嘉禾博研MBA MPAcc MEM—周远飞数学课程之指数函数和对数函数
指数函数与对数函数的性质与应用
指数函数与对数函数的性质与应用一、指数函数的性质与应用指数函数是数学中常见的一类函数，它的定义形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
1. 指数函数的性质a) 当底数a大于1时，指数函数的图像呈现增长趋势，随着x的增大，函数值也逐渐增大；b) 当底数a小于1但大于0时，指数函数的图像呈现衰减趋势，随着x的增大，函数值逐渐减小；c) 指数函数与指数的乘法法则：a^m * a^n = a^(m+n)，即指数的乘积等于底数为底、指数为和的指数；d) 指数函数与指数的除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)，即指数的商等于底数为底、指数为差的指数。
2. 指数函数的应用a) 在经济领域，指数函数可以用来描述物价、消费水平等随时间的变化趋势，帮助经济学家预测未来的经济发展；b) 在生物学中，指数函数可以描述生物种群的增长和衰减情况，帮助生态学家研究和保护物种；c) 在物理学中，指数函数可以描述放射性衰变的速率，帮助科学家研究和应用放射性物质。
二、对数函数的性质与应用对数函数是指数函数的逆运算，它的定义形式为f(x) = logax，其中a为底数，x为真数。
1. 对数函数的性质a) 对数函数与指数的定义：logax = y，等价于x = a^y，即求底数为a、指数为y的指数；b) 对数函数的反函数性质：loga(a^x) = x，即对数函数与指数函数互为反函数；c) 对数函数与对数的乘法法则：loga(m * n) = logam + logan，即对数的积等于对数相加；d) 对数函数与对数的除法法则：loga(m / n) = logam - logan，即对数的商等于对数相减。
2. 对数函数的应用a) 在数学领域，对数函数常被用于解决指数方程和指数不等式，简化计算和求解过程；b) 在物理学中，对数函数可以用来描述声音、震动等随时间的变化规律，帮助科学家研究波动现象；c) 在计算机科学中，对数函数常被用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，评估程序的效率。
指数函数与对数函数(讲义)
指数函数与对数函数(讲义)指数函数和对数函数是数学中的基本函数之一。
指数函数的一般形式是$y=a^x$，其中$a$是底数，$x$是指数。
当$01$时，函数图像是上升的。
对数函数的一般形式是$y=\log_a x$，其中$a$是底数，$x$是真数。
当$01$时，函数图像是下降的。
指数函数和对数函数有许多重要的性质，例如它们的定义域和值域，单调性等。
比较大小时，可以利用指数函数和对数函数的单调性。
对于同底指数函数，可以直接比较大小。
对于异底指数函数，可以采用化同底、商比法、取中间值、图解法等方法。
对于同底数对数函数，可以直接利用单调性求解，但如果底数是字母，需要分类讨论。
对于异底数对数函数，可以采用化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，1），或者借助图象高低数形结合来比较大小。
换底公式是比较常用的公式之一，可以用于将一个对数函数转化为以另一个底数为底的对数函数。
常用的变形包括$log_c a=\frac{1}{\log_a c}$，$log_a b^m=m\log_a b$，$a^{\log_a b}=b$等。
练题：1.若$3a=4b=6c$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值为（B）。
2.计算：1）若集合$\{x,xy,\log(xy)\}=\{0,|x|,y\}$，则$\log_8(x^2+y^2)$的值为$\frac{3}{2}$；2）设$g(x)=\begin{cases}e^x &(x\leq 1)\\ \ln x&(x>1)\end{cases}$，则$g(g(2))=\ln(e^2+1)$；3）若$f(x)=\begin{cases}f(x+3) &(x<6)\\ \log_2 x &(x\geq 6)\end{cases}$，则$f(-1)$的值为$\log_2 5$。
3.（1）函数$f(x)=\log_2(x^2+1-x)$是奇函数；2）设函数$f(x)$在定义域上是奇函数，则$f(0)=0$。
指数函数与对数函数的关系》教案
指数函数与对数函数的关系》教案x与指数函数y＝ax互为反函数的概念是什么？如何表示它们的反函数？探究点三互为反函数的图象间的关系问题1互为反函数的图象关于直线y＝x对称，这意味着什么？问题2互为反函数的图象同增同减，这是为什么？如何证明？探究点四指数函数与对数函数的增长速度问题1当a>1时，指数函数y＝ax在区间[1，＋∞)内的增长速度如何？为什么？问题2当a>1时，对数函数y＝logax在区间[1，＋∞)内的增长速度如何？为什么？课堂小结】通过本节课的研究，我们了解了反函数的概念及互为反函数图象间的关系，掌握了对数函数与指数函数互为反函数的概念和图象间的关系，理解了互为反函数的图象关于直线y＝x对称、同增同减的特点，以及指数函数与对数函数在增长速度上的差异.X ___。
how is the concept of inverse ns defined?n 3: How to find the inverse n of y=5x (x∈R)?Example 1: Write the inverse ns of the following ns:1) y=lg x。
(2) y=logx。
(3) y=(2/3)x.Practice 1: Find the inverse ___: (1) y=3x-1.(2) y=x^3+1(x∈R)。
(3) y=x+1 (x≥0)。
(4) y=(2x+3)/(x-1) (x∈R。
x≠1).Example 2: Given that the graph of n f(x)=ax-k passes through point (1,3)。
and the graph of its inverse n y=f1(x) passes through point (2,0)。
then the n of f(x) is _____________.Practice 2: The graph of the inverse n of y=loga(x-1) (a>0 and a≠1) passes through point (1,4)。
指数函数与对数函数的关系指数函数、对数函数与幂函数课件新教材
提示:当0<a<1时,上述两个函数均是其定义域上的减函数;当a>1
时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性具有一致
性,但变化速度有差异.Fra bibliotek课前篇自主预习
一
二
3.填空.
(1)关系
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数.
(2)图像特征
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像关于
5
∴f-1(x)=
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟求函数的反函数的主要步骤:
(1)从y=f(x)中解出x=φ(y);
(2)x,y互换;
(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、
三写”.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1求函数y=2x+1(x<0)的反函数.
先向右平行移动1个单位长度
y
指数函数与对数函数图像的关系
2
正解:∵g(x)的图像过定点(1,2 018),
-1
x
∴所求函数的反函数为y=log2(x-1)(1<x<2).
如图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3交点B的横坐标.
解:由y=2x+1,得2x=y-1,
∴x=log2(y-1),∴y=log2(x-1).
又∵x<0,∴0<2x<1,
探索指数函数与对数函数的性质与应用
探索指数函数与对数函数的性质与应用指数函数与对数函数是高中数学中重要的函数类型之一，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将从性质、图像和应用三个方面来探索指数函数与对数函数。
一、性质指数函数的一般形式是f(x) = a^x，其中a为常数，a>0且a≠1。
指数函数的性质如下：1. 增减性：当0 < a < 1时，指数函数是递减函数；当a > 1时，指数函数是递增函数。
2. 定义域与值域：指数函数的定义域为实数集R，值域为(0, +∞)。
3. 水平渐近线：对于大于1的指数函数，y轴是其水平渐近线；对于小于1的指数函数，x轴是其水平渐近线。
4. 基本性质：a^0 = 1，a^1 = a。
对数函数是指数函数的逆运算，其一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a 为常数，a>0且a≠1。
对数函数的性质如下：1. 增减性：对数函数的递增性与指数函数相反，当0 < a < 1时，对数函数是递增函数；当a > 1时，对数函数是递减函数。
2. 定义域与值域：对数函数的定义域为(0, +∞)，值域为实数集R。
3. y = logₐ(1) = 0，y = logₐ(a) = 1。
4. 乘法公式：logₐ(m*n) = logₐ(m) + logₐ(n)。
二、图像指数函数与对数函数的图像是对称的，其基本图像如下：1. 指数函数：对于0 < a < 1的指数函数，图像是上升的曲线，与x 轴交于（0, 1）点；对于a > 1的指数函数，图像是下降的曲线，与x 轴交于（0, 1）点。
2. 对数函数：对于0 < a < 1的对数函数，图像是下降的曲线，与y 轴交于（1, 0）点；对于a > 1的对数函数，图像是上升的曲线，与y 轴交于（1, 0）点。
三、应用指数函数与对数函数在各个领域中都有广泛的应用，以下是几个常见的应用案例：1. 财务管理：指数函数和对数函数常用于复利计算和财务规划中，帮助理解资金增长或衰减的趋势。
掌握指数函数与对数函数的应用
掌握指数函数与对数函数的应用指数函数与对数函数是高中数学中的重要概念，也是数学在实际生活中应用广泛的工具。
本文将介绍指数函数与对数函数的基本概念及其在不同领域的应用。
一、指数函数的应用指数函数的定义是y = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。
指数函数的应用非常广泛，下面分别介绍在经济学、物理学和生物学等领域的应用。
1. 经济学中的应用在经济学中，指数函数常常用于描述物价指数、人口增长和利润增长等问题。
例如，物价指数可以用指数函数来表示，其中x表示时间，y表示物价指数。
指数函数在经济学中的应用可以帮助我们分析经济发展的趋势和预测未来的变化。
2. 物理学中的应用在物理学中，指数函数经常用于描述放射性物质的衰变过程，以及指数增长和指数衰减等问题。
例如，放射性物质的衰变过程可以用指数函数来表示，其中x表示时间，y表示放射性物质的剩余量。
指数函数在物理学中的应用可以帮助我们研究物质的性质和变化。
3. 生物学中的应用在生物学中，指数函数常常用于描述生物的增长和衰减过程。
例如，细菌的繁殖过程可以用指数函数来表示，其中x表示时间，y表示细菌的数量。
指数函数在生物学中的应用可以帮助我们理解生物的生长规律和预测未来的变化。
二、对数函数的应用对数函数是指数函数的逆运算，可以表示为y = loga(x)，其中a是一个正实数且不等于1。
对数函数的应用也非常广泛，下面分别介绍在金融学、计算机科学和医学等领域的应用。
1. 金融学中的应用在金融学中，对数函数经常用于计算利率和复利等问题。
例如，复利计算可以用对数函数来表示，其中x表示时间，y表示复利的总金额。
对数函数在金融学中的应用可以帮助我们进行财务规划和投资分析。
2. 计算机科学中的应用在计算机科学中，对数函数常常用于数据压缩和密码学等问题。
例如，哈夫曼编码中使用了对数函数来压缩数据，其中x表示原始数据的长度，y表示压缩后数据的长度。
对数函数在计算机科学中的应用可以帮助我们提高数据处理的效率和安全性。
指数函数与对数函数的应用
指数函数与对数函数的应用指数函数与对数函数是数学中常见且重要的函数形式，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍指数函数与对数函数的定义、性质以及它们在不同领域中的实际应用。
一、指数函数和对数函数的定义与性质1.1 指数函数的定义与性质指数函数可表示为 y=a^x，其中 a>0 且a ≠ 1。
指数函数的定义域是全体实数，值域为正实数。
当 a>1 时，指数函数是递增的；当 0<a<1 时，指数函数是递减的；当 a=1 时，指数函数为常数函数。
指数函数具有如下性质：- 指数函数的通解形式为 y=C*a^x，其中 C 为常数；- 任何指数函数都经过点 (0,1)；- 指数函数的图像都经过点 (1,a)。
1.2 对数函数的定义与性质对数函数可表示为 y=log_a(x)，其中 a>0 且a ≠ 1，x>0。
对数函数的定义域是正实数，值域为全体实数。
对数函数具有如下性质：- 对数函数的通解形式为 y=log_a(x)+C，其中 C 为常数；- 特别地，当 a=e 时，对数函数为自然对数函数，记作 ln(x)；- 对数函数的反函数是指数函数，即 log_a(a^x)=x。
二、指数函数与对数函数的应用2.1 经济学中的应用指数函数与对数函数在经济学中有着广泛的应用。
例如，在复利计算中，利息的计算规律可以用指数函数来描述。
假设一笔本金 P，年利率为 r，存款时间为 t 年，则存款的金额可以表示为 A=P*(1+r)^t。
这里指数函数描述了存款金额随时间的增长规律。
另外，对数函数在经济学中也有重要的应用。
例如，在市场需求-价格关系中，对数函数可以描述价格弹性的概念。
价格弹性表示商品需求量对价格变动的敏感程度，可以使用对数函数来进行计算和分析。
2.2 生物学中的应用在生物学中，指数函数与对数函数被广泛运用于描述生物的增长与衰退过程。
以生物种群的增长为例，如果忽略外部因素的干扰，种群的增长规律可以用指数函数来描述。
MBA数学周远飞： 有效提高联考数学解题两大方法
MBA数学||周远飞：有效提高联考数学解题两大方法主持人：观众朋友们大家好!我是主持人腾腾!在这一期的节目中，我们非常荣幸的邀请到了全国知名管理类联考数学辅导老师周远飞，周老师您好!周远飞：全国的网友们，大家好!主持人：今天请周老师来到这里，也想请周老师来探讨下MBA联考的问题。
周老师，您作为资深的数学辅导名师，您能否为我们分析下今年数学考试的形势是什么?周远飞：从2014年开始我们的全国联考时间，从每年的1月份提前到12月份开考。
也就是2015年联考我们是从12月26号考试，而今年的考试特点相比于去年的而言，从07年改革到现在去年的数学考试是最难的一次，根据我们自己开研讨会及对学生的考核发现今年的数学联考难度相对于去年要稍微简单一些。
但是因为近几年国家在助推联考，所以报考的人数也在呈现上升的趋势，而且很多学校并没有扩招，所以这个考试难度并没有下降太多。
今年的数学考试大家一定要注意思维模式，而不是简简单单的拿到这个题之后就说自己会做题，但是最主要的是你会做题却不一定能够考过，最大的原因是会做题不代表会做的快。
主持人：刚刚周老师也给我们详细的分析了下今年的考试形势，但是很多考生也有一个疑惑，就是看了很多书，但是效果不是特别明显，面对这样的情况，您能否为我们大家如何去解决呢?周远飞：因为现在市面上的辅导书特别多，所以学生来选择的时候就很麻木，我们同学在选择辅导书的时候很多时候是听从之前的同学推荐来购买，另外就是自己在网上自己购买。
第一种同学推荐购买的辅导教材，质量肯定是有保证，而有些是自己从网上购买的辅导书不是不好，但是或多或少都有一些欠缺。
因为正规的出版社出书的质量还是会有所保证，所以我们建议大家买辅导书的时候一定要把控自己。
购买辅导教材一定要选用机械工业出版社的教材，因为是官方的辅导教材一定是会有保证。
但是大家还是面临着一个问题就是大家在做题的时候参照答案都会做，但是只要题型稍微变动一下，就不会做了。
指数函数与对数函数的应用
指数函数与对数函数的应用在我们的日常生活和众多领域中，指数函数与对数函数都有着广泛而重要的应用。
它们不仅仅是数学课本中的抽象概念，更是解决实际问题的有力工具。
先来说说指数函数。
指数函数的形式通常为 y ＝ a^x ，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常数。
当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a＜ 1 时，函数单调递减。
在金融领域，指数函数常用于计算复利。
比如说，你将一笔钱存入银行，年利率为 r ，存期为 n 年，如果利息按每年复利计算，那么最终的本利和就是初始本金乘以（1 ＋ r)＾n 。
这体现了指数增长的力量，随着时间的推移，财富会以指数形式增长。
人口增长也是指数函数应用的一个典型例子。
在理想条件下，如果一个地区的人口增长率保持不变，那么人口数量会按照指数函数的规律增长。
再看病毒的传播，在初期，如果没有有效的防控措施，感染人数可能会呈指数增长。
这就凸显了及时采取防控手段的重要性，以阻止这种快速增长的趋势。
而在计算机科学中，指数函数常用于算法的时间复杂度分析。
例如，某些算法的运行时间可能与输入规模 n 的指数成正比，这意味着当输入规模增大时，算法的运行时间会急剧增加，可能变得不实用。
接下来谈谈对数函数。
对数函数是指数函数的反函数，常见形式为y ＝ log_a x 。
在测量学中，对数函数常用于表示声音、地震等物理量的强度。
例如，声音的强度通常用分贝来度量，分贝的计算就涉及到对数函数。
这使得我们能够更方便地比较和描述不同强度的声音。
在化学中，pH 值的计算也离不开对数函数。
pH 值定义为溶液中氢离子浓度的负对数，通过这种方式可以将较大范围的氢离子浓度数值转化为一个较小且更便于理解和比较的数值。
在密码学中，对数函数的困难性被用于保障信息的安全。
例如，大整数的分解问题，其难度与对数函数相关，这是许多加密算法的基础。
在数据压缩方面，对数函数也能发挥作用。
通过对数据的概率分布进行对数变换，可以实现更高效的数据压缩。
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数，也是高一数学必修一中第四章需要掌握的重点内容。
在本章中，我们将深入了解指数函数和对数函数之间的关系，以及它们在日常生活中的广泛运用。
首先，让我们来回顾一下指数函数的定义，指数函数是以一个特定的基数为底的函数，它可以表示当x变化时会随之改变的一种量的数学表示。
指数函数的形式为 y = ax，这里的a是基数，当a = 1时，指数函数称为底数为1的单调函数。
指数函数在实际应用中有广泛的用途，例如在我们日常生活中，我们会碰到“一年涨三分”，“一年贴现百分之十”等概念，都属于指数函数的范畴。
接着，我们再来讨论一下对数函数，它的定义是以指数函数的反函数，它的形式为 y = logax，其中a又称为对数的底数。
在日常生活中，我们会经常碰到对数函数的应用，例如我们可以使用它来计算发动机的功率，照明强度，声音等等。
另外，指数函数和对数函数之间也有着重要的联系，它们之间具有逆函数关系，即y = axy = logax两个函数可以相互替换，也就是说当a是一个正数时，其两个函数的函数图形是可以经过对称轴翻转后对号入座的。
除此之外，我们还可以运用指数函数和对数函数中的经典公式来解决实际问题，例如以水的分解为例，水的分解可以用以下的指数函数公式来表示：
n = a1 + a2，其中a1代表水的分解率，a2是水的生成率。
当
a1等于2时，这个公式就可以转换为一个对数函数的形式：n = log2a2。
总之，指数函数和对数函数在实际应用中都是极为重要的，它们之间也存在着紧密的联系，它们被广泛地运用在人们日常生活中，而且也可以利用它们来解决实际问题。
函数探秘指数函数与对数函数
函数探秘指数函数与对数函数函数探秘：指数函数与对数函数在数学的广袤天地中，函数如同璀璨的星辰，闪耀着智慧的光芒。
而指数函数与对数函数，更是其中独具魅力的存在。
首先，让我们来认识一下指数函数。
想象一下，你把一笔钱存入银行，每年的利息都会按照一个固定的比例增加。
这个增长的过程就可以用指数函数来描述。
指数函数的一般形式是 y ＝ a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1），其中 a 被称为底数，x 是指数。
当底数 a 大于 1 时，函数值会随着 x 的增大而急剧增大。
比如说，y ＝ 2^x ，x 每增加 1，y 就会翻倍。
这种快速增长的特性在很多实际问题中都有体现，比如人口增长、细菌繁殖等。
相反，如果 0 ＜ a ＜ 1，函数值则会随着 x 的增大而急剧减小。
指数函数具有一些独特的性质。
它的定义域是全体实数，值域是（0，＋∞）。
它的图像总是经过点（0，1），因为任何非零数的 0 次方都等于 1。
而且，指数函数是单调的，当 a ＞ 1 时单调递增，0 ＜ a＜ 1 时单调递减。
接下来，我们看看对数函数。
对数函数可以看作是指数函数的反函数。
如果 y ＝ a^x ，那么 x ＝logₐ y ，这里的 l ogₐ 就是以 a 为底的对数。
以常见的自然对数函数 y ＝ ln x （以 e 约等于 2718 为底）为例，它在数学和科学中有着广泛的应用。
对数函数的定义域是（0，＋∞），值域是全体实数。
对数函数的一个重要性质是能将乘法运算转化为加法运算，除法运算转化为减法运算。
这在解决一些复杂的计算问题时非常有用。
比如，计算 ln(ab) 就等于 ln a ＋ ln b ，ln(a ／ b) 等于 ln a ln b 。
指数函数和对数函数之间存在着密切的关系。
它们的图像关于直线y ＝ x 对称。
这意味着，如果点（x, y) 在指数函数的图像上，那么点（y, x) 就在其对应的对数函数的图像上。
在实际应用中，指数函数和对数函数的作用不可小觑。
指数函数与对数函数的微分方程与不动点理论
指数函数与对数函数的微分方程与不动点理论指数函数、对数函数以及微分方程与不动点理论是微积分中重要的概念和工具。
本文将探讨指数函数与对数函数的微分方程以及不动点理论对这些函数的应用。
一、指数函数的微分方程指数函数可表示为f(x)=a^x，其中a为正常数且a≠1。
其微分方程形式为f'(x)=k*f(x)，其中k为常数。
对上述微分方程进行求解，可得到指数函数的通解。
以求解f'(x)=2*f(x)为例，设f(x)=A*e^(bx)，其中A和b为待定系数。
对f(x)进行求导并代入微分方程，可以得到b=2。
因此，该微分方程的通解为f(x)=A*e^(2x)。
二、对数函数的微分方程对数函数可表示为f(x)=log_a(x)，其中x为正实数且a为正常数且a≠1。
其微分方程形式为f'(x)=k/x，其中k为常数。
以求解f'(x)=2/x为例，设f(x)=A*log_a(x)，其中A为待定系数。
对f(x)进行求导并代入微分方程，可以得到A=2。
因此，该微分方程的通解为f(x)=2*log_a(x)。
三、不动点理论不动点是函数的一个重要概念，指的是函数值不随输入变化的点。
在微分方程中，不动点是指函数的导数为零的点。
以指数函数为例，f(x)=a^x的导数为f'(x)=ln(a)*a^x，当f'(x)=0时，即ln(a)*a^x=0。
由于ln(a)不等于零，所以只有当a^x=0时，导数为零。
但由于指数函数没有定义在负实数上，因此指数函数没有不动点。
而对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(x*ln(a))，当f'(x)=0时，即1/(x*ln(a))=0。
由于ln(a)不等于零，所以对数函数的导数不为零，因此对数函数也没有不动点。
不动点理论在微分方程和函数的性质研究中起着重要的作用。
通过对函数的导数进行分析，可以确定函数的不动点，并进一步探究函数的特性和行为。
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指数函数、对数函数、幂函数 经典课件(最新)
高中数学课件
知识要点梳理
高中数学课件
(一)指数函数 1．根式 (1)n 次方根：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的________，其中 n>1，且 n∈N*. ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个________数；负数的 n 次方根是一个________ 数，这时 a 的 n 次方根用符号________表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有________个，这两个数互为________．这时， 正数 a 的正的 n 次方根用符号________表示，负的 n 次方根用符号________表示．正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成________． ③负数没有偶次方根． ④0 的 n(n ∈N*)次方根是________，记作________．
8．对数运算的常用结论 (1)logambn＝________； (2)logab＝________．
答案：mn logab
1 logba
高中数学课件
高中数学课件
高频考点透析
高中数学课件
高频考点 1 指数幂的运算 【例 1.1】 (2019 年济宁测试)化简下列各式：
1 23 (1)[(0.0645)－2.5]3－
数时，幂函数在定义域上为偶函数.
高中数学课件
答案
(一)1.(1)n 次方根
①正
负
n a
②两
相反数
n a
－n a
n ±a
④0
n 0＝0
(2)根指数 被开方数 (3)a |a|
2．(1)1
≠
1 (2)an
n (3)
am
1 (4)
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周远飞：上海财经大学MPAcc会计硕士备考经验分享
周远飞：上海财经大学MPAcc会计硕士备考经验分享第一篇：周远飞：上海财经大学MPAcc会计硕士备考经验分享上海财经大学MPAcc会计硕士备考经验分享一、写在前面首先感谢周远飞老师，是他让我坚持到最后的胜利，数学最终圆满结局75分，有幸可以和大家分享成功的喜悦，建议大家可以加他的微信（zyfmaster）。
俗话说的好，“工欲善其事，必先利其器”，而考研是一场考验心态、知识、体力、耐力的全方面战役，因此建议那些一定要打胜考研战役的同学，在开始考试前，首先仔细考虑清楚以下问题：1.关于考研的目的与择校择专业每个人想要的东西不同，因此考研的目的不同。
如果你是想纯粹要一个学历，研究生阶段混混日子拿个文凭找个工作结婚生子，那么找个好考的学校就可以了;但如果你是想在研究生阶段全面提高自己的各项能力，为了自己的梦想去拼搏，那么建议还是要考个至少比本校好的学校。
但选学校的时候也不能过分盲目，如果不仔细考虑自己的实力，看着别人都考名校就打了鸡血往上冲，最终很可能落得竹篮打水一场空。
我选学校是这样的心理过程：首先定下只有北京、上海这两个城市，因为其他的城市不想去;然后找出这两个城市想考的学校：人大、财科所、上交复旦、上财、清北，但由于清北复交人大的会计学硕都没有了，其他专业又难度太大，因此排除，而上交会计专硕招人太少，财科所据说水深些，就只剩下人大和上财专硕了，然后又由于人大学费贵，财会之类的去上海有更大的平台，最后选择了上财专硕。
总结：建议学弟学妹选择学校专业时首先考虑自己的综合实力和具体想要的是什么，针对自己的实力选愿意为之奋斗、而奋斗后又能考上的学校和专业。
PS：关于专硕和学硕其实没什么好纠结的，学硕偏研究，而且很多学校的学硕都是硕博连读了;专硕学硕就业差不多，但专硕的不确定性大一些。
所以学弟学妹们还是看自己擅于哪种考试吧，如果心态不错，英语也很好，作文、高中数学比较好，可以选择专硕。
2.关于研友我是属于想自己一个人专心复习的那种，因此没有一起自习、一起起床的研友，但有一起吃饭、聊天、放松心情、商量个题的好朋友;因此是否找研友是因人而宜的，但最好还是在平时的学习生活中有几个聊得来的好朋友，这样可以缓解压力、放松心情。
指数函数与对数函数在学中的应用
指数函数与对数函数在学中的应用指数函数和对数函数是高中数学中重要的概念，它们在多个学科领域中有广泛的应用。
本文将重点探讨指数函数和对数函数在数学、物理和经济学等学科中的应用，以及它们对日常生活中一些实际问题的解决帮助。
一、指数函数的应用指数函数通常可以表示为y=a^x的形式，其中a是底数，x是指数。
指数函数在数学中有着广泛的应用，包括增长模型、复利计算、微积分中的极限等等。
指数函数在增长模型中的应用：指数函数可以用来模拟某些现象的增长过程。
比如，人口增长、细菌繁殖等。
通过观察和收集数据，我们可以找到合适的指数函数来描述这些现象的增长情况，并进行预测和分析。
指数函数在复利计算中的应用：指数函数可以用来计算复利利息。
复利即利息再生利，通过指数函数可以计算出在一定时间内的复利利息。
这在金融领域中经常应用，比如银行存款、投资理财等。
指数函数在微积分中的极限应用：指数函数也在微积分中有重要的应用。
在求解极限问题时，指数函数的性质可以用来简化计算。
例如，利用指数函数的无穷趋近性质可以求解一些复杂的极限问题。
二、对数函数的应用对数函数通常可以表示为y=loga(x)的形式，其中a是底数，x是实数。
对数函数在数学、物理和经济学等领域中有着广泛的应用。
对数函数在解决指数问题中的应用：对数函数与指数函数互为逆运算，因此可以用对数函数来解决指数问题。
例如，当我们需要求解a^x=b时，可以通过计算对数函数来得到结果。
这在数学解题中起到了重要的作用。
对数函数在物理学中的应用：对数函数在物理学中有着重要的应用，特别是在测量和模型建立方面。
比如，声强的分贝表示就是用对数函数计算的；在电路中，电阻对数变化可以用来计算分压或分流的情况。
对数函数在经济学中的应用：对数函数在经济学中也有着重要的应用。
经济学中的许多指标和模型，比如经济增长率、收入分布等，都使用对数函数来进行计算和描述。
对数函数可以将数据进行转化和归一化，便于分析和研究。
对数函数与指数函数的应用
对数函数与指数函数的应用随着数学的发展，对数函数与指数函数的应用越来越广泛。
它们在不同领域中扮演着重要的角色，帮助我们解决各种实际问题。
本文将探讨对数函数与指数函数的应用，以及它们在生活和科学中的重要性。
一、对数函数的应用对数函数是指数函数的逆运算，这意味着对数函数可以解决指数函数中的问题。
对数函数在许多方面都有广泛的应用。
1. 金融领域对数函数在金融领域中具有重要的应用。
例如，利息的计算和复利的增长可以通过对数函数来解决。
投资者可以使用对数函数来计算投资的回报率和未来价值，以帮助他们做出更明智的决策。
2. 科学领域对数函数在科学领域中也非常常见。
在物理学中，对数函数可以用来描述指数增长或衰减。
例如，放射性元素的衰变过程可以通过对数函数来描述。
在生态学中，对数函数可以用来描述物种的增长和减少。
对数函数又可以在生物学中用来表示声音的强度和亮度的变化。
3. 数据分析对数函数在数据分析中也发挥着关键作用。
当数据呈指数增长时，使用对数函数可以将这种增长变为线性增长。
这可以帮助我们更好地理解和分析数据。
对数函数在统计学中也被广泛使用，如正态分布的计算和图像的展示等。
二、指数函数的应用指数函数是以常数为底数的幂函数，也是一种常见的数学函数。
它在各个领域中具有重要的应用。
1. 经济领域指数函数在经济领域中具有广泛的应用。
例如，经济增长模型可以使用指数函数来描述。
指数函数还可以用来计算货币的贬值和股票的增长。
许多经济指标，如国内生产总值（GDP）和消费指数，也可以使用指数函数来计算和预测。
2. 生物学领域指数函数在生物学中也有重要的应用。
生物学中的许多过程，如细胞分裂和人口增长，都可以用指数函数来描述。
通过使用指数函数，我们可以更好地理解和研究生物系统。
3. 工程领域指数函数在工程领域中也被广泛使用。
例如，指数函数可以用来描述电路中的电压和电流的变化。
在物理学中，指数函数可以用来描述波动和振动的行为。
总结：对数函数和指数函数在现实生活和科学研究中都有广泛的应用。
高中数学《指数函数与对数函数》知识点总结
高中数学《指数函数与对数函数》知识点总结1.指数函数y＝ax与对数函数y＝x的比较：2. 记住常见指数函数的图形及相互关系3. 记住常见对数函数的图形及相互关系4. 几个注意点（1）函数y＝ax与对数函数y＝logax（a>0，a≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。
在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。
研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。
2.例1.（1）下图是指数函数（1）y＝a x，（2）y＝b x，（3）y＝c x，（4）y＝d x的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（）3.4. A. a＜b＜1＜c＜d5. B. b＜a＜1＜d＜c6. C. 1＜a＜b＜c＜d7. D. a＜b＜1＜d＜c8.剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小。
9.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c。
故选B。
10.解法二：令x＝1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c。
11.（2）已知2≤（）x－2，求函数y＝2x－2－x的值域。
12.解：∵2≤2－2（x－2），∴x2＋x≤4－2x，13.即x2＋3x－4≤0，得－4≤x≤1。
14.又∵y＝2x－2－x是［－4，1］上的增函数，15.∴2－4－24≤y≤2－2－1。
16.故所求函数y的值域是［－，］。
17.（3）要使函数y＝1＋2x＋4x a在x∈（－∞，1）上y＞0恒成立，求a的取值范围。
指数函数与对数函数的应用详细解析与归纳
指数函数与对数函数的应用详细解析与归纳指数函数与对数函数是数学中常见且重要的函数之一。
它们在自然科学、经济学、工程学等各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数与对数函数的应用进行详细解析与归纳。
一、指数函数的应用指数函数以底数为常数的幂的形式表示，常见的指数函数有指数增长函数和指数衰减函数两种形式。
1.1 指数增长函数应用指数增长函数在自然科学研究中经常出现，如生物学中的人口增长、物理学中的放射性衰变等。
以人口增长为例，我们可以使用指数函数来描述人口随时间的变化规律。
设人口增长率为r，初始人口为P0，时间t的人口数量为P(t)，则有以下关系：P(t) = P0 * e^(rt)其中e为自然对数的底数。
通过指数增长函数，我们可以预测未来某一时刻的人口数量，为政府制定人口管理政策提供依据。
1.2 指数衰减函数应用指数衰减函数在物理学、化学等领域具有重要应用。
以放射性衰变为例，放射性物质的衰减规律符合指数衰减函数。
设放射性物质的衰减常数为λ，初始物质的质量为M0，时间t的物质质量为M(t)，则有以下关系：M(t) = M0 * e^(-λt)通过指数衰减函数，我们可以计算出某一时刻的物质质量，为核工程设计与放射性物质管理提供依据。
二、对数函数的应用对数函数是指数函数的逆运算，常见的对数函数有自然对数和常用对数两种形式。
对数函数在经济学、计算机科学等领域有广泛应用。
2.1 经济学中的应用在经济学中，对数函数常用来度量一些变量的弹性。
以价格弹性为例，价格弹性是指需求量对价格变化的敏感程度。
如果需求量随价格的变化呈现对数关系，那么我们可以使用对数函数来计算价格弹性。
通过计算价格弹性，我们可以判断商品的市场反应，为制定正确的价格策略提供参考。
2.2 计算机科学中的应用在计算机科学中，对数函数通常用于分析算法的时间复杂度。
对数的增长速度比指数的增长速度慢，因此算法的时间复杂度为对数级别的算法通常被认为是高效的算法。
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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。
2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。
【解题思路】1．把向量用OA ，OB ，OC 表示出来。
2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ，由AB AC →→=得，22()()OB OA OC OA -=-，因为1OA OB OC ===，所以有，OB OA OC OA ⋅=⋅则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-2OB OC OB OA OA OC OA =⋅-⋅-⋅+ 21OB OC OB OA =⋅-⋅+设OB 与OA 的夹角为α，则OB 与OC 的夹角为2α所以，cos 22cos 1AB AC αα⋅=-+2112(cos )22α=--即，AB AC ⋅的最小值为12-，故选B 。
【举一反三】【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 .【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==， AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的焦点()1,0F ，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB →→⋅=，求BDK ∆内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。
【易错点】1．设直线l 的方程为(1)y m x =+，致使解法不严密。
2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。
【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。
2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。
3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x =则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -，故214x my y x =-⎧⎨=⎩整理得2440y my -+=，故121244y y m y y +=⎧⎨=⎩则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y yx ==，所以()1,0F 在直线BD 上.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，所以()()212121142x x my my m +=-+-=-，()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →=-故()()()21212121211584FA FB x x y y x x x x m →→⋅=--+=-++=-，则28484,93m m -=∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=213y y -===±，故直线BD 的方程330x -=或330x -=，又KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131,54t t +--------------10分 由313154t t +-=得19t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253t r +== 所以圆M 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【举一反三】【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54|PQ|.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y 2＝4x. （2）x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 【解析】（1）设Q(x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x.（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)， |AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ，|MN|＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即 4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1， 故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.三、考卷比较本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。
题型分值完全一样。
选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。
四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）。