信号与系统第六章
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第六章信号与系统的时域和频域特性
x(t) X ( j)
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
第6章 信号与系统的时域和频域特性第6章 信号与系统的时域和频域特性
对理想特性逼近得越精确 ， 实现时付出的代 价越大 ， 系统的复杂程度也越高。
一 阶RC高通滤波网络 一 阶RC低通滤波网络
由同一类型储能元件构成的二阶非谐振系统， 可以分别构成低通 、高通 、带通 、带阻等滤波特性。
含有电容和电感两类储能元件的二阶系统具有 谐振特性 ，在无线电技术中 ， 常利用它们的这一性
第6章 信号与系统的时域和频域特性
TIME AND FREQUENCY
CHARACTERIZATION OF SIGNALS
AND SYSTEMS
6 . 0 引 言 Introduction
在以前的讨论中 ， 已经看到
■ 在时域 ， 系统的特性由 或 描述；
y(t)=x(t)*h(t) y(n)=x(n)*h(n)
二. 信号的不失真传输条件 如果系统响应与输入信号满足下列条件 ， 可视 为在传输中未发生失真。
y(t)= kx(t-t0) y(n)=kx(n-n0) 这就要求系统的频率特性为
H ( jo) = ke- 0 0 H ( e 0 ) = keo
据此可得出信号传输的不失真条件：
h(t)=kd(t-t0) —— 时域表征
能构成带通 、带阻滤波网络。
例如
R
工程实际中常用的逼近方式有：
1.Butterworth滤波器： 通带 、阻带均呈单调衰减 ， 也称通带最平逼近； 2.Chebyshev滤波器：
通带等起伏阻带单调 ， 或通带单调阻带等起伏；
3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）
通带 、阻带等起伏 。
n 阶雅可比椭圆函数
■ LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面 : 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
一 阶RC高通滤波网络 一 阶RC低通滤波网络
由同一类型储能元件构成的二阶非谐振系统， 可以分别构成低通 、高通 、带通 、带阻等滤波特性。
含有电容和电感两类储能元件的二阶系统具有 谐振特性 ，在无线电技术中 ， 常利用它们的这一性
第6章 信号与系统的时域和频域特性
TIME AND FREQUENCY
CHARACTERIZATION OF SIGNALS
AND SYSTEMS
6 . 0 引 言 Introduction
在以前的讨论中 ， 已经看到
■ 在时域 ， 系统的特性由 或 描述；
y(t)=x(t)*h(t) y(n)=x(n)*h(n)
二. 信号的不失真传输条件 如果系统响应与输入信号满足下列条件 ， 可视 为在传输中未发生失真。
y(t)= kx(t-t0) y(n)=kx(n-n0) 这就要求系统的频率特性为
H ( jo) = ke- 0 0 H ( e 0 ) = keo
据此可得出信号传输的不失真条件：
h(t)=kd(t-t0) —— 时域表征
能构成带通 、带阻滤波网络。
例如
R
工程实际中常用的逼近方式有：
1.Butterworth滤波器： 通带 、阻带均呈单调衰减 ， 也称通带最平逼近； 2.Chebyshev滤波器：
通带等起伏阻带单调 ， 或通带单调阻带等起伏；
3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）
通带 、阻带等起伏 。
n 阶雅可比椭圆函数
■ LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面 : 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
第六章 信号与系统的时域和频域 ...
5
LTI系统频率响应的模和相位表示： LTI系统频率响应的模和相位表示： 系统频率响应的模和相位表示
Y ( jω) = X ( jω)H ( jω)
称为系统的增益
Y ( jω) =| X ( jω) || H ( jω) |
∠Y ( jω ) = ∠H ( jω ) + ∠X ( jω )
称为系统的相移
8
二、信号的不失真传输条件
信号在传输过程中， 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变 都会引起信号波形的改变，如果这种改变是不希望发生 都会引起信号波形的改变，如果这种改变是不希望发生 那么信号即发生了失真。 的，那么信号即发生了失真。
信号的失真有两种： 信号的失真有两种： 1.幅度失真 1.幅度失真 2.相位失真 2.相位失真 在实际应用中，不同的场合， 在实际应用中，不同的场合，对幅度失真和相 位失真有不同的敏感程度。 位失真有不同的敏感程度。
7
H ( jω ) = e
− jωt0
如果系统的相位特性是非线性的 如果系统的相位特性是非线性的，不同频 系统的相位特性是非线性 率分量受相位特性影响产生的时移不同， 率分量受相位特性影响产生的时移不同，叠加 起来一定会变成一个与原信号很不相同的信号 波形。 波形。 LTI系统 也有同样的结论。 系统， 对离散时间 LTI系统，也有同样的结论。
如果对数模描述 的是频率响应： 的是频率响应： 0dB：频率响应的模特性为 频率响应的模特性为1 频率响应的模特性为 20dB：模特性有 倍增益 模特性有10倍增益 模特性有 -20dB：模特性衰减为原来的 模特性衰减为原来的0.1 模特性衰减为原来的 6dB：模特性有 倍增益 模特性有2倍增益 模特性有
d dω
信号与系统第六章习题答案
第六章 离散系统的Ｚ域分析 ６．１学习重点 1、离散信号z 域分析法—ｚ变换，深刻理解其定义、收敛域以及基本性质；会根据ｚ变换的定义以及性质求常用序列的ｚ变换；理解ｚ变换与拉普拉斯变换的关系。
2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法，求z 反变换。
3、离散系统z 域分析法，求解零输入响应、零状态响应以及全响应。
4、z 域系统函数()z H 及其应用。
5、离散系统的稳定性。
6、离散时间系统的z 域模拟图。
7、用MATLAB 进行离散系统的Z 域分析。
６．２ 教材习题同步解析 6.1 求下列序列的z 变换，并说明其收敛域。
（1）n 31，0≥n （2）n−−31，0≥n（3）nn−+ 3121，0≥n （4）4cos πn ，0≥n（5）+42sin ππn ，0≥n 【知识点窍】本题考察z 变换的定义式 【逻辑推理】对于有始序列离散信号[]n f 其z 变换的定义式为()[]∑∞=−=0n nzn f z F解：（1）该序列可看作[]n nε31()[][]∑∑∞=−∞=− == =010313131n n n nn n z z n n Z z F εε对该级数，当1311<−z ，即31>z 时，级数收敛，并有 ()13331111−=−=−z zz z F其收敛域为z 平面上半经31=z 的圆外区域 （2）该序列可看作[]()[]n n nnεε331−=−−()()[][]()[]()∑∑∞=−∞=−−=−=−=010333n nn nnnzzn n Z z F εε对该级数，当131<−−z ，即3>z 时，级数收敛，并有()()33111+=−−=−z zz z F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（3）该序列可看作[][]n n nn n n εε+ = + −3213121()[][]()∑∑∑∞=−∞=−∞=−+ =+ = + =01010*********n nn n n nn n n n z z z n n Z z F εε对该级数，当1211<−z 且131<−z ，即3>z 时，级数收敛，并有 ()3122311211111−+−=−+−=−−z zz z z zz F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（4）该序列可看作[]n n επ4cos()[]∑∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−∞=−+=+== =0140140440*******cos 4cos n nj n nj nn j j n n z e z e z e e z n n n Z z F πππππεπ对该级数，当114<−ze j π且114<−−zejπ，即1>z 时，级数收敛，并有()122214cos 24cos 21112111212222441414+−−=+−−=−+−=−×+−×=−−−−z z zz z z z z e z z e z z z eze z F j j j j ππππππ其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 （5）该序列可看作[][][]n n n n n n n n εππεππππεππ+=+= +2cos 2sin 222sin 4cos 2cos 4sin 42sin()[]()122212212212cos 22cos 2212cos 22sin 222cos 222sin 222cos 2sin 222222222200++=+++=+−−++−=+=+=∑∑∞=−∞=−z z z z z z z z z z z z z z z n z n n n n Z z F n nn n ππππππεππ 其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 6.2 已知[]1↔n δ，[]a z z n a n −↔ε，[]()21−↔z z n n ε， 试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换。
信号与系统ch6
转移阻抗
Z 21 t ( s )
U 2 (s) I1 (s)
转移导纳
Y 21 t ( s )
I 2 (s) U 1 (s)
电压传输系数 电流传输系数
T u 21 ( s )
T i 21 ( s )
U 2 (s) U 1 (s)
I 2 (s) I1 (s)
3.系统函数表示系统激励与响应之间的因果关系
H i (s) (s a) 0
2
a j 0
at
ω0
-ω0 σ
hi ( t ) e
Cos 0 t
－a 0 ×
(二) 极点在虚轴上 1． 在原点 p a 0
i
——减幅的余弦振荡
H i (s)
1 s
hi (t ) (t )
2． 不在原点上
N (s) 0
a n s a n 1 s
N (s)
z1 的根： , z 2 , , z m称为函数 H ( s ) 的零点，使 H ( s ) 0
极零图：把系统函数的极点和零点标绘在s平面中，就 成为极点零点分布图，简称极零图。 ( s 2 )( s 4 ) H (s) 例
令 复因式 ( j z i ) 矢量 j 与 z i 之差＝ z i点至 j 的矢量 ＝ B i e j i ( A k , B i 模 ) 令 j k （差矢量） ( k , i 辐角 ) ( j p k ) 矢量 j 与 p k 之差＝ p k 点至 j 的矢量 ＝ A k e
0 : B 1 0 , Z 0 , 1 2 0 , ( ) 90 : A1 , A 2 , B1 , Z 0 , 1 2 180 , ( ) 90 0 : Z 最大值 , 90 , ( ) 0 （谐振）
信号与系统第六章 应用
已调信号 y(t)= x(t)e j(ct)
根据相乘性质，则有
Y ( j)
1 2π
X
( j)
UC
( j)
对于载波信号的复指数的傅里叶级数为：
UC ( j) 2π ( c )
因此有
Y ( j) X [ j( c )]
由此可见，已调信号的频谱即为基带信号频谱，只是在频率轴上 位移了一个等于载波频率 c 的量。其调制过程中频谱如 图6-5所示。
图6-5 复指数载波的幅度调制频谱关系
二 正弦载波的幅度调制 对于正弦载波的幅度调制，实现原理如图6-6所示。
U C ( j) π[ ( c ) ( c )]
根据相乘性质，则有
Y
(
j)
1 2
[
X
(
j(
c
))
X
(
j(
c
))]
正弦载波幅度调制过程的频谱关系如图6-7所示
k
这F（就j是）说的，叠Fp加（所j组）成是，频但率在幅的度周上期有函数的T1，变它化由，一如组图移6位-3的所示。
图6-3 时域采样在频域中的效果
三 零阶保持采样
通过冲激串采样可以知道一个限带信号唯一 地可以用它的样本来代表。而实际上，产生 和传输窄而幅度大的脉冲是相当困难的。因 此采用零阶保持采样更为常见些。零阶保持
UC (ej ) 2π ( c 2kπ) k
Fs(j)=
1 Ts
F ( j(ω ns ))
n
零阶保持采样信号 ƒs0(t)可认为是ƒs(t)通过 系统h0(t)=u(t)-u(t-Ts)产生的波形， 即ƒs0(t)= ƒs(t) h0(t）
根据相乘性质，则有
Y ( j)
1 2π
X
( j)
UC
( j)
对于载波信号的复指数的傅里叶级数为：
UC ( j) 2π ( c )
因此有
Y ( j) X [ j( c )]
由此可见，已调信号的频谱即为基带信号频谱，只是在频率轴上 位移了一个等于载波频率 c 的量。其调制过程中频谱如 图6-5所示。
图6-5 复指数载波的幅度调制频谱关系
二 正弦载波的幅度调制 对于正弦载波的幅度调制，实现原理如图6-6所示。
U C ( j) π[ ( c ) ( c )]
根据相乘性质，则有
Y
(
j)
1 2
[
X
(
j(
c
))
X
(
j(
c
))]
正弦载波幅度调制过程的频谱关系如图6-7所示
k
这F（就j是）说的，叠Fp加（所j组）成是，频但率在幅的度周上期有函数的T1，变它化由，一如组图移6位-3的所示。
图6-3 时域采样在频域中的效果
三 零阶保持采样
通过冲激串采样可以知道一个限带信号唯一 地可以用它的样本来代表。而实际上，产生 和传输窄而幅度大的脉冲是相当困难的。因 此采用零阶保持采样更为常见些。零阶保持
UC (ej ) 2π ( c 2kπ) k
Fs(j)=
1 Ts
F ( j(ω ns ))
n
零阶保持采样信号 ƒs0(t)可认为是ƒs(t)通过 系统h0(t)=u(t)-u(t-Ts)产生的波形， 即ƒs0(t)= ƒs(t) h0(t）
信号与系统第六章
2 ( k) T n
1 X p ( j ) X ( j ( ks )) T k
要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信
号，就意味着要能够从 X p ( j ) 中不失真地分离
出 X ( j ) 。这就要求 X p ( j ) 在周期性延拓时不能
1. 如何用连续时间信号的离散时间样本来表示
连续时间信号——采样定理。
2. 如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。 3. 欠采样导致的后果——频谱混叠。 4. 连续时间信号的离散时间处理。 5. 离散时间信号的采样、抽取及内插。 6. 频域采样。
6.1 用样本表示连续时间信号: 采样定理
Theorem of Sampling 一. 采样: Sampling 在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的 过程称为采样。 是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表 示？
H ( j )
T
e
j
T
2
T
2 T
0
H r ( j )
1
T
T
0
H r ( j )
2
T
T
0
T
2
0
T
实际上，H r ( j ) 不能真正实现，常对其做充分近似设计。 零阶保持输出本身可被认为是一种对原始信号的充分近似， 是一种比较 粗糙的内插，下一节将更详细地介绍通过内 插从信号样本重建信号。
x(t )
t
0
采样函数 p (t )
2T
T
t
0
T
2T
x p (t ) x(2T ) x(T )
信号与系统--第六章 傅里叶变换的应用
18
§6.3 理想低通滤波器
• Gibbs现象
– 有第一类间断点的信号通过理想低通产生的现象。
H
k
u(t)
F u t
1
j
-σ
o
ω
σ
-σ o
ω
σ
σ截断
19
§6.3 理想低通滤波器
f (t)
FFft
FFuu
fc(t)
o
t0
t
l i m f t l i m F 1 F fG ti 的 b b 连 s 现 续 象 点 ， ， 第 得 一 到 类 原 间 信 断 号 点 ft
– f t 满足Paley－Wiener定理，由 F 如何 构造 hthtut？ (1) FjFjFj2已知 (2)令s j ，构造 FsFs，零点／极点分
布在 s 全平面；
(3)取 FsFs 在左半开平面的零／极点构造
H(s)， H(s)即为所求。由此方法得到的H(s)是 严格最小相位的，在不考虑比例因子的差别时 H(s)是唯一的。
– Btr 4
16
§6.3 理想低通滤波器
– t r 也可有其他定义：tr:0 :1 或 tr:0 .1 :0 .9 l e v e l电 平 ,
但无论怎样定义总有 Btr C（常数）。
– 为实现脉冲信号
的传输，
o
t
t
需满足 2 trB C ,即 CB 。
17
§6.3 理想低通滤波器
–
yt
信号与系统
第六章 傅里叶变换的应用
第六章 傅里叶变换的应用
• §6.1 傅里叶系统函数 • §6.2 无失真传输 • §6.3 理想低通滤波器 • §6.4 系统的物理可实现性 • §6.5 希尔伯特变换 • §6.6 带通信号通过带通系统
信号与系统 第六章、连续时间系统的系统函数解析
这种形式不能直观地看出系统的特 性，所以，常根据不同的需要用图 示的方法来表示，常用的有三种：
1、频率特性 若系统是稳定的，则：
H(s) sj H( j) , H( j) H( j) e j()
H( j) — 幅频特性，() — 相频特性
例如：RLC并联电路
Z ( j) 1
1
1 jC
R jL
(s
s p1)( s
p2
)
H(
j)
H0
(
j
j p1)( j
p2 )
H0
B1 A1 A2
e j(90 (12 ))
其中：j B1 e j90 j p1 A1 e j1 , j p2 A2 e j2
1、ω=0+ B1=0 ,
H(jω)|=0 ; (α1+α2)=0 ,
§6.3 系统函数极点和零点 的分布
极点、零点或位于s平面的 实轴上，或以一对共轭复根的 形式出现，或是r阶重根（也称 r阶极点或零点），总之它们是 对称于实轴的。
1、系统函数一般有n个有限极点和m个 有限零点；
2、n
m时lim s
H
(s)
lim
s
bmsm an s n
0
说明在s 处有一个(n m)阶零点；
当ω: -∞→ - ω0 → 0 →ω0 → ∞
ξ: ∞→0 →∞→0→-
∞
, () tg1
2、复轨迹 将H(jω)写成实部和虚部的形式： H(jω)=U(ω)+jV(ω)以为U(ω)横坐标，V(ω) 为纵坐标作出的图称为复轨迹。
上例中
Z ( j) R 1 j
1
R
2
j
1
信号与系统第6章拉氏变换
s 3 s 3 5s 2 9s 7 F ( s ) s 2 F ( s) (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 则展开后应有：
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
信号与系统 第六章
2
ω ω (1 ω ) = +j 2 2 2 (1 ω ) + ω (1 ω 2 ) 2 + ω 2
2
V 1
ω =0
H ( jω )
1 2
U
= U (ω ) + jV (ω )
ωห้องสมุดไป่ตู้
3.极点,零点图(Pole-Zero Plot ) 极点, 极点 系统函数可以表示成有理函数的形式, 系统函数可以表示成有理函数的形式,即
M e , M r 为有限值
∵ r (t ) = e (t ) h (t )
∴ r (t ) = e(t ) h(t ) =
+∞
∫
+∞
∞
e(t τ )h(τ )dτ
+∞ ∞
≤ ∫ e(t τ ) h(τ ) dτ ≤ ∫ h(τ ) dτ M e = M r ∞
∴ 要求
结论: 结论:
除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的 有限的, ∫ 除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的,即
bm s m + bm1s m1 + + b1s + b0 H (S ) = an s n + an1s n1 + a1s + a0 极点——使 H (s ) 为无穷大的 使 极点 零点——使 零点——使 H (s ) 为 0 的 (1)
s 值,即分母多项式等于 的根; 即分母多项式等于0的根 的根;
表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 复轨迹和极点零点分布图. 复轨迹和极点零点分布图. 1.频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性
ω ω (1 ω ) = +j 2 2 2 (1 ω ) + ω (1 ω 2 ) 2 + ω 2
2
V 1
ω =0
H ( jω )
1 2
U
= U (ω ) + jV (ω )
ωห้องสมุดไป่ตู้
3.极点,零点图(Pole-Zero Plot ) 极点, 极点 系统函数可以表示成有理函数的形式, 系统函数可以表示成有理函数的形式,即
M e , M r 为有限值
∵ r (t ) = e (t ) h (t )
∴ r (t ) = e(t ) h(t ) =
+∞
∫
+∞
∞
e(t τ )h(τ )dτ
+∞ ∞
≤ ∫ e(t τ ) h(τ ) dτ ≤ ∫ h(τ ) dτ M e = M r ∞
∴ 要求
结论: 结论:
除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的 有限的, ∫ 除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的,即
bm s m + bm1s m1 + + b1s + b0 H (S ) = an s n + an1s n1 + a1s + a0 极点——使 H (s ) 为无穷大的 使 极点 零点——使 零点——使 H (s ) 为 0 的 (1)
s 值,即分母多项式等于 的根; 即分母多项式等于0的根 的根;
表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 复轨迹和极点零点分布图. 复轨迹和极点零点分布图. 1.频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性
信号与系统PPT 第六章 离散时域分析
…
例：求z(n)=x(n)·y(n)
解：
z(0)=x(0)·y(0) z(1)=x(1)·y(1) z(2)=x(2)·y(2)
…
例：当 m =3时
例：
5、序列的差分运算：一个序列与一个移位序列之差。
一阶前向差分： x[n] x[n 1] x[n] 一阶后向差分： x[n] x[n] x[n 1]
[n]
1
0
t
t
u(t) ( )d ------ 积分关系
u[n]
1
...
-2 -1 0 1 2 3 n
-2 -1 0 1 2 3 n
[n] u[n]u[n 1] ------ 差分关系
u[n] [n][n 1][n 2] [n m] ------ 求和关系 m0
（3）矩形序列
x(m)和h(m)如图所示
x(m) 3/2
1 1/2
0123
m
h(m) 1
01 2
m
h(0-m) 1 n=0反褶
-2 -1 0
m
h(-1-m) 1 n=-1左移
-3 -2 -1 0
m
反褶 .以m=0为对称轴， 折叠h(m) 得到h(0-m)
可见， 当n<1时，x(m)与 h(n-m)无交叠，相乘处 处为 零，即y(n)=0，n<1
若有两个序列 x1n和x2 n,定义和式
x1k x2n k
k
为x1n和x2 n的卷积和，记作1n x2 n
（２）计算方法： 离散线性卷积的计算:图解法、解析法，对位相乘法
•图解法
卷积和的图解过程：换元 反褶 平移 相乘 取和
h[-m]、 h[n-m]、x[m] h[n-m]、 x[m]h[n m] m
例：求z(n)=x(n)·y(n)
解：
z(0)=x(0)·y(0) z(1)=x(1)·y(1) z(2)=x(2)·y(2)
…
例：当 m =3时
例：
5、序列的差分运算：一个序列与一个移位序列之差。
一阶前向差分： x[n] x[n 1] x[n] 一阶后向差分： x[n] x[n] x[n 1]
[n]
1
0
t
t
u(t) ( )d ------ 积分关系
u[n]
1
...
-2 -1 0 1 2 3 n
-2 -1 0 1 2 3 n
[n] u[n]u[n 1] ------ 差分关系
u[n] [n][n 1][n 2] [n m] ------ 求和关系 m0
（3）矩形序列
x(m)和h(m)如图所示
x(m) 3/2
1 1/2
0123
m
h(m) 1
01 2
m
h(0-m) 1 n=0反褶
-2 -1 0
m
h(-1-m) 1 n=-1左移
-3 -2 -1 0
m
反褶 .以m=0为对称轴， 折叠h(m) 得到h(0-m)
可见， 当n<1时，x(m)与 h(n-m)无交叠，相乘处 处为 零，即y(n)=0，n<1
若有两个序列 x1n和x2 n,定义和式
x1k x2n k
k
为x1n和x2 n的卷积和，记作1n x2 n
（２）计算方法： 离散线性卷积的计算:图解法、解析法，对位相乘法
•图解法
卷积和的图解过程：换元 反褶 平移 相乘 取和
h[-m]、 h[n-m]、x[m] h[n-m]、 x[m]h[n m] m
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
《信号与系统》讲义教案第6章离散信号与系统的Z域分析
第 6 章离散信号与系统的Z 域分析6.0 引言与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。
Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。
当然， Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。
6.1 双边 Z 变换6.1.1双边Z变换的定义前面讨论过，单位脉冲响应为h[n] 的离散时间 LTI 系统对复指数输入z n的响应y[n]为y[ n]H ( z) z n(6.1)其中H ( z)h[ n] z n(6.2)n式 (6. 2) 就称为 h[n] 的双边 Z 变换。
当 z= e j时， Z 变换就转变为傅立叶变换。
因此一个离散时间信号的双边Z 变换定义为：X ( z)x[ n]z n(6.3)n式中 z 是一个复变量。
而x[n]与它的双边z 变换之间的关系可以记做zx[n]X (z)6.1.2双边Z变换的收敛域x[n] 的双边 Z 变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z 变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z 平面上的所有点都能使X(z)收敛。
那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。
只有当式 (6.3) 的级数收敛，X (z) 才存在。
X ( z) 存在或级数收敛的充分条件是x[n]z n(6.4)n在 x[ n] 给定的条件下，式 (6.4)级数是否收敛取决于 z 的取值。
在 z 复平面上，使式 (6.4)级数收敛的 z取值区域就是 X(z)的收敛域。
6.1.3零极点图如果X(z) 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：N ( z)(z z i )X ( z)i(6.5)M(zD ( z)z p )p则由其全部的零极点即可表示出X ( z) ，最多相差一个常数因子。
在Z 平面上表示出全部的零极点，即构成X ( z) 的几何表示——零极点图。
信号与系统_第六章 系统函数与零极点分析
并不失一般性! 令m=n并不失一般性! 并不失一般性
F ( s) Y ( s ) = H ( s) F ( s) = N ( s ) D( s) F ( s) 设一个中间变量 X ( s) = 则: D( s)
Y ( s) = N ( s) X ( s)
E-mail:lynwindsent@
U ( s) H ( s) = = Zin ( s) I ( s)
输入阻抗或策动点阻抗
返 回
E-mail:lynwindsent@
Tel:22896276
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信号与线性系统
(2)
+ U1(s) -
I1(s) 系 统
I2(s) + U2(s)
U2 ( s) H ( s) = U1 ( s) I2 ( s) H ( s) = I1 ( s) H ( s) =
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信号与线性系统
回忆一下在频域中,系统函数的定义: 回忆一下在频域中,系统函数的定义: 称为系统的频率特性, 关系为: 关系为 H( jω) 称为系统的频率特性,与h(t)关系为:
H( jω) = ∫ h(t )e jωt dt
∞
∞
1 jωt h( jω) = ∫ H( jω)e dt 2π ∞
返 回 E-mail:lynwindsent@ Tel:22896276
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信号与线性系统
6.2系统函数的零, 6.2系统函数的零,极点 系统函数的零
N ( s) 一,系统函数可以表示为 H ( s) = D( s) 分母多项式的根称为函数的极点, 分母多项式的根称为函数的极点,分子多项式的根称
(a s (b s
F ( s) Y ( s ) = H ( s) F ( s) = N ( s ) D( s) F ( s) 设一个中间变量 X ( s) = 则: D( s)
Y ( s) = N ( s) X ( s)
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U ( s) H ( s) = = Zin ( s) I ( s)
输入阻抗或策动点阻抗
返 回
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信号与线性系统
(2)
+ U1(s) -
I1(s) 系 统
I2(s) + U2(s)
U2 ( s) H ( s) = U1 ( s) I2 ( s) H ( s) = I1 ( s) H ( s) =
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信号与线性系统
回忆一下在频域中,系统函数的定义: 回忆一下在频域中,系统函数的定义: 称为系统的频率特性, 关系为: 关系为 H( jω) 称为系统的频率特性,与h(t)关系为:
H( jω) = ∫ h(t )e jωt dt
∞
∞
1 jωt h( jω) = ∫ H( jω)e dt 2π ∞
返 回 E-mail:lynwindsent@ Tel:22896276
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信号与线性系统
6.2系统函数的零, 6.2系统函数的零,极点 系统函数的零
N ( s) 一,系统函数可以表示为 H ( s) = D( s) 分母多项式的根称为函数的极点, 分母多项式的根称为函数的极点,分子多项式的根称
(a s (b s
信号与系统第6章拉氏变换
的收敛性
f (t ) u (t ) e tu ( t ) 举例：信号
FB ( s )
0
ee
t
st
dt
0
e st dt
1 1 1 s s
对前一项，收敛域 1 ，对后一项， 0 总的收敛域为 0 1
2、双边拉氏变换同付里叶变换的 关系
t
jwt
F1 ( w)e st dw
ds 而： s jw ，若选定 ，即令 为常数，有 dw j
，同
时 F ( s ) F1 ( w) ，上式改写为：
1 f (t ) 2 j
j
j
F ( s ) e st ds
对信号 f (t ) ，
F (s)
d [(s p1 ) k F ( s)] 显然 K12 ds s p
1
继续微分：
1 d 2 [(s p1 ) k F ( s)] K13 2 ds 2 s p
1
1 d i 1[(s p1 ) k F ( s)] K1i 一般形式： (i 1)! ds i 1 s p
2、微分
3、积分
若 L[ f (t )] F (s) ，则
L[
t
F (s) f 1 (0) f ( )d ] s s
其中：
f
( 1)
(0) f ( )d
0
，为常数
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t )] F (s) ，则
L[ f (t t0 )u(t t0 )] e st0 F (s)
此时，有： F (s)
信号与系统-第6章
z3 2z2 1
zz 1z 0.5
,
z 1, 求 f(n).
解:
Fz
z
z3 2z2 1
z2z 1z 0.5
A1 z2
A2 z
A3 z 1
z
A4 0.5
其中
A2
ddzz2
Fz
z
z0
3z2 4z z1z0.5 z3 2z2 1z0.5z1
z12z0.52
z0 6
所以
Fz
6
2 z
8z z 1
σ>0
r>1,θ任意
② s 平面上的实轴映射为 z 平面的正实轴.
jω
Im[z]
1
σ
Re[z]
ω=0, s=σ θ=0, r任意
8
6.2 z 变换的基本性质
1. 线性 a1 f1n a2 f2 n a1F1z a2F2 z
例6-5：求 cos0nUn和 sin0nUn的 z 变换.
解: 欧拉公式 由指数变换:
① z 变换函数在收敛域内是解析函数, 且无任何极点.
② 有限长序列 z 变换的ROC为整个平面, 可能不包括 0 或∞.
③ 因果序列 z 变换的ROC为极点半径圆外.
④ 非因果序列 z 变换的ROC为极点半1 径2圆内.
⑤ 双边序列 z 变换的ROC为极点半径圆环内.
6
3. 常用信号的 z 变换
24
例6-15：已知 yn2yn1 f n
(1) 求H(z) 和 h(n), 并说明因果性与稳定性;
(2) 求因果系统 f(n)=U(n+1)时的零状态响应.
n
n0
由等比级数, 当 az1 1, 即 z a 时才收敛.
信号与系统 第6章-作业参考答案
Hd
(z)
=
Hc(z)
s
=1− 1+
z z
−1 −1
证明：H������(z)有一个位于单位圆内的极点和一个位于单位圆外的零点
c）对于系统函数H������(z)，证明�H�������ejω�� = 1
证明：
16
第六章 z 变换
第 6 章 习题参考答案
6-4 计算机设计题 答案暂略
17
和 x2(n) = �14�n u(n)
设序列x1(n)的单边和双边 变换分别为 X1( X2(z) 和 X2d (z) 。
1） 根据双边 z 变换的定义和卷积定理，求出g(n) = x1(n) ∗ x2(n)； 2） 根据单边 z 变换的定义和卷积定理，求出g(n) = x1(n) ∗ x2(n)； 3） 解释 1）和 2）的结果为何不同。 解：
，试用
z
变换的初值
和终值性质确定离散序列 x(n) 的初值 x(0) 和终值 x(∞) 。
6
第六章 z 变换 解：直接求出。
第 6 章 习题参考答案
6-2-26 某离散LTI系统由差分方程
y(n)
−
10 3
y(n)
+
y(n
+
1)
=
x(n)
描述。试求系统的单位样值响应 h(n) ，并确定系统的稳定性。
解：
5
第六章 z 变换
第 6 章 习题参考答案
∞
∑ 6-2-21 序列 x(n) 的自相关序列定义为φxx (n) = x(k)x(n + k) 。试利用 x(n) 的 z 变换 k =−∞
求出φxx (n) 的 z 变换。
解：
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有限长序列z变换的收敛域为|z|>0
6.2 常用单边序列的z变换
1) Z{ [k ]} 1,
k
z0
1 z 1 cos0 z 1 j sin 0 z 1 1 3) Z{e j0k [k ]} j0 1 1 2 z 1 cos0 z 2 1 e z 1 1 cos0 z cos(0 k ) [k ] 1 2 z 1 cos0 z 2 sin 0 z 1 sin(0 k ) [k ] 1 2 z 1 cos0 z 2
对上式应用初值定理，即得
az f [1] lim z ( F ( z ) f [0]) lim a z z z a 当|a|<1时，(z1)F(z)的收敛域包含单位圆，由终 值定理，有
z( z 1) 0 f [] lim( z 1) F ( z ) lim z 1 z a z 1
(2) y[k ]
(1) i f [k i ]
i 0
解： f [k]可表示为 f [k ] [k ] [k 2] [k 4] (1)
利用[k]的Z变换及因果序列的位移特性，可得
F ( z) 1 z
2
z
4
1 1 z 2
1
2) Z{ [k ]}
1
za
6.3 单边z变换的主要性质
f [k ] z F ( z), z R f f1[k ] z F1 ( z), z R f 1
f 2 [k ] 性特性
af1[k ] bf2 [k ] aF ( z) bF2 ( z) 1
由于RN[k]为有限长序列，故其收敛域为
|z|>0
ROC扩大
线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大
例：求以下周期序列的单边z变换。
k
n 0, 1, 2, 1, k 2n, (1) f [k ] 0, k 2n 1, n 0, 1, 2,
(2) y[k ]
1 [k ] , 1 1 z
z
z 1
Z{
n 0
k
F ( z) f [n]} Z{ f [k ]} Z{ [k ]} 1 z 1
z max(1, R f )
6.3 单边z变换的主要性质
6.初值与终值定理
f [0] lim F ( z )
z
若(z1)F(z)的收敛域包含单位圆，则
f [] lim( z 1) F ( z )
z 1
例： 已知F(z) = 1/(1a z1) |z| |a|
求f [0]， f [1]和 f [] 。
解：
1 z lim 1 f [0] lim F ( z ) lim 1 z 1 az z z a z 根据位移特性有 f [k 1] [k ] z z( F ( z) f [0])
1 ,z a (k 1)a [k ] 1 2 (1 az )
k Z
6.3 单边z变换的主要性质
5. 序列卷积
f1[k ] f 2 [k ] F1 ( z) F2 ( z)
n
ROC 包含Rf1∩Rf2
证：Z{ f1[k ] f 2 [k ]} Z{ f1[n] f 2 [k n]}
k i 0
z 1
(2) 将y[k]改写为y[k ]
(1)i f [k i] (1) k [k ] * f [k ]
z 1
1 由(1)题的结果及卷积特性，可得 Y ( z ) (1 z 1 )(1 z 2 )
6.3 单边z变换的主要性质
3. 指数加权特性
1. m<n，分母多项式无重根
F ( z)
i 1 n
ri 1 pi z 1
1
各部分分式的系数为
ri (1 pi z ) F ( z )
z pi
6.4 单边z反变换
部分分式法
B( z ) b0 b1 z 1 bm z m F ( z) A( z ) 1 a1 z 1 a n z n
k n
f [k ]z k ]
f [ k 2]
1
Z{ f [k 1] [k ]} z 1F ( z) f [1] Z{ f [k 2] [k ]} z 1Z{ f [k 1] [k ]} f [2] z 2 F ( z) z 1 f [1] f [2]
z u ,
i 1,l
6.4 单边z反变换
部分分式法
3. m>n
F ( z)
m n
B( z ) b0 b1 z 1 bm z m F ( z) A( z ) 1 a1 z 1 a n z n
i 1
ki z i
B1 ( z 1 ) A( z 1 )
(1) i f [k i ]
i 0
分析：周期为N的单边周期序列fN[k]ε[k]可以表示为第一个
周期序列f1[k]及其位移f1[klN]的线性组合，即
f N [k ] [k ] f1[k lN ]
l 0
若计算出f1[k]的z变换F1(z)，利用因果序列的位移
特性和线性特性，则可求得其单边周期序列的z变换为
z max(R f 1 , R f 2 )
6.3 单边z变换的主要性质
2. 位移特性
因果序列的位移 f [k n]ε[k n] znF(z) 非因果序列的位移
n 1
|z|> Rf |z|> Rf |z|> Rf
Z f [k n] [k ] z n [ F ( z ) f [k ]z k ]
6.1 单边z变换及其收敛域
单边z变换 收敛域(ROC)
F ( z ) f [k ]z k
k 0
使上式级数收敛的所有z的范围称为F(z)的收敛域
右边序列的收敛域为z 平面中的一圆外区域
z Rf
Im z
ROC
R
f
Re z
例：求以下序列的Z变换及收敛域。
(1) f [k ] a [ k ]
1 2
B (1 2z 1 ) 2 F ( z) z2 1
1 1 2
(1 2 z ) F ( z )(1 2 z ) A(1 2 z ) B C 1 4 z 1
依此类推 可证上式成立
0
k
0
k
0
k
例：求RN[k]= ε[k] ε[kN]的z变换及收敛域
解：
1 [k ] , 1 1 z
Z
z 1
利用因果序列的位移特性和线性特性，可得
1 z N 1 z N F ( z) 1 1 1 z 1 1 z 1 z
f [k n] [k ] z n [ F ( z) f [k ]z k ] Z
k n
k 0 1
6.3 单边z变换的主要性质
2. 位移特性
证明
f [k ]
Z f [k n] [k ] z n [ F ( z )
F (z )
z
f [ k 1]
2. m<n，分母多项式在z=u处有l阶重极点
F ( z)
i 1 nl
ri 1 pi z
1
i 1
l
qi (1 uz 1 ) i
1 d l i qi (1 uz 1 ) l F ( z ) (u ) l i (l i )! d( z 1 ) l i
k
6.3 单边z变换的主要性质
4. z域微分特性
dF ( z) kf [k ] z dz
ROC R f
例：求f[k]=(k+1)ak ε[k]的z变换及收敛域
解：
1 a [k ] , 1 1 az
k Z
z a
利用z域微分特性，可得 1 d 1 az 1 k Z{ka [k ]} z 1 az ,z a 1 2 dz (1 az ) 利用z变换的线性特性，可得
f1[n]Z{ f 2 [k n]} F2 ( z ) f1[n]z
n n n
F1 ( z) F2 ( z)
例：求 Z{ f [n]}
n 0
k
解：
设
f [n] f [k ]* [k ]
n 0
k
f [k ] F ( z), z R f
z
利用z变换的卷积特性，以及 可得
k k
Fs (s) L[ f s (t )]
k
f (kT )e ksT
令e sT z, 有
L{ f s (t )} f [k ]z k F (z )
k
s域到z域的映射关系：
z e sT
6.1 z变换定义及符号表示
双边z变换
a f [k ] F ( z / a)
k Z
ROC a R f
例：求aksin(0k) ε[k] 的z变换及收敛域
解：
sin 0 z 1 z sin(0 k ) [k ] 1 2 1 2 z cos0 z
利用z变换的指数加权特性，可得
1
z 1
sin 0 ( z / ) sin(0 k ) [k ] 1 2( z / ) 1 cos0 ( z / ) 2 sin 0 z 1 za 2 1 2 2 z cos 0 z
多项式
按(1)(2) 情况展开