复变函数综合练习

综合练习一1、设||1,|| 1.a z <<证明：（i ）||1;1z aaz-<-（ii ）2222(1||)(1||)1||;1|1|z a a z azaz ----=--（iii ）||||||||||||11||||1||||1z a z a z a a z a z az--+≤≤<-+-2、 设1212,,,,,,n n z z z ωωω 是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 恒等式： 22221111||(||)(||)||nnnj j j j j k k j j j j j k nz z z z ωωωω===≤<≤=--∑∑∑∑,并由此推出Cauchy 不等式：222111||(||)(||).nnnj j j j j j j z z ωω===≤∑∑∑不等式中等号成立的条件是什么？3、设12,,,n z z z 是任意n 个复数，证明必有{1,2,,}n 的子集E 使得11||||.6nj jj Ej z z ∈=≥∑∑4、设无穷三角阵112122313233a a a a a a满足（i ）对任意固定的k ，lim nk kn a a →∞=存在；（ii ）1lim nnkn k a →∞=∑存在；（iii ）1||,.nnk k a M n =≤<∞∀∈∑证明：若复数列{}n z 收敛，则1lim nnk kn k a z →∞=∑存在。

5、证明：若E ⊂ 即是开集又是闭集，则E =∅或.E =6、设E 是非空点集，0ε>。

若对于E 中的任意两个点,a b ，存在E 中的有限个点01,,,,n a z z z b == 使得1||k k z z ε--<成立(1)k n ≤≤，则称E 为ε-连通的。

证明：紧集连通的充要条件是，对任意0ε>它都是ε-连通的。

举例说明将紧集改为闭集后结论不再成立。

7、设D 是 中的域，()f H D ∈，f 在D 中不取零值。

证明：对任意0,p >有2222222|()||()||()|.p p f z p f z f z x y -⎛⎫∂∂'+= ⎪∂∂⎝⎭8、设D 是 中的域，1()f u iv C D =+∈。

证明：22||||.u u x y f f vv z zxy∂∂∂∂∂∂=-∂∂∂∂∂∂特别地，当()f H D ∈时，有2||.u u x y f v v x y∂∂∂∂'=∂∂∂∂9、设f 在(0,1){1}B 上全纯，并且((0,1))(0,1),(1)1,f B B f ⊂=证明(1)0.f '≥10、设((0,1)),f H B ∈如果存在0(0,1)\{0}z B ∈，使得0000||||()0,()0,|()|max |()|,z z f z f z f z f z ≤'≠≠=且那么000()0.()z f z f z '>11、证明(0,1)B 是2()1z f z z=-的单叶性域，并求出((0,1))f B 。

12、求一单叶全纯映射，把11(,)22B -和11(,)22B 的外部除去线段[2,0]i -所成的域映为上半平面。

13、设0,(0,)r R f B r <<在中全纯。

证明：（i ）201(0)();2i f f re d πθθπ=⎰（ii ）2||1(0)().z rf f z dxdy rπ<=⎰14、设u 是(0,)B R 中的调和函数，0.r R <<证明：201(0)().2i u u r e dπθθπ=⎰15、（Schwarz积分公式）设((0,))((0,f H B R C B R f ∈=+ 证明： 201Re ()(Re )(0).2Re i i i z f z u d iv zθπθθθπ+=+-⎰16、设f是域D上的连续函数，如果对于任意边界和内部都位于D 中的弓形域G ，总有()0G f z dz ∂=⎰，那么f是D 上的全纯函数。

如果把弓形域换成圆盘，结论是否仍然成立？17、证明：幂级数00()nnn az z ∞=-∑在域D 上一致收敛，当且仅当它在D 上一致收敛。

18、设幂级数()nnn f z az∞==∑的收敛半径为1，0(0,1).z B ∈∂证明：若lim 0,n n na →∞=并且01lim ()r f rz →存在，则nnn az ∞=∑收敛于01lim ()r f rz →。

19、设()nn n f z a z∞==∑的收敛半径||0,0,()max Re ().z rR r R A r f z =><<=证明：（i ）201[R e ()],,ni in n a r f re ed n πθθθπ-=∀∈⎰（ii ）||2()2R e (0),.n n a r A r f n ≤-∀∈20、设1()1nn n f z a z∞==+∑在(0,1)B 上全纯，并且Re ()0,(0,1).f z z B ≥∀∈证明：（i ）||2,;n a n ≤∀∈（ii ）1||1||Re ()|()|,(0,1);1||1||z z f z f z z B z z -+≤≤≤∀∈+-（iii ）23121213||2,|2| 2.a a a a a a -≤--≤21、设((0,1)),f H B ∈并且0((0,1)).f B '∉∂证明：当n 充分大时，1()[()()]n F z n f z f z n=+-与()f z '在(0,1)B 中的零点个数相等。

综合练习二1、分别利用Liouville 定理、辐角原理、Rouche 定理、最大模原理证明代数学基本定理。

2、设((0,))f H B R ∈，((0,)),((0,))(0,),(0)0.f H B R f B R B M f ∈⊂=证明:（i ）|()|||,|(0)|,(0,)\{0};R R f z z f z B R MM'≤≤∀∈（ii ）等号成立当且仅当()().i R f z e z Mθθ=∈3、设((0,1))f H B ∈，(0)0f =，并且存在0A >使得R e (),(0,1)f z A z B ≤∀∈证明：2|||()|,(,1).1||A z f z zB z≤∀∈- 4、（Caretheodory 不等式）设||||((0,))((0,)),()m ax |()|,()m axR ez rz rf H B R C B R M r f z A r f ==∈== 证明：2()()|(0)|,[0,).rR rM r A R f r R R r R r+≤+∀∈--5、设((0,1))f H B ∈，(0)1,f =并且Re ()0,(0,1).f z z B ≥∀∈利用Schwarz 引理证明：（i ）1||1||Re ()|()|,(0,1);1||1||z z f z f z z B z z -+≤≤≤∀∈+-（ii ）等号在0z ≠时成立当且仅当1()().1i i e z f z e zθθθ+=∈-6、设((0,1)).f H B ∈证明：存在0(0,1)z B ∈∂和收敛于0z 的点列{}n z ，使得lim ()n n f z →∞存在。

7、求出所有满足|()|1,(0,1)f z z B =∀∈∂的整函数。

8、设((0,1)),f H B ∈((0,1))(0,1)f B B ⊂。

证明：若12,,,n z z z 是f 在(0,1)B 中的所有彼此不同的零点，其阶数分别为12,,,n k k k ，则1|()|||,(0,1).1j nkj j j z z f z z B z z=-≤∀∈-∏特别地，有1|(0)|||.jnk jj f z =≤∏9、设((0,1)),f H B ∈((0,1))(0,1)f B B ⊂。

证明：|(0)||||(0)||||()|.1|(0)|||1|(0)|||f z f z f z f z f z -+≤≤-+10、设((0,1)),f H B ∈((0,1))(0,1),(0)0f B B f ⊂=，证明：|(0)||||(0)||||||()|||.1|(0)|||1|(0)|||f z f z z f z z f z f z ''-+≤≤''-+ 11、设D 是以圆点O 为中心、以1234,,,z z z z 为顶点的正方形域，()()f H D C D ∈ ，12[,]max |()|,max |()|z z z z DM f z m f z ∈∈==线段。

证明：（i ）1344|(0)|;f m M ≤（ii ）在闭三角型12O z z ∆上也有1344|()|.f z m M ≤12、将下列初等函数在指定的域D 上展开为Laurent 级数：（i ）21,(1,1)\{1};(1)D B z z =-（ii ）1(),(0,2)\(0,1);2z L og D B B z -=-（iii ）1,,(,5);(5)nn D B z ∈=∞-（iv (0,2)\(0,1);D B B =（v ）11,(,1).zeD B -=∞13、设0,(0,)\(0,).r R D B R B r <<<∞=证明：若()nn n f z a z∞=-∞=∑双全纯地将D 映为域G ，则G 的面积为222||().nnn n n a Rrπ∞=-∞-∑14、（面积原理）证明：若11()nnn f z azz∞==+∑是(0,1)\{0}B 上的双全纯映射，则2||2,a ≤并且2||2a =当且仅当2(),.(1)i z f z e θθ=∈-15、下列初等全纯函数有哪些奇点？指出其类别：（i ）11;1zzee --（ii ）1sin().cos z16、是否存在(0,1)\{0}B 上的无界全纯函数f 使得lim ()0?z zf z →=17、证明：若f 是域D 上的亚纯函数，但不全纯，则存在0R >使得(,)().B R f D ∞⊂18、设()nP z 是n 次多项式，n ∈ 。

证明：()zn e P z -有无数个零点。

19、证明：留数定理与 Cauchy 积分公式等价。

20、求下列初等函数在指定点的留数：（i ）3sin R e ,0(0);sin z s z z ααββ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭（ii ）1R e ,(,,).()()n ms a a b m n z a z b ⎛⎫≠∈ ⎪--⎝⎭21、利用留数定理和Cauchy 积分定理计算下列积分： （i ）220sin (,0);x ax dx a b x b∞>+⎰（ii ）2(11);1p xdx p x∞-<<+⎰（iii ）2log ;22x dx x x ∞++⎰ （iv ）22cos (0).axebx dx a ∞->⎰22、（推广的Liouville 定理）设D 是异于 的单连通域。