2015届高考调研理科专题研究_平面向量的综合应用

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河南省安阳市2015届高三毕业班调研考试数学(理)试题扫描版含答案

2015届高三毕业班调研考试数学(理科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.三、解答题（18）解：（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天的监测数据，至少有一天空气质量达到一级”为事件A ，则311315C 58()1.C 91P A =-=……………………………………（6分）（Ⅱ）由题意可知ξ的可能值为0,1,2,3，则031221510510510333151515C C C C C C 244520(0),(1),(2),C 91C 91C 91P P P ξξξ========= 30510315C C 2(3).C 91P ξ=== 所以ξ的分布列为2445()0123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或()3115E ξ=⨯=).…………………（12分）（Ⅱ）取DE 的中点M ，连接,FM BM ，AG ∥BF ，CD ∥FM ，且AG CD G =，BFFM F =，∴平面ACD ∥平面BFM ，∴平面ACD 与平面BCE 所成的角等于平面BFM 与平面BCE 所成的角，由（Ⅰ）知BF ⊥平面CDE ，∴BF FM ⊥，BF EF ⊥，∴EFM ∠为平面BFM 与平面BCE 所成二面角的平面角，……………………………（9分）易知,DE AD DE AG ⊥⊥,∴DE ⊥平面,ACD DE CD ∴⊥，∴CDE △为等腰直角三角形，∴cos cos EFM ECD ∠=∠=， ∴平面ACD 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为22.……………………………（12分）（21）解：（Ⅰ）()1a x af x x x-'=-=，()f x 的定义域为()0,+∞，…………………（ 1分）当0a …时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时()f x ，()f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞. 综上可得：当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，无减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.………………（4分）（Ⅱ）由题意得()min 0f x …，由（Ⅰ）知，当0a >时，()()min 1ln f x f a a a a ==--，则()1ln 0f a a a a =--…，令()1ln g a a a a =--，可得()ln g a a '=-，因此()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g a g ==，故1ln 0a a a --…成立的解只有1a =；……………………………………………………………………………（6分）当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，0x →，()f x →-∞，故不合题意.综上可知实数a 的取值集合为{}1.…………………………………………………………（8分）（Ⅲ）要证明原不等式，只要证()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，令11x n =+，只要证()11ln 112x x x x -<<-<…，…………（9分）由（Ⅰ）可知，当1a =时，()1ln f x x x =--在(]1,2上单调递增，因此()()10f x f >=，即ln 1x x <-.………………………………………………………………………………（10分）令()1ln 1x x x ϕ=+-(12)x <…，则()221110x x x x xϕ-'=-=>，所以()x ϕ在(]1,2上单调递增，因此()()10x ϕϕ>=，即1ln 10x x+->，综上可知原命题成立.……………（12分）（23）解：（Ⅰ）因为圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则22cos ρρθ=，即222x y x +=，所以圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.……………………………（2分）因为tan 2α=，α是锐角，所以cos α=，sin α=又直线l ()cos 2θα+=，cos sin 2αρθαρθ⋅⋅=，即直线l 的直角坐标方程220x y --=．………………………………………………（5分）（Ⅱ）联立2220,220,x x y x y ⎧-+=⎨--=⎩得2,0x y =⎧⎨=⎩或2,54,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取()2,0A ，24(,)55B -，设点(,)M x y 是圆D 上的任一点，因为AB 为圆D 的直径，则0AM BM ⋅=，而(2,)AM x y =-，24(,)55BM x y =-+，所以()242()()055x x y y --++=，即225512440x y x y +-++=，………………………（8分）化为标准方程为22624()()555x y -++=，所以圆D的参数方程为6,52.5x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（ϕ为参数）………………………………（10分）。

广东省深圳市2015届高三下学期第二次调研考试数学(理)

2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，则复数 2015i 等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】D 【解析】试题分析：2015201233ii i i i =?=-，故选D.考点：复数的运算.2.平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =-b ，若a // b ，则x 等于 A ．4 B ．4- C ．1- D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：根据向量共线的条件，可知1(2)(2)4x ?-?=，所以4x =.考点：向量共线的坐标表示.3.下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是 A ．2x y = B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =【答案】B 【解析】试题分析：2y x =在[1,0]-上是减函数，故A 不对，2log y x =在[1,0]-上没有意义，故C 不对，sin 2y x =在[,1]4p上是减函数，故D 不对，只有2x y =在[1.1]-上是增函数，故选B. 考点：函数的单调性的判断.4.如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，图11正视图侧视图俯视图则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） A ．π8+ B ．π48+ C ．π16+ D ．π416+【答案】C 【解析】试题分析：根据所给的三视图，可知该几何体为一个长方体和一个圆柱的组合体，故其容积为24221116V p p =鬃+鬃=+，故选C. 考点：根据几何体的三视图求其体积.5.若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩,则2x y +的取值范围是A ．[0,6]B ．[1,6]C ．[1,5]D ．[0,5] 【答案】C考点：不等式的性质.6.如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入3a ，2a ，1a ，0a1-，则输出v 的值为 A ．2- B ．2 C ．8-D ．8图11正视图侧视图俯视图【解析】试题分析：起始值3i =，输入31a =，0311v =?=，2i =，输入23a =-，1330v =?=，1i =，输入13a =，0333v =?=，0i =输入01a =-，3318v =?=，1i =-，输出8v =，故选D. 考点：程序框图.7.从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取五个，组成五位数，则不同的五位数共有 A ．50个 B ．60个 C ．100个D ．120个【答案】B考点：两个计数原理，排列组合数.8.设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义}),(|)1,1{(*X y x x y X ∈--=．若X X =*，则称点集X “关于运算*对称”．给定点集}1|),{(22=+=y x y x A ，}1|),{(-==x y y x B ，}1|||1||),{(=+-=y x y x C ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】试题分析：将(1,1)y x --带入221x y +=，化简得1x y +=，显然不行，故集合A 不满足关于运算*对称，将(1,1)y x --带入1y x =-，即111x y -=--，整理得1x y +=，显然不行，故集合B 不满足关于运算*对称，将(1,1)y x --带入11x y -+=，即1111y x --+-=，化简得11x y -+=，故集合C 满足关于运算*对称，故只有一个集合满足关于运算*对称，考点：新定义问题的求解.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分，将答案填在答题纸上）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.不等式5|2||1|≤-+-x x 的解集为．【答案】[1,4]- 【解析】试题分析：原不等式等价于如下不等式组：（1）111125x x x x ì<ï??í-+-?ïî，（2）1212125x x x x ì＃ï蓿?í-+-?ïî，（3）224125x x x x ì>ï??í-+-?ïî，所以原不等式的解集为[1,4]-. 考点：绝对值不等式的解法.10.已知随机变量X 服从正态分布),1(2σN ，若(01)0.3P X <≤=，则=≥)2(X P ．【答案】0.2 【解析】试题分析：根据正态分布的特定，可知(1)0.5P X ?，而1(2)(0)(01)2P X P X P X ??-<?0.50.30.2=-=. 考点：正态分布.11.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与抛物线24y x =的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于．【解析】试题分析：抛物线的准线1x =-与双曲线的渐近线b y x a =?的交点分别为(1,),(1,)b ba a---，所以对应的三角形的面积为12112b ba a鬃==，所以该双曲线为等轴双曲线，故其离心率为考点：双曲线的离心率.12.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知153=S ，1539=S ，则=6S ．【答案】66考点：等差数列的性质.13.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2ab c >”是“π3C <” 的条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）．【答案】充分非必要【解析】试题分析：由余弦定理可知22222cos 22a b c ab c C ab ab +--=?21222ab ab c ab ab ab +-=>=，所以3C p <，故满足充分性，取三角形的边长为3,4,5，令3cos 5C =，3C p<，但是， 2351516ab c =?<=，所以不满足必要性，故为充分非必要条件.考点：余弦定理，重要不等式，充要条件的判断.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x sy s=+⎧⎨=-⎩（s 为参数）与曲线C ：23x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________．【解析】试题分析：曲线C 可化为2(3)y x =-，将12x sy s=+⎧⎨=-⎩带入2(3)y x =-，化简解得121,2s s ==，所以12AB S =-考点：直线的参数方程，曲线的参数方程，直线被曲线截得的弦长问题.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ．若60BAC ∠=︒，6BC =，则⊙O 的半径为．【答案】【解析】试题分析：连结,BO CO ，则120BOC ?,所以有BC 所以R OB ==考点：圆的性质.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）设函数()cos(2)f x A x =+ϕ（其中0A >，0π<<ϕ，R ∈x ）．已知π6x =时，()f x 取得最小值2-．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若角θ满足π2sin()()3f +=θθ，且π0<≤θ，求πsin()3θ+的值．【答案】(1) 2π()2cos(2)3f x x =+ （2）21)3πsin(=+θ 【解析】试题分析：对于第一问，根据函数的性质，结合题的条件，确定出相应的参数的值，从而求图3A出函数的解析式，对于第二问，可以用倍角公式，结合着角的取值范围，求出相应的三角函数值，也可以用诱导公式求解，结合着角的范围求出角的三角函数值.试题解析：（1）由()f x 最小值2-且0A >，所以2A =． …………………………………………1分因为π()26f =-，所以πcos()13ϕ+=-， ……………………………………………………2分由0π<<ϕ可得ππ4π333ϕ<+<，所以ππ3ϕ+=， ………………………………………3分所以2π3ϕ=． ……………………………………………………………………………………4分故)(x f 的解析式为2π()2cos(2)3f x x =+． …………………………………………………5分（2）（法1）由（1），得)3π22cos()3πsin(+=+θθ，即)3π(sin 21)3πsin(2+-=+θθ，01)3πsin()3π(sin 22=-+++θθ， ……………………8分所以1)3πsin(-=+θ或21)3πsin(=+θ． ………………………………………………10分又0πθ≤<，所以ππ4π333θ≤+<． …………………………………………………11分所以21)3πsin(=+θ． ………………………………………………………………………12分（法2）由（1），得)3π22cos()3πsin(+=+θθ，即)3π22cos()6πcos(+=-θθ． ………………………………………………………8分所以θθ-+=+6ππ23π22k 或θθ+-=+6ππ23π22k ，Z ∈k ． …………………………10分即6π3π2-=k θ或65ππ2-=k θ，Z ∈k ．又0πθ≤<，所以2π=θ． …………………………………………………………11分所以21)3πsin(=+θ． ………………………………………………………………………12分考点：cos()y A x ωϕ=+的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值. 17.（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为： 1人、3人、6人（2）37（3）分布列略， 45E x = 【解析】试题分析：第一问注意分层抽样的条件，注意把握随机事件发生的概率，对于第三问，注意随机事件的分布列的求法，注意二项分别的期望公式的应用.试题解析：（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：50150010=、150350010= 、300650010=． ………………………………………2分所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：110110⨯=人、310310⨯=人、610610⨯=人; ……………………………………4分（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为650030010=⨯人，所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为226441037C C C ×=; …………………………………6分（3）4=n ，ξ的可能取值为4,3,2,1,0． ………………………………………7分因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为511000200==p ，……………8分所以，随机变量ξ服从二项分布，即ξ～)51,4(B ． …………………………………………9分62525651151)0(4004=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，62525651151)1(3114=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， 6259651151)2(2224=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，6251651151)3(1334=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， 625151151)4(0444=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ．即ξ的分布列为：……………………………………………………………………………11分ξ的数学期望为：14455E np x ==?． …………………………………………12分考点：分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布，考生读取图表、数据处理的能力． 18.．（本小题满分14分）如图4，已知三棱锥O ABC-的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形，M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．（1）证明：OB OA =；（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ；（3）若PA ，OP =，求二面角B OA P --的余弦值．【答案】（1）略（2）略（3）5【解析】O 图4BCPM∙又PAB AB 平面⊂，所以，平面⊥PAB 平面POC ． …………………………………………9分（3）（法一）由（2）知AB ⊥平面POD ，所以平面OAB ⊥平面POD ，且平面OAB 平面POD OD =，过点P 作PH ⊥平面OAB ，且交OD 的延长线于点H ，连接AH ，因为OC PA 5=，OC OP 6=，由（1）同理可证OC OB OA ==，在△POA 中，222OP PA OA =+，所以OA PA ⊥，又因为PH ⊥OA ，图4OBCPM∙DH所以OA ⊥平面PAH ，所以PAH ∠为二面角B OA P --的平面角， ………………………………………………11分在直角△PHA 中，cos AHPAH PA∠=， ……………………………………………………12分由（2）知45AOD ∠=︒，所以△OAH 为等腰直角三角形，所以AH OA OC ==，所以cos AH PAH PA ∠==，所以，二面角B OA P --…………………………………………………14分（法2）如图6，以OA ，OB ，OC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．由（1）同理可证OC OB OA ==，设1===OC OB OA ，则)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C ，(1,0,0)OA =，(1,1,0)AB =-．设),,(z y x P ，其中0>x ，0>y ，0>z ．由(,,)OP x y z =，(1,,)AP x y z =-．由（2）知OP AB ⊥，且5PA ==，6OP OC ==得()222222(1)0615x y x y z x y z ⎧-⨯+=⎪⎪++=⎨⎪-++=⎪⎩．解之，得1x y ==，2z =． ……………………………11分所以，(1,1,2)OP =设平面POA 的法向量为),,(1111z y x =n ，由1OA ⊥n ，1OP ⊥n ，得1111020x x y z =⎧⎨++=⎩．图6Pz取11=z ，得12y =-，1(0,2,1)=-n ．由（2）知，平面OAB 的法向量为2(0,0,1)OC ==n ， ………………………………………13分记二面角P OA B --的平面角为θ，由图可得θ为锐角，所以12cos |cos ,|θ=〈〉==n n 所以，二面角B PC A --……………………………………………………14分考点：空间点、线、面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定与性质，用空间向量求二面角，空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 19.（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ，且42,,321+a S a 成等比数列．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）令2nn n a b =，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有++2143a a (12)<++na n ．【答案】（1）41=a ，242=a ，963=a （2）()1nb n n =+，*N ∈n （3）略【解析】试题分析：对于第一问，可以根据题中的条件，找到关于123,,a a a 的等量关系，从而求出123,,a a a 的值，对于第二问，注意根据和与项的关系，类别着再写一个，两式相减，可以得出数列的相邻两项之间的递推关系式，对所得的式子进行变形，转化成目标数列的相邻两项的关系，再应用累加法求得结果，也可以应用某些项所满足的关系，猜想数列的通项公式，之后应用数学归纳法证明即可，对于第三问，根据第二问求得数列的通项公式，之后应用裂项相消法求和，之后应用不等式的性质即可得结果.试题解析：（1）由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+=+.68,20,)()42(3212122131a a a a a a a a a …………………………………………2分解之，得41=a ，242=a ，963=a ． …………………………………………………4分（2）（法1）因为4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ， ……① 所以42)1(21-⋅--=+-n n n n a S ，其中2≥n ． ……②① -②并整理得212)1(2++⋅++=n n n n a a ，2≥n ， ……………………………6分即12(1)n n b b n +=++，2≥n ．所以，3243123242n n b b b b b b n -=+⨯⎫⎪=+⨯⎪⎬⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪=+⎭相加，得()()223n b b n n =+-+． (8)分由（1）知242=a ，所以26b =，所以2≥n 时，()1n b n n =+， ……………………9分又41=a ，12b =也符合上式，所以，数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………10分（法2）因为4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ， ……① 所以42)1(21-⋅--=+-n n n n a S ，其中2≥n ． ……② ① -②，并整理得212)1(2++⋅++=n n n n a a ，2≥n ，即12(1)n n b b n +=++，2≥n ． ……………………………………………………………6分由（1）知22141⨯⨯==a ，2223224⨯⨯==a ，3324396⨯⨯==a ．可得1212b ==⨯，2623b ==⨯，31234b ==⨯．猜想()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………………………………8分以下用数学归纳法证明之：（i ）当1=n 时或2=n 时，猜想显然正确．（ii ）假设k n =（2≥k ）时，猜想正确，即()1n b k k =+．那么1+=k n 时，12(1)k k b b k +=++(1)2(1)k k k =+++(1)(2)k k =+⋅+[](1)(1)1k k =+++即1+=k n 时，猜想也正确．由（i ）（ii ），根据数学归纳法原理，对任意的*N ∈n ，猜想正确．所以，数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………10分（3）对一切正整数n ，因为n n n n n n n n n a n 2)1(1212)1(221⋅+-⋅=⋅++=+-， …………12分所以，++2143a a …+⨯⨯+⨯⨯=++21232422132n a n …nn n n 2)1(2⋅+++ +⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯=231221221211…⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-⋅+-n n n n 2)1(1211 12)1(11<⋅+-=nn ． ………………………………………14分考点：等比数列的定义，处理n S 与n a 的递推公式，用累加法求数列通项，数学归纳法，理解裂项求和，考生运算求解、推理论证、归纳猜想的能力． 20.（本小题满分14分）已知动点(,)M x y 和定点(0,1)N ， MN 的中点为P ．若直线MN ，OP 的斜率之积为常数λ (其中O 为原点，10λ-<<)，动点M 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 上是否存在两点A 、B ，使得△NAB 是以N 为顶点的等腰直角三角形？若存在，指出这样的三角形共有几个；若不存在，请说明理由．【答案】（1）221x y λ-+=（0x ≠）（2）当 113λ-<≤-时，有一个圆符合题意；当103λ-<<时，有三个符合题意的圆．【解析】试题分析：第一问根据中点坐标公式求出点P 的坐标，再根据两点斜率坐标公式，将两直线的斜率都求出来，结合着题中的条件，两斜率成绩等于常数λ，从而写出,x y 所满足的等量关系式，整理得出所求的结果，对于第二问先讨论直角顶点可能是谁，再根据边长的关系，从而得出λ所满足的条件，从而确定出最后的结果.试题解析：（1）设直线MN ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，因为1(,)22x y P +， ………………1分所以11y k x-= （0x ≠），2122y k x += （0x ≠）， ……………………………………3分由12k k λ=可得：()1122y y x x λ+⎛⎫-⋅⎪⎝⎭=⋅（0x ≠）， ……………………………………4分化简整理可得221x y λ-+=（0x ≠），所以，曲线C 的方程为221x y λ-+=（0x ≠）． (5)分（2）由题意()0,1N ，且NA NB ⊥，当直线NA 的斜率为0，则N 与A 重合，不符合题意，所以直线NA 、NB 的斜率都存在且不为0，设直线NA 的斜率为k ，所以直线NB 的斜率为1k-，不妨设0k >，所以直线NA 的方程为1y kx =+，直线NB 的方程为11y x k=-+，………………………6分将直线NA 和曲线C 的方程联立，得2211y kx x y λ=+⎧⎨-+=⎩，消y 整理可得()2220k x kx λ-+=，解得22A k x k λ=--，所以22k NA k λ=-，以k 1-替换k，可得22221k NB k k λλ==--， (8)分由NA NB =22221k k k λλ=--， (9)分所以320k k k λλ+--=，即()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦， (10)分（1）当 113λ-<<-时，方程()210k k λλλ+++=有()()()22143110λλλλ∆=+-=-+-<，所以方程()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦有唯一解1k =； ……………………………11分（2）当13λ=-时，()()211k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦()31103k --=，解得1k =； ………12分（3）当103λ-<<时，方程()210k k λλλ+++=有()()()22143110λλλλ∆=+-=-+->，且()2111310λλλλ⨯++⨯+=+≠，所以方程()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦有三个不等的根．综上，当 113λ-<≤-时，有一个圆符合题意；当103λ-<<时，有三个符合题意的圆． ……………………………………………………………………………………14分（注：（3）也可直接求解：当103λ-<<时，方程()210k k λλλ+++=，因为()()()22143110λλλλ∆=+-=-+->，所以1,2k =，又因为()2111310λλλλ⨯++⨯+=+≠，所以1,21k ≠，故方程()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦有三个不等的根．）考点：曲线与方程，直线与椭圆的位置关系，弦长问题，一元二次方程根的个数问题，数形结合、函数与方程的数学思想方法及运算求解能力． 21.（本小题满分14分）已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1()(=+xf x f ，其中b a ,为常数．（1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值；（2）已知10<<a ，求证：0)2(2>a f ；（3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．【答案】（1）2- （2）略（3）1(0,)2【解析】试题分析：第一问根据题中所给0)1()(=+xf x f 的条件，给x 赋值，得出,a b 的关系，再根据小题中所给的图像在某点处的切线过点)5,0(-，得出,a b 的关系式，联立可以求得a 的值，对于第二问，写出2()2a f 的式子，构造关于a 的函数，转化为函数的最值问题来解决，第三问讨论函数的单调性，注意转化为函数的极值的符号来解决即可得结果. 试题解析：（1）在0)1()(=+xf x f 中，取1=x ，得0)1(=f ，又b a b a f +-=+-=1ln )1(，所以a b =． ……………………………………1分从而x a ax x x f +-=ln )(，)11(1)(2xa x x f +-='，a f 21)1(-='．又510)1(5)1(=---='f f ，所以521=-a ，2-=a ． (3)分（2）2ln 22ln 2222ln)2(3322--+=+-=a a a a a a a f ．令2ln 22ln 2)(3--+=x x x x g ，则24222)1(432322)(xx x x x x x g -+-=--='．所以，)1,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减， …………………………………5分故)1,0(∈x 时，1()(1)2ln 21ln e 02g x g >=-->-=．所以，10<<a 时，0)2(2>a f ． (7)分（3）222)11(1)(x ax ax x a x x f -+-=+-='．①当0≤a 时，在),0(∞+上，0)(>'x f ，)(x f 递增，所以，)(x f 至多只有一个零点，不合题意； …………………………………………8分 ②当21≥a 时，在),1(∞+上，0)(≤'x f ，)(x f 递减，所以，)(x f 也至多只有一个零点，不合题意； ……………………………………10分 ③当210<<a 时，令0)(='x f ，得124111<--=a a x ，124112>-+=aax ．此时，)(x f 在),0(1x 上递减，),(21x x 上递增，),(2∞+x 上递减，所以，)(x f 至多有三个零点． …………………………………………………………12分因为)(x f 在)1,(1x 上递增，所以0)1()(1=<f x f ．又因为0)2(2>a f ，所以),2(120x a x ∈∃，使得0)(0=x f ． ……………………………13分又0)()1(00=-=x f x f ，0)1(=f ，所以)(x f 恰有三个不同的零点：0x ，1，1x ．综上所述，当)(x f 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是)21,0(． ………………14分考点：函数、导数、不等式证明等知识,函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，函数与方程思想、化归与转化思想.。

广东深圳市2015届高三下学期第二次调研考试数学理试题word版含解析

2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)第I卷(共40分)一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的•1.设i为虚数单位，则复数i2015等于A. 1B. -1C. iD. - i【答案】D【解析】试题分析：i2015 =i2012?i3 i3 =-i，故选D.考点：复数的运算•2.平面向量a 二(1, -2) , b = (-2, x)，若a // b，则x 等于A. 4 B . -4 C . -1 D . 2【答案】A【解析】试题分析：根据向量共线的条件，可知1?x (- 2)?( 2) =4，所以x = 4.考点：向量共线的坐标表示•3.下列四个函数中，在闭区间［-1,1］上单调递增的函数是A. y =x2B. y =2xC. y=log2xD. y=sin2x【答案】B【解析】试题分析：y = x2在［-1,0］上是减函数，故A不对，y = log2x在［-1,0］上没有意义，故C 不对，y二si n2x在［p,1］上是减函数，故D不对，只有y = 2x在［-1.1］上是增函数，故选 B.4考点：函数的单调性的判断.侧视图卜1- 2 - 1-正视图俯视图4.如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸,则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）A. 8 nB. 8 4 nC. 16 nD. 16 4 n【答案】C【解析】试题分析：根据所给的三视图，可知该几何体为一个长方体和一个圆柱的组合体，故其容积2为V =4鬃2+P鬃1=16+p，故选C.考点：根据几何体的三视图求其体积•11三x v三35.若实数x，V满足约束条件，则2x v的取值范围是—1兰x —y兰1A [0,6]B . [1,6]C. [1, 5] D . [0,5]【答案】C【解析】试题分析：i^2x+ v = m（jr+ + = + 则有彳，解得*= 11 ix+y£3 S 3 a 1 1 1根据* - ” 一「所以-（“刃丘―一]，-<x-j）e[—所以有2工十川[1.5]・故选U2 2 2 2 2 2考点：不等式的性质•6.如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入-1 ,则输出v的值为侧视图卜1 ”，2…1 ‘A. -2B. 2C. -8D. 8【答案】D【解析】试题分析：起始值i = 3，输入a3= 1, v = 0?3 1 = 1 , i = 2，输入a? = - 3, v = 1 ?3 3 = 0 , i =1，输入= 3 , v = 0 ?3 3 = 3 , i = 0 输入a0= -1, v = 3?3 1 =8 , i = -1，输出v =8，故选D.考点：程序框图•7.从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取五个，组成五位数，则不同的五位数共有A. 50 个B. 60 个C . 100 个 D. 120 个【答案】B【解析】试题分析主当选定的五个数为22363时，组成册五位数为©-@ = 10个,当选定的五个数兀U33* 时，组成的五位魏为思当选定的五位数为12 233时，组戚的五位鞭沟© W = 个, 所以总共有10十20十范=60个.故选E考点：两个计数原理，排列组合数•8.设X是直角坐标平面上的任意点集，定义X*={(1-y,x-1)|(x,y)・X}.若X^X ,则称点集X “关于运算*对称”.给定点集A二{(x,y)|x2 y—1} , B 二{( x, y)| y = x-1} , C 二{( x, y)||x-1| | y"},其中“关于运算*对称”的点集个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】a3, a2 , a1试题分析：将(1- y,x- 1)带入x2+ y2=1，化简得x + y=1，显然不行，故集合A不满足关于运算*对称，将(1- y,x- 1)带入y = x - 1，即x-1 =1 -y-1 ,整理得x + y =1 ,显然不行，故集合B不满足关于运算*对称，将(1- y,x- 1)带入x- 1 +y = 1，即1 - y-1 + x- 1 =1 ,化简得x- 1 + y =1，故集合C满足关于运算*对称，故只有一个集合满足关于运算*对称,贝U P(X _2)= 【答案】0.2 【解析】试题分析：根据正态分布的特定，可知P(X ?1) 0.5，而1P(X ? 2) P(X ? 0)-- P(0 < X ? 1) =0.5- 0.3 = 0.2. 2考点：正态分布.故选B.考点：新定义问题的求解•二、填空题(本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分•本大题分为必做题和选做题两部分，将答案填在答题纸上)9.不等式|x-1| |x-2|乞5的解集为【答案】[-1,4]【解析】试题分析：原不等式等价于如下不等式组:a x <1(1) 'i ? 1?x?1- x + 2- x? 5(2) 21 #x 2蓿 1x?2, (3)?x- 1+2 - x ? 5a x>2 '1?x- 1所以原不等式的解集为[-1,4] • 考点：绝对值不等式的解法 10.已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,二 2)，若 P(0 :: X <1^0.3 ,11.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与抛物线y 2 =4x 的准线围成的三角形面积为1,则此双曲线的离心率等于【答案】2【解析】试题分析：抛物线的准线x = -1与双曲线的渐近线y=?b x的交点分别为（-1,- -）,（-1,b）, a a' a 所以对应的三角形的面积为丄鬃2b = b = 1,所以该双曲线为等轴双曲线，故其离心率为2 a a2.考点：双曲线的离心率•12.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 =15，S g =153，则S6 = .【答案】66【解析】试题分析：根据等差数列的性质，可知禺;心-禺;国-片成等差数列，即2（^-15）= 15十153■心,解得盼66考点：等差数列的性质n 13.已知△ ABC的内角A、B、C所对的边为a、b、c，则“ ab c2”是“ C ：：：—”3的条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）.【答案】充分非必要【解析】2 2 2 2 2试题分析：由余弦定理可知cosC = a +b -c ?g^- =ab+ab-c >辿=1，所以ab 2ab 2 ab 2abC <P，故满足充分性，取三角形的边长为3,4,5，令cosC =- , C <P，但是，3 5 3ab = 3?5 15<16= c2，所以不满足必要性，故为充分非必要条件.考点：余弦定理，重要不等式，充要条件的判断（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分.1 x = 1 亠S14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l : （S为参数）与曲ly = 2 — s"x =t +3线C ： <2（t 为参数）相交于 A 、B 两点，贝U AB = ________7 =t【答案】2【解析】所以 AB 二 J i 2 +12 S i - S 2 二 J2.考点：直线的参数方程，曲线的参数方程，直线被曲线截得的弦长问题15. （几何证明选讲选做题）如图3, AB 、AC 是O O 的两条切线，切点分别为 B 、C •若EBAC =60 , BC = 6，则O O 的半径为【答案】2,3 【解析】试题分析：连结 BO,CO ，则？ BOC所以RS .；* 考点：圆的性质三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题满分12分)设函数 f (x) = Acos(2x +9)(其中 A A 0 , 0< n , R ).已知 x =— 时，f (x)取得 6最小值-2 .（1）求函数f （x ）的解析式;nn (2)若角二满足2si n(r) = f L)，且0空汗n ,求sin (二-)的值.332 n【答案】(1) f(x) =2cos(2x —)3(2) sin( v -卫)=丄3 2试题分析:x = 1 s曲线C 可化为y = (x-3)2，将 l y = 2 -s带入 y = (x- 3)2，化简解得 s 1 =1,S 2 =2，C【解析】试题分析：对于第一问，根据函数的性质，结合题的条件，确定出相应的参数的值，从而求出函数的解析式，对于第二问，可以用倍角公式，结合着角的取值范围，求出相应的三角函数值，也可以用诱导公式求解，结合着角的范围求出角的三角函数值试题解析：(1)由f(x)最小值一2且A .0 ,所以A = 2•1分n n因为f(—)=—2，所以cos(—1, (2)6 3分由0 ：：：•「：：n可得亠上」：：匕，所以丄•「二n, (3)3 3 3 3分所以，二® (4)3分2 n故f (x)的解析式为f (x) = 2cos(2 x ——)• (5)3分（2）（法1）由（1）,得sin（日 +丄）=cos（2日+2n）,3 3即sin（日+n） =1 —2sin2（B +-）, 2sin2（日+n） +sin（0 + -）-^0 ,3 3 3 38分所以sin（丁f） = 一1 或sin（）” = 1 •10分又0 " ::: n,所以-- n■■■：.士.3 3 3所以sin（日+」）=—•......3 212分即cos(-日)=cos(2日十手)•11分= cos（"爭（法2）由（1）,得sin（v所以 2「3= 2k n 或 2k n-, k ・ Z . ............................... 10 分3636即二=2kn _n 或门-2k n-5n , k ・ Z .3 6 6又0 *：： v ::: n 所以二-上........................................... ii 分2所以 sin （B + 兀）=1 .....................................................................................3 212分考点：y 二Acos （，x •的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值 17.（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策.根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占 20%通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半.政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从 30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取 4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为•，求的分布列和数学期望.【答案】（1）抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为:3人、6人1人、试题分析：第一问注意分层抽样的条件，注意把握随机事件发生的概率，对于第三问，注意(3)分布列略, 【解析】 Ex =4人数占总体的比例分另U 为50500 110150 3 500 一 10300 6 500 _10所以，抽取的人 10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为:—10 =1 人、 10 —10 =3 人、—10 =6 人;10 10 (2)由题意可知，在上述 10人中有竞价申请意向的人数为10型=6人,500所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为Cf >C；Cw(3) n =4 , ■的可能取值为0, 1, 2, 3,4. 因为用样本估计总体，任取一人,其摇号电动小汽车意所以，随机变量•服从二项分布,即〜B(4,1 ).5P(=。

汕尾市2015届高三学生调研考试数学(理科)试题(含答案)精美word版

汕尾市2015届高三学生调研考试数学（理科）试题 2014.12.24本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2},{|(2)(3)0}A B x x x ==--=，则A B ⋃=（）A ．}2{B ．{1,2,3}C ．{1,3}D ．{2,3} 2．复平面内表示复数(12)i i -的点位于（）A .第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限 3. 已知{}n a 为等差数列，且388a a +=，则10S 的值为（）A ．40B ．45C ．50D ．554．以下四个函数213,,1,2sin x y y y x y x x===+=中，奇函数的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．15．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线112y x =+平行，则它的离心率为（）A ．BCD 6. 已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===,且(23)a b c -⊥, 则实数k =（）A. 92-B. 3C. 152D. 0 7. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥④若l m ⊥，则//αβ。

其中正确的结论的序号是（）A.①④B.②④C.①③D.②③8. G 是一个非空集合，“0”为定义G 中任意两个元素之间的二元代数运算，若G 及其运算满足对于任意的,,0a b G a b c ∈=，则c G ∈，那么就说G 关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合2{|1},A x x A ==对于数的乘法作成一个封闭集合。

以下四个结论：①集合{0}对于加法作成一个封闭集合②集合{|2,B x x n n ==为整数}，B 对于数的减法作成一个封闭集合 ③集合{|01}C x x =<≤，C 对于数的乘法作成一个封闭集合④令*R 是全体大于零的实数所成的集合，*R 对于数的乘法作成一个封闭集合其中，正确结论的个数是（）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）（一）（必做题）：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答 9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若1,45,a B A B C =∠=∆的面积2S =，则b 边长． 10. 如图（1）所示的程序框图表示求算式“2481632⨯⨯⨯⨯”的值，则判断框内可以填入 ( )11. 若变量x y ，满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最小值为12. 不等式|4||3|x x a -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 13. 直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

2015年高考数学理一轮复习精品资料专题5.4 平面向量的应用含解析

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第五章平面向量第四节平面向量的应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2013-2014学年广东省云浮市云浮中学高一5月】如图所示，向量OA a OB b OC c === ，A 、B 、C 在一条直线上，且 3 AC BC =，则（）.A 、1322c a b =-+ B 、31 22c a b =-C 、 2 b a c +-=D 、 2 b a c +=2. 【2013-2014学年广东省云浮市云浮中学高一5月】如图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =，BA c =，则向量CD =（）．A ．12a c --B ．12a c -+ C ．12a c - D ．12a c +【答案】B【解析】1111()()2222CD CA CB BA BC BC BA BC a b =+=--=-=-+． 3.【2014届四川绵阳高中高三第二次诊断性考试】已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若345OA OB OC ++=0，则△AOC 的面积为( )A ．25 B ．12 C ．310 D ．654.【2014年高考数学人教版评估检测】如图所示,非零向量=a,=b,且BC ⊥OA,C 为垂足,若=λa(λ≠0),则λ=( )5. 【2013-2014学年辽宁省抚顺市六校联合体高一下学期期末】已知)0,3(-A ，)2,0(B ，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且45=∠AOC ，设(1),()OC OA OB R λλλ=+-∈，则λ的值为（）A.51 B.31C.52D.32【答案】C.6. 【2014届浙江省绍兴市第一中学高三上学期期中考试】已知1e 和2e 是平面上的两个单位向量，且121e e +≤，12,OP me OQ ne ==，若O 为坐标原点，,m n 均为正常数，则()2OP OQ +的最大值为( )A ．22m n mn +-B ．22m n mn ++C ．2()m n + D ．2()m n -7.【2014年高考数学（理）二轮复习】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP ＝λAD ＋μAB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ( )．A ．(1,2)B ． (0,3)C ．[1,2]D ．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，8.【2014届四川绵阳高中高三第二次诊断性考试】已知O是锐角△ABC的外心，若OC=xOA yOB+(x，y ∈R)，则（）A．x+y≤-2 B．-2≤x+y<-1 C．x+y<-1 D．-1<x+y<09.【2014届山西省太原市太原五中高三12月月考】△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且OA AB AC++=，则向量CA在CB方向上的投影为( )A．3 C．．-310.【2014届浙江省建人高复高三上学期第二次月考】在ABC ∆中，2,2AB BC A π==∠=，如果不等式BA tBC AC -≥恒成立，则实数t 的取值范围是（） A.[)1,+∞ B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D.(][),01,-∞+∞11.【2014届天津市蓟县高三上学期期中考试】如图A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，(0)AOP θθπ∠=<<,OQ OA OP =+,四边形OAQP 的面积为S ,当OA OP S ⋅+取得最大值时θ的值和最大值分别为( )A.6π3π，1 C.4π2π12.【改编自2013年辽宁五校联考】设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x D ∈，都有x k D ∈＋，且()()f x k f x >＋恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a ＝－－，若()f x 为R 上的“2 013型增函数”，则实数a 的取值范围是（） A. 671,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. (),300-∞ C. (300,)+∞ D. 671,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2015年高考数学(理)真题分项解析：专题05+平面向量

【答案】
【解析】因为向量与平行，所以，则所以．
【考点定位】向量共线．
【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题．
13.【2015江苏高考，14】设向量ak ，则 (ak ak+1)的值
9.【2015高考湖北，理11】已知向量，，则 .
【答案】9
【解析】因为，，
所以 .
【考点定位】平面向量的加法法则，向量垂直，向量的模与数量积.
【名师点睛】平面向量是新教材新增内容，而且由于向量的双重“身份”是研究一些数学问题的工具.这类问题难度不大，以考查基础知识为主.
10.【2015高考天津，理14】在等腰梯形中,已知 ,动点和分别在线段和上,且, 则的最小值为.
3.【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．
【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．
【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即，．
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．
【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题，本题容易出错的地方是对的理解不到位，从而导致解题失败．

深圳市2015届高三年级第一次调研考试理科数学

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分12分）函数π()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π．（1）求5π()12f 的值；（2）若03sin 3x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值．17．（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI 数值城市 AQI 数值城市 AQI 数值城市 AQI 数值城市 AQI 数值城市 AQI 数值城市AQI数值广州 118 东莞 137 中山 95 江门 78 云浮 76 茂名 107 揭阳 80 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇庆 48 清远 47 佛山 160惠州 113汕头 88汕尾 74阳江 112韶关 68梅州 84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染 AQI 值范围 [0,50) [50，100） [100,150) [150,200) 城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥P ABC -的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC -的直观图补充完整（其中点P 在 xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B PA C --的正切值；（3）求点C 到面PAB 的距离．侧视图正视图图5 俯视图 42322z 图6 O P y x已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =-，2b λ=，111(1)n n n nn b b n a -+--=+，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．已知椭圆:E 22221(0)+=>>x y a b a b 的离心率为22，过左焦点倾斜角为45︒的直线被椭圆截得的弦长为423．（1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作l 的垂线垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ．（1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数； ②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中 1,2,,k n =．证明：1276n a a a +++<（*N ∈n ）．2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．1 2 3 4 5 6 7 8 C D A C B C D A二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9． 23； 10． 18； 11．9； 12．46； 13．22； 14．2； 15． 4．三、解答题 16．解：（1）()f x 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………………1分2ω∴=±，由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ……………………………………3分 5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分（2）由03sin 3x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分∴ 20022sin 21cos 23x x =-=， …………………………………………9分000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+221132232232323+=⨯⨯+⨯⨯=． 00π223()2sin(2)33f x x +∴=+=． …………………………………………12分【说明】本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力． 17．（本小题满分12分）解:（1）根据数据，完成表格如下：…………………………………2分（2）按分层抽样的方法，空气质量优质良好轻度污染中度污染 AQI 值范围 [0,50) [50，100） [100,150) [150,200) 城市频数 2 12 6 1E F H A z 图2O (B ) PyC xHA zO (B )PyCx从“良好”类城市中抽取11264126n =⨯=+个， ………………………………… 3分从“轻度污染”类城市中抽取2662126n =⨯=+个， ……………………………4分所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===, 2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===．………8分 ξ∴的分布列为：ξ 1 2 3P 15 35 15 所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………11分答：ξ的数学期望为2个． …………………………………………………12分【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力． 18．解：（1）三棱锥P ABC -直观图如图1所示；由三视图知ABC ∆和PCA ∆是直角三角形． ……………………3分（2）（法一）：如图2，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ，由三视图知PBC ∆为等腰三角形， 4BC =，23PH =， 4PB PC BC ∴===，取PC 的中点E ，过E 作EF PA ⊥且交PA于点F ，连接BE ，BF ，因为BE PC ⊥，由三视图知AC ⊥面PBC ，且BE ⊂面PBC ，所以AC BE ⊥，又由AC PC C =，所以BE ⊥面PAC ，由PA ⊂面PAC ，所以BE PA ⊥， BE EF E =，所以PA ⊥面BEF ，由BF ⊂面BEF ，所以PA BF ⊥，所以BFE ∠是二面角B PA C --的平面角．………6分~PEF PAC ∆∆，PE EFPA AC∴=， 2,4,42PE AC PA ===，2EF ∴=， ……………………………………8分 ∴在直角CFE ∆中，有tan 6BEBFE EF∠==．所以，二面角B PA C --的正切值为6． ………………………………………9分（法二）：如图3，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ，由三视图知PBC ∆为等腰三角形， 4BC =，23PH =，由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：(0,0,0)B ，(4,0,0)C ，(2,0,23)P ，(4,4,0)A ，则(4,4,0)BA =，(2,0,23)BP =，(0,4,0)CA =，(2,0,23)CP =-,设平面PAB 、平面PAC 的法向量分别为m 、n ．A z 图1 O (B ) PyC x设111(,,)x y z =m ，由0BA ⋅=m ，0BP ⋅=m ，得11114402230x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =，得13x =-，13y =，即(3,3,1)=-m ． …………………6分设222(,,)x y z =n ，由0CA ⋅=n ，0PA ⋅=n ，得222402230y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21=z ，得23x =，20y =，即(3,0,1)=n ． ………………………7分27cos ,727⋅-∴<>===-m n m n m n ，tan ,6m n <>=-．…………………8分而二面角B PA C --的大小为锐角，所以二面角B PA C --的正切值为6．…9分（3）（法一）：记C 到面PAB 的距离为h ，由（1）、（2）知42,4P A A B P B ===， 47PAB S ∆∴=，14733C PAB PAB V S h h -∆=⋅=， ………………………………12分三棱锥-P ABC 的体积116333-∆=⋅=P ABC ABC V S PH ， ……………………13分由P ABC C PAB V V --=，可得：4217=h ． ………………………………………14分（法二）：由（2）知，平面PAB 的法向量(3,3,1)=-m ，(0,4,0)CA = 记C 到面PAB 的距离为h ，CA h ⋅∴=m m 437=4217=． ………………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19．解：（1）（法一）：数列{}n a 的首项10a >，公差1d =，∴1(1)n a a n =+-，11111n n n n a a a a ++=-， ………………………………………2分 12231223111111()()a a a a a a a a ∴+=-+-131********a a a a =-=-=+， ……………3分整理得211230a a +-=解得11a =或13a =-（舍去）． ……………………………4分因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分（法二）：由题意得1312231231123a a a a a a a a a ++==， …………………………………1分数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=， ……………………………2分∴2123223a a a a =，即133a a =． ………………………………………………………3分又10,1a d >=，∴11(2)3a a +=，解得11a =或13a =-（舍去）． …………………………………4分因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分（2）①111(1)n n n n b b n n-+--=+，11(11(1)(1)n nn nnb n b ++-∴=+--）． ……………………………………………………6分令(1(1)nn nn b c -=-），则有2c λ=，11n n c c +=+(2)n ≥． ∴当2n ≥时，2(2)2n c c n n λ=+-=-+，(21nn n b n λ-+=-)(-1)． ………8分因此，数列{}n b 的通项1, 1,(2,(2).1n n n b n n n λ-=⎧⎪=⎨-+≥⎪-⎩)(-1)． ………………………9分②11b =-，2b λ=，312b λ+=-， ………………………………………10分∴若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =，即21(1)()2λλ+=--，解得1λ=或12λ=-． …………………………………………………………11分当12λ=-时，(252)21n n n b n n -=≥-)(-1)（（），+1n nbb 不是常数，数列{}n b 不是等比数列，当1λ=时，11b =-，(1)(2)n n b n =-≥，数列{}n b 为等比数列．所以，存在实数1λ=使得数列{}n b 为等比数列． ………………………………14分【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．20．解：（1）因为椭圆E 的离心率为22，所以2222-=a b a ，解得222a b =，故椭圆E 的方程可设为222212x y b b+=，则椭圆E 的右焦点坐标为(),0b ，过右焦点倾斜角为45︒的直线方程为:l y x b '=-． ………………………………………2分设直线l '与椭圆E 的交点记为,A B ，由22221,2,x y b b y x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2340x bx -=，解得1240,3b x x ==，因为21242421133b AB x x =+-==，解得1b =．故椭圆E 的方程为2212+=x y ． ……………………………………………………4分（2）（法一）（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，联立直线l 和椭圆E 的方程，得2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ……………………………………5分消去y 并整理，得()222214220k x kmx m +++-=， …………………………6分因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()222216421220k m k m ∴∆=-+-=， ………………………………………7分化简并整理，得2221m k =+． …………………………………………8分因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--，联立()11,,y x ky kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得221,1,1km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩………………………9分222222222222222222(1)()1(1)(1)1(1)(1)(1)1km k m k m k m k m m x y k k k k-++++++++∴+====++++，把2221m k =+代入上式得222x y +=． ① …………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合①式． …………………………12分（iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时(2,0)Q 或(2,0)-，符合①式． ………13分综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分（法二）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，同解法一，得22210k m -+=， ① …………………………………………8分因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--，联立()11,,y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得002200001,,x k y x x y m y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩② …………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，由点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③ ……………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分（iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时(2,0)Q 或(2,0)-，符合③式． ………13分综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分（法三）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为00()-=-y y k x x ，整理，得l 的方程为00=-+y kx kx y ， ……………………………………………………………5分联立直线l 和椭圆E 的方程，得002212=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx kx y x y ，消去y 并整理，得()()()2220000214220++-+--=k x k y kx x y kx ， ……………………6分因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()()222200001682110⎡⎤∴∆=--+--=⎣⎦k y kx k y kx ， ………………………7分化简并整理，得22200002210--+++=y x kx y k ， ① ………………………8分因为MQ 与直线l 垂直，有001-=x k y ， ②……………………………………9分②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，2-x y o 21-11-1图a 图bx y o ln 221-11e点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③………………………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分（iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时(2,0)Q 或(2,0)-，符合③式． ………13分综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想． 21．解：（1）()f x 为奇函数，(0)0f ∴=．当[)2,0x ∈-时，(]0,2x -∈，则()()()(2)(2)f x f x x x x x =--=----=-+，∴[][)(2)0,2,()(2)2,0,x x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈-⎪⎩ ………………………………………2分 [0,2]x ∈时，[]()1,0f x ∈-，[)2,0x ∈-，[]()0,1f x ∈，()f x ∴的值域为[]1,1-． …………………………………………………3分（2）①函数()f x 的图象如图a 所示，当0t =时，方程()f x t = 有三个实根；当1t =或1t =-时，方程()f x t =只有一个实根；当(0,1)t ∈或(1,0)t ∈-时，方程()f x t =有两个实根．（法一）：由()0g x =，解得ln(2)2x a x +=+，()f x 的值域为[]1,1-，∴只需研究函数ln(2)2x y x +=+在[]1,1-上的图象特征．设ln(2)()([1,1])2x h x x x +=∈-+，(1)0h -=，21ln(2)()(2)x h x x -+'=+，令()0h x '=，得e 2(0,1)x =-∈，1(e 2)eh -=．当1e 2x -<<-时，()0h x '>，当e 21x -<<时，()0h x '<，又32ln 2ln 3<，即ln 2ln 323<，由ln 2(0)2h =，ln 3(1)3h =，得(0)(1)h h <， ()h x ∴的大致图象如图b 所示．根据图象b 可知，当ln 2ln 2ln 310223a a a e <<<<=、、时，直线y a =与函数()y h x =的图像仅有一个交点，则函数()g x 在[1,1]-上仅有一个零点，记零点为t ，则t 分别在区间(1,0)-、(0,1)、(0,1)上，根据图像a ，方程()f x t =有两个交点，因此函数()(())F x g f x =有两个零点． …………………………………………5分类似地，当ln 22a =时，函数()g x 在[1,1]-上仅有零点0，因此函数()F x 有1-、0、1这三个零点． ………………………………………………………………6分当ln 33a =时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在(0,1)内，因此函数()F x 有三个零点． …………………………………………………………7分当ln 313ea <<时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，且这两个零点均在(0,1)内，因此函数()F x 有四个零点． ……………………………………………………………8分当1ea >时，函数()g x 在[]1,1-上没有零点，因此函数()F x 没有零点． ………9分（法二）：1()2g x a x '=-+ ，令0()0g x '=，得012x a=-， 0a >，()02,x ∴∈-+∞．当1(1,2)x a ∈--时，()0g x '>，当1(2,)x a∈-+∞时，()0g x '<， ∴当0x x =时，()g x 取得极大值01()ln 1g x a=-．（Ⅰ）当()g x 的极大值1ln 10a -<，即1ea >时，函数()g x 在区间[]1,1-上无零点，因此函数()(())F x g f x =无零点．（Ⅱ）当()g x 的极大值1ln 10a -=，即1ea =时，02(0,1)x e =-∈，函数()g x 的图像如图c 所示，函数()g x 有零点2e -．由图a 可知方程()e 2f x =-有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（Ⅲ）当()g x 的极大值1ln 10a ->且0121x a =->，即103a <≤时，()g x 在[1,1]-上单调递增，因为()10g a -=-<，22222(0)ln 22ln 2ln ln1033e 3g a =->-=>=，函数()g x 的图像如图d 所示，函数()g x 在[]1,1-存在唯一零点1t ，其中1(1,0)t ∈-．由图a 可知方程1()f x t =有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（Ⅳ）当()g x 的极大值1ln 10a ->且0121x a=-<，即113ea <<时：由(0)ln 220g a =-=，得ln 22a =，由(1)ln 330g a =-=，得ln 33a =，根据法一中的证明有1ln 2ln 31323e<<<．（ⅰ）当1ln 232a <<时，(0)ln 220g a =->，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图e 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点2t ，其中2(1,0)t ∈-．由图a 可知方程2()f x t =有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（ⅱ）当ln 22a =时，(0)ln 220g a =-=，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图f 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点0．由图a 可知方程()0f x =有三个不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有三个零点．图e 2-x yo1-11-1x 2-xyo21-11-1图c0x图d2-xyo21-11-1x 2-xyo 1-11-1x（ⅲ）当ln 2ln 323a <<时，(0)ln 220g a =-<，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图g 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点3t ，其中3(0,1)t ∈．由图a 可知方程3()f x t =有两个不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（ⅳ）当ln 33a =时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-=，函数()g x 的图像如图h 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有两个零点，分别是1和4t ，其中4(0,1)t ∈．由图a 可知方程()1f x =有一个实根1-，方程4()f x t = 有两个非1-的不等实根，因此函数()(())F x g f x =有三个零点．（ⅴ）当ln 313ea <<时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-<，函数()g x 的图像如图i 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有两个零点5t 、6t ，其中56,(0,1)t t ∈．由图a 可知方程5()f x t =、6()f x t =都有两个不等的实根，且这四个根互不相等，因此函数()(())F x g f x =有四个零点．综上可得：当ln 2ln 2ln 310223a a a e<<<<=、、时，函数()F x 有两个零点；………………5分当ln 22a =、ln 33a =时，函数()F x 有三个零点； ………………………………7分当ln 313e a <<时，函数()F x 有四个零点； ……………………………………8分当1e a >时，函数()F x 无零点． ………………………………………………9分②因为k11+是函数))(()(x f g x F =的一个零点，所以有1((1))0g f k +=，(]110,2k +∈，211(1)1f k k∴+=-，2221111((1))(1)ln(1)(1)0k g f g a k k k k ∴+=-=+-+=，221ln(1)11k k a k+∴=+，1,2,,k n =． …………………………………………10分记()ln(1)m x x x =+-，1()111x m x x x -'=-=++，当(]0,1x ∈时，()0m x '<，∴当(]0,1x ∈时，()(0)0m x m <=，即ln(1)x x +<．故有2211ln(1)k k +<，则2222211ln(1)111111k k k a k k k+=<=+++()1,2,,k n =⋅⋅⋅． …11分图g 2-xyo 1-11-10x 0x 图h2-xy o1-11-10x 图i 2-xyo 1-11-1当1n =时，11726a <<；当2n ≥时，（法一）：2211221121214k k k k <=-+-+-， ………………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n 1222222()()()235572121n n <+-+-+⋅⋅⋅+--+ 12272723216216n n =+-=-<++．综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分（法二）：当2n =时，12117725106a a +<+=<；当3n ≥时，2211111()11211k k k k <=-+--+， ………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n 111111111[()()()]252243511n n <++-+-+⋅⋅⋅+--+ 111111167111677[]()2522316021606n n n n =+++--=-+<<++．综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．命题：喻秋生黄文辉袁作生审题：魏显锋。

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【答案】 9
1、已知三个向量a, b, c两两所夹的角都为120 , 且 a 1, b 2, c 3，则a b与向量c的夹角的值为（ A.30
0
0
） B.60
0
C.120
0
D.150
0
2、已知向量a, b,a 1, 2a b 7，则a与向量a b的夹角为（ A. ） D.

2
B.

3
C.

6
1、如图BC , DE是半径为1的圆O的两条直径， BF =2FO,则FD FE =
D
B
F
C
E
2 2 2、已知ABC中，平面内一点P满足CP= CA+ CB, 3 3 若 PB t PA ，则t的值为（ A.3 1 B. 3 C.2 1 D. 2 ）
2 1 3、设P,Q为ABC内的两点，且 AP= AB+ AC, 5 5 2 1 AQ= AB+ AC,则ABP的面积与ABQ的面积之 3 4 比为（） 5 3 5 4 A. B. C. D. 8 5 4 5
抛物线的对称轴方程为 x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当 x0＝2
2 2 →· → 取得最大值＋2＋3＝6，故选 C. 时，OP FP 4 【答案】 C
探究 4 向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归．
2π 2π π π 若 A＝ 3 ，则 C＝π－ 3 －6＝6，∴c＝b＝1. 综上所述，c＝1 或 c＝2.
π 【答案】 (1)6 (2)c＝1 或 c＝2
探究 3 本例的第(1)小题，利用向量垂直的充要条件将问题转化为三角方程，使问题获得解决．第 (2)小题的方法一、方法二突出了余弦定理和正弦定理的应用．本例不仅考查了解三角形的技巧和方法，还注重了分类讨论思想的考查．
1 9 【答案】 (1)cosC＝8 cosB＝16 (2)5
x2 y2 例 4 若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 ＋ 3 ＝1 的中心和左焦点， →· → 的最大值为( 点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP A．2 C．6 B．3 D．8 )
2 x0 y2 0 【解析】由题意，得 F(－1,0)，设 P(x0，y0)，则有 4 ＋ 3 ＝ 2 x 0 → ＝(x ＋1，y )，OP → ＝(x ，y )，所 1，解得 y2 ＝ 3(1 － ) ．因为 FP 0 0 0 0 0 4 2 2 x x 0 0 →· → ＝x (x ＋1)＋y2＝x2＋x ＋3(1－ )＝＋x ＋3，对应的以OP FP 0 0 0 0 0 0 4 4
→ ＝CA → ＋AP → ，BA → －BC → ＝CA →，方法二：(基向量法)∵CP →· → －BC → )＝(CA → ＋AP → )· → ∴CP (BA CA → 2＋AP →· → ＝9－AP →· → ＝CA CA AC → ||AC → |cos∠BAC＝9－3|AP → |cos∠BAC. ＝9－|AP ∵cos∠BAC 为正且为定值， → |最小即|AP → |＝0 时，CP →· → －BC → )取得最大值 9. ∴当|AP (BA
【解析】建立平面直角坐标系如图所示．设 P(0， y) ， C(0， → ＋3PB → ＝(2， b)，则 B(1， b)， A(2,0)，则PA －y)＋3(1， b－y)＝(5,3b －4y)． → ＋3PB → |2＝25＋(3b－4y)2(0≤y≤b)． ∴|PA 3 → ＋3PB → |最小，|PA → ＋3PB → | ＝5. 当 y＝4b 时，|PA min
【答案】
5
探究 1
平面几何问题的向量解法
(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
思考题 1
(2014· 西安模拟)已知△ABC 的三边长 AC＝3，
→· → －BC → )的最大 BC＝4，AB＝5，P 为 AB 边上任意一点，则CP (BA 值为________．
【解析】方法一： (坐标法)以 C 为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设 P 点坐标为(x，y)且 0≤y≤3,0≤x≤4，则 →· → －BC → )＝CP →· → ＝(x，y)· CP (BA CA (0,3)＝3y，当 y＝3 时，取得最大值 9.
π B (1)∵m⊥n，∴m· n＝0，∴(2sinB)· [2sin (4＋ 2 )]
2
＋(2－cos2B)· (－1)＝0. π ∴2sinB· [1－cos(2＋B)]＋cos2B－2＝0. 1 ∴2sinB＋2sin B＋(1－2sin B)－2＝0.∴sinB＝2.
2 2
π 5π ∵0<B<π，∴B＝6或 B＝ 6 .
→· → ＝ (sinα － cosα ， 1)· f(α) ＝ PB CA (2sinα ，－ 1) ＝ 2sin2α － π π 2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－ 2sin(2α＋4)．又 α∈(－8， π π 5π 2)，故 0<2α＋4< 4 . π π π π 当 0<2α＋4≤2，即－8<α≤8时，f(α)单调递减； π π 5π π π 当2<2α＋4< 4 ，即8<α<2时，f(α)单调递增．
π (2)f(x)max＝4 2 x＝8＋kπ，k∈Z
例 2 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，向 π B 量 m＝(2sinB,2－cos2B)ห้องสมุดไป่ตู้n＝(2sin ( ＋ )，－1)，m⊥n. 4 2
2
(1)求角 B 的大小； (2)若 a＝ 3，b＝1，求 c 的值．
【解析】
π (2)∵a＝ 3>b，∴B＝6. 方法一：由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB. ∴c2－3c＋2＝0，∴c＝1 或 c＝2. b a 方法二：由正弦定理，得sinB＝sinA. 1 3 3 即1＝sinA，∴sinA＝ 2 . 2 π 2π ∵0<A<π，∴A＝3或 A＝ 3 . π π π 若 A＝3，∵B＝6，∴C＝2，∴c＝2.
变式 2 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，
3 C＝2A，cosA＝ . 4 (1)求 cosC，cosB 的值； 27 → → (2)若BA· BC＝，求边 AC 的长． 2
32 1 【解析】 (1)cosC＝cos2A＝2cos A－1＝2×(4) －1＝8，∴
2
3 7 7 sinC＝ 8 ，sinA＝ 4 . 7 3 7 3 ∴ cosB＝－ cos(A＋ C) ＝ sinAsinC－ cosAcosC＝ 4 × 8 － 4 1 9 ×8＝16.
π π 故函数 f(α)的单调递增区间为(8，2)， π π 单调递减区间为(－8，8]． π 2 因为 sin(2α＋4)∈(－ 2 ，1]，故函数 f(α)的值域为[－ 2，1)．
→ ＝(2cosα－sinα，－1)，OC → ＝(－sinα，2)，由 O，P， (2)OP C 三点共线，可得(－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，得 tanα＝ 4 2sinαcosα 2tanα 24 3，sin2α＝sin2α＋cos2α＝1＋tan2α＝25. 74 → → 2 |OA＋OB|＝ sinα＋cosα ＋1＝ 2＋sin2α＝ 5 .
→ ＝(cosα－sinα，－1)，设OP → ＝(x，y)，则BP → 【解析】 (1)AB ＝(x－cosα，y)． → ＝BP → ，得 x＝2cosα－sinα，y＝－1. 由AB → ＝(2cosα－sinα，－1)．故OP → ＝(sinα－cosα，1)，CA → ＝(2sinα，－1)． PB
2 2
） C.9 D.9 2
变式、已知直线x +y =a与
C:x y 4
2 2
相交于A, B两点，O是坐标原点，向量OA, OB满足 OA OB = OA OB , 则实数a的值是
→ ＝(sinα，1)，OB → ＝(cosα，例 1 已知 O 为坐标原点，向量OA → ＝(－sinα，2)，点 P 满足AB → ＝BP →. 0)，OC π π → → (1) 记函数 f(α)＝PB· CA，α∈(－， )，讨论函数 f(α)的单调 8 2 性，并求其值域； → ＋OB → |的值． (2)若 O，P，C 三点共线，求|OA
π π π π 【答案】 (1)增区间为(8，减区间为(－8，值域为[－ 2 )， 8 )， 2，1) 74 (2) 5
π 变式设 a＝(1， cosα)， b＝(sinα＋cosα，－2)，若 α∈(0， )， 2 1 a· b＝ . 5 (1)试求 sin2α 及 sinα，cosα 的值； (2)设 f(x)＝5cos(2x－α)＋cos2x(x∈R)，试求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值．

变式
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，
3 C＝2A，cosA＝ . 4 (1)求 cosC，cosB 的值； 27 → → (2)若BA· BC＝ 2 ，求边 AC 的长．
例1、已知在则 AB AC =（ A.0 B.3
C : x y 9中, 弦AB的长为3 2，
专题研究
平面向量的综合应用
例 1 (2014· 潍坊模拟)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， → ＋3PB → ∠ADC＝90° ， AD＝2， BC＝1， P 是腰 DC 上的动点，则|PA |的最小值为________．【思路】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数 → ＋3PB → |，然后转表示出点 P、C、B、A 的坐标，进而表示出|PA 化为函数问题求解．