湖南省武冈市届中考数学专题一归纳猜想型问题培优试题精选资料0317330
2024届湖南省武冈市实验中学中考数学考前最后一卷含解析
2024届湖南省武冈市实验中学中考数学考前最后一卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，给出下列结论：①k 0<；②0a >；③当3x <时，12y y <.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知直线m ∥n ，将一块含30°角的直角三角板ABC ，按如图所示方式放置，其中A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．55°3．某自行车厂准备生产共享单车4000辆，在生产完1600辆后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%，结果共用了18天完成任务，若设原来每天生产自行车x 辆，则根据题意可列方程为( )A ．1600x +4000(120%)x +＝18B ．1600x 40001600(120%)x -++＝18C ．1600x +4000160020%x -＝18D ．4000x40001600(120%)x -++＝18 4．函数22a y x--=（a 为常数）的图像上有三点17()2y -，，21()2y -，，33()2y ，，则函数值123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 15．一个容量为50的样本,在整理频率分布时,将所有频率相加,其和是( )A ．50B ．0.02C ．0.1D ．16．下列各式属于最简二次根式的有（ ）A ．8B ．21x +C ．3yD ．127．计算(－ab 2)3÷(－ab)2的结果是( ) A ．ab 4 B ．－ab 4 C ．ab 3 D ．－ab 38．有m 辆客车及n 个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10=43m ﹣1；②1014043n n ；③1014043n n ；④40m+10=43m+1，其中正确的是（ ） A ．①② B ．②④C ．②③D ．③④ 9．已知抛物线2(2)2(0)y ax a x a =+-->的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C .给出下列结论：①当0a >的条件下，无论a 取何值，点A 是一个定点；②当0a >的条件下，无论a 取何值，抛物线的对称轴一定位于y 轴的左侧；③y 的最小值不大于2-；④若AB AC =，则152a +=.其中正确的结论有（ ）个. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）A ．2CD AC =B ．3CD AC = C ．4CD AC = D ．不能确定11．如图，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到E ，使CE=13CD ，过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F ，若AB=6，则BF 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．1012．如图，直线m ∥n ，直角三角板ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α的余角等于（ ）A ．19°B ．38°C ．42°D ．52°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin 2A ＝_____． 14．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有实数根，则m 的取值范围是 ．15．2018年1月4日在萍乡市第十五届人民代表大会第三次会议报告指出，去年我市城镇居民人均可支配收入33080元，33080用科学记数法可表示为__．16．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．17．使21x -有意义的x 的取值范围是__________．18．已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组ax 5{1by bx ay +=+=的解，则a ﹣b 的值是___________ 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是BD 的中点，过点 C 作AD 的垂线 EF 交直线 AD 于点 E ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）连接BC ，若AB=5，BC=3，求线段AE 的长．20．（6分）随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大，相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送旅客量的变化情况，针对2014年至2018年春运期间的铁路发送旅客量情况进行了调查，过程如下．（Ⅰ）收集、整理数据请将表格补充完整：（Ⅱ）描述数据为了更直观地显示动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用什么图（回答“折线图”或“扇形图”）进行描述；（Ⅲ）分析数据、做出推测预估2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为多少，说明你的预估理由．21．（6分）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C 重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC=1．（1）若M为AC的中点，求CF的长；（2）随着点M在边AC上取不同的位置，①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；②求△PFM的周长的取值范围．22．（8分）如图1，一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标有数字，，，，，，如图2，正方形的顶点处各有一个圈，跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子朝上的那面上的数字是几，就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长。
中考专题2022年湖南省武冈市中考数学三年高频真题汇总 卷(Ⅲ)(含答案解析)
2022年湖南省武冈市中考数学三年高频真题汇总 卷（Ⅲ） 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、若a b ，则下列分式化简正确的是（ ） A ．22a a b b +=+ B ．22a a b b -=- C ．22a a b b = D ．22a a b b = 2、一组样本数据为1、2、3、3、6，下列说法错误的是（ ）A ．平均数是3B ．中位数是3C ．方差是3D ．众数是3 3、0.1234567891011……是一个无理数，其小数部分是由1开始依次写下递增的正整数得到的，则该无理数小数点右边的第2022位数字是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、下列利用等式的性质，错误的是（ ） A ．由a b =，得到11a b +=+ B ．由ac bc =，得到a b = C ．由a b =，得到ac bc = D ．由22a b =，得到a b = 5、将1-，2，2-，3按如图的方式排列，规定(),m n 表示第m 排左起第n 个数，则()5,4与()21,7表示的两个数之积是（ ）·线○封○密○外A ．2-B ．4C ．4-D ．66、如图，150AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，PD OB ⊥于点D ，PC OB ∥交OA 于点C ，若3PD =，则OC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67、若关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x ＋2＝0有两个实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤2B ．a ≤2且a ≠0C ．a ＜2D ．a ＜2且a ≠08、()()()()()24816231313131311⨯++++++的计算结果是（ ）A ．3231+B ．3231-C ．313D ．3239、已知线段AB ＝7，点C 为直线AB 上一点，且AC ∶BC ＝4∶3，点D 为线段AC 的中点，则线段BD 的长为（ ）A ．5或18.5B ．5.5或7C ．5或7D ．5.5或18.510、为迎接建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）A ．平均数，方差B ．中位数，方差C ．中位数，众数D ．平均数，众数第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、在平面直角坐标系中，点A 坐标为()4,3，点B 在x 轴上，若AOB 是直角三角形，则OB 的长为______． 2、一组数据8，2，6，10，5的极差是_________． 3、如图，在坐标系中，以坐标原点 O ， A （－8，0）， B （0，6）为顶点的Rt △AOB ，其两个锐角对应的外角平分线相交于点M ，且点M 恰好在反比例函数k y x =的图象上，则 k 的值为是______． 4、一组数据3，－4，1，x 的极差为8，则x 的值是______．5、某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、在整式的加减练习中，已知2232A a b ab abc =-+，小王同学错将“2A B -”看成“2A B +”算得错误结果为22434a b ab abc -+，请你解决以下问题： （1）求出整式B ； （2）求出正确计算结果． 2、先化简，再求值： （1）2264153m m m m --+-+，其中1m =-； ·线○封○密·○外（2）()2222353a ab a ab ⎛⎫---- ⎪⎝⎭，其中2a =-，3b =． 3、（1）解方程：x ²-2x -8=0；（2）计算：5sin60°-cos 245°．4、先化简再求值：()()2223163ab a a ab ----其中1a =，2b =-5、如图，在离铁塔20m 的A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为53°，测倾仪高AD 为1.52m ．求铁塔高BC （参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由a b ，令3a =，4b =再逐一通过计算判断各选项，从而可得答案.【详解】解：当3a =，4b =时，34a b =，2526a b +=+，故A 不符合题意； 2122a b -=-，故B 不符合题意；而2,2a a b b = 故C 符合题意； 22916a b =．故D 不符合题意 故选：C ． 【点睛】本题考查的是利用特值法判断分式的变形，同时考查分式的基本性质，掌握“利用特值法解决选择题或填空题”是解本题的关键. 2、C 【分析】 根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐一求解可得． 【详解】 A 、平均数为1233+6=35+++，故此选项不符合题意； B 、样本数据为1、2、3、3、6，则中位数为3，故此选项不符合题意； C 、方差为222221[(13)(23)(33)(33)(63)] 2.85⨯-+-+-+-+-=，故此选项符合题意； D 、众数为3，故此选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 3、A 【分析】 一位数字9个，两位数字90个，三位数字900个，由此算出2022处于三位数字的第几个数字求得答·线○封○密○外案即可．【详解】∵共有9个1位数，90个2位数，900个3位数，∴2022-9-90×2=1833，∴1833÷3=611，∵此611是继99后的第611个数，∴此数是710，第三位是0，故从左往右数第2022位上的数字为0，故选：A ．【点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，根据已知得出变化规律是解题关键．4、B【分析】根据等式的性质逐项分析即可．【详解】A.由a b =，两边都加1，得到11a b +=+，正确；B.由ac bc =，当c ≠0时，两边除以c ，得到a b =，故不正确；C.由a b =，两边乘以c ,得到ac bc =，正确；D.由22ab =，两边乘以2,得到a b =，正确； 故选B ．【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 5、A【分析】根据数的排列方法可知，第一排1个数，第二排2个数，第三排3个数，第四排4个数，…第（m -1）排有（m -1）个数，从第一排到（m -1）排共有：1+2+3+4+…+（m -1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个循环，根据题目意思找出第m 排第m 个数后再计算 【详解】 解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数，由图可知，（5，4）所表示的数是2；()21,7是第21排第7个数，则前20排有120202102+⨯=个数，则()21,7是第217个数，1-，2，2-，3四个数循环出现， 2174541÷=⋅⋅⋅∴()21,7表示的数是1- ∴()5,4与()21,7表示的两个数之积是()212⨯-=- 故选A 【点睛】 本题考查了数字的变化规律，判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 6、D 【分析】 过P 作PE OA ⊥于E ，由题意可知30PCO ∠=︒，由角角边可证得PEO PDO ≅△△，故3PE PD ==，由直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半可知26CP PE ==，再由等角对等边即可知6OC PC ==． ·线○封○密○外【详解】解：过P 作PE OA ⊥于E ，150AOB ，//PC OB 交OA 于点C ，OP 平分AOB ∠ 1752AOP BOP AOB ，CPO BOP18030PCO CPO COP ∴∠=︒-∠-∠=︒，PD OB ⊥，OP =OP()PEO PDO AAS ∴≅△△3PE PD ∴==，26CP PE ∴==，又75CPO COP ∠=∠=︒，6OC PC ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定及性质以及在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．两直线平行，内错角相等．7、B【分析】根据方程有两个实数根，可得根的判别式的值不小于0，由此可得关于a 的不等式，解不等式再结合一元二次方程的定义即可得答案【详解】解：根据题意得a ≠0且Δ＝（−4）2−4•a •2≥0，解得a ≤2且a ≠0．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2−4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 8、D【分析】原式化为()()()()()()248163131313131311-⨯++++++，根据平方差公式进行求解即可．【详解】解：()()()()()24816231313131311⨯++++++ ()()()()()()248163131313131311=-⨯++++++ ()()()()()22481631313131311=-+++++32311=-+ 323= ·线○封○密·○外故选D．【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键与难点在于应用平方差公式．9、C【分析】根据题意画出图形，再分点C在线段AB上或线段AB的延长线上两种情况进行讨论．【详解】解：点C在线段AB上时，如图：∵AB＝7，AC∶BC＝4∶3，∴AC＝4，BC＝3，∵点D为线段AC的中点，∴AD＝DC＝2，∴BD＝DC+BC＝5；点C在线段AB的延长线上时，∵AB＝7，AC∶BC＝4∶3，设BC＝3x，则AC＝4x，∴AC-BC=AB，即4x-3x=7，解得x =7，∴BC ＝21，则AC ＝28，∵点D 为线段AC 的中点，∴AD ＝DC ＝14，∴BD ＝AD -AB ＝7；综上，线段BD 的长为5或7．故选：C ．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，利用线段的比例得出AC 、BC 的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 10、C 【分析】 通过计算成绩为91、92分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第25、26位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择． 【详解】 解：由表格数据可知，成绩为91分、92分的人数为50-（12+10+8+6+5+3+2+1）=3（人）， 成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100， 成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98， 因此中位数和众数与被遮盖的数据无关， 故选：C ． 【点睛】 考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提． ·线○封○密○外二、填空题1、4或254【分析】点B 在x 轴上，所以90AOB ∠≠︒ ，分别讨论，90∠=︒ABO 和90OAB ∠=︒两种情况，设(),0B x ，根据勾股定理求出x 的值，即可得到OB 的长．【详解】解：∵B 在x 轴上，∴设(),0B x ，∵()4,3A ，∴5OA ，①当90∠=︒ABO 时，B 点横坐标与A 点横坐标相同，∴4x = ，∴()14,0B ，∴4OB = ，②当90OAB ∠=︒时，222OA AB OB += ，∵点A 坐标为()4,3，(),0B x ，∴()222243825AB x x x =-+=-+ ， ∴2225825x x x +-+= ， 解得：254x = ， ∴225,04B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴254OB = ， 故答案为：4或254． 【点睛】 本题考查平面直角坐标系中两点间距离以及勾股定理，分情况讨论是解题关键． 2、8 【分析】 根据“极差”的定义，求出最大值与最小值的差即可． 【详解】 解：最大值与最小值的差为极差， 所以极差为10-2=8， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了极差，掌握一组数据中最大值与最小值的差即为极差是正确判断的前提． 3、144- 【分析】 过M 分别作AB ，x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D 、E ，根据勾股定理可得·线○封○密○外10AB ，再根据角平分线的性质可得DM =CM =EM ，然后设(),M t t - ，则CM t = ，利用=MBE MBA MAD OAB MEOD S S S S S ∆∆∆∆+++矩形，可得12t = ，即可求解．【详解】解：如图，过M 分别作AB ，x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D 、E ，∵A （－8，0）， B （0，6），∴OA =8，OB =6，∴10AB == ，∵Rt △AOB 的两个锐角对应的外角平分线相交于点M ，∴DM =CM ，CM =EM ，∴DM =CM =EM ，∴可设(),M t t - ，则CM t = ，∵=MBE MBA MAD OAB MEOD S S S S S ∆∆∆∆+++矩形， ∴1111(6)10(8)682222t t t t t t t ⨯-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯=⨯ ， 解得：12t = ，∴点()12,12M - ，把()12,12M -代入k y x =，得：144k =- ． 故答案为：144-【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握反比例函数的图象和性质，角平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键． 4、4或-5 【分析】根据极差的定义分两种情况讨论，当x 最大时和x 最小时，分别列出算式进行计算即可．【详解】解：∵数据3，-4，1，x 的极差是8， ∴当x 最大时：x -（-4）=8， 解得：x =4； 当x 最小时，3-x =8， x =-5， 故答案为：4或-5． 【点睛】此题主要考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，分两种情况讨论是解决本题的关键．5、1010122x x -= 【分析】根据等量关系：骑自行车的学生所用的时间－乘汽车的学生所用的时间=12小时，即可列出方程． 【详解】·线○封○密○外由题意，骑自行车的学生所用的时间为10x 小时，乘汽车的学生所用的时间为102x小时，由等量关系：骑自行车的学生所用的时间－乘汽车的学生所用的时间=12小时，得方程：1010122x x -= 故答案为：1010122x x -= 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，关键是找到等量关系并根据等量关系正确地列出方程．三、解答题1、（1）2222a b ab abc -++（2）2285a b ab -【分析】（1）根据结果减去2A ，进而根据整式的加减运算化简即可求得整式B ；（2）按要求计算2A B -，根据去括号，合并同类项进行计算化简即可．（1）解：∵2232A a b ab abc =-+，2A B +=22434a b ab abc -+∴224342a b ab abc A B -+-=()2222434232a b ab abc a b ab abc =-+--+2222434642a b ab abc a b ab abc =-+-+-2222a b ab abc =-++（2）解：∵2232A a b ab abc =-+，B 2222a b ab abc =-++∴2A B -=()22232a b ab abc -+()2222a b ab abc --++ 222264222a b ab abc a b ab abc =-++-- 2285a b ab =- 【点睛】 本题考查了整式的加减运算，正确的去括号是解题的关键． 2、 （1）252m m ++；6 （2）5ab -；11- 【分析】 （1）先根据合并同类项化简，进而代数式求值即可； （2）先去括号，再合并同类项，进而将,a b 的值代入求解即可． （1） 2264153m m m m --+-+ ()()2615431m m =-+-+- 252m m =++ 当1m =-时，原式()251125126=⨯--+=-+= （2） ()2222353a ab a ab ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 2222235a ab a ab =--+- 5ab =- 当2a =-，3b =时，原式23511=-⨯-=-·线○封○密·○外【点睛】本题考查了整式的加减中的化简求值，正确的计算是解题的关键．3、（1）124,2x x ==-；（2【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）代入特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：（1）x ²-2x -8=0(4)(2)0x x -+=∴124,2x x ==-；（2）原式=25-⎝⎭【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握解一元二次方程的方法及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 4、21252a ab -+-，24-【分析】先根据去括号和合并同类项法则化简，再把1a =，2b =-代入计算即可．【详解】解：()222(31)63ab a a ab ----，＝222262631252ab a a ab a ab ---+=-+-当1,2a b ==-时，原式＝12151221210224-⨯+⨯⨯--=---=-（）．【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号和合并同类项法则及有理数的混合运算．5、41.8米【分析】如图，过A 作AK BC ⊥于,K 可得20, 1.52,AK CD AD CK 再利用tan tan 53,BK BAK AK 求解,BK 从而可得答案. 【详解】 解：如图，过A 作AK BC ⊥于,K 结合题意可得：四边形AKCD 是矩形， 20, 1.52,AK CD AD CK而tan tan 53,BK BAK AK 1.33,20BK 26.6,BK 26.6 1.5241.8BC BK CK 所以铁塔高BC 为：41.8米 【点睛】·线○封○密○外本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，熟练的构建直角三角形，再利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键.。
【历年真题】：2022年湖南省武冈市中考数学模拟测评 卷(Ⅰ)(含答案详解)
2022年湖南省武冈市中考数学模拟测评 卷（Ⅰ） 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、0.1234567891011……是一个无理数，其小数部分是由1开始依次写下递增的正整数得到的，则该无理数小数点右边的第2022位数字是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2、下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．x 2－1＝2x B ．x 3＋2x 2＝0 C ．210x x += D ．x 2－y ＋1＝0 3、下列说法正确的有（ ） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②相等的角叫对顶角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④若AC ＝BC ，则点C 是线段AB 的中点；⑤在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、如图，150AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，PD OB ⊥于点D ，PC OB ∥交OA 于点C ，若3PD =，则·线○封○密○外OC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65、下列各组图形中一定是相似形的是（ ）A ．两个等腰梯形B ．两个矩形C ．两个直角三角形D ．两个等边三角形6、《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是x 元，则可列方程为（ ）A ．8374x x +=-B ．8374x x -=+C ．3487x x -+=D ．3487x x +-= 7、如图，在矩形ABCD 中，点E 在CD 边上，连接AE ，将ADE 沿AE 翻折，使点D 落在BC 边的点F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，线段OF 的长为半径作⊙O ，⊙O 与AB ，AE 分别相切于点G ，H ，连接FG ，GH ．则下列结论错误的是（ ）A ．2BAE DAE ∠=∠B ．四边形EFGH 是菱形C ．3AD CE = D ．GH AO ⊥8、已知线段AB 、CD ，AB ＜CD ，如果将AB 移动到CD 的位置，使点A 与点C 重合，AB 与CD 叠合，这时点B 的位置必定是（ ）A ．点B 在线段CD 上（C 、D 之间）B ．点B 与点D 重合C ．点B 在线段CD 的延长线上D ．点B 在线段DC 的延长线上9、已知23m x y 和312n x y 是同类项，那么m n +的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10、某公园改造一片长方形草地，长增加30%，宽减少20%，则这块长方形草地的面积（ ） A ．增加10% B ．增加4% C ．减少4% D ．大小不变 第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、在平面直角坐标系中，点A 坐标为()4,3，点B 在x 轴上，若AOB 是直角三角形，则OB 的长为______． 2、近似数46.0510⨯精确到____________位． 3、如图，B 、C 、D 在同一直线上，90B D ∠=∠=︒，2AB CD ==，6BC DE ==，则ACE 的面积为_______． 4、如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过O 点作EF BC ∥交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列四个结论：①EF BE CF =+；②1902BOC A ∠=︒-∠；③点O 到ABC ∆各边的距离相等；④设OD m =，AE AF n +=，则Δ12AEF S mn =．其中正确的结论有________·线○封○密·○外（填写序号）．5、已知点P （3m ﹣6，m +1），A （﹣1，2），直线PA 与x 轴平行，则点P 的坐标为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、一款电脑原售价4500元，元旦商店搞促销，打八折出售，此时每售出一台电脑仍可获利20%，求：（1）这款电脑的成本价是多少?（2）若按原价出售，商店所获盈利率是多少?2、计算（1）()()25631-⨯-+-÷--；（2）()()()2020202121242114-÷-⨯--+--． 3、计算：2[(2)(2)(2)]2x y y x x y x ---+÷．4、芳芳家有一种伸缩挂衣架（如图1），伸缩挂衣架中有3个菱形组成，每个菱形边长为10cm ．伸缩挂衣架打开时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；伸缩挂衣架收拢时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：伸缩挂衣架从打开到收拢共缩短了多少cm?（结果精确到1cm ，参考数据：sin50.0872︒≈，cos50.9962︒≈，sin100.1736︒≈，cos100.9848︒≈）．5、在平面直角坐标系中，对于()11,A x y 、()22,B x y 两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”(),d A B ；若1212x x y y -≥-，则()12,d A B x x =-；若1212x x y y -<-，则()12,d A B y y =-．例如：如图，点()2,3P ，则(),3d P O =． （理解定义） （1）若点()3,2A 、()1,1B --，则(),d A B =______．（2）在点()2,2C 、()1,2D -、()3,2E --、()1,2F -中，到坐标原点O 的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号） （深入探索） （3）已知点13,22M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),2d M O =，O 为坐标原点，求a 的值． （拓展延伸） （4）经过点()1,3的一次函数y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的图像上是否存在点P ，使·线○封○密·○外()d P O=，O为坐标原点，直接写出点P的个数及对应的k的取值范围．,2-参考答案-一、单选题1、A【分析】一位数字9个，两位数字90个，三位数字900个，由此算出2022处于三位数字的第几个数字求得答案即可．【详解】∵共有9个1位数，90个2位数，900个3位数，∴2022-9-90×2=1833，∴1833÷3=611，∵此611是继99后的第611个数，∴此数是710，第三位是0，故从左往右数第2022位上的数字为0，故选：A．【点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，根据已知得出变化规律是解题关键．2、A【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．【详解】解：A 、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； B 、未知数最高次数是3，不是关于x 的一元二次方程，不符合题意；C 、为分式方程，不符合题意；D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为0． 3、B 【分析】 根据线段的性质，对顶角相等的性质，平行公理，对各小题分析判断即可得解． 【详解】 解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确； ②相等的角不一定是对顶角，但对顶角相等，故本小题错误； ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故本小题错误； ④若AC =BC ，且A 、B 、C 三点共线，则点C 是线段AB 的中点，否则不是，故本小题错误， ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； 所以，正确的结论有①⑤共2个． 故选：B ． 【点睛】 本题考查了平行公理，线段的性质，对顶角的判断，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键． 4、D ·线○封○密○外【分析】过P 作PE OA ⊥于E ，由题意可知30PCO ∠=︒，由角角边可证得PEO PDO ≅△△，故3PE PD ==，由直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半可知26CP PE ==，再由等角对等边即可知6OC PC ==．【详解】解：过P 作PE OA ⊥于E ，150AOB ，//PC OB 交OA 于点C ，OP 平分AOB ∠ 1752AOP BOP AOB ，CPO BOP18030PCO CPO COP ∴∠=︒-∠-∠=︒，PD OB ⊥，OP =OP()PEO PDO AAS ∴≅△△3PE PD ∴==，26CP PE ∴==，又75CPO COP ∠=∠=︒，6OC PC ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定及性质以及在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．两直线平行，内错角相等．5、D【分析】根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的性质与特点逐项排查即可． 【详解】 解：A 、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；B 、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；C 、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；D 、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确． 故选D ． 【点睛】 本题主要考查了相似图形的定义，理解相似形的形状相同、大小不同的特点成为解答本题的关键． 6、D 【分析】 设这个物品的价格是x 元，根据人数不变列方程即可． 【详解】 解：设这个物品的价格是x 元，由题意得 3487x x +-=， 故选D ． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．7、C【分析】·线○封○密○外由折叠可得∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=90°，EF=ED，再根据切线长定理得到AG=AH，∠GAF=∠HAF，进而求出∠GAF=∠HAF=∠DAE=30°，据此对A作出判断；接下来延长EF与AB交于点N，得到EF是⊙O的切线，∆ANE是等边三角形，证明四边形EFGH是平行四边形，再结合HE=EF可对B作出判断；在Rt∆EFC中，∠C=90°，∠FEC=60°，则EF=2CE，再结合AD对C作出判断；由AG=AH，∠GAF=∠HAF，得出GH⊥AO，不难判断D．【详解】解：由折叠可得∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=90°，EF=ED.∵AB和AE都是⊙O的切线，点G、H分别是切点，∴AG=AH，∠GAF=∠HAF，∴∠GAF=∠HAF=∠DAE=30°，∴∠BAE=2∠DAE，故A正确，不符合题意；延长EF与AB交于点N，如图：∵OF⊥EF，OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线，∴HE=EF，NF=NG，∴△ANE是等边三角形，∴FG//HE，FG=HE，∠AEF=60°，∴四边形EFGH 是平行四边形，∠FEC =60°，又∵HE =EF ，∴四边形EFGH 是菱形，故B 正确，不符合题意；∵AG =AH ，∠GAF =∠HAF ，∴GH ⊥AO ，故D 正确，不符合题意；在Rt △EFC 中，∠C =90°，∠FEC =60°，∴∠EFC =30°，∴EF =2CE ，∴DE =2CE . ∵在Rt △ADE 中，∠AED =60°， ∴AD， ∴AD，故C 错误，符合题意. 故选C . 【点睛】 本题是一道几何综合题，考查了切线长定理及推论，切线的判定，菱形的定义，含30 的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，翻折变换等，正确理解翻折变换及添加辅助线是解决本题的关键． 8、A 【分析】 根据叠合法比较大小的方法始点重合，看终点可得点B 在线段CD 上，可判断A ，点B 与点D 重合，可得线段AB =CD ，可判断B ，利用AB ＞CD ，点B 在线段CD 的延长线上，可判断C, 点B 在线段DC 的延长线上，没有将AB 移动到CD 的位置，无法比较大小可判断D ． 【详解】 ·线○封○密○外解：将AB移动到CD的位置，使点A与点C重合，AB与CD叠合，如图，点B在线段CD上（C、D之间），故选项A正确，点B与点D重合，则有AB=CD与AB＜CD不符合，故选项B不正确；点B在线段CD的延长线上，则有AB＞CD，与AB＜CD不符合，故选项C不正确；点B在线段DC的延长线上，没有将AB移动到CD的位置，故选项D不正确．故选：A．【点睛】本题考查线段的比较大小的方法，掌握叠合法比较线段大小的方法与步骤是解题关键．9、C【分析】把字母相同且相同字母的指数也分别相同的几个项叫做同类项，根据同类项的定义即可解决．【详解】由题意知：n=2，m=3，则m+n=3+2=5故选：C【点睛】本题主要考查了同类项的概念，掌握同类项的概念是解答本题的关键．10、B【分析】设长方形草地的长为x，宽为y，则可求得增加后长及减少后的宽，从而可求得现在的面积，与原面积比较即可得到答案．【详解】设长方形草地的长为x ，宽为y ，则其面积为xy ；增加后长为(1+30%)x ，减少后的宽为(1-20%)y ，此时的面积为(1+30%)x ×(1-20%)y =1.04xy ，1.04xy −xy =0.04xy ，0.04xy ÷xy ×100%=4%．即这块长方形草地的面积比原来增加了4%． 故选：B 【点睛】 本题考查了列代数式，根据题意设长方形草地的长与宽，进而求得原来的面积及长宽变化后的面积是关键． 二、填空题 1、4或254 【分析】 点B 在x 轴上，所以90AOB ∠≠︒ ，分别讨论，90∠=︒ABO 和90OAB ∠=︒两种情况，设(),0B x ，根据勾股定理求出x 的值，即可得到OB 的长． 【详解】 解：∵B 在x 轴上， ∴设(),0B x ， ∵()4,3A ，∴5OA ， ·线○封○密○外①当90∠=︒ABO 时，B 点横坐标与A 点横坐标相同，∴4x = ，∴()14,0B ，∴4OB = ，②当90OAB ∠=︒时，222OA AB OB += ，∵点A 坐标为()4,3，(),0B x ，∴()222243825AB x x x =-+=-+ ，∴2225825x x x +-+= ， 解得：254x = ， ∴225,04B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴254OB = ， 故答案为：4或254． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点间距离以及勾股定理，分情况讨论是解题关键．2、百【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．【详解】解：∵104是1万，6位万位，0为千位，5为百位，∴近似数6.05×104精确到百位；故答案为百．【点睛】此题考查近似数与有效数字，解题关键在于掌握从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．最后一位所在的位置就是精确度． 3、20【分析】根据题意由“SAS ”可证△ABC ≌△CDE ，得AC =CE ，∠ACB =∠CED ，再证∠ACE =90°，然后由勾股定理可求AC 的长，进而利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：在△ABC 和△CDE 中，AB CD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△CDE （SAS ）， ∴AC =CE ，∠ACB =∠CED ， ∵∠CED +∠ECD =90°， ∴∠ACB +∠ECD =90°， ∴∠ACE =90°，∵∠B =90°，AB =2，BC =6，∴AC ∴CE=∴S △ACE =12AC ×CE =12×， ·线○封○密·○外故答案为：20．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，证明△ABC ≌△CDE 是解题的关键．4、①③④【分析】由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．【详解】解：在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒， 1902OBC OCB A ∴∠+∠=︒-∠， 1180()902BOC OBC OCB A ∴∠=︒-∠+∠=︒+∠；故②错误； 在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，OBC OBE ∴∠=∠，OCB OCF ∠=∠，//EF BC ，OBC EOB ∴∠=∠，OCB FOC ∠=∠，EOB OBE ∴∠=∠，FOC OCF ∠=∠，BE OE ∴=，CF OF =，EF OE OF BE CF ∴=+=+，故①正确；过点O 作OM AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ， ON OD OM m ∴===， 1111()2222AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD OD AE AF mn ∆∆∆∴=+=+=+=；故④正确； 在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ， ∴点O 到ABC ∆各边的距离相等，故③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】 本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等． 5、（﹣3，2） 【分析】 由题意知m +1＝2，得m 的值；将m 代入求点P 的坐标即可． 【详解】 解：∵点P （3m ﹣6，m +1）在过点A （﹣1，2）且与x 轴平行的直线上 ∴m +1＝2 解得m ＝1 ∴3m ﹣6＝3×1﹣6＝﹣3 ∴点P 的坐标为（﹣3，2） 故答案为：（﹣3，2）． ·线○封○密○外【点睛】本题考查了直角坐标系中与x轴平行的直线上点坐标的关系．解题的关键在于明确与x轴平行的直线上点坐标的纵坐标相等．三、解答题1、（1）3000元（2）50%【分析】（1）设这款电脑的成本价是x元，根据售价×折扣=成本×（1+利润率）列方程求出x的值即可得答案；（2）根据利润率=（售价-进价）÷进价×100%列式计算即可得答案．（1）设这款电脑的成本价是x元，∵原售价4500元，打八折出售，此时每售出一台电脑仍可获利20%，∴4500×80%=x（1+20%），解得：x=3000．答：这款电脑的成本价是3000元．（2）（4500-3000）÷3000=50%．答：若按原价出售，商店所获盈利率是50%．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．2、（1）7（2）14 【分析】 （1）先算乘除和绝对值，再算加减法； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【小题1】 解：()()25631-⨯-+-÷-- =1021-- =7； 【小题2】 ()()()2020202121242114-÷-⨯--+-- =()()2020144114-÷-⨯--+ =1114-+ =14 【点睛】 本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． 3、x -2y 【分析】 根据完全平方公式、平方差公式及整式的各运算法则进行计算即可． 【详解】 ·线○封○密○外解：原式()22224442x xy y y x x ⎡⎤=-+--÷⎣⎦()22224442x xy y y x x =-+-+÷2(24)2x xy x =-÷2x y =-．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握各运算法则及公式是解题的关键．4、伸缩衣架从打开到收拢共缩短了25cm【分析】连接AC 、BD ，交于点O ，然后根据菱形的性质及三角函数可求得BD 的长，同理可求11B D 的长，进而问题可求解．【详解】解：连接AC 、BD ，交于点O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，BO =OD ，30BAO DAO ∠=∠=︒，∵10cm AB =，∴10sin30210cm BD =⨯︒⨯=，∴打开时：10sin302330cm ⨯︒⨯⨯=，连接11B D ，11A C ，交于点1O ，如图所示：同理可得1110sin 52 1.744cm B D =⨯︒⨯=， ∴收拢时：10sin523 5.2cm ⨯︒⨯⨯≈ ∴缩短了：30 5.224.825cm -=≈ 答：伸缩衣架从打开到收拢共缩短了25cm ． 【点睛】 本题主要考查菱形的性质及解直角三角形，熟练掌握菱形的性质及解直角三角形是解题的关键． 5、（1）4；（2）,,C D F ；（3）43a =或43a =-；（4）当13k =或1k =-时，满足条件的P 点有1个，当13k >时，满足条件的P 点有2个，当103k <<时，不存在满足条件的P 点，当1k <-时，满足条件的P 点有2个，当10k -<<时，不存在满足条件的P 点. 【分析】 （1）根据新定义分别计算1212,,x x y y 再比较即可得到答案； （2）根据新定义分别计算点()2,2C 、()1,2D -、()3,2E --、()1,2F -中，到坐标原点O 的“极大距离”，从而可得答案；（3）由13,22M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先求解121213,,22x x a y y a 结合13,22a a 再列绝对值方程即可； （4）先求解直线的解析式为：3,y kx k 再判断P 在正方形ABCD 的边上，且2,2,2,2,2,2,2,2,A B C D 再结合函数图象进行分类讨论即可.·线○封○密·○外【详解】解：（1） 点()3,2A 、()1,1B --， 31314,21213,而43,>∴ (),4d A B =（2） 点()()2,2,0,0,C O202,,2,d C O同理可得：()1,2D -、()3,2E --、()1,2F -到原点O 的“极大距离”为：,2,,3,,2,d D O d E O d F O故答案为：,,.C D F（3）13,22M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 121213,,22x x a y y a 而13,22a a 3,=2,2d M O a 解得：43a =或4,3a =- （4）如图，直线y kxb =+过()1,3,3,k b 则3,b k∴ 直线为：3,y kx k(),2d P O =，O 为坐标原点，P ∴在正方形ABCD 的边上，且2,2,2,2,2,2,2,2,A B C D 当直线3y kx k =+-过B 时， 则：232,k k 解得：1,3k 当直线3y kx k =+-过A 时，则：232,k k 解得：1,k =- 结合函数图象可得：当13k =或1k =-时，满足条件的P 点有1个， 当13k >时，满足条件的P 点有2个，当103k <<时，不存在满足条件的P 点， 当1k <-时，满足条件的P 点有2个，当10k -<<时，不存在满足条件的P 点，·线○封○密·○外【点睛】本题考查的是新定义情境下的一次函数的应用，坐标与图形，理解新定义，结合数形结合解题是解题的关键.。
真题汇总：2022年湖南省武冈市中考数学三年真题模拟 卷(Ⅱ)(精选)
2022年湖南省武冈市中考数学三年真题模拟 卷（Ⅱ） 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、已知ax 2＋24x ＋b ＝（mx ﹣3）2，则a 、b 、m 的值是（ ） A ．a ＝64，b ＝9，m ＝﹣8B ．a ＝16，b ＝9，m ＝﹣4C ．a ＝﹣16，b ＝﹣9，m ＝﹣8D ．a ＝16，b ＝9，m ＝4 2、下列关于整式的说法错误．．的是（ ） A ．单项式xy -的系数是-1 B ．单项式222mn 的次数是3 C ．多项式23xy x y +是二次三项式 D ．单项式32ab -与ba 是同类项 3、观察下列图形：它们都是由同样大小的圆圈按一定的规律组成，其中第1个图形有5个圆圈，第2个图形有9个圆圈，第3个图形有13个圆圈，……，按此规律，第7个图形中圆圈的个数为（ ） ·线○封○密○外A ．21B ．25C ．28D ．294、育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试条件相同的情况下，得到如下数据：则a 的值最有可能是（ ）A ．2700B ．2780C ．2880D ．29405、若实数m 使关于x 的不等式组5232212x m x +⎧-≤⎪⎪⎨-⎪≤-⎪⎩有解且至多有3个整数解，且使关于y 的分式方程34222y m y y-=+--1的解满足﹣3≤y ≤4，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．17 B ．20 C ．22 D ．256、若（mx ＋8）（2﹣3x ）中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A ．0B ．3C ．12D ．167、下列各数中，是不等式12x +>的解的是（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．98、工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使CM ＝CN ，过角尺顶点C 作射线OC ，由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS9、若()22230a b ++-=，则b a 值为（ ） A ．16 B ．12- C ．-8 D ．18 10、有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；④有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知某数的相反数是﹣225，那么该数的倒数是 __________________．2、有这样一道题：“栖树一群鸦，鸦树不知数；三只栖一树，五只没去处；五只栖一树，闲了一棵树；请你动动脑，算出鸦树数．”前三句的意思是：一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上栖息3只，那么有5只没处栖息；若每棵树上栖息5只，那么有一棵树上没有乌鸦．请你动动脑，该问题中乌鸦有_________只．3、－3.6的绝对值是______．4、甲乙两人到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走30千米，已知一个人最多可以带36天的食物和水，若不准将部分食物存放于途中，其中一个人最远可以深入沙漠______千米．（要求最后两个人都要返回出发点）5、如图，∠AOB ＝62°，OC 平分∠AOB ，∠COD ＝90°，则∠AOD ＝_____度． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知52a -的立方根是-3，21a b +-的算术平方根是4，c3a b c ++的平方根． ·线○封○密○外2、22sin30tan 60cos30tan 45︒-︒+︒-︒3、在44⨯的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与ABC 相似（不全等）且以AC 为公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．4、在平面直角坐标系中，对于()11,A x y 、()22,B x y 两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”(),d A B ；若1212x x y y -≥-，则()12,d A B x x =-；若1212x x y y -<-，则()12,d A B y y =-．例如：如图，点()2,3P ，则(),3d P O =．（理解定义）（1）若点()3,2A 、()1,1B --，则(),d A B =______．（2）在点()2,2C 、()1,2D -、()3,2E --、()1,2F -中，到坐标原点O 的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号）（深入探索）（3）已知点13,22M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),2d M O =，O 为坐标原点，求a 的值．（拓展延伸）（4）经过点()1,3的一次函数y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的图像上是否存在点P ，使(),2d P O =，O 为坐标原点，直接写出点P 的个数及对应的k 的取值范围．5、已知：在ABC 中，AB AC =，5AB =，8BC =，点E 在边AB 上，过点E 作DF AB ⊥，点D 在边BC 上，点F 在CA 的延长线上，联结BF ． （1）如图1，当90FBC时，求证：22BF AC BE =⋅； （2）如图2，当BC CF =时，求线段AE 的长． -参考答案- 一、单选题1、B【分析】将()23mx -根据完全平方公式展开，进而根据代数式相等即可求解 【详解】 解：∵()23mx -2269m x mx =-+ ，ax 2＋24x ＋b ＝（mx ﹣3）2， ·线○封○密○外∴29,624,b m a m =-==即16,9,4a b m ===-故选B【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．2、C【分析】根据单项式系数和次数的定义，多项式的定义，同类项的定义逐一判断即可．【详解】解：A 、单项式xy -的系数是-1，说法正确，不符合题意；B 、单项式222mn 的次数是3，说法正确，不符合题意；C 、多项式23xy x y +是三次二项式，说法错误，符合题意；D 、单项式32ab -与ba 是同类项，说法正确，不符合题意； 故选C ．【点睛】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义，同类项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项．3、D【分析】根据已知图形得出第n 个图形中圆圈数量为1+4×n =4n +1，再将n =7代入即可得．【详解】解：∵第1个图形中圆圈数量5=1+4×1，第2个图形中圆圈数量9=1+4×2，第3个图形中圆圈数量13=1+4×3，……∴第n 个图形中圆圈数量为1+4×n =4n +1，当n =7时，圆圈的数量为29，故选：D ． 【点睛】 本题考查规律型-图形变化类问题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题． 4、C 【分析】 计算每组小麦的发芽率，根据结果计算． 【详解】 解：∵96100%=96%100⨯，2877709581923100%96%100%96%100%96%100%96%30080010002000⨯≈⨯≈⨯≈⨯≈，，，， ∴300096%⨯=2880，故选：C ．【点睛】此题考查了数据的频率估计概率，正确掌握频率公式计算频率是解题的关键．5、B·线○封○密○外【分析】根据不等式组求出m的范围，然后再根据分式方程求出m的范围，从而确定的m的可能值．【详解】解：由不等式组可知：x≤5且x≥22m+，∵有解且至多有3个整数解，∴2＜22m+≤5，∴2＜m≤8，由分式方程可知：y=m-3，将y=m-3代入y-2≠0，∴m≠5，∵-3≤y≤4，∴-3≤m-3≤4，∵m是整数，∴0≤m≤7，综上，2＜m≤7，∴所有满足条件的整数m有：3、4、6、7，共4个，和为：3+4+6+7=20．故选：B．【点睛】本题考查了学生的计算能力以及推理能，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出m的范围，本题属于中等题型．6、C【分析】先计算多项式乘以多项式得到结果为2322416mx m x ，结合不含x 的一次项列方程，从而可得答案. 【详解】 解：（mx ＋8）（2﹣3x ） 2231624mx mx x =-+- 2322416mx m x（mx ＋8）（2﹣3x ）中不含x 的一次项， 2240,m 解得：12.m = 故选C 【点睛】 本题考查的是多项式乘法中不含某项，掌握“多项式乘法中不含某项即某项的系数为0”是解题的关键. 7、D 【分析】 移项、合并同类项，得到不等式的解集，再选取合适的x 的值即可． 【详解】 解：移项得：1x >， ∴9为不等式的解， 故选D ． 【点睛】 ·线○封○密○外本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．8、A【分析】利用边边边，可得△NOC ≌△MOC ，即可求解．【详解】解：∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，OC OC = ，∴△NOC ≌△MOC （SSS ）．故选：A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．9、C【分析】根据实数的非负性，得a =-2，b =3，代入幂计算即可．【详解】∵()22230a b ++-=，∴a =-2，b =3，∴b a =3(2)-= -8，故选C ．【点睛】本题考查了实数的非负性，幂的计算，熟练掌握实数的非负性是解题的关键．10、A【分析】根据平行线的定义、垂直的定义及垂线的唯一性、对顶角的含义即可判断．【详解】同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故说法①错误；说法②正确；两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，当这两个相等的角是对顶角时则不垂直，故说法③错误；根据对顶角的定义知，说法④错误；故正确的说法有1个； 故选：A 【点睛】本题考查了两条直线的位置关系中的相关概念及性质，掌握这些概念是关键．二、填空题1、512 【分析】 根据相反数与倒数的概念可得答案． 【详解】 解：∵某数的相反数是﹣225， ∴这个数为225， ∴该数的倒数是512． 故答案为：512． 【点睛】 本题考查了相反数与倒数的概念，掌握其概念是解决此题的关键．·线○封○密○外2、20【分析】设乌鸦有x 只，树y 棵，直接利用若每棵树上栖息3只，那么有5只没处栖息；若每棵树上栖息5只，那么有一棵树上没有乌鸦列出方程组，进而得出答案．【详解】解：设乌鸦x 只，树y 棵．依题意可列方程组：()3551y x y x +⎧⎨-⎩＝＝． 解得，205x y =⎧⎨=⎩所以，乌鸦有20只故答案为：20．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出方程组是解题关键．3、3.6【分析】根据绝对值的性质解答．【详解】解：－3.6的绝对值是3.6，故答案为：3.6．【点睛】此题考查了求一个数的绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题的关键．4、720【分析】因为要求最远，所以两人同去耗食物，所以只一人去，另一人中途返回，两人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙分给甲12天的食物后独自带着12天的食物返回，也就是甲一共有48天的食物． 【详解】 解：[(36+36÷3)÷2]×30=24×30=720（千米）． 答：其中一人最远可以深入沙漠720千米． 故答案为：720． 【点睛】 此题考查了有理数的混合运算，生活中方法的最佳选择，首先要想到去多远，都得返回，所以每前进一步，都要想着返回的食物，进而找到最佳答案． 5、59 【分析】 由题意知∠AOD ＝∠COD -∠AOC ，∠AOC ＝12∠AOB ；计算求解即可． 【详解】 解：∵OC 平分∠AOB ∴∠AOC ＝12∠AOB ＝162=312⨯︒︒ ∴∠AOD ＝∠COD -∠AOC ＝90°-31°＝59°故答案为：59．【点睛】本题考查了角平分线与角的计算．解题的关键在于正确的表示各角的数量关系．·线○封○密○外三、解答题1、±4【分析】根据52a -的立方根是-3，可求得a 的值；根据21a b +-的算术平方根是4及已经求得的a 的值，可求得b 的值；再由c c 的值，则可求得的值，从而求得结果．【详解】∵52a -的立方根是-3∴5227a -=-∴5a =-∵21a b +-的算术平方根是4∴2116a b +-=即2(5)116b ⨯-+-=∴27b =∵c 161725<<∴4c =∴33(5)27416a b c ++=⨯-++= ∵4±∴3a b c ++的平方根为±4【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根等概念，熟练掌握这些定义是关键．2、【分析】先计算特殊角的三角函数值，再按照运算顺序计算即可．【详解】解：原式21212=⨯11==．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟记特殊角的三角函数值及实数各运算法则是解题的关键．3、（1）见解析（2）见解析【分析】（1）分别计算出AB，AC，BC的长，根据相似三角形的性质可得出,AB B C''的长，即可作出图形；（2）根据网格结构找出点A、B绕着点C按顺时针方向旋转90°后的对应点的位置，再与点C顺次连接即可．（1）如图所示，AB C'∆即为所求；·线○封○密·○外（2）如图所示，A CB ''∆即为所求；【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．4、（1）4；（2）,,C D F ；（3）43a =或43a =-；（4）当13k =或1k =-时，满足条件的P 点有1个，当13k >时，满足条件的P 点有2个，当103k <<时，不存在满足条件的P 点，当1k <-时，满足条件的P 点有2个，当10k -<<时，不存在满足条件的P 点.【分析】（1）根据新定义分别计算1212,,x x y y 再比较即可得到答案；（2）根据新定义分别计算点()2,2C 、()1,2D -、()3,2E --、()1,2F -中，到坐标原点O 的“极大距离”，从而可得答案；（3）由13,22M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先求解121213,,22x x a y y a 结合13,22a a 再列绝对值方程即可；（4）先求解直线的解析式为：3,y kx k 再判断P 在正方形ABCD 的边上，且2,2,2,2,2,2,2,2,A B C D 再结合函数图象进行分类讨论即可. 【详解】 解：（1） 点()3,2A 、()1,1B --， 31314,21213, 而43,>∴ (),4d A B =（2） 点()()2,2,0,0,C O 202, ,2,d C O 同理可得：()1,2D -、()3,2E --、()1,2F -到原点O 的“极大距离”为： ,2,,3,,2,d D Od E O d F O故答案为：,,.C D F （3）13,22M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 121213,,22x x a y y a 而13,22a a 3,=2,2d M O a ·线○封○密○外解得：43a =或4,3a =- （4）如图，直线y kxb =+过()1,3,3,k b 则3,b k∴ 直线为：3,y kx k(),2d P O =，O 为坐标原点，P ∴在正方形ABCD 的边上，且2,2,2,2,2,2,2,2,A B C D当直线3y kx k =+-过B 时，则：232,k k 解得：1,3k当直线3y kx k =+-过A 时，则：232,k k 解得：1,k =-结合函数图象可得：当13k =或1k =-时，满足条件的P 点有1个， 当13k >时，满足条件的P 点有2个，当103k <<时，不存在满足条件的P 点， 当1k <-时，满足条件的P 点有2个， 当10k -<<时，不存在满足条件的P 点， 【点睛】本题考查的是新定义情境下的一次函数的应用，坐标与图形，理解新定义，结合数形结合解题是解题的关键.5、（1）见解析（2）2125EA =【分析】 （1）根据直角三角形的性质即定义三角形的性质得出∠FBA =∠BFC ，进而得到FC =2AC ，由∠FBA =∠BFC ，结合∠FEB =∠FBC =90°，即可判定△FEB ∽△CBF ，根据相似三角形的性质即可得解； （2）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点B 作BM ⊥CF 于点M ，根据等腰三角形的性质得到CH =4，根据勾股定理得到AH =3，根据锐角三角函数得到CM =325，进而得到AM =75，根据∠FEA =∠BMC =90°，∠FAE =∠BAM ，即可判定△AEF ∽△AMB ，根据相似三角形的性质求解即可． （1） ∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠．∵90FBC ，∴90FBA ABC ∠+∠=︒，90BFC C ∠+∠=︒， ∴FBA BFC ∠=∠． ∴FA AB =, ∴FA AC =，即A 是FC 的中点．·线○封○密·○外∴2FC AC =，∵FE AB ⊥，∴90FEB ∠=︒．∴FEB FBC ∠=∠．在FEB 与CBF 中， FEB FBC FBA BFC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴FEB CBF △△， ∴EB BF BF CF=， ∴2BF EB CF =⋅，∴22BF AC EB =⋅．（2）如图，过点A 作AH BC ⊥，垂足为H ，∴90AHC ∠=︒．∵5AB AC ==，8BC =， ∴142CH BC ==．在Rt AHC 中，由勾股定理得，3AH =，过点B 作BM CF ⊥，垂足为M ，∴90BMC ∠=︒，1122ABC S BC AH AC BM =⋅=⋅△，即BC AH AC BM ⋅=⋅． ∴835BM ⨯=⋅， ∴245=BM ． 在Rt ABM中，由勾股定理得75AM ， ∵FD AB ⊥， ∴90FEA ∠=︒， ∴FEA BMC ∠=∠． 在FEA 与BMA △中， FEA BMCMAB EAF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴FEA BMA △△， ∴EA FA MA BA =， ∵5AB AC ==， ∴853FA CF AC =-=-=． ∴3755EA =， ∴2125EA = 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与·线○封○密○外性质并作出合理的辅助线是解题的关键．。
【难点解析】2022年湖南省武冈市中考数学三年高频真题汇总 卷(Ⅰ)(含详解)
2022年湖南省武冈市中考数学三年高频真题汇总 卷（Ⅰ） 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、已知4个数：()20201-，2-，()1.5--，23-，其中正数的个数有（ ） A ．1B ．C ．3D ．4 2、下列各组图形中一定是相似形的是（ ） A ．两个等腰梯形 B ．两个矩形 C ．两个直角三角形 D ．两个等边三角形 3、神舟号载人飞船于2021年10月16日凌晨成功对接中国空间站，自升空以来神舟十三号飞船每天绕地球16圈，按地球赤道周长计算神舟十三号飞船每天飞行约641200千米，641200用科学记数法表示为（ ）A ．60.641210⨯B ．56.41210⨯C ．66.41210⨯D ．564.1210⨯ 4、下列各点在反比例6y x =的图象上的是（ ） A ．（2，－3） B ．（－2，3） C ．（3，2） D ．（3，－2） 5、已知2224x x --=，则代数式2639x x --的值是（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．9 D ．186、若2x -＋（3y ＋4）2＝0，则y x 的值为（ ） ·线○封○密○外A ．169B ．－169C ．－83 D ．837、下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．x 2－1＝2xB ．x 3＋2x 2＝0C ．210x x +=D ．x 2－y ＋1＝08、若关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x ＋2＝0有两个实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤2B ．a ≤2且a ≠0C ．a ＜2D ．a ＜2且a ≠09、用配方法解一元二次方程x 2＋3＝4x ，下列配方正确的是（ ）A ．(x ＋2)2＝2B ．(x －2)2＝7C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝110、若（mx ＋8）（2﹣3x ）中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A ．0B ．3C ．12D ．16第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、规定运算*，使x *y ＝23Axy x y+，如果1*2＝1，那么3*4＝___． 2、如图，C 是线段AB 延长线上一点，D 为线段BC 上一点，且2CD BD =，E 为线段AC 上一点，2CE AE =，若2DE =，则AB =_________．3、点P 为边长为2的正方形ABCD 内一点，PBC 是等边三角形，点M 为BC 中点，N 是线段BP 上一动点，将线段MN 绕点M 顺时针旋转60°得到线段MQ ，连接AQ 、PQ ，则AQ PQ +的最小值为______．4、如图，BD 是△ABC 的角平分线，E 是AB 上的中点，已知△ABC 的面积是12cm 2，BC ：AB ＝19：17，则△AED 面积是 _____．5、现有一列数1x ，2x ，…，2021x ，其中23x =-，75x =，3336x =-，且满足任意相邻三个数的和为相等的常数，则122021x x x +++的值为______． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、（1）解方程：2240x x --= （2）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．求这口宛田的面积． 2、如图1，在△ABC 中，AB ＝ AC ＝10，tan B ＝34，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B ，C 重合）．以D 为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ，连接CF ． ·线○封○密·○外（1）当D 运动到BC 的中点时，直接写出AF 的长；（2）求证：10CE ＝BD ∙CD ；（3）点D 在运动过程中，是否存在某个位置，使得DF ＝CF ？若存在，求出此时BD 的长；若不存在，请说明理由．3、在平面直角坐标系中，对于()11,A x y 、()22,B x y 两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”(),d A B ；若1212x x y y -≥-，则()12,d A B x x =-；若1212x x y y -<-，则()12,d A B y y =-．例如：如图，点()2,3P ，则(),3d P O =．（理解定义）（1）若点()3,2A 、()1,1B --，则(),d A B =______．（2）在点()2,2C 、()1,2D -、()3,2E --、()1,2F -中，到坐标原点O 的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号）（深入探索）（3）已知点13,22M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),2d M O =，O 为坐标原点，求a 的值．（拓展延伸）（4）经过点()1,3的一次函数y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的图像上是否存在点P ，使(),2d P O =，O 为坐标原点，直接写出点P 的个数及对应的k 的取值范围．4、如图，812⨯的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A ，B ，C 都是格点．请按要求解答下列问题： 平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)， （1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy ； ②点C 的坐标是 ，点C 关于x 轴的对称点1C 的坐标是 ； （2）设l 是过点C 且平行于y 轴的直线， ①点A 关于直线l 的对称点1A 的坐标是 ； ②在直线l 上找一点P ，使PA PB +最小，在图中标出此时点P 的位置； ③若Q (m ，n )为网格中任一格点，直接写出点Q 关于直线l 的对称点1Q 的坐标（用含m ，n 的式子表示）．5、计算：·线·○封○密○外（1）()()25476-+--+-（2）()()3116248⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭-参考答案-一、单选题1、C【分析】化简后根据正数的定义判断即可．【详解】解：()20201-=1是正数，2-=2是正数，()1.5--=1.5是正数，23-=-9是负数，故选C ．【点睛】本题考查了有理数的乘方、相反数、绝对值的意义，以及正负数的意义，正确化简各数是解答本题的关键．2、D【分析】根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的性质与特点逐项排查即可．【详解】解：A 、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；B 、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；C 、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；D 、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，理解相似形的形状相同、大小不同的特点成为解答本题的关键．3、B【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数． 【详解】 解：641200用科学记数法表示为：641200=56.41210⨯， 故选择B ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 4、C 【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断． 【详解】 解：∵2×（−3）＝−6，−2×3＝−6，3×（−2）＝−6， 而3×2＝6， ∴点（2，−3），（−2，3）（3，−2），不在反比例函数6y x =图象上，点（3，2）在反比例函数6y x =图象上． ·线○封○密○外故选：C ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数6y x=（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．5、C【分析】由已知得到226x x -=，再将2639x x --变形，整体代入计算可得．【详解】解：∵2224x x --=，∴226x x -=，∴2639x x --=()2329x x --=369⨯-=9故选：C ．【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用．6、A【分析】根据绝对值的非负性及偶次方的非负性得到x -2=0，3y +4=0，求出x 、y 的值代入计算即可【详解】 解：∵2x -＋（3y ＋4）2＝0，∴x -2=0，3y +4=0，∴x =2，y =43-， ∴2416()39x y =-=， 故选：A ．【点睛】此题考查了已知字母的值求代数式的值，正确掌握绝对值的非负性及偶次方的非负性是解题的关键． 7、A 【分析】 只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断． 【详解】 解：A 、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； B 、未知数最高次数是3，不是关于x 的一元二次方程，不符合题意； C 、为分式方程，不符合题意； D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意 故选：A ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为0． 8、B 【分析】 根据方程有两个实数根，可得根的判别式的值不小于0，由此可得关于a 的不等式，解不等式再结合一元二次方程的定义即可得答案·线○封○密○外【详解】解：根据题意得a ≠0且Δ＝（−4）2−4•a •2≥0，解得a ≤2且a ≠0．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2−4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．9、D【分析】根据题意将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到答案．【详解】234x x +=，整理得：243x x -=-，配方得：24434x x -+=-+，即2(2)1x -=．故选：D ．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．10、C 【分析】 先计算多项式乘以多项式得到结果为2322416mx m x ，结合不含x 的一次项列方程，从而可得答案. ·线【详解】解：（mx＋8）（2﹣3x）2231624mx mx x=-+-2322416mx m x（mx＋8）（2﹣3x）中不含x的一次项，2240,m解得：12.m=故选C【点睛】本题考查的是多项式乘法中不含某项，掌握“多项式乘法中不含某项即某项的系数为0”是解题的关键.二、填空题1、83##【分析】根据新定义求解A的值，得新定义式为x*y＝423xyx y+，然后再将34x y==，代入代数式求解即可．【详解】解：∵1*2＝1∴121 2132A⨯⨯=⨯+⨯解得：A＝4∴x*y＝423xy x y+∴3*4＝4342334⨯⨯⨯+⨯ 8=3． 故答案为：83．【点睛】本题考查了新定义．解题的关键在于正确的理解新定义式的含义．2、3【分析】设BD =a ，AE =b ，则CD =2a ，CE =2b ，根据AB =AE +BE =AE +DE -BD 代入计算即可．【详解】设BD =a ，AE =b ，∵2CD BD =，2CE AE =，∴CD =2a ，CE =2b ，∴DE =CE -CD =2b -2a =2即b -a =1，∴AB =AE +BE =AE +DE -BD =2+b -a =2+1=3,故答案为：3．【点睛】本题考查了线段的和与差，正确用线段的和差表示线段是解题的关键．3【分析】 如图，取,BP PC 的中点,E F ，连接EF ，,EM AM ，PM ，证明BMN EMQ ≌，进而证明Q 在EF 上运动， 且EF 垂直平分PM ，根据AQ PQ AQ MQ AM +=+≥，求得最值，根据正方形的性质和勾股定·线理求得AM 的长即可求得AQ PQ +的最小值．【详解】解：如图，取,BP PC 的中点,E F ，连接EF ，,EM AM ，PM ，将线段MN 绕点M 顺时针旋转60°得到线段MQ ，MN MQ ∴=，60NMQ ∠=︒PBC 是等边三角形，PB BC ∴=,60PBC ∠=︒,E F 是,BP PC 的中点，M 是BC 的中点BM BE ∴=BEM ∴是等边三角形BME ∴∠60=︒，BM BE =NMQ BME ∴∠=∠BME NME NMQ NME ∴∠-∠=∠-∠即BMB EMQ ∠=∠在BMN △和EMQ 中，BM EM BMN EMQ MN MQ =⎧⎪∠-⎨⎪=⎩∴BMN EMQ ≌60MEQ MBN ∴∠=∠=︒又60EMB ∠=︒MEQ EMB ∴∠=∠EQ BC ∴∥,E F 是,BP PC 的中点EF BC ∴∥Q ∴点在EF 上 M 是BC 的中点，PBC 是等边三角，PM BC ∴⊥EF PM ∴⊥ 又11,22EP PB EM EB PB === EP EM ∴=EF ∴垂直平分PMQP QM ∴=AQ PQ AQ MQ AM ∴+=+≥即AQ PQ +的最小值为AM四边形ABCD 是正方形，且2AB =AM ∴==∴AQ PQ +·线○【点睛】本题考查了正方形的性质等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的性质与判定，根据以上知识转化线段是解题的关键．4、2176cm 【分析】根据角平分线的性质得出DF =DG ，再由三角形面积计算即可得答案．【详解】解：作DG ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，作DF ⊥BC ，∴BD 是△ABC 的角平分线，∴DF =DG ，∵BC ：AB ＝19：17，设DF =DG=h ，BC =19a ，AB =17a ，∵△ABC 的面积是12cm 2， ∴1222AB h BC h ⨯⨯+=， ∴17191222ah ah +=， ∴36ah =24，∴ah =23，∵E 是AB 上的中点，∴AE =1722AB a =， ∴△AED 面积=12172a ⨯×h =17171721744436ah ah （cm 2）． 故答案为：176cm 2． 【点睛】 本题考查了根据角平分线的性质和三角形面积的计算，做题的关键是掌握角平分线的性质．5、-2690【分析】先根据任意相邻三个数的和为相等的常数可推出x 1=x 4=x 7=…=x 2020=x 7=5，x 2=x 5=x 8=…=x 2021=-3，x 3=x 6=x 9=…=x 333=x 2019=-6，由此可求x 1+x 2+x 3+…+x 2021的值．【详解】解：∵x 1+x 2+x 3=x 2+x 3+x 4，∴x 1=x 4，同理可得：x 1=x 4=x 7=…=x 2020=x 7=5，x 2=x 5=x 8=…=x 2021=-3，x 3=x 6=x 9=…=x 333=x 2019=-6， ∴x 1+x 2+x 3=-4， ∵2021=673×3+2，∴x 1+x 2+x 3+…+x 2021·线○=(-4)×673+(5-3)=-2692+2=-2690．故答案为：-2690．【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．三、解答题1、（1）11x =21x =（2）120平方步【分析】（1）利用配方法，即可求解；（2）利用扇形的面积公式，即可求解．【详解】解：（1）224x x -=，2215x x -+=，配方，得()215x -=，∴1x =∴11x =21x =（2）解：∵扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步， ∴这块田的面积1163012022S =⨯⨯=（平方步）． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，求扇形的面积，熟练掌握一元二次方程的解法，扇形的面积等于12 乘以弧长再乘以扇形的半径是解题的关键．2、（1） 4.5AF =（2）见解析（3）存在，9BD =【分析】（1）根据题意作出图形，进而ABD FDA ∽，根据tan B ＝34，10AB =，求得AD ,AF ； （2）证明BAD CDE ∽△△，直接得证； （3）作AM BC ⊥于M ，FH BC ⊥于H ，AN FH ⊥于N ．则90AMH NHM ANH ∠=∠=∠=︒，进而可得四边形AMHN 为矩形，证明AFN ADM ∽△△，求得CH ，当DF CF =时，由于点D 不与点C 重合，可知DFC △为等腰三角形，进而求得,CD BD ．（1）如图，当D 运动到BC 的中点时，10AB AC ==，AE DE ⊥,B C AD BC ∴∠=∠⊥，BAD EAD ∠=∠90ADB ∴∠=︒ AF AD ⊥ 90FAD ∴∠=︒·线FAD ADB ∴∠=∠，又ADF B ∠=∠ABD FDA ∴∽AD AF BD AD∴= tan B ＝34， 34AD BD ∴= 设3AD k =，则4BD k =∴5AB k =10AB =2k ∴=6AD ∴=34AD AF BD AD ∴== 36 4.54AF ∴=⨯= （2）证明：∵AB AC =∴1B ∠=∠∵243B ∠+∠=∠+∠，4∠=∠B ；∴23∠∠=∴BAD CDE ∽△△ ∴BA BD CD CD= ∵10AB =∴10CE BD CD =⋅（3）点D 在运动过程中，存在某个位置，使得DF CF =． 理由：作AM BC ⊥于M ，FH BC ⊥于H ，AN FH ⊥于N ． 则90AMH NHM ANH ∠=∠=∠=︒∴四边形AMHN 为矩形，∴90MAN ∠=︒，MH AN =，∵AM BC ⊥，3tan 4B = ∴可设3AM x =，4BM x =，∴可得5AB x =∵10AB AC ==，∴6AM =，182BM CM BC === ∴16BC =．∵AN FH ⊥，AM BC ⊥，∴90ANF AMD ∠=∠=︒，∵90DAF MAN ∠=∠=︒，∴NAF MAD ∠=∠ ∴AFN ADM ∽△△， ∴3tan tan 4AN AF ADF B AM AD ==∠=∠= ·线∴336 4.544AN MH AM ===⨯=， ∴8 4.5 3.5CH CM MH =-=-=，当DF CF =时，由于点D 不与点C 重合，可知DFC △为等腰三角形，∵FH DC ⊥，∴27CD CH ==，∴1679BD BC CD =-=-=∴点D 在运动过程中，存在某个位置，使得DF CF =．此时9BD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正切的定义，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3、（1）4；（2）,,C D F ；（3）43a =或43a =-；（4）当13k =或1k =-时，满足条件的P 点有1个，当13k >时，满足条件的P 点有2个，当103k <<时，不存在满足条件的P 点，当1k <-时，满足条件的P 点有2个，当10k -<<时，不存在满足条件的P 点.【分析】（1）根据新定义分别计算1212,,x x y y 再比较即可得到答案；（2）根据新定义分别计算点()2,2C 、()1,2D -、()3,2E --、()1,2F -中，到坐标原点O 的“极大距离”，从而可得答案；（3）由13,22M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先求解121213,,22x x a y y a 结合13,22a a 再列绝对值方程即可； （4）先求解直线的解析式为：3,y kx k 再判断P 在正方形ABCD 的边上，且2,2,2,2,2,2,2,2,A B C D 再结合函数图象进行分类讨论即可.【详解】解：（1） 点()3,2A 、()1,1B --， 31314,21213,而43,>∴ (),4d A B = （2） 点()()2,2,0,0,C O202,,2,d C O同理可得：()1,2D -、()3,2E --、()1,2F -到原点O 的“极大距离”为：,2,,3,,2,d D O d E O d F O故答案为：,,.C D F（3）13,22M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 121213,,22x x a y y a 而13,22a a3,=2,2d M O a 解得：43a =或4,3a =- （4）如图，直线y kx b =+过()1,3, 3,k b 则3,b k ∴直线为：3,ykx k (),2d P O =，O 为坐标原点，P ∴在正方形ABCD 的边上，且2,2,2,2,2,2,2,2,A B C D 当直线3y kx k =+-过B 时， 则：232,k k 解得：1,3k 当直线3y kx k =+-过A 时，则：232,k k解得：1,k =- 结合函数图象可得：当13k =或1k =-时，满足条件的P 点有1个， ·线○封○密○外当13k >时，满足条件的P 点有2个， 当103k <<时，不存在满足条件的P 点，当1k <-时，满足条件的P 点有2个，当10k -<<时，不存在满足条件的P 点，【点睛】本题考查的是新定义情境下的一次函数的应用，坐标与图形，理解新定义，结合数形结合解题是解题的关键.4、（1）作图见解析，（1，2），（1，-2）；（2）①（5，1）；②P 点位置见解析；③（2-m ，n ）【分析】（1）由A 、B 点坐标即可知x 轴和y 轴的位置，即可从图像中得知C 点坐标，而1C 的横坐标不变，纵坐标为C 点纵坐标的相反数．（2）由C 点坐标（1，2）可知直线l 为x =1①点1A 是点A 关于直线l 的对称点，由1A 横坐标和点A 横坐标之和为2，纵坐标不变，即可求得1A 坐标为（5，1）．②由①可得点A 关于直线l 的对称点1A ，连接1A B 交l 于点P ，由两点之间线段最短即可知点P 为所求点．③设点Q （m ，n ）关于l 的对称点1Q 为（x ，y ），则有（m +x ）÷2=1，y =n ，即可求得对称点1Q （2-m ，n ）【详解】（1）平面直角坐标系xOy 如图所示由图象可知C 点坐标为（1，2） 点1C 是 C 点关于x 轴对称得来的 则1C 的横坐标不变，纵坐标为C 点纵坐标的相反数 即1C 点坐标为（1，-2）． （2）如图所示，由C 点坐标（1，2）可知直线l 为x =1 ①A 点坐标为（-3，1），关于直线x =1对称的1A 坐标横坐标与A 点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变 ·线○封○密○外则为1A 坐标为（5，1）②连接①所得1A B ，1A B 交直线x =1于点P由两点之间线段最短可知1PA PB +为1A B 时最小又∵点1A 是点A 关于直线l 的对称点∴1PA PA =∴PA PB +为1A B 时最小故P 即为所求点．③设任意格点Q （m ，n ）关于直线x =1的对称点1Q 为（x ，y ）有（m +x ）÷2=1，y =n即x =2-m ，y =n则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2即对称点1Q 坐标为（2-m ，n ）．【点睛】本题考查了坐标轴中的对称点问题，熟悉坐标点关于轴对称的坐标变换，结合图象运用数形结合思想是解题的关键．5、（1）2（2）-212【解析】（1） 解：()()25476-+--+- =2-5+4+7-6 =2+4+7-5-6 =13-11 =2； （2）解：()()3116248⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭ ()11682=÷-- 122=-- =-212． 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． ·线○封○密·○外。
湖南省武冈市市级名校2021-2022学年中考数学最后一模试卷含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．某班体育委员对本班学生一周锻炼(单位：小时)进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是( )A．10 B．11 C．12 D．132．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠αB．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠αC．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠αD．两个角互为邻补角3．等式33=11x xxx--++成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．4．如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2：3,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的面积为()A．30 B．27 C．14 D．325．若0＜m＜2，则关于x的一元二次方程﹣（x+m）（x+3m）＝3mx+37根的情况是（）A．无实数根B ．有两个正根C ．有两个根，且都大于﹣3mD ．有两个根，其中一根大于﹣m6．关于x 的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m 的值为（ ） A ．14 B ．7 C ．﹣2 D ．27．某种计算器标价240元，若以8折优惠销售，仍可获利20%，那么这种计算器的进价为（ ）A ．152元B ．156元C ．160元D ．190元8．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ；B 、E 是半圆弧的三等分点，BD 的长为43π，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4633π-B ．8933π-C ．33223π-D ．8633π- 9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A ＝24°，则∠BDC的度数为( )A ．42°B ．66°C ．69°D ．77°10．下列命题是真命题的是（ ）A ．如果a +b ＝0，那么a ＝b ＝0B 16±4C ．有公共顶点的两个角是对顶角D ．等腰三角形两底角相等二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________． 12．a （a+b ）﹣b （a+b ）=_____．13．21世纪纳米技术将被广泛应用．纳米是长度的度量单位，1纳米=0.000000001米，则12纳米用科学记数法表示为_______米．14．已知直角三角形的两边长分别为3、1．则第三边长为________．15．如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF=__．16．一个凸边形的内角和为720°，则这个多边形的边数是__________________三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．求甲乙两件服装的进价各是多少元；由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．18．（8分）如图，在△ABC中，（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．19．（8分）如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，CD∥AB，∠A=30°，且CD=3．（1）求∠C的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线．20．（8分）如图,在中，,点是上一点．尺规作图：作，使与、都相切．（不写作法与证明，保留作图痕迹）若与相切于点D，与的另一个交点为点，连接、，求证：．21．（8分）已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=2x2，求m的值．22．（10分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）23．（12分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点A（﹣2，3），点B（6，n）．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y=mx（m≠0）的图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解析】根据统计图中的数据可以求得本班的学生数，从而可以求得该班这些学生一周锻炼时间的中位数，本题得以解决．【详解】由统计图可得，本班学生有：6+9+10+8+7=40（人），该班这些学生一周锻炼时间的中位数是：11，故选B．【点睛】本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．2、C【解析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．解答：解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．故选C．3、B【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【详解】由题意可知：3010xx-≥⎧⎨+>⎩,解得：3x,故选：B．【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.4、A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，∴22 BEF BEFCDF AEDS SBE BES CD S AE∆∆∆∆⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∵BE：AB=2：3，AE=AB+BE，∴BE：CD=2：3，BE：AE=2：5，∴44925 BEF BEFCDF AEDS SS S∆∆∆∆==，，∵S△BEF=4，∴S△CDF=9，S△AED=25，∴S四边形ABFD=S△AED-S△BEF=25-4=21，∴S平行四边形ABCD=S△CDF+S四边形ABFD=9+21=30，故选A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，熟记相似三角形的面积等于相似比的平方是解题的关键.5、A【解析】先整理为一般形式，用含m 的式子表示出根的判别式△，再结合已知条件判断△的取值范围即可.【详解】方程整理为22x 7mx 3m 370+++=，△()()22249m 43m 3737m 4=-+=-，∵0m 2<<，∴2m 40-<，∴△0<，∴方程没有实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6、D【解析】解不等式得到x≥12m+3，再列出关于m 的不等式求解. 【详解】 23m x -≤﹣1， m ﹣1x≤﹣6，﹣1x≤﹣m ﹣6， x≥12m+3， ∵关于x 的一元一次不等式23m x -≤﹣1的解集为x≥4， ∴12m+3=4，解得m=1． 故选D ．考点：不等式的解集7、C【解析】【分析】设进价为x 元，依题意得240×0.8-x=20x℅,解方程可得. 【详解】设进价为x 元，依题意得240×0.8-x=20x℅解得x=160所以，进价为160元.故选C【点睛】本题考核知识点：列方程解应用题. 解题关键点：找出相等关系.8、D【解析】连接BD，BE，BO，EO，先根据B、E是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S△ABC﹣S扇形BOE，然后分别求出面积相减即可得出答案.【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAD＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵BD的长为43π，∴604 1803Rππ=解得：R＝4，∴AB＝AD cos30°＝3，∴BC＝12AB＝3∴AC3BC＝6，∴S△ABC＝12×BC×AC＝12×36＝3∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S △ABC ﹣S 扇形BOE ＝260483603ππ⨯= 故选：D ．【点睛】本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键.9、C【解析】在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=24°，∴∠B=90°-∠A=66°．由折叠的性质可得：∠BCD=12∠ACB=45°， ∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=69°.故选C.10、D【解析】解：A 、如果a +b =0，那么a =b =0，或a =﹣b ，错误，为假命题；B 的平方根是±2，错误，为假命题；C 、有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误，为假命题；D 、等腰三角形两底角相等，正确，为真命题；故选D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、1或-1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案． 详解：∵x 2+2（m-3）x+16是关于x 的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或1，故答案为-1或1．点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．12、（a+b ）（a ﹣b ）．【解析】先确定公因式为（a+b），然后提取公因式后整理即可．【详解】a（a+b）﹣b（a+b）=（a+b）（a﹣b）．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.13、1.2×10﹣1．【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：12纳米＝12×0.000000001米＝1.2×10−1米．故答案为1.2×10−1．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14、4【解析】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为3=；②长为3、35=；4．考点：3．勾股定理；4．分类思想的应用．15、15°【解析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可．【详解】解答：连接OB ，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC =AB ，又OA =OB =OC ，∴OA =OB =AB ，∴△AOB 为等边三角形.∵OF ⊥OC ,OC ∥AB ，∴OF ⊥AB ，∴∠BOF =∠AOF =30°. 由圆周角定理得1152BAF BOF ∠=∠= ， 故答案为15°. 16、1【解析】设这个多边形的边数是n ，根据多边形的内角和公式：()n 2180-⨯，列方程计算即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n根据多边形内角和公式可得()n 2180720，-⨯= 解得n 6=．故答案为：1．【点睛】此题考查的是根据多边形的内角和，求边数，掌握多边形内角和公式是解决此题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）甲服装的进价为300元、乙服装的进价为1元．（2）每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）乙服装的定价至少为296元．【解析】（1）若设甲服装的成本为x 元，则乙服装的成本为（500-x ）元．根据公式：总利润=总售价-总进价，即可列出方程．（2）利用乙服装的成本为1元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，利用增长率公式求出即可；（3）利用每件乙服装进价按平均增长率再次上调，再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元），进而利用不等式求出即可．【详解】（1）设甲服装的成本为x 元，则乙服装的成本为（500-x ）元，根据题意得：90%•（1+30%）x+90%•（1+20%）（500-x ）-500=67，解得：x=300，500-x=1．答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为1元．（2）∵乙服装的成本为1元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，∴设每件乙服装进价的平均增长率为y ，则 22001y 242（）+=， 解得：1y =0.1=10%，2y =-2.1（不合题意，舍去）．答：每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调∴再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元）∵商场仍按9折出售，设定价为a 元时0.9a-266.2＞0解得：a ＞2662295.89≈ 故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润．考点：一元二次方程的应用，不等式的应用，打折销售问题18、（1）作图见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）①以C 为圆心，任意长为半径画弧，交CB 、CA 于E 、F ；②以A 为圆心，CE 长为半径画弧，交AB 于G ；③以G 为圆心，EF 长为半径画弧，两弧交于H ；④连接AH 并延长交BC 于D ，则∠BAD=∠C ；（2）证明△ABD ∽△CBA ，然后根据相似三角形的性质得到结论．【详解】（1）如图，∠BAD 为所作；（2）∵∠BAD=∠C ，∠B=∠B∴△ABD ∽△CBA ，∴AB ：BC=BD ：AB ，∴AB 2=BD•BC ．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．19、（1）60°；（2）见解析【解析】（1）连接BD ，由AD 为圆的直径，得到∠ABD 为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD 的长，根据CD 与AB 平行，得到一对内错角相等，确定出∠CDB 为直角，在直角三角形BCD 中，利用锐角三角函数定义求出tanC 的值，即可确定出∠C 的度数；（2）连接OB ，由OA=OB ，利用等边对等角得到一对角相等，再由CD 与AB 平行，得到一对同旁内角互补，求出∠ABC 度数，由∠ABC ﹣∠ABO 度数确定出∠OBC 度数为90，即可得证；【详解】（1）如图，连接BD ，∵AD 为圆O 的直径，∴∠ABD=90°，∴BD=12AD=3， ∵CD ∥AB ，∠ABD=90°，∴∠CDB=∠ABD=90°，在Rt △CDB 中，tanC=33BD CD == ∴∠C=60°；（2）连接OB ，∵∠A=30°，OA=OB ，∴∠OBA=∠A=30°，∵CD ∥AB ，∠C=60°，∴∠ABC=180°﹣∠C=120°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=120°﹣30°=90°，∴OB⊥BC，∴BC为圆O的切线．【点睛】此题考查了切线的判定，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．20、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）利用角平分线的性质作出∠BAC的角平分线，利用角平分线上的点到角的两边距离相等得出O点位置，进而得出答案．（2）根据切线的性质，圆周角的性质，由相似判定可证△CDB∽△DEB，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）如图，及为所求．（2）连接．∵是的切线，∴，∴，即，∵是直径，∴，∴，∵，∴， ∴， 又∴∽ ∴ ∴．【点睛】 本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解决此类题目的关键．21、 (1)见解析；（2）m=2【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行分析解答即可；（2）用“因式分解法”解原方程，求得其两根，再结合已知条件分析解答即可.【详解】（1）∵在方程x 2﹣6mx+9m 2﹣9=1中，△=（﹣6m ）2﹣4（9m 2﹣9）=26m 2﹣26m 2+26=26＞1．∴方程有两个不相等的实数根；（2）关于x 的方程：x 2﹣6mx+9m 2﹣9=1可化为：[x ﹣（2m+2）][x ﹣（2m ﹣2）]=1，解得：x=2m+2和x=2m-2，∵2m+2＞2m ﹣2，x 1＞x 2，∴x 1=2m+2，x 2=2m ﹣2，又∵x 1=2x 2，∴2m+2=2（2m ﹣2）解得：m=2．【点睛】（1）熟知“一元二次方程根的判别式：在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当240b ac ->时，原方程有两个不相等的实数根，当240b ac -=时，原方程有两个相等的实数根，当240b ac -<时，原方程没有实数根”是解答第1小题的关键；（2）能用“因式分解法”求得关于x 的方程x 2﹣6mx+9m 2﹣9=1的两个根是解答第2小题的关键.22、54小时【解析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题23、（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）1.【解析】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．24、(1)反比例函数的解析式为y=﹣6x；一次函数的解析式为y=﹣12x+2；(2)8；(3)点M、N在第二象限，或点M、N在第四象限．【解析】(1)把A（﹣2，3）代入y=mx，可得m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣6x；把点B（6，n）代入，可得n=﹣1，∴B（6，﹣1）．把A（﹣2，3），B（6，﹣1）代入y=kx+b，可得23 61k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣12x+2；(2)∵y=﹣12x+2，令y=0，则x=4，∴C（4，0），即OC=4，∴△AOB的面积=12×4×（3+1）=8；(3)∵反比例函数y=﹣6x的图象位于二、四象限，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵x1＜x2，y1＜y2，∴M，N在相同的象限，∴点M、N在第二象限，或点M、N在第四象限．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．。
真题解析：2022年湖南省武冈市中考数学历年真题汇总 卷(Ⅲ)(含答案详解)
2022年湖南省武冈市中考数学历年真题汇总 卷（Ⅲ） 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、3-的相反数是（ ） A ．13B ．13-C ．3-D ．3 2、若2x -＋（3y ＋4）2＝0，则y x 的值为（ ） A ．169 B ．－169 C ．－83 D ．833、已知()11,A y -，()23,B y -，()34,C y 在二次函数26y x x c =--+的图象上，1y ，2y ，3y 则的大小关系是（ ） A ．312y y y >> B ．213y y y >> C ．123y y y >> D ．321y y y >>4、在数2，－2，12，12-中，最小的数为（ ） A ．－2 B ．12 C ．12- D ．25、一个两位数，十位上的数字是x ，个位上的数字比十位上的数字的3倍少4，这个两位数可以表示为（ ）·线○封○密○外A ．x （3x －4）B ．x （3x ＋4）C ．13x ＋4D ．13x －46、如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．18B ．14C ．13 D ．12 7、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交BC 于点E ，EF ⊥BD 于点F ，则OE ＋EF 的值为（ ）A B ．2 C ．52 D ．8、多项式()22x --去括号，得（ ）A ．22x --B ．22x -+C ．24x --D ．24x -+9、下列对一元二次方程x 2－2x －4＝0根的情况的判断，正确的是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断10、下列计算正确的是（ ）A ．422a a -=B ．426a b ab +=C ．2426a a a +=D ．422ab ba ab -+=- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线a ∥b ，在Rt△ABC 中，点C 在直线a 上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A 的度数为______度．2、（1）5499+=__________； （2）5377-=__________； （3）112145-=__________； （4）5143123+=__________； （5）73614⨯=__________； （6）2485÷=__________； （7）27927÷=__________； （8）172325⨯=__________； （9）261394÷=__________． 3、如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB ＝30cm ，将纸片对折后展开得到折痕EF ．点P 为BC 边上任意一点，若将纸片沿着DP 折叠，使点C 恰好落在线段EF 的三等分点上，则BC 的长等于_________cm ． ·线○封○密·○外4、小明的妈妈在银行里存入人民币5000元，存期两年，到期后可得人民币5150元，如果设这项储蓄的年利率是x ，根据题意，可列出方程是__________________．5、已知x 2﹣4x ﹣1＝0，则代数式（2x ﹣3）2﹣（x ＋y ）（x ﹣y ）﹣y 2＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、己知x ，y 满足()2230x y -+-=．先化简，再求值：()()()()()22222x y x y x y y y x y ⎡⎤-+--++÷-⎣⎦． 2、如图，在离铁塔20m 的A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为53°，测倾仪高AD 为1.52m ．求铁塔高BC （参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．3、已知52a -的立方根是-3，21a b +-的算术平方根是4，c 3a b c ++的平方根．4、A 市出租车收费标准如下：元，接本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．2、A【分析】根据绝对值的非负性及偶次方的非负性得到x -2=0，3y +4=0，求出x 、y 的值代入计算即可【详解】 解：∵2x -＋（3y ＋4）2＝0，∴x -2=0，3y +4=0，∴x =2，y =43-， ∴2416()39x y =-=， 故选：A ．【点睛】此题考查了已知字母的值求代数式的值，正确掌握绝对值的非负性及偶次方的非负性是解题的关键．3、B【分析】由抛物线开口向下且对称轴为直线x =-3知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．【详解】解：∵二次函数26y x x c =--+中a =-1<0，∴抛物线开口向下，有最大值．∵x =-2b a=-3， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越小，∵-3-（-3）＜-1-（-3）＜4-（-3），∴213y y y >>． 故选：B ． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 4、A 【分析】 根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】 解：∵22-=，1122-=， ∴-2<12-<12<2， 故选A ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 5、D【分析】因为两位数10=⨯十位数字+个位数字，所以求得个位数字是34x -，可得这个两位数可表示为1034x x +-． 【详解】 解：十位上的数字是x ，个位上的数字比十位上的数字的3倍少4， ∴个位数字是34x -， ·线○封○密·○外这个两位数可表示为1034134x x x +-=-，故选：D ．【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握两位数的表示方法．6、D【分析】旋转阴影部分后，阴影部分是一个半圆，根据概率公式可求解【详解】解：旋转阴影部分，如图，∴该点取自阴影部分的概率是12故选：D【点睛】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．7、A【分析】依据矩形的性质即可得到BOC ∆的面积为2，再根据BOC COE BOE S S S∆=+，即可得到OE EF +的值．【详解】解：2AB =，4BC =，∴矩形ABCD 的面积为8，AC =12BO CO AC ∴== 对角线AC ，BD 交于点O ， BOC ∴∆的面积为2， EF OB ⊥，EO AC ⊥， BOC COE BOE S S S ∆∴=+，即11222CO EO OB EF =⨯+⨯，12)2EO EF ∴=+，)4EO EF +=，EO EF ∴+故选：A ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分． 8、D 【分析】 利用去括号法则变形即可得到结果． 【详解】 解：−2(x −2)=-2x +4， 故选：D ． ·线○封○密·○外【点睛】本题考查了去括号与添括号，掌握如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反是解题的关键．9、B【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=20>0，进而可得出方程x 2－2x －4＝0有两个不相等的实数根．【详解】解：∵Δ=(-2)2-4×1×(-4)= 20>0，∴方程x 2－2x －4＝0有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10、D【分析】先确定各项是否为同类项（所含字母相同，相同字母指数也相同的项），如为同类项根据合并同类项法则（只把系数相加减，字母和字母的指数不变）合并同类项即可．【详解】A. 4222a a a -=≠，故A 选项错误；B. 4,2a b ,不是同类项，不能合并，故错误；C. 24266a a a a +=≠，故C 选项错误；D. 422ab ba ab -+=-,故D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查合并同类项，合并同类项时先确定是否为同类项，如是同类项再根据字母和字母的指数不变，系数相加合并同类项． 二、填空题 1、27【分析】如图，∠3＝∠1，由∠3＝∠2+∠A 计算求解即可．【详解】 解：如图∵a ∥b ，∠1＝56° ∴∠3＝∠1＝56° ∵∠3＝∠2+∠A ，∠2＝29° ∴∠A ＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°故答案为：27．【点睛】本题考查了平行线性质中的同位角，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的表示角的数量关系．2、1 27 ·线○封○密○外2120314143567192589【分析】异分母分数加减运算先通分，后加减，最后化为最简即可；同分母分数直接加减；分式乘除运算结果化为最简．【详解】解：（1）541 99+=故答案为：1（2）532 777 -=故答案为：27．（3）11 21 45-96 45 =-45242020=- 2120= 故答案为：2120． （4）5143123+ 5310123=+ 5341012+⨯= 314= 故答案为：314． （5）73614⨯ 37614⨯=⨯ 14= 故答案为：14． （6）2485÷ 24158=⨯ ·线○封○密○外3 5 =故答案为：35．（7）27 927÷227 97 =⨯67=故答案为：67．（8）172 325⨯157 325 =⨯1925=故答案为：19 25．（9）2613 94÷264913 =⨯89=故答案为：89．【点睛】本题考查了有理数的加减乘除运算．解题的关键在于牢记运算法则．3、【分析】分为将纸片沿纵向对折，和沿横向对折两种情况，利用折叠的性质，以及勾股定理解答即可 【详解】如图：当将纸片沿纵向对折 根据题意可得：30AB EF DC DC '====C '为EF 的三等分点 22302033EC EF '∴==⨯= ∴在Rt DEC '△中有DE =2AD DE ∴==BC AD ∴==如图：当将纸片沿横向对折 ·线○封·○密○外根据题意得：30AB DC DC '===，11301522DF DC ==⨯=∴在Rt DFC '△中有C F '==C '为EF 的三等分点23C F EF '∴=32EF ∴=⨯=故答案为：【点睛】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理解直角三角形，解题关键是分两种情况作出折痕EF ，考虑问题应全面，不应丢解．4、5000+5000x ×2＝5150【分析】设这项储蓄的年利率是x ，根据等量关系本息和为本金+本金×利率×期数=到期后的钱数，列方程5000+5000x ×2＝5150即可．【详解】解：设这项储蓄的年利率是x ，依题意得：5000+5000x ×2＝5150．故答案为：5000+5000x ×2＝5150．【点睛】本题考查银行存款本息和问题，掌握本金是存入银行的现金，利息=本金×利率×期数，本息和是本金与利息的和是解题关键． 5、12【分析】化简代数式，将代数式表示成含有241x x --的形式，代值求解即可． 【详解】 解：()()()2223x x y x y y --+-- ()222223x x y y =--+-224129x x x =-+- 23129x x =-+ ()234112x x =--+ 将2410x x --=代入得代数式的值为12 故答案为：12．【点睛】 本题考查了完全平方公式、平方差公式以及代数式求值．解题的关键在于正确的化简代数式． 三、解答题1、22y x -，2 【分析】 先利用平方差公式，完全平方公式单项式乘以多项式法则计算合并同类项，再计算多项式除以单项式，然后根据非负数性质求出字母的值，再代入计算即可． 【详解】 ·线○封○密○外解：原式()()222224222x y x xy y y xy y ⎡⎤=---+++÷-⎣⎦，()()244222xy y y y x =-÷-=-；又∵()2230x y -+-=，()22030x y -≥-≥，， 2=030x y --=，，∴2x =，3y =，∴原式=2223222y x -=⨯-⨯=．【点睛】本题考查条件化简求值，非负数性质，乘法公式，掌握条件化简求值，非负数性质，乘法公式是解题关键．2、41.8米【分析】如图，过A 作AK BC ⊥于,K 可得20, 1.52,AK CD AD CK 再利用tan tan 53,BK BAKAK 求解,BK 从而可得答案. 【详解】解：如图，过A 作AK BC ⊥于,K结合题意可得：四边形AKCD 是矩形，20, 1.52,AK CD AD CK而tan tan 53,BK BAK AK 1.33,20BK 26.6,BK 26.6 1.5241.8BC BK CK 所以铁塔高BC 为：41.8米 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，熟练的构建直角三角形，再利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键.3、±4【分析】 根据52a -的立方根是-3，可求得a 的值；根据21a b +-的算术平方根是4及已经求得的a 的值，可求得b 的值；再由cc 的值，则可求得的值，从而求得结果． 【详解】 ∵52a -的立方根是-3 ∴5227a -=-∴5a =-∵21a b +-的算术平方根是4·线○封○密○外∴2116a b +-=即2(5)116b ⨯-+-=∴27b =∵c 161725<<∴4c =∴33(5)27416a b c ++=⨯-++= ∵4±∴3a b c ++的平方根为±4【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根等概念，熟练掌握这些定义是关键．4、（1）17.2元（2）7千米（3）换乘另外出租车更便宜【分析】（1）根据图表和甲、乙两地相距6千米，列出算式，再进行计算即可；（2）根据（1）得出的费用，得出火车站到旅馆的距离超过3千米，但不超过8千米，再根据图表列出方程，求出x 的值即可；（3）根据（1）得出的费用，得出出租车行驶的路程超过8千米，设出租车行驶的路程为x 千米，根据图表中的数量，列出方程，求出x 的值，从而得出乘原车返回需要的花费，再与换乘另一辆出租车需要的花费进行比较，即可得出答案．（1）10＋2.4×(6－3)＝17.2（元），答：乘出租车从甲地到乙地需要付款17.2元；（2）设火车站到旅馆的距离为x千米．10+2.4×5=22，∵10＜19.6＜22，∴3≤x≤8，10＋2.4(x－3)＝19.2，∴x＝7，符合题意．答：从火车站到旅馆的距离有7千米；（3））设旅馆到机场的距离为x千米，∵73＞22，∴x＞8．10＋2.4(8－3)＋3(x－8)＝73，∴x＝25．所以乘原车返回的费用为：10＋2.4×(8－3)＋3×(25×2－8)＝148（元）；换乘另外车辆的费用为：73×2＝146（元）所以换乘另外出租车更便宜．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．5、（1）2（2）-21 2·线○封○密○外【解析】（1）解：()()25476-+--+-=2-5+4+7-6=2+4+7-5-6=13-11=2；（2）解：()()3116248⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭()11682=÷--122=-- =-212．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．。
湖南省武冈市洞庭校2021-2022学年中考数学最后冲刺模拟试卷含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，若a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．40°B．60°C．120°D．150°2．下列各数是不等式组32123xx+⎧⎨--⎩的解是（）A．0 B．1-C．2 D．33．已知a m=2，a n=3，则a3m+2n的值是（）A．24 B．36 C．72 D．64．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是( )A．B．C．D．5．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（）A．方有两个相等的实数根B．方程有一根等于0C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于06．（2016四川省甘孜州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径'AA的长为（）A．πB．2πC．4πD．8π7．将抛物线绕着点（0，3）旋转180°以后，所得图象的解析式是（）．A．B．C．D．8．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字-1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（）A．B．C．D．9．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（）A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=610．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2﹣3 C．y=（x+2）2+3 D．y=（x+2）2﹣31181）A．9 B．±9 C．±3 D．312．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（）A．3 B．13C10D310二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在Rt AOB ∆中，42OA OB ==．O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PQ (点Q 为切点)，则线段PQ 长的最小值为______．14．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BC =20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM =3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O ．若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是______．15．如图，已知正方形ABCD 中，∠MAN=45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E ，F 点，则下列结论正确的有_____． ①MN=BM+DN②△CMN 的周长等于正方形ABCD 的边长的两倍； ③EF 1=BE 1+DF 1；④点A 到MN 的距离等于正方形的边长 ⑤△AEN 、△AFM 都为等腰直角三角形． ⑥S △AMN =1S △AEF⑦S 正方形ABCD ：S △AMN =1AB ：MN ⑧设AB=a ，MN=b ，则ba≥12﹣1．16．8的算术平方根是_____．17．已知，如图，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝1∶2∶3，若EG ＝3，则AC ＝ ．18．函数y＝1x 的自变量x的取值范围为____________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2018年春节期间旅游情况统计图（如图），根据图中信息解答下列问题：（1）2018年春节期间，该市A、B、C、D、E这五个景点共接待游客人数为多少？（2）扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图．（3）甲，乙两个旅行团在A、B、D三个景点中随机选择一个，求这两个旅行团选中同一景点的概率．20．（6分）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．（1）求x的取值范围；（2）若∠CPN=60°，求x的值；（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留π）．21．（6分）在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F=50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F=36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．22．（8分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？23．（8分）解方程：3122 x x=-+24．（10分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？25．（10分）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：1．(1)求此人所在位置点P的铅直高度．(结果精确到0.1米)(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，tan63.4°≈2)26．（12分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．小明所求作的直线DE是线段AB的；联结AD，AD＝7，sin∠DAC ＝，BC＝9，求AC的长．27．（12分）为了解某校七年级学生的英语口语水平，随机抽取该年级部分学生进行英语口语测试，学生的测试成绩按标准定为A、B、C、D 四个等级，并把测试成绩绘成如图所示的两个统计图表．七年级英语口语测试成绩统计表成绩x(分)等级人数≥ A 12x90≤< B m75x90≤< C n60x75< D 9x60请根据所给信息，解答下列问题：本次被抽取参加英语口语测试的学生共有多少人？求扇形统计图中 C 级的圆心角度数；若该校七年级共有学生640人，根据抽样结课，估计英语口语达到 B级以上(包括B 级)的学生人数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解析】如图：∵∠1=60°，∴∠3=∠1=60°，又∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=120°，故选C.点睛：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键.平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两条平行线之间的距离处处相等.2、D【解析】求出不等式组的解集，判断即可． 【详解】32123x x ①②+>⎧⎨-<-⎩， 由①得：x ＞-1， 由②得：x ＞2，则不等式组的解集为x ＞2，即3是不等式组的解， 故选D ． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3、C 【解析】试题解析：∵a m =2，a n =3， ∴a 3m+2n =a 3m •a 2n =（a m ）3•（a n ）2 =23×32 =8×9 =1． 故选C. 4、A 【解析】解：分析题中所给函数图像，O E -段，AP 随x 的增大而增大，长度与点P 的运动时间成正比． E F -段，AP 逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除C 、D 选项，F G -段，AP 逐渐减小直至为0，排除B 选项．故选A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．5、C【解析】试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，∴1+（﹣1）=0，即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；故选C．6、B【解析】试题分析：∵每个小正方形的边长都为1，∴OA=4，∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，∴∠AOA′=90°，∴A点运动的路径'AA的长为：904180π⨯=2π．故选B．考点：弧长的计算；旋转的性质．7、D【解析】将抛物线绕着点（0，3）旋转180°以后，a的值变为原来的相反数，根据中心对称的性质求出旋转后的顶点坐标即可得到旋转180°以后所得图象的解析式.【详解】由题意得，a=-.设旋转180°以后的顶点为（x′，y′），则x′=2×0-(-2)=2，y′=2×3-5=1,∴旋转180°以后的顶点为(2,1)，∴旋转180°以后所得图象的解析式为：.故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象的旋转变换，在绕抛物线某点旋转180°以后，二次函数的开口大小没有变化，方向相反；设旋转前的的顶点为（x，y），旋转中心为（a，b），由中心对称的性质可知新顶点坐标为（2a-x，2b-y），从而可求出旋转后的函数解析式.8、C【解析】列表得，1 2 0 -11 （1，1）（1，2）（1，0）（1，-1）2 （2，1）（2，2）（2，0）（2，-1）0 （0，1）（0，2）（0，0）（0，-1）-1 （-1，1）（-1，2）（-1，0）（-1，-1），故选C.由表格可知，总共有16种结果，两个数都为正数的结果有4种，所以两个数都为正数的概率为=164考点：用列表法（或树形图法）求概率.9、D【解析】本题应对原方程进行因式分解，得出（x-6）（x+1）=1，然后根据“两式相乘值为1，这两式中至少有一式值为1．”来解题．【详解】x2-5x-6=1（x-6）（x+1）=1x1=-1，x2=6故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．10、D【解析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．11、D【解析】根据算术平方根的定义求解.【详解】，又∵（±1）2=9，∴9的平方根是±1，∴9的算术平方根是1．1．故选:D．【点睛】考核知识点：算术平方根.理解定义是关键.12、A【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠A 的正切值为31BC AC ==3， 故选A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、23【解析】连接OQ ，根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，可得当OP AB ⊥时，即线段PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案．【详解】连接OQ ．∵PQ 是O 的切线，∴OQ PQ ⊥；∴222PQ OP OQ =-，∴当PO AB ⊥时，线段OP 最短，∴PQ 的长最短，∵在Rt AOB ∆中，42OA OB ==，∴28AB OA ==， ∴4OA OB OP AB⋅==， ∴2223PQ OP OQ =-=.故答案为：23．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到PO AB⊥时，线段PQ最短是关键．14、256或5013．【解析】由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN 是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∵BC=20，∴在Rt△ABC中，2cos cos45201022AC BC C BC=⋅=⋅︒=⨯=∵DE是△ABC的中位线，∴1110252 22CE AC==⨯=∴在Rt△CFE中，2sin sin45525EF CE C BC=⋅=⋅︒==，5FC EF==.∵BM=3，BC=20，FC=5，∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12. ∵EF=5，MF=12，∴在Rt△MFE中，5 tan12EFEMFMF∠==，∵DE是△ABC的中位线，BC=20，∴11201022DE BC==⨯=，DE∥BC，∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，∴5 tan tan12DEO EMF∠=∠=，∴在Rt△ODE中，525tan10126 DO DE DEO=⋅∠=⨯=.(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)∵EF=5，MF=12，∴在Rt△MFE中，222212513ME MF EF=++=，∴在Rt△MFE中，5 sin13EFEMFME∠==，∵∠DEO=∠EMF，∴5 sin sin13DEO EMF∠=∠=，∵DE=10，∴在Rt△DOE中，550sin101313 DO DE DEO=⋅∠=⨯=.综上所述，DO的长是256或5013.故本题应填写：256或5013.点睛：在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.15、①②③④⑤⑥⑦．【解析】将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH．证明△MAN≌△HAN，得到MN=NH，根据三角形周长公式计算判断①；判断出BM=DN时，MN最小，即可判断出⑧；根据全等三角形的性质判断②④；将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．证明△EAH≌△EAF，得到∠HBE=90°，根据勾股定理计算判断③；根据等腰直角三角形的判定定理判断⑤；根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断⑥，根据点A到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长、三角形的面积公式计算，判断⑦．【详解】将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ．则∠DAH=∠BAM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠MAN=45°，∴∠BAN+∠DAN=45°，∴∠NAH=45°，在△MAN 和△HAN 中，AM AH MAN HAN AN AN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MAN ≌△HAN ，∴MN=NH=BM+DN ，①正确；∵（当且仅当BM=DN 时，取等号）∴BM=DN 时，MN 最小，∴BM=12b ， ∵DH=BM=12b ， ∴DH=DN ，∵AD ⊥HN ，∴∠DAH=12∠HAN=11.5°， 在DA 上取一点G ，使DG=DH=12b ， ∴∠DGH=45°，b ， ∵∠DGH=45°，∠DAH=11.5°，∴∠AHG=∠HAD ，∴AG=HG=2b ，∴AB=AD=AG+DG=22b+12b=212+b=a ， ∴222221b a ==-+， ∴222b a≥-， 当点M 和点B 重合时，点N 和点C 重合，此时，MN 最大=AB ，即：1b a=， ∴222-≤b a ≤1，⑧错误； ∵MN=NH=BM+DN∴△CMN 的周长=CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD ，∴△CMN 的周长等于正方形ABCD 的边长的两倍，②结论正确；∵△MAN ≌△HAN ，∴点A 到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长AD ，④结论正确；如图1，将△ADF 绕点A 顺时针性质90°得到△ABH ，连接HE ．∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE ，∴∠EAH=∠EAF=45°，∵EA=EA ，AH=AD ，∴△EAH ≌△EAF ，∴EF=HE ，∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD ，∴∠HBE=90°，在Rt △BHE 中，HE 1=BH 1+BE 1，∵BH=DF ，EF=HE ，∵EF1=BE1+DF1，③结论正确；∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EDN，∴A、E、N、D四点共圆，∴∠ADN+∠AEN=180°，∴∠AEN=90°∴△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；⑤结论正确；∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴，，如图3，过点M作MP⊥AN于P，在Rt△APM中，∠MAN=45°，∴MP=AMsin45°，∵S△AMN=12AN•MP=12AM•AN•sin45°，S△AEF=12AE•AF•sin45°，∴S△AMN：S△AEF=1，∴S△AMN=1S△AEF，⑥正确；∵点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长，∴S正方形ABCD：S△AMN=212ABMN AB=1AB：MN，⑦结论正确．即：正确的有①②③④⑤⑥⑦，故答案为①②③④⑤⑥⑦．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形．16、.【解析】试题分析：本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．依据算术平方根的定义回答即可．由算术平方根的定义可知：8，∴8的算术平方根是．故答案为．考点：算术平方根.17、1【解析】试题分析：根据DE∥FG∥BC可得△ADE∽△AFG∽ABC，根据题意可得EG：AC=DF：AB=2:6=1:3，根据EG=3，则AC=1．考点：三角形相似的应用．18、x≥－1【解析】试题分析：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为x≥﹣1．考点：函数自变量的取值范围．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）50万人；（2）43.2°；统计图见解析（3）13．【解析】（1）根据A景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市景点共接待游客数；（2）先用360°乘以E的百分比求得E景点所对应的圆心角的度数，再根据B、D景点接待游客数补全条形统计图；（3）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．【详解】解：（1）该市景点共接待游客数为：15÷30%=50（万人）；（2）扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是：650×360°=43.2°，B景点的人数为50×24%=12（万人）、D景点的人数为50×18%=9（万人），补全条形统计图如下：故答案为43.2°；（3）画树状图可得：∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，∴P（同时选择去同一个景点）31. 93 ==【点睛】本题考查的是统计以及用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20、（1）0≤x≤10；（1）x=6；（3）y=﹣94πx1+54πx．【解析】（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；（1）根据等边三角形的判定和性质即可求解；（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MB的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径即可．【详解】（1）∵BC=1分米，AC=CN+PN=11分米，∴AB=AC﹣BC=10分米，∴x的取值范围是：0≤x≤10；（1）∵CN=PN，∠CPN=60°，∴△PCN是等边三角形，∴CP=6分米，∴AP=AC﹣PC=6分米，即当∠CPN=60°时，x=6；（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H，∵PM=PN=CM=CN，∴四边形PNCM是菱形，∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，PB=PC12x22-==6-1x2，在Rt△MBP中，PM=6分米，∴MB1=PM1﹣PB1=61﹣（6﹣12x）1=6x﹣14x1．∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，∴EH=HF，EF⊥AC，∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，∴△CMB∽△CEH，∴MBEH=CMCE，∴2226()18 MBEH=，∴EH1=9•MB1=9•（6x﹣14x1），∴y=π•EH1=9π（6x﹣14x1），即y=﹣94πx1+54πx．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用以及菱形的性质和二次函数的应用，难点是第（3）问，熟练运用菱形的性质、相似三角形的性质和二次函数的实际应用．21、（I）65°；（II）72°【解析】（I）如图①，连接OB，先利用切线的性质得∠OBF=90°，而OA⊥CD，所以∠OED=90°，利用四边形内角和可计算出∠AOB=130°，然后根据等腰三角形性质和三角形内角和计算出∠1=∠A=25°，从而得到∠2=65°，最后利用三角形内角和定理计算∠BGF的度数；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，利用切线的性质得OB⊥BF，再利用AC∥BF得到BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=144°，从而得到∠OBA=∠OAB=18°，接着计算出∠OAH=54°，然后根据圆周角定理得到∠BDG的度数．【详解】解:（I）如图①，连接OB，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF=90°，∵OA⊥CD，∴∠OED=90°，∴∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣50°=130°，∵OA=OB，∴∠1=∠A=12（180°﹣130°）=25°，∴∠2=90°﹣∠1=65°，∴∠BGF=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣65°﹣50°=65°；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∵AC∥BF，∴BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣36°=144°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=12（180°﹣144°）=18°，∵∠AOB=∠OHA+∠OAH，∴∠OAH=144°﹣90°=54°，∴∠BAC=∠OAH+∠OAB=54°+18°=72°，∴∠BDG=∠BAC=72°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．22、 (1) 0≤x ＜20；(2) 降价2.5元时，最大利润是6125元【解析】（1）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x 的取值范围．（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．【详解】(1)根据题意得y=(70−x−50)(300+20x)=−20x 2+100x+6000，∵70−x−50>0，且x≥0，∴0≤x<20.(2)∵y=−20x 2+100x+6000=−20(x−52)2+6125， ∴当x=52时，y 取得最大值，最大值为6125， 答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.23、x=-4是方程的解【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】3122x x =-+ ()()322x x +=-∴x=-4，当x=-4时，()()2020x x +≠-≠，∴x=-4是方程的解【点睛】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．24、（1）20%；（2）12.1．【解析】试题分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x ，则经过两次增长以后图书馆有书7100（1+x ）2本，即可列方程求解；（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a 的值至少是多少．试题解析：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x ，根据题意得7100（1+x ）2=10800，即（1+x ）2=1.44，解得：x 1=0.2，x 2=﹣2.2（舍去）．答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；（2）10800（1+0.2）=12960（本）10800÷1310=8（本）12960÷1440=9（本）（9﹣8）÷8×100%=12.1%． 故a 的值至少是12.1．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；最值问题；增长率问题．25、（1）此人所在P 的铅直高度约为14.3米；（2）从P 到点B 的路程约为17.1米【解析】分析：(1)过P 作PF ⊥BD 于F ，作PE ⊥AB 于E ，设PF ＝5x ，在Rt △ABC 中求出AB ，用含x 的式子表示出AE ，EP ，由tan ∠APE ，求得x 即可；(2)在Rt △CPF 中，求出CP 的长.详解：过P 作PF ⊥BD 于F ，作PE ⊥AB 于E ，∵斜坡的坡度i ＝5:1，设PF ＝5x ，CF ＝1x ，∵四边形BFPE 为矩形，∴BF ＝PEPF ＝BE .在RT △ABC 中，BC ＝90，tan∠ACB＝AB BC，∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋10x.在RT△AEP中，tan∠APE＝1805490123 AE xEP x-≈＝＋，∴x＝207，∴PF＝5x＝10014.3 7≈.答：此人所在P的铅直高度约为14.3米. 由(1)得CP＝13x，∴CP＝13×207≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝17.1.答：从P到点B的路程约为17.1米.点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.26、（1）线段AB的垂直平分线（或中垂线）；（2）AC＝5．【解析】（1）垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（2）根据题意垂直平分线定理可得AD＝BD，得到CD＝2，又因为已知sin∠DAC=，故可过点D作AC垂线，求得DF=1，利用勾股定理可求得AF，CF，即可求出AC长.【详解】（1）小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线（或中垂线）；故答案为线段AB 的垂直平分线（或中垂线）；（2）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，如图，∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ＝7∴CD ＝BC ﹣BD ＝2，在Rt △ADF 中，∵sin ∠DAC ＝，∴DF ＝1，在Rt △ADF 中，AF ＝，在Rt △CDF 中，CF ＝，∴AC ＝AF+CF ＝．【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图方法，三角函数和勾股定理求线段长度，解本题的关键是充分利用中垂线，将已知条件与未知条件结合起来解题.27、 (1)60人;(2)144°;(3)288人. 【解析】()1D 等级人数除以其所占百分比即可得；()2先求出A 等级对应的百分比，再由百分比之和为1得出C 等级的百分比，继而乘以360即可得；()3总人数乘以A 、B 等级百分比之和即可得．【详解】解：()1本次被抽取参加英语口语测试的学生共有915%60÷=人；()2A 级所占百分比为12100%20%60⨯=， C ∴级对应的百分比为()120%25%15%40%-++=，⨯=；则扇形统计图中 C 级的圆心角度数为36040%144()()⨯+=人)，364020%25%288(答：估计英语口语达到 B级以上(包括B 级)的学生人数为288人．【点睛】.利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.也考查了样本估计总体．统计图，才能作出正确的判断和解决问题。
湖南省武冈市中考数学 专题一 归纳猜想型问题培优试题(无答案)
专题一 归纳猜想型问题姓名： 班别： [典例导析]类型一：从数列中找规律例1：下表中的数字是按一定规律填写的，表中a 值应为 ，b 值应为 。
13b[点拨] [解答][变式]观察规律，211=，2231=+，23531=++，247531=+++，……则________2017531=++++类型二：从图中找规律例2：下图是由同样大小的矩形按一定规律组成，其中2)1(2cm S =，2)2(8cm S =，2)3(18cm S =，以此类推，_______)10(=S（1） （2） （3） （4） [点拨] [解答][变式] 如图，下列各图形中三个数之间均具有相同规律，依此规律，图形中M 与m 、n 的关系是 。
类型三从整阵中找规律例3：将连续的正整数按图所示的规律排列，则位于第7行第7列的数是第一列第二列第三列第四列第五列第六列第七列第1行 1 3 6 10 15 21 28第2行 2 5 9 14 20 27第3行 4 8 13 19 26第4行7 12 18 25第5行11 17 24第6行16 23第7行22[点拨][解答][变式] 如图三角形数阵按从小到大，左小右大排列，如果将表中的数按从小到大的顺序排列，那么第50个数是。
[点拨] 先确定第50个数所在的位置，再确定每行。
类型四：观察、归纳和猜想例4：一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级或两级台阶，最多可迈三级台阶，从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同迈法。
[点拨] 复杂的问题简单化，从简单入手进行归纳与猜想。
[解答]：[变式]：如图，在一个三角形点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6…2n …，请探究前n 行的点数和所满足的规律。
若前n 行点数和为930，则n= 。
培优训练1、计算4131=+，10132=+，28133=+，82134=+，244135=+，……归纳计算结果中个位数字的规律，猜测132016+有个位为 。
湖南省武冈市第一中学2024届中考数学考前最后一卷含解析
湖南省武冈市第一中学2024届中考数学考前最后一卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是( )A．点A B．点B C．点C D．点D2．下列运算结果正确的是（）A．3a﹣a=2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．a（a+b）=a2+b D．6ab2÷2ab=3b3．在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是()A．B．C．D．4．如图，函数y=()()()4022824x x xx x⎧--≤<⎪⎨-+≤≤⎪⎩的图象记为c1，它与x轴交于点O和点A1；将c1绕点A1旋转180°得c2，交x轴于点A2；将c2绕点A2旋转180°得c3，交x轴于点A3…如此进行下去，若点P（103，m）在图象上，那么m的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．45．已知=2{=1xy是二元一次方程组+=8{=1mx nynx my-的解，则2m n-的算术平方根为（）A．±2 B．C．2 D．46．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积（）A ．65πB ．90πC ．25πD ．85π7．如图，将Rt ∆ABC 绕直角项点C 顺时针旋转90°，得到∆A' B'C ，连接AA'，若∠1=20°，则∠B 的度数是( )A ．70°B ．65°C ．60°D ．55° 8．如图，PA 、PB 是O 的切线，点D 在AB 上运动，且不与A ，B 重合，AC 是O 直径．62P ∠=︒，当//BD AC 时，C ∠的度数是( )A ．30B ．31︒C ．32︒D ．33︒9．设0＜k ＜2，关于x 的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y 的最小值是（ ）A ．2k-2B ．k-1C ．kD ．k+110．关于x 的一元二次方程x 2+8x +q =0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是( )A ．q <16B ．q >16C ．q ≤4D ．q ≥4二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．将一副三角板如图放置，若20AOD ∠=，则BOC ∠的大小为______．12．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．下列结论①BE平分∠ABC；②AE=BE=BC；③△BEC周长等于AC+BC；④E点是AC的中点．其中正确的结论有_____（填序号）13．不等式-2x+3>0的解集是___________________14．如图，正方形ABCD中，AB=3，以B为圆心，13AB长为半径画圆B，点P在圆B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至Q，连接BQ，在点P移动过程中，BQ长度的最小值为_____．15．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是_____°．16．正十二边形每个内角的度数为．17．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．19．（5分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD=3，求⊙O的半径．20．（8分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，过点C作CE⊥BP 交直线BP于E.(1) 若，求证：；(2) 若AB＝BC．①如图2，当点P与E重合时，求的值；②如图3，设∠DAP的平分线AF交直线BP于F，当CE＝1，时，直接写出线段AF的长.21．（10分）如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=1．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且PQ=12MN 时，求菱形对角线MN 的长．22．（10分）如图，在△ABC 中，∠C=90°．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于D ；若AB=10cm ，CD=4cm ，求△ABD 的面积．23．（12分）关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．求k 的取值范围；如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值． 24．（14分）计算：sin30°•tan60°+cos30cot 45cos 60︒-︒︒.．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】试题分析：在数轴上，离原点越近则说明这个点所表示的数的绝对值越小，根据数轴可知本题中点B 所表示的数的绝对值最小．故选B ．2、D【解题分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【题目详解】解：A 、原式=2a ，不符合题意；B 、原式=a 2-2ab+b 2，不符合题意；C 、原式=a 2+ab ，不符合题意;D 、原式=3b ，符合题意；故选D【题目点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3、C【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【题目详解】解：A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C 、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；D 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选C ．【题目点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4、C【解题分析】求出1C 与x 轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x 轴上方，然后求出到抛物线25C 平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线26C 的解析式，然后把点P 的坐标代入计算即可得解．【题目详解】令0y =,则()428x x x ⎧--⎨-+⎩=0,解得120,4x x ==，()14,0A ∴，由图可知,抛物线26C 在x 轴下方，相当于抛物线1C 向右平移4×(26−1)=100个单位得到得到25C ,再将25C 绕点25A 旋转180°得26C ，∴26C 此时的解析式为y =(x −100)(x −100−4)=(x −100)(x −104)，103P m （，）在第26段抛物线26C 上， ∴m =(103−100)(103−104)=−3.故答案是：C.【题目点拨】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是根据题意得到p 点所在函数表达式.5、C【解题分析】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．【分析】∵=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，∴2+=8{2=1m n n m -，解得=3{=2m n ．．即2m n -的算术平方根为1．故选C ．6、B【解题分析】根据三视图可判断该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，再利用勾股定理计算出母线长，然后求底面积与侧面积的和即可．【题目详解】由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，所以圆锥的母线长=13，所以圆锥的表面积=π×52+12×2π×5×13=90π． 故选B ．【题目点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．7、B【解题分析】根据图形旋转的性质得AC=A′C ，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C ，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．【题目详解】∵将Rt ∆ABC 绕直角项点C 顺时针旋转90°，得到∆A' B'C ，∴AC=A′C ，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C ，∴∠AA′C=45°，∵∠1=20°，∴∠B′A′C=45°-20°=25°，∴∠A′B′C=90°-25°=65°，∴∠B=65°．故选B ．【题目点拨】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．8、B【解题分析】连接OB ，由切线的性质可得90∠=∠=︒PAO PBO ，由邻补角相等和四边形的内角和可得62∠=∠=︒BOC P ，再由圆周角定理求得D ∠，然后由平行线的性质即可求得C ∠．【题目详解】解，连结OB ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴PA OA ⊥，PB OB ⊥，则90∠=∠=︒PAO PBO ，∵四边形APBO 的内角和为360°，即++360∠∠∠+∠=︒PAO PBO P AOB ，∴180∠+∠=︒P AOB ，又∵62P ∠=︒，180∠+∠=︒BOC AOB ，∴62∠=∠=︒BOC P ，∵BC BC =， ∴1312∠=∠=︒D BOC ， ∵//BD AC ，∴31∠=∠=︒C D ，故选：B ．【题目点拨】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、平行线的性质和四边形的内角和，解题的关键是灵活运用有关定理和性质来分析解答．9、A【解题分析】先根据0＜k ＜1判断出k-1的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤1即可得出结论．【题目详解】∵0＜k ＜1，∴k-1＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤1，∴当x=1时，y 最小=1（k-1）+1=1k-1．故选A ．【题目点拨】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0，b ＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．10、A【解题分析】∵关于x 的一元二次方程x 2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即82-4q>0，∴q<16，故选 A.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、160°【解题分析】试题分析：先求出∠COA和∠BOD的度数，代入∠BOC=∠COA+∠AOD+∠BOD求出即可．解：∵∠AOD=20°，∠COD=∠AOB=90°，∴∠COA=∠BOD=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=∠COA+∠AOD+∠BOD=70°+20°+70°=160°，故答案为160°．考点：余角和补角．12、①②③【解题分析】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠ABC、∠C的度数，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的判定定理和三角形的周长公式计算即可．解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=36°，∴∠EBC=36°，∴∠EBA=∠EBC，∴BE平分∠ABC，①正确；∠BEC=∠EBA+∠A=72°，∴∠BEC=∠C，∴BE=BC，∴AE=BE=BC，②正确；△BEC周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=AC+BC，③正确；∵BE＞EC，AE=BE，∴AE＞EC，∴点E不是AC的中点，④错误，故答案为①②③．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．13、x<3 2【解题分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．【题目详解】移项，得：-2x＞-3，系数化为1，得：x＜32，故答案为x＜32．【题目点拨】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．14、32﹣1【解题分析】通过画图发现，点Q的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当Q在对角线BD上时，BQ最小，先证明△PAB≌△QAD，则QD=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BQ的长．【题目详解】如图，当Q在对角线BD上时，BQ最小．连接BP，由旋转得：AP=AQ，∠PAQ=90°，∴∠PAB+∠BAQ=90°．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAQ+∠DAQ=90°，∴∠PAB=∠DAQ，∴△PAB≌△QAD，∴QD=PB=1．在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，由勾股定理得：BD=223332+=，∴BQ=BD﹣QD=32﹣1，即BQ长度的最小值为（32﹣1）．故答案为21．【题目点拨】本题是圆的综合题．考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点Q的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BQ长度的最小值最小值．15、4．【解题分析】试题分析：连结BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，又因为BD，CD分别是过⊙O 上点B，C的切线，∠BDC＝440°，所以CD=BD,所以∠BCD＝∠DBC＝4°,又∠ABD＝90°，所以∠A=∠DBC＝4°．考点：4．圆周角定理；4．切线的性质；4．切线长定理．16、150︒【解题分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．【题目详解】试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：36012︒=30°，则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°．故答案为150°．17、（a+1）1．【解题分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．【题目详解】原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]，=（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]，=（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]，=…，=（a+1）1．故答案是：（a+1）1．【题目点拨】考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、(1)PM＝PN，PM⊥PN；(2)△PMN是等腰直角三角形，理由详见解析；(3)492．【解题分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝12CE，PN＝12BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝12BD，PN＝12BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）方法1、先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可．【题目详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝12BD，PM＝12CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC ＝∠DBC ，∵∠DPN ＝∠DCB +∠PNC ＝∠DCB +∠DBC ，∴∠MPN ＝∠DPM +∠DPN ＝∠DCE +∠DCB +∠DBC＝∠BCE +∠DBC ＝∠ACB +∠ACE +∠DBC＝∠ACB +∠ABD +∠DBC ＝∠ACB +∠ABC ，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACB +∠ABC ＝90°，∴∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形，（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，∴DE ∥BC 且DE 在顶点A 上面，∴MN 最大＝AM +AN ，连接AM ，AN ，在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝90°，∴AM ＝，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝，∴MN 最大＝＝，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×（）2＝492． 方法2、由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝PN ＝12BD ， ∴PM 最大时，△PMN 面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，∴BD ＝AB +AD ＝14，∴PM ＝7，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×72＝492【题目点拨】本题考查旋转中的三角形,关键在于对三角形的所有知识点熟练掌握.19、（1）详见解析；（23【解题分析】（1）因为AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，根据角平分线的定义得：∠ACD＝∠ACB＝60°，根据同弧所对的圆周角相等，得∠ACD＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，∠ABD＝∠ADB＝60°.根据三个角是60°的三角形是等边三角形得△ABD 是等边三角形.（2）作直径DE，连结BE，由于△ABD是等边三角形，则∠BAD＝60°，由同弧所对的圆周角相等，得∠BED＝∠BAD＝60°.根据直径所对的圆周角是直角得，∠EBD＝90°，则∠EDB＝30°，进而得到DE＝2BE.设EB ＝x，则ED＝2x，根据勾股定理列方程求解即可.【题目详解】解：（1）∵∠BCD=120°，CA平分∠BCD，∴∠ACD=∠ACB=60°，由圆周角定理得，∠ADB=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACD=60°，∴△ABD是等边三角形；（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则DH=12BD=32，∠BOD=2∠BAD=120°，∴∠DOH=60°，在Rt△ODH中，OD=sin DHDOH3∴⊙O3【题目点拨】本题是一道圆的简单证明题，以圆的内接四边形为背景，圆的内接四边形的对角互补，在圆中往往通过连结直径构造直角三角形，再通过三角函数或勾股定理来求解线段的长度.20、（1）证明见解析；（2）①；②3.【解题分析】(1) 过点A作AF⊥BP于F,根据等腰三角形的性质得到BF=BP，易证Rt△ABF∽Rt△BCE，根据相似三角形的性质得到，即可证明BP=CE.(2) ①延长BP、AD交于点F，过点A作AG⊥BP于G,证明△ABG≌△BCP，根据全等三角形的性质得BG＝CP，设BG＝1，则PG＝PC＝1，BC＝AB＝，在Rt△ABF中，由射影定理知，AB2＝BG·BF＝5，即可求出BF＝5，PF＝5－1－1＝3，即可求出的值；②延长BF、AD交于点G，过点A作AH⊥BE于H，证明△ABH≌△BCE，根据全等三角形的性质得BG＝CP，设BH＝BP＝CE＝1，又，得到PG＝，BG＝，根据射影定理得到AB2＝BH·BG ，即可求出AB＝，根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到.【题目详解】解：(1) 过点A作AF⊥BP于F∵AB=AP∴BF=BP，∵Rt△ABF∽Rt△BCE∴∴BP=CE.(2) ①延长BP、AD交于点F，过点A作AG⊥BP于G∵AB＝BC∴△ABG≌△BCP（AAS）∴BG＝CP设BG＝1，则PG＝PC＝1∴BC＝AB＝在Rt△ABF中，由射影定理知，AB2＝BG·BF＝5∴BF＝5，PF＝5－1－1＝3∴②延长BF、AD交于点G，过点A作AH⊥BE于H∵AB＝BC∴△ABH≌△BCE（AAS）设BH＝BP＝CE＝1∵∴PG＝，BG＝∵AB2＝BH·BG∴AB＝∴∵AF平分∠PAD，AH平分∠BAP∴∠FAH ＝∠BAD ＝45°∴△AFH 为等腰直角三角形 ∴【题目点拨】考查等腰三角形的性质，勾股定理，射影定理，平行线分线段成比例定理等，解题的关键是作出辅助线.难度较大.21、 (1) 21262y x x =--，点D 的坐标为(2，-8) (2) 点F 的坐标为(7，92)或(5，72)(3) 菱形对角线MN 65+1651.【解题分析】分析：（1）利用待定系数法，列方程求二次函数解析式.(2)利用解析法，∠FAB =∠EDB ， tan ∠FAG =tan ∠BDE ，求出F 点坐标.(3)分类讨论，当MN 在x 轴上方时，在x 轴下方时分别计算MN.详解：(1)∵OB=OC =1，∴B (1，0)，C (0，-1). ∴216+6026b c c ⎧⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得26b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为21262y x x =--. ∵21262y x x =--=()21282x --， ∴点D 的坐标为(2，-8).(2)如图，当点F 在x 轴上方时，设点F 的坐标为(x ，21262x x --).过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，易求得OA =2，则AG=x +2，FG =21262x x --. ∵∠FAB =∠EDB ，∴tan ∠FAG =tan ∠BDE ，即21261222x x x --=+， 解得17x =，22x =-(舍去).当x =7时，y =92， ∴点F 的坐标为(7，92). 当点F 在x 轴下方时，设同理求得点F 的坐标为(5，72-). 综上所述，点F 的坐标为(7，92)或(5，72-). (3)∵点P 在x 轴上，∴根据菱形的对称性可知点P 的坐标为(2，0).如图，当MN 在x 轴上方时，设T 为菱形对角线的交点.∵PQ =12MN ， ∴MT =2PT.设TP=n ，则MT =2n . ∴M (2+2n ，n ).∵点M 在抛物线上， ∴()()212222262n n n =+-+-，即2280n n --=.解得1n =2n =舍去).∴MN =2MT =4n .当MN 在x 轴下方时，设TP=n ，得M (2+2n ，-n ).∵点M 在抛物线上， ∴()()212222262n n n -=+-+-， 即22+80n n -=.解得1n =2n =舍去).∴MN =2MT =4n 1.综上所述，菱形对角线MN 1.点睛：1.求二次函数的解析式（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y ＝ax 2＋bx ＋c （0a ≠）.列方程组求二次函数解析式.(2)已知二次函数与x 轴的两个交点1,0x （）(2,0)x ，利用双根式，y =()()12a x x x x --（0a ≠）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,122x x x +=. 2.处理直角坐标系下，二次函数与几何图形问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，往往是解决问题的钥匙.22、（1）答案见解析；（2）220cm【解题分析】(1)根据三角形角平分线的定义,即可得到AD;(2)过D 作于DE ⊥ABE,根据角平分线的性质得到DE=CD=4,由三角形的面积公式即可得到结论.【题目详解】解:(1)如图所示,AD 即为所求;(2)如图,过D 作DE ⊥AB 于E,∵AD 平分∠BAC,∴DE=CD=4,∴S △ABD =12AB·DE=20cm 2. 【题目点拨】掌握画角平分线的方法和角平分线的相关定义知识是解答本题的关键.23、（1）94k ≤；（2）m 的值为32． 【解题分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠． 【题目详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥， 解得94k ≤； （2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根， ∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，而10m -≠，∴m 的值为32． 【题目点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．242- 【解题分析】试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.试题解析：原式=1122122-.。
2022—2023学年湖南省邵阳市武冈市九年级下学期期中数学试卷
2022—2023学年湖南省邵阳市武冈市九年级下学期期中数学试卷一、单选题1. 的倒数是（）A．2023B．C．D．2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础，2022年我国粮食总产量创历史新高，达万亿斤，该数据可用科学记数法表示为（）A．斤B．斤C．斤D．斤4. 某次比赛共有23位选手参加角逐争取12个晋级名额，已知他们的分数互不相同，小张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列23名选手成绩统计量中的（）A．众数B．方差C．中位数D．平均数5. 由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（）A．主视图的面积最小B．左视图的面积最小C．俯视图的面积最小D．三个视图的面积相等6. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．67. 如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的值为（）A．B．C．D．8. 若一个圆锥的母线长是它底面半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角等于（）A．120°B．135°C．150°D．180°9. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定10. 如图是二次函数（，a，b，c为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（）A．①②③B．①③④⑤C．①②③④⑤D．①②④二、填空题11. 因式分解： ______ ．12. 已知x，y为实数，，则 ______ ．13. 据有关测定，当气温处于人体正常体温( )的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为 _________ (结果保留整数)．14. 已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点，另一个交点的坐标为 ______ ．15. 如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为 ______ ．16. 如图，一次函数y 1=ax+b与反比例函数的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y 1＞y 2，则x的取值范围是 ___________ ．17. 如图，在周长为 12 的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+ FP的最小值为 _____ .18. 在矩形ABCD中,AB=1,AD= ,AF平分∠DAB,过C点作CE⊥BD于E,延长AF,EC交于点H,下列结论中:①AF=FH;②BO=BF;③CA=CH;④BE=3ED.其中一定成立的是 ________ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)三、解答题19. 计算：．20. 先化简，再求值：，其中x= ﹣1．21. 已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA= MC．①求证：CD= AN；②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．22. 某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：A跳绳；B书法；C舞蹈；D足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查中，一共调查了______名同学；(2)条形统计图中， ______， ______；(3)扇形统计图中，书法B所在扇形的圆心角的度数______；(4)小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率．（用树状图或列表法解答）．23. 冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了斤羊腿，斤羊排，一共花了元；顾客乙买了斤羊腿，斤羊排，一共花了元．(1)羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？(2)第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共斤，且羊腿的重量不少于斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利元，每斤羊排可盈利元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？24. 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）25. 如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若，求AD的长．26. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点，点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的最小值；（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接P A，PB，记与的面积分别为，，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．。
2024年湖南省中考数学试题+答案详解
2024年湖南省中考数学试题+答案详解（试题部分）本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效： 4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（ ） A. 180+元B. 300+元C. 180−元D. 480−元2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ） A. 70.401510⨯B. 64.01510⨯C. 540.1510⨯D. 34.01510⨯3. 如图，该纸杯的主视图是（ ）A. B. C. D.4. 下列计算正确的是（ ）A. 22321a a −=B. 32(0)a a a a ÷=≠C. 236a a a ⋅=D. ()3326a a =5. ）A.B. C. 14D.6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为720︒ D. 直角三角形是轴对称图形7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ） A. 130B. 158C. 160D. 1929. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A. DE BC ∥B. ADE ABC △△∽C. 2BC DE =D. 12ADEABC SS =10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当yx（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a −+在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. 3a <−B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024−−=________．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．13. 分式方程21x +=1的解是_______． 14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为________． 16. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即kf l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MNAB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF 为________分米（结果用含根号的式子表示）．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. 计算：01|3|cos 602⎛⎫−+−+︒ ⎪⎝⎭20. 先化简，再求值：22432x x x x x−⋅++，其中3x =．21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人； （2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．①在水池外取一点E，使得点②过点E作GH CE⊥，并沿的长为4米；③在点F处用测角仪测得请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE和BC的长度：（2）求底座的底面ABCD的面积．25. 已知二次函数2y x c=−+的图像经过点()2,5A−，点()11,P x y，()22,Q x y是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC x⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DCPDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =−，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x −，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．26. 【问题背景】 已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠= ︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ． ①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及ABBC的值．2024年湖南省中考数学试题+答案详解（答案详解）本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效： 4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ） A. 180+元 B. 300+元C. 180−元D. 480−元【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可； 【详解】解：收入为“+”，则支出为“−”， 那么支出180元记作180−元． 故选：C ．2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ） A. 70.401510⨯ B. 64.01510⨯C. 540.1510⨯D. 34.01510⨯【答案】B 【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：4015000用科学记数法表示为64.01510⨯． 故选：B ．3. 如图，该纸杯的主视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案． 此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 【详解】解：该纸杯的主视图是选项A ， 故选：A ．4. 下列计算正确的是（ ） A. 22321a a −= B. 32(0)a a a a ÷=≠C. 236a a a ⋅=D. ()3326a a =【答案】B 【解析】【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A 、22232a a a −=，故该选项不正确，不符合题意； B 、32(0)a a a a ÷=≠，故该选项正确，符合题意； C 、235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；D 、()3328a a =，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B ．5. 的结果是（ ）A. B.C. 14D.【答案】D 【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．= 故选：D6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为720︒ D. 直角三角形是轴对称图形【答案】A 【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意； B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意； C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意； 故选：A ．7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知12A BOC ∠=∠，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角A ∠和圆心角BOC ∠同对着BC ， ∴12A BOC ∠=∠， 45A ∠=︒，224590BOC A ∴∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）A. 130B. 158C. 160D. 192【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可．【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158，故选：B ．9. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A. DE BC ∥B. ADE ABC △△∽C. 2BC DE =D. 12ADE ABC S S =【答案】D【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽， ∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△， ∴14ADE ABC S S =，故D 错误；故选：D ．10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当yx（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a −+在第二象限，下列说法正确的是（ ）A. 3a <−B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10【答案】C【解析】【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a 的取值范围，即可判断选项A ，利用“整点”定义即可判断选项B ，利用“超整点”定义即可判断选项C ，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D ．【详解】解：∵点()24,3P a a −+在第二象限， ∴24030a a −<⎧⎨+>⎩， ∴32a −<<，故选项A 错误；∵点()24,3P a a −+为“整点”， 32a −<<，∴整数a 为2−，1−，0，1，∴点P 的个数为4个，故选项B 错误；∴“整点”P 为()8,1−，()6,2−，()4,3−，()2,4−，∵1188=−−，2163=−−，3344=−−，422=−− ∴“超整点”P 为()2,4−，故选项C 正确；∵点()24,3P a a −+为“超整点”，∴点P 坐标为()2,4−，∴点P 到两坐标轴的距离之和246+=，故选项D 错误，故选：C ．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024−−=________．【答案】2024【解析】【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解．【详解】解：()20242024−−=，故答案为：2024．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 【答案】14【解析】【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式计算即可．【详解】解：∵共有4枚棋子，∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是14． 故答案为：1413. 分式方程21x +=1的解是_______．【答案】x=1【解析】【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1=2≠0．所以原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．【答案】100【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角180402100=︒−︒⨯=︒．故答案为：100．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．【答案】2【解析】【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=−>；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=−=；没有实数根，则24<0b ac ∆=−．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=−=−−⨯⨯=， 解得：2k =故答案为：216. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即k f l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．【答案】180【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把0.9l =，200f =代入k f l =求解即可． 【详解】解：把0.9l =，200f =代入k f l=，得2000.9k =， 解得180k =，故答案为：180． 17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP 平分ABC ∠，根据角平分线的性质可知2DM MN ==，结合4AD MD =求出AD ，AM ．【详解】解：作图可知BP 平分ABC ∠，∵AD 是边BC 上的高，MNAB ⊥，2MN =，∴2MD MN ==，∵4AD MD =，∴8AD =，∴6AM AD MD =−=，故答案为：6．18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF 为________分米（结果用含根号的式子表示）．【答案】(6−##()6−+【解析】【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC 交l 于点H ，连接OC ，根据题意及解三角形确定BH =OH =，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．【详解】解：延长DC 交l 于点H ，连接OC ，如图所示：在Rt OBH △中，906030BOH ∠=︒−︒=︒，12dm OB =12tan 30BH ∴=⨯︒=OH =OBH OCH OBC S S S =+△△△111222OB BH OH CF OB BC ∴⋅=⋅+⋅即11112124222CF ⨯=⨯+⨯⨯，解得：6CF =−．故答案为：(6−．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. 计算：01|3|cos 602⎛⎫−+−+︒ ⎪⎝⎭【答案】52【解析】【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．【详解】解：01|3|cos 602⎛⎫−+−+︒ ⎪⎝⎭13122=++− 52=． 20. 先化简，再求值：22432x x x x x−⋅++，其中3x =． 【答案】1x x +，43【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把3x =代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解：22432x x x x x−⋅++ ()()22232x x x x x x+−⋅++= 23x x x −=+ 1x x+=， 当3x =时，原式31433+==． 21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为 人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．【答案】（1）100 （2）见解析（3）36 （4）300人【解析】【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键．（1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果；（2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；（4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可．【小问1详解】解：根据题意得：3030%100÷=人，故答案为：100；【小问2详解】100330421015−−−−=，补全统计图如下：【小问3详解】1036036100︒⨯=︒， 故答案为：36；【小问4详解】15101200300100+⨯=人． 22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．【答案】（1）①或②，证明见解析；（2）6【解析】【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质得出10DE BC ==，再由勾股定理即可求解．【小问1详解】解：选择①，证明：∵B AED ∠=∠，∴DE CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；选择②，证明：∵AE BE =，AE CD =，∴CD BE =，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；【小问2详解】解：由（1）得10DE BC ==，∵AD AB ⊥，8AD =，∴6AE ==．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？【答案】（1）50元、30元（2）400棵【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；（2）购买脐橙树苗a 棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．【小问1详解】解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据题意，得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得5030x y =⎧⎨=⎩， 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；【小问2详解】解：设购买脐橙树苗a 棵，则购买黄金贡柚树苗()1000a −棵，根据题意，得()5030100038000a a +−≤，解得400a ≤，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．①在水池外取一点E ，使得点②过点E 作GH CE ⊥，并沿的长为4米；③在点F 处用测角仪测得请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．【答案】（1）7米；3米（2）18平方米【解析】【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．（1）根据题意得tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，即可确定CE 长度，再由45BFG ∠=︒得出4BE EF ==米，即可求解；（2）过点A 作AM GH ⊥于点M ，继续利用正切函数确定6AB ME ==米，即可求解面积．【小问1详解】解：∵GH CE ⊥，EF 的长为4米，60.3CFG ∠=︒，∴tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈， ∴7CE =米；∵45BFG ∠=︒，∴4BE EF ==米，∴3CB CE BE =−=米；【小问2详解】过点A 作AM GH ⊥于点M ，如图所示：∵21.8AFG ∠=︒， ∴tan tan21.80.4AM AFG MF∠=︒=≈， ∵4AM BE ==米，∴10MF =米，∴1046AB ME ==−=米，∴底座的底面ABCD 的面积为：3618⨯=平方米．25. 已知二次函数2y x c =−+的图像经过点()2,5A −，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DC PDQA S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =−，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x −，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．【答案】（1）29y x =−+（2）为定值3，证明见解析（3）374【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式，()211,9P x x −+，则()()2113,39Q x x +−++，()11,3D x x −+，表示出()()23PD x x =+−+，13CD x =−+，代入DC PDQA S S △△即可求解；（3）设()211,9P x x −+，则()2112,49Q x x −−+，求出直线PQ 的解析式，把11x x =−代入即可求出线段MN 长度的最大值．【小问1详解】∵二次函数2y x c =−+的图像经过点()2,5A −， ∴54c =−+，∴9c =，∴29y x =−+；【小问2详解】当0y =时，209x =−+，∴123,3x x =−=，∴()3,0B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴2530k b k b −+=⎧⎨+=⎩， ∴13k b =−⎧⎨=⎩， ∴3y x =−+，设()211,9P x x −+，则()()2113,39Q x x +−++，()11,3D x x −+， ∴()()()2211111193623PD x x x x x x =−+−−+=−++=+−+，13CD x =−+． ∴()()()()()11111233332PDQ ADC S x x x x S x x +−++−==−++， ∴DCPDQA S S △△的值为定值； 【小问3详解】设()211,9P x x −+，则()2112,49Q x x −−+，设直线PQ 的解析式为y mx n =+， ∴2112119249mx n x mx n x ⎧+=−+⎨−+=−+⎩， ∴12129m x n x =⎧⎨=−+⎩， ∴12129y x x x −=+，当11x x =−时， ()22111113712924y x x x x ⎛⎫=−−+=−++ ⎪⎝⎭， ∴当12x =−时，线段MN 长度的最大值374． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 26. 【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角． 【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠= ︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ． ①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及AB BC的值．【答案】（1）30︒；①证明见解析；②补全图形见解析，43，12 【解析】 【分析】（1）可证OEA △是等边三角形，则60OAE ∠=︒，由直线l 是O 的切线，得到90OAC ∠=︒，故906030CAE ∠=︒−︒=︒； （2）①根据矩形的性质与切线的性质证明OAE FCD △≌△，则AE CD =，而BC AD =，由AD AE DE =+，得到BC CD DE =+；②过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，先证明点E 在线段OC 上，4tan 3AC AO α==，由等腰三角形的性质得12EOG α∠=，根据互余关系可得12EAH EOG α∠=∠=，可求4tan 3AH OH α==，解OAE △，求得1tan 2EAH ∠=，可证明12ACB α∠=，故在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===． 【详解】解：（1）由题意得60AOE α∠==︒，∵OA OE =，∴OEA △是等边三角形，∴60OAE ∠=︒，∵直线l 是O 的切线，∴90OAC ∠=︒，∴906030CAE ∠=︒−︒=︒，故答案为：30︒；（2）①如图：∵OA OE =，∴OAE OEA ∠=∠，∵AOE α∠=，∴180OAE OEA α∠+∠+=︒， ∴18019022OAE αα︒−∠==︒−， ∵90OAC ∠=︒， ∴12DAC α∠=， ∵四边形ABCD 是矩形，∴FA DF =，12CF DF AC r ===，∴12DAC FDA α∠=∠=， ∴1122DFC ααα∠=+=， ∵OA OE r ==，∴,OA FC OE FD ==，∵AOE DFC ∠=∠，∴OAE FCD △≌△，∴AE CD =，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD =，∵AD AE DE =+，∴BC CD DE =+；②补全图形如图：过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，4,3OA r AC r ==， ∴由勾股定理得53OC r =， ∵23CE OE =， ∴23CE r =， ∴OC OE CE =+，∴点E 在线段OC 上，∴在Rt ACO ，4tan 3AC AO α==， ∵OG AE ⊥，OA OE =， ∴12EOG α∠=， ∵AH OE ⊥，∴90EOG OEA EAH OEA ∠+∠=∠+∠=︒， ∴12EAH EOG α∠=∠=， 在Rt OAH △中，4tan 3AH OH α==， ∴设4,3AH m OH m ==，∴由勾股定理得5OA OE m ==，∴532HE m m m =−=，∴在Rt AHE △中，1tan tan22HE EAH AH α∠=== ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥， ∴12ACB DAC α∠=∠=， 而12EAH α∠=， ∴12ACB α∠=， ∴在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．。
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专题一 归纳猜想型问题
姓名： 班别： [典例导析]
类型一：从数列中找规律
例1：下表中的数字是按一定规律填写的，表中a 值应为 ，b 值应为 。
13
b
[点拨] [解答]
[变式]观察规律，211=，2231=+，23531=++，247531=+++，……则
________2017531=++++
类型二：从图中找规律
例2：下图是由同样大小的矩形按一定规律组成，其中2)1(2cm S =，2)2(8cm S =，2)3(18cm S =，
以此类推，_______)10(=S
（1） （2） （3） （4） [点拨] [解答]
[变式] 如图，下列各图形中三个数之间均具有相同规律，依此规律，图形中M 与m 、n 的关系是 。
类型三从整阵中找规律
例3：将连续的正整数按图所示的规律排列，则位于第7行第7列的数是
第一列第二列第三列第四列第五列第六列第七列
第1行 1 3 6 10 15 21 28
第2行 2 5 9 14 20 27
第3行 4 8 13 19 26
第4行7 12 18 25
第5行11 17 24
第6行16 23
第7行22
[点拨]
[解答]
[变式] 如图三角形数阵按从小到大，左小右大排列，如果将表中的数按从小到大的顺序排列，那么第50个数是。
[点拨] 先确定第50个数所在的位置，再确定每行。
类型四：观察、归纳和猜想
例4：一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级或两级台阶，最多可迈三级台阶，从地面到最
上面一级台阶，一共可以有多少种不同迈法。
[点拨] 复杂的问题简单化，从简单入手进行归纳与猜想。
[解答]：
[变式]：如图，在一个三角形点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6…2n …，请探究前n 行的点数和所满足的规律。
若前n 行点数和为930，则n= 。
培优训练
1、计算4131=+，10132=+，28133=+，82134=+，244135=+，……归纳计算结果中个位数字的规律，猜测132016+有个位为 。
2、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，14…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，25…这样的数称为“正方形数”，从图可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看做两个相邻的“三角形数”之和。
等式①13=3+10 ②25=9+16 ③36=15+21 ④49=18+31中符合这一规律的是
4=1+3
9=3+6 16=6+10
3、根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数
4、正整数按如图示规律排列，请写出第10行第五列的数字
5、已知整数1a ，2a ，3a ，4a ……满足下列条件，01=a ，|1|12+-=a a ，|1|23+-=a a ，
|3|34+-=a a ……依此类推，则_____2016=a 。
6、如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，其各步依次按逆时针移动1，2，3，……n 个角，如第一步从0→1号角，第二步从1号→3号角，第三步从3号→6号角，……若这枚棋子不停地移动下去，它永远不
可能到达的角的个数是 。
竞赛训练
1、如图是一个按某种规律排列的数阵，则2016应排在第 行第 个数（从左至右）。
2、如图是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生 成一个实心圆，一个实心圆生成一个空心圆和一个实心圆，依此规律， 第九行的实心圆的个数是 。
3、化简
4、如图是与杨辉三角类似的三角形数垒，a ，b ，c ，
d 是相邻两行的四个数，那么当a=8时，c= ，d= 。
5、将正整数从1开始依次按如图的规律排成一个数阵，其中，2在第一个拐角处，3在第二个拐角处，5在第三个拐角处，7在第4个拐角处，……那么第2017个拐角处的数是。