负数的绝对值是它的相反数，即a ＜0，则|a|=-a ，例|-3|=32、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

知识点三、平方根、算数平方根和立方根1、（1）平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

（2）平方根的性质：（3）平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.，.2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根，例√83=2；一个负数有一个负的立方根，例√−83= -2；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

实数的有关概念和性质以及实数的运算

实数的概念实数可以分为有理数与无理数两类，或代数数与超越数两类，或正实数，负实数与零三类。

实数集通常用黑正体字母R 表示。

而表示n 维实数空间。

实数是不可数的。

实数是实数理论的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数的运算法则1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，与不变．即：②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，与不变．即：2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

即a-b=a+(-b)3、乘法法则：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。

（3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：．②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：。

③分配律：一个数同两个数的与相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：．4、除法法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

即（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。

5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。

实数的概念和运算法则

实数的有关概念1.实数的分类：整数包括:正整数、0、负整数和分数包括:有限小数和无限环循小数都是有理数. 无限不循环小数是无理数,有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：几何意义：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值,记作∣a∣,代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数．a的相反数是-a,0的相反数是0.5. 5.倒数：乘积为1的两个数互为倒数,()0≠a a的倒数为1.a 6.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.7.科学记数法：把一个数写成±a×10n的形式其中1≤a<10,n是整数,这种记数法叫做科学记数法.如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.8.大小比较：正数大于0,负数小于0,两个负数,绝对值大的反而小.9.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方,乘方运算的结果叫幂.记作a n.10.平方根：一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根也叫做二次方根．记作()0≥±aa一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0只有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根．11.开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方．12.算术平方根：一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记作a()0a.0的算术平方根是0．≥a.0≥13.立方根：一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根也叫做三次方根记作3a.正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．14.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．实数的运算15.有理数加法法则：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加,仍得这个数．16．有理数减法法则：减去一个数,等于加上这个数的相反数．17．有理数乘法法则：两个有理数相乘,同号得正,异号得负,再把绝对值相乘；任何数与0相乘,积仍为0．18.几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负；当负因数的个数为偶数个时,积为正;19．有理数除法法则：两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．20.幂的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是正数,负数的偶次幂是正数；零的任何次幂都是零; 21实数的运算顺序：先算乘方开方,再算乘除,最后算加减；如果有括号,先算括号里面的．22．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b、为任意有理数加法结合律：a+b+c=a+b+ca, b,c为任意有理数。

认识实数的分类及其性质

认识实数的分类及其性质实数是数学中最基本的概念之一，它包含了整数、分数和无理数。

在我们日常生活中，我们经常使用实数进行计算和测量。

然而，对于实数的分类及其性质，很多人可能并不了解。

在本文中，我们将探讨实数的分类以及一些重要的性质。

一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。

有理数是可以表示为两个整数的比例的数，包括整数和分数。

整数是没有小数部分的数，可以是正数、负数或零。

而分数是两个整数的比例，可以是正数、负数或零。

无理数是不能表示为两个整数的比例的数，它们的十进制表示是无限不循环的小数。

无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种形式。

无限不循环小数是指小数部分无限延伸且没有循环的数，如圆周率π和自然对数的底数e。

而无限循环小数是指小数部分有限循环的数，如1/3的十进制表示为0.3333...。

二、实数的性质实数具有一些重要的性质，下面我们将介绍其中几个。

1. 密度性实数的密度性是指在任意两个实数之间，总存在一个实数。

换句话说，无论两个实数的大小如何，它们之间总存在一个实数。

这个性质使得实数可以用来进行精确的测量和计算。

2. 有序性实数具有严格的大小关系，可以进行比较。

对于任意两个实数a和b，有以下三种情况：a>b，a=b，a<b。

这个有序性使得我们可以对实数进行排序和排列。

3. 封闭性实数的封闭性是指实数集合对于加法和乘法运算是封闭的。

换句话说，对于任意两个实数a和b，它们的和a+b和积ab仍然是实数。

这个性质使得实数集合成为一个完整的数学体系。

4. 无限性实数是无限的，它们可以无限延伸。

无论我们取多大的数，总是可以找到更大的实数。

这个无限性使得实数可以用来表示各种各样的量，从微观的粒子到宇宙的宏观尺度。

5. 可数性实数集合是不可数的，即无法一一对应到自然数集合。

这个性质意味着实数的数量是无穷的，无法用有限的自然数来计数。

综上所述，实数的分类及其性质是数学中重要的概念。

了解实数的分类可以帮助我们更好地理解数学的基础知识，并应用于实际问题的解决中。

实数的概念及例子

实数的概念及例子实数是数学中最基本的概念之一，它包含了所有的有理数和无理数。

实数可以表示为有限小数、无限循环小数以及无限不循环小数。

在实数的概念中，我们可以进行基本的数学运算，比如加减乘除，也可以进行比较大小。

首先，我们先来了解有理数。

有理数是可以写成两个整数之比的数，其中分母不为零，例如：2、-3、1/2等。

有理数是实数的子集，它们可以在数轴上找到对应的位置。

比如，数轴上的0、1、-1、2等都是有理数。

除了有理数，实数中还包含了无理数。

无理数是不能写成两个整数之比的数，它们的小数部分是无限不循环的。

比如，√2、π、e等都是无理数。

举个例子来说明实数的概念。

假设我们希望计算一个三角形的斜边长度，已知其底边长度为3，高为4。

利用勾股定理，我们可以求得斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = 5。

这里的√2就是一个无理数，属于实数的范畴。

除了上述例子中的无理数，实数中还有一类特殊的无理数，称为超越数。

超越数是无理数的一种特殊类型，它们不能成为代数方程的根（即不能成为多项式方程的解）。

例如，圆周率π和自然对数的底e都是超越数。

另外，实数还可以用小数的形式表示。

小数可以是有限的，也可以是无限的。

有限小数是指小数部分有限位数的数，例如0.5、1.25等。

无限小数是指小数部分有无限位数的数，它们可以有循环和非循环两种形式。

一个经典的例子是圆周率π，它的小数表示是无限不循环的。

π约等于3.14，在十进制下的表示是一个无限的小数：3.1415926535...，它没有重复的循环部分。

另一个例子是根号2（√2），它也是一个无限不循环的小数。

另一种无限循环小数的例子是1/3，它可以表示为0.33333...。

这种无限循环小数的特点是小数部分有一个周期性的循环，即3不断重复。

除了有限小数和无限小数，实数中还有一种特殊形式的无理数，被称为无限不循环小数。

无限不循环小数的小数部分没有任何规律可言，无法用有限位数的小数表示。