第七讲：简单余数
第七讲余数问题解答[五竞]
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第三讲余数问题知识导航余数定理：余数具有可加、可减、可乘性。
既和的余=余的和；差的余=余的差；积的余=余的积。
同余定理：两个自然数除以同一个数，若余数相同，则两个数的差一定能被除数整除。
中国剩余定理。
余数问题解法：转化法：将有余数转化为能整除。
减同余，差同补，逐级满足法，中国剩余定理求解。
找余数的规律精典例题例1：求478×296×351除以17的余数。
例2：有一个大于1的整数，除300，262，205可得到相同的余数，问：这个整数是几？例3：有一个自然数，用它去除226余a，去除411余a+1，去除527余a+2，则a=。
例4：11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3余几？例5：从1，2，…，100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个数的和都不能被3整除？例6：有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个分别是几？例7：有10张卡片，上面分别写着33、36、37、40、42、46、50、53、58、60.甲取走2张，其余的被乙、丙、丁三人取走。
已知乙取走的卡片上的数字之和是丁的3倍，丙取走的卡片上的数字之和是丁的4倍，那么甲取走的两张卡片分别写着几和几？例8：希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人，六年级先坐满几辆车，剩下的16人与五年级坐满一辆车，五年级又坐满若干辆车。
到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级的学生合影一张，每个胶卷可拍36张，全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？家庭作业1、某数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个数最小是多少？[分析与解]设这个数为N，根据题意得：N÷3余2N÷5余4N÷7余6观察余数和除数，发现：余数都比除数小1。
(N+1)就能同时被3，5和7整除，最小的数就是3，5，7的最小公倍数。
[3，5，7]=3×5×7=105，N+1=105;N=104.答：这个数是104。
余数的知识点总结
余数的知识点总结一、余数的概念余数的概念最早出现在我们学习除法的时候。
当我们用一个数除以另一个数时，商是一个整数，余数是一个小于被除数的正整数。
例如，当我们将13除以4时，商是3，余数是1。
因此，13÷4=3……1。
这里的1就是余数。
余数的概念可以用数学符号“mod”来表示，即a≡b(mod m)，其中a是被除数，b是余数，m是除数。
这个符号读作“a同余b模m”。
例如，13≡1(mod 4)。
二、余数的性质1. 余数的范围余数的范围是0到除数-1之间。
例如，当我们将13除以4时，余数的范围就是0到3。
这是因为余数小于除数，所以余数的范围是有限的。
2. 余数的性质余数可以满足一些基本的性质，例如：如果a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)。
这意味着如果两个数在模m下同余，那么它们的和也在模m下同余。
这个性质在数论和离散数学中有着重要的应用。
3. 余数的运算余数的运算规则和整数的运算规则是一样的。
例如，对于任意的整数a、b和m，有(a+b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m。
这意味着在计算余数时，我们可以先对每个数取余，然后再进行加法或乘法运算，最后再取一次余数，结果不变。
三、余数的应用1. 时钟和日历在时钟和日历的应用中，余数概念起着非常重要的作用。
例如，一小时后的时间可以用（当前时间+1）mod 12来表示，从而得到12小时制的时间。
又如，计算日期间隔的时候，我们可以用（未来日期-当前日期）mod 7来表示，得到相对于当前日期的天数差。
2. 整数的性质余数概念也常常用来证明整数的性质。
例如，我们可以用余数来证明一个数的奇偶性。
对于任何整数a，a≡0(mod 2)当且仅当a是偶数；a≡1(mod 2)当且仅当a是奇数。
3. 数论问题在数论中，余数的概念是至关重要的。
例如，欧拉定理和费马小定理就是建立在余数的基础上。
第7讲-除数与余数
两个整数：b a （除数不等于0），如果商是整数，没有余数，就称“a 能被b 整除”，a 就是b 的倍数。
数的整除一般有两个性质：1.如果甲、乙两个整数都能被丙整除，那么甲、乙的和与差也能被丙整除；2.几个整数相乘，如果其中一个数能被某个整数整除，那么他们的积也能被这个整数整除。
在做除法与余数这类题目时，要注意被除数、除数、商和余数的关系，即被除数=除数×商+余数，除数=（被除数-余数）÷商，还要注意除数不等于0，余数要比除数小。
此外除法有商不变性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（“0”除外），商不变。
但余数有变化，余数将扩大或缩小相同的倍数。
【习题1】根据要求填空（1）（）÷4=3 (2)（2）（ ）÷5=3 (4)【难度】★【答案】（1）被除数=4×3+2=14；（2）被除数=3×5+4=19.【习题2】根据要求填空。
（1）23÷（ ）=3 (2)（2）21÷（ ）=2 (3)（3）22÷（ ）=3 (4)【难度】★【答案】（1）7；（2）9；（3）6.【习题3】小海带领7个小朋友一起去擦27块玻璃，先平均分，每个小朋友擦若干块，剩下的不够分，就由小海再擦剩下的玻璃，那么小海一共需要擦多少块玻璃才能完成任务？【难度】★★【答案】6块。
27÷（7+1）=3……3,课前热身除数与余数 内容分析例题解析、随堂检测【例1】根据要求在（）里填上合适的数。
（1）下面（）里最小能填几。
（）÷（）=5......4 （）÷（）=4 (9)（2）下面（）里最大能填几。
（）÷4=5……（）（）÷9=4……（）【难度】★★【答案】（1）29,5；,49,10；（2）23,3；44,8.【解析】解：（1）余数一定比除数小，所以除数最小为5，被除数=5×5+4=29；余数一定比除数小，所以除数最小为10，被除数=4×10+9=49；（2）余数一定比除数小，所以余数最大为3，被除数=4×5+3=23；余数一定比除数小，所以余数最大为8，被除数=4×9+8=44；【总结】注意除数不等于0，余数要比除数小。
余数的除法知识树
余数在日常生活中的应用实例
购物找零
在购物时，如果支付的金额不能 被商品价格整除，商家会找零，
找零的金额就是余数。
时间计算
在时间计算中，余数可以用于确 定一天中的具体时间，例如分钟 数除以60的余数可以确定分钟数
是在小时的哪个部分。
分配任务
在分配任务时，如果任务数量不 能被人数整除，每个人分到的任 务数量会有所不同，余数可以用 于确定多出来的任务应该分给谁。
中国剩余定理
总结词
中国剩余定理是一种解决一类线性同余方程组的通用方法，它是由中国古代数学家发现 的。
详细描述
中国剩余定理也被称为孙子定理，它提供了一种系统的方法来解决一类特殊的同余方程 组问题。这个定理适用于多个线性同余方程具有共同的模数的情况，通过它可以找到一 组线性同余方程的通解。它是数论中一个重要的定理，在编码理论、密码学等领域有广
余数的除法知识树
目录
CONTENTS
• 余数的定义与性质 • 余数的除法规则 • 余数在日常生活中的应用 • 余数除法的数学证明 • 余数除法的数学定理和公式
01
CHAPTER
余数的定义与性质
余数的定义
总结词
余数是指在整数除法中，被除数 减去除数与商的乘积后得到的剩 余部分。
详细描述
在整数除法中，被除数、除数和商 都是整数，而余数也是整数。例如， 在计算10除以3时，商是3，余数 是1，因为10 - 3 x 3 = 1。
负数的除法规则
负数除法是指将一个负数A除 以另一个负数B，得到的商是 负数，余数是A被B除后剩余的 部分。
负数除法运算可以用以下公式 表示：-A ÷ -B = C ... D，其 中A是被除数，B是除数，C是 商，D是余数。
余数的性质及其计算
余数的性质及其计算余数是数学运算中的一个概念，通常在整除运算中使用。
当一个数被另一个数整除时，余数就是剩下的不被整除的部分。
1.余数的范围：余数的范围是0到除数减1、例如，当除数为7时，余数的范围为0到62.余数的符号：余数的符号与被除数的符号一致。
例如，当被除数为正数，除数为负数时，余数为负数；当被除数为负数，除数为正数时，余数为正数。
3.余数的递减性：当被除数递减一定倍数的除数时，余数也会递减相应的倍数。
例如，当被除数从10递减10倍除数时，余数也会从0递减10。
4.余数的计算方法：余数的计算方法通常有两种，一种是使用除法算术运算符求余，另一种是使用模运算符求余。
-除法算术运算符求余：余数可以通过被除数除以除数得到。
例如，12除以5，商为2余2，余数为2-模运算符求余：模运算符（%）可以直接计算余数。
例如，12%5=25.余数的应用：余数在很多数学问题中有广泛应用，如判断一个数是否是另一个数的倍数，确定一个数的奇偶性等。
余数也可以用于计算和数论问题，例如将一个数分解为素因子的乘积。
一个常见的问题是，如何计算一个大数除以一个较小的数的余数？当被除数较大时，我们常常使用长除法来计算余数。
长除法的步骤如下：1.将被除数按位数与除数对齐，从左至右逐位进行计算。
2.用除数除以被除数的第一位，得到一个商和一个余数。
3.将余数带到被除数的下一位，继续做除法运算，得到新的商和新的余数。
4.重复步骤3，直到计算完所有位数。
5.最终的余数就是最后一次除法运算的余数。
尽管这种方法可以得到正确的结果，但对于大数来说，计算过程可能会比较复杂和繁琐。
在计算机编程中，我们通常使用取模运算符（%）来计算余数，这种方法更加简单和高效。
总结起来，余数是数学运算中的一个概念，表示一个数被另一个数整除后的剩余部分。
余数具有一些性质，如范围、符号、递减性等。
计算余数可以使用除法算术运算符或模运算符。
对于大数的计算，常使用长除法来计算余数。
dd05-春-07s-p07综合除法与余数定理
综合除法与余数定理例题讲解例1、计算()()4323521061x x x x x -+++÷+。
例2、求多项式24332511x x x +--除以2x -的商式和余数。
例3、用综合除法计算()()432652221x x x x -++÷+。
例4、试证明3333a b c abc ++-中含有因式a b c ++。
例5、（1）求1x -除()5427435f x x x x =+-+所得的余数。
（2）求22x -除()5427435f x x x x =+-+所得的余数。
例6、证明：当,a b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被,x a x b --整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除。
例7、多项式()f x 除以1,2x x ++所得的余数分别为3和5，求()f x 除以()()12x x ++所得的余式。
例8、已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三次多项式。
课堂练习1、若()3223f x x x ax b =-++除以()1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求,a b 的值。
2、设()2f x x m x n =++（,m n 都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x 。
3、多项式()f x 除以1,2,3x x x ---所得的余数分别为1，2，3，试求()f x 除以()()()123x x x ---所得的余式。
4、多项式()32812f x ax bx x =+--被2x -和3x -整除，试求,a b 的值，并求()f x 除以()()23x x --后所得的商式。
5、若554x qx r -+被()22x -整除，求q 与r 的值。
6、一个整系数三次多项式()f x ，有三个不同的整式123,,,a a a 使()()()1231f a f a f a ===。
余数问题
数论模块数论题的特点就是简洁明了，信息量看起来往往比较少，所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手，因此，做数论题时很重要的一点就是寻找突破口，走对方向。
另外，数论模块的另一个特点就是：知识点非常多。
但相比组合而言，数论至少显得更“有法可依”，考场上一定要敢去思考数论题，“战略上藐视，战术上重视”，战略上要相信，考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴，而考前我们能做的，就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。
我就不详细讲每一个知识点（确实非常之多，关键在于平常积累），在这里，我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。
还是那个我在课堂上讲过很多遍的例子：任意找一个数，我们都可以从三个角度去分析它，例如154：（1）我们可以说它是一百五十四，在这里，1是百位上的数字，它代表1个100，5代表5个10，4代表4个1，这可以说是位值原理的角度；（2）154＝2×7×11，分解质因数；（3）154除以5余4，除以9余1，我们可以研究它除以任意一个数所得的商和余数；以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容，同时也是我们分析数论问题的三种方式，三个突破口。
下面我来详细讲讲每一个角度。
一、位值原理和整除。
其实所有数字的整除特性都是利用位值原理推导出来的，从这个也反映出了学习数论的一个策略：找到知识点的源头，知道它们是怎么来的，这样就不用背那么多知识点了。
言归正传，什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显，就不用多说了，举个最简单的例子：55□39能被11整除，请问□是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。
考得比较多的，比如这样的题目：“一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A，这个三位数A是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的，可以考虑用位值原理。
利用位值原理对题目进行“翻译”——也就是把文字翻译成数学语言（数学式子），再结合其他的知识点去“加工”，一步步地解答它。
通俗易懂讲解余数定理
通俗易懂讲解余数定理
余数定理，又称模运算定理，是一种用于计算整数除法中余数的
方法。
它告诉我们，当我们用一个整数去除另一个整数时得到的余数，与这两个整数的性质有关。
余数定理的表述是：对于任意给定的整数a和正整数n，当我们
用整数a除以n时，所得的余数r一定在0到n-1的范围内。
换句话说，如果我们把整数a除以n，得到的商为q，余数为r，那么余数r必定满足0 ≤ r ≤ n-1。
举个例子来说明余数定理：假设我们要计算256除以7的余数，
那么可以使用余数定理。
我们先计算商：256 ÷ 7 = 36，余数则为
256减去商乘以除数，即256 - (36 × 7) = 4。
因此，256除以7的
余数是4。
余数定理在数论、代数和计算机科学中有广泛的应用。
它可以帮
助我们简化计算，判断是否能够整除，还可以帮助解决一些与模运算
相关的问题。
总之，余数定理是一个简单而有用的定理，它告诉我们如何计算
整数除法的余数，以及余数的取值范围。
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教师教案
【教学过程】
一、猜花色，引出问题
师：首先，我们来做一个猜花色游戏，这里有红、黄、蓝、紫四种颜色的花，按这样的红、黄、蓝、紫顺序排下去，同学们随便问第几种花的颜色，老师都能快速回答出来，哪位同学先来问第几朵？
生：第朵？
师：色，老师不是乱猜的，是通过计算的，其实这游戏里蕴含着数学秘密呢。
通过这节课的学习，同学们就能运用数学知识来检验老师说的颜色对不对的上。
二、余数的含义及竖式
师：看，这杯子里有10根小棒，5根为一组，可以摆几组？怎么列式？
生：2组，10÷5=2（组）
师：再增加3根小棒，现在13根小棒，5根为一组，可以摆几组？怎么列式？
生：13÷5（师板书）
师：同学们拿出铅笔在老师发给你的白纸上画有13棒小棒，动手5根一组圈起来，看有什么发现？哪位同学来说你圈出来的结果？
生：圈出了2组，还剩3根
师：老师也来摆一摆，5根为一组，摆出2组，法宣杯子里还有3根，这3根能不能分成一组呢？
生：不能，因为5根为一组，3根不到5根。
师：也就是说剩下的3根小棒不能再分成一组了，我们把剩下不够再分的数叫做余数，今天我们就来学习“有余数的除法”。
13÷5等于多少呢？我们知道分成2组剩余3根。
13÷5=2 (3)
师：2后面的跟什么单位？3呢？13÷5=2（组）……3（根）学生齐读
师：同学们动手写一写除法竖式，哪三位同学上来写一下？
三、余数与除数的关系
师：咱们增加2根小棒，15根小棒，每组5根，可以摆出几组，怎么列式？
15÷5=3（组）
16÷5=3（组）……1（根）
17÷5=2（组）……2（根）
18÷5=2（组）……3（根）
19÷5=2（组）……4（根）
20÷5=4（组）
21÷5=4（组）……1（根）
22÷5=4（组）……2（根）
23÷5=4（组）……3（根）
24÷5=4（组）……4（根）
25÷5=5（组）
师：同学们观察余数和除数，你发现了什么？
生：余数＜除数（板书并全班齐读）
反过来读让学生从竖式上也观察余数、除数
师：为什么余数会比除数小？
四、巩固练习
五、总结
1、在写除数竖式时，有三点：
①试（试商，看哪个数与除数的积最接近被除数，但小于被除数）
②乘（商和除数想乘将积写在被除数下方）
③减（相减得到的差就是余数）
2、余数＜除数
六、分析游戏：红、黄、蓝、紫四种颜色为一组。