1.1.2数学必修四

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人教B版高中数学必修四《1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算》_0

1.1.2弧度制的教学设计一、内容及其解析本节内容包括弧度制，其核心内容是角度制和弧度制的转化，理解它的关键是掌握公式。

、学生在上一节内容中已学习了任意角的概念，本节内容是在上节的基础上，是角的度量的一个延伸，对后面三角公式，三角函数的学习是个奠基。

二、目标及其解析（1）理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；(2）熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.2、目标解析：（1）我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．（2）角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：；；；．②将弧度化为角度：；；；．（3）(1);(2); (3).其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.三、问题诊断分析在本节课中学生可能遇到的问题是把角度制转化成弧度制，产生问题的原因是“角度制”与“弧度制”间的区别与联系掌握不好，要解决问题关键是多做练习。

四、教学设计问题一：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？解析：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．问题1：什么叫角度制？解析：规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．问题2：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？解析：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．问题3：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？①将角度化为弧度：；；；．②将弧度化为角度：；；；．°°°°°°°°°°°例题：课本上例1、例2设计意图：让学生进一步熟练角度与弧度进行互化。

高中数学必修四电子课本

高中数学必修四电子课本高中数学必修四电子课本一、数学基础1.1 数学中的符号和表示法1.2 数学中的基本概念1.2.1 数学中的基本运算1.2.2 数学中的集合和关系1.2.3 数学中的函数和图像1.3 数学中的解题方法1.3.1 数学中的证明方法1.3.2 数学中的数学归纳法1.3.3 数学中的逆向思维1.4 数学中的应用1.4.1 数学在自然科学中的应用1.4.2 数学在社会科学中的应用二、初等数学2.1 整式和分式2.1.1 整式和分式的基本概念2.1.2 整式和分式的运算2.1.3 整式和分式的因式分解2.2 代数式和方程式2.2.1 代数式的基本概念2.2.2 代数式的运算2.2.3 一元一次方程和二元一次方程2.3 平面几何2.3.1 平面几何的基本概念2.3.2 平面几何的运算2.3.3 圆的性质与应用三、立体几何3.1 立体几何的基本概念3.2 立体几何的运算3.3 立体几何的应用四、三角函数4.1 三角函数的基本概念4.2 三角函数的运算4.3 三角函数的应用4.4 三角恒等式和三角方程五、数列和数学归纳法5.1 数列的基本概念5.2 等差数列和等比数列5.3 数列的求和公式5.4 数学归纳法的应用六、导数和应用6.1 导数的基本概念6.2 导数的应用6.3 计算机在导数计算中的应用七、微积分7.1 微积分的基本概念7.2 微积分的运算7.3 微积分的应用七、概率与统计8.1 概率的基本概念8.2 统计的基本概念8.3 概率和统计的应用8.4 计算机在概率和统计中的应用结语：通过本电子教材的学习，同学们可以更好地掌握数学知识和解题方法，为今后的学习和工作打下良好的基础。

同时，对于计算机在数学教育中的应用也有深入了解，为提高自己的素质和竞争力打开一扇新的大门。

人教版高一数学必修一至必修五教材目录

必修一、二、四、五章节内容
必修一必修四
第一章集合与函数的概念第一章三角函数
1.1 集合 1.1任意角和弧度制
1.2 函数及其表示 1.2任意角的三角函数
1.3 函数的基本性质 1.3三角函数的诱导公式
第二章基本初等函数 1.4三角函数的图像与性质
2.1 指数函数 1.5函数y=Asin(ѡx+ѱ)
2.2对数函数 1.6 三角函数模型的简单应用
2.3 幂函数第二章平面向量
第三章函数的应用 2.1平面向量的实际背景及基本概念3.1函数与方程 2.2平面向量的线性运算
3.2 函数模型及其应用 2.3平面向量的基本定理及坐标表
必修五 2.4 平面向量的数量积
第一章解三角形 2.5 平面向量应用举例
1.1 正弦定理和余弦定理第三章三角恒等变换
1.2 应用举例 3.1 两角和与差的正弦、余弦
第二章数列 3.2 简单的三角恒等变换
2.1 数列的概念与简单表示方法必修二
2.2 等差数列第一章空间几何体
2.3等差数列的前n项和 1.1 空间几何体的结构
2.4 等比数列 1.2 空间几何体的三视图和直观图2.5 等比数列前n项和 1.3 空间体的表面积与体积
第三章不等式第二章点、直线、平面间的关系
3.1 不等关系与不等式 2.1空间点、直线、平面之间的位3.2一元一次不等式及其解法 2.2 直线、平面平行的判定及其性质3.3 二元一次不等式（组）及其解法 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质3.4基本不等式第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角与斜率
3.2 直线的方程
3.3 直线的交点坐标与距离公式。

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(3)能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2.过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想．
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；
(7)方程的所有实数根；
(8)不等式的所有解；
(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
(六)承上启下，留下悬念
1．课后书面作业：第13页习题1.1A组第4题.
2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材.
§1.1.2集合间的基本关系
一.教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
第一章集合与函数概念
集合
函数及其表示
函数的基本性质
第二章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数函数
幂函数
第三章函数的应用
函数与方程
函数模型及其应用
第一章集合与函数
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；

人教版高中数学必修目录

必修一（高一）必修三（高一）必修二（高二）必修四（高一）必修五（高一）高中数学选修教材目录1-1（高二文）第一章常用逻辑语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词小结第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆2.2双曲线探究与发现为什么的渐近线2.3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结1-2（文）第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与科学发现中的推理2.2直接证明与间接证明小结第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.2复数代数形式的四则运算小结第四章框图4.1流程图4.2结构图信息技术应用用word2002绘制流程图小结2-1（高二理）第一章常用逻辑语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词小结第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆 2.2双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线2.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图像是抛物线2.4 直线与圆锥曲线的位置关系阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用2.5曲线与方程探究与发现圆锥曲线的离心率与统一方程小结第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法小结2-2（理）第一章导数及其应用1.1 变化率与导数 1.2导数的计算探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解1.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质1.4 生活中的优化问题举例 1.5定积分的概念信息技术应用曲边梯形的面积1.6 微积分基本定理 1.7定积分的简单应用实习作业走进微积分第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与思考平面与空间中的余弦定理2.2 直接证明与间接证明 2.3数学归纳法小结第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算阅读与思考代数基本定理小结2-3（理）第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分部乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少 1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理小结第二章随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗?探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.4正态分布信息技术应用 µ,б对正态分布的影响小结第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定2 相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线 4-4 坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线4-5 不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质2基本不等式3三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式2绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。

高中数学必修一必修四知识点总结

高中数学必修一必修四知识点总结高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由元素组成的整体，其中元素具有确定性、互异性和无序性。

常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q和实数集R。

元素a与集合M的关系是a∈M或a∉M。

集合可以用自然语言法、列举法、描述法和图示法来表示。

集合可以分为有限集、无限集和空集。

1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系有子集、真子集和集合相等。

若A是B的子集，则A中的任一元素都属于B；若A是B的真子集，则A中至少有一个元素不属于B；若A是B的子集且B是A的子集，则A=B。

已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2^n个子集，2^n-1个真子集，2^n-1个非空子集和2^n-2个非空真子集。

1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。

若x∈A且x∈B，则x∈A∩B；若x∈A或x∈B，则x∈A∪B；集合A的补集是指在全集U中，不属于A的元素组成的集合，记作A'或U-A。

对于集合A和B，有(A∩B)=(A'∪B')'和(A∪B)=(A'∩B')'。

补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法对于含有绝对值的不等式，可以通过分段讨论的方法来求解。

对于一元二次不等式，可以将其化为标准形式后，利用判别式和一元二次函数的性质来求解。

1.不等式的解法1)一次不等式的解法对于|x|0)和|x|>a(a>0)，可以分别化为-xa的形式，然后解出x的范围。

对于|ax+b|c(c>0)，可以把ax+b看成一个整体，化为|ax+b|0)或|x|>a(a>0)的形式来求解。

2)一元二次不等式的解法对于ax^2+bx+c>0(a>0)，可以求出二次函数y=ax^2+bx+c 的图象，然后找到函数图象在x轴上的两个交点x1和x2，解得xx2的解集。

必修4 数学最全知识点梳理(完整版)

高中数学必修4 知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan y xα= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、特殊角0°，30°，45°，60°，§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质12、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减）横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+平移||B 个单位()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =，变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=. 变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、平面向量共线定理：向量()≠与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、在θcos .3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、两向量的夹角公式 2cos a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. （如图）2 用向量方法判定空间中的平行关系设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直. ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .ina ua uϕθ⋅==①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： ◆如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n m nθϕ⋅=-=-.5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为1(||||h a b a =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n⋅=⑷两平行平面,αβ之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离高中数学必修四知识梳理 10设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向上投影的绝对值.即.n MP d n⋅=6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++= 222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。

高中数学必修四第1章三角函数课件 1.1.2 弧度制

高中数学必修四
第一章三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z

Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z

类型一角度制与弧度制的换算【例 1】将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．

人教版数学必修四：1.1.2弧度制(学生版)

（4）终边落在第一象限的角平分线上角的集合____________________________________;
（5）终边落在第三象限的角的集合______________________________________________.
四、巩固练习
1．（口答）把下列各角从度化为弧度：
（1）180°；（2）90°；（3）45°；（4）30°；（5）120°；
扇形的弧长公式、扇形的面积公式：
如图，设长度为的线段OA绕端点O旋转形成角（为任意角，单位为弧度），若将此旋转过程中点A所经过的路径看成是圆心角所对的弧，设弧长为，则 =
若，则有圆心角为的扇形面积为
例3已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求该扇形的面积.
例4用弧度制ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ示下列角的集合：
（1）终边落在x轴上的角的集合________________________________________;
（2）终边落在y轴上的角的集合________________________________________;
（3）终边落在坐标轴上的角的集合______________________________________________;
（1）求圆心角：；（2）求弧长：；
（3）求扇形的周长与面积：.
4：在弧度制下, 角的集合与实数集R之间就建立起一一对应关系：
每一个角都对应惟一的一个实数; 反过来, 每一个实数也都对应惟一的一个角。
三、例题
例1把下列各角从弧度化为度：
（1）（2）3.5
例2 把下列各角从度化为弧度：
（1）252 （2）11 15
课题：§1.1.2 弧度制总第____课时

人教B版数学必修四讲义：第1章 1.1 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 Word版含答案

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1．角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．2．角的弧度数的计算在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为α rad ，则α＝lr . 3．角度与弧度的互化4．一些特殊角与弧度数的对应关系思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S ＝{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }，这种表示正确吗？为什么？[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z或{α|α＝k ·360°＋30°，k ∈Z }． 5．扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则思考2：在弧度制下的扇形面积公式S ＝12lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆．1．1 080°等于( ) A ．1 080 B ．π10 C ．3π10D ．6πD [1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.] 2．与角23π终边相同的角是( ) A ．113πB ．2k π－23π(k ∈Z ) C ．2k π－103π(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )C[选项A中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A项错；2kπ－23π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B项错；2kπ－103π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋23π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D项错．]3．圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________．6π[扇形的面积为12×62×π3＝6π.]A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D[根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C 项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系1．下列各说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 [答案] D【例2】设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π； (2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k ·360°(k ∈Z )的形式．[解] (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2k π＋α0(k ∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－196π＝－4π＋56π， α2＝750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝3π5＝108°，设θ＝β1＋k ·360°(k ∈Z )，由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k ·360°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.角度制与弧度制的转换中的注意点(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键.由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法.(4)判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2k π＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6 rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z.1.用公式|α|＝lr 求圆心角时，应注意什么问题？[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．【例3】 (1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1 radB ．2 radC ．3 radD ．4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路探究] (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．(1)B [设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎨⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr ＝2 rad.](2)解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)． ∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.(变条件)弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr ；(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式； (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.(教师用书独具)1．释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为α，l ，r ，S ，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l ＝α·r ，α＝l r ，r ＝l α；②S ＝12αr 2，α＝2Sr 2. 2．角度制与弧度制的比较1．把56°15′化为弧度是( ) A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16D[56°15′＝56.25°＝2254×π180＝5π16.]2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()A.403π B.203πC.2003π D.4003πA[240°＝240×π180rad＝43π rad，∴弧长l＝α·r＝43π×10＝403π，选A.]3．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．－10π＋74π[由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.]4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4. ①由扇形的面积公式S＝12lr，得12lr＝1. ②由①②得r＝1，l＝2，∴α＝lr＝2 rad.∴扇形的圆心角为2 rad.。

数学必修四1.1.2

方法点评： l＝|α|r，求解扇形的弧长与面积问题时，常利用方程组 1 求 S＝ lr 2 出结果．只要知道方程组中的四个量中的任意两个量，就可求出另外两个量，这就是方程思想的应用．当扇形的周长确定时，扇形的面积有最大值，其求法是把面积表示为半径的二次函数，再利用二次函数来求最值，但要注意弧长和半径的范围．
解：设扇形的圆心角为 α，半径为 r，面积为 S，弧长为 l，则有 l ＋2r＝30，∴l＝30－2r. 152 225 1 1 2 从而 S＝2lr＝2(30－2r)· r＝－r ＋15r＝－ r－ 2 ＋ 4 ， 15 225 ∴当半径 r ＝ 2 cm 时，扇形的面积最大，最大面积是 4 cm2. l 当扇形的面积最大时，l＝30－2r＝15 (cm)，α＝r＝2 弧度．
度弧度 30° π 6 45° π 4 60° π 3 90° 120° 135° 150° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° π 2π 3π 5π 7π 5π 4π 3π 5π 7π 11π 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 6
典例剖析知识点 1 角度制与弧度制的换算【例 1】 (1)将下列各角度化成弧度：①－2 220° ；②765° . 5 3 (2)将下列各弧度化成角度：①－ π；②3 . 9 4 π 180 思路点拨：角度化成弧度，要乘；弧度化成角度，要乘 . 180 π
解： π 37π (1)①－2 220° ＝－2 220×180 rad＝－ 3 rad； π 17π ②765° ＝765×180rad＝ 4 rad. 180 5 5 (2)①－9π＝－9π× π ° ＝－100° ； 3 15 180 675 ②34＝ 4 × π ° ＝ π ° .

高三必修四知识点思维导图

高三必修四知识点思维导图一、数学1.1 函数与方程1.1.1 函数的概念与性质1.1.1.1 定义域与值域1.1.1.2 函数的单调性与奇偶性1.1.1.3 反函数与复合函数1.1.2 初等函数1.1.2.1 幂函数、指数函数与对数函数1.1.2.2 三角函数及其性质1.1.2.3 函数的图像与变换1.1.3 方程与不等式1.1.3.1 一元二次方程1.1.3.2 不等式的性质与解法1.1.3.3 系统方程与参数方程1.2 解析几何1.2.1 平面直角坐标系1.2.1.1 点的坐标与距离公式1.2.1.2 直线的方程与性质1.2.1.3 圆的方程与性质1.2.2 空间解析几何1.2.2.1 空间直角坐标系1.2.2.2 空间直线与平面的方程1.2.2.3 空间几何体的体积与表面积1.3 概率与统计1.3.1 概率论基础1.3.1.1 随机事件与概率的定义 1.3.1.2 条件概率与独立事件1.3.1.3 全概率公式与贝叶斯公式 1.3.2 统计初步1.3.2.1 数据的收集与整理1.3.2.2 描述性统计量1.3.2.3 抽样与估计二、物理2.1 力学2.1.1 运动的描述2.1.1.1 位移、速度与加速度2.1.1.2 圆周运动与曲线运动2.1.1.3 相对运动2.1.2 力的作用2.1.2.1 牛顿运动定律2.1.2.2 万有引力定律2.1.2.3 摩擦力与弹力2.1.3 动量与能量2.1.3.1 动量守恒定律2.1.3.2 机械能守恒定律2.1.3.3 功与功率2.2 热学2.2.1 热现象2.2.1.1 温度与热量2.2.1.2 热传递方式2.2.1.3 热膨胀2.2.2 热力学定律2.2.2.1 热力学第一定律2.2.2.2 热力学第二定律2.2.2.3 热机与制冷机2.3 电磁学2.3.1 静电场2.3.1.1 库仑定律与电场强度2.3.1.2 电势能与电势2.3.1.3 电容与电容器2.3.2 电流与电路2.3.2.1 欧姆定律与电阻2.3.2.2 串联与并联电路2.3.2.3 电功与电功率2.3.3 磁场与电磁感应2.3.3.1 磁场的描述与作用2.3.3.2 电磁感应定律2.3.3.3 交流电与变压器三、化学3.1 无机化学3.1.1 元素周期表与周期律3.1.1.1 元素周期表的结构3.1.1.2 元素的电子排布3.1.1.3 周期律的应用3.1.2 化学键与分子结构3.1.2.1 离子键、共价键与金属键 3.1.2.2 分子的几何形状3.1.2.3 分子间力与氢键。